技术领域：
[0001] 本
发明涉及一种快速分析电大导体目标电磁散射的方法，尤其涉及一种分析导体电磁散射的稀疏化多层自适应交叉近似方法。背景技术：
[0002] 电大目标的电磁散射问题一直受到国内外学者的广泛关注。矩量法(Method of Moments,MoM)将电磁积分方程转
化成矩阵方程，是计算目标散射特性的有效途径。但是传2
统矩量法的
迭代求解的复杂度为O(N)，这里N是未知量的数目，如此高的复杂度限制着传统矩量法在计算电大目标的应用。在诸多矩量法的快速方法中，自适应交叉近似(Adaptive Cross Approximation,ACA)是一种基于低秩分解的方法，具有计算高效高，独立于积分核、易于编程实现、方便集成到矩量法现有程序中等优点。所以该方法的应用领域非常广泛，不但包括求解电磁散射，还包括电磁
辐射、电磁兼容等诸多电磁仿真问题。ACA方法可以将迭
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代求解中等电尺寸目标的计算复杂度降为O(N logN)。但是矩量法阻抗矩阵的子矩阵的秩随着目标分组的电尺寸的增加而增加，这导致ACA在计算电大目标时候的计算复杂度和存
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储复杂度趋近于O(N)和O(N)，这一复杂度是难以接受的。
[0003] 为了缓解这一问题，国外研究人员提出了多种改进方法，例如：自适应 交 叉 近 似 - 奇 异 值 分 解 (Adaptive Cross Approximation-Singular Values Decomposition,ACA-SVD)、多 层 自 适 应 交 叉 近 似 (Multilevel Adaptive Cross Approximation,MLACA)和 稀 疏 化 自 适 应 交 叉 近 似 (Sparsified Adaptive Cross Approxiamtion,SPACA)。ACA-SVD使用QR分解和SVD分解进一步压缩ACA分解所得到的矩阵，节省了内存，但是ACA-SVD却保持与传统ACA相同的计算和存储复杂度。MLACA方法是ACA-SVD的多层版本，它可以获得比ACA-SVD更低的计算和存储复杂度，但是该方法只有在未知量数目N达到百万量级的时候才比传统的ACA-SVD计算效率高。而在这些基于ACA的方法中，稀疏化自适应交叉近似具有最高的计算效率，它将矩量法互阻抗子矩阵近似表达成五个稀疏矩阵相乘的形式。对于50
波长以内的计算目标来说，稀疏化自适应交叉近似可以到达接近于O(N log N)的计算和存储复杂度。
[0004] 国内外学者的研究表明，稀疏化自适应交叉近似方法具有很强的适用能
力，其应用几乎可以涵盖各种矩量法矩阵方程的求解，包括电磁散射、天线辐射、分层介质目标的
电路特性分析等。但当计算目标超过50波长的时候，SPACA的计算和存储复杂度会随着目标电尺寸的增加而逐渐失去O(N log N)的特性，计算时间和存储存量会迅速增加。发明内容：
[0005] 发明目的：为了解决快速分析导体目标电磁散射的问题，本发明提出了一种精确高效的稀疏化多层自适应交叉近似方法(Sparsified Multilevel Adaptive Cross Approxiamtion,SMLACA)。该方法可以显著降低矩量法计算电大目标电磁散射的计算时间和内存消耗，比传统稀疏化自适应交叉近似方法具有更高的计算效率和更低的内存消耗。
[0006] 为了达到上述目的，本发明的技术方案是这样实现的：
[0007] 一种分析导体电磁散射的稀疏化多层自适应交叉近似方法，其特征在于，步骤如下：
[0008] 第1步：针对导体目标的电磁散射问题建立用于散射计算的表面积分方程，然后对导体的表面用三
角形面片进行离散，然后在每个相邻的三角形面片对上定义RWG(Rao-Wilton-Glisson)基函数，之后利用所定义的基函数和矩量法对表面积分方程进行离散。再然后对所有基函数进行
树形结构分组。
[0009] 第2步：对于最底层的近场组对之间的阻抗矩阵利用传统的矩量法进行计算并存于内存；
[0010] 第3步：使用稀疏化多层自适应交叉近似方法对每层的远场组对之间的阻抗矩阵进行低秩分解。
[0011] 第4步：利用分解后的阻抗矩阵进行迭代求解，最终得到电磁散射的远场值。
[0012] 进一步地，以对第i组和第j组之间的阻抗矩阵 进行压缩为例，使用稀疏化多层自适应交叉近似方法对每层的远场组对之间的阻抗矩阵进行低秩分解具体包括以下4个步骤：
[0013] 第(1)步：利用快速自适应交叉
采样技术对两组内的基函数进行采样。
[0014] 第(2)步：利用采样得到的基函数将两组之间的阻抗矩阵 近似表达成三个矩阵相乘 其中，Zi是第i组的所有基函数和第j组的采样基函数之间的阻抗矩阵，Zj是第j组所有基函数和第i组的采样基函数之间的阻抗矩阵，Zs是第i组的采样基函数和第j组的采样基函数之间的阻抗矩阵；
[0015] 第(3)步：利用多层自适应交叉近似方法分别对Zi和Zj进行压缩。
[0016] 第(4)步：利用第(2)步和第(3)步所得到的结果，得到利用稀疏化多层自适应交叉近似方法对第组i和第组j之间的阻抗矩阵 的最终压缩形式。
[0017] 本发明具有如下有益效果：
[0018] 1.计算效率高内存需求小：由于本发明提出的稀疏化多层自适应交叉近似方法是一种压缩矩量法阻抗矩阵的快速方法，目的也是降低传统稀疏化自适应交叉近似方法的计算和存储复杂度，提高阻抗矩阵的压缩效率和压缩率，进而减少矩量法在计算电大目标散射特性中的计算时间和计算机内存需求。从本发明的具体实施方案的算例中可以看出，本发明所提的数值方法比传统的稀疏化自适应交叉近似方法减少了计算时间和内存需求。随着计算目标的不断增大，仿真计算时间以及计算机内存需求将会得到更明显的降低。
[0019] 2.数值
精度可控：从本发明在具体的实施过程中可以看出，稀疏化多层自适应交叉近似是一种精度可控的方法，通过调节控制精度的参数可以得到所需的数值精度。这为实际工程应用提供方便。
[0020] 3.应用范围广泛：本发明提出的高效压缩矩量法子矩阵的稀疏化多层自适应交叉近似方法是一种低秩分解方法，它对积分核的依赖很小，几乎可以应用于求解所有矩量法矩阵方程中。一方面，该方法不仅可以直接应用于导体目标电磁散射的求解，而且对该方法稍加改动即可对介质目标以及金属介质混合目标进行电磁散射仿真；另一方面，在电磁仿真的其它领域，包括：
电磁辐射计算，
微波电路仿真，电磁兼容分析等领域，本发明同样可以很好地解决。
[0021] 4.高效的采样技术：本发明提出的快速自适应交叉采样(Fast Adaptive Cross Sampling,FACS)技术是一种高效的采样技术，具有与传统自适应交叉近似采样相近的采样效果，却有更高的计算效率。该采样技术应用范围非常广泛。
附图说明：
[0022] 图1是本发明解决的导体目标的电磁散射问题的示意图。
[0023] 图2是本发明求解的导体目标的电磁散射问题中导体目标的多层树形分组示意图。
[0024] 图3是本发明中利用3层稀疏化多层自适应交叉近似方法对Zi进行压缩的原理图。
[0025] 图4是本发明中Zi被3层稀疏化多层自适应交叉近似方法压缩成4个稀疏矩阵相乘的示意图。
[0026] 图5是本发明中 被3层稀疏化多层自适应交叉近似方法压缩成7个稀疏矩阵相乘的示意图。
[0027] 图6是本发明求解的一个实际算例远场结果图。具体实施方案：
[0028] 下面结合附图对技术方案的实施作进一步的详细描述：
[0029] 如附图1所示，本发明的快速分析导体目标电磁散射的稀疏化多层自适应交叉近似方法包括以下4个步骤：
[0030] 第1步：针对导体目标的电磁散射问题建立用于散射计算的表面积分方程，对导体的表面用三角形面片进行离散，然后在每个相邻的三角形面片对上定义Rao-Wilton-Glisson(RWG)基函数，然后利用矩量法离散积分方程得到要求解的矩阵方程。再然后对所有基函数进行树形结构分组(三维分布的基函数使用八叉树结构)。
[0031] 根据基函数的多层分组情况，在每一层根据两组之间的
位置关系，每两组构成的组对可以分成远场组对和近场组对两种。那么整个阻抗矩阵可以表示成各层各组对之间阻抗子矩阵的相加。
[0032] 假设已经得到待求的矩量法矩阵方程为：
[0033] ZI＝V (1)其中，Z是一个N×N的矩阵，称之为阻抗矩阵，它的矩阵元素zmn是第m个基函数fm和第n个基函数fn之间的相互作用。I和V都是包含N个元素的一维列向量，其中V为已知的
电压向量，I为未知的
电流向量，即为待求量。N是导体目标离散成RWG基函数的个数。
[0034] 然后对所有RWG基函数fn(n＝1,2,3,…,N)进行多层分组。为了方面描述，我们以二维结构为例对基函数进行分组。如图2(a)所示，基函数分布在一个二维曲线上。首先如图2(a)所示，使用一个可以包裹所有基函数的正方形将所有基函数进行包裹，这样便形成了第0层分组。然后将这个正方形划分成四个大小相等的小正方形，如图2(b)所示，这样便形成了第1层分组。这四个小正方形称之为第0层正方形的子组，而第0层正方形称为第一层正方形的父组。如图2(c)所示，第1层的每个小组又被平均分成四个大小相同的正方形，它们构成了第2层分组，以此类推，我们可以生产第3层分组，以及更多层的分组。
[0035] 根据对基函数的分组，整个矩量法阻抗矩阵Z可以表示成许多子矩阵的相加。假设在对基函数分组的过程中，共分成Lg层，那么阻抗矩阵Z可以具体表示成如下形式：
[0036]
[0037] 其中，l表示第l层。G(l)表示第l层所有非空组的集合。 表示第l层非空组中与第i组相邻或者重叠的组的集合。如果组 那么我们称j是i的近场组，否则我们称j是i的远场组。
[0038]
[0039] 表示第l层满足一定条件非空组的集合。如果组j属于 那么组j所需满足的条件为：j是i的远场组，并且j和i在第l-1层的父组jp和ip是远场组关系。
[0040] 第2步：对于最底层的近场组对之间的阻抗矩阵利用传统的矩量法进行计算并存于内存。对于最底层的所有近场作用 进行直接计算并存于内存。
[0041] 第3步：使用稀疏化多层自适应交叉近似方法对每层的远场组对之间的阻抗矩阵进行低秩分解。即对所有的 进行压缩。以压缩第l层的第i组和第j组之间的阻抗矩阵 为例，具体包括以下4个步骤：
[0042] 第(1)步：利用快速自适应交叉采样(FACS)技术对两组内的基函数进行采样。快速自适应交叉采样是一种高效的迭代采样技术，其中第n次(n＝1,2,3,…)迭代具体包括以下3个步骤：
[0043] 第①步：从第i组和第j组中按照空间均匀原则分别采样出 个基函数作为初始采样基函数。采样基函数的数目 根据式(4)来决定。
[0044]
[0045] 其中，D是i组和j组的边长的尺寸，λ是自由空间的波长。α是一个调节初始采样点 数目的参数，α的推荐值为α∈[5,10]。
[0046] 第②步：利用自适应交叉近似方法对两组选出的初始采样基函数之间构成的阻抗矩阵进行分解，如式(5)所示。
[0047]
[0048] 其中， 是第①步中所选出的初始采样基函数之间的阻抗矩阵，它的维数为和 是自适应交叉近似方法分解过程所得到的矩阵，它们的维数均为这里 是 和 的列的数目。自适应交叉近似方法的收敛精度设置为
-2 -4
ε，通常设置ε＝10 ～10 。自适应交叉近似方法分解的过程可以自适应地从每组的初(n)
始采样基函数中选出s 个最重要的基函数。
[0049] 第③步：我们利用式(6)来判断快速自适应交叉采样的迭代过程是否应该被终止。
[0050]
[0051] 其中，s(0)＝0， β是一个常数，通常取β＝0.1～0.01。如果式(6)成立，则快速自适应交叉采样的迭代过程终止，否则进行第n+1次迭代。
[0052] 当快速自适应交叉采样迭代终止后，我们将最后一次迭代通过自适应交叉近似方法选出的2×s(n)个采样基函数(i组和j组分别有s(n)个采样基函数)作为最终的采样基函数。
[0053] 第(2)步：利用这些采样基函数将两组之间的阻抗矩阵 近似表达成三个矩阵(n)相乘 我们使用FACS选择出的2×s 个采样基函数对i组和j组之间的阻
抗矩阵 进行近似表达。 的具体近似表示形式为式(7)。
[0054]
[0055] 其中，Zi是第i组的所有基函数和第j组的采样基函数之间的阻抗矩阵。Zj是第j组所有基函数和第i组的采样基函数之间的阻抗矩阵。 表示Zj的转置矩阵。Zs是第i组的采样基函数和第j组的采样基函数之间的阻抗矩阵。 表示Zs的逆矩阵。
[0056] 第(3)步；利用多层自适应交叉近似方法对Zi和Zj进行压缩。
[0057] 为了更加直观且易于理解，结合附图3，我们举一个利用多层自适应交叉近似对Zi进行三层分解的例子示之。三层分解共包含以下3个步骤：
[0058] 第①步：对Zi进行压缩分解，即为第一层分解。
[0059] 首先将Zi按照i组所有基函数在最底层(Lg层)的分组情况划分成若干个子矩阵。划分在第Lg层相同组的基函数所对应的行属于同一个子矩阵，如附图3(a)和式(8)所示。
[0060]
[0061] 然后对每个子矩阵使用ACA-SVD方法进行压缩，其中SVD和ACA的Frobenius范-2 -4数误差精度设置为ε，通常取ε＝10 ～10 。第g个子组Zi,g的ACA-SVD分解为[0062]
[0063] 其中，1≤g≤p。Ui,g和Vi,g是
正交矩阵，分别为Zi,g的左奇异矩阵和右奇异矩阵。Si,g是一个对角线矩阵，其中每个对角元素为Zi,g的奇异值。那么Zi可以被分解为式(10)。
[0064]
[0065] 其中，
[0066]
[0067]
[0068] 第②步：对第①步得到 进行压缩分解，即为第二层分解。
[0069] 首先将第①步得到的 矩阵重新划分成若干个子矩阵。具体的划分过程分为以下两个步骤：首先将 的行按照i组的所有基函数在Lg-1层的分组情况进行合并，然后将的列按照j组采样基函数在第l+1层的分组情况进行分裂。重新划分后的 如附图3(b)所示。然后对重新划分后得到的每个子矩阵进行ACA-SVD压缩。那么 可被分解为[0070]
[0071] 其中， 和 的具体形式如附图3(b)所示。和第①步相同，ACA-SVD分解后的奇异值矩阵包含在 中。
[0072] 第③步：对第②步得到 进行压缩分解，即为第三层分解。
[0073] 如图3(b)所示， 为若干个对角
块矩阵组合而成。在第三层分解中，我们对的每个对角块矩阵进行与第②步相类似的操作，即：先根据i组基函数在Lg-2层的分组情况和j组采样基函数第l+2层的分组情况对每个对角块子矩阵重新划分多个子矩阵，然后再对每个子矩阵进行ACA-SVD压缩。最后 可被分解为
[0074]
[0075] 其中， 和 的具体形式如图3(c)所示，同样ACA-SVD得到的奇异值信息包含在 中。
[0076] 将式(13)和式(14)代入到式(10)，我们可以得到Zi经过三层分解的最后表达形式(15)。
[0077]
[0078] 其中， 和 均为稀疏的正交矩阵，而 是一个块对角矩阵，它们的具体形式如附图4所示。
[0079] 按照上面三层分解的例子类推，我们可以得到Zi经过L层分解后的近似表达形式(16)。Zi被分解成L+1个矩阵，其中包括L个稀疏的正交矩阵和1个块对角矩阵。
[0080]
[0081] 同理，利用多层自适应交叉近似方法对Zj进行高效压缩。假设Zj进行L次分解，那么Zj被表示成L+1个稀疏矩阵的乘积，如式(17)所示。
[0082]
[0083] 第(4)步；利用第(2)步和第(3)步所得到的结果，可以得到利用稀疏化多层自适应交叉近似对组i和组j之间互阻抗的最终压缩形式。
[0084] 将式(16)和式(17)代入式(7)，我们可以得到 在经过L层稀疏化多层自适应交叉近似分解后的近似多个系数矩阵相乘的形式，具体表达为式(18)。附图5给出了被3层稀疏化多层自适应交叉近似压缩成9个稀疏矩阵相乘的示意图。
[0085]
[0086] 第4步：利用分解后的阻抗矩阵进行迭代求解，最终解出电磁散射的远场值。具体为利用广义最小残值法(GMRES)对压缩后的式(1)进行求解，求解导体表面的电流值，然后利用电流值计算所需的远场雷达散射截面。
[0087] 下面以一具体实例对本发明方法作进一步说明：
[0088] 如附图6中的插图所示，本发明以一个直径8m理想导体球的散射问题为研究对象加以详细论述。入射波的工作
频率为300MHz，入射方向为 方向，入射波的
电场方向为下面按照技术方案的过程实现稀疏化多层自适应交叉近似对这个理想导体球的电磁散射问题进行高效求解。本算例中使用的2层稀疏化多层自适应交叉近似。整个计算过程在个人电脑上完成，其配置为Intel(R)Pentium(R)Dual-Core CPU E5500主频2.8GHz，(本算例只使用了一个核)，2.0GB RAM。
[0089] 第1步：针对该理想导体球的电磁散射问题建立用于散射计算的表面积分方程，将这个理想导体的表面离散成40316个三角形，三角形的边长约为0.1m。共得到60474个RWG基函数。然后利用八叉树对所有基函数进行分组，共分成4层。
[0090] 第2步：对近场组进行计算，并存于内存。
[0091] 第3步：利用2层稀疏化多层自适应交叉近似对各层的远场组间的阻抗矩阵进行压缩。其中快速自适应交叉采样技术中的α＝10，β＝0.1，且ACA的误差判据设为ε＝-310 。在MLACA中使用的ACA-SVD中，SVD和ACA的Frobenius范数误差精度均设置为ε-3
＝10 。
[0092] 第4步；利用分解后的阻抗矩阵和GMRES进行迭代求解，最终解出电磁散射的远场雷达散射截面(附图6)。从附图6可以看出，稀疏化多层自适应交叉近似的计算结果与解析解吻合得很好。表1给出了稀疏化多层自适应交叉近似的计算时间和内存需要与传统矩量法的比较。可以看出稀疏化多层自适应交叉近似的内存消耗只是传统矩量法的3.6％。由于传统矩量法所需要的内存太大，已经超出了所使用电脑的总内存，所以该目标无法用传统矩量法计算。可以看出稀疏化多层自适应交叉近似方法非常适合于计算电大目标的散射计算。
[0093] 表1
[0094]计算时间(s) 内存(MB)
矩量法 - 27901.5
稀疏化多层自适应交叉近似方法 436 992.6
