Method for machining gear tooth, workpiece with gear tooth, and machine tool

本発明は、歯元の面がその特定形状から取代分ずれた歯車の歯を加工する方法であって、取代を、少なくとも２回の送り込みステップの送り込みによって除去し、各送り込みステップの後には、工具軸周りに回転するプロファイル加工工具を用いる加工パスが続き、この作業のために、プロファイル加工工具を、工具軸に直交する工具の回転平面が歯車の軸に対して傾斜する角度に応じた歯車に対する位置にセットした後、歯車の歯と係合させ、各送り込みステップの後に、その結果の工具の係合面内の材料を取り除き、最後の送り込みステップの後、後者の設計角度によって決まるプロファイル加工工具の傾斜角度設定で、工具係合面積を歯元面高さ全体に延長して、次の加工パスで特定形状を得るために必要な量の材料を除去する方法に関する。 また、本発明は、上記方法を実行可能な工作機械及び上記方法によって生産された歯車に関する。

この種の方法は、周知の最新技術に属しており、例えば、非特許文献１に説明されている。 非特許文献１の第５３４〜５３７頁において、輪郭研削のプロセスが、この種の不連続プロファイル加工方法の一例として議論されている。

第５３４頁の図１５．２−１には、はすば歯車の歯元の面を研削するための輪郭研削用砥石車の使用が例示されている。 ここで示されるように、工具の回転平面は、歯車軸に対して傾斜している。 通常、この作業のための傾斜角度は、それが歯車の歯のねじれ角に一致するように設定され、そのため、工具の形状は、この傾斜角度で加工できるように設計されている。 しかしながら、より広い研削経路をカバーするために、ねじれ角とは異なる傾斜角度で加工を行うことも周知の技術である。 この場合、工具形状は、この加工傾斜角度に合わせて設計される。

特に、第５３６頁の図１５．２−５では、３つの等距離の送り込みステップにおける径方向送り込みの例を挙げて、歯の高さ方向の最初の送り込みステップの後では、概ね輪郭研削された工具の係合は歯元の面の根元の領域のみをカバーし、歯元の面の頂部の領域に達するのは更なる送り込みステップの途中になってしまうことを説明している。 軸方向では、工具係合の領域は、歯幅全体にわたって延在している。

歯元の面の高さにわたってより均一に材料を除去するために、非特許文献１の第５３６頁に説明されているように、各個々の送り込みステップ後に、研削砥石車に対して改めてプロファイル加工を行う。 代替案として、幾つかの研削砥石車を連続的に使用することがある。 ここで、各研削砥石車は、それぞれの送り込みステップで得る必要のある歯元の面の形状を生成するために必要な形状を有している。

しかしながら、これらの方法は、より複雑な作業工程を必要とするため、加工プロセスが歯元の面の特定形状を得ることができる点に達するまでにより時間がかかる。

本特許請求の範囲において使用される「特定形状」という用語は、加工プロセスによって生成されるべき目標形状を意味する。 これは、完成した歯車の最終形状である場合もあるが、中間形状、例えば、最終形状が１つ以上の連続する仕上げ工程によって達成される場合の荒加工によって達成される形状をも表し得る。 従って、最後の送り込みステップ後の工具係合の面積によってカバーされる歯元の面の全高は、目標形状の歯元の面の高さに関するものであり、これは、歯車の歯の最終形状における歯元の面の全高とは、必ずしも一致する必要はないが、一致することもある。

上記のように最新技術に内在する問題に鑑み、本発明は、上記プロセスを改良して、限られた労働・時間費用の中で、歯元の面の高さ全体にわたってより均一な材料の除去率を実現するという目的が動機となっている。

この課題は、本発明によって、導入部で述べた種類の方法をさらに発展させた以下のバージョンを通じて解決される。 このさらに発展させた方法の特徴的な属性は、基本的に、最後の送り込みステップに先行する少なくとも１回の送り込みステップにおいて、工具が設計された角度からずれた傾斜角度であって、設計角度の設定と比較して歯元面高さの方向に拡大された工具係合面積が得られる傾斜角度に、プロファイル加工工具を設定することである。

本発明は、工具を改めてプロファイル加工したり本目的のために異なる工具を使用したりする必要なく、最後の送り込みステップに先行する少なくとも１回の送り込みステップの後に、改善された工具係合面積を実現するために、通常は傾斜角度によって示される互いに対する工具及び歯車の配向、つまり、歯車軸の法平面に対して工具軸が傾斜する角度を、送り込みの自由度として用いることができるという所見に基づく。 材料をより均一に除去することで、製造工程を遅くすることなく、ワークが過熱されるリスクを減らすことができる。

しかし、本発明に係る方法は、作業プロセス中工具を改めてプロファイル加工するということを除外するものではない。 しかしながら、最後の送り込みステップに先行する少なくとも１回の送り込みステップと最後の送り込みステップとの間に改めてプロファイル加工することがないということは、その少なくとも１回の送り込みステップ後の作業段階において、プロファイル加工工具が、最後の送り込みステップでの傾斜角度のために設計される形状を有しているということを意味する。

好ましくは、少なくとも１回の先行送り込みステップは、加工プロセスの最初の送り込みステップを含む。 最初の加工パスにおける工具の係合面積がその後のパスと比べて比較的小さい先行技術の方法とは対照的に、本発明に係るバージョンの方法では、まさにそのプロセスの開始時に、最大のゲインを送る。

推奨される実践として、いくつかの送り込みステップを通じて、偏位傾斜角度を調整して、単調な連続で、特に、厳密に単調な連続で設計角度に近づける。 従って、加工プロセスの開始時のみならず、プロセス全体、又は、プロセスの少なくとも一部にわたって、本発明から得られる利点を実現できる。

本発明に係る方法は、特に、ゼロではないねじれ角を有する純粋なはすば歯車の場合に利点を供するものである。 しかしながら、平歯車の場合でも、少なくとも一部の利益を実現することができる。

好ましくは、偏位傾斜角度は、設計角度及び／又はねじれ角の大きさに応じて選択される。 考慮すべき他のパラメータには、歯数、歯車の歯のピッチ及び圧力角、並びにプロファイル加工工具の直径が含まれる。 工具はその外縁において細過ぎたり鋭利過ぎたりするべきではないため、設計角度のねじれ角からの最大偏位の制限は、工具直径に依存する。

本発明の好ましいバージョンにおいて、設計角度は、ねじれ角よりも大きな絶対量をもつように選択される。 ねじれ角用に設計された工具、例えば輪郭研削砥石車と比較して、この選択による工具は、歯の根元に最も近い歯元の面の部分を研削するその外縁領域でより狭くなり、歯の頂部に最も近い歯元の面の部分を研削する領域でより広くなっている。

後者の場合、偏位傾斜角度の大きさは、設計角度の大きさよりも小さくなるように選択されることが想定される。 従来の方法と比較すると、この選択によって、削り接触（スクレイピング・コンタクト）のための軸方向距離がさらに小さくなり、それに対応して、より短い加工時間でのより短い送り込みが可能になる。

本発明のさらなるバージョンでは、設計角度は、ねじれ角よりも小さい絶対量をもつように選択される。 この場合、偏位傾斜角度の量は、設計角度の量よりも大きくなる。

本発明は、接線方向の送り込みで使用することができる。 しかしながら、径方向送り込みが好ましく、またこれにより、両歯面（デュアル・フランク）プロセスの適用が簡単になる。

原則として、偏位角度は経験的に決定することが可能である。 しかし、好ましくは、偏位傾斜角度は数学的に決定される。

各送り込みステップのために、このステップのために設定された傾斜角度と共に最も良く作用する送り込み量を選択することが特に好ましい。 このように送り込み量を傾斜角度に整合させることによって、係合領域が拡大する度合いに影響を与えそれを最適化することができる。

送り込みを傾斜角度に整合させる際、歯元の面の形状の量、具体的には２つの量が、工具及び／又はワークの制御可能な移動軸と関連付けられる量、具体的には２つの量に依存する、設計角度が選択された後に決定可能な関係を考慮することがさらに推奨される。 歯元面形状に関連する量として好ましい選択は、取代及び／又はプロファイル角度ずれ量であり、移動軸に関連する量として好ましい選択は、偏位傾斜角度と設計角度との差及び／又は送り込みパラメータの最大可能送り込みからのずれ量である。 プロファイル角度ずれ量ｆ _Ｈαは、ドイツ工業規格ＤＩＮ３９６０で規定されている。 は、例えば、歯幅中央におけるピッチ円で測定される。

送り込みを傾斜角度に整合させる際、所定の第１の閾値よりも小さいプロファイル角度ずれ量に到達する基準、特に、プロファイル角度ずれ量が完全に無くなる基準に従って行われることが特に好ましい。 プロファイル角度ずれ量が小さいほど、材料はより均一に除去される。 従って、プロファイル角度ずれ量が無くなると、係合面積は最大に達する。

本発明の特に好ましい実施において、送り込みを決定、つまり調節するための数学的手法は、逐次代入数学的演算を含む。 これにより、上記種類の非線形的依存関係を使用することも可能になる。 ｋ番目の送り込みステップの数学的決定に使用される入力量は、例えば、工具のｋ番目のパスの後に望ましい取代の量である。 逐次代入のサイクルにおいて好ましくは以下の部分的ステップが使用される。
逐次代入を開始する最初のサイクルにおいて、各加工パス後に得られる取代が出発点として使用して、取代が送り込みパラメータに依存する関係に基づき、先行の逐次代入サイクルの結果得られる取代と関連付けられる送り込み量を決定し、
プロファイル角度ずれ量が送り込みパラメータに依存する関係に基づき、先のステップで決定した送り込み量に関連するプロファイル角度ずれ量を決定し、
プロファイル角度ずれ量が傾斜角度に依存する関係に基づき、先のステップで決定したプロファイル角度ずれ量に対して等量且つ符号が逆のプロファイル角度ずれ量となるような、設計角度からのずれ量を決定し；
取代が傾斜角度に依存する関係に基づき、先のステップで決定されたような設計角度からのずれ量に関連付けられる取代補正量を決定し、先のステップで決定された取代補正量を、各加工パスの後に得られる取代から減算することによって取代を得て、この方法で得られる取代を次の逐次代入サイクルの基礎として使用する。

逐次代入を終了する基準として、第２の閾値を設定して、逐次代入サイクルの開始時に入力された取代とこのサイクルで得られた取代補正量との和が、逐次代入の入力量として入力された取代から、第２の閾値量より少ない量だけ異なる場合に、逐次代入を終了するようにすることができる。 第２の閾値は、例えば１０−６の演算精度の形で特定することができる。

場合によっては、送り込みの整合化は、を特徴づける量と移動軸に関連付けられた量との間の依存関係の線形化を含むことが考えられる。 それは、線形化から得られる方程式系を解くのと等しいため、送り込み量の演算決定がこれにより簡単になる。

本発明は、片歯面（シングル・フランク）プロセスでもよいが、特に径方向送り込みと合わせて、両歯面（デュアル・フランク）方法とするのが好ましい。

さらに、外歯車を加工することに加えて、内歯車を加工することも想定される。

また、さらに時間を節約するために、複数の工具又は適切に設計されたマルチ・フランク工具を用いて、複数の歯元面を同時に加工するプロセスも考えられる。

さらなる可能性によれば、歯車軸の方向の工具の作業パスの間、送り込みで設定された工具の傾斜角度に対して、工具軸と歯車軸の法平面との間の傾斜角度の変更を重畳することも可能である。 この変更は、例えば、設計によって歯車の歯の寸法を歯車軸の方向に変化させる必要がある場合、例えば、歯のクラウニングを施す必要がある場合に、使用することができる。

本発明に係る不連続プロファイル加工は、特に輪郭研削のプロセスをカバーし、また輪郭ホブ切りをも包含しうる。

装置指向の視点から、本発明は、歯車軸の方向を画定するとともに歯車を保持するように設計されたワーク軸と、工具軸の方向を画定するとともに工具を保持するように設計された工具主軸とを有し、工具主軸は、歯車軸の法平面に対して傾斜角度分傾斜させることができ、また、デバイスの軸方向移動を制御する制御部を有する、歯車の歯を加工するための工作機械において、原則的に、制御部が上記バージョンのいずれか一つの方法を実行するように動作可能である、つまり、制御部がそのようにプログラムされていることによってさらに特徴づけられる工作機械を提供する。

この文脈において、本発明はまた、工作機械を制御するためのコンピュータソフトウェアプログラムであって、このコンピュータソフトウェアプログラムが工作機械の制御部において実行されると、上記説明に係る特徴を有する方法を実行するように後者がプログラムに制御される、コンピュータソフトウェアプログラムの保護をクレームする。

最後に、本発明は、本方法の上記バージョンの一つを用いて作製された歯元の面形状を有する歯車の保護をクレームする。

本発明の更なる特徴、詳細、及び利益については、添付の図面に関する以下の説明から明らかとなろう。

工作機械をその機械軸と共に示す。

ａ及びｂは、工具と歯車との間の角度の設定を概略的に例示する。

ａ〜ｄは、本発明に係る方法の第１の実施の形態（外歯車、径方向送り込み）において、当該方法で使用する依存関係を表すグラフを示す。

ａ〜ｄは、本方法の第２の実施の形態（外歯車、径方向送り込み）のための近似の依存関係を示す。

ａ〜ｄは、本方法の第３の実施の形態（内歯車、径方向送り込み）のための近似の依存関係を示す。

ａ〜ｄは、本方法の第３の実施の形態（外歯車、接線方向送り込み）のための近似の依存関係を示す。

ａ〜ｄは、本方法の第４の実施の形態（内歯車、接線方向送り込み）のための近似の依存関係を示す。

図１に例示の工作機械を参照し、以下に、本文脈において関連のある工作機械の座標軸について説明する。 機械ベッド１０の右側（図１を参照）には、ワークテーブル６が、水平面に配置され、ワーク２（図１では不図示）、例えば、外歯車をクランプするために従来と同じように構成されている。 よって、軸方向キャリッジ３（後に説明）の移動方向と同じ配向性を有する歯車軸Ｚが、垂直に向けられている。 歯車２の歯車軸Ｚ周りの回転方向は、Ｃで示されている。

それ自体周知の設計によれば、機械ベッド１０の左側（図１を参照）に配置されている径方向キャリッジ１は、ワークテーブル６に対して直線移動可能に構成されている。 ワークテーブル６にクランプされた歯車２に対する径方向の移動によって、径方向Ｘが定義される。 径方向キャリッジ１の径方向位置は、本発明の方法の一実施の形態において、送り込みパラメータを表す。

径方向キャリッジ１上には、軸方向キャリッジ３が、径方向Ｘに直交する軸方向Ｚに移動可能に配置されている。 軸方向Ｚはまた、歯車軸の方向でもある。

軸方向キャリッジ３上に傾斜可能に配置されているのは、接線方向キャリッジ９のスライド移動を案内するキャリッジベッドを有する更なるキャリッジ機構であり、これにより更なる（第３の）直線移動を行うことができる。 図１に示す位置において、接線方向キャリッジ９は、軸方向キャリッジ３に対して傾斜しておらず、接線方向キャリッジ９の移動軸Ｙは、Ｘ−Ｚ平面に対して直角である。 接線方向キャリッジ９が傾斜方向Ａに傾斜すると、接線方向Ｙは、Ｚ軸の法平面から傾斜角度Ａだけ傾斜する。 よって、傾斜移動は、径方向Ｘに対して直角の平面上で起きる。

接線方向キャリッジ９上に配置されているのは、工具主軸７を有する工具ヘッド５である。 工具主軸７は、Ｙ方向（工具軸）に配向されるとともに、ワークテーブル上にクランプされた歯車２を加工するための工具を保持するように設計されている。 ここで、図示の例の工具は、輪郭研削砥石車０である（図２参照）。 よって、輪郭研削砥石車０は、工具軸Ｙに対して直角に延在し、砥石車の回転平面と歯車軸Ｚとの間の傾斜角度は、工具軸ＹがＺ軸（歯車軸）の法平面から傾斜する傾斜角度Ａと等しい。 接線方向における工具位置は、同様に、可能な送り込みパラメータを表す。 工具軸周りの回転方向は、Ｓで示されている。

例えば、右ねじれ外はすば歯車に対する従来の不連続輪郭研削のように、傾斜角度を歯車の歯のねじれ角に一致するように設定すると、接線方向キャリッジ９は、右ねじれ外はすば歯車（例えば、ねじれ角β＝２５°）のために、図１における矢印Ａの反対方向に傾斜させる必要があるが、左ねじれはすば歯車の場合の傾斜角度は、プラスとなる。

ドレッシング装置の直線移動軸Ｚ２及びドレッシング砥石車８の主軸の回転軸Ｓ２を有する追加キャリッジ４は、同様に全体設計の一部であるが、本発明を定義するために必要なものではないためさらには説明はしない。 当業者にとっては周知の、軸Ｘ、Ｙ、及びＺ（Ｚ２）に沿った各直線移動及び軸Ｚ、Ｃ、Ｓ、及びＸ周りの各回転移動を行うための駆動機構についても同様である。

図２ａ及び２ｂに、２つの異なる視線の方向から見た時の関連の軸Ｘ、Ｙ、Ｚ、及びＡを、工作機械部分を除いた状態で概略的に示す。 破線によって描かれるのは、非傾斜位置での輪郭研削ディスクであり、実線で描かれる輪郭研削ディスク０は、右ねじれ外はすば歯車を研削するために角度Ａ＝−２７°傾斜させたものである。

このように定義された機械軸を用いて、以下に本発明の第１実施例をさらに詳細に説明する。 右ねじれ外はすば歯車（β＝２５°）は、径方向（Ｘ）送り込みによる不連続輪郭研削の両歯面（デュアル・フランク）プロセスで加工されるものである。 この作業のために設けられる輪郭研削砥石車は、歯車２の所望の最終歯元面形状を生成するために、砥石車が最後の研削パスにおいて傾斜角度−２７°で動作させることが必要となるように設計されている。 つまり、輪郭研削砥石車は、ねじれ角よりも大きな絶対値の設計角度又は公称角度を有して、すなわち｜Ａ _０ ｜＝２７°＞２５°＝βとなるように、構成されている。 従来の不連続輪郭研削では、本明細書の導入部分ですでに説明したとおり、この構成の輪郭研削砥石車を傾斜角度−２７°に設定し、一連の等距離の送り込みステップを使用して歯車２の歯元の面から存在する取代ｑをプロセスにおいて取り除く。

対照的に、本発明の好適な実施によれば、最初の送り込みステップのために、砥石ディスク０を設計角度Ａ _０とは異なる傾斜角度Ａに設定し、それによって、より大きな係合面積を、輪郭研削砥石車０と歯車２との間の相対的な条件として得、それにより、研削パスにわたって均一な量の材料を除去する。 設定すべき傾斜角度Ａを決定するために、歯元の面形状のパラメータと、工具及び／又はワークの制御可能な移動軸に対して指定可能なパラメータとの間の数学的に予測可能な依存関係を使用する。 径方向Ｘに送り込む際、取代ｑ及びプロファイル角度ずれ量ｆ _Ｈαは、歯元面形状の関連パラメータとして考えられる一方、移動軸に対して指定されるパラメータは、（最初の送り込みステップにおける）偏位傾斜角度Ａ１と設計角度Ａ _０との差δＡとして表される傾斜角度設定と、最終の歯元面形状が得られる最大可能送り込みからのずれδＸを用いて表される送り込みパラメータＸとによって表わされる。

これらの依存関係は、例えば、歯数、歯車の歯のモジュール及び圧力角等の定義された一組の更なるパラメータ並びに砥石車の直径のために計算することができ、取代ｑ及びプロファイル角度ずれ量ｆ _Ｈαについてグラフ３ａ〜３ｄに視覚的に表わされる。 図３ａは、依存関係ｑ（δＸ）を示し、図３ｂは、依存関係ｆ _Ｈα （δＸ）を示し、図３ｃは、依存関係ｆ _Ｈα （δＡ）を示し、図３ｄは、依存関係ｑ（δＡ）を示す。 最初の２つのグラフ３ａ，３ｂは、傾斜角度Ａ _ｋが設計角度Ａ _０と等しい場合に適用可能である。 残りの２つのグラフ３ｃ，３ｄは、設計角度Ａ _０からδＡずれた角度Ａを用いて最後の加工パスの後に設定されるプロファイル角度ずれ量ｆ _Ｈα及び取代ｑを示している。

これら依存関係に基づき、まず、最初の送り込みステップの傾斜角度Ａ１及び送り込み量δＸ１を、最初の研削パス後に得られる取代ｑを逐次代入の入力量として入力することを起点として、ゼロに等しいプロファイル角度ずれ量ｆ _Ｈαを得るような繰り返し逐次代入によって決定する。 手作業で行う場合、逐次代入の第１のステップは、以下のように説明できる。 第１の研削パスの後に得られる取代ｑ＝５０μｍについて、図３ａは、削り接触（スクレイピング・コンタクト）のための軸方向距離と最終の軸方向距離との間の約０．１２ｍｍの差を示している。 図３ｂによれば、δＸ＝０．１２ｍｍの場合、プロファイル角度ずれ量ｆ _Ｈαは、約１７μｍとなることが予測されるはずである。 このプロファイル角度ずれ量は、傾斜角度を変更することによって補正される。 −１７μｍの補正すべきプロファイル角度ずれ量に関し、図３ｃのグラフは、傾斜角度の大きさを設計角度に対して約０．１３°減少させる必要があることを示している。 しかしながら、図３ｄにおけるこの傾斜角度補正による取代の参照（ルックアップ）値は、目標値よりも約７μｍ大きい。 これは、砥石車が、送り込みｑ＝５０＋７＝５７μｍで接触点に達することを意味している。 しかしながら、接触点は送り込みｑ＝５０μｍで起こるため、軸方向距離を、逐次代入の次のステップのために減少させる必要がある。 その結果、逐次代入サイクルは、例えば、減少させた軸方向距離と関連付けられる送り込み量と組み合わせた傾斜角度の変更による送り込み補正の、目標送り込み量に対するずれが、特定の閾値、例えば１０−２μｍより小さくなって十分な収束基準値に達するまで、より短い軸方向距離で続けられる。

各送り込みとそれに続く加工パスの後、新たな減少させた送り込み量から、傾斜角度の新たな計算を行うことができる。 このプロセスにおいて、傾斜角度の設定値Ａ _ｋは、傾斜角度Ａｎが設計角度Ａ _０と等しくなるように設定された最後の送り込みステップｎまで、設計角度Ａ _０に連続的に近づく。 よって、送り込みステップに続く加工パスで得られる取代ｑｋが、目標値として与えられる。 これはまた、例えば、最初の取代ｑ０＝１００μｍが、最終形状に至るまで、各パス毎に２０μｍずつ除去する４回の荒加工パスと１回の仕上げ加工パスで除去されるシーケンスで自動的に行われる。

径方向送り込みで、逐次代入が収束しない場合、設計角度の大きさとねじれ角の大きさとの差が十分大きくないということになる。 よって、適切に選択されたより大きな角度の設計角度を有する砥石車を使う必要がある。 設計角度Ａ _０を選択する際の考えられる開始点は、ねじれ角βと最大設計角度との間の中間の大きさの角度であり、これは、工具のその外径における必要な厚さを考慮する、所望の歯元面形状を生成するタスクにも適用可能である。 あるいは、工具直径が大きくなるほど小さくなるこの最大可能設計角度を、直接最初の選択とすることもできる。

もし関連する範囲の依存関係が、概ね図３ａ〜３ｄの場合のように、線形関係からほんのわずかだけずれている場合、逐次代入法を、他の手法に置き換えることもできる。 この他の手法では、以下の線形方程式系を解くことによって、未知の量が分かる。
Ωｘ＝ｂ、
（式中、ベクトルｘ＝（δＸ，δＡ）は、未知の量を表し、ベクトルｂ＝（ｑｎｏｍ、０）は、目標値を表し、マトリクス値Ω１１，Ω１２，Ω２１，及びΩ２２は、（この順に）図３ａ、３ｄ、３ｂ、及び３ｃのグラフにおけるそれぞれの傾きを表す）。

しかしながら、この種の線形化が十分に正確な依存関係を表さない場合は、上記したコンピュータ支援による逐次代入手法をそのまま使用するのが好ましい。 逐次代入手法においてｆ _Ｈαのための目標値が、ゼロではなくプロファイル角度ずれ量よりもいずれにせよ小さい（より低い）閾値に設定される場合であっても、従来の技術を用いる最初の研削パス後、より均一に材料が除去されるとともに逐次代入の収束範囲が増加するという利点がまだあるということを期待すべきである。

図４ａ〜４ｄは、図３ａ〜３ｄの近似の依存関係を示し、砥石車が、最後の研削パスにおいて傾斜角度−２０°となるように、すなわち、ねじれ角β（ここでも（右ねじれ外はすば歯車の）２５°に選択される）よりも小さい絶対値の設計角度を有して設計された場合を例示している。 正負符号に関して、依存関係ｆ _Ｈα （δＸ）及びｑ（δＸ）の傾きは、変わらないが、依存関係ｆ _Ｈα （δＡ）及びｑ（δＡ）の傾きは符号が反転している。 しかしながら、続く研削パスｋを用いる各送り込みのための傾斜角度Ａ _ｋの計算及びそれぞれの送り込み量の原則は同じである。

接戦方向送り込みＹでは、ねじれ角βを含む範囲内にある、工具の設計角度を使用することが可能である。 よって、工具もまた、ねじれ角それ自身、径方向Ｘの送り込みでは満足度のより低い結果しか生み出さない手法で、設計することができる。

図５ａ〜５ｄは、右ねじれ外はすば歯車の例の場合の、接戦方向送り込みの際に考慮すべき関連する依存関係を示す。 ここで β＝２５°及び設計角度｜Ａ _０ ｜＝２７°、
すなわち、図３のパラメータである。

最後に、β＝８．３°の内歯車及び絶対値１３°の設計角度の例における、前記グラフに示すような近似の依存関係を、径方向送り込みの場合について図６ａ〜６ｄに、接戦方向送り込みの場合について図７ａ〜７ｄに示す。 この場合も、すでに説明したようなｄＡ及びｄＸ（ｄＹ）の整合のプロセスを、取代ｑ０から始まり歯元面毎に０．５ｍｍを超える量に至るまで行うことができる。