技术领域
[0001] 本
发明属于
电子通信领域，具体涉及一种对称共存多吸引子的混沌系统。
背景技术
[0002] 混沌是指确定性系统产生的随机行为。从哲学上看，混沌是确定性与随机性的统一。混沌
信号具有内在随机性、初值敏感性、遍历性和有界性等特点，能够产生类似白噪声的宽带信号，在信息加密、保密通信和混沌雷达等领域有着广泛的应用。混沌信号源是各类混沌应用系统的重要组成部分，研究开发新型混沌信号源对混沌理论的实用化至关重要。
[0003] 1971年，华裔科学家蔡少棠教授根据
电路变量的完备性，预测存在第四种基本电路元器件，并将其命名为忆阻器。直到2008年，忆阻器的实物才第一次被HP实验室所发现。由于忆阻器是非线性器件，且具有记忆功能，因此被广泛应用于许多领域，包括低功耗的闪存
存储器、神经突触架构设计、神经网络构建、新型的混沌系统的构建等研究。将具有各种非线性特性的忆阻器引入经典混沌电路中,可以很容易地构造出新的混沌电路，且其动
力学行为比原混沌系统更加复杂。
[0004] 最近几年，多吸引子的混沌系统(多
稳定性混沌系统)成为了人们的研究热点。它是指在相同的系统参数设置下，多种吸引子共存的现象。多吸引子是许多非线性系统中一种常见的现象，与一般的混沌系统相比，其具有更加复杂的动力学行为，在保密通信和图像视频加密等领域有着广泛的应用前景。
[0005] 目前存在的多吸引子混沌系统一般都有混沌、周期、准周期等不同的稳定状态。但是本发明所提出的混沌系统除几个特殊的初值外，只存在两种结构不同且沿第四轴平行分布的共存吸引子。当初值关于轴对称时，系统可以产生成对的关于轴对称共存吸引子。新系统的动力学行为更加复杂，在信息加密、保密通信等领域有着巨大的应用前景。
发明内容
[0006] 本分明的目的在于提供了一种设计了相应的
硬件电路的对称共存多吸引子的混沌系统。
[0007] 为实现本发明的目的，采用的技术方案为：
[0008] 一种对称共存多吸引子的混沌系统：包括积分通道一、积分通道二、积分通道三和积分通道四；其中，积分通道一有3个输入端，分别为1个“vx”、1个“vy”和1个“vz”，分别通过
反相器和乘法器，再通过积分器最后输出“vx”；积分通道二有4个输入端，分别为2个“-vx”、1个“vy”和1个“vz”，先通过乘法器和忆阻器，再通过积分器最后输出“vy”；积分通道三有3个输入端，分别为1个“-vx”、1个“vy”和1个“vz”，通过乘法器和积分器最后输出“vz”；积分通道四为虚线方框的忆阻器部分，其只有1个输入端“-vx”，通过积分器输出“vw”，通过两个乘法器后再通过积分通道2中的积分器，最后输出“vy”；
运算放大器U1、U2、U3、U4和U5的同相输入端均接“地”。
[0009] 所述积分通道一中，输入端“vx”
串联一个
电阻R7接于
运算放大器U1的
反相输入端；U1的反相输入端和输出端之间并联电阻R8，此时输出端输出“-vx”；U1的输出端和运算放大器U2的反相输入端之间串联一个电阻R1；输入端“vy”和“vz”经乘法器M1相乘后串联一个电阻R2接于运算放大器U2的反相输入端；U2的反相输入端和输出端之间并联电容C1，此时U2的输出端输出“vx”。
[0010] 所述积分通道二中，输入端“vy”串联一个电阻R3接于运算放大器U3的反相输入端；输入端“-vx”和“vz”经乘法器M2相乘后串联一个电阻R4接于运算放大器U2的反相输入端；输入端“-vx”串联一个忆阻器(即方框内电路)接于运算放大器U3的反相输入端；U3的反相输入端和输出端之间并联电容C2，此时U3的输出端输出“vy”。
[0011] 所述积分通道三中，输入端“vz”串联一个电阻R5接于运算放大器U4的反相输入端；输入端“-vx”和“vy”经乘法器M3相乘后串联一个电阻R6接于运算放大器U4的反相输入端；U4的反相输入端和输出端之间并联电容C3，此时U3的输出端输出“vz”。
[0012] 所述积分通道四中，输入端“-vx”串联一个电阻Ra接于运算放大器U5的反相输入端；U5的反相输入端和输出端之间并联电容C4，此时U5的输出端输出“vw”；U5的输出端“vw”经乘法器Ma相乘作平方运算后输出“vw2”；“vw2”和“-vx”经乘法器Mb相乘后串联电阻Rb接于运算放大器U3的反相输入端；输入端“-vx”串联电阻Rc也接于运算放大器U3的反相输入端；U3的反相输入端和输出端之间并联电容C2，此时U3的输出端输出“vy”。
[0013] 所述一种对称共存多吸引子的混沌系统，所对应方程为：
[0014]
[0015] 其中a、b、c和d都是常数，x、y和z是状态变量，e和h是两个正常数，W(w)是磁控忆阻模型的忆导函数。
[0016] 本发明的有益效果为：
[0017] 本发明的系统方程含有四个状态变量x、y、z和w，对应电路
状态方程含有四个状态变量vx、vy、vz和vw，相比于一般的混沌系统，新系统结构简单，易于电路实现，且具有更加复杂的动力学特性，有较大的工程应用价值。
附图说明
[0018] 图1是一种对称共存多吸引子混沌系统的电路图；
[0019] 图2(a)是初值为(1,1,z(0),1)时状态变量z随z(0)变化的分岔图；
[0020] 图2(b)是初值为(1,1,z(0),1)时状态变量w随z(0)变化的分岔图；
[0021] 图3(a)是初值为(-1,-1,z(0),-1)时状态变量z随z(0)变化的分岔图；
[0022] 图3(b)是初值为(-1,-1,z(0),-1)时状态变量w随z(0)变化的分岔图；
[0023] 图4(a)是x-y对称共存多吸引子混沌系统的数值仿真相轨图；
[0024] 图4(b)是x-z对称共存多吸引子混沌系统的数值仿真相轨图；
[0025] 图4(c)是y-z对称共存多吸引子混沌系统的数值仿真相轨图；
[0026] 图4(d)是x-w对称共存多吸引子混沌系统的数值仿真相轨图；
[0027] 图4(e)是y-w对称共存多吸引子混沌系统的数值仿真相轨图；
[0028] 图4(f)是z-w对称共存多吸引子混沌系统的数值仿真相轨图；
[0029] 图5(a)是一种对称共存多吸引子混沌系统的PSpice初值为(1,1,z(0),1)时vx-vw平面电路仿真结果图；
[0030] 图5(b)是一种对称共存多吸引子混沌系统的PSpice初值为(-1,-1,z(0),-1)时vx-vw平面电路仿真结果图；
[0031] 图5(c)是一种对称共存多吸引子混沌系统的PSpice初值为(1,1,z(0),1)时vy-vw平面电路仿真结果图；
[0032] 图5(d)是一种对称共存多吸引子混沌系统的PSpice初值为(-1,-1,z(0),-1)时vy-vw平面电路仿真结果图；
[0033] 图5(e)是一种对称共存多吸引子混沌系统的PSpice初值为(1,1,z(0),1)时vz-vw平面电路仿真结果图；
[0034] 图5(f)是一种对称共存多吸引子混沌系统的PSpice初值为(-1,-1,z(0),-1)时vz-vw平面电路仿真结果图。
具体实施方式
[0035] 下面结合附图1-5与具体实施方式对本发明作进一步详细描述。
[0036] 本发明属于电子通信领域，具体涉及一种对称共存多吸引子的混沌系统，目的在于提供了一种设计了相应的硬件电路的对称共存多吸引子的混沌系统。
[0037] 为实现本发明的目的，采用的技术方案为：
[0038] 一种对称共存多吸引子的混沌系统：包括积分通道一、积分通道二、积分通道三和积分通道四；其中，积分通道一有3个输入端，分别为1个“vx”、1个“vy”和1个“vz”，分别通过反相器和乘法器，再通过积分器最后输出“vx”；积分通道二有4个输入端，分别为2个“-vx”、1个“vy”和1个“vz”，先通过乘法器和忆阻器，再通过积分器最后输出“vy”；积分通道三有3个输入端，分别为1个“-vx”、1个“vy”和1个“vz”，通过乘法器和积分器最后输出“vz”；积分通道四为虚线方框的忆阻器部分，其只有1个输入端“-vx”，通过积分器输出“vw”，通过两个乘法器后再通过积分通道2中的积分器，最后输出“vy”；运算放大器U1、U2、U3、U4和U5的同相输入端均接“地”。
[0039] 所述积分通道一中，输入端“vx”串联一个电阻R7接于运算放大器U1的反相输入端；U1的反相输入端和输出端之间并联电阻R8，此时输出端输出“-vx”；U1的输出端和运算放大器U2的反相输入端之间串联一个电阻R1；输入端“vy”和“vz”经乘法器M1相乘后串联一个电阻R2接于运算放大器U2的反相输入端；U2的反相输入端和输出端之间并联电容C1，此时U2的输出端输出“vx”。
[0040] 所述积分通道二中，输入端“vy”串联一个电阻R3接于运算放大器U3的反相输入端；输入端“-vx”和“vz”经乘法器M2相乘后串联一个电阻R4接于运算放大器U2的反相输入端；输入端“-vx”串联一个忆阻器(即方框内电路)接于运算放大器U3的反相输入端；U3的反相输入端和输出端之间并联电容C2，此时U3的输出端输出“vy”。
[0041] 所述积分通道三中，输入端“vz”串联一个电阻R5接于运算放大器U4的反相输入端；输入端“-vx”和“vy”经乘法器M3相乘后串联一个电阻R6接于运算放大器U4的反相输入端；U4的反相输入端和输出端之间并联电容C3，此时U3的输出端输出“vz”。
[0042] 所述积分通道四中，输入端“-vx”串联一个电阻Ra接于运算放大器U5的反相输入端；U5的反相输入端和输出端之间并联电容C4，此时U5的输出端输出“vw”；U5的输出端“vw”经乘法器Ma相乘作平方运算后输出“vw2”；“vw2”和“-vx”经乘法器Mb相乘后串联电阻Rb接于运算放大器U3的反相输入端；输入端“-vx”串联电阻Rc也接于运算放大器U3的反相输入端；U3的反相输入端和输出端之间并联电容C2，此时U3的输出端输出“vy”。
[0043] 所述一种对称共存多吸引子的混沌系统，所对应方程为：
[0044]
[0045] 其中a、b、c和d都是常数，x、y和z是状态变量，e和h是两个正常数，W(w)是磁控忆阻模型的忆导函数。
[0046] 进一步描述如下：
[0047] 本发明提供一种对称共存多吸引子的混沌系统。主要思想为，在一个三维混沌系统的
基础上引入一个忆阻器，将其改造为一个新的四维忆阻混沌系统。通过相轨图和分岔图分析，研究了这个系统的混沌行为。该系统可以产生两种结构不同的混沌吸引子，且它们的空间
位置沿第四轴平行分布。初值关于z轴对称时，系统可以产生成对的共存吸引子，它们的结构也关于z轴对称。值得一提的是，它们对称的结构不是大致相同，而是完全一样，包括局部的细节信息。
[0048] 所述三维混沌系统所对应方程为：
[0049]
[0050] 其中a、b、c和d都是常数，x、y和z是状态变量。
[0051] 在上述三维混沌系统中引入一个忆阻器，将其改造为一个四维忆阻混沌系统，改造后的四维混沌系统所对应方程为：
[0052]
[0053] 其中，e和h是两个正常数。W(w)是磁控忆阻模型的忆导函数，构建了电荷和磁通之间的关系，其表达式如下式所示。
[0054] W(w)＝f+3gw2 (3)
[0055] 其中，f和g是两个正实数，w是状态变量。
[0056] 1.新系统的基本动力学分析
[0057] (1)对称性
[0058] 对称性广泛存在于具有偶数个吸引子的混沌系统中。忆阻混沌系统(2)与原三维混沌系统(1)的对称性一致，即系统(2)在变换 下保持不变性。这意味着
状态空间中的吸引子必须相对于z轴对称。
[0059] (2)平衡点和稳定性
[0060] 由式(2)可以看出提出的忆阻四翼混沌系统的平衡点仅取决于x，y和z，与w不相关。
[0061] 该系统具有一个线性平衡点：
[0062] O＝{(x,y,z,w)|x＝y＝z＝0,w＝k} (4)
[0063] 其中k是任意常数。
[0064] 将系统(2)在原点O线性化，可以得到其雅可比矩阵：
[0065]
[0066] 根据式(5)，系统的特征方程如式(6)所示：
[0067] λ(λ-a)(λ+c)(λ+d)＝0 (6)
[0068] 由式(6)可以求出系统的特征根，如式(7)所示：
[0069] λ1＝0,λ2＝a,λ3＝-c,λ4＝-d (7)
[0070] 当参数a，c和d都是正实数时，特征根λ3和λ4都为负，而特征根λ2总为正。因此，该系统存在一个正实数根、一个零根和两个负实数根，即系统(2)具有不稳定的鞍点。
[0071] (3)耗散性
[0072] 系统(2)的耗散性可以由式(8)所示：
[0073]
[0074] 当参数a、c和d满足a-c-d＜0时，系统(2)是耗散的。
[0075] 2.系统的数值仿真
[0076] 根据图1所示一种对称共存多吸引子的混沌电路，利用仿真
软件平台，可以对由式(2)所描述的系统进行数值仿真分析。
[0077] 当系统参数a＝4，b＝6，c＝20，d＝5，e＝0.01，f＝1，3g＝0.1，h＝0.1时，设置初值为(1,1,z(0),1)，给出z(0)在[-100,100]区间内的状态变量z和状态变量w的分叉图如图2(a)、(b)所示。同理，设置初值为(-1,-1,z(0),-1)，给出z(0)在[-100,100]区间内的状态变量z和状态变量w的分叉图如图3(a)、(b)所示。可以发现，图2(a)和图3(a)中的分岔图完全一致(实际上状态变量x和状态变量y随z(0)变化的分叉图也完全一致)，图2(b)和图3(b)中的分岔图是上下对称的，宏观上说明了当混沌系统初值关于z轴对称时，产生的共存吸引子其结构也关于z轴对称。这里值得注意的是，该系统具有离散的分岔图，其状态不是连续变化的，在较小范围内无法准确判断吸引子的具体位置，再加上电路实现过程中的误差影响，这些会使得电路仿真结果图与数值仿真结果图有些偏差。
[0078] 当系统参数a＝4，b＝6，c＝20，d＝5，e＝0.01，f＝1，3g＝0.1，h＝0.1时，初值分别设置为(±1,±1,42,±1)，(±1,±1,-10,±1)时系统(2)可以产生两对共存吸引子，如图4所示。其中，蓝色和红色分别对应初值(1,1,42,1)，(-1,-1,42,-1)，粉色和青色分别对应初值(1,1,-10,1)，(-1,-1,-10,-1)。可以发现，蓝色和红色是一对关于z轴对称的共存吸引子，粉色和青色是一对关于z轴对称的共存吸引子。可以发现，成对吸引子的结构关于z轴是完全对称的，包括局部的细节信息。
[0079] 3.系统的电路实现
[0080] (1)对多吸引子混沌系统进行变量比例压缩变换。电源的供电
电压是±15V，运算放大器的饱和电压是±13.5V，乘法器的电压范围在±10V之间。混沌吸引子各变量的动态范围可能超出了元件的饱和电压。因此，将系统(2)状态变量压缩10倍，可以得到：
[0081]
[0082] (2)对多吸引子混沌系统进行时间尺度变换，系统的无量纲方程可表示为：
[0083]
[0084] (3)根据变换后的系统状态方程搭建电路，可以得到：
[0085]
[0086] 其中，vx，vy，vz和vw分别是各电容上的电压。对比式(10)和式(11)，可求出相应的电阻和电容表达式。C1＝C2＝C3＝C4＝C，R1＝R/a，R2＝R/10b，R3＝R/c，R4＝R/10，R5＝R/d，R6＝R/10，Ra＝R/h，Rb＝R/(e*3g*100)，Rc＝R/ef。
[0087] 令R＝100kΩ和C＝10000nF。多吸引子混沌系统的系统参数为a＝4，b＝6，c＝20，d＝5，e＝0.01，f＝1，3g＝0.1，h＝0.1，系统初值设置为(1,1,42,1)和(-1,-1,42,-1)。因此，相应的电阻取值如下所示。R1＝25kΩ，R2＝1.67kΩ，R3＝5kΩ，R4＝10kΩ，R5＝20kΩ，R6＝10kΩ，Ra＝1000kΩ，Rb＝1000kΩ，Rc＝10000kΩ。电容C1、C2、C3和C4的初始电压分别设置为(0.1V,0.1V,4.2V,0.1V)和(-0.1V,-0.1V,4.2V,-0.1V)(混沌系统状态变量压缩了10倍，系统的初始值也应压缩10倍)，电路仿真结果图分别对应图5左侧的蓝色部分和右侧的红色部分。可以发现，它们的结构是对称的，基本与图4的数值仿真图保持一致。它们的空间位置完全对称，但是形状大小略有不同，这是由于电路仿真中存在的误差导致的。
[0088] 需要说明的是，混沌系统的数值仿真结果与电路仿真结果存在一定的偏差。接下对其原因进行解释。由图2，3可知，该系统具有离散的分岔图，其状态变化并不连续，在较小范围内无法准确判断吸引子的具体位置。再加上电路仿真对理想系统的实现存在一定的误差，所以电路仿真结果的空间位置无法准确地判断。因此，电路仿真结果与系统的数值仿真结果存在一定地偏差，并不完全一致。
[0089] 综上所述，本发明属于电子通信领域，目的在于提供了一种对称共存多吸引子的混沌系统：包括积分通道一、积分通道二、积分通道三和积分通道四。其中，积分通道一有3个输入端，分别为1个“vx”、1个“vy”和1个“vz”，分别通过反相器、乘法器和积分器输出“vx”；积分通道二有4个输入端，分别为2个“-vx”、1个“vy”和1个“vz”，先通过乘法器、忆阻器和积分器输出“vy”；积分通道三有3个输入端，分别为1个“-vx”、1个“vy”和1个“vz”，通过乘法器和积分器输出“vz”；积分通道四有1个输入端“-vx”，通过积分器输出“vw”，通过两个乘法器和积分通道2中的积分器输出“vy”。本发明结构简单，易于电路实现，且具有更加复杂的动力学特性，有较大的工程应用价值。
