技术领域
[0001] 本
发明涉及一种
非圆齿轮副设计方法，具体涉及一种类偏心圆非圆齿轮副的设计方法。
背景技术
[0002] 非圆齿轮机构、
凸轮机构和
连杆机构都能够实现非匀速传动但是非圆齿轮具有传动效率高、运动平稳、工作可靠等优点，已经在许多领域得到广泛的应用。
[0003] 偏心圆非圆齿轮节曲线简单、加工方便，因此在非匀速
传动系统中得到了较为广泛的应用，如
叶片差速
泵、移栽机械上，但是一般偏心圆非圆齿轮副节曲线形状是由偏心距和半径两个参数决定，可调参数少。有一种高阶变性偏心共轭非圆齿轮，虽然增加了
变形系数和阶数两个参数，使得
传动比变化不对称，提高了传动特性优化的灵活性，但还是不能很好满足一些特殊情况的传动比变化要求。
发明内容
[0004] 为克服偏心圆非圆
齿轮传动能够满足的非匀速传动要求有限的
缺陷，本发明提出了一种类偏心圆非圆齿轮副的设计方法，采用切线极坐标方式推导了其节曲线方程，建立了该类偏心圆非圆齿轮节曲线的凹凸性判断和弧长计算模型。偏心圆非圆齿轮只是类偏心圆非圆齿轮的一种特例，因此大大提高了非圆齿轮设计的灵活性。
[0005] 为了实现上述目的，本发明采用的技术方案是：
[0006] 本发明包括以下步骤：
[0007] 步骤一、偏心圆主动轮节曲线的建立。
[0008] 偏心圆主动轮节曲线的半径为R，圆心O在定直
角坐标系XO1Y上的坐标为(e，b)，选取偏心圆主动轮节曲线上任意点B，作B点的切线t，并由转动中心O1作垂线与切线t交于N点，O1N的向量为p，O1N与X轴正方向夹角为θ，根据切线极坐标的定义，p与θ之间的函数关系即为偏心圆切线极坐标方程。设转动中心和圆心的连线O1O与X轴正方向夹角为α，并通过O点作O1N的垂线交于E点。
[0009] 根据几何关系得到
[0010] |p|＝R+O1E (1)
[0011] O1E＝O1O×cos(α-θ) (2)
[0012]
[0013] tanα＝b/e (4)
[0014] 式(1)中，|p|为向量p的模；根据式(1)～(4)，得到偏心圆主动轮节曲线的切线极坐标方程为：
[0015] p(θ)＝bsinθ+ecosθ+R (5)
[0016] 步骤二、在偏心圆主动轮节曲线的切线极坐标方程
基础上，在余弦函数与正弦函数上增加幂指数k、l，构建为类偏心圆非圆齿轮主动轮，其节曲线切线极坐标方程为[0017] p(θ)＝bsinkθ+ecoslθ+R (6)
[0018] 步骤三、为了计算与类偏心圆非圆齿轮主动轮共轭的类偏心圆非圆齿轮从动轮节曲线方程，需将类偏心圆非圆齿轮主动轮切线极坐标方程通过式(7)～(9)转化为直角坐标或者极坐标
[0019]
[0020] 式中p'(θ)是p(θ)的一阶导数；
[0021]
[0022]
[0023] 式中μ为类偏心圆非圆齿轮主动轮节曲线的极径 与切线t的夹角，为极径对应的极角。将式(6)的节曲线方程代入式(7)和(8)或者代入(9)求得唯一的[0024] 由类偏心圆非圆齿轮从动轮节曲线封闭条件得
[0025]
[0026] 由式(10)求出类偏心圆非圆齿轮主动轮与类偏心圆非圆齿轮从动轮的中心距a，代入式(11)得到类偏心圆非圆齿轮从动轮的节曲线方程
[0027]
[0028] 式中， 为类偏心圆非圆齿轮从动轮节曲线在极角 处对应的极径，则类偏心圆非圆齿轮副传动比为
[0029] 步骤四、类偏心圆非圆齿轮副的凹凸性判别。
[0030] 将式(7)对θ进行求导，得
[0031]
[0032] 式(12)中，p″(θ)为p(θ)的二阶导数。
[0033] 设类偏心圆非圆齿轮主动轮节曲线的弧长用L表示，L是θ的单调增函数，0≤θ≤2π，于是类偏心圆非圆齿轮主动轮节曲线上各点的
曲率半径ρ1为
[0034]
[0035] 将式(6)代入式(13)得类偏心圆非圆主动轮无内凹的条件是
[0036] b(1-k)sinkθ+e(1-l)coslθ+bk(k-1)sink-2θcos2θ+el(l-1)cosl-2θsin2θ+R＞0 (14)
[0037] 类偏心圆非圆齿轮从动轮节曲线上各点的
曲率半径ρ2由欧拉-萨伐里公式求出：
[0038]
[0039] 由式(9)、(10)、(13)和(15)得类偏心圆非圆从动轮无内凹的条件是[0040]
[0041] 步骤五、类偏心圆非圆主动轮或类偏心圆非圆从动轮的弧长计算。
[0042] 类偏心圆非圆主动轮和类偏心圆非圆从动轮的弧长均用L表示，则
[0043]
[0044] 由于p′(θ)是以2π为周期的周期函数，故
[0045]
[0046] 本发明具有的有益效果：采用切线极坐标方式推导了偏心圆非圆主动轮节曲线方程，并将偏心圆非圆主动轮节曲线方程中切径对应极角正、余弦幂指数由1变为设计参数，从而推导出切线极坐标下的类偏心圆非圆主动轮节曲线方程，而切线极坐标形式表达的类偏心圆非圆主动轮节曲线具有更多的可调参数；求解类偏心圆非圆从动轮节曲线时，又将类偏心圆非圆主动轮节曲线转换成极坐标形式；然后，进行该类偏心圆非圆齿轮副节曲线的凹凸性判断和弧长计算时采用切线极坐标及对应的极坐标混合应用的形式，简化了计算过程。偏心圆非圆齿轮只是类偏心圆非圆齿轮的一种特例，而类偏心圆非圆齿轮具有更多的可调参数，因此大大提高了非圆齿轮设计的灵活性。
附图说明
[0047] 图1是本发明中偏心圆主动轮节曲线示意图。
[0048] 图2是本发明中类偏心圆非圆齿轮副的节曲线
啮合图。
[0049] 图3是本发明中类偏心圆非圆齿轮驱动的横封机构示意图。
[0050] 图4是横封机构运动原理图。
[0051] 图5是应用于卧式枕形
包装机的类偏心圆非圆齿轮副齿廓啮合图。
[0052] 图6是应用于卧式枕形
包装机的类偏心圆非圆齿轮副与偏心圆齿轮副传动特性对比图。
具体实施方式
[0053] 下面结合附图及
实施例对本发明作进一步说明。
[0054] 类偏心圆非圆齿轮副的设计方法，包括以下步骤：
[0055] 步骤一、偏心圆主动轮节曲线的建立。
[0056] 偏心圆主动轮节曲线的半径为R，其圆心O在定直角坐标系XO1Y上的坐标为(e，b)，如图1所示。选取偏心圆主动轮节曲线上任意点B，作B点的切线t，并由转动中心O1作垂线与切线t交于N点，O1N的向量为p，O1N与X轴正方向夹角为θ，根据切线极坐标的定义，p与θ之间的函数关系即为偏心圆切线极坐标方程。为了获得偏心圆非圆齿轮节曲线方程，设转动中心和圆心的连线O1O与X轴正方向夹角为α，并通过O点作O1N的垂线交于E点。
[0057] 根据几何关系得到
[0058] |p|＝R+O1E (1)
[0059] O1E＝O1O×cos(α-θ) (2)
[0060]
[0061] tanα＝b/e (4)
[0062] 式(1)中，|p|为向量p的模；根据式(1)～(4)，得到偏心圆主动轮节曲线的切线极坐标方程为：
[0063] p(θ)＝bsinθ+ecosθ+R (5)
[0064] 步骤二、在偏心圆主动轮节曲线的切线极坐标方程基础上，在余弦函数与正弦函数上增加幂指数k、l，构建为类偏心圆非圆齿轮主动轮，其节曲线切线极坐标方程为[0065] p(θ)＝bsinkθ+ecoslθ+R (6)
[0066] 由式(6)可知，p是以θ变化2π为周期的周期函数，可见该方程构成的曲线是封闭。
[0067] 步骤三、为了计算与类偏心圆非圆齿轮主动轮共轭的类偏心圆非圆齿轮从动轮节曲线方程，需将类偏心圆非圆齿轮主动轮切线极坐标方程通过式(7)～(9)转化为直角坐标或者极坐标
[0068]
[0069] 式中p'(θ)是p(θ)的一阶导数；
[0070]
[0071]
[0072] 式中μ为类偏心圆非圆齿轮主动轮节曲线的极径 与切线t的夹角，为极径对应的极角。将式(6)的节曲线方程代入式(7)和(8)或者代入(9)可以求得唯一的[0073] 由类偏心圆非圆齿轮从动轮节曲线封闭条件得
[0074]
[0075] 由式(10)求出类偏心圆非圆齿轮主动轮与类偏心圆非圆齿轮从动轮的中心距a，代入式(11)得到类偏心圆非圆齿轮从动轮的节曲线方程
[0076]
[0077] 式中， 为类偏心圆非圆齿轮从动轮节曲线在极角 处对应的极径，则类偏心圆非圆齿轮副传动比为 类偏心圆非圆齿轮主动轮与类偏心圆非圆齿轮从动轮的节曲线拟合图如图2所示。
[0078] 步骤四、类偏心圆非圆齿轮副的凹凸性判别。
[0079] 将式(7)对θ进行求导，得
[0080]
[0081] 式(12)中，p″(θ)为p(θ)的二阶导数。
[0082] 设类偏心圆非圆齿轮主动轮节曲线的弧长用L表示，它是θ的单调增函数，0≤θ≤2π，于是类偏心圆非圆齿轮主动轮节曲线上各点的曲率半径ρ1为
[0083]
[0084] 将式(6)代入式(13)得类偏心圆非圆主动轮无内凹的条件是
[0085] b(1-k)sinkθ+e(1-l)coslθ+bk(k-1)sink-2θcos2θ+el(l-1)cosl-2θsin2θ+R＞0 (14)
[0086] 类偏心圆非圆齿轮从动轮节曲线上各点的曲率半径ρ2由欧拉-萨伐里公式求出：
[0087]
[0088] 由式(9)、(10)、(13)和(15)得类偏心圆非圆从动轮无内凹的条件是[0089]
[0090] 步骤五、类偏心圆非圆主动轮或类偏心圆非圆从动轮的弧长计算。
[0091] 类偏心圆非圆主动轮和类偏心圆非圆从动轮的弧长均用L表示，则
[0092]
[0093] 由于p′(θ)是以2π为周期的周期函数，故
[0094]
[0095] 当p(θ)＝-p(θ+π)时，可以求出L＝2πR。
[0096] 实施例：
[0097] 卧式枕形包装机属于接缝式包装机，集制袋、裹包、封口、切断等功能为一体。其中横封机构是封口的重要执行机构，其工艺要求：(1)在封切区时，要求匀速或近似匀速转动，使封切器线速度与包装袋输送的速度相等。(2)在空程区时，速度尽量快，以提高效率。(3)在退让区时，封切器切断包装袋后需
加速退让，以保证具有一定包装高度的物品通过对滚横封器。
[0098] 采用类偏心圆非圆齿轮副1驱动横封机构(如图3)，其运动过程为包装袋由左往右运动，对滚封切器在圆柱齿轮副2作用下相对滚动，封切器3处在中间
位置时切断包装袋，具体如图4所示。根据横封器与包装袋速度同步可得
[0099]
[0100] 式中v为包装袋速度；w1为类偏心圆非圆齿轮主动轮
角速度；L2为对滚封切器中心距；i21min为类偏心圆非圆齿轮副传动的传动比最小值。
[0101] 设所需的包装高度为h，由几何关系可以得到
[0102] β＝α1+arccos((L2-h)/L2) (20)
[0103] 式中β为横封器由切断位置到离开的转角；α1为横封器边缘和对称中心线的夹角。要使得包装袋能够通过横封器需满足以下条件：
[0104]
[0105] 其中 为对滚封切器速度最小位置。
[0106] 设计要求：袋长L1＝128mm，包装袋厚度B＝0.15mm，生产能
力Q＝90袋/分，对滚封切器中心距L2＝60mm，包装物的高度h＝10mm，被包装物离包装袋切断边缘最大允许长度为l2＝20mm，横封器边缘和对称中心线的夹角α1＝10°。通过计算可得
热封区域该类偏心圆非圆齿轮副旋转一周为一个袋长，因此该类偏心圆非圆齿轮副参数需满足以下条件
[0107]
[0108] 将设计要求中的参数代入式(22)、(20)，得到该横封机构的类偏心圆非圆齿轮副传动比最小值i21min＝0.679，横封器由切断位置到离开包装物的转角最小值βmin＝43.55°。
[0109] 横封器由切断位置到离开包装物的转角越大，能包装的物品越高，因此优化的目标函数为：
[0110]
[0111] 其中，对滚封切器速度最小时对应
[0112] 约束条件：节曲线为凸，即节曲线的曲率半径ρ1＞0，ρ2＞0；为保证热封、切断时匀速或近似匀速转动，类偏心圆非圆齿轮副传动比最小值i21min＝0.679；根据设计要求，给定类偏心圆非圆齿轮参数R＝30mm，对该横封机构的类偏心圆非圆齿轮副参数进行优化设计，最终
选定类偏心圆非圆齿轮节曲线参数R＝30mm、b＝5.68mm、e＝5.67mm、k＝3、l＝3。
[0113] 按步骤二、三、四通过数值计算得到中心距a＝60.13mm，i21min＝0.679，当取被包装物离边缘允许最大长度时，横封器从切断位置到离开物品的转角为52.47°＞βmin。根据式(18)计算得到主、从动轮弧长L＝60π，因此选取类偏心圆非圆主动轮、类偏心圆非圆从动轮模数m＝2，得到类偏心圆非圆主动轮、类偏心圆非圆从动
轮齿数Z＝30，建立齿轮副齿廓，得到该齿轮啮合如图5。
[0114] 如果采用偏心圆非圆齿轮节曲线参数(R＝30、b＝0.19、e＝5.53、k＝1、l＝1)，当取允许最大横封长度时，横封器由切断位置到离开物品的转角为41.10°＜βmin，包装物无法通过横封器，不符合设计要求。类偏心圆非圆齿轮副与偏心圆非圆齿轮副的传动特性对比如图6所示。
