技术领域
[0001] 本
发明属于自动化领域，涉及耦合分数阶混沌机电装置的最优同步控制方法；
背景技术
[0002] 微
机电系统广泛应用于
搅拌机、
振动筛、振动锤及各种装置的铣、缝、捣固
压实等领域。取决于机电装置的应用场合，与生产率相关的机电装置的混沌振荡具有正反作用。对于人们所关心的同步控制问题，以最优性驱动多个机电
耦合器件周期性或混沌地完成给定的任务是非常有挑战性意义的。
[0003] 为了揭示机电装置的动态特性并促进后续的同步控制，提供前人的研究成果并区分拟开展的研究工作。Tausiff等人分析了边缘静电驱动的拱形微
电子机械系统的动态特性。Ngueueu等人结合电容的分数阶特性，研究了耦合机电装置的动
力学和同步分析。Polo和Molina提出了平衡环中
陀螺仪的数学模型，并研究了陀螺仪系统的动态行为和具有约束积分作用PID
控制器的反馈控制。Siewe等人使用多尺度方法研究了自持式机电
地震仪的非线性响应，并设计了一种鲁棒的反馈控制器来耗散
能量。然而，它们以整数阶形式表示的控制方程只是任意阶动态系统的狭窄子集，并且这些控制方案过分依赖于已知的动力学和匹配条件。
[0004] 自从分数阶微积分被引入非线性系统建模和控制以来，动力学系统的同步控制已成为一个热
门话题。Chen等人解决了分数阶混沌系统在输入饱和和外界干扰下的同步控制问题。Taghvafard和Erjaee提出了基于主动控制的同异分数阶混沌系统
相位同步和反
相位同步方案。Wang等人解决了具有时滞的分数阶混沌系统混合投影同步控制问题。然而，在他们的方案中，从动系统和
主动系统之间的参数不确定性和耦合连接被忽略了，这导致在机电装置的应用狭窄。为了应对上述未知的动力学问题，将许多有效的工具，例如
模糊逻辑，神经网络和模糊神经网络，用于任意阶连续系统的反馈控制。但是，当超混沌系统具有高维非线性函数时，通用逼近器会遇到诸如
精度之类的障碍。
[0005] 现在，反推法控制已广泛应用于不确定非线性系统的控制。一些研究人员已经将逼近器和反推法控制扩展到分数阶系统的反馈控制。值得注意的是米塔格-莱弗勒函数和连续
频率分布模型在分数阶控制器设计和
稳定性分析中起着关键作用。然而，随着系统阶数的增加常规的反推法控制面临着复杂性爆炸的问题。零和微分博弈问题普遍存在，如何近似哈密顿-雅可比-
艾萨克斯方程的解以获得纳什平衡解变得非常棘手。Vamvoudakis等人采用基于玩家轨迹测量数据的
强化学习求解多人博弈问题。Modares等人提出了约束输入系统的积分强化学习和H∞控制方案，以解决零和差分博弈。然而，这些方法对于整数阶系统的最优控制而不是耦合分数阶混沌机电装置的同步控制是有效的。因此，如何为耦合分数阶混沌机电装置设计一个最优的同步方案仍然是一个悬而未决的问题。
发明内容
[0006] 有鉴于此，本发明的目的在于提供一种耦合分数阶混沌机电装置的最优同步控制方法。
[0007] 为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：
[0008] 耦合分数阶混沌机电装置的最优同步控制方法，该方法包括以下步骤：
[0009] S1：系统建模与控制问题
[0010] 整数阶机电装置由线性机械
振荡器和杜芬五次电子振荡器组成，其中这两个部分通过电
磁场耦合；机械部分是由一个移动梁组成，沿Z轴两侧移动；电气部分由
电阻，非线性电容器和电感器组成，它们之间通过正弦
电压源连接；根据第二
牛顿定律和基尔霍夫定律，机电装置的数学模型表示为
[0011]
[0012] 其中Le,Re,C0,v0和ω'分别表示电感、电阻、电容、振幅和频率，a3和a5表示与电容相关的系数，m,η,ke,l和B分别表示
质量、粘滞
摩擦系数、弹性
刚度系数、动圈长度和
密度磁通量；
[0013] 来源于各种
电介质和功率传输的
电流、电压之间的耦合使机电装置存在分数阶特性；将(1)扩展为分数阶模型：
[0014]
[0015] 其中，
[0016]t＝ωeτ, x＝q/Q0,y＝z/l,α和C表示满足0<α<1的分数阶值和卡普托分数阶导
数；
[0017] 给出耦合分数阶机电装置的两组物理参数：
[0018] 工况1:γ1＝0.01,γ2＝0.1,ζ1＝0.2,ζ2＝0.4,β1＝0.95,β2＝0.1,ω2＝1和ω＝1.65,
[0019] 工况2:γ1＝0.05,γ2＝0.1,ζ1＝0.2,ζ2＝0.4,β1＝0.75,β2＝0.5,ω2＝0.5和ω＝1.65.
[0020] 利用基尔霍夫定律，将从动耦合分数阶机电装置的数学模型写成
[0021]
[0022] 其中K1＝C0/Cv和K2＝Rv/(Leωe)表示电容和电阻耦合,Ui,i＝2,4表示控制输入,H(t-t0)和t0表示Heaviside函数和开始时间；
[0023] 启动同步控制，从动分数阶机电装置将更改其组态，以实现与主动耦合分数阶机电装置在同一轨道上的循环运行；定义同步误差
[0024] e1＝u-x,e3＝v-y. (4)
[0025] 定义 和 将(2)代入(3)，得到
[0026]
[0027] 定义1：给出函数F(t)的卡普托分数阶导数和积分
[0028]
[0029]
[0030] 其中Γ(n-α)表示伽玛函数，等于 n-1＜α＜n和
[0031] 对(6)进行Laplace变换
[0032]
[0033] 如果F(k)(t)＝0,k＝0,1,…,max(pα,pβ)与pα,pβ＞0,有
[0034]
[0035] 定义成本函数
[0036]
[0037] 其中Q(S)＞0,S和U'表示惩罚函数，
跟踪误差和正定函数，U'定义为
[0038]
[0039] 其中Ro和λo表示对称正定矩阵和正常数；
[0040] S2：最优同步控制器设计
[0041] 由
输入层、隶属度层、规则层、降阶层和
输出层五层组成的递阶2型模糊神经网络在学习、函数逼近和容错方面具有较强的学习能力；在隶属度层，上、下层高斯隶属度函数写为
[0042]
[0043] 其中 和 分别表示第i个输入对应的第j个隶属度层的中心、上宽和下宽；
[0044] 在规则层中，计算与模糊规则相关联的上、下映射规则：
[0045]
[0046] 在降阶层，Yr和Yl是根据集合中心强度定义的
[0047]
[0048] 其中 和 表示结论参数，Tj和 表示上、下映射规则，M表示规则数目，和
[0049] 在输出层，给出矢量形式的解模糊输出
[0050]
[0051] 有w≡[wr wl],
[0052]
[0053]
[0054] ξ≡[ξr ξl],
[0055]
[0056]
[0057] 调用(15)，通过使用满足条件的递阶2型模糊神经网络，在紧凑集上近似未知但有界的函数h
[0058]
[0059] 其中 N表示输入的数目,ε(X)＞0表示近似误差,Ωw和DX分别表示w和X的适当界的紧集；令最优参数w*等于 其中w*
表示一个虚构量，用于分析目的；存在 其中
[0060] 定义新的误差变量
[0061] Si＝ei,Si+1＝ei+1-αi+1,i＝1,3, (17)
[0062] 其中αi+1表示虚拟控制；
[0063] 根据分数阶反推法控制的设计思想，自适应前馈控制器包括四个步骤；
[0064] 步骤1：考虑第一个Lyapunov函数
[0065]
[0066] 计算V1的导数得到
[0067]
[0068] 然后虚拟控制推导为
[0069] α2＝-k1S1, (20)
[0070] 其中k1表示正常数；
[0071] 将(20)代入到(19)，得到
[0072]
[0073] 步骤2：选择第二个Lyapunov函数
[0074]
[0075] V2的分数阶导数计算为
[0076]
[0077] 其中
[0078] 表示一个连续函数，
[0079] h2＝[β1(u2+ux+x2)+β2(u4+u3x+u2x2+ux3+x4)+1+K1H(t-t0)]·(-e1)-(γ1+K2H(t-t0))e2-ζ1e4和
[0080] 在运行过程中，耦合的分数阶机电装置不可避免地受到内部和外部干扰的影响；项被视为未知函数；为简化控制器设计并解决控制问题，使用(15)中定义的递阶2型模糊神经网络在紧凑集上近似 即
[0081]
[0082] 其中(·)表示(e1,e2,e3,e4)的缩写；
[0083] 为提高在线计算效率，实现控制目标，给出与递阶2型模糊神经网络相关的方程变换
[0084]
[0085] 其中ζ2＝||w2||2和b2表示权重和正常数；取权重误差为 得出
[0086] (23)被重写为
[0087]
[0088] 给出具有更新律的控制输入
[0089]
[0090]
[0091] 其中k2表示正常数；
[0092] 将(27)和(28)代入到(26)中得到
[0093]
[0094] 步骤3：考虑第三个Lyapunov函数 设计虚拟控制为
[0095] α4＝-k3S3, (30)
[0096] 其中k3表示正常数；
[0097] 根据(29)和(30)，V3的导数计算为
[0098]
[0099] 步骤4：选择第四个Lyapunov函数
[0100]
[0101] 对V4进行求导
[0102]
[0103] 其中 表示连续函数, 和 对于未知项采用在(15)中定义的递阶2型模糊神经网络在紧集合上逼近它，即
[0104]
[0105] 其中ζ4＝||w4||2和b4表示权重和正常数；
[0106] (33)进一步简化
[0107]
[0108] 控制输入和更新律设计如下
[0109]
[0110]
[0111] 其中k4表示正常数；
[0112] 根据(36)和(37)，(35)被进一步推导为
[0113]
[0114] 其中 ks＝min{k 1k 2 k 3 k4},和
[0115] 根据(38)，考虑下列零和微分博弈问题为
[0116]
[0117] 其中最优控制输入满足约束条件 G表示四阶辨识矩阵；
[0118] 调用(10)，定义(39)的哈密顿函数
[0119]
[0120] 其中▽J表示 的梯度；
[0121] 借助于哈密顿-雅可比-艾萨克斯理论，通过求解 来获得最优成本函数；推导最优控制输入为
[0122]
[0123] 其中
[0124] 将(41)代入(40)，哈密顿-雅可比-艾萨克斯方程重写为
[0125]
[0126] 定理1：给定具有成本函数(10)和最优控制(41)的受控系统(39)，存在一个连续可导且无边界的Lyapunov函数候选Ja满足 其中▽Ja表示 的偏导数；引入一个对称正定矩阵Λ，使得
[0127] 首先要获取哈密顿-雅可比-艾萨克斯方程的解；然而，未知的系统动力学项h会增加求解方程式的难度；使用递阶2型模糊神经网络根据值函数近似值来逼近成本函数
[0128]
[0129] 给出(43)的偏导数
[0130]
[0131] 使用泰勒展开式，进一步推导最优控制输入和哈密顿-雅可比-艾萨克斯方程
[0132]
[0133] 和
[0134]
[0135] 其中 和
[0136] 由于递阶2型模糊神经网络的权重未知，因此采用当前已知的权重将其代替
[0137]
[0138] 其中 和 表示J和wo的估计值；此外，权重近似误差满足
[0139] 调用(47)，最优控制输入为
[0140]
[0141] 其中
[0142] 备注3：基于(48)，控制
信号始终不会违反约束条件，并且很好地解决执行器饱和的问题；
[0143] 近似哈密顿函数写为
[0144]
[0145] 调用(40)，希望选择 使得目标函数 最小化；显然，仅调整eo不能保证受控系统的稳定性；然后构建与递阶2型模糊神经网络相关的权重更新律
[0146]
[0147] 其中 ko表示设计常数,z1和z2表示具有适当尺度的调谐参数， 表示一个算符：
[0148]
[0149] S3：稳定性分析
[0150] 定理2：考虑具有成本函数(10)的耦合分数阶机电装置(5)最优同步控制问题。将具有自适应律(28)，(37)的自适应前馈控制输入设计为(27)，(36)。如果最优反馈控制输入选择为(48)，且设计与递阶2型模糊神经网络相关联的更新律(50)，则以下结论成立：
[0151] 3)所有信号包括系统状态和自适应参数都是有界的，
[0152] 4)实现了主、从动系统同步，最小
化成本函数；
[0153] 证明：考虑整个Lyapunov函数
[0154]
[0155] 计算(52)的分数阶导数
[0156]
[0157] 其中表示 的最小特征值，
[0158] 根据(51)，在两种情况中讨论(53)；
[0159] 情况1： 得到一个正常数θ满足 然后(53)进一步推导为
[0160]
[0161] 很明显，只要以下条件之一得到满足，则 成立
[0162]
[0163] 或
[0164]
[0165] 或
[0166]
[0167] 情况2: 有
[0168]
[0169] 其中λmin(Λ)表示Λ的最小特征值，
[0170] 如果下列条件之一成立
[0171]
[0172] 或
[0173]
[0174] 或
[0175]
[0176] 根据情况1-2，当条件满足||χ||＞max{A1,A2},||▽Ja||＞max{B1,B2}或得到 的结论。
[0177] 本发明的有益效果在于：融合递阶2型模糊神经网络、自适应动态规划方法、反推法和零和微分博弈策略到耦合分数阶混沌机电装置最优同步控制方法中拓宽了机电系统同步控制的应用范围，求解约束哈密顿-雅可比-艾萨克斯方程的解，避免分数阶微分项的系数爆炸问题，补偿系统未知动态项的影响，保证
闭环系统的渐近稳定性，实现最优同步，而且使成本函数最小。
[0178] 本发明的其他优点、目标和特征在某种程度上将在随后的
说明书中进行阐述，并且在某种程度上，基于对下文的考察研究对本领域技术人员而言将是显而易见的，或者可以从本发明的实践中得到教导。本发明的目标和其他优点可以通过下面的说明书来实现和获得。
附图说明
[0179] 为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作优选的详细描述，其中：
[0180] 图1为工况1下耦合分数阶机电装置在不稳定域中的动态行为；
[0181] 图2为工况2下耦合分数阶机电装置在不稳定域中的动态行为；
[0182] 图3为耦合分数阶机电装置的同步示意图；
[0183] 图4为具有不同耦合系数的主、从动分数阶机电装置的动态行为，其中主、从动系统的参数；
[0184] 图5为递阶2型模糊神经网络的示意图；
[0185] 图6为在第25秒前后，主、从分数阶机电装置之间的不同步和同步结果；
[0186] 图7为第20秒前后的主、从分数阶
电机装置之间的不同步和同步误差变量；
[0187] 图8为当最优同步控制方法在第20秒介入耦合分数阶机电装置时,与递阶2型模糊神经网络相关的权重自适应过程；
[0188] 图9为从一开始就介入最优同步时，耦合分数阶机电装置的整体控制输入和最优控制输入；
[0189] 图10为在电容和电阻耦合变化下且与哈密顿函数相关变量e0的结果；
[0190] 图11为本发明方案的控制原理图。
具体实施方式
[0191] 以下通过特定的具体实例说明本发明的实施方式，本领域技术人员可由本说明书所揭露的内容轻易地了解本发明的其他优点与功效。本发明还可以通过另外不同的具体实施方式加以实施或应用，本说明书中的各项细节也可以基于不同观点与应用，在没有背离本发明的精神下进行各种修饰或改变。需要说明的是，以下
实施例中所提供的图示仅以示意方式说明本发明的基本构想，在不冲突的情况下，以下实施例及实施例中的特征可以相互组合。
[0192] 其中，附图仅用于示例性说明，表示的仅是示意图，而非实物图，不能理解为对本发明的限制；为了更好地说明本发明的实施例，附图某些部件会有省略、放大或缩小，并不代表实际产品的尺寸；对本领域技术人员来说，附图中某些公知结构及其说明可能省略是可以理解的。
[0193] 本发明实施例的附图中相同或相似的标号对应相同或相似的部件；在本发明的描述中，需要理解的是，若有术语“上”、“下”、“左”、“右”、“前”、“后”等指示的方位或
位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此附图中描述位置关系的用语仅用于示例性说明，不能理解为对本发明的限制，对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语的具体含义。
[0194] 1.系统建模与控制问题提出
[0195] 整数阶机电装置由线性机械振荡器和杜芬五次电子振荡器组成，其中这两个部分通过
电磁场耦合。机械部分是由一个移动梁组成，它可沿Z轴两侧移动。电气部分由电阻，非线性电容器和电感器组成，它们之间通过正弦电压源连接。根据第二牛顿定律和基尔霍夫定律，机电装置的数学模型表示为
[0196]
[0197] 其中Le,Re,C0,v0和ω'分别表示电感、电阻、电容、振幅和频率，a3和a5表示与电容相关的系数，m,η,ke,l和B分别表示质量、粘滞摩擦系数、弹性刚度系数、动圈长度和密度磁通量。
[0198] 来源于各种电介质和功率传输的电流、电压之间的耦合使机电装置存在分数阶特性。将(1)扩展为分数阶模型：
[0199]
[0200] 其中，
[0201]t＝ωeτ, x＝q/Q0,y＝z/l,α和C表示满足0<α<1的分数阶值和卡普托分数阶导
数。
[0202] 给出耦合分数阶机电装置的两组物理参数：
[0203] 工况1:γ1＝0.01,γ2＝0.1,ζ1＝0.2,ζ2＝0.4,β1＝0.95,β2＝0.1,ω2＝1和ω＝1.65,
[0204] 工况2:γ1＝0.05,γ2＝0.1,ζ1＝0.2,ζ2＝0.4,β1＝0.75,β2＝0.5,ω2＝0.5和ω＝1.65.
[0205] 图1-2给出了两种工况下不稳定区域中不同E0和α的耦合分数阶机电装置
相图。它的运动表现出准周期行为和周期T振荡，影响系统的稳定运行。
[0206] 在图3中，建立与电容和电阻
串联的主、从分数阶机电装置同步模型。利用基尔霍夫定律，将从动耦合分数阶机电装置的数学模型写成
[0207]
[0208] 其中K1＝C0/Cv和K2＝Rv/(Leωe)表示电容和电阻耦合,Ui,i＝2,4表示控制输入,H(t-t0)和t0表示Heaviside函数和开始时间。
[0209] 备注1：主、从动分数阶机电装置在多重稳定条件下，遇到外部激励后，会出现具有稳定谐波振荡的滞后现象。另外，主、从动系统都有各自的吸引盆，并在不同的轨道上循环运动。同步控制的目的是迫使从动系统以高精度从原来的轨道移动到主动系统的轨道上来。
[0210] 图4揭示了不同的电容和电阻耦合系数导致耦合分数阶机电装置不同的轨道和谐波振荡。一旦启动同步控制，从动分数阶机电装置将更改其组态，以实现与主动耦合分数阶机电装置在同一轨道上的循环运行。定义同步误差
[0211] e1＝u-x,e3＝v-y. (4)
[0212] 定义 和 将(2)代入(3),得到
[0213]
[0214] 图4表示具有不同耦合系数的主、从动分数阶机电装置的动态行为，其中主、从动系统的参数分别选择为工况1和工况2。
[0215] 定义1：给出函数F(t)的卡普托分数阶导数和积分
[0216]
[0217]
[0218] 其中Γ(n-α)表示伽玛函数，等于 n-1＜α＜n和
[0219] 对(6)进行Laplace变换
[0220]
[0221] 如果F(k)(t)＝0,k＝0,1,…,max(pα,pβ)与pα,pβ＞0,有
[0222]
[0223] 定义成本函数
[0224]
[0225] 其中Q(S)＞0,S和U'表示惩罚函数，跟踪误差和正定函数，U'定义为
[0226]
[0227] 其中Ro和λo表示对称正定矩阵和正常数。
[0228] 2.最优同步控制器设计
[0229] 由输入层、隶属度层、规则层、降阶层和输出层五层组成的递阶2型模糊神经网络在学习、函数逼近和容错方面具有较强的学习能力。在隶属度层，上、下层高斯隶属度函数写为
[0230]
[0231] 其中 和 分别表示第i个输入对应的第j个隶属度层的中心、上宽和下宽。
[0232] 在规则层中，计算与模糊规则相关联的上、下映射规则：
[0233]
[0234] 在降阶层，Yr和Yl是根据集合中心强度定义的
[0235]
[0236] 其中 和 表示结论参数，Tj和 表示上、下映射规则，M表示规则数目，和
[0237] 在输出层，给出矢量形式的解模糊输出
[0238]
[0239] 有w≡[wr wl], ξ≡[ξr ξl],
[0240] 图5显示递阶2型模糊神经网络的示意图。调用(15)，通过使用满足条件的递阶2型模糊神经网络，在紧凑集上近似未知但有界的函数h
[0241]
[0242] 其中 N表示输入的数目,ε(X)＞0表示近似误差,Ωw和DX分别表示w和X的适当界的紧集。令最优参数w*等于 其中w*
表示一个虚构量，用于分析目的。存在 其中
[0243] 定义新的误差变量
[0244] Si＝ei,Si+1＝ei+1-ai+1,i＝1,3, (17)
[0245] 其中αi+1表示虚拟控制。
[0246] 根据分数阶反推法控制的设计思想，自适应前馈控制器包括四个步骤。
[0247] 步骤1：考虑第一个Lyapunov函数
[0248]
[0249] 计算V1的导数得到
[0250]
[0251] 然后虚拟控制推导为
[0252] α2＝-k1S1, (20)
[0253] 其中k1表示正常数。
[0254] 将(20)代入到(19)，得到
[0255]
[0256] 步骤2：选择第二个Lyapunov函数
[0257]
[0258] V2的分数阶导数计算为
[0259]
[0260] 其中
[0261] 表示一个连续函数,h2＝[β1(u2+ux+x2)+β2(u4+u3x+u2x2+ux3+x4)+1+K1H(t-t0)](-e1)-(γ1+K2H(t-t0))e2-ζ1e4和
[0262] 显然，在运行过程中，耦合的分数阶机电装置不可避免地受到内部和外部干扰的影响。项被视为未知函数。为了简化控制器设计并解决控制问题，使用(15)中定义的递阶2型模糊神经网络在紧凑集上近似 即
[0263]
[0264] 其中(·)表示(e1,e2,e3,e4)的缩写。
[0265] 为了提高在线计算效率，实现控制目标，给出与递阶2型模糊神经网络相关的方程变换
[0266]
[0267] 其中ζ2＝||w2||2和b2表示权重和正常数。取权重误差为 得出
[0268] 根据(24)和(25)，(23)被重写为
[0269]
[0270] 给出具有更新律的控制输入
[0271]
[0272]
[0273] 其中k2表示正常数。
[0274] 将(27)和(28)代入到(26)中得到
[0275]
[0276] 步骤3：考虑第三个Lyapunov函数 设计虚拟控制为
[0277] α4＝-k3S3, (30)
[0278] 其中k3表示正常数。
[0279] 根据(29)和(30)，V3的导数计算为
[0280]
[0281] 步骤4：选择第四个Lyapunov函数
[0282]
[0283] 对V4进行求导
[0284]
[0285] 其中 表示连续函数, 和 对于未知项采用在(15)中定义的递阶2型模糊神经网络在紧集合上逼近它，即
[0286]
[0287] 其中ζ4＝||w4||2和b4表示权重和正常数。
[0288] (33)被进一步简化
[0289]
[0290] 控制输入和更新律设计如下
[0291]
[0292]
[0293] 其中k4表示正常数。
[0294] 根据(36)和(37)，(35)被进一步推导为
[0295]
[0296] 其中 ks＝min{k1 k2 k3 k4},和
[0297] 备注2：整个控制方法由自适应前馈控制器和最优反馈控制器组成。后者取决于前者。若 不能保证闭环系统的稳定性。此外，所提出的自适应前馈控制器不涉及最优性。
[0298] 鉴于上述问题，接下来将开发一种与自适应动态规划集成的最优反馈控制方法，以稳定闭环分数阶混沌机电装置。
[0299] 根据(38)，考虑下列零和微分博弈问题为
[0300]
[0301] 其中最优控制输入满足约束条件 G表示四阶辨识矩阵。
[0302] 调用(10)，定义(39)的哈密顿函数
[0303]
[0304] 其中▽J表示 的梯度。
[0305] 借助于哈密顿-雅可比-艾萨克斯理论，通过求解 来获得最优成本函数。
[0306] 推导最优控制输入为
[0307]
[0308] 其中
[0309] 将(41)代入(40)，哈密顿-雅可比-艾萨克斯方程重写为
[0310]
[0311] 定理1：给定具有成本函数(10)和最优控制(41)的受控系统(39)，存在一个连续可导且无边界的Lyapunov函数候选Ja满足 其中▽Ja表示 的偏导数。引入一个对称正定矩阵Λ，使得
[0312] 首先要获取哈密顿-雅可比-艾萨克斯方程的解。然而，未知的系统动力学项如 会增加求解方程式的难度。为了解决这个问题，使用递阶2型模糊神经网络根据值函数近似值来逼近成本函数
[0313]
[0314] 给出(43)的偏导数
[0315]
[0316] 使用泰勒展开式，进一步推导最优控制输入和哈密顿-雅可比-艾萨克斯方程
[0317]
[0318] 和
[0319]
[0320] 其中 和
[0321] 由于递阶2型模糊神经网络的权重未知，因此采用当前已知的权重将其代替
[0322]
[0323] 其中 和 表示J和wo的估计值。此外，权重近似误差满足
[0324] 调用(47)，最优控制输入为
[0325]
[0326] 其中
[0327] 备注3：基于(48)，
控制信号始终不会违反约束条件，并且很好地解决执行器饱和的问题。
[0328] 近似哈密顿函数写为
[0329]
[0330] 调用(40)，希望选择 使得目标函数 最小化。显然，仅调整eo不能保证受控系统的稳定性。然后构建与递阶2型模糊神经网络相关的权重更新律
[0331]
[0332] 其中 表示设计常数,z1和z2表示具有适当尺度的调谐参数， 表示一个算符：
[0333]
[0334] 备注4：权重更新律由三个部分构成。第一部分用于稳定性分析。第二部分保证哈密顿函数值的最小化。第三部分用于在递阶2型模糊神经网络学习过程中保证系统状态的有界性。利用回归器 对
状态空间进行充分的探索，从而保证递阶2型模糊神经网络收敛到最优值。
[0335] 3.稳定性分析
[0336] 定理2：考虑具有成本函数(10)的耦合分数阶机电装置(5)最优同步控制问题。将具有自适应律(28)，(37)的自适应前馈控制输入设计为(27)，(36)。如果最优反馈控制输入选择为(48)，且设计与递阶2型模糊神经网络相关联的更新律(50)，则以下结论成立：
[0337] 1)所有信号包括系统状态和自适应参数都是有界的，
[0338] 2)实现了主、从动系统同步，最小化成本函数。
[0339] 证明：考虑整个Lyapunov函数
[0340]
[0341] 计算(52)的分数阶导数
[0342]
[0343] 其中表示 的最小特征值，
[0344] 根据(51)，在两种情况中讨论(53)。
[0345] 情况1： 得到一个正常数θ满足 然后(53)进一步推导为
[0346]
[0347] 很明显，只要以下条件之一得到满足，则 成立
[0348]
[0349] 或
[0350]
[0351] 或
[0352]
[0353] 情况2: 有
[0354]
[0355] 其中λmin(Λ)表示Λ的最小特征值，
[0356] 如果下列条件之一成立
[0357]
[0358] 或
[0359]
[0360] 或
[0361]
[0362] 有
[0363] 根据情况1-2，当条件满足||χ||＞max{A1,A2},||▽Ja||＞max{B1,B2}或得到 的结论。
[0364] 备注5：在所提的控制方法中，通过适当地调整诸如ki,i＝1,…,4,bi,i＝2,4,Ro,λo,ko和zi,i＝1,2等设计参数，可以获得令人满意的瞬态性能和同步结果。特别地，增加ki获得较低的同步误差。但是ki的值过大将导致较大的控制输入。此外，应选择合适zi以确保矩阵 是正定的。
[0365] 5.仿真实验结果分析
[0366] 自适应前馈控制器的参数选择为k1＝20,k2＝35,k3＝10,k4＝15,b2＝0.6和b4＝0.2。在最优反馈控制器中，最优控制输入的约束被定义为 罚函数 等于
对称正定矩阵Ro被设为I4×4。此外，ko＝6,z2≡8×I4×4和z1≡[9 9 9 9]T。
[0367] 图6展示了主、从动分数阶机电装置之间的不同步和同步过程。显然，在所提方案干预前25秒和工况1-2下，图6中主动和从动分数阶机电装置的动态行为与图4中的动态行为相同。之后，通过使用最优同步控制方法，从动系统的轨道立即以很小的近似误差切换到主动系统的轨道上来。图7进一步揭示了从动系统的输出在20秒后以高精度跟踪了主动系统的输出。可以看出同步性能对耦合系数的变化不敏感。
[0368] 无论是自适应前馈控制器还是最优反馈控制器，递阶2型模糊神经网络在逼近未知非线性函数和解决系统动力学的未知知识方面起着重要的作用。图8展示了当提出的方案在20秒内介入时与递阶2型模糊神经网络相关的权重的自适应过程。显然，权重在短时间内达到相对稳定的值。图9展示了耦合机电装置的整体控制输入和最优控制输入。所提方案一旦介入，可以看出所有的输入都趋于稳定，同时最优控制输入不违反约束。图10展示了在电容和电阻耦合变化下与哈密顿函数相关变量e0的结果。由图可知，所提出的方法实现最小化目标函数并且具有高的抗干扰能力。图11为本发明方案的控制原理图。、
[0369] 最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行
修改或者等同替换，而不脱离本技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的
权利要求范围当中。
