【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、半導体素子の電気特性を解析評価する手法に関し、特に数値計算によって半導体内部の電気特性を表す物理量、たとえば電位分布、電子濃度分布、正孔濃度分布、電子温度分布および正孔温度分布の少なくとも１つの物理量の所定の位置における値を求める半導体素子の電気特性評価装置に関する。

【０００２】

【従来の技術】半導体内の電位分布、電子濃度分布および正孔濃度分布を数値的に解析する手法としてポアソン方程式、電子電流連続方程式および正孔電流連続方程式の３つの基本方程式を数値的に解いて、半導体の電気特性を解析する手法が知られている。 また、半導体素子の試作に先立って予測する前記の手段は、デバイスシミュレーション技術として知られている（たとえば、アナリシス・アンド・シミュレーション・オブ・セミコンダクタ・デバイス、１９８４年、出版スプリンガー・ベルラグ社、著者Ｓ．ゼルバヘル（S. Selberherr, 'Analysis
and Simulationof Semiconductor Devices', Springer
-Verlag, 1984））。

【０００３】この技術は、半導体素子の内部に図４に示すように縦横に格子線を引き、その交点を離散化用の格子点Ａとし、それらの格子点Ａの上で、ポアソン方程式、電子電流連続方程式および正孔電流連続方程式の合計３つの以下に示す連立偏微分方程式を、未知数である電位ψ、電子濃度ｎ、正孔濃度ｐについて解くものである。 いま、ポアソン方程式、電子電流連続方程式および正孔電流連続方程式をそれぞれＦ、Ｇ、Ｈの汎関数で表わすと、 Ｆ（ψ、ｎ、ｐ）＝０ Ｇ（ψ、ｎ、ｐ）＝０ Ｈ（ψ、ｎ、ｐ）＝０ と表わすことができる。 通常は大型コンピュータ上でこれらの方程式を数値的に解くプログラムの形で実現される。 なお、上式において、ψは電位、ｎは電子濃度、ｐ
は正孔濃度である。

【０００４】近年では、半導体素子の微細化にともない、キャリア（電子および正孔）温度がデバイス温度よりも見掛け上高くなるホットキャリア現象という物理的課題の解決のために、電子と正孔のエネルギー保存則を上記３つの基本方程式に連立させて解くことにより、電子温度、正孔温度を考慮に入れた、より正確なシミュレーションを目指すようになってきている。

【０００５】これにより、上記３つの基本方程式も少し変わり、以下に示す５つの基本方程式が解かれる。 電子エネルギー保存則、正孔エネルギー保存則をそれぞれ汎関数Ｐ、Ｑで表わすと Ｆ（ψ、ｎ、ｐ、Ｔn、Ｔp）＝０ Ｇ（ψ、ｎ、ｐ、Ｔn、Ｔp）＝０ Ｈ（ψ、ｎ、ｐ、Ｔn、Ｔp）＝０ Ｐ（ψ、ｎ、ｐ、Ｔn、Ｔp）＝０ Ｑ（ψ、ｎ、ｐ、Ｔn、Ｔp）＝０ と表わすことができる。 なお、上式において、Ｔnは電子温度、Ｔpは正孔温度である。

【０００６】前記５つの基本方程式は、未知数であるψ、ｎ、ｐ、Ｔn、Ｔpに関する非線形方程式であるため、なんらかの方法で定めた初期値を基に、線形化を施し、反復的に解を求める手法が用いられる。

【０００７】すなわち、ψ、ｎ、ｐ、Ｔn、Ｔpの初期値ψ ₀ 、ｎ ₀ 、ｐ ₀ 、Ｔn ₀ 、Ｔp ₀から出発して修正量δψ、
δｎ 、δｐ、δＴn、δＴpを以下に述べる方法で求める。

【０００８】 ψ _k+1 ← ψ _k ＋ δψ _k ｎ _k+1 ← ｎ _k ＋ δｎ _k ｐ _k+1 ← ｐ _k ＋ δｐ _k Ｔn _k+1 ← Ｔ _nk ＋ δＴ _nk Ｔ _pk+1 ← Ｔ _pk ＋ δＴ _pk修正量が十分小さくなるまでこの手続きを繰り返す。 ここで、ｋ＝０，１，２，・・・・である。

【０００９】基本方程式を解き、δψ、δｎ、δｐ、δ
Ｔn、δＴpを求めるのだが、そのうちのδψ、δｎ、δ
ｐを求める手法として２つの方法が知られている。 それらをここではニュートン（Newton）法、デカップルド（Decoupled）法と呼ぶ。

【００１０】これらの方法の概要は以下に述べるが、一言で言えば、ニュートン法の特長は解が得られないことがあるが多くの場合きわめて高速に解が得られる方法であり、デカップルド法の特長は計算時間がかかるが確実に解が得られる方法である。

【００１１】ここで、基本方程式を反復手続きで解く方法を述べ、ニュートン法とデカップルド法について説明する。 いま、簡単のためにポアソン方程式、電子電流連続方程式および正孔電流連続方程式の３つの基本方程式を解く場合について説明する。

【００１２】 Ｆ（ψ ^* ，ｎ ^* ，ｐ ^* ） ＝ ０ Ｇ（ψ ^* ，ｎ ^* ，ｐ ^* ） ＝ ０ Ｈ（ψ ^* ，ｎ ^* ，ｐ ^* ） ＝ ０ ここに、ψ ^* 、ｎ ^* 、ｐ ^*は真の解であり、初期値ψ ₀ 、ｎ
₀ 、ｐ ₀に対して ψ ^* ＝ ψ ₀ ＋δψ ｎ ^* ＝ ｎ ₀ ＋δｎ ｐ ^* ＝ ｐ ₀ ＋δｐ を満たす。 修正量δψ、δｎ、δｐは、次の連立１次方程式を満たす。

【００１３】 ∂Ｆ／∂ψ・δψ ＋ ∂Ｆ／∂ｎ・δｎ ＋ ∂Ｆ／∂ｐ・δｐ ＝ −Ｆ（ψ ₀ ，ｎ ₀ ，ｐ ₀ ） ∂Ｇ／∂ψ・δψ ＋ ∂Ｇ／∂ｎ・δｎ ＋ ∂Ｇ／∂ｐ・δｐ ＝ −Ｇ（ψ ₀ ，ｎ ₀ ，ｐ ₀ ） ∂Ｈ／∂ψ・δψ ＋ ∂Ｈ／∂ｎ・δｎ ＋ ∂Ｈ／∂ｐ・δｐ ＝ −Ｈ（ψ ₀ ，ｎ ₀ ，ｐ ₀ ） これらの式を図４に示したＮ個の格子点Ａを用いて離散化すると、３Ｎ個の連立１次方程式となる。 この連立方程式から各格子点Ａ上での修正量δψ、δｎ、δｐについて求め、初期値に加えるという操作を反復して行っていく。 これが前に述べたニュートン法の手法である。

【００１４】ところで、解析する素子の電圧条件が低く、電流が流れていない状態では、電圧の微小な変化に対してキャリア密度は変化せず、生成再結合も起らないために、∂Ｇ／∂ψ、∂Ｇ／∂ｐ、∂Ｈ／∂ψ、∂Ｈ／
∂ｎの値は無視できるくらいに小さくなる。 この場合には、これらの式を別々に解くだけで修正量δψ、δｎ、
δｐを求めることができる。 つまり、 ∂Ｆ／∂ψ・δψ ＝ −Ｆ（ψ ₀ ，ｎ ₀ ，ｐ ₀ ） ∂Ｇ／∂ｎ・δｎ ＝ −Ｇ（ψ ₀ ，ｎ ₀ ，ｐ ₀ ） ∂Ｈ／∂ｐ・δｐ ＝ −Ｈ（ψ ₀ ，ｎ ₀ ，ｐ ₀ ） の３つの方程式を別々に解き、修正量δψ、δｎ、δｐ
を求める。 これがデカップルド法の手法である。 デカップルド法ではＮ個の連立１次方程式を別々に３回解くことになるが、トータルの計算時間としてはニュートン法の計算量がたいへん多いためにデカップルド法の方が短くなる。

【００１５】一方、ある程度電圧条件が高くなり、電流が流れるようになると、電圧の微小な変化に対してキャリア密度が大きく変化するようになり、生成再結合もさかんに行われるために、∂Ｇ／∂ψ、∂Ｇ／∂ｐ、∂Ｈ
／∂ψ、∂Ｈ／∂ｎの値は無視できないくらい大きな値になってくる。 これをデカップルド法で解こうとすると反復回数が非常に多くなるか、収束解が得られないということになる。

【００１６】このようにニュートン法とデカップルド法は相補う関係にあり、両者の長所を活かすように使用者がどちらか指定して使い分けたり、ある電圧条件以上でデカップルド法からニュートン法に切り替えたり、なんらかの予測のもとにデカップルド法で収束しないと判断したらニュートン法に自動的に切り替わるようにして使用している。

【００１７】一方、前記した電子エネルギー保存則、正孔エネルギー保存則の解法としては ∂Ｐ／∂Ｔ _n・δＴ _n ＝ −Ｐ（ψ ₀ ，ｎ ₀ ，ｐ ₀ ,Ｔn ₀ ,Ｔp ₀ ） ∂Ｑ／∂Ｔ _p・δＴ _p ＝ −Ｑ（ψ ₀ ，ｎ ₀ ，ｐ ₀ ,Ｔn ₀ ,Ｔp ₀ ） のように単独で解かれる。 これは、上記ボアソン方程式、電子電流連続方程式および正孔電流連続方程式の３
つの基本方程式が半導体の物理現象を上手く記述して、
かなり矛盾なく解が得られるのに対し、エネルギー保存則は解の初期値が良くないと収束しないなど、解くのが難しいという理由がある。 そこで、ポアソン方程式、電子電流連続方程式および正孔電流連続方程式の３つの基本方程式を完全に収束させて、その解をエネルギー保存則では固定し、δＴnとδＴpだけを変数として解を求め、それから再度上記３つの基本方程式を解くという処理を繰り返している。

【００１８】

【発明が解決しようとする課題】しかし上記従来の構成では、解法が良くないために収束解が得られなかったり、あるいは短時間で解が得られるにも拘らず、計算時間の長い方法を選んでしまうことがあった。

【００１９】また、エネルギー保存則は、そのモデル式自体物理現象を正確に記述しづらいこともあるが、その計算手法において収束性があまり良くなく、ポアソン方程式、電子電流連続方程式および正孔電流連続方程式の解であるポテンシャル、電子濃度、正孔濃度との物理的矛盾により収束しなかったり、計算が発散してしまうことも多かった。

【００２０】本発明の目的は、半導体素子の数値解析を行う際の基本方程式であるポアソン方程式、電子電流連続方程式、正孔電流連続方程式、電子エネルギー保存則および正孔エネルギー保存則を高速かつ安定に解き、それらの解であるポテンシャル、電子濃度、正孔濃度、電子温度および正孔温度を物理的矛盾なく計算する電気特性評価装置を提供することにある。

【００２１】また本発明の目的は、ニュートン法の計算部とデカップルド法の計算部を切り替えるに際し、解法が良くないために収束解が得られなかったり、あるいは短時間で解が得られるにも拘らず、計算時間の長い方法を選ぶことがないように、如何なる素子構造、バイアス条件に対しても収束解を短時間で且つ確実に求めることができる電気特性評価装置を提供することにある。

【００２２】また本発明の目的は、エネルギー保存則の解であるキャリア温度を予測するに際し、エネルギー保存則を高速かつ確実に解くために、反復計算に入る前に必要な初期値として最終的な解にあらかじめ近いような値を予測することのできる電気特性評価装置を提供することにある。

【００２３】

【課題を解決するための手段】上記課題を解決するために、本発明の半導体素子の電気特性評価装置は、入力部と、前記入力部と接続されたＣＰＵと、前記ＣＰＵに接続された切替部と、前記切替部に接続された２つの計算部と、前記計算部の出力が出力される出力部とを備え、
前記計算部の一方は少なくともデカップルド法の計算部であって、ポアソン方程式、電子電流連続方程式、正孔電流連続方程式を解く第１の計算部と、電子エネルギー保存則、正孔エネルギー保存則を解く第２の計算部と、
キャリア温度を予測するキャリア温度予測部とを有し、
前記計算部の他方はニュートン法の計算部であって、前記５つの基本方程式を同時に、また繰り返して解く計算部とを有するように構成したものである。

【００２４】また、デカップルド法とニュートン法の計算法を切り替える切替部として、デカップルド法の計算部を用いて離散化用の格子点上でのキャリア温度Ｔの修正量δＴの変化の仕方を見ながら判断してニュートン法の計算部に切り替え、以後デカップルド法の計算部を用いない構成にしたものである。

【００２５】また、半導体素子内のキャリア温度を予測するキャリア温度予測部として、デカップルド法の計算部でエネルギー保存則を計算する前に電子濃度、正孔濃度の値により、エネルギー保存則を解いて求められるキャリア温度を予測して初期値とする機能を持たせた構成にしたものである。

【００２６】

【作用】半導体素子の数値解析を行う場合に、上記従来の構成では解法が良くないために収束解が得られなかったり、あるいは短時間で解が得られるにも拘らず、計算時間の長い方法を選んでしまうことがあった。 また、エネルギー保存則は、そのモデル式自体物理現象を正確に記述しづらいこともあるが、その計算手法において収束性があまり良くなく、ポアソン方程式、電子電流連続方程式および正孔電流連続方程式の解であるポテンシャル、電子濃度、正孔濃度との物理的矛盾により収束しなかったり、計算が発散してしまうことも多かった。

【００２７】しかし、本発明では基本方程式をデカップルド法とニュートン法の２種類で解く機能を備え、それらを適切に切り替える切替部とキャリア温度を予測する予測部をもっているために高速かつ安定に解を求めることができる。

【００２８】また本発明では切替部において、キャリア温度Ｔの修正量δＴの変化の仕方を見ながら判断してニュートン法の計算部に計算手段を切り替え、以後デカップルド法の計算手段は用いないために高速かつ安定に解を求めることができる。

【００２９】また本発明では予測部において、デカップルド法の計算部でエネルギー保存則を計算する前に電子濃度、正孔濃度の値により、エネルギー保存則を解いて求められるキャリア温度を予測する機能を持つために高速かつ安定に解を求めることができる。

【００３０】

【実施例】以下、本発明の一実施例を図面に基づいて説明する。 図１は本発明の一実施例における半導体素子の電気特性評価装置を示す概略構成図である。 図１において、１１は各種演算・制御を行なうＣＰＵ、１２は素子の基本構造である素子形状、半導体部分のドナー・アクセプター分布、電極位置および電位等を読みとる入力部、１３はデカップルド法により基本方程式を解く計算部、１４は５つの基本方程式のうちポアソン方程式、電子電流連続方程式およびホール電流連続方程式を解く計算部、１５はエネルギー保存則を解くことにより求められるキャリア温度の解を予測し、初期値を与えるキャリア温度予測部、１６は電子エネルギー保存則および正孔エネルギー保存則を解く計算部であり、１４と１５と１
６はデカップルド法の計算部１３の内部に含まれる。

【００３１】１７はポアソン方程式、電子電流連続方程式、ホール電流連続方程式、電子エネルギー保存則および正孔エネルギー保存則をニュートン法で解く計算部であり、１８はデカップルド法で解く計算部１３とニュートン法で解く計算部１７とを切り替える機能を持つ切替部、１９は最終的に得られた収束解を出力する出力部である。

【００３２】ここで、本装置の特徴部分は、５つの基本方程式をデカップルド法で解く計算部１３に加えて、ニュートン法で解く計算部１７を加え、それらを適切な方で計算するように切り替えることのできる切替部１８
と、エネルギー保存則の解であるキャリア温度を予測するキャリア温度予測部１５を設けた点にある。

【００３３】また、本装置の特徴部分は、上記切替部１
８においてキャリア温度Ｔの修正量δＴの変化を見ながらデカップルド法のまま計算を続行するか、ニュートン法にするかの判断をし、ニュートン法の方が良いと判断した場合にはニュートン法に解法を移し、再度デカップルド法に戻らないようにする。 また、このままでは計算が発散すると判断した場合には入力部１２において電圧条件を変えて計算を再度やり直す機能を設けた点にある。

【００３４】また、本装置の特徴部分は、上記キャリア温度予測部１５において、デカップルド法によりポアソン方程式、電子電流連続方程式および正孔電流連続方程式を解いて求められる電子濃度と正孔濃度から空乏層内でのキャリア温度分布を予測する機能を設けた点にある。 この予測の機能は１つ前の電圧条件下でのキャリア温度の変化により空乏層端から空乏層内部へのキャリア温度の立ち上がりの勾配を与え、デバイス全体のキャリア温度を予測して初期値とすることである。

【００３５】次に、上記装置を用いた半導体素子の電気特性評価の方法を図２のフローチャートと図３の予測の概念を説明する図を参照して説明する。 図２は上記装置を用いた半導体素子の電気特性評価の処理手順示すフローチャートである。 図２において、まず、計算を行う端子電圧を決定する。 １つの電圧条件下で以下の処理をすべて行い、その後次の電圧条件下でまた以下の処理を行う。 今の電圧条件下で電位、電子濃度、正孔濃度の初期値を求め、ポアソン方程式、電子電流連続方程式および正孔電流連続方程式を解いて、電位ψ、電子濃度ｎ、正孔濃度ｐを求める。 このとき、３つの基本方程式を別々に解くデカップルド法でも同時に解くニュートン法のどちらでも良い。 この後収束判定を行い、収束条件を満たせば次に進み、満たさなければこの計算を繰り返す。 この収束判定条件としては、たとえば修正量δψ、δｎ、
δｐが各々所定の値以下であるか否かを判断する、などの方法が考えられる。 次に、予測部においてこの後に計算される電子温度および正孔温度の予測を行う。

【００３６】次に、予測された電子温度と正孔温度を初期値にして電子エネルギー保存則および正孔エネルギー保存則を解き、電子温度Ｔn、正孔温度Ｔpを求める。 この後収束判定を行い、収束条件を満たせば次に進み、満たさなければこの計算を繰り返す。 この収束判定条件としては、たとえば修正量δＴn、δＴpが全て各々所定の値以下であるか否かを判断する、などの方法が考えられる。

【００３７】次に切替部においてこのままデカップルド法で計算を続行するか、ニュートン法に切り替えるかの判断を行う。 ここではδＴn、δＴpの最大値の変化を見ながらデカップルド法にするか、ニュートン法にするか決定する。 また、このまま計算を続行すると計算が発散するかもしれないと判断した場合には入力部での電圧条件を変更して計算をやり直す。

【００３８】次にニュートン法の計算部では５つの基本方程式を同時に計算し、電位ψ、電子濃度ｎ、正孔濃度ｐ、電子温度Ｔnおよび正孔温度Ｔpを同時に求め、同時に解の更新を行う。 この後収束判定を行い、収束条件を満たせばその電圧条件下での計算を終了し、次の電圧条件で以上の手順を繰り返す。

【００３９】最後の電圧条件まで終了したら、最終的な電位ψ、電子濃度ｎ、正孔濃度ｐ、電子温度Ｔn、正孔温度Ｔpを用いて、それらをグラフィックデータとして出力したり、電流密度、端子電流、電界、移動度、生成消滅速度などの分布をグラフィックデータとして出力する。

【００４０】図２を参照しながら上記装置の切替部について説明する。 デカップルド法の計算部において電子エネルギー保存則、正孔エネルギー保存則を解いて求められる修正量δＴn、δＴpの最大値があらかじめ設定した値よりも小さくなればニュートン法の計算部に進み、そうでなければデカップルド法の計算部に戻る。 また、デカップルド法の外側のループにおいて反復回数ｋ回目の修正量δＴnk、δＴpkの解析領域全体での最大値δＴnk
m、δＴp kmが減少せずに変化しなかったり、増加するような場合には入力部に戻って現在の電圧からその前の電圧に近づけるような方向に電圧を変更し、計算をやり直す。 この方法を用いると収束性が高まり、かつ最も高速に計算できる計算方法を自動的に上記装置が選択することができる。

【００４１】図３を参照しながら上記装置の予測部について説明する。 デカップルド法の計算部においてポアソン方程式、電子電流連続方程式および正孔電流連続方程式を求めて得られる電子濃度ｎ、正孔濃度ｐにより空乏層の分布が求められる。 キャリア温度は空乏層でないところではほぼデバイス温度と等しいが、この空乏層端から空乏層内部に向かって増大し、あるピークをもった後減少し、空乏層の終わりでまたデバイス温度とほぼ等しくなる。 図３（ａ）に示されるように、１つ前の電圧条件下で求められている電子温度と正孔温度の立ち上がりの角度を直線に近似し、図３（ｂ）に示されるように、
今の電圧条件下での空乏層端までシフトしてやるようにして空乏層全体のキャリア温度を予測し、電子エネルギー保存則および正孔エネルギー保存則を解く際の初期値とする。

【００４２】電子エネルギー保存則と正孔エネルギー保存則の計算は、予測を行わない場合には計算が発散してしまうことが多いが、この方法で予測を行うと両式を安定に解くことができる。

【００４３】なお、本発明は、上述した実施例に限定されるものではなく、その要旨を逸脱しない範囲で、種々変形して実施することができる。 たとえば、本発明を実施する装置は図１の構成に何等限定されるものではなく、計算部、出力部、切替部などの機能をソフトウェアで実現することが可能である。

【００４４】

【発明の効果】以上のように本発明によれば、半導体素子の数値解析において、特に従来解くのが困難であったキャリア温度も含めて安定かつ高速に解を得ることが可能である。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の一実施例における半導体素子の電気特性評価装置を示す概略構成図

【図２】同実施例における処理手順を示すフローチャート

【図３】同実施例の予測部における予測の概念図

【図４】デバイスシミュレーションの離散化用格子を示す模式図

【符号の説明】

１１ ＣＰＵ １２ 入力部 １３ デカップルド法の計算部 １４ ポアソン方程式、電子電流連続方程式、正孔電流連続方程式を解く計算部 １５ キャリア温度予測部 １６ 電子エネルギー保存則、正孔エネルギー保存則を解く計算部 １７ ニュートン法の計算部 １８ 切替部 １９ 出力部