一种基于FIR滤波器和分数阶重复控制器的磁悬浮转子谐波
电流抑制方法
技术领域
[0001] 本
发明涉及磁悬浮转子谐波电流抑制的技术领域，具体涉及
一种基于FIR滤波器和分数阶重复控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法，用于对磁悬浮
飞轮转子系统中的谐波电流进行抑制，为磁悬浮飞轮在“超静”卫星平台上的应用提供技术支持。
背景技术
[0002] 磁
轴承转子系统具有无摩擦、长寿命和主动振动可控等特性，在磁悬浮飞轮、磁悬浮陀螺以及磁悬浮分子
泵等方面有良好的应用。由于加工
精度有限，磁悬浮转子不可避免地会存在
质量不平衡，在高速转动过程中会产生与转速
频率相同的同频控制电流；另一方面，由于
传感器检测面、被检测面上电或者磁特性不一致，通过实验发现即使没有不平衡量，传感器检测
信号中仍然含有同频及倍频噪声，这就是传感器谐波，传感器谐波会引发谐波控制电流。由磁悬浮转子质量不平衡和传感器谐波所产生的谐波控制电流，会使
磁轴承产生谐波振动
力，进而传递到
基座影响超静卫星平台的
姿态控制精度。
[0003] 谐波振动抑制可以分为零电流、零位移和零振动三类，其中零电流可以用最少的计算量和功耗抑制大部分的振动，本发明将磁悬浮转子的谐波电流视为扰动进行谐波电流抑制，实现零电流。
现有技术主要针对单一频率的干扰进行抑制，对于谐波扰动抑制研究相对较少，主要可以分为两类。第一类方法针对不同频率的振动并联多个滤波器，如并联多个陷波器或多个LMS(Least Mean Square,LMS)滤波器等。该方法不能针对所有振动同时抑制，计算量大，且需要考虑不同滤波器间的收敛速度问题，设计起来比较复杂。第二类方法无需并联多个滤波器便可实现对不同频率成分振动的同时抑制，如重复控制
算法。现有的应用于磁悬浮转子控制系统的重复控制算法均没有频率自适应能力，只能实现某些固定转速下的谐波电流抑制，本发明提出一种频率自适应重复控制器以实现磁悬浮转子的谐波电流抑制。
发明内容
[0004] 本发明的目的为：克服现有技术的不足，发明一种基于FIR滤波器和分数阶重复控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法，通过在线更新分数阶重复控制器系数实现谐波电流抑制。
[0005] 本发明采用的技术方案为：一种基于FIR滤波器和分数阶重复控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法，包括以下步骤：
[0006] 步骤(1)建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型[0007] 磁悬浮飞轮通过主动磁轴承控制转子实现稳定悬浮，令O表示磁轴承
定子的几何中心，G表示转子的几何中心，I表示转子的质心，以O为中心建立惯性
坐标系OXYZ，(x,y)表示转子几何中心G在惯性坐标系下的坐标值，由于转子具有对称结构，故在X方向上对其谐波扰动来源以及控制算法进行分析与研究，
[0008] 根据
牛顿第二定律，磁悬浮转子在X方向的动力学方程如下：
[0009]
[0010] 其中，表示转子在X方向的
加速度，m表示转子质量，fx表示磁轴承在X方向的轴承力，fu表示转子的不平衡力，可表示如下：
[0011] fu＝meΩ2cos(Ωt+φ)
[0012] 其中e表示转子几何中心与质心之间的偏差，Ω表示转子转速，φ表示转子不平衡质量的初始
相位；
[0013] 当转子在磁轴承中心
位置小范围悬浮时，磁轴承的电磁力可近似表示为线性化方程：
[0014] fx≈Kxx+Kii
[0015] 其中Kx和Ki分别表示磁轴承位移
刚度和电流刚度，i表示磁轴承线圈控制电流；
[0016] 由于
机械加工精度和材料的不均匀因素的影响，磁悬浮转子的位移传感器检测面会出现圆度不理想、材质不均匀、剩磁特性不同的现象，位移传感器的输出将会出现同频和倍频的多谐波信号：
[0017] xs(t)＝x(t)+xd(t)
[0018] 其中x(t)表示转子几何中心真实的坐标值，xs(t)表示传感器的输出值，xd(t)为传感器输出值与真实值的误差，可表示如下：
[0019]
[0020] 其中l表示谐波次数，cl表示谐波系数，θl表示谐波初始相位；
[0021] 将i、xd(t)、fu依次进行拉普拉斯变换可得I(s)、Xd(s)、Fu(s)，则磁轴承电流I(s)的传递函数可表示如下：
[0022]
[0023] 其中，Gc(s)表示反馈控制器的传递函数，Gw(s)表示功放环节的传递函数，Gp(s)表示磁悬浮转子的传递函数，R(s)表示参考
输入信号，Ks表示传感器增益；
[0024] 综合以上分析可得，转子质量不平衡以及传感器误差会使磁轴承产生谐波控制电流，从而产生谐波振动力；
[0025] 步骤(2)设计基于FIR滤波器和分数阶重复控制器的谐波电流抑制算法进行磁悬浮转子谐波电流抑制
[0026] 以谐波电流为控制目标，将谐波电流i输入至重复控制器，重复控制器是基于内模原理实现输入信号中谐波量的消除，在实际磁轴承控制系统中，
采样频率与谐波电流基频的比值一般不为整数，现有的针对磁轴承谐波电流抑制的重复控制器只能对其整数部分进行补偿，谐波电流抑制精度大大降低，针对这一不足，采用FIR滤波器和分数阶重复控制器相结合的方式实现谐波电流的抑制，FIR滤波器是具有线性相位特性的
低通滤波器，分数阶重复控制器由分数延时滤波器近似得到，通过分数延时滤波器系数的在线更新，可以实现谐波电流抑制。
[0027] 更进一步的，所述的步骤(2)谐波电流抑制算法为：
[0028] 利用整数延时环节、FIR滤波器和分数阶延时环节相
串联，Ts是采样周期； 是采样周期的整数延时环节；F(s)是具有线性相位的FIR滤波器，滞后相位 与频率ω成比例关系，可以获知并进行补偿，解决了低通滤波器相位滞后带来的影响； 是采样周期的分数阶延时环节，由分数延时滤波器近似得到，采用以上三者相串联的形式，一方面可以消除低通滤波器相位滞后带来的误差，增大系统带宽；另一方面可以消除
采样频率与谐波
扰动信号基频的比值不为整数情况下带来的误差，实现磁轴承谐波电流抑制。
[0029] 更进一步的，该谐波电流抑制算法以参考输入信号R(s)和等效谐波扰动信号D(s)作为输入，磁轴承线圈电流I(s)作为输出的灵敏度函数S2(s)可表示如下：
[0030]
[0031] 其中， 表示除去重复控制器时以电流I(s)作为输出的灵敏度函数，C(s)表示相位补偿器。低通滤波器F(s)的截止频率ωc大于有效谐波扰动的最高频率ωmax，在ω∈(0,ωmax)范围内F(s)的幅值衰减很小，可近似认为|F(s)|＝1。
[0032] 本发明基本原理：对磁悬浮飞轮来讲，高频振动会降低卫星平台的指向精度和稳定度，必须加以抑制。其中，振动的主要来源是质量不平衡和传感器谐波。本发明针对谐波电流进行抑制，减小谐波振动。由于质量不平衡和传感器谐波的存在，导致控制电流中含有谐波，即谐波电流，从而使磁悬浮飞轮中含有谐波振动。通过建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型，分析谐波电流，提出一种频率自适应重复控制器以实现磁悬浮转子高转速下的谐波电流抑制，重点从三个方面进行研究：与延时环节串联的具有线性相位特性的FIR低通滤波器设计，FIR滤波器滞后相位可以获知，以便于后续进行分析和补偿；分数阶延时滤波器设计，当转子转速改变时，可通过改变分数阶延时滤波器的系数实现小数部分补偿；相位补偿环节设计，采用重构谱和小增益理论进行
稳定性分析，通过设计相位补偿环节以保证稳定性，最终实现磁悬浮转子谐波电流的抑制，
[0033] 本发明与现有技术相比的优点在于：
[0034] (1)为了有效抑制磁悬浮转子系统中的谐波电流，本发明提出一种基于FIR滤波器和分数阶重复控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法，能实现定转速下的谐波电流抑制，适用于存在质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子谐波电流抑制。
[0035] (2)本发明将FIR低通滤波器和分数阶重复控制器结合使用，应用FIR滤波器的线性相位特性和分数阶重复控制器系数在线更新实现谐波电流的抑制。
附图说明
[0037] 图2为磁悬浮飞轮结构示意图，其中，1为径轴一体位移传感器，2为径向磁轴承，3为轴向磁轴承，4为惯性轴，5为几何轴，6为磁悬浮转子；
[0038] 图3为传感器谐波示意图；
[0039] 图4为X通道磁轴承转子控制系统
框图；
[0040] 图5为改进插入式重复控制器系统框图；
[0041] 图6为拉格朗日插值多项式幅频特性曲线，其中，图6(a)为n＝2时拉格朗日插值多项式幅频特性曲线，图6(b)为n＝3时拉格朗日插值多项式幅频特性曲线；
[0042] 图7为简化后的改进重复控制器系统方框图。
具体实施方式
[0043] 下面结合附图以及具体
实施例进一步说明本发明。
[0044] 如图1所示，一种基于FIR滤波器和分数阶重复控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法的实施过程是：首先建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型，然后设计一种基于FIR滤波器和分数阶重复控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法。
[0045] (1)建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型
[0046] 磁悬浮转子系统结构示意图如图2所示，O表示磁轴承定子的几何中心，G表示转子的几何中心，I表示转子的质心。以O为中心建立惯性坐标系OXYZ，(x,y)表示转子几何中心G在惯性坐标系下的坐标值。由于转子具有对称结构，故在X方向上对其谐波扰动来源以及控制算法进行分析与研究。
[0047] 根据牛顿第二定律，磁悬浮转子在X方向的动力学方程如下：
[0048]
[0049] 其中，表示转子在X方向的加速度，m表示转子质量，fx表示磁轴承在X方向的轴承力，fu表示转子的不平衡力，可表示如下：
[0050] fu＝meΩ2cos(Ωt+φ)
[0051] 其中e表示转子几何中心与质心之间的偏差，Ω表示转子转速，φ表示转子不平衡质量的初始相位。
[0052] 当转子在磁轴承中心位置小范围悬浮时，磁轴承的电磁力可近似表示为线性化方程：
[0053] fx≈Kxx+Kii
[0054] 其中Kx和Ki分别表示磁轴承位移刚度和电流刚度，i表示磁轴承线圈控制电流。
[0055] 由于机械加工精度和材料的不均匀等因素的影响，磁悬浮转子的位移传感器检测面会出现圆度不理想、材质不均匀、剩磁特性不同的现象，如图3所示，位移传感器的输出将会出现同频和倍频的多谐波信号：
[0056] xs(t)＝x(t)+xd(t)
[0057] 其中x(t)表示转子几何中心真实的坐标值，xs(t)表示传感器的输出值，xd(t)为传感器输出值与真实值的误差，可表示如下：
[0058]
[0059] 其中l表示谐波次数，cl表示谐波系数，θl表示谐波初始相位。
[0060] 磁轴承X方向平动控制系统如图4所示，将i、xd(t)、fu依次进行拉普拉斯变换可得I(s)、Xd(s)、Fu(s)，则磁轴承电流I(s)的传递函数可表示如下：
[0061]
[0062] 其中，Gc(s)表示反馈控制器的传递函数，Gw(s)表示功放环节的传递函数，Gp(s)表示磁悬浮转子的传递函数，R(s)表示参考输入信号，Ks表示传感器增益；
[0063] 结合以上分析可得，转子质量不平衡以及传感器误差会使磁轴承产生谐波控制电流，从而产生谐波振动力。
[0064] (2)设计基于FIR滤波器和分数阶重复控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法[0065] 针对步骤(1)线圈电流中存在谐波电流这一问题，本发明采用一种基于FIR滤波器和分数阶重复控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法。如图5所示，其中Ts是采样周期；是采样周期的整数延时环节；F(s)是具有线性相位的FIR滤波器，滞后相位 与频率ω成比例关系，可以获知并进行补偿，解决了低通滤波器相位滞后带来的影响； 是采样周期的分数阶延时环节，由分数延时滤波器近似得到。采用以上三者相串联的形式，一方面可以消除低通滤波器相位滞后带来的误差，增大系统带宽；另一方面可以消除采样频率与谐波扰动信号基频的比值不为整数情况下带来的误差，实现定转速下的磁轴承谐波电流抑制。
[0066] 以参考输入信号R(s)和等效谐波扰动信号D(s)作为输入，磁轴承线圈电流I(s)作为输出的灵敏度函数S2(s)可表示如下：
[0067]
[0068] 其中， 表示除去重复控制器时以电流I(s)作为输出的灵敏度函数，C(s)表示相位补偿器。低通滤波器F(s)的截止频率ωc大于有效谐波扰动的最高频率ωmax，在ω∈(0,ωmax)范围内F(s)的幅值衰减很小，可近似认为|F(s)|＝1。
[0069] 1.FIR低通滤波器分析
[0070] 将FIR滤波器替换普通的低通滤波器，是因为FIR滤波器既能满足低通滤波器的特性，并且其相位与频率成线性关系，FIR滤波器的通用表达式如下：
[0071]
[0072] 其中M表示FIR滤波器的阶数，ai表示FIR滤波器的系数。当ai满足偶对称时，FIR滤波器的相位 可表示如下：
[0073]
[0074] 其中， 表示比例系数，Ts＝0.0002s表示系统采样周期。
[0075] 设计过程如下：
[0076] a)、本发明应用的磁悬浮转子系统，转子最高转速4800rpm，有效谐波扰动主要表现在同频、二倍频…七倍频，也就是有效谐波扰动的最高频率ωmax＝3519rad/s。为了保证一定的稳定裕度和谐波抑制精度，FIR滤波器的截止频率ωc应该大于有效谐波扰动的最大频率，但是截止频率ωc过大会破坏系统稳定性，本发明中采用 其中 表示系统采样频率，则有ωc＝6283rad/s。
[0077] b)、FIR滤波器的过渡带宽应该尽可能小，由于在FIR设计方法中，三
角窗函数可以实现最小的过渡带宽，在本发明中，采用三角窗函数方法设计FIR滤波器，其过渡带宽BW可表示如下：
[0078]
[0079] 从上式可以看出，FIR滤波器阶次M越高，过渡带宽越小。但是，随着M的升高，FIR滤波器的系数增多，计算量也将急剧升高。本发明中过渡带宽要求不大于 对应的选取FIR滤波器阶次M＝9。
[0080] 2.分数阶延时环节分析
[0081] 在工程应用中，分数阶延时环节 无法直接应用，需要找到一种替换形式。分数阶延时环节 可用一种拉格朗日插值多项式来近似表示：
[0082]
[0083] 其中系数Dk可表示如下：
[0084]
[0085] 多项式 与分数阶延时环节 的差值Rn可表示如下：
[0086]
[0087] 其中ξ∈[Tk,Tk+1]，Tk和Tk+1分别表示第k个和第k+1个采样时刻。从上式可以看出，随着拉格朗日插值多项式阶数n的增大，Rn逐渐减小，即拉格朗日插值多项式的近似程度逐渐升高，但是，随着n的增大，算法计算量大幅度增大。在实际工程中，应该综合考虑差值Rn和算法计算量两个因素，下面分别给出n＝2和n＝3两种情况下A从0到0.9变化时的拉格朗日插值多项式幅频特性曲线。
[0088] 图6(a)和图6(b)两图分别给出在n＝2和n＝3两种情况下拉格朗日插值多项式的幅频特性曲线，拉格朗日插值多项式的截止频率均高于系统截止频率，并且在本系统截止
频率范围(0,ωc)内，当n＝2时，多项式最大幅值衰减仅为-0.565dB，与分数延时环节的近似程度极高，完全可以满足差值Rn尽量小的要求，并且计算量也相对较小，所以在本发明中选取n＝2。
[0089] 3.稳定性分析
[0090] 根据对FIR滤波器和分数阶延时环节的分析可知，当ω∈(0,ωc)时，FIR滤波器的相位 幅值|F(z)|≈1，分数阶延时环节通过拉格朗日插值多项式近似表示后，多项式的相位为-A·Tsω，幅值 在对加入算法后的系统进行稳定性分析时，可作如下近似：
[0091]
[0092] 其中T表示磁悬浮转子的转动周期。
[0093] 当ω∈(0,ωc)时，可将图5进行简化，如图7所示：其中相位补偿函数C(s)可以表示为：
[0094]
[0095] 其中Krc表示改进重复控制器增益，Kf(s)表示在低频段和中频段的相位补偿函数，表示高频段的相位补偿函数。
[0096] 由图7可以得出加入改进重复控制器后系统的闭环特征方程，表示如下：
[0097] M(s)-N(s)e-Ts＝0
[0098] 其中，M(s)＝1+Gc(s)Gw(s)Gp(s)Ks，N(s)＝1+C(s)Gw(s)+Gc(s)Gw(s)Gp(s)Ks。
[0099] 加入改进重复控制器后的系统重构谱函数R(ω)可表示如下：
[0100]
[0101] 重构谱函数可以作为一种判断系统稳定性的依据：根据最小增益理论可知，对于一个稳定系统，如果加入重复控制器后系统重构谱函数能满足下式所述的条件，则新的系统也是稳定的。
[0102] R(ω)＜1，ω∈(0,ωc)
[0103] 定义函数G(s)：
[0104]
[0105] 其中G(s)|s＝jω＝L(ω)eiθ(ω)，加入重复控制器后系统的稳定条件可等效为：
[0106]
[0107] 其中 令λ(ω)＝θ(ω)+θb(ω)+NhTsω，将上式通过欧拉公式展开如下：
[0108] |KrcL(ω)·Kb(ω)cosλ(ω)+jKrcL(ω)·Kb(ω)sinλ(ω)+1|＜1[0109] 将上式等号两边的式子同时平方可得：
[0110] [KrcL(ω)·Kb(ω)]2＜-2KrcL(ω)·Kb(ω)cosλ(ω)
[0111] 由于同时满足Krc＞0、L(ω)＞0、Kb(ω)＞0，所以上式可化简如下：
[0112] KrcL(ω)·Kb(ω)＜-2cosλ(ω)
[0113] 为了保证上式是有解的，必须保证cosλ(ω)＜0，即
[0114] 90°＜λ(ω)＜270°
[0115]
[0116] 综上所述，通过串联合适的相位补偿函数和增益系数，可以保证加入算法后系统的稳定性。
[0117] 本发明
说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。
