一种CFXYZA型五轴数控机床旋转轴几何误差计算、补偿及其
验证方法
技术领域
背景技术
[0002] 五轴机床旋转轴的几何误差不仅直接影响刀具切削点
位置，而且影响刀轴
姿态矢量，因此相较于三轴机床，增加的两个旋转轴给加工
精度的提高带来一定的困难。
[0003] 旋转轴运动的误差补偿效果可以通过分析加工测试件的表面轮廓精度来评定，但是该方法需要加工测试件和利用三坐标测量机来检测试件表面轮廓度，过程繁琐复杂，而且该方法不能直接得到两个旋转轴不同误差项的补偿效果。
[0004] 使用球杆仪可以直接检验旋转轴运动圆轨迹，但补偿效果的验证涉及较为复杂的计算过程，本
专利提出一种基于球杆仪的能够快速、准确验证旋转轴几何误差补偿精度的新方案及其详尽的计算方法，对于提高多轴数控机床的几何精度具有工程应用价值。
发明内容
[0005] 本发明的目的在于提供一种CFXYZA型机床旋转轴几何误差计算、补偿及其验证方法，以期能够快速、简单的实现对A、C轴旋转运动几何误差补偿的验证。
[0006] 为了达成上述目的，本发明的解决方案包括以下步骤：
[0007] (1)针对CFXYZA型五轴数控机床的具体结构，建立机床参考
坐标系、C轴坐标系、补偿坐标系；
[0008] (2)C轴补偿和验证过程具体包括以下步骤：
[0009] 1)使
主轴中心和C轴中心重合，球杆仪的中心球安装在主轴上，
传感器球安装在与C轴
工作台联结的中心座上；固定其他轴，仅C轴带动球杆仪转动；
[0010] 2)在1)条件下，建立中心球球心G点与传感器球球心M点间拓扑链的坐标变换关系，得到G点相对于M点的理想姿态矢量和位置坐标；根据理想姿态矢量与理想旋转
角之间关系获得实际姿态矢量与实际旋转角之间关系式，由理想位置坐标与理想平移量之间关系获得实际位置坐标与实际平移量之间关系式；
[0011] 3)在考虑C轴几何误差的情况下，求出G点相对于M点的实际姿态矢量，通过
迭代修正A、C轴的旋转角度补偿姿态矢量误差；
[0012] 4)以修正后的A、C轴的旋转角度求出G点相对于M点的实际位置点，再通过平移X、Y、Z轴补偿位置点误差；
[0013] 5)利用球杆仪分别测量补偿前和补偿后的圆轨迹，通过分析该实际圆轨迹与几何圆间误差轨迹的圆度偏差来评价C轴的补偿精度。
[0014] (3)A轴补偿、验证实验有以下步骤：
[0015] 1)球杆仪的中心球安装在主轴上，传感器球安装在与C轴工作台联结的中心座上；C轴不动，A轴旋转时，Y、Z轴同步联动做与A轴反向的圆弧插补，使中心球球心的坐标位置不变；
[0016] 2)在1)条件下，建立中心球球心G点与传感器球球心M点间拓扑链的坐标变换关系，得到G点相对于M点的理想姿态矢量和位置坐标；根据理想姿态矢量与理想旋转角之间关系获得实际姿态矢量与实际旋转角之间关系式，由理想位置坐标与理想平移量(其中不含圆弧插补量)之间关系获得实际位置坐标与实际平移量(其中不含圆弧插补量)之间关系式；
[0017] 3)在考虑A轴几何误差的情况下，求出G点相对于M点的实际姿态矢量，通过迭代修正A、C轴的旋转角度补偿姿态矢量误差；
[0018] 4)以修正后的A、C轴的旋转角度求出G点相对于M点的实际位置点，再通过平移X、Y、Z轴补偿位置点误差；
[0019] 5)使用球杆仪分别测量补偿前和补偿后的圆轨迹，由于在测量中有移动轴的联动，测得的误差为移动轴与旋转轴运动的耦合误差，通过测量杆长变化量，可根据球杆仪两端测量球的实际位置来解耦获得仅受旋转轴误差影响的杆长变化量，再通过分析该实际圆轨迹与几何圆间误差轨迹的圆度偏差来评价A轴的补偿精度。
[0020] 上述步骤(1)中，分析机床结构时采用低序体阵列描述法，分别建立床身到G点以及床身到M点的拓扑链。
[0021] 上述步骤(2)、(3)中，求G点相对M点的位置坐标及姿态矢量时，需用到多体运动学与齐次坐标变换理论。
[0022] 上述步骤(2)和(3)中2)、3)步骤具体为：
[0023] ①先由G点相对M点的实际姿态矢量求出A、C轴受几何误差影响的实际旋转角度，判断该实际旋转角度与理想旋转角度间的差值(可为负值)是否满足姿态矢量补偿终止条件，即该差值的绝对值小于或等于一个给定的误差允许值，若不满足，转至②；若满足，转至③；
[0024] ②以理想旋转角度值与①中旋转角度差值之和作为修正后的A、C轴旋转角度值，再由修正后的A、C轴旋转角度求出G点相对M点的实际姿态矢量，重复①；
[0025] ③经迭代修正后求得的实际旋转角度与理想旋转角度间的差值满足姿态矢量补偿终止条件，则姿态矢量补偿完成，并得到最终修正后的A、C轴旋转角度值。
[0026] 上述步骤(2)中3)和4)的具体实施方式为：
[0027] ①以步骤(2)-3)中补偿、修正后的A、C轴旋转角度，求出G点相对于M点的实际位置坐标，判断该实际位置坐标与理想位置坐标的沿X、Y、Z三个方向的分量的差值是否均满足位置点补偿终止条件，即该差值的绝对值小于或等于一个给定的误差允许值，若不满足，转至②；若满足，转至③；
[0028] ②通过调整移动轴改变中心球球心G点的位置来进行位置点补偿，以理想位置坐标值与①中位置坐标差值之和作为修正后的位置坐标值，再根据实际位置坐标与实际平移量之间关系式求出移动轴的平移调整量；再由修正后的移动轴的平移量求出G点相对M点的实际位置坐标，重复①；
[0029] ③经迭代修正后求得的实际位置坐标与理想位置坐标间的差值满足位置点补偿终止条件，则位置点补偿完成，并得到最终修正后的X、Y、Z轴的平移量。
[0030] 上述步骤(3)中3)和4)的具体实施方式为：
[0031] ①在A轴补偿、验证实验中，由于Y、Z轴联动做与A轴反向、同步的圆弧插补，因此所需补偿的位置点误差，不仅有A轴转动时的产生的位置点误差，还有Y、Z轴做圆弧插补时产生的位置点误差；
[0032] ②将A轴的目标旋转角度进行N等分，同时根据插补圆弧的起点、终点、圆弧半径及圆弧插补方向(顺圆弧或逆圆弧)，求出YZ平面内的圆心坐标及圆弧的起始弧度，并将该圆弧分为等弧度的N段，得到(N+1)个等分点，A轴的(N+1)个等分转角与圆弧的(N+1)个等分点一一对应；
[0033] ③以步骤(3)-3)中补偿、修正后的A、C轴旋转角度，求出A轴转动及Y、Z轴做同步圆弧插补时，G点相对于M点的实际位置坐标，并计算位置点误差；判断该实际位置坐标与理想位置坐标的沿X、Y、Z三个方向的分量的差值是否均满足位置点补偿终止条件，即该差值的绝对值小于或等于一个给定的误差允许值，若不满足，转至④；若满足，转至⑤；
[0034] ④通过调整移动轴改变中心球球心G点的位置来进行位置点补偿，以理想位置坐标值与③中位置坐标差值之和作为修正后的位置坐标值，再根据实际位置坐标与实际平移量之间关系式求出移动轴的平移调整量(其中不含圆弧插补量)；再由修正后的移动轴的平移调整量与圆弧插补量之和求出G点相对M点的实际位置坐标，重复③；
[0035] ⑤经迭代修正后求得的实际位置坐标与理想位置坐标间的差值满足位置点补偿终止条件，则位置点补偿完成，并得到最终修正后的X、Y、Z轴的平移量(其中不含圆弧插补量)。
[0036] ⑥编写补偿指令：对于YZ平面内的圆弧插补指令，由于确定一段圆弧需要三个点，通常可将(N+1)取为3的整数倍，从第一个等分点及等分角度处开始，以每三个连续位置的修正后的Y、Z坐标构造新圆弧，求算出相应的圆心点及半径，再依此编写圆弧补偿指令；以第一个点与第三个点的X坐标编写直线插补补偿指令。
[0037] 上述步骤(2)中5)的具体实施方式为：
[0038] 根据C轴的补偿模型，得到修正后的数控代码；在相同实验条件下，按修正后的数控代码运行机床；使用球杆仪分别测量补偿前和补偿后的圆轨迹，通过分析该实测圆轨迹与几何圆之间误差轨迹的圆度偏差来评价C轴的补偿精度。
[0039] 上述步骤(3)中5)的具体实施方式为：
[0040] 根据A轴的补偿模型，得到修正后的数控代码；在相同实验条件下，按修正后的数控代码运行机床；使用球杆仪分别测量补偿前和补偿后的圆轨迹，再对所测的补偿前的误差数据进行解耦处理，可先根据A轴补偿实验中球杆仪的安装测量模式，由齐次矩阵变换求得旋转运动时球杆仪两端测量球心的实际位置坐标，继而可推导出杆长变化量与旋转轴及移动轴的各几何误差元素间的数学关系式，通过分离出由移动轴误差所引起的中心球位置的偏移量，从而解耦得到仅受旋转轴误差影响的杆长变化量。最后，通过补偿前后的实测圆轨迹与几何圆之间误差轨迹的圆度偏差来评价A轴的补偿精度。
[0041] 进一步的，提供一种五轴数控机床旋转轴几何误差计算、补偿及其验证方法，包括如下步骤：
[0042] 步骤1、针对五轴数控机床的结构，建立机床参考系坐标、C轴坐标系和补偿坐标系；
选定旋转轴，设定工作环境和工作参数；
[0043] 步骤2、建立中心球球心G点与传感器球球心M点间拓扑链的坐标变换关系，得到G点相对于M点的理想姿态矢量和位置坐标；根据理想姿态矢量与理想旋转角之间关系获得实际姿态矢量与实际旋转角之间关系式，由理想位置坐标与理想平移量之间关系获得实际位置坐标与实际平移量之间关系式；
[0044] 步骤3、求出G点相对于M点的实际姿态矢量，通过迭代修正A、C轴的旋转角度补偿姿态矢量误差；
[0045] 步骤4、以修正后的A、C轴的旋转角度求出G点相对于M点的实际位置点，再通过平移X、Y、Z轴补偿位置点误差；
[0046] 步骤5、分别测量补偿前和补偿后的圆轨迹，通过分析该实测圆轨迹与几何圆之间误差轨迹的圆度偏差来评价旋转轴的补偿精度。
[0047] 根据本发明的一个方面，所述步骤3具体为：
[0048] 步骤31、由G点相对M点的实际姿态矢量求出A、C轴受几何误差影响的实际旋转角度，判断该实际旋转角度与理想旋转角度间的差值是否满足姿态矢量补偿终止条件，即该差值的绝对值小于或等于一个给定的误差允许值，若不满足，转至步骤32；若满足，转至步骤33；
[0049] 步骤32、以理想旋转角度值与实际旋转角度和理想旋转角度间差值之和作为修正后的A、C轴旋转角度值，再由修正后的A、C轴旋转角度求出G点相对M点的实际姿态矢量，重复步骤31；
[0050] 步骤33、经迭代修正后求得的实际旋转角度与理想旋转角度间的差值满足姿态矢量补偿终止条件，则姿态矢量补偿完成，并得到最终修正后的A、C轴旋转角度值。据本发明的一个方面，当对C轴进行补偿时，所述步骤4具体为：
[0051] 步骤41、以所述修正后的A、C轴旋转角度，求出G点相对于M点的实际位置坐标，判断该实际位置坐标与理想位置坐标的沿X、Y、Z三个方向的分量的差值是否均满足位置点补偿终止条件，即该差值的绝对值小于或等于一个给定的误差允许值，若不满足，转至步骤42；若满足，转至步骤43；
[0052] 步骤42、通过调整移动轴改变中心球球心G点的位置来进行位置点补偿，以理想位置坐标值与步骤41中差值之和作为修正后的位置坐标值，再根据实际位置坐标与实际平移量之间关系式求出移动轴的平移调整量；再由修正后的移动轴的平移量求出G点相对M点的实际位置坐标，重复步骤41；
[0053] 步骤43、经迭代修正后求得的实际位置坐标与理想位置坐标间的差值满足位置点补偿终止条件，则位置点补偿完成，并得到最终修正后的X、Y、Z轴的平移量。
[0054] 根据本发明的一个方面，当对A轴进行补偿时，所述步骤4具体为：
[0055] 步骤401、由于Y、Z轴联动做与A轴反向、同步的圆弧插补，因此所需补偿的位置点误差，不仅有A轴转动时的产生的位置点误差，还有Y、Z轴做圆弧插补时产生的位置点误差；
[0056] 步骤402、将A轴的目标旋转角度进行N等分，同时根据插补圆弧的起点、终点、圆弧半径及圆弧插补方向，求出YZ平面内的圆心坐标及圆弧的起始弧度，并将该圆弧分为等弧度的N段，N+1个等分点，使得圆弧的N+1个等分点与A轴的N+1个等分转角一一对应；
[0057] 步骤403、以所述修正后的A、C轴旋转角度，求出A轴转动及Y、Z轴做同步圆弧插补时，G点相对于M点的实际位置坐标，并计算位置点误差；判断该实际位置坐标与理想位置坐标的沿X、Y、Z三个方向的分量的差值是否均满足位置点补偿终止条件，即该差值的绝对值小于或等于一个给定的误差允许值，若不满足，转至步骤404；若满足，转至步骤405；
[0058] 步骤404、通过调整移动轴改变中心球球心G点的位置来进行位置点补偿，以理想位置坐标值与步骤403中位置坐标差值之和作为修正后的位置坐标值，再根据实际位置坐标与实际平移量之间关系式求出移动轴的平移调整量；再由修正后的移动轴的平移调整量与圆弧插补量之和求出G点相对M点的实际位置坐标，重复步骤403；
[0059] 步骤405、经迭代修正后求得的实际位置坐标与理想位置坐标间的差值满足位置点补偿终止条件，则位置点补偿完成，并得到最终修正后的X、Y、Z轴的平移量；
[0060] 步骤406、编写补偿指令：对于YZ平面内的圆弧插补指令，由于确定一段圆弧需要三个点，将N+1取为3的整数倍，从第一个等分点及等分角度处开始，以每三个连续位置的修正后的Y、Z坐标构造新圆弧，求算出相应的圆心点及半径，再依此编写圆弧补偿指令；以第一个点与第三个点的X坐标编写直线插补补偿指令；
[0061] 根据本发明的一个方面，所述步骤5具体为：
[0062] 根据补偿模型得到修正后的数控代码；在相同实验条件下，按修正后的数控代码运行机床；使用球杆仪分别测量补偿前和补偿后的圆轨迹，通过分析该实测圆轨迹与几何圆之间误差轨迹的圆度偏差来评价旋转轴的补偿精度。
[0063] 与
现有技术相比，本发明的可快速、简单的实现对A、C轴旋转运动几何误差补偿的验证。以下将根据具体
实施例和
附图详细说明本发明的效果。
附图说明
[0064] 图1是某CFXYZA型五轴数控机床结构及各坐标系示意图。
[0065] 图2和图3是C轴误差补偿验证时的球杆仪安装三维和二维示意图。
[0066] 图4和图5是A轴误差补偿验证时的球杆仪安装三维和二维示意图。
[0067] 图6是C轴误差补偿前的运动误差轨迹分析图。
[0068] 图7是C轴误差补偿后的运动误差轨迹分析图。
[0069] 图8是A轴误差补偿前的运动误差轨迹分析图。
[0070] 图9是A轴误差补偿后的运动误差轨迹分析图。
具体实施方式
[0071] 本发明提供一种CFXYZA型机床旋转轴几何误差计算、补偿及其验证方法，以下将结合附图，对本发明的补偿及验证计算过程进行详细说明。本发明的方案包括以下步骤：
[0072] 1.建立旋转轴运动时的补偿坐标系{OM}：移动X、Y轴使得主轴对准C轴回转中心OC，以此时A轴与主轴轴线的交点OA建立补偿坐标系{OM}，并以OC为原点建立C轴坐标系{OC}，且{OC}系与{OM}系方向均平行于机床参考坐标系{OF}，参照图1。
[0073] 2.C轴补偿测量中，使得主轴对准C轴回转中心OC，并将球杆仪的工具杯安装在主轴端，将球杆仪的中心座安装在C轴工作台上，并在初始时将球杆沿平行于X向放置，且有中心球球心与传感器球球心间的距离为dC，参阅图2和图3。
[0074] 其中，建立C轴补偿模型时，设OC点与OA点间沿Z向的距离为zCA，则OC在{OM}系中坐标为(0,0,-zCA)，设传感器球球心M与OC点在X方向的距离为dC，M点到C轴工作台平面的竖直距离为HC，则M点在{OC}系中坐标为(dC,0,HC)，由于中心球球心G点位于C轴中心线上，则G在{OM}系中的坐标为(0,0,HC-zCA)。因此，在{OM}系下G点相对M点的综合变换矩阵为：
[0075]
[0076] (式1)以多体运动学及齐次坐标变换理论为
基础，由G点与M点间两条拓扑链的变换关系求得。其中，α、β、x、y、z分别表示A、C、X、Y、Z轴相对于{OM}系原点的运动量；T表示机床上各相邻部件体间的理想综合变换矩阵，由各相邻部件体间的初始位置矩阵与运动变换矩阵连乘求得，而其中X、Y、Z、A、S、C分别表示机床部件体X轴、Y轴、Z轴、A轴、主轴、C轴，G、M、OM分别表示G点、M点及{OM}系原点。
[0077] G点相对M点的位置坐标 及姿态矢量 分别为：
[0078]
[0079]
[0080] 设C轴的理想旋转角度为β，首先对β进行N等分，得到(N+1)个等分角度βi＝β·i/N(k＝0,1,..,N)，并依次对C轴旋转到βi进行补偿。
[0081] 以C轴旋转到第k个等分角度βk时的误差补偿为例，由于理想情况下仅C轴旋转、各移动轴不动，因此有α＝x＝y＝z＝0，则G点相对M点的理想的姿态矢量及位置坐标分别为：
[0082]
[0083]
[0084] 可知：理想情况下，G点相对M点的
位姿并不会随C轴转角而变化，但在实际转动中，C轴的几何误差会影响两测量球球心的实际位置，产生姿态矢量误差及位置点误差。因此需要先修正C、A轴的旋转角度来补偿姿态矢量误差，再平移X、Y、Z轴来补偿位置点误差，且姿态矢量误差补偿与位置点误差补偿中均需要进行不断的迭代修正。
[0085] 3.姿态矢量误差的补偿是一个不断迭代修正转角的过程。设第i次修正时的A、C轴转角分别为αk(i)、βk(i)，并得到考虑A、C轴几何误差时G点相对M点的实际姿态矢量为：
[0086]
[0087] 式中，x′k-1、y′k-1、z′k-1分别表示对C轴旋转到第(k-1)个等分角度βk-1进行补偿时，X、Y、Z轴在{OM}系中的平移量；T′表示机床上各相邻部件体间的实际综合变换矩阵，由各相邻部件体间的初始位置矩阵、静止误差矩阵、运动变换矩阵及运动误差矩阵连乘求得。
[0088] 根据(式3)可求当刀轴姿态矢量为[Vx Vy Vz 0]T时,A、C轴的旋转角度分别为：
[0089] α＝k·arccos(Vz)k＝1,-1
[0090]
[0091] 可知，反解求得的转角α、β的值都可能不唯一，但由于例中该机床A轴的摆角范围为90°～90°，C轴的转角范围为0°～360°，因此在求解α、β时需要根据A、C轴转角范围合理地确定角度值。
[0092] 将 的各分量代入(式6)可求得实际姿态矢量 所对应的A、C轴转角α′k(i)、β′k(i)，判断α′k(i)、β′k(i)是否满足(式7)所示的姿态矢量补偿终止条件：
[0093] |α′k(i)-αk|≤ΔθA|β′k(i)|≤ΔθC (式7)
[0094] 其中，ΔθA、ΔθC分别表示A、C轴旋转时所允许的角度误差值，下同。
[0095] 若不满足(式7)，需要通过修正A、C轴的旋转角度对姿态矢量误差进行补偿，可通过在理想角度上反向
叠加一个大小与补偿值相接近的角度值来实现，其中，A、C轴的旋转角度补偿值分别为：
[0096] Δαk(i)＝αk-α′k(i)Δβk(i)＝βk-β′k(i) (式8)
[0097] 故，可将A、C轴的旋转角度分别修正为：
[0098] αk(i+1)＝αk+Δαk(i)βk(i+1)＝βk+Δβk(i) (式9)
[0099] 此处，Δαk(i)、Δβk(i)数值的正/负，分别表示沿与转角αk、βk相同/反的方向进行角度补偿。此外，当α′k(i)、β′k(i)有多个合理解时，由于该转角值应接近αk、βk，因此一般取使|αk-α′k(i)|、|βk-β′k(i)|为最小值的角度值。
[0100] (式9)中求得的αk(i+1)、βk(i+1)也就是第(i+1)次修正时的A、C轴转角，可再将其代入(式5)～(式9)进行迭代计算，并对A、C轴的转角值进行不断修正，直至满足(式7)的姿态矢量补偿终止条件，并最终将A、C轴的转角修正为α″k、β″k。
[0101] 4.在位置点误差的迭代补偿中，设第j次修正中得到的X、Y、Z轴相对于(x′k-1,y′k-1,z′k-1)点的移动量分别为Δxk(j)、Δyk(j)、Δzk(j)，令xk(j)＝x′k-1+Δxk(j)、yk(j)＝y′k-1+Δyk(j)、zk(j)＝z′k-1+Δzk(j)。由于移动轴补偿量通常为微米级别，故可以忽略移动轴的几何误差，得到G点相对M点的实际位置坐标为：
[0102]
[0103] 关联(式4)与(式10)，设Δδx、Δδy、Δδz分别表示旋转运动中沿X、Y、Z向的误差允许值，下同，判断是否满足(式11)所示的位置点补偿终止条件：
[0104] |P′kx(j)+dC|≤Δδx|P′ky(j)|≤Δδy|P′kz(j)|≤Δδz (式11)
[0105] 若不满足，则通过调整移动轴来改变G点位置，可将G点相对M点的位置修正为：
[0106]
[0107] 由于(式12)中的坐标值表征的是G点相对M点的位置坐标，而M点跟随C轴转动，因此不能直接以该位置坐标与(式4)的理想位置坐标之差作为移动轴补偿量，而应将P″x(j)、P″y(j)、P″z(j)转化为X、Y、Z轴相对于{OM}系的移动量，该转换式可由(式2)反推求得为：
[0108]
[0109] 根据(式13)可求得第(j+1)次修正时X、Y、Z轴相对于(x′k-1,y′k-1,z′k-1)点的移动量为：
[0110]
[0111] 再继续将其代入(式10)进行迭代修正，并最终求得C轴从βk-1旋转到βk过程中，X、Y、Z轴的补偿值Δxk(n)、Δyk(n)、Δzk(n)，至此C轴旋转运动中的几何误差补偿建模完成。
[0112] 5.为了验证C轴补偿方案，可以将各实验参数α、β、L、dC、HC、zCA及辨识所得X、Y、Z、A、C轴的几何误差数据代入C轴的补偿模型，求得修正后的数控代码。在相同的实验条件下，按
修改前后的数控代码运行机床，并使用球杆仪测量C轴旋转运动时的圆轨迹，通过分析其误差轨迹圆度偏差来评价C轴转动的补偿精度。
[0113] C轴补偿、验证实验中，选取24个补偿点，即每隔15°进行一次补偿，在相同的实验条件下，按修改前后的代码对C轴旋转运动进行了两次测量，并按JIS B6190-4:2008版本的标准，以去除中心偏置后的圆度偏差为评价指标，得到两次测量的运动误差轨迹及其圆度偏差分析图分别如图4与图5所示，可看出补偿后的最大圆度偏差从8.6μm下降至4.4μm左右，补偿率可达到48.83％。
[0114] 6.A轴补偿测量时，步骤与C轴类似，参阅图4和图5，将球杆仪的工具杯安装在主轴端，将其中心座安装在C轴工作台上，并在初始时将球杆沿平行于X向放置，得到OC点与OA点间距离为zCA，则OC点在{OM}系中坐标表示为(0,0,-zCA)；由于中心球球心G点位于C轴中心线上，因此其球心G在{OM}系中的坐标为(0,0,-HA)，而G在{OC}系中的坐标为(0,0,zCA-HA)；将球杆沿+X向放置，则传感器球球心M在{OM}系中的坐标为(LA,0,-HA)，LA为球杆长度，因此，在{OM}系下点G相对点M的综合变换矩阵为：
[0115]
[0116] 式中，α、β、x、y、z分别表示A、C、X、Y、Z轴在{OM}系下的运动量。
[0117] 则，求得G点相对M点的位置坐标 为及姿态矢量 分别为：
[0118]
[0119]
[0120] 由(式16)可反推求得x、y、z为：
[0121]
[0122] 由(式17)可反推求得α、β，同(式6)。
[0123] 7.设A轴的理想旋转角度为α，首先将α进行N等分，得到(N+1)个等分角度αi＝α·i/N(k＝0,1,..,N)，同时将YZ平面内的插补圆弧进行N等分，得到与αi相对应的(N+1)个等分点，如设插补圆弧的起点与终点分别为Q1(x,y1,z1)、Q2(x,y2,z2)，圆弧插补的理想半径为r，可根据圆弧插补方向(顺圆弧或逆圆弧)求出YZ平面内的圆心坐标为(yo,zo)及圆弧的起始弧度θ1、θ2，并求得(N+1)个等分点分别为：
[0124] 其中
[0125] 依次对A轴旋转到αi、Y和Z轴圆弧插补到Q(i)点进行补偿。
[0126] 8.采用逐点补偿的思路。以A轴旋转到第k个等分角度αk时的误差补偿为例，由于Y、Z轴应同步做反向圆弧插补，且插补半径为HA，即有β＝0、x＝0、y＝-HA·sinαk、z＝HA·cosαk-HA，则G点相对M点的理想的姿态矢量及位置坐标分别为：
[0127]
[0128]
[0129] 可知：理想情况下，G点相对M点的位置并不会随A轴转角而变化，但实际运动中，受A轴与Y、Z轴几何误差的影响，产生姿态矢量误差及位置点误差，可先修正A、C轴的旋转角度来补偿姿态矢量误差，再平移X、Y、Z轴来补偿位置点误差。
[0130] 9.设第i次修正姿态矢量所得到的A、C轴转角分别为αki、βki，在A、C轴几何误差的影响下，G点相对M点的实际姿态矢量为：
[0131]
[0132] 根据(式6)可求该实际姿态矢量 所对应的A、C轴转角α′ki、β′ki，再通过判断是否满足(式21)所示的姿态矢量补偿终止条件，参照C轴补偿中的(式8)～(式9)不断进行迭代修正，从而求得最终的补偿角度α″k、β″k。
[0133] |α′ki|≤ΔθA|β′ki-βk|≤ΔθC (式21)
[0134] 10.调整移动轴来补偿位置点误差时，设x′k(j)、y′k(j)、z′k(j)分别表示对A轴旋转到αk角度进行补偿时第j次迭代修正时的X、Y、Z轴的补偿调整量，即各移动轴除去做圆弧插补的运动量之外的相对于{OM}系的移动量，则A、Y、Z轴同步运动到第k个位置时，考虑移动轴的几何误差，得到G点相对M点的实际位置坐标为：
[0135]
[0136] 判断是否满足(式23)所示的位置点补偿终止条件：
[0137] |P′kx(j)+LA|≤Δδx|P′ky(j)|≤Δδy|P′kz(j)|≤Δδz (式23)
[0138] 若不满足，则通过调整移动轴来改变G点位置，可关联(式19)与(式22)，参照(式12)将G点相对M点的位置修正为：
[0139]
[0140] 虽然理想情况下C轴不动且M点空间位置不变，但补偿姿态矢量时需要微调C轴转角，因此仍需将P″kx(j)、P″ky(j)、P″kz(j)代入(式18)，转换为X、Y、Z轴相对于{OM}系的平移量，继而可求得各轴除去做圆弧插补的运动量之外的补偿调整量为：
[0141]
[0142] 且x″k(j)、y″k(j)、z″k(j)即为第(j+1)次迭代修正时X、Y、Z轴的调整量x′k(j+1)、y′k(j+1)、z′k(j+1)，将修正后的移动轴坐标值(x″k(j),y″k(j)-HA·sinαk,z″k(j)+HA·cosαk-HA)继续代入(式22)进行位置点误差计算并迭代修正，直至求得的 满足位置点补偿终止条件，并求得对A轴旋转αk角度进行补偿时各移动轴的最终补偿值x′k、y′k、z′k，完成相对位置补偿。
[0143] 11.编写补偿指令：对于YZ平面内的圆弧插补指令，由于确定一段圆弧需要三个点，通常可将(N+1)取为3的整数倍，从第一个等分点Q(0)及等分角度α0处开始，以每三个连续位置的修正后的Y、Z坐标构造新圆弧，求算出相应的圆心点及半径，再依此编写圆弧补偿指令；以第一个点与第三个点的X坐标编写直线插补补偿指令。
[0144] 以A轴旋转到αk-1、αk、αk+1三个位置处为例，设x′k-1、y′k-1、z′k-1分别表示A轴旋转到αk-1时X、Y、Z轴的补偿调整量，x′k、y′k、z′k分别表示A轴旋转到αk时X、Y、Z轴的补偿调整量，x′k+1、y′k+1、z′k+1分别表示A轴旋转到αk+1时X、Y、Z轴的补偿调整量，则这三个位置处经补偿、修正后的坐标分别为(x′k-1,y′k-1-HA·sinαk-1,z′k-1+HA·cosαk-1-HA)、(x′k,y′k-HA·sinαk,z′k+HA·cosαk-HA)、(x′k+1,y′k+1-HA·sinαk+1,z′k+1+HA·cosαk+1-HA)，以三个位置处的Y、Z坐标构造新圆弧，计算其相应的圆心点及半径，并编写圆弧补偿指令，再由第一个点与第三个点的X坐标，即x′k-1与x′k+1编写直线插补补偿指令。
[0145] 12.为了验证A轴补偿方案，可以将各实验参数α、β、LA、HA、zCA及辨识所得X、Y、Z、A、C轴的几何误差数据代入A轴补偿模型，求得修正后的数控代码。在相同的实验条件下，按修改前后的数控代码运行机床，并使用球杆仪测量A、Y、Z多轴联动时的圆轨迹，通过分析其误差轨迹圆度偏差来评价A转动的补偿精度。
[0146] 13.A轴补偿实验中，在使用球杆仪测量旋转轴误差时，由于移动轴的联动，测得的误差为移动轴与旋转轴运动的耦合误差，为了精确得到受旋转轴误差影响的杆长变化量，需要对测得的杆长变化量进行解耦，可根据球杆仪两端测量球的实际位置进行解耦。步骤为：首先根据A轴补偿实验中球杆仪的安装测量模式，由齐次矩阵变换求得旋转运动时球杆仪两端测量球心的实际位置坐标，继而可推导出杆长变化量与旋转轴及移动轴的各几何误差元素间的数学关系式，通过分离出由移动轴误差所引起的中心球位置的偏移量，从而解耦得到仅受旋转轴误差影响的杆长变化量。具体过程如下：
[0147] ①参阅图5，可得到在测量初始位置(即A轴旋转角度为αi＝0°)时，G点在{OM}系中的齐次坐标为：G0＝[0 0 -HA 1]T，则理想状态下，当A轴旋转αi角度时，对应各位置处的G点在{OM}系中的齐次坐标为：
[0148] Gi＝[0 -HA·sinαi -HA·cosαi 1]T (式26)
[0149] 将Gi点的理想坐标和A轴误差矩阵相乘，得到中心球球心的实际位置为：
[0150]
[0151] ②在A轴误差测量过程中，Y、Z轴联动做反方向圆弧插补，同时Y轴及Z轴的几何误差会影响中心球位置，设受移动轴误差影响而在G点处产生的沿X、Y、Z方向的位移误差分别为Δxi、Δyi、Δzi，其中下标i表示A轴的不同转角位置，则在A轴与Y、Z轴耦合误差影响下，Gi在{OM}系中的实际位置为：
[0152]
[0153] ③X向测量模式时，设LAx为测量时球杆仪的理论杆长，根据球杆仪的安装方式，可得到传感器球心M的实际位置为M＝[LAx 0 -HA 1]T。
[0154] 实际测量中，受Y轴及Z轴的几何误差影响下，由球杆仪测量所得的杆长变化值设为ΔLi′，则实际杆长可表示为(LAx+ΔLi′)，由两点间距离公式求得Gi″点与M点间的实际杆长|Gi″M|，将其与球杆仪所测得的实际杆长联立等式，得到：
[0155]
[0156] 对上式两边取平方，忽略误差的二次及高次项，化简后得到：
[0157]
[0158] 而当仅考虑旋转轴误差时，设ΔLi为仅受旋转轴误差影响而产生的杆长变化量，同理将Gi′点与M点间的距离与(Lx+ΔLi)联立等式，得到：
[0159]
[0160] 对上式两边取平方，忽略误差的二次及高次项，化简后得到：
[0161]
[0162] 由(式30)与(式32)可得到：
[0163] ΔLi＝ΔLi′-Δxi (式33)
[0164] ④在(式33)中，中心球因受移动轴误差影响而产生的沿X、Y、Z向的位移偏差Δxi、Δyi、Δzi，其值可通过X、Y、Z轴间的误差变换矩阵求得，如(式34)所示：
[0165]
[0166] 其中， 分别表示表示X轴相对于{OM}系的理想综合变换矩阵、Y轴相对于X轴的实际综合变换矩阵、Z轴相对于Y轴的实际综合变换矩阵。
[0167] 至此，可解耦求得仅受旋转轴误差影响的杆长变化量ΔLi。
[0168] 14.A轴补偿、验证实验中，选取12个补偿点，即每隔15°进行一次补偿，在相同的实验条件下，按修改前后的代码对A轴旋转运动进行了两次测量，得到两次测量的运动误差轨迹，并按步骤13对所测的补偿前的误差数据进行解耦处理，再按JIS B 6190-4:2008版本的标准，以去除中心偏置后的圆度偏差为评价指标，得到两次测量中运动误差轨迹的圆度偏差分析分别如图6与图7所示，可看出补偿后的最大圆度偏差从12.6μm下降至6.2μm左右，补偿率可达到50.79％。以上实施例仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明保护范围之内。
