技术领域
[0001] 本
发明属于
无损检测技术领域，涉及一种基于Lamb波的无参考定量化检测平板减薄缺陷的方法。
背景技术
[0002] 随着科学技术发展，在机械、建筑和航天航空业中对缺陷检测和评估要求越来越高，不再仅仅满足于缺陷
位置和模糊形状的检测，而需要定量的给出缺陷准确位置和具体形状。
[0003] 工业中的常规无损检测与评估方法包括磁粉检测、射线检测、
涡流检测、
超声波检测等，其中
超声波无损检测是一种应用广泛的检测方法。由于超声波
频率高、
波长短，可与结构中的微小特征：如缺陷、裂纹、脱层等相互作用。然而，传统的超声波检测技术多是利用布置在结构表面的超
声换能器收发体波，对材料内部或与
接触面相邻的近表面进行缺陷检测，
覆盖范围极为有限。对于大型构件，往往需要完整的栅格扫描来获得全面的信息，费时费
力。且对于一些无法到达的区域一般无法实现检测。
发明内容
[0004] 为解决上述问题，本发明的目的是提供一种基于Lamb波的无参考定量化检测平板减薄缺陷的方法，可以定量化检测缺陷，从而为工程检测提供方便可靠的检测技术，解决了
现有技术中存在的问题。
[0005] 本发明所采用的技术方案是，基于Lamb波的无参考定量化检测平板减薄缺陷的方法，具体按照以下步骤进行：
[0006] S101：求解所需Lamb波反射模态的系数：因为弹性波在横截面处的
正交性，所以能够求解出所需Lamb波反射模态的幅值，再将反射模态幅值比上入射模态幅值得到反射系数；
[0007] S102：求解无缺陷平板中格林函数：平板中格林函数的求解，是分别在平面内作用一
水平方向和竖直方向的集中
载荷，在板内产生位移和
应力的响应，因为在构建边界积分方程只需要远场基本解，所以只取基本解中远场项；
[0008] S103：平板缺陷的重构：由动力学互易定理和远场基本解构建边界积分方程，将反射系数代入边界积分方程并采用逆傅里叶变换最终得到缺陷表达式，重构出平板中缺陷位置及形状。
[0009] 进一步的，所述步骤S101按照以下步骤进行：
[0010] 首先求解出无缺陷平板中Lamb波的位移表达式，因为Lamb波具有两个方向位移u1和u2，建立
波动方程
[0011] 下标i,j,k,l表示坐标方向，当i＝1表示x1方向，当i＝2表示x2方向，j,k,l与i具有同样性质；xj表示坐标，当下标j＝1时表示坐标x1，当下标j＝2时表示坐标x2；xk也表示坐标，当下标k＝1时表示坐标x1，当下标k＝2时表示坐标x2；x＝(x1,x2)表示质点在直
角坐标系下的位置，其中x1为直角坐标系中横坐标，x2为直角坐标系中纵坐标；uk(x)表示在x＝(x1,x2)位置的质点在k方向位移；其中cijkl＝λδijδkl+μ(δikδjl+δilδjk),(i,j,k,l＝1,2)；称δjl,δkl,δjk与δij为克罗内克符号，被用来判断两个下标是否相同，即下标相同时等于1，不同时等于0；cijkl是材料的
弹性模量，λ是
拉梅常数，μ是
剪切模量；ω，ρ分别表示圆频率和材料
密度；
[0012] 其中对于均匀、各向同性材料iωt
CL和CT分别是纵波和横波
波速，省略了时间的简谐项e ，t表示时间，非下标中的i特指虚数；
[0013] 其次，根据波场不同模态具有正交性，取平板中Lamb波的任意两种模态，分别记为和 可以建立截面积分方程得，其中“*”是共轭符号；
[0014] ξ1分别表示1状态下的位移、应力和
波数， ξ2分别表示2状态下的位移、应力和波数，+b，-b分别表示板厚的上、下边缘纵坐标；
[0015] 因为采用Lamb波的导波模态，所以波数是纯实数，也就是当状态1和状态2不相同2 1 2 * 1
时(ξ)*-ξ≠0， 反之状态1和状态2相同时(ξ)-ξ＝
0， 这种性质就是正交性，可以直接从总场中提取导波模态
的幅值；
[0016] 因为检测缺陷时，
传感器接受的是总场信息：其中n＝0，1，2，...， 表示第n阶模态下的位移和应力， 表示总场位移和应力且难以直接利用，所以要依据模态正交性提取所需第n阶模态的幅值(An)，
[0017] 结合公式 建立一个分式，分子是分母是 于是得到
An就是所需第n阶模态的幅值；
[0018] 最后定义反射系数，反射系数为 是一个关于频率的函数，其中为第n阶反射模态幅值， 为第n阶入射模态幅值。
[0019] 进一步的，所述步骤S102按照以下步骤进行：
[0020] 无缺陷平板的边界条件和波动方程包括：
[0021] 首先建立无缺陷平板的格林函数Uim(x，X）满足的波动方程：
[0022]
[0023] 建议上下边界(x2＝±b)
牵引力自由边界条件：
[0024]
[0025] 式中nj(x)表示在x位置法向量在j方向的分量；
[0026] 其中场点x＝(x1，x2)，源点X＝(X1，X2)，对于均匀、各向同性材料ρ是材料密度，CL和
CT分别是纵波和横波波速，ω表示圆频率，省略了时间的简谐项eiωt；
[0027] 无缺陷平板的格林函数分两部分，全平面中格林函数基本解和平板上下边界的反射场；
[0028] 所述全平面中格林函数基本解形式如下：
[0029]
[0030]
[0031]
[0032]
[0033] 其中 或或
分别是纵波波数和横波波数，ω是圆频
率，CL是纵波波速，CT是横波波速，ξ1是x1方向的波数，ρ是材料密度；上式中表示在全平面中源点X作用体力而在场点x处的
位移响应，第一个下标表示位移方向，第二个下标表示体力方向，上标fun记做全平面，RT,RL是与波数相关的表达式；
[0034] 所述平板上下边界的反射场为：
[0035]
[0036]
[0037]
[0038]
[0039] 式中 表示在反射场中源点X作用体力而在场点x处的位移响应，第一个下标表示位移方向，第二个下标表示体力方向，上标ref记做反射场；
[0040] 为了简化公式，记符号α＝I或II，这样就可以用α代替I和II，
[0041] 是关于x的双曲函数，具体表达式如下：
[0042]
[0043] det(α)是关于α的函数，具体形式如下：
[0044]公式中 都是关于ξ1,x2的函数，
都是关于ξ1,X2的函数，具体形式如下所示：
[0045]
[0046]
[0047]
[0048]
[0049]
[0050]
[0051]
[0052]
[0053] 所以无缺陷平板中格林函数的基本解：m＝1，2表示集中力的方向，i＝1，2表示位移响应的方向；
[0054] 因为弹性波的格林函数基本解的形式复杂，不方便直接用来构建边界积分方程，同时在实际检测中入射波和缺陷作用会生产衰减很快的体波和不衰减的波，而缺陷和传感器的距离比较远，所以传感器只接受到不衰减的部分，从而对于远场的格林函数可以采用近似解
[0055] 进一步的，对于所述远场的格林函数采用远场近似解，即对基本解
[0056] 采用留数定理:
[0057]
[0058] 其中i,m＝1,2，n＝0,1,2,3...，ω是圆频率，ρ是材料密度，非下标中的i表示虚数，而下标中的i,j＝1,2，此处的A1,A2,B1,B2被用来简化公式，它们都是关于ξ1的表达式，具体形式：
[0059]
[0060] 当x1＞X1时， 当x1＜X1时，
[0061]
[0062] α＝I或II时
[0063]
[0064]
[0065] ζn和ηn分别是det(I)和det(II)的正实数根，
[0066]
[0067]
[0068]
[0069] 进一步的，所述步骤S103按照以下步骤进行：
[0070] 通过动力学互易定理可以构建出边界积分和散射场之间的关系：
[0071]
[0072] 下标i，j，k，l，m＝1 or 2，其中 是散射场位移， 是总场位移，Ulm(x，X)就是格林函数在远场近似位移，S(x)是缺陷边界；因为在总场中缺陷边界(S(x))牵引力自由，即 所以边界积分方程化简为：
[0073]
[0074] 因为在超声导波的无损检测中缺陷尺寸相比样件本身很小，所以散射场相对于入射场很弱；采用波恩近似，将缺陷上的总场近似为入射场 边界积分方程写成：
[0075]
[0076] 再应用高斯定理将边界积分S(x)转化为整个缺陷上的积分V(x)，
[0077]
[0078] 将反射系数和远场近似解代入上式得，其中 就是 阶模态的反射系数， 相应模态的波数， 是关于 的函数，具体表
达式如下：
[0079]是有关波数 的表达式，具体形式如下：
[0080] b表示平板的半板厚， 是 阶模态的波数， 分别是纵波波数和横波波数，ω是圆频率，CL是纵波波速，CT是横波
波速，
[0081] 是关于波数 的表达式，具体形式如下：
[0082] 此处i表示虚数，
[0083] 此处i表示虚数，
[0084] 此处i表示虚数，
[0085] 此处i表示虚数，
[0086] 处i表示虚数，
[0087] 处i表示虚数，
[0088]
[0089] 其中 是关于 的双曲正弦函数， 是关于 的双曲正弦函数， 是关于 的双曲余弦函数， 是关于 的双曲余弦函
数，具体表达式如下：
[0090] b表示平板的半板厚；
[0091] 然后，根据逆傅里叶变换求解出最终缺陷d(x1)的表达式：
[0092] d(x1)就表示缺陷的具体位置和形状。
[0093] 本发明的有益效果：可以直接求解出缺陷表达式，通过传感器发射和接受
信号对缺陷实现定量化检测。因为在实验或者工程检测中Lamb波更容易用传感器来激发，所以采用Lamb波检测缺陷更为简单。缺陷检测的整个过程无需事先参考缺陷大概位置，直接从理论推导出缺陷表达式，达到一次性检测整个构件的目的，为超声导波定量化检测提供高效、精确的方案，在工程中有着重要应用价值。通过数值仿真说明本文的可行性和准确性：分别采用Lamb波最低阶对称模态的反射系数进行重构不同大小的缺陷，都可以得到较准确的结果，采用这种方法可以对多个缺陷进行重构，结果也较为准确，能够满足工程健康检测的
精度。
[0094] 还具有以下优点：(1)可不去除
涂装和绝缘层进行检测；(2)无需复杂的旋转和走行装置；(3)Lamb激发较为简单；(4)对缺陷有较高的敏感度和精度；(5)低耗能和经济性。
附图说明
[0095] 为了更清楚地说明本发明
实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
[0096] 图1是本发明实施例提供的基于Lamb波的无参考定量化检测平板减薄缺陷
流程图。
[0097] 图2是本发明实施例提供的含任意减薄缺陷的平板模型和波场示意图。
[0098] 图3是本发明实施例提供的无缺陷平板中集中力作用下的波场示意图。
[0099] 图4是本发明实施例提供的数值算例中“V”形缺陷示意图。
[0100] 图5是本发明实施例提供的“V”形缺陷反射系数示意图。
[0101] 图6是本发明实施例提供的不同宽度的“V”形缺陷重构示意图。
[0102] 图7是本发明实施例提供的不同深度的“V”形缺陷重构示意图。
[0103] 图8是本发明实施例提供的双“V”形缺陷重构示意图。
具体实施方式
[0104] 下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
[0105] 本发明提出了一种基于Lamb波的无参考定量化检测平板减薄缺陷的方法，流程如图1所示，首先提取所需模态的反射系数，然后求解平板的格林函数，并采用远场近似结果，利用互易定理推导出边界积分方程，最后求解出缺陷重构表达式。
[0106] 一种基于Lamb波的无参考定量化检测平板减薄缺陷的方法，具体按照以下步骤进行：
[0107] S101：求解所需Lamb波反射模态的系数：因为弹性波在横截面处的正交性，所以能够求解出所需Lamb波反射模态的幅值，再将反射模态幅值比上入射模态幅值得到反射系数；
[0108] S102：求解无缺陷平板中格林函数：平板中格林函数的求解，是分别在平面内作用一水平方向和竖直方向的集中载荷，在板内产生位移和应力的响应，因为在构建边界积分方程只需要远场基本解，所以只取基本解中远场项。
[0109] S103：平板缺陷的重构：由动力学互易定理和远场基本解构建边界积分方程，将反射系数代入边界积分方程并采用逆傅里叶变换最终得到缺陷表达式，重构出平板中缺陷位置及形状。
[0110] 具体来说，步骤S101具体按照以下步骤进行：
[0111] 首先求解出无缺陷平板中Lamb波的位移表达式，因为Lamb波具有两个方向位移u1和u2，建立波动方程
[0112] 下标i,j,k,l表示坐标方向，当i＝1表示x1方向(即横坐标方向)，当i＝2表示x2方向(即纵坐标方向)，j,k,l与i具有同样性质；xj表示坐标，当下标j＝1时表示坐标x1(横坐标)，当下标j＝2时表示坐标x2(纵坐标)；xk也表示坐标，当下标k＝1时表示坐标x1(横坐标)，当下标k＝2时表示坐标x2(纵坐标)；x＝(x1,x2)表示质点在直角坐标系下的位置，其中x1为直角坐标系中横坐标，x2为直角坐标系中纵坐标；uk(x)表示在x＝(x1,x2)位置的质点在k方向位移；其中cijkl＝λδijδkl+μ(δikδjl+δilδjk),(i,j,k,l＝1,2)； 称δjl,δkl,δjk与δij为克罗内克符号，被用来判断两个下标是否相同，(即下标相同时等于1，不同时等于0)，cijkl是材料的弹性模量，λ是拉梅常数，μ是剪切模量；ω，ρ分别表示圆频率和材料密度。
[0113] 其中对于均匀、各向同性材料CL和CT分别是纵波和横波波速，省略了时间的简谐项eiωt(t表示时间，非下标中的i特指虚数)。
[0114] 其次，根据波场不同模态具有正交性，取平板中Lamb波的任意两种模态，分别记为和 可以建立截面积分方程得，其中“*”是共轭符号。
[0115] ξ1分别表示1状态下的位移，应力和波数， ξ2分别表示2状态下的位移，应力和波数，+b，-b分别表示板厚的上、下边缘纵坐标。
[0116] 因为本发明中采用Lamb波的导波模态，所以波数是纯实数，也就是当状态1和状态2不相同时(ξ2)*-ξ1≠0， 反之状态1和状态2相同时
(ξ2)*-ξ1＝0， 这种性质就是正交性，可以直接从总场中提取
导波模态的幅值。
[0117] 因为检测缺陷时，传感器接受的是总场信息：其中n＝0，1，2，...， 表示第n阶模态下的位移和应力， 表示总场位移和应力且难以直接利用，所以要依据模态正交性提取所需第n阶模态的幅值(An)，
[0118] 结合上述公式 建立一个分式，分子是分母是 于是得到
An就是所需第n阶模态的幅值。
[0119] 最后定义反射系数，反射系数为 是一个关于频率的函数，其中为第n阶反射模态幅值， 为第n阶入射模态幅值。
[0120] 在数值仿真中，有多种方法计算反射系数，本文采用模态激发法。用单一模态的Lamb波入射含减薄缺陷的平板，结合有限元计算出反射信号，并采用上述模态正交性计算与入射导波同样模态的反射信号幅值，最后确定相应模态的反射系数
[0121] 具体来说，步骤S102具体按照以下步骤进行：
[0122] 缺陷重构也称作反问题的研究，除了要求解正问题中的反射系数，还要知道无缺陷平板中格林函数基本解。无缺陷平板中格林函数就是指，在平板内任意位置(简称源点X)作用一个时间简谐的体力(δimδ(x-X)eiωt)，在信号接收位置或传感器位置(简称场点x)得到的位移响应Uim(x，X)。当然这里的解是指稳态解，即关于时间的简谐项eiωt可以忽略。
[0123] 更具体说，无缺陷平板的边界条件和波动方程包括：
[0124] 首先建立无缺陷平板的格林函数Uim(x，X)满足的波动方程：
[0125]
[0126] 建议上下边界(x2＝±b)牵引力自由边界条件：
[0127]
[0128] 式中nj(x)表示在x位置法向量在j方向的分量。
[0129] 其中场点x＝(x1，x2)，源点X＝(X1,X2)，对于均匀、各向同性材料ρ是材料密度，CL和
CT分别是纵波和横波波速，ω表示圆频率，省略了时间的简谐项eiωt。
[0130] 无缺陷平板的格林函数分两部分，全平面中格林函数基本解和平板上下边界的反射场(其物理含义是指当柱波遇到上下边界时产生的反射波 )。
[0131] 全平面中格林函数基本解形式如下：
[0132]
[0133]
[0134]
[0135]
[0136] 其中 或或
分别是纵波波数和横波波数，ω是圆频
率，CL是纵波波速，CT是横波波速，ξ1是x1方向的波数，ρ是材料密度。上式中表示在全平面中源点X作用体力而在场点x处的
位移响应，第一个下标表示位移方向，第二个下标表示体力方向，上标fun记做全平面，RT,RL是与波数相关的表达式。
[0137] 平板上下边界的反射场为：
[0138]
[0139]
[0140]
[0141]
[0142] 式中 表示在反射场中源点X作用体力而在场点x处的位移响应，第一个下标表示位移方向，第二个下标表示体力方向，上标ref记做反射场。
[0143] 为了简化公式，记符号α＝I或II，这样就可以用α代替I和II，
[0144] 是关于x的双曲函数(F中上下标是不同函数的标示，无物理意义)，具体表达式如下：
[0145]
[0146] det(α)是关于α的函数，具体形式如下：
[0147]
[0148] 公式中 都是关于ξ1,x2的函数，都是关于ξ1,X2的函数，具体形式如下所示(上下标是不同函
数的标示，无物理含义)：
[0149]
[0150]
[0151]
[0152]
[0153]
[0154]
[0155]
[0156]
[0157] 所以无缺陷平板中格林函数的基本解：m＝1，2表示集中力的方向，i＝1，2表示位移响应的方向。
[0158] 因为弹性波的格林函数基本解的形式比较复杂，不方便直接用来构建边界积分方程，同时在实际检测中入射波和缺陷作用会生产衰减很快的体波和不衰减的波，而缺陷和传感器的距离一般比较远，所以传感器只接受到不衰减的部分，从而对于远场的格林函数可以采用近似解
[0159] 进一步，给出无缺陷平板的格林函数的远场近似解：
[0160] 对于远场的格林函数采用远场近似解，即对基本解
[0161] 采用留数定理:
[0162]
[0163] 其中i,m＝1,2，n＝0,1,2,3...，ω是圆频率，ρ是材料密度，非下标中的i表示虚数，而下标中的i,j＝1,2，此处的A1,A2,B1,B2被用来简化公式，它们都是关于ξ1的表达式，具体形式：
[0164]
[0165] 当x1＞X1时， 当x1＜X1时，
[0166]
[0167] α＝I或II时
[0168]
[0169]
[0170] ζn和ηn分别是det(I)和det(II)的正实数根，
[0171]
[0172]
[0173]
[0174] 具体来说，步骤S103具体按照以下步骤进行：
[0175] 通过动力学互易定理可以构建出边界积分和散射场之间的关系：
[0176]
[0177] 下标i，j，k，l，m＝1 or 2，其中 是散射场位移， 是总场位移(实际位移)，Ulm(x，X)就是格林函数在远场近似位移，S(x)是缺陷边界。因为在总场中缺陷边界(S(x))牵引力自由，即 所以边界积分方程可以化简为：
[0178]
[0179] 因为在超声导波的无损检测中缺陷尺寸相比样件本身很小，所以散射场相对于入射场很弱。采用波恩近似，将缺陷上的总场近似为入射场 边界积分方程可写成：
[0180]
[0181] 再应用高斯定理将边界积分S(x)转化为整个缺陷上的积分V(x)，
[0182]
[0183] 将反射系数和远场近似解代入上式得，其中 就是 阶模态的反射系数， 相应模态的波数， 是关于 的函数，具体表
达式如下：
[0184]
[0185] 是有关波数 的表达式，具体形式如下：
[0186] b表示平板的半板厚， 是 阶模态的波数， 分别是纵波波数和横波波数，ω是圆频率，CL是纵波波速，CT是横波
波速，
[0187] 是关于波数 的表达式，具体形式如下：
[0188] 此处i表示虚数，
[0189] 此处i表示虚数，
[0190] 此处i表示虚数，
[0191] 此处i表示虚数，
[0192] 处i表示虚数，
[0193] 处i表示虚数，
[0194]
[0195] 其中 是关于 的双曲正弦函数， 是关于 的双曲正弦函数,
[0196] 是关于 的双曲余弦函数， 是关于 的双曲余弦函数，具体表达式如下：
[0197] b表示平板的半板厚。
[0198] 然后，根据逆傅里叶变换求解出最终缺陷d(x1)的表达式：
[0199] d(x1)就表示缺陷的具体位置和形状。
[0200] 实施例：
[0201] 1、对总场进行模态分离，求解出所需Lamb波模态的反射系数：
[0202] 图2所示一个含减薄缺陷的平板，w为缺陷表面宽度，b为半板厚，S-、S+、S和S′分别为无缺陷板上边界、无缺陷板下边界、板的缺陷边界和缺陷表面的虚拟边界，缺陷范围V由边界S和S′围成，d(x1)是待求缺陷表达式，横坐标x1位于半板厚处如图2所示，纵坐标x2方向向下，入射波沿x1负方向，与缺陷作用产生反射波uref和透射波utra。根据波场不同模态具有正交性，取平板中Lamb波的任意两种模态，分别记为 和 可以建立截面积分方程
[0203]
[0204] 其中“*”是共轭符号。因为本发明中采用Lamb波的导波模态，所以波数是纯实数，也就是当状态1和状态2不相同时(ξ2)*-ξ1≠0即
[0205]
[0206] 这种性质就是正交性，这种性质可以直接用来从总场中提取导波模态的幅值。假设总场位移和应力分别为
[0207]
[0208] 其中n＝0，1，2，..., 表示总场位移包含各种模态难以直接利用，所以要依据模态正交性提取所需第n阶模态的幅值(An)，结合上述公式(2)和(3)得
[0209]
[0210] An就是所需第n阶模态的幅值。最后定义反射系数为
[0211]
[0212] 分别是提取的反射模态幅值和入射模态幅值是一个关于频率的函数。
[0213] 图5给出了当缺陷无量纲宽度w/b＝2.0，最大无量纲深度dmax/b分别为0.1,0.2,0.3时的反射系数随频率变换结果。
[0214] 2、无缺陷平板中格林函数的求解：
[0215] 平板中格林函数就是指，在平板内任意位置(简称源点X)作用一个时间简谐的集中载荷(δimδ(x-X)eiωt)，在信号接收位置或传感器位置(简称场点x)得到的位移响应Uim(x，X)。首先建立格林函数Uim(x，X)满足的波动方程:
[0216]
[0217] 和上下边界(x2＝±b)牵引力自由边界条件：
[0218]
[0219] 其中场点x＝(x1，x2)，源点X＝(X1，X2)，对于均匀、各向同性材料ρ是材料密度，CL和CT
分别是纵波和横波波速，ω表示圆频率，省略了时间的简谐项eiωt。
[0220] 无缺陷平板中格林函数可以分两部分，全平面中格林函数基本解和平板上下边界的反射场。全平面中格林函数基本解形式如下：
[0221]
[0222]
[0223]
[0224] 其中
[0225]
[0226] 或
[0227] 或 和 分别是纵波波数和横波波数，ω是圆频率，CL是纵波波速，CT是横波波速，ξ1是x1方向的波数，ρ是材料密度。
[0228] 平板上下边界的反射场(如图3所示)表达式
[0229]
[0230]
[0231]
[0232]
[0233] 其中(9)中相关字母表达式为
[0234]
[0235]
[0236]
[0237]
[0238]
[0239]
[0240]
[0241]
[0242]
[0243]
[0244]
[0245] 所以平板中格林函数的基本解可以表示为
[0246]
[0247] 其中m表示集中力的方向，i表示位移响应的方向，具体表达式可以由(8)、(9)、(10)式代入(11)得到。对(11)式采用留数定理得到无缺陷平板中格林函数的远场近似解：
[0248]
[0249] 其中 ζn和ηn分别是det(I)和det(II)的正实数根，当x1＞X1时， 当当x1＜X1
时，
[0250] 3、根据动力学互易定理和逆傅里叶变换推导缺陷表达式：
[0251] 通过动力学互易定理可以构建出边界积分和散射场之间的关系
[0252]
[0253] 下标i，j，k，l，m＝1 or 2,其中 是散射场位移， 是总场位移(实际位移)，Ulm(x，X)就是格林函数在远场近似位移，S(x)是缺陷边界。因为在总场中缺陷边界(S(x))牵引力自由，即 所以边界积分方程(13)式可以化简为
[0254]
[0255] 采用波恩近似，将缺陷上的总场近似为入射场 积分方程可写成
[0256]
[0257] 再应用高斯定理将边界积分S(x)转化为整个缺陷上的积分V(x)，
[0258]
[0259] 将反射系数代入(16)式得
[0260]
[0261] 其中 就是 阶模态的反射系数， 相应模态的波数，
[0262]
[0263] b是半板厚，
[0264]
[0265]
[0266]
[0267]
[0268]
[0269]
[0270] 将远场的近似基本解和反射系数代入边界积分方程(17)中，可以求出d(x1)表达式
[0271]
[0272] 通过上述推导，最终得到缺陷的重构表达式(20)式。
[0273] 考察缺陷最大深度变化时对重构结果影响：
[0274] 图4展示了数值仿真中缺陷的形状，这里都采用第一阶对称模态的反射系数进行缺陷重构，当缺陷最大深度变化时，本文中给出了重构结果，如图6(a)中最大无量纲深度dmax/b＝0.1，无量纲宽度w/b＝2.0，(b)中最大无量纲深度dmax/b＝0.2，无量纲宽度w/b＝2.0，(c)中最大无量纲深度dmax/b＝0.3，无量纲宽度w/b＝2.0。每幅图中都有4种线形，分别表示采用不同频率段(bω/CT是无量纲频率，b为半板厚，CT为横波波速)反射系数重构的结果和缺陷实际形状。通过观察可以发现，低频范围的反射系数是影响重构精度的主要因素，缺陷深度的不同不影响最终重构的精度，且如图6所示的重构结果对缺陷的右半部分刻画较为精确，最终都能够较为准确的重构出缺陷的具体位置和缺陷最形状。
[0275] 考察缺陷表面宽度变化时对重构结果影响：
[0276] 这里都采用第一阶对称模态的反射系数进行缺陷重构，当缺陷表面宽度变化时，本文中给出了重构结果，如图7(a)中最大无量纲深度dmax/b＝0.2，无量纲宽度w/b＝1.0，(b)中最大无量纲深度dmax/b＝0.2，无量纲宽度w/b＝3.0，(c)中最大无量纲深度dmax/b＝0.2，无量纲宽度w/b＝5.0。每幅图中都有4种线形，分别表示采用不同频率段(bω/CT是无量纲频率，b为半板厚，CT为横波波速)反射系数重构的结果和缺陷实际形状。对比这三幅图可以发现，当缺陷宽度变化时对缺陷重构结果有明显的影响，主要原因：当缺陷很窄时，对于缺陷重构，需要更多精确的高频的反射系数；而对于较宽的缺陷，重构中用到的波恩近似方法精确性会越来越低；当缺陷深度一定，而缺陷宽度很大时，反射信号很难被检测到，尤其是高频反射系数。总之，对于宽度在1.0到5.0范围内，缺陷重构的误差较小，能够满足工程检测需求。
[0277] 双“V”形缺陷重构结果：
[0278] 采用第一阶对称模态的反射系数进行缺陷重构，当缺陷表面宽度变化时,本
专利中给出了重构结果，如图8中两个“V”形最大无量纲深度都是dmax/b＝0.2，无量纲宽度w/b＝2.0(bω/CT是无量纲频率，b为半板厚，CT为横波波速)。通过观察可以发现，当反射系数的
频率范围取0～2.5时重构结果明显好于0～1.5，而且两个缺陷的形状都可以较好的重构出来。所以采用本专利发明可以直接对缺陷进行
定位和重构，且对两个缺陷的重构也较为精确。
[0279] 以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内所作的任何
修改、等同替换、改进等，均包含在本发明的保护范围内。
