技术领域
[0001] 本
发明涉及机械臂控制领域，尤其涉及一种机械臂系统的鲁棒滑模自适应控制方法。
背景技术
[0002] 机械臂系统是一个多输入多输出、高度非线性、强耦合的复杂系统。因其独特的操作灵活性，已经在工业装配、安全防爆等领域得到广泛的应用，如喷漆
机器人、
点焊机器人、拆弹机器人等。由于机械臂系统的复杂性，在
控制器设计的过程中会面临着许多建模不确定性包括结构不确定性和非结构不确定性，这些因素会严重影响控制器性能，导致控制器控制
精度降低，甚至使所设计的控制器不稳定，从而增加了控制器的设计难度。
[0003] 随着工业领域技术
水平的不断进步，对机械臂的控制精度也在不断提高。但是传统的控制方法显然已经不能满足系统的高性能要求，成为限制机械臂控制性能的因素。近年来，随着控制技术的不断发展，各种基于现代控制理论的控制方法相继提出。其中滑模控制在机械臂中用的比较广泛，但是其不能对系统中存在参数等结构不确定性进行估计，当系统中存在大的参数等结构不确定性时将会使设计的控制器显得保守，从而使系统的性能恶化。
[0004] 针对机械臂系统中不确定非线性的特点，建立系统数学模型，并在此
基础上设计了机械臂系统滑模自适应鲁棒控制克服系统参数不确定性和未建模不确定性。
发明内容
[0005] 本发明为解决机械臂系统控制中的不确定非线性问题，进而提出一种机械臂鲁棒滑模自适应控制方法。
[0006] 本发明为解决上述问题采取具体步骤如下：
[0007] 一种机械臂鲁棒滑模自适应控制方法，包括以下步骤：
[0008] 步骤1、建立机械臂系统的动
力学模型，根据欧拉—拉格朗日方法，一个n
自由度的机械臂系统动力学模型如下：
[0009]
[0010] 公式(1)中q∈Rn， 分别为机械臂关节的速度、
角速度和角
加速n×n n n
度；H(q)∈R 为机械臂系统的惯性矩阵； G(q)∈R ，τ∈R分别表示向心
科里奥利力、重力以及输入力矩：Fv为粘性
摩擦系数， d∈Rn为外部干扰向量，包括系统的时变干扰和常值干扰，
[0011] 所述机械臂系统具有以下性质：
[0012] 性质1：H(q)是一个正定对称矩阵，满足：
[0013]
[0014] 其中，m1和m2∈R是已知的有界正实数；
[0015] 性质2：机械臂惯性矩阵的微分矩阵和科里奥利矩阵的满足以下斜对称矩阵关系：
[0016]
[0017] 性质3：机械臂动态模型相对于一组物理参数是线性的：
[0018]
[0019] 其中， 是机械臂关节回归矩阵，α＝[κ,ρ,ε,μ]T是机械臂模型中的固有参数；
[0020] 所述机械臂系统还满足以下条件和引理：
[0021] 条件1：机械臂系统期望
位置指令qd，它的一阶微分 和二阶微分 均是连续有界
信号；
[0022] 条件2：机械臂不确定项干扰d有界，即
[0023] ||d||≤d0 (5)
[0024] 其中，d0是一个已知有界正常数；
[0025] 引理1.考虑一阶系统
[0026]
[0027] 如下控制律在上述系统中达到有限时间稳定：
[0028] θ＝-θ-λθ-μθq/p (7)
[0029] 其中，θ为系统状态变量，λ和μ为正常数，q＞0和p＞0且q和p都为奇整数，满足q/p＜1；因此，收敛时间ts为：
[0030] 引理2. 有
[0031] 0≤xtanh(x/a)≤|x| (8)
[0032] 引理3. 或x＞,y≥0有
[0033] x/x+y≤1 (9)；
[0034] 步骤2、设计机械臂滑模自适应鲁棒控制步骤如下：
[0035] 步骤2.1、定义 所以 qd是系统期望
跟踪的位置指令且该指令二阶可微，设计一个滑模面，限制跟踪误差，保证误差收敛至0，
[0036]
[0037] 其中Λ是一个常值矩阵，并且它的特征值严格位于右复半平面，设计虚拟参考轨迹qr代替期望轨迹qd，
[0038]
[0039] 因此， 和 就被替换为
[0040]
[0041]
[0042] 定义
[0043] 其中s＝[s1,s2,…sn]T，
[0044] 为了避免滑模控制的抖动，设计控制律：
[0045]
[0046] 其中λ1和μ1是正常数，q1＞0和p1＞0且同为整数奇数，并且满足q1/p1＜1，[0047] 根据公式(1)、(14)和(15)得到：
[0048]
[0049] 根据式(16)可得：
[0050]
[0051] 步骤2.2、设计控制律，结合公式(17)和性质1，基于机械臂系统动力学模型的控制律设计为：
[0052] τ＝τa+τs (18)
[0053]
[0054] τs＝τs1+τs2 (20)
[0055] τs1＝-KDs (21)
[0056] 其中，τa为模型前馈补偿项；τs1为线性反馈项，保证系统的
稳定性；τs2为连续鲁棒项，用来克服系统中的外部有界干扰，具体设计形式在后续设计中给出； KD是一个对称正定矩阵，为对角矩阵； 和 是H(q), G(q)和Fv的估计值；
[0057] 步骤2.3、设计参数回归器及参数估计器，
[0058] 采用参数回归器的参数自适应律为：
[0059]
[0060]
[0061] 其中Γ为对角自适应律矩阵且Γ＞0，γ为正常数，Γ和γ影响参数的自适应率；
[0062] 步骤2.4、根据条件2设计连续鲁棒项，克服系统干扰
[0063] τs2＝[τs21,τs22,…τs2n]T (24)
[0064] 其中τs2i形式如下
[0065]
[0066] 式(25)中，ki为已知正常数，ξ(t)满足以下条件
[0067] |ξi(t)|≤δi*
[0068]
[0069] 其中 和δi都是正常数；
[0070] 步骤3、分析机械臂系统的稳定性，根据步骤2中设计的滑模自适应鲁棒控制方法，利用李雅普诺夫稳定性理论对系统进行稳定性证明，得到系统渐进稳定的结果，[0071] 定义李雅普诺夫函数如下：
[0072]
[0073] 其中 并且Fv＞0，
[0074] 对(27)式求导，得到
[0075]
[0076] 将公式(16)、(18)-(21)带入(28)根据机械臂性质2、3得到
[0077]
[0078] 将自适应律(22)、(23)带入式(29)得
[0079]
[0080] 将式(24)、(25)带入(30)
[0081]
[0082] 根据引理2可得
[0083]
[0084] 根据引理3可得
[0085]
[0086] 其中，W是一个正函数，同时对公式(33)两侧积分，得到
[0087]
[0088] 根据式(34)可得V(t)∈L∞，W∈L2，所以s，和 都是有界，根据条件 1，可知系统状态q有界，根据式(26)，系统输出τ有界，所以，系统的闭环信号均有界，并且可以得到W有界，因此W一致连续，根据Barbalat引理可知系统渐进稳定，
[0089] 根据引理1可得si∈s分别在有限时刻ti收敛至0，ti时刻如下
[0090]
[0091] 证明：设计李雅普诺夫函数
[0092]
[0093] 对(36)求导得到
[0094]
[0095] 将公式(15)带入(37)得
[0096]
[0097] 其中λ1和μ1为正常数，q1＞0，q1＞0且同为奇整数，
[0098]
[0099] 所以在有限时刻ti时，si收敛至0。
[0100] 本发明的有益效果是：本发明以机械臂系统作为研究对象，建立了机械臂系统的动力学模型，以其关节位置输出能准确跟踪期望位置指令为控制目标，同时考虑了系统的参数等结构不确定性以及外干扰等非结构不确定性，并且针对参数的结构不确定性设计参数估计器，针对外部烦扰不确定性设计连续的鲁棒控制项，同时结合有限时间控制，保证机械臂系统的位置输出能准确地跟踪期望的位置指令；本发明所设计的机械臂系统鲁棒滑模自适应控制方法的控制输出光滑连续，更利于在工程实际中应用。仿真结果验证了其有效性。
[0101] 除了上面所描述的目的、特征和优点之外，本发明还有其它的目的、特征和优点。下面将参照
附图，对本发明作进一步详细的说明。
附图说明
[0102] 图1是本发明仿真二自由度机械臂结构图。
[0103] 图2是机械臂系统鲁棒滑模自适应控制原理示意及
流程图。
[0104] 图3是本发明所设计的控制器作用下系统参数自适应图。
[0105] 图4是本发明所设计的控制器机械臂关节跟踪曲线图。
[0106] 图5是本发明所设计的控制器机械臂关节跟踪误差图。
[0107] 图6是PID控制器机械臂关节跟踪误差图。
[0108] 图7是本发明所设计的控制器关节控制输出图。
具体实施方式
[0109] 下面结合
说明书附图，对本发明作进一步的说明。
[0110] 本
实施例具体结合二自由度机械臂(如图1)实施，机械臂
连杆1、2的长度分别为l1和l2，
质量分别为m1和m2，且质心位于连杆二分之一处，q1和q2为机械臂关节空间
关节角度。
[0111] 结合图1至图2说明本实施方式，本实施方式所述一种机械臂系统的鲁棒滑模自适应控制方法的具体步骤如下：
[0112] 步骤1、建立机械臂系统的动力学模型，根据欧拉—拉格朗日方法，机械臂系统的动力学模型如下：
[0113]
[0114] 公式(1)中q∈Rn， 分别为机械臂关节的速度、角速度和
角加速度；H(q)∈Rn×n为机械臂系统的惯性矩阵； G(q)∈Rn，τ∈Rn表示向心科里奥利力、重力以及输入力矩：Fv为粘性摩擦系数，d∈Rn为外部干扰向量，包括系统的时变干扰和常值干扰。
[0115] 机械臂系统存在一些性质：
[0116] 性质1：H(q)是一个正定对称矩阵，满足：
[0117]
[0118] 其中，m1和m2∈R是已知的有界正实数。
[0119] 性质2：机械臂惯性矩阵的微分矩阵和科里奥利矩阵的满足以下斜对称矩阵关系：
[0120]
[0121] 性质3：机械臂动态模型相对于一组物理参数是线性的：
[0122]
[0123] 其中， 是机械臂关节回归矩阵，α＝[κ,ρ,ε,μ]T是机械臂模型中的固有参数。
[0124] 为了后续控制器设计及分析，机械臂系统需要满足以下条件和引理：
[0125] 条件1：机械臂系统期望位置指令qd，它的一阶微分 和二阶微分 均是连续有界信号。
[0126] 条件2：机械臂不确定项干扰d有界，即
[0127] ||d||≤d0 (5)
[0128] 其中，d0是一个已知有界正常数。
[0129] 引理1.考虑一阶系统
[0130]
[0131] 如下控制律在上述系统中达到有限时间稳定：
[0132] θ＝-θ-λθ-μθq/p (7)
[0133] 其中，θ为系统状态变量，λ和μ为正常数，q＞0和p＞0且q和p都为奇整数，满足q/p＜1。因此，收敛时间ts为：
[0134] 引理2. 有
[0135] 0≤xtanh(x/a)≤|x| (8)
[0136] 引理3. 或x＞,y≥0有
[0137] x/x+y≤1 (9)
[0138] 步骤2、结合图2设计机械臂滑模自适应鲁棒控制步骤如下：
[0139] 步骤2.1、定义 所以 qd是系统期望跟踪的位置指令且该指令二阶可微，设计一个滑模面，限制跟踪误差，保证误差收敛至0。
[0140]
[0141] 其中Λ是一个常值矩阵，并且它的特征值严格位于右复半平面。然后我们设计虚拟参考轨迹qr代替期望轨迹qd。
[0142]
[0143] 因此，和 就被替换为
[0144]
[0145]
[0146] 定义
[0147]
[0148] 其中s＝[s1,s2,…sn]T。
[0149] 为了避免滑模控制的抖动，设计一种控制律：
[0150]
[0151] 其中λ1和μ1是正常数，q1＞0和p1＞0且同为整数奇数，并且满足q1/p1＜1。
[0152] 根据公式(1)、(14)和(15)可以得到：
[0153]
[0154] 根据式(16)可得：
[0155]
[0156] 步骤2.2、设计控制律，结合公式(17)和性质1，基于机械臂动力学模型的控制律设计为：
[0157] τ＝τa+τs (18)
[0158]
[0159] τs＝τs1+τs2 (20)
[0160] τs1＝-KDs (21)
[0161] 其中，τa为模型前馈补偿项；τs1为线性反馈项，保证系统的稳定性；τs2为连续鲁棒项，用来克服系统中的外部有界干扰，具体设计形式在后续设计中给出； KD是一个对称正定矩阵，一般情况下为对角矩阵； 和 是H(q), G(q)和Fv的估计值。
[0162] 步骤2.3、设计参数回归器及参数估计器
[0163] 采用参数回归器的参数自适应律为：
[0164]
[0165]
[0166] 公式中，Γ为对角自适应律矩阵且Γ＞0，γ为正常数，Γ和γ影响参数的自适应率。
[0167] 步骤2.4、根据条件2设计一种连续鲁棒项，克服系统干扰
[0168] τs2＝[τs21，τs22，…τs2n]T (24)
[0169] 其中τs2i形式如下
[0170]
[0171] 式(25)中，ki为已知正常数，ξ(t)满足以下条件
[0172] |ξi(t)|≤δi*
[0173]
[0174] 其中δi*和δi都是正常数。
[0175] 步骤3、分析机械臂系统的稳定性，根据步骤二中设计的滑模自适应鲁棒控制方法，利用李雅普诺夫稳定性理论对系统进行稳定性证明，得到系统渐进稳定的结果。
[0176] 定义李雅普诺夫函数如下：
[0177]
[0178] 其中 并且Fv＞0。
[0179] 对(27)式求导，得到
[0180]
[0181] 将公式(16)、(18)-(21)带入(28)根据机械臂性质2、3得到
[0182]
[0183] 将自适应律(22)、(23)带入式(29)得
[0184]
[0185] 将式(24)、(25)带入(30)
[0186]
[0187] 根据引理2可得
[0188]
[0189] 根据引理3可得
[0190]
[0191] 其中，W是一个正函数，同时对公式(33)两侧积分，得到
[0192]
[0193] 根据式(34)可得V(t)∈L∞，W∈L2，所以s，和 都是有界。根据条件1，可知系统状态q有界。根据式(26)，系统输出τ有界。所以，系统的闭环信号均有界，并且可以得到W有界，因此W一致连续。根据Barbalat引理可知系统渐进稳定。
[0194] 根据引理1可得si∈s分别在有限时刻ti收敛至0，ti时刻如下
[0195]
[0196] 证明：设计李雅普诺夫函数
[0197]
[0198] 对(36)求导得到
[0199]
[0200] 将公式(15)带入(37)得
[0201]
[0202] 其中λ1和μ1为正常数，q1＞0，q1＞0且同为奇整数。
[0203]
[0204] 所以在有限时刻ti时，si收敛至0。
[0205] 实施例：
[0206] 以二自由度机械臂为仿真模型，其中机械臂系统参数为：κ＝6.7kg·m2、ρ＝3.4kg·m2、ε＝3.0kg·m2、μ＝0、Fv＝5N·m·s/rad，加入的干扰 系统期望跟踪的位置指令为曲线 q1d＝sin(3.14×t)(rad)和q2d＝sin(3.14×t)(rad)。根据仿真参数可得机械臂模型矩阵如下：
[0207]
[0208]
[0209]
[0210] 对比仿真结果：本发明所设计的机械臂系统的鲁棒滑模自适应控制方法的参数选取为:Λ＝diag[10,10]，Γ＝diag[5,5,5,5]，KD＝diag[20,20]，γ＝80，λ1＝5，q1＝3， p1＝5，k1＝k2＝1，ξ1(t)＝ξ2(t)＝5000/(1+t2)，它满足公式(26)，机械臂参数的初值为α＝[0,0,0,0]，Fv＝0。PID控制器参数选取为：Kp＝diag[1000,3000],Ki＝0, Kd＝diag[500,1000]。
[0211] 图3是本发明所设计的机械臂系统的鲁棒滑模自适应控制方法作用下系统参数α、Fv的估计值随时间变化的曲线，从图中可以看出其估计值渐渐接近于系统参数的名义值，并在名义值附近一定范围内
波动，从而能够准确地将系统的参数估计出来。
[0212] 控制器作用效果：图4是本发明所设计的控制器机械臂双关节的跟踪曲线图，从图中可以看出，本发明所设计的控制器以良好的跟踪能力精确跟踪期望曲线。
[0213] 图5和图6是本发明所设计的控制器及传统PID控制器分别作用下系统的跟踪误差随时间变化的对比曲线，从图中可以看出，本发明所设计的控制器双关节跟踪误差远远小于传统PID控制器的跟踪误差，体现出了本发明所设计控制器的良好性能。
[0214] 图7是本发明所设计的机械臂系统的鲁棒滑模自适应控制方法的控制输入随时间变化的曲线，从图中可以看出，本发明所得到的控制
输入信号光滑连续，有利于在工程实际中应用。
[0215] 以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何
修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
