一类多平衡点饱和切换系统的离散增益调度控制器设计方
法及实现BTT导弹控制的方法
技术领域
[0001] 本
发明涉及一种控制领域的增益调度控制方法，本发明还涉及一种BTT导弹控制的方法。
背景技术
[0002] 现实生活中的许多系统自身表现出切换特性，即整个系统在几个不同的子系统之间依据环境因素的变化而呈现出不同的模态，最明显的例子有火车、
汽车等机动车在其行进过程中的速度调整和含有饱和、滞环等环节的控制对象。一般情况下，一个典型的切换系统是由一些连续子系统或离散子系统和一个切换法则组成。整个切换系统的进行由切换法则控制，通常这个切换法则也被称为切换律、切换
信号或者是切换函数，一般是依赖于时间或者是系统状态或者是两者同时的分段常值函数。“切换”作为一种控制思想，很早就在控制理论中得到了应用。由于切换系统在理论上和实际应用中都有重大价值，很多学者对其进行了研究并给出了一些结果。其中比较典型研究切换系统
稳定性的方法为共同Lyapunov函数法、多重Lyapunov函数法和驻留时间法。但是，目前的切换系统的结果很多是基于一个所有子系统的平衡点都是相同的且都是原点的假设。然而，在实际系统中，子系统的平衡点不一定都是相同的。也就是说，多平衡点切换系统是描述实际现象最具有一般性的模型。由于各个子系统平衡点不同，上面提到的共同Lyapunov函数法和多重Lyapunov函数法以及驻留时间法很难适应解决此类问题。因此针对一类多平衡点切换系统的研究有一定的难点，且具有重要的理论意义和应用价值。
[0003] 在实际物理系统中，饱和非线性广泛存在，在设计控制系统时，不可避免地会遇到
输入信号饱和限制。在某些时候，可以忽略输入饱和的影响，直接按照线性系统的控制理论设计控制器，但是在大多数情况下，忽略输入饱和的非线性特征而直接用线性系统的控制理论来设计控制器会使得系统性能迅速变坏，甚至变得不稳定。所以必须针对饱和非线性的特性采用一些特殊的控制手段来达到预期效果。由于此类控制问题具有很强的实际意义和实际应用背景，因此得到了大量学者的重视和研究，目前在处理饱和非线性方法中具有代表性的有：低增益控制、抗饱和补偿器和采用鲁棒等控制手段。低增益控制器的设计大体上有三种方法。目前在处理饱和非线性方法中具有代表性的有：低增益控制、抗饱和补偿器和采用鲁棒等控制手段。低增益控制器的设计大体上有三种方法。Lin和Saberi在文献中采用的基于极点配置的方法。Lin和Teel提出了基于代数Riccati方程的方法。综合了以上两种设计方法的优点，zhou求解一个参数化的Lyapunov方程，也得到一种低增益控制器的设计方法。
[0004] 一类多平衡点的切换系统是实际系统中一般性模型的描述形式，在系统控制器设计中考虑输入饱和使得控制器的设计非常困难。因此，针对具有输入饱和的多平衡点的切换系统，提出合理的控制器设计方法，且所提出的控制方法达到改善系统的性能的目的研究是十分必要的。
发明内容
[0005] 本发明为了解决实际系统由设计信号
跟踪控制器转化的子系统平衡点不都是相同的问题，进而提出一种多平衡点饱和切换系统的离散增益调度控制器设计方法。
[0006] 一类多平衡点饱和切换系统的离散增益调度控制器设计方法的过程为：
[0007] 步骤1：选取 为系统的状态向量，建立多平衡点线性切换系统，如公式(1)所示[0008]
[0009] 其中， 为系统的状态向量，Rn为n维欧几里德空间， 为的导数，Aδ(t)和Bδ(t)是常数矩阵， 为系统的输入向量，本发明中设计
m +
Kδ(t)为控制增益，R为m维欧几里德空间，切换信号δ(t)：R →I
＝{1，2，…，M}是一个分段时间常值函数，切换信号是与时间相关的，决定了在切换时刻子系统的切换顺序，M＞1为子系统个数； 是系统的平衡点，当δ(t)＝j时，第j个n×n n×m
子系统起作用，其中j＝1，2，…，M；假设(Aj，Bj)是可控的，Aj∈R Bj∈R ，j∈I且是第j个子系统的平衡点；
[0010] 当执行器受限时，系统(1)可写为：
[0011]
[0012]
[0013] 假设输入向量受到单位饱和函数的限制，形式如下：
[0014] sat(u)＝[sat(u1) sat(u2) … sat(um)]T
[0015] sat(uk)＝sign(uk)min{1，|uk|}，k＝1，…，m
[0016] 对于切换信号δ(t)，假设切换时间序列为：t(j)0＜t(j)1＜…＜t(j+1)0＜t(j+1)1＜…＜+∞，其中t(j)i-1表示第j个子系统作用时间ti-1，i∈I[0，Nj]，当δ(t)＝j时，子系统j被激活，则Aδ(t)＝Aj，Bδ(t)＝Bj，t∈[t(j)0，t(j+1)0)；
[0017] 令 则公式(2)可表示为：
[0018]
[0019] 步骤2：多平衡点饱和切换系统离散增益调度控制器设计：
[0020] 假设(Aj，Bj)(j＝1，2，…，M)可控，多平衡点饱和切换系统(3)离散增益调度控制器设计具体实现过程如下：
[0021] 步骤2.1：定义集合 满足集合的 的选取方法是：
[0022]
[0023] 其中，γ(1)0为 中的初值， 大于γ(1)0；
[0024] 矩阵P(γ(1)i)是下面参量Riccati方程的唯一对称正定解
[0025]
[0026] 令P(γ(1)i)＝W-1(γ(1)i)，那么解参量Riccati方程可转化为解参量Lyapunov方程(5)
[0027]
[0028] 其中，In是单位矩阵；
[0029] 步骤2.2：根据椭球的标准定义形式ε(P，1)＝{x：xTPx≤1}，可以写为ε(P)，假设子系统1内有N1个椭球，且这组椭球是嵌套的；即
[0030]
[0031] 在t(2)0时刻，系统由1子系统切换到2子系统；当子系统发生切换时，定义子系统1有如下N1个有界的集合：
[0032]
[0033] 本发明中用凸包的方法处理饱和非线性；对于i∈I[1，N1]，考虑下面的集合[0034]
[0035] 其中，|·|表示绝对值，B(1)k表示B1的第k列，则
[0036]
[0037] 从而根据L(1)i和 的定义有
[0038] 对于i∈I[1，N1]，如果 ，则可知x∈L(1)i-1，由公式(7)可知控制律简
化成 x且||u1||∞≤1；
[0039] 针对子系统1，设计如下形式的控制器
[0040]
[0041] 当t∈[t(1)0，t(2)0]时，系统(3)的控制器为式(8)；
[0042] 步骤2.3：针对子系统1，取下面的Lyapunov函数
[0043]
[0044] V(1)i-1(x(t))是时不变的，对于t∈[t(1)i-1，t(1)i]，i∈I[1，N1]，有[0045]
[0046] 由式(9)可解得
[0047]
[0048] 其 中，||·||表 示 2 范 数，λmin{P(γ(1)i)} ≤ P(γ(1)i)≤λmax{P(γ(1)i)}，λmin{P(γ(1)i)}表示对称矩阵P(γ(1)i)的最小特征值，λmax{P(γ(1)i)}表示对称矩阵P(γ(1)i)的最大特征值；那么，当i∈I[1，N1]时，定义
[0049] 在t(2)0时刻，子系统由1切换到2时，
[0050] 令 可以得出
[0051]
[0052] 当子系统2的初值即瞬间切换的初始条件x(t(2)0)满足公式(11)时，取γ(2)0使得T
[0053] nγ(2)0x(t(2)0)P(γ(2)0)x(t(2)0)＝1
[0054] 成立；
[0055] 当公式(11)成立时，则有γ(2)0的估计值为
[0056]
[0057] 公式(11)和公式(12)保证了子系统2的初值在椭球 边界上；且满足
[0058] 且
[0059] 针对子系统2进行控制器设计，设计方法重复子系统1的设计过程，直到系统切换到子系统M-1；
[0060] (Aj，Bj)可控，当j＝1，2，…，M-1时，则控制器u从控制器集合{u1，u2，…，uM-1}依次切换，即，当t∈[t(j)0，t(j+1)0)时，系统(3)的控制器为如下形式
[0061]
[0062] 在切换时刻t(j+1)0，子系统j+1的初值x(t(j+1)0)和γ(j+1)0满足下面的公式[0063]
[0064]
[0065] 且
[0066] 系统由子系统j切换到子系统j+1时状态收敛到子系统j+1的第一个椭球的边界上；
[0067] 当j＝M时，系统切换到最后一个子系统，系统(3)的控制器切换为
[0068]
[0069] 步骤2.1中γ(1)0由等式(13)得出
[0070]
[0071] 且需要满足下面约束
[0072] γ(1)0＞max{0，2Re{λmax{-A1}}}
[0073] 其中，λmax为矩阵的最大特征值，Re{·}是特征值的
实部。
[0074] 多平衡点切换系统的稳定性分析如下：
[0075] 当j＝1，2，…，M-1时，如果i∈I[1，Nj]，t∈[t(j)i-1，t(j)i)时，状态x(t(j)i-1)从椭球 的边界指数收敛到 的边界，当 时， 从椭球的边界 收敛到 的边界；
[0076] 当j＝M，也就是切换到子系统M时，有
[0077]
[0078] 即对于i∈I[1，NM]，当t∈[t(M)i-1，t(M)i)，状态x(t(M)i-1)从椭球 的边界指数收敛到 的边界，当 时，状态指数收敛到原点，因此系统(3)是指数稳定的。
[0079] 本发明利用参量Lyapunov方程法和椭球不变集理论，设计了多平衡点饱和线性切换系统在于与时间相关的切换路径下的离散增益调度控制器。所提出的控制器设计方法可实现切换系统半全局镇定(局部镇定)，且Nj越大，切换次数越多，相应的γ(j)i-1(状态的收敛速度)的控制律u(j)i-1作用的时间越短。
附图说明
[0080] 图1多平衡点饱和切换系统(3)离散增益调度控制器设计
流程图；
[0081] 图2控制量δz的仿真曲线；
[0082] 图3控制量δy的仿真曲线；
[0083] 图4状态x1的仿真曲线；
[0084] 图5状态x2的仿真曲线；
[0085] 图6状态x3的仿真曲线；
[0086] 图7状态x4的仿真曲线。
具体实施方式
[0087] 具体实施方式一：结合图1说明本实施方式，一类多平衡点饱和切换系统的离散增益调度控制器设计方法包括下述步骤：
[0088] 步骤1：选取 为系统的状态向量，建立多平衡点线性切换系统，如公式(1)所示[0089]n
[0090] 其中， 为系统的状态向量，R为n维欧几里德空间，的导数，Aδ(t)和Bδ(t)是常数矩阵， 为系统的输入向量，本发明中设计
m +
Kδ(t)为控制增益，R 为m维欧几里德空间，切换信号δ(t)：R →I
＝{1，2，…，M}是一个分段时间常值函数，切换信号是与时间相关的，决定了在切换时刻子系统的切换顺序，M＞1为子系统个数； 是系统的平衡点，当δ(t)＝j时，第j个n×n n×m
子系统起作用，其中j＝1，2，…，M；假设(Aj，Bj)是可控的，Aj∈R Bj∈R ，j∈I且是第j个子系统的平衡点；
[0091] 当执行器受限时，系统(1)可写为：
[0092]
[0093]
[0094] 假设输入向量受到单位饱和函数的限制，形式如下：
[0095] sat(u)＝[sat(u1) sat(u2)…sat(um)]T
[0096] sat(uk)＝sign(uk)min{1，|uk|}，k＝1，…，m
[0097] 对于切换信号δ(t)，假设切换时间序列为：t(j)0＜t(j)1＜…＜t(j+1)0＜t(j+1)1＜…＜+∞，其中t(j)i-1表示第j个子系统作用时间ti-1，i∈I[0，Nj]，当δ(t)＝j时，子系统j被激活，则Aδ(t)＝Aj，Bδ(t)＝Bj，t∈[t(j)0，t(j+1)0)；
[0098] 令 则公式(2)可表示为：
[0099]
[0100] 步骤2：多平衡点饱和切换系统离散增益调度控制器设计：
[0101] 假设(Aj，Bj)(j＝1，2，…，M)可控，多平衡点饱和切换系统(3)离散增益调度控制器设计具体实现过程如下：
[0102] 步骤2.1：定义集合 满足集合 的的选取方法是：
[0103]
[0104] 其中，γ(1)0为 中的初值， 大于γ(1)0；
[0105] 矩阵P(γ(1)i)是下面参量Riccati方程的唯一对称正定解
[0106]
[0107] 令P(γ(1)i)＝W-1(γ(1)i)，那么解参量Riccati方程可转化为解参量Lyapunov方程(5)
[0108]
[0109] 其中，In是单位矩阵；
[0110] 步骤2.2：根据椭球的标准定义形式ε(P，1)＝{x：xTPx≤1}，可以写为ε(P)，假设子系统1内有N1个椭球，且这组椭球是嵌套的；即
[0111]
[0112] 在t(2)0时刻，系统由1子系统切换到2子系统；当子系统发生切换时，定义子系统1有如下N1个有界的集合：
[0113]
[0114] 本发明中用凸包的方法处理饱和非线性；对于i∈I[1，N1]，考虑下面的集合[0115]
[0116] 其中，|·|表示绝对值，B(1)k表示B1的第k列，则
[0117]
[0118] 从而根据 和 的定义有
[0119] 对于i∈I[1，N1]，如果 则可知x∈L(1)i-1’由公式(7)可知控制律简化成 且||u1||∞≤1；
[0120] 针对子系统1，设计如下形式的控制器
[0121]
[0122] 当t∈[t(1)0，t(2)0)时，系统(3)的控制器为式(8)；
[0123] 步骤2.3：针对子系统1，取下面的Lyapunov函数
[0124]
[0125] V(1)i-1(x(t))是时不变的，对于t∈[t(1)i-1，t(1)i]，i∈I[1，N1]，有[0126]
[0127] 由式(9)可解得
[0128]
[0129] 其 中，||·||表 示 2 范 数，λmin{P(γ(1)i)} ≤ P(γ(1)i)≤λmax{P(γ(1)i)}，λmin{P(γ(1)i)}表示对称矩阵P(γ(1)i)的最小特征值，λmax{P(γ(1)i)}表示对称矩阵P(γ(1)i)的最大特征值；那么，当i∈I[1，N1]时，定义
[0130] 在t(2)0时刻，子系统由1切换到2时，
[0131] 令 可以得出
[0132]
[0133] 当子系统2的初值即瞬间切换的初始条件x(t(2)0)满足公式(11)时，取γ(2)0使得
[0134] nγ(2)0xT(t(2)0)P(γ(2)0)x(t(2)0)＝1
[0135] 成立；
[0136] 当公式(11)成立时，则有γ(2)0的估计值为
[0137]
[0138] 公式(11)和公式(12)保证了子系统2的初值在椭球 边界上；且满足
[0139] 且
[0140] 针对子系统2进行控制器设计，设计方法重复子系统1的设计过程，直到系统切换到子系统M-1；
[0141] (Aj，Bj)可控，当j＝1，2，…，M-1时，则控制器u从控制器集合{u1，u2，…，uM-1}依次切换，即，当t∈[t(j)0，t(j+1)0)时，系统(3)的控制器为如下形式
[0142]
[0143] 在切换时刻t(j+1)0，子系统j+1的初值x(t(j+1)0)和γ(j+1)0满足下面的公式[0144]
[0145]
[0146] 且
[0147] 系统由子系统j切换到子系统j+1时状态收敛到子系统j+1的第一个椭球的边界上；
[0148] 当j＝M时，系统切换到最后一个子系统，系统(3)的控制器切换为
[0149]
[0150] 多平衡点切换系统的稳定性分析如下：
[0151] 当j＝1，2，…，M-1时，如果i∈I[1，Nj]，t∈[t(j)i-1，t(j)i)时，状态x(t(j)i-1)从椭球 的边界指数收敛到 的边界，当 时， 从椭球的边界 收敛到 的边界；
[0152] 当j＝M，也就是切换到子系统M时，有
[0153]
[0154] 即对于i∈I[1，NM]，当t∈[t(M)i-1，t(M)i)，状态x(t(M)i-1)从椭球 的边界指数收敛到 的边界，当 时，状态指数收敛到原点，因此系统(3)是指数稳定的。
[0155] 具体实施方式二：本实施方式所述的步骤2.1中γ(1)0由等式(13)得出[0156]
[0157] 且需要满足下面约束
[0158]
[0159] 其中，λmax为矩阵的最大特征值，Re{·}是特征值的实部。
[0160] 其它步骤与具体实施方式一相同。
[0161] 具体实施方式三：本实施方式利用具体实施方式一所述的离散增益调度控制器实现BTT导弹控制的方法包括下述步骤：
[0162] 步骤1：选取x为BTT导弹多平衡点饱和切换系统的状态向量，建立多平衡点线性切换系统，如公式(2-1)所示
[0163]
[0164] x＝[ωz α ωyβ]T为BTT导弹
俯仰/
偏航通道控制系统的状态向量，u＝[δz Tδy]为的输入向量， 为x的导数；
[0165] 其中，
[0166]
[0167]
[0168] 式中， V为导弹质心速度，m为导弹
质量，α为
攻角，β为
侧滑角，δy和δz分别为方向
舵偏角和升降舵偏角，ωx和ωy为导弹的转动
角速度在弹体
坐标系上的投影，Jx，Jy和Jz为导弹的惯性张量在弹体坐标系上的投影，m为导弹质量，cy和cz为导弹所受的
气动力在速度坐标系中的气动系数，ρ为导弹所处高度的空间
密度，S为特征面积，气动系数可以表示如下：
[0169]
[0170] 其中，cy0为攻角和升降舵偏角均为零时的升力系数，本发明研究的轴对称导弹有cy0＝0， 和 为气动系数cy中对应的偏导小系数， 和 为气动系数cz中偏导对应小系数，my和mz为作用与导弹上的所有外力对质心之力矩在弹体坐标系各轴上分量中的力矩系数，L为特征长度，对于气动轴对称的导弹，
和mnr为力矩系数my中对应的偏导小系数， 和mmq为力矩系数mz中
对应的偏导小系数，力矩系数可近似表示为
[0171]
[0172] 步骤2：多平衡点BTT导弹离散增益调度控制器设计：
[0173] 假设(Aj，Bj)可控(j＝1，2)，多平衡点BTT导弹离散增益调度控制器设计具体实现过程如下：
[0174] 步骤2.1：定义集合 满足集合ΓN1的γ(1)i的选取方法是：
[0175]
[0176] 其中，γ(1)0由 得出且满足γ(1)0＞max{0，2Re{λmax{-A1}}}，矩阵P(γ(1)i)是下面参量Riccati方程的唯一对称正定解
[0177]
[0178] 令P(γ(1)i)＝W-1(γ(1)i)，那么解参量Riccati方程可转化为解参量Lyapunov方程(2-5)
[0179]
[0180] 其中，In是单位矩阵；
[0181] 步骤2.2：根据椭球的标准定义形式ε(P，1)＝{x：xTPx≤1}，假设子系统1内有N1个椭球，且这组椭球是嵌套的；即
[0182]
[0183] 假设在t(2)0＝2.5s时刻，系统由1子系统切换到2子系统；可以定义当子系统发生切换时，第1子系统有如下N1＝20个有界的集合：
[0184]
[0185] 当t∈[t(1)0，t(2)0)时，子系统1发生作用，系统(2-1)的控制器为如下形式[0186]
[0187] 步骤2.3：对子系统1，取下面的Lyapunov函数
[0188]
[0189] 给出子系统2的初值即瞬间切换的初始条件x(t(2)0)和γ(2)0的估计值，[0190] V(1)i-1(x(t))是时不变的，对V(1)i-1(x(t))求导，可知：对于i∈I[1，N1]，有[0191]
[0192] 其中，
[0193] 在t(2)0时刻，子系统1切换到子系统2，
[0194] 令 可以得出
[0195]
[0196] 当子系统2的初值即瞬间切换的初始条件x(t(2)0)满足式子(2-11)时，可以得到γ(2)0的估计值
[0197]
[0198] 式子(2-11)和式子(2-12)保证了子系统2的初值在 椭球边界上，且
[0199] 且
[0200] 当切换到子系统2时，重复子系统1控制器的设计过程，那么当t∈[t(2)0，∞)时，系统(2-1)的控制器切换为下面形式的控制器
[0201]
[0202] 多平衡点切换系统的稳定性分析：
[0203] 当子系统2的初值即瞬间切换的初始条件x(t(2)0)满足式子(2-11)时，γ(2)0满足式子(2-12)时，可以看出对于的i∈I[1，N1]，当t∈[t(1)i-1，t(1)i)，状态x(t(1)i-1)从椭球 的边界指数收敛到 的边界，当 时， 从椭球的边界收敛到 的边界；
[0204] 针对第2个子系统设计一组嵌套的椭球，即N2＝10
[0205] 式子(2-11)和式子(2-12)保证了子系统2的初值在 椭球边界上；类似于子系统1的稳定性，对于子系统2，则有
[0206]
[0207] 其中，
[0208] 也就是说对于的i∈I[1，N2]，当t∈[t(2)i-1，t(2)i)时，状态x(t(2)i-1)从椭球的边界指数收敛到 的边界，当 时，状态指数收敛到原点，因此
闭环系统(2-1)是指数稳定的。
具体
实施例[0209] 步骤1：BTT导弹俯仰/偏航通道控制系统的数学模型为：
[0210]
[0211]
[0212] 其中，x＝[ωz α ωyβ]T，u＝[δz δy]T。
[0213] 上述模型是一个复杂的时变系统。在整个飞行过程中，随着飞行高度及速度的变化，导弹的启动系数是不断闭环的。考虑到导弹控制系统的时变特性和工程上的可实现性，对导弹俯仰/偏航通道的
自动驾驶仪系统采用多模型控制器，在特征点上的局部控制器设计完成之后，将其按一定的规则连接起来构成系统的全局控制器。以两个平衡点为例：
[0214]
[0215] 对应的平衡点为
[0216]
[0217] 对应平衡点为
[0218] 步骤2：多平衡点BTT导弹离散增益调度控制器设计：
[0219] 假设(Aj，Bj)可控(j＝1，2)，多平衡点BTT导弹离散增益调度控制器设计具体实现过程如下：
[0220] 步骤2.1：P(γ(1)i)(i∈I[1，N1])的求解
[0221] 定义集合 γ(1)i-1＜γ(1)i，i∈I[1，N1]，N1＝20，满足集T
合 的γ(1)i的选取可以任意设计，其中，x(0)＝[23.9566 010.00630] ，那么求得γ(1)0＝3.3384，选 γ(1)i选取的方法是：
[0222]
[0223] 矩阵P(γ(1)i)是下面参量Riccati方程的唯一对称正定解
[0224]
[0225] 令P(γ(1)i)＝W-1(γ(1)i)，那么解参量Riccati方程可转化为解参量Lyapunov方程(2-16)
[0226]
[0227] 步骤2.2：饱和非线性的处理
[0228] 假设在 t(2)0＝ 2.5s时 刻，γ(2)0＝ 3.3384，选 γ(2)i由式子解得。同理P(γ(2)i)由参量Lyapunov方程给出。
系统由1子系统切换到2子系统。可以定义当子系统发生切换时，第1子系统有如下N1＝
20个有界的集合：
[0229]
[0230] 当t∈[t(1)0，t(2)0)时，子系统1发生作用，系统(3)的控制器为如下形式[0231]
[0232] 对子系统1，取下面的Lyapunov函数
[0233]
[0234] 在t(2)0时刻，子系统1切换到子系统2。
[0235] 步骤2.3：给出子系统2的初值即瞬间切换的初始条件x(t(2)0)和γ(2)0的估计值[0236] 可以看出V(1)i-1(x(t))是时不变的，对V(1)i-1(x(t))求导，可知：对于i∈I[1，N1]，有
[0237]
[0238] 其中， i∈I[1，N1]。
[0239] 此时，可以得出，
[0240]
[0241] 令 可以得出
[0242]
[0243] 当子系统2的初值即瞬间切换的初始条件x(t(2)0)满足式子(2-19)时，可以得到γ(2)0的估计值
[0244]
[0245] 式子(2-19)和式子(2-20)保证了子系统2的初值在 椭球边界上，且满足[0246] 且
[0247] 第2个子系统设计一组嵌套的椭球，即N2＝10
[0248] 当切换到子系统2时，重复子系统1控制器的设计过程，那么当t∈[t(2)0，∞)时，系统(3)的控制器切换为下面形式的控制器
[0249]
[0250] 仿真效果如图4、图5、图6和图7所示，第一个子系统N1＝20，第二个子系统N2＝10，可以看出，第一个子系统的收敛时间是小于第二个子系统的，且整个切换系统是稳定的。从仿真效果图2和3可以看出，两个控制量均在要求的范围内。
[0251] 多平衡点切换系统的稳定性分析：
[0252] 当子系统2的初值即瞬间切换的初始条件x(t(2)0)满足式子(2-19)时，γ(2)0满足式子(2-20)时，可以看出对于的i∈I[1，N1]，当t∈[t(1)i-1，t(1)i)，状态x(t(1)i-1)从椭球 的边界指数收敛到 的边界，当 时， 从椭球的边界收敛到 的边界。
[0253] 针对第2个子系统设计一组嵌套的椭球，即N2＝10
[0254] 式子(2-19)和式子(2-20)保证了子系统2的初值在 椭球边界上。类似于子系统1的稳定性，对于子系统2，则有
[0255]
[0256] 其中，
[0257] 也就是说对于的i∈I[1，N2]，当t∈[t(2)i-1，t(2)i)时，状态x(t(2)i-1)从椭球的边界指数收敛到 的边界，当 时，状态指数收敛到原点，因此闭环系统(19)是指数稳定的。
