【技术领域】
[0001] 本
发明属于
计算机数控领域，尤其是涉及一种控制物体运动轨迹的插补方法。 【背景技术】
[0002] (1)插补的任务
[0003] 数控系统广泛应用于机械运动轨迹的控制，可以控制机床、
机器人、缝纫机、
焊接机等的运动轨迹。所需路径或轮廓线的“插补”是数控技术的关键。
[0004] 插补的任务就是在所需轨迹或说所需路径或轮廓线Q的二个已知点间插入若干个中间点，并确定所述中间点的
位置坐标值。
[0005] 插补所得结果将依次送给直线
插补器；对应一组相邻二点的位置坐标值，直线插补器产生一组分布均匀的脉冲序列，并通过步进
马达或伺服系统控制受控对象运动，产生一个直线段的运动轨迹。或者，插补所得结果直接以数值方式依次送给伺服系统，控制受控对象运动；对应一组相邻二点的位置坐标值，产生一个直线段的运动轨迹。受控对象整个运动轨迹将是一个由上述首尾相接的直线段构成的折线，折线的起点、终点、中间点与所需路径或轮廓线Q的对应起点、终点、中间点重合。换句话说，在所需路径或轮廓线Q的二个端点间插入若干个中间点，将曲线Q上相邻二点以直线段连接，这些首尾相接的直线段构成的折线就是受控对象的运动轨迹。
[0006] 插补的目的就是确定受控对象的运动轨迹，使之尽可能接近所需路径或轮廓线Q；或者说，插补的目的就是确定所述的折线，也即受控对象的运动轨迹，以此拟合所需路径或轮廓线Q，且拟合误差不超过允许值。
[0007] (2)现状
[0008] 对于常见的正弦曲线、椭圆、圆弧等所需路径或轮廓线，准确确定所述中间点位置坐标值的运算涉及三
角函数等比较复杂的计算。这样的计算，靠单片计算机很难完成，而由PC级计算机采用高级语言不难完成。在运动控制装置中，如果作为整个装置的控制核心配置PC级计算机，直接由之承担插补的实时运算将占用大量资源，从而影响整个装置工作；如果专为插补工作配置PC级计算机，将导致装置成本提高。
[0009] 当前，运动控制技术已广泛应用于各领域，甚至将进入普通家庭，如家用机器人等；基于现有插补方法的产品难以适应、满足市场的需求。
[0010] 可是，可以在单片计算机上快速、准确实现的插补方法，至今未见在公开资料上发表或在产品中使用。【发明内容】
[0011] 本发明的目的是针对正弦函数类所需路径或轮廓线，包括正弦曲线、椭圆曲线、圆弧曲线，提出一种通过算术运算的递推公式准确确定曲线中间点位置坐标值增量的插补方法。所述方法运算简单，对于同样的分段段数，完成运算所需时间少，相当于提高了插补运算速度；或者，在同等的运算时间内，允许增加曲线分段段数，从而提高折线拟合曲线的
精度。由于运算简单，这种方法可在单片计算机上实现，从而降低了插补器的成本。因此，这种插补方法速度快，精度高，装置成本低。
[0012] 本发明的目的是按如下技术方案实现的：
[0013] 1、本发明所述的一种数控插补方法，其所针对的所需路径或轮廓线Q的位置坐标ΩP(p＝1、2、3、……、mΩ)中包括有一个或若干个坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)，对应所述一个或若干个坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的坐标函数分别可以表示为以参数t为自变量、幅值分别为Hk(k＝1、2、3、……mΨ)、初始
相位分别为αk(k＝1、2、3、……、mΨ)、周期相同为(2π/ω)的正弦函数，其表达式为
[0014] ψk(t)＝Hksin(ωt+αk)，(k＝1、2、3、……、mψ)。(1-1)
[0015] 所述曲线Q对应坐标ψk(k＝1、2、3、……、mψ)的坐标函数指的是描述所述曲线Q上的点的位置坐标ψk(k＝1、2、3、……、mψ)变化的以参数t为自变量的函数。 [0016] 参数t可以是该曲线Q位置坐标ΩP(p＝1、2、3、……、mΩ)中的一个坐标，也可以是这些坐标之外的另一个参数。
[0017] 所述的所需路径或轮廓线Q指的是二个已知点间的曲线段。所述曲线Q各坐标函数的定义域相同，定义域的二个端点分别与曲线Q二个已知点对应着相同的t值。 [0018] 某一t值所对应的所需路径或轮廓线Q上的点的位置坐标值，就是同一t值所对应的所述坐标函数的函数值。针对所需路径或轮廓线Q的插补就是针对其坐标函数ΩP(t)(p＝1、2、3、……、mΩ)的插补，就是在其各个坐标函数ΩP(t)(p＝1、2、3、……、mΩ)的定义域二个端点间插入若干个中间点并确定所述中间点的坐标函数值。插补中确定的中间点将所述定义域分成分段，每个分段定义域将对应一个线性函数，所述各个分段定义域的端点所对应的线性函数值与坐标函数值相等，整个定义域将对应一个由各个分段定义域对应的线性函数组成的分段线性函数ψLk(t)(k＝1、2、3、……、mψ)，而坐标函数ψk(t)(k＝1、2、3、……、mψ)将以分段线性函数ψLk(t)(k＝1、2、3、……、mψ)拟合。 [0019]
申请人注意到，所述曲线Q二个端点间的中间点的位置坐标值，可依据与之相邻的前一个中间点或所述曲线Q的起点其位置坐标值与位置坐标值增量之和决定；因此，插补中确定了中间点的位置坐标值增量，也就确定了相应中间点的位置坐标值。或者说，插补中确定了定义域中间点坐标函数值增量，也就确定了定义域相应中间点的坐标函数值。 [0020] 针对坐标函数ψk(t)(k＝1、2、3、……、mψ)的插补，其步骤包括， [0021] (1)确定坐标函数ψk(t)(k＝1、2、3、……、mψ)定义域二个端点间的中间点，包括，
[0022] ①确定所述中间点所对应的参数t的值或其增量Δt的值，
[0023] ②确定所述中间点的个数，
[0024] (2)确定所述中间点的坐标函数值或其增量值，
[0025] (3)存储/输出运算结果。
[0026] 本发明提出的插补方法，其特征在于：
[0027] (1)将对应所述坐标ψk(k＝1、2、3、……、mψ)的各坐标函数ψk(t)(k＝1、2、3、……、mψ)定义域等分，以等分分段的交点作为定义域的中间点，
[0028] (2)所述中间点所对应的坐标函数值增量ΔΨk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)按下述公式确定，
[0029] ΔψΛ(tu+1)＝ΔψΛ(tu)cosΔTΛ+ΔΦΛ(tu)sinΔTΛ，(1-2)
[0030] ΔΦΛ(tu+1)＝ΔΦΛ(tu)cosΔTΛ-ΔψΛ(tu)sinΔTΛ，(1-3)
[0031] 式中，①ψΛ表示所述坐标ψk(k＝1、2、3、……、mψ)中的某个坐标，Λ为序号k(k＝1、2、3、……、mψ)中的某个序号，
[0032] ②u+1为坐标函数ΨΛ(t)定义域二个端点间的某个中间点的序号，u就是与之相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，
[0033] 以nΛ表示坐标函数ψΛ(t)定义域等分分段的段数，以iΛ(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)作为分段的序号，以iΛ(iΛ＝1、2、3、……、nΛ，nΛ+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及nΛ+1，二个端点间的中间点分别对应着序号iΛ(iΛ＝2、3、……、nΛ)，u+1就是序号iΛ(iΛ＝2、3、……、nΛ)中的某一个序号，u就是序号iΛ(iΛ＝1，2、3、……、nΛ)中与u+1相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，u+2就是序号iΛ(iΛ＝1，2、3、……、nΛ，nΛ+1)中与u+1相邻的后一个中间点或定义域终点的序号，
[0034] 所述定义域起点指的是与所需路径或轮廓线Q起点对应的定义域的端点，所述定义域终点指的是与所需路径或轮廓线Q终点对应的定义域的端点，
[0035] ③tu+1为坐标函数ψΛ(t)定义域二个端点间序号为u+1的中间点所对应的参数t的值，
[0036] tu为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的值，
[0037] tu+2为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的参数t的值，
[0038] t1为坐标函数ψΛ(t)定义域起点所对应的参数t的值，
[0039] t(nΛ+1)为坐标函数ψΛ(t)定义域终点所对应的参数t的值，
[0040] ④ΔTΛ为坐标函数ψΛ(t)定义域各等分分段起点所对应的参数t的等效增量，或说是坐标函数ψΛ(t)定义域中序号为iΛ(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)的点所对应的参数t的等效增量，或说是坐标函数ψΛ(t)定义域各等分分段所对应的参数t的等效增量，其数值为所述参数t的增量ΔτΛ的ω倍，是常数，
[0041] ΔTΛ＝ωΔτΛ＝常数，(1-4)
[0042]
[0043] (iΛ＝1、2、3、……、nΛ)，(1-5)
[0044] 其中，t(iΛ+1)(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)为序号为(iΛ+1)(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)的点对应的参数t的值，
[0045] t(iΛ)(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)为序号为iΛ(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)的点对应的参数t的值，
[0046] ⑤ΔΨΛ(tu+1)为坐标函数ΨΛ(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的坐标函数值增量，
[0047] ΔψΛ(tu+1)＝ψΛ(tu+2)-ψΛ(tu+1)，(1-6)
[0048] 其中，ψΛ(tu+2)为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的坐标函数值，
[0049] ψΛ(tu+1)为序号为u+1的中间点所对应的坐标函数值，
[0050] ⑥ΔψΛ(tu)为坐标函数ψΛ(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的坐标函数值增量，
[0051] ΔψδΛ(tu)＝ψΛ(tu+1)-ψΛ(tu)，(1-7)
[0052] 其中，ψΛ(tu+1)为序号为u+1的中间点所对应的坐标函数值，
[0053] ψΛ(tu)为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的坐标函数值，
[0054] ⑦ΔΦδΛ(tu+1)为坐标函数ΨΛ(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的虚拟坐标函数值增量，
[0055] ΔΦΛ(tu+1)＝ΦΛ(tu+2)-ΦΛ(tu+1)，(1-8)
[0056] 其中，ΦΛ(tu+2)为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的虚拟坐标函数值，
[0057] ΦΛ(tu+1)为序号为u+1的中间点所对应的虚拟坐标函数值，
[0058] ③ΔΦΛ(tu)为坐标函数ψΛ(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟坐标函数值增量，
[0059] ΔΦΛ(tu)＝ΦΛ(tu+1)-ΦΛ(tu)，(1-9)
[0060] 其中，ΦΛ(tu+1)为序号为u+1的中间点所对应的虚拟坐标函数值，
[0061] ΦΛ(tu)为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟坐标函数值，
[0062] ⑨sinΔTΛ为对应ΔTΛ的正弦函数值，cosΔTΛ为对应ΔTΛ的余弦函数值，上述⑦、⑧中所述的虚拟坐标函数ΦΛ(t)是为简化公式(1-2)、(1-3)的表述设定的函数，ψΛ(t)与ΦΛ(t)是一组具有相同幅值HΛ、相同周期(2π/ω)、相同初始相位αΛ及相同定义域的正弦函数与余弦函数，其表达式为
[0063] ΨΛ(t)＝HΛsin(ωt+αΛ)， (1-10) [0064] ΦΛ(t)＝HΛcos(ωt+αΛ)。(1-11)
[0065] 说明：
[0066] (1)参见图2，如果所需路径或轮廓线的位置坐标只包括了二个个坐标t和ψA，且坐标轴t和ψA构成了直角
坐标系tOψA，则所需路径或轮廓线就是平面tOψA上幅值为HA、初始相位为αA、周期为(2π/ω)的的正弦曲线段ZA。
[0067] (2)参见图5，以序号为A的坐标函数ψA(t)为例，坐标轴ψA和ΦA构成了虚拟直角坐标系ΦAOψA，坐标函数ψA(t)与虚拟坐标函数ΦA(t)在ΦAOψA虚拟平面上的图形即为圆心在坐标轴原点O、半径为HA的圆弧段CA。圆弧段CA上的点与圆心O的连线相对轴ΦA的夹角即为(ωt+αA)。坐标函数ΦA(t)定义域的端点与中间点对应着圆弧段CA相应的端点与中间点。图中CA是第一象限的圆弧段。
[0068] (3)公式(1-2)、(1-3)的依据是：
[0069] 参见图6，以序号为A的坐标函数ψA(t)为例，坐标函数ψA(t)定义域中序号为i(i＝2、3、……、n)的中间点对应着圆弧段CA上相应的中间点，这些中间点将圆弧段CA等分成序号为i(i＝1、2、3、……、n)n个分段。圆弧段CA的等分分段对应的圆心角即为ΔTA。以lA表示圆弧段CA一个分段的内接弦的长度，对应于tu有
[0070]
[0071]
[0072] 式中，ΔTA＝ωΔτA，(1-14)
[0073] 以u+1表示所述的某个中间点的序号，则
[0074]
[0075]
[0076]
[0077]
[0078]
[0079]
[0080] (4)对应所述坐标ψΛ的坐标函数ψΛ(t)其定义域等分分段起点所对应的参数t等效增量ΔTΛ的正弦函数值sinΔTΛ与余弦函数值cosΔTΛ，可按下述公式确定， [0081]
[0082]
[0083] 其 中 ，
[0084]
[0085] 式中，①v′+2为正整数，数值等于等式(1-17)右边部分的项数，
[0086] v′≥0，(1-21)
[0087] ②γ′的取值范围为
[0088] 0≤γ′≤ΔTΛ，(1-22)
[0089] ③v″+2为正整数，数值等于等式(1-18)右边部分的项数
[0090] v″≥0，(1-23)
[0091] ④γ″的取值范围为
[0092] 0≤γ″≤ΔTΛ。(1-24)
[0093] 按公式(1-17)、(1-18)确定sinΔTΛ、cosΔTΛ时，可以将RS、RC取值为0。sinΔTΛ、cosΔTΛ数值精度由舍去的RS、RC数值决定，而RS、RC数值由ΔTΛ及v′、v″决定。v′、v″的选择可参见
实施例。
[0094] 公式(1-17)、(1-18)的依据是：
[0095]
[0096]
[0097]
[0098]
[0099]
[0100]
[0101]
[0102] 其 中 ，
[0103]
[0104]
[0105]
[0106]
[0107]
[0108]
[0109]
[0110] 其 中 ，
[0111] (5)公式(1-2)、(1-3)中对应所述坐标ψΛ的坐标函数ψΛ(t)定义域起点的函数值增量ΔψΛ(t1)、ΔΦΛ(t1)，可按下述公式确定，
[0112] ΔψΛ(t1)＝ψΛ(t1)cosΔTΛ+ΦΛ(t1)sinΔTΛ-ψΛ(t1)，(1-27) [0113] ΔΦΛ(t1)＝ΦΛ(t1)cosΔTΛ-ψΛ(t1)sinΔTΛ-ΦΛ(t1)。(1-28) [0114] 其依据是：
[0115] ΔψΛ(t1)＝ψΛ(t1+Δt1)-ψΛ(t1)＝
[0116] ＝HΛsin(ω(t1+Δt1)+αΛ)-ψΛ(t1)＝
[0117] ＝HΛsin(ωt1+αΛ+ΔTΛ)-ψΛ(t1)＝
[0118] ＝HΛ[sin(ωt1+αΛ)cosΔTΛ+cos(ωt1+αΛ)sinΔTΛ]-ψΛ(t1)＝ [0119] ＝ψΛ(t1)cosΔTΛ+ΦΛ(t1)sinΔTΛ-ψΛ(t1)，(1-29) [0120] ΔΦΛ(t1)＝ΦA(t1+Δt1)-ΦΛ(t1)＝
[0121] ＝HΛcos(ω(t1+Δt1)+αΛ)-ΦΛ(t1)＝
[0122] ＝HΛcos(ωt1+αΛ+ΔTΛ)-ΦΛ(t1)＝
[0123] ＝HΛ[cos(t1+αΛ)cosΔTΛ-sin(t1+αΛ)sinΔTΛ]-ΦΛ(t1)＝ [0124] ＝ΦΛ(t1)cosΔTΛ-ψΛ(t1)sinΔTΛ-ΦΛ(t1)。(1-30) [0125] 2、如第1点所述的一种插补方法，其特点为：所述坐标Ψk(k＝1、……、mΨ)共有二个坐标Ψk(k＝1、2)或Ψ1、Ψ2，对应Ψ1、Ψ2的坐标函数Ψ1(t)、Ψ2(t)可以表示为一组幅值分别为H1、H2、周期相同为(2π/ω)、初始相位相同为α0的余弦函数与正弦函数，其表达式为
[0126]
[0127] ψ2(t)＝H2sin(ωt+α2)＝H2sin(ωt+α0)，(2-2)
[0128] 式 中 ，
[0129] α2＝α0。(2-4)
[0130] 坐标函数ψ1(t)、ψ2(t)具有相同的定义域。
[0131] 参见图7。如果所需路径或轮廓线的位置坐标只包括了二个个坐标ψ1和ψ2，且坐标轴ψ1和ψ2构成了直角坐标系ψ1Oψ2，则所需路径或轮廓线即为ψ1Oψ2平面上中心在坐标轴原点O的椭圆弧段ZE。图中ZE是一个第一象限的椭圆弧段。其在直角坐标系ψ1Oψ2下的曲线方程为
[0132]
[0133] 式中，H1和H2为椭圆的半轴。
[0134] 椭圆弧段ZE上的点与坐标轴原点O的连线相对ψ1轴的夹角即为(ωt+α0)。 [0135] 当H1＝H2＝R0，(2-6)
[0136] 所述的椭圆弧段ZE即成为半径为R0的圆弧段ZC。
[0137] 3、如第2点所述的一种插补方法，其特点为：
[0138] (1)对应所述坐标ψ1、ψ2的坐标函数ψ1(t)、ψ2(t)具有相同幅值R0，函数ψ1(t)、ψ2(t)的 表达式为
[0139]
[0140] ψ2(t)＝H2sin(ωt+α2)＝R0sin(ωt+α0)，(3-2)
[0141] 式中，H1＝H2＝R0，(3-3)
[0142]
[0143] α2＝α0，(3-5)
[0144] (2)对应所述坐标Ψ1、Ψ2的坐标函数Ψ1(t)、Ψ2(t)定义域等分为相同的nC个分段，或者说，坐标函数Ψ1(t)、Ψ2(t)定义域各分段起点对应相同的参数t的增量ΔτC或等效增量ΔTC，
[0145] n1＝n2＝nC，(3-6)
[0146] Δτ1＝Δτ2＝ΔτC，(3-7)
[0147] ΔT1＝ΔT2＝ΔTC。(3-8)
[0148] 由所述特点可知，
[0149] ①在按第1点所述的公式(1-2)、(1-3)确定坐标函数值增量时，对应于坐标函数ψ2(t)的虚拟坐标函数Φ2(t)就是坐标函数ψ1(t)，
[0150] Φ2(t)＝R0cos(ωt+α0)＝ψ1(t)，(3-9)
[0151] 因此，在确定Δψ1(t)、Δψ2(t)过程中，无需为ψ1(t)、ψ2(t)另设虚拟坐标函数。
[0152] ②如果所需路径或轮廓线的位置坐标只包括了二个个坐标ψ1和ψ2，且坐标轴ψ1和ψ2构成了直角坐标系ψ1Oψ2，则所需路径或轮廓线即为ψ1Oψ2平面上圆心在坐标轴原点O、半径为R0的圆弧段ZC。圆弧段ZC上的点与圆心O的连线相对轴ψ1的夹角即为(ωt+α0)。每个等分圆弧段所对应的圆心角为
[0153] ΔTC＝ωΔτC。(3-10)
[0154] 曲线在直角坐标系ψ1Oψ2下的方程为2 2 2
[0155] ψ1+ψ2 ＝R0。(3-11)
[0156] 所述圆弧段ZC可参见图5，ψ1、ψ2、R0、α0、t、ZC分别对应图中的ΦA、ψA、HA、αA、t、CA；图中CA是一个第一象限的圆弧段。
[0157] 4、如第1至3点中任何一点所述的一种插补方法，其特点为：对应所述坐标其坐标函数定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量的取值及坐标函数定义域等分分段段数的取值满足下述公式，
[0158]
[0159]
[0160] 式中，①ψA表示所述坐标中的某一个坐标，A是序号k(k＝1、2、3、……、mψ)中的某个序号，对应坐标ψA的坐标函数为
[0161] ψA(t)＝HAsin(ωt+αA)，(4-3)
[0162] ②ΔTA为坐标函数ψA(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量，其数值为所述参数t的增量ΔτA的ω倍，
[0163] ΔTA＝ωΔτA，(4-4)
[0164] ③n表示坐标函数ψA(t)定义域等分分段的段数，
[0165] ④t1为坐标函数ψA(t)定义域起点所对应的参数t的值，
[0166] tn+1为坐标函数ψA(t)定义域终点所对应的参数t的值，
[0167] ⑤|sin(ωt+αA)|MAX为对应坐标函数ψA(t)定义域|sin(ωt+αA)|的最大值， [0168] ⑥εA为以分段线性函数ψLA(t)拟合坐标函数ψA(t)的误差绝对值|δψL-A(t)|的允许值，
[0169] δψL＝A(t)＝ψLA(t)-ψA(t)，(4-5)
[0170] 对应坐标函数ψA(t)第i个分段定义域，所述的分段线性函数ψLA(t)表达式为 [0171]
[0172] 式中，(a)i(i＝1、2、3、……、n)为坐标函数ψA(t)定义域n个等分分段的序号，等分分段的交点就是定义域的中间点，以i(i＝1、2、3、……、n、n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的中间点分别对应着序号i(i＝2、3、……、n)，
[0173] (b)ti(i＝1、2、3、……、n、n+1)为坐标函数ψA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n、n+1)的点所对应的参数t的值，
[0174] (c)ΔΨA(ti)(i＝1、2、3、……、n)为坐标函数ΨA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的坐标函数值增量，
[0175] ΔψA(ti)＝ψA(ti+1)-ψA(ti)，(i＝1、2、3、……、n)，(4-7)
[0176] 其中，ψA(ti+1)(i＝1、2、3、……、n)为坐标函数ψA(t)定义域中与序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的坐标函数值，
[0177] ψA(ti)(i＝1、2、3、……、n)为坐标函数ψA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的坐标函数值。
[0178] 满足公式(4-1)、(4-2)的|ΔTA|、n取值，将使得所述的拟合误差|δψL-A(t)|不超过允许值εA，
[0179] 参见图2。如果所需路径或轮廓线的位置坐标只包括了二个个坐标t和ΨA，且坐标轴t和ΨA构成了直角坐标系tOΨA；则所需路径或轮廓线即为平面tOΨA上幅值为HA、初始相位为αA的正弦曲线段ZA。参见图3，分段线形函数ΨLA(t)的图形就是由正弦曲线段ZA的n个首尾相连的内接弦构成的折线ZLA。以ΨLA(t)拟合ΨA(t)，即相当于以折线ZLA拟合ZA。正弦曲线段ZA分段的交点即为需要设定的正弦曲线段ZA的中间点，i(i＝1、2、3、……、n、n+1)就是包括正弦曲线段ZA的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号。
[0180] 根据公式(4-1)、(4-2)确定|ΔTA|及n的取值的依据是：
[0181] (A)以ψLA(t)拟合ψA(t)的误差
[0182] ①以ψLA(t)拟合ψA(t)，其拟合误差记以δψL＝A(t)，
[0183] δΨL＝A(t)＝ΨLA(t)-ΨA(t)。 (4-8)
[0184] ②参见图2至图6。在tOΨA平面上，将ΨA(t)所对应的正弦曲线段ZA定义域分成序号为i(i＝1、2、3、……、n)的n个等分分段，在虚拟ΦAOΨA平面上，将ΨA(t)与ΦA(t)所对应的圆弧段CA分成相同的n个等分分段。序号相同的ZA分段端点与CA分段端点对应相同的t值，都是ti(i＝1、2、3、……、n、n+1)，ZA分段与CA分段对应相同的参数t的增量ΔτA或等效增量ΔTA。以ZA的内接弦构成的折线拟合ZA，其拟合误差为δΨL＝A(t)；以CA的内接弦构成的折线拟合CA，在中点处其对应坐标轴ΨA拟合误差等于内接弦径向误差在坐标轴ΨA上的投影值δHA，Ψ(tM)。图6中，以tM，u表示一个分段中点处的参数t的值，对应tM，u的所述径向误差绝对值在坐标轴上的投影值即为|δHA，Ψ(tM，u)|。 [0185] ③以CA的内接弦构成的折线拟合CA，其径向误差绝对值的最大值|δHA|发生在内接弦的中点tM处，且
[0186]
[0187] 其在坐标轴ψA上的投影为
[0188] |δHA，Ψ(tM)|＝|δHA|×|sin(ωtM+αA)|。 (4-10) [0189] ④相应地认为，一个分段内在中点tM处，以正弦曲线段ZA的内接弦拟合正弦曲线段ZA的误差绝对值|δψL-A(tM.)|也是最大；且|δψL-A(tM)|的值等于对应tM处|δHA|在坐标轴ψA上的投影，
[0190] |δΨL-A(tM.)|＝|δHA，Ψ(tM)|＝|δHA|×|sin(ωtM+αA)|。 (4-11) [0191] ⑤在定义域范围内，|δψL-A(tM.)|的最大值|δψL-A(tM.)|MAX为
[0192] |δψL-A(tM.)|MAX＝|δHA|×|sin(ωtM+αA)|MAX，(4-12)
[0193] 式中，|sin(ωtM+αA)|MAX为对应坐标函数ψA(t)定义域|sin(ωtM+αA)|的最大值，
[0194] 由于|ΔTA|或说|ΔτA|很小，可以认为
[0195] |sin(ωtM+αA)|MAX＝|sin(ωt+αA)|MAX，(4-13)
[0196] 式中，|sin(ωt+αA)|MAX为对应坐标函数ψA(t)定义域|sin(ωt+αA)|的最大值，
[0197] 因此，式(4-12)可以改写为
[0198] |δψL-A(tM.)|MAX＝|δHA|×|sin(ωt+αA)|MAX。(4-14)
[0199] (B)ΔTA、n的取值
[0200] ΔTA、n的取值应使得ΨLA(t)拟合ΨA(t)的误差绝对值|δΨL-A(t)|的最大值|δΨL-A(tM.)|MAX不超过允许值εA，
[0201] |δΨL-A(tM.)|MAX≤εA。 (4-15)
[0202] ①由公式(4-9)、(4-14)、(4-15)，坐标函数ψA(t)定义域等分分段对应的参数t的等效增量|ΔTA|的取值应满足下述公式，
[0203]
[0204] 或，所述参数t的增量ΔτA应满足
[0205]
[0206] |ΔTA|或|ΔτA|的最大允许取值为
[0207]
[0208] 或
[0209] ②坐标函数ψA(t)定义域等分分段段数n应满足下述公式，
[0210]
[0211] ③如果对坐标函数ψA(t)的任何可能的定义域，上述公式中的|sin(ωt+αA)|MAX都以1替换，
[0212] 则
[0213] |ΔTA|或|ΔτA|的最大允许取值为
[0214]
[0215] 或
[0216] 此时，对任何可能的定义域，都可做到ψLA(t)拟合ψA(t)的误差的绝对值|δψL-A(t)|不超过允许值εA。
[0217] 5、如第4点所述的一种插补方法，其特点为：对应所述坐标ψA确定ΔTA、n所应满足的公式中的正弦函数绝对值的最大值|sin(ωt+αA)|MAX以1替换。
[0218] 相应地，ΔTA及n的取值满足下述公式，
[0219]
[0220]
[0221] 满足公式(5-1)、(5-2)的|ΔTA|、n的取值，可以使得对任何可能的定义域，都可做到，以分段线性函数ψLA(t)拟合坐标函数ψA(t)的误差绝对值|δψL-A(t)|不超过允许值εA。
[0222] 6、如第1至3点或第5至9点中任何一点所述的一种插补方法，其特点为：对应所述坐标的坐标函数中
[0223] ω＝1。(6-1)
[0224] 也就是说，所述坐标对应的正弦坐标函数的周期为2π。此时，所述坐标对应的坐标函数定义域各等分分段起点所对应的参数t的等效增量，等于所述参数t的增量；以ψA表示各点所述坐标中的某一个坐标，则有
[0225] ΔTA＝ΔτA。(6-2)
[0226] 7、如第4点所述的一种插补方法，其特点为：对应所述坐标的坐标函数中 [0227] ω＝1。(7-1)
[0228] 也就是说，所述坐标对应的正弦坐标函数的周期为2π。此时，所述坐标函数ψA(t)定义域各等分分段起点所对应的参数t的等效增量ΔTA，等于所述参数t的增量ΔτA，
[0229] ΔTA＝ΔτA。(7-2)
[0230] 值得注意的是，如果一个坐标函数是由若干个函数之和构成，则该坐标函数的插补结果等于构成该坐标函数的各个函数各自的插补结果之和。特别是构成该坐标函数的某个函数如果是常量，则该常量不会影响该函数的增量值。此外，所需路径或轮廓线其所在的直角坐标系坐标轴平移时，也不影响其位置坐标值增量的数值。
[0231] 本发明的有益效果为：本发明针对正弦函数类所需路径或轮廓线，包括正弦曲线、椭圆曲线、圆弧曲线，提出一种通过算术运算的递推公式准确确定曲线中间点位置坐标值增量的插补方法。所述方法运算简单，对于同样的分段段数，完成运算所需时间少，相当于提高了插补运算速度；或者，在同等的运算时间内，允许增加曲线分段段数，从而提高折线拟合曲线的精度。由于运算简单，这种方法可在单片计算机上实现，从而降低了插补器的成本。因此，这种插补方法速度快，精度高，装置成本低。【
附图说明】
[0232] 图1是本发明的坐标函数ψΛ(t)插补的程序
流程图，
[0233] 图2是本发明的正弦曲线示意图，
[0234] 图3是本发明的分段线性函数示意图，
[0235] 图4是本发明的正弦曲线段局部示意图，
[0236] 图5是本发明的圆弧曲线示意图，
[0237] 图6是本发明的圆弧曲线局部示意图，
[0238] 图7是本发明的椭圆曲线示意图。【具体实施方式】
[0239] 一、参见图1，这是针对坐标函数ψΛ(t)插补的程序流程图。所述的坐标函数为 [0240] ψΛ(t)＝HΛsin(ωt+αΛ)，(J1-1)
[0241] 程序由步骤(1)至步骤(8)组成：
[0242] (1)确定坐标函数ψΛ(t)定义域起点及中间点所对应的参数t的等效增量ΔTΛ，其数值为所述参数t的增量ΔτΛ的ω倍，是常数，
[0243] ΔTΛ＝ωΔτΛ＝常数，(J1-2)
[0244] (2)确定坐标函数ψΛ(t)定义域中间点的个数nΛ-1，以iΛ(iΛ＝1、2、3、……、nΛ、nΛ+1) 表示包括定义域端点与中间点在内的点的序号，中间点的序号为iΛ(iΛ＝2、3、……、nΛ)，
[0245] (3)初始化iΛ值，即将iΛ设置为2，
[0246] 2→iΛ，(J1-3)
[0247] (4)确定序号为iΛ的中间点所对应的坐标函数值增量ΔψΛ(t)的值， [0248] (5)存储/输出运算结果，
[0249] (6)判定
[0250] iΛ＝nΛ？(J1-4)
[0251] 若iΛ≠nΛ，表明插补尚未完成，则转至步骤(7)，
[0252] 若iΛ＝nΛ，则转至步骤(8)，
[0253] (7)将iΛ加1，并保存，
[0254] iΛ+1→iΛ，(J1-5)
[0255] 再转至步骤(4)，继续进行插补，
[0256] (8)插补完成。
[0257] 二、参见图2，这是正弦曲线示意图。在直角坐标系tOψA下的一个幅值为HA、初始相位为αA的正弦曲线QA，其坐标函数为
[0258] ψA(t)＝HAsin(ωt+αk)。(J2-1)
[0259] 对应于所需路径或轮廓线，坐标函数ψA(t)定义域为[t1，tn+1]，该定义域对应的正弦曲线段记以ZA。
[0260] 三、参见图3，这是等分分段线性函数示意图。在直角坐标系tOψA下的正弦曲线段ZA，其坐标函数为
[0261] ψA(t)＝HAsin(ωt+αk)，(J3-1)
[0262] n是坐标函数ψA(t)定义域的等分分段数。正弦曲线段ZA的n个等分分段的内接弦构成折线ZLA，相应的分段线性函数ψLA(t)为
[0263]
[0264] (i＝1、2、3、……、n)，(J3-2)
[0265] 式中，①i(i＝1、2、3、……、n)是坐标函数ψA(t)定义域n个等分分段的序号，等分分段的交点就是定义域的中间点，以i(i＝1、2、3、……、n、n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的中间点分别对应着序号i(i＝2、3、……、n)，
[0266] ②ti(i＝1、2、3、……、n、n+1)是坐标函数ψA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n、n+1)的点所对应的参数t的值，
[0267] t1是坐标函数ψA(t)定义域起点所对应的参数t的值，
[0268] tn+1是坐标函数ψA(t)定义域终点所对应的参数t的值，
[0269] [t1、tu+1]是坐标函数ψA(t)的定义域，
[0270] ③ΔτA是坐标函数ΨA(t)定义域各等分分段起点所对应的参数t的增量，ΔτA的ω倍等于所述参数t的等效增量ΔTA，
[0271] ΔTA＝ωΔτA＝常数， (J3-3)
[0272] ④ΔψA(ti)(i＝1、2、3、……、n)是坐标函数ψA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的坐标函数值的增量，
[0273] ΔψA(ti)＝ψA(ti+1)-ψA(ti)，(i＝1、2、3、……、n)，(J3-4)
[0274] 其中，ψA(ti+1)(i＝1、2、3、……、n)是坐标函数ψA(t)定义域中与序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的坐标函数值，
[0275] ψA(ti)(i＝1、2、3、……、n)是坐标函数ψA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的坐标函数值。
[0276] 四、参见图4，这是正弦曲线段局部示意图。示意图表示相应于定义域[t1，tn+1]的一个分段，正弦曲线段ZA与由ZA内接弦构成的折线ZLA之间的关系。图中以u表示所示分段的序号，该分段对应的参数t的区间为[tu，tu+1]，[tu，tu+1]的中点以tM，u表示，ψA(tM，u)、ψLA(tM，u)分别是对应于tM，u函数ψA(t)、ψLA(t)的值，δψL-A(tM，u)是对应于点tM，u以ψLA(t)拟合ψA(t)的误差δψL＝A(t)，
[0277] δψL-A(tM，u)＝ψLA(tM，u)-ψA(tM，u)。(J4-1)
[0278] 五、参见图5，这是圆弧曲线示意图。在直角坐标系ΦAOψA下的一个圆心在坐标轴原点O、半径为HA的圆弧曲线QC，其曲线方程为
[0279] ΦA2+ψA2＝HA2。(J5-1)
[0280] 曲线的坐标函数为
[0281] ψA(t)＝HAsin(ωt+αA)，(J5-2)
[0282] ΦA(t)＝HAcos(ωt+αA)。(J5-3)
[0283] 圆弧QC上的点与圆心O的连线相对轴ΦA的夹角即为(ωt+αA)。
[0284] 坐标函数ψA(t)、ΦA(t)定义域为[t1，tn+1]，该定义域对应的圆弧曲线段记以CA；图中CA是一个第一象限的圆弧段。
[0285] 六、参见图6，这是圆弧曲线局部示意图。示意图表示圆弧段CA在第一象限的一个分段与其内接弦之间的关系。
[0286] ①表明以圆弧段CA内接弦构成的折线拟合圆弧段CA的关系。
[0287] ②以tM，u表示一个分段中点处的参数t的值，对应tM，u，所述CA内接弦拟合CA的径向误差绝对值在坐标轴ΨA上的投影值即为|δHA，Ψ(tM，u)|。
[0288] ③圆弧段CA的等分分段对应的圆心角为ΔTA。以lA表示圆弧段CA一个分段的内接弦的长度，对应于tu有
[0289]
[0290]
[0291] 式中，ΔTA＝ωΔτA。(J6-3)
[0292] 七、参见图7，这是椭圆曲线示意图。在直角坐标系ψ1Oψ2下的中心在坐标轴原点O的椭圆曲线QE，其曲线方程为
[0293]
[0294] 式中：H1和H2为椭圆的半轴。
[0295] 曲线的坐标函数为
[0296]
[0297] ψ2(t)＝H2sin(ωt+α2)＝H2sin(ωt+α0)，(J7-3)
[0298] 式中，
[0299] α2＝α0，(J7-5)
[0300] 椭圆曲线QE上的点与坐标轴原点O的连线相对ψX轴的夹角即为(ωt+α0)。坐标函数ψ1(t)、ψ2(t)定义域所对应的椭圆曲线段记以ZE，图中ZE是一个第一象限椭圆弧段。
[0301] 八、实施例
[0302] 所需路径或轮廓线是在直角坐标平面ψXOψY上的圆心在坐标轴原点O、半径为R0的第一象限圆弧段ZC，其曲线方程为
[0303] ψX2+ψY2＝R02。(L-1)
[0304] 曲线的坐标函数为
[0305] ψX(t)＝R0cost，(L-2)
[0306] ψY(t)＝R0sint，(L-3)
[0307] R0＝50000。(L-5)
[0308] 圆弧段ZC上的点与圆心O的连线相对轴ψX的夹角即为参数t。
[0309] 要求以折线拟合圆弧段ZC的最大径向误差绝对值不超过εC，
[0310] εC＝0.5。(L-6)
[0311] 参见图5，ΨX、ΨY、R0、t、ZC分别对应图中的ΦA、ΨA、HA、ωt、CA。 [0312] 以圆弧段ZC等分分段的内接弦拟合圆弧段ZC。其插补过程如下：
[0313] 1、确定内接弦对应的圆心角ΔTC与圆弧段ZC的分段
[0314] (1)确定ΔTC
[0315] 将圆弧段ZC等分，以ΔTC表示圆弧段ZC各等分分段起点所对应的参数t的等效增量，ΔTC也就是圆弧段ZC内接弦对应的圆心角。对于本例，ΔTC等于所述参数t的增量ΔτC，
[0316] ΔTC＝ΔτC。(L-7)
[0317] 如果要求ZC内接弦拟合ZC的径向误差绝对值的最大值|δR0|不超过0.5，则 [0318]
[0319] 相应地，
[0320]
[0321] 取ΔTC＝0.00894。(L-10)
[0322] (2)确定圆弧段ZC分段
[0323] 依据式(L-10)确定的ΔTC值对圆弧段ZC进行分段，其分段段数理论值应为 [0324]
[0325] 分段段数只能是整数，取分段段数的实际值为
[0326] nC＝176。(L-12)
[0327] 相应的ΔTC取值为
[0328]
[0329] 此时，拟合的径向误差误差绝对值的最大值
[0330]
[0331] 2、确定坐标函数定义域中间点的位置坐标值
[0332] 以iC(iC＝1、2、3、……、176、177)表示构成拟合圆弧ZC的折线的176个内接弦的起点及最后一个内接弦的终点在内的各点的序号，也就是坐标函数ψX(t)、ψY(t)定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及177，二个端点间的中间点分别对应着序号
[0333] iC＝2、3、……、176。(L-15)
[0334] (1)当iC＝1，即圆弧段ZC起点，其位置坐标值为已知
[0335] ψX，1＝R0＝50000，(L-16)
[0336] ψY，1＝0。(L-17)
[0337] (2)当iC＝2～175，以v+1表示iC(iC＝2、3、……、nC-1)中的某个中间点的序号，v代表与之相邻的前一个点的序号.，根据第3点的说明可知，ψX(t)可视为ψY(t)的虚拟坐标函数，因此，可根据公式(1-2)、(1-3)确定圆弧段各中间点的坐标函数值增量， [0338] ΔψX(tV+1)＝ΔψX(tV)cosΔTC-ΔψY(tV)sinΔTC，(L-18)
[0339] ΔψY(tV+1)＝ΔψY(tV)cosΔTC+ΔψX(tV)sinΔTC。(L-19)
[0340] 相应的各中间点的位置坐标值ψX(th+1)、ψY(th+1)由下式确定
[0341] ψX(tV+1)＝ψX(tV)+ΔψX(tV)，(L-20)
[0342] ψY(tV+1)＝ψY(tV)+ΔψY(tV)。(L-21)
[0343] 式(L-18)、(L-19)中，
[0344] ①根据公式(1-17)、(1-18)，sinΔTC、cosΔTC可按下式确定，
[0345]
[0346]
[0347] ②根据公式(1-27)、(1-28)，圆弧段ZC起点的位置坐标值增量ΔψX(t1)、ΔψY(t1)可按下式确定，
[0348] ΔψX(t1)＝＝ψX，1cosΔTC+ψY，1sinΔTC-ψX，1，(L-24)
[0349] ΔψY(t1)＝＝ψY，1cosΔTC-ψX，1sinΔTC-ψY，1。(L-25)
[0350] (3)当iC＝176，即对应最后一个中间点，其相应的位置坐标值增量ΔψX，176、ΔψY，176无需计 算，因为最后一个内接弦的终点即所需圆弧段ZC的终点，其位置坐标值已给定，
[0351] ψX，177＝0，(L-26)
[0352] ψY，177＝50000。(L-27)
[0353] 由于第一象限的1/4圆弧相对角ψXOψY的平分线是对称的；因此，插补可以只针对圆心角为0～π/4部分的圆弧进行就可以了。圆心角为π/4～π/2部分的圆弧的位置坐标值或其增量可利用所述的对称性获得，计算量可以节省50％。
