技术领域
[0001] 本
发明涉及水泵轴连轴承技术领域，具体的说是一种W2B型水泵轴连轴承及其寿命分析方法。
背景技术
[0002]
汽车水泵是
发动机冷却系统中的重要部件，它不断地为发动机冷却系统流道内循环流动的
冷却液体提供
能量，同时在
散热器、
风扇
离合器、
冷却风扇、
调温器等部件的配合工作下，实现大小循环，使冷却液的
温度稳定在一定的范围内，保证发动机的正常工作。而汽车水泵轴连轴承是水泵产品的重要
基础件，对整个水泵的使用寿命至关重要，同时也决定了水泵的主要使用性能。
[0003] 目前汽车发动机所用的水泵轴连轴承内部多是采用双列
滚动体结构设计即一端为
钢球，另一端为圆柱滚子(WR型)或者两端都为钢球(WB型)。随着汽车工业的快速发展，汽车水泵轴连轴承的使用对转速、
载荷和
密封性能等要求不断提高，普通的汽车发动机水泵用轴连轴承寿命渐渐难以满足使用需求。其主要原因是随着汽车水泵轴连轴承工作时的承载和转速要求不断增加，轴连轴承内部滚子列和钢球列所受的载荷增大，滚子列比钢球列径向承载能
力强，所以易在钢球端产生疲劳失效，从而引起整套水泵轴连轴承的疲劳失效，缩短水泵轴连轴承的使用寿命。
发明内容
[0004] 针对上述
现有技术中汽车水泵轴连轴承的使用对转速、载荷和密封性能等要求不断提高，普通的汽车发动机水泵用轴连轴承寿命渐渐难以满足使用需求等问题，本发明提供一种W2B型水泵轴连轴承及其寿命分析方法。
[0005] 为解决上述技术问题，本发明采用的技术方案为：
[0006] 一种W2B型水泵轴连轴连轴承的寿命分析方法，该水泵轴连轴承含有三列滚动体，一端为圆柱滚子，中间和另一端为钢球；轴连轴承与
泵壳上轴承孔以过盈方式安装，表面加工
滚道的
转轴通过皮带传动，并由发动机
曲轴驱动，转轴的一端与水泵
叶轮直接相连，另外一端与水泵皮带轮相连，冷却风扇通过联接
螺栓与水泵皮带轮端面相连，该方法包括以下步骤：
[0007] 步骤一：建立W2B型汽车水泵轴连轴承工作系统：
[0008] 水泵轴连轴承、水泵皮带轮、冷却风扇、水
泵叶轮及其附件组成W2B型汽车水泵轴连轴承系统结构；
[0009] 步骤二：建立W2B型汽车水泵轴连轴承力学模型：
[0010] 将W2B型轴连轴承所承受的外部载荷等效集中作用在转轴同一
位置处，称为外部等效载荷，建立W2B型汽车水泵轴连轴承系统力学模型，外部等效载荷(Px、 Py、Pz)，左端圆柱滚子列支反力(FRx、FRy、FRz)，中间钢球列支反力(FB1x、FB1y、FB1z) 以及右端钢球列支反力(FB2x、FB2y、FB2z)分别是在x、y、z方向上的受力投影分量；外部等效载荷力矩(Mx、My)，左端圆柱滚子列力矩(MRx、MRy)，中间钢球列力矩(MB1x、 MB1y)以及右端钢球列力矩(MB2x、MB2y)分别是在x、y方向上的弯矩投影分量；
[0011] 步骤三：建立转轴有限元模型和
刚度矩阵：
[0012] 将轴连轴承转轴采用有限元方法进行处理，选择梁单元并进行单元划分，沿着转轴轴线与外部等效载荷、轴连轴承左端圆柱滚子列、轴连轴承中间钢球列及轴连轴承右端钢球列对应位置处分别设置
节点1、节点2、节点3、节点4，这样转轴就成为具有3个单元、4个节点的离散化有限元模型；其中 (u1,v1,w1,θx1,θy1)、(u2,v2,w2,θx2,θy2)、(u3,v3,w3,θx3,θy3)、(u4,v4,w4,θx4,θy4) 分别是节点1、节点2、节点3和节点4的
自由度分量，L1、L2和L3分别为单元①、单元②和单元③的单元长度；
[0013] 对任意平面内的任意单元i，其自由度的定义为：ui、u(i+1)为单元两端节点的z向自由度，vi、v(i+1)为单元两端节点的x向自由度，wi、w(i+1)为y向自由度，θxi、θx(i+1)为单元两端节点绕x轴的转
角自由度，θyi、θy(i+1)为单元两端节点绕 y轴的转角自由度；
[0014] 平面oxz内与平面oyz内的分析相同，仅选取oxz平面进行单元分析，在平面oxz内，轴系第i号单元的刚度矩阵为
[0015]
[0016] 式中：E是转轴材料的
弹性模量，A为轴系单元的截面面积，I为对应单元截面的惯性矩；
[0017] 各局部单元节点位移自由量与整体轴系位移自由量的对应关系为：
[0018] ui(j)＝u[3×(i-1)+j] (2)
[0019] 式中：ui(j)表示第i单元的第j自由度，u[3×(i-1)+j]表示ui(j) 在整体轴系中相对应的自由度；
[0020] 局部单元刚度矩阵元素与整体轴系刚度矩阵元素的对应关系为
[0021]
[0022] 式中： 表示轴系整体刚度矩阵形式，上标S表示与转轴相关，下标代表单元号；Ki表示局部第i单元刚度矩阵，i表示单元号，(j，k)表示单元矩阵元中自由度元素的位置坐标，(j＝1～6,k＝1～6)；
[0023] 转轴整体轴系的总体刚度矩阵为
[0024]
[0025] 式(4)还可以根据节点将刚度矩阵分
块为
[0026]
[0027] 式(5)中 表示轴系各个节点处的3×3主刚度矩阵，i，j表示节点位置；
[0028] 在oxz平面和oyz平面中整个轴系自由量分别为
[0029] Uox＝[u1，v1，θy1，u2，v2，θy2，u3，v3，θy3，u4，v4，θy4]′ (6)
[0030] Uoy＝[u1，w1，θx1，u2，w2，θx2，u3，w3，θx3，u4，w1，θx4]′ (7)
[0031] 轴系外部等效载荷及轴连轴承支反力组成的载荷矩阵在oxz平面和oyz平面中的分量分别为
[0032] Pox＝[Pz，Px，My，FRz，FRx，MRy，FB1z，FB1x，MB1y，FB2z，FB2x，MB2y]′ (8)[0033] Poy＝[Pz，Py，Mx，FRz，FRy，MRx，FB1z，FB1y，MB1x，FB2z，FB2y，MB2x]′ (9)[0034] 步骤四：W2B型轴连轴承钢球列刚度矩阵和寿命分析
[0035] 轴连轴承受载时，与中间钢球列对应的转轴位置产生的轴向、径向和转
角位移量分别为δB1a、δB1r、θB1；中间钢球列滚动体与内、外滚道之间为四点
接触；
[0036] 轴连轴承中间钢球列在位置角ψj处产生的轴向、径向和转角位移量分别为
[0037] δBaj＝δBla (10)
[0038] δBrj＝δB1rcosψj (11)
[0039] θBj＝θB1cosψj (12)
[0040] 其中，ψj表示第j号滚动体沿圆周方向的位置角，j表示滚动体的编号；可以根据内、外滚道与钢球间的
曲率中心距的变化来分析计算轴连轴承内部接触
变形及载荷；位置角度为ψj处钢球中心和内、
外圈曲率中心的初始和受载后的位置变化，c1ij、c1ej和c2ij、c2ej为轴连轴承受载前接触对1和接触对2 的内、外滚道曲率中心位置，c′1ij、c′2ij为变形后接触对1和接触对2的内滚道曲率中心位置，OBj和O′Bj为钢球受载前后的中心位置，α0为钢球受载前的初始接触角，α1j、α2j为轴连轴承受载后接触对1和接触对2的接触角；
[0041] 钢球各个接触对内、外滚道初始曲率中心距为
[0042] A0＝(fe+fi-1)Db (13)
[0043] 式中：fi、fe分别是内、外滚道沟曲率系数，Db是钢球直径；
[0044] 轴连轴承受载后，位置角ψj处接触对1和接触对2的内、外滚道曲率中心距为
[0045] s1j＝[A0sinα0+δBaj+RiθBj)2+(A0cosα0+δBrj)2]0.5 (14)
[0046] s2j＝[(A0sinα0-δBaj-RiθBj)2+(A0cosα0+δBrj)2]0.5 (15)
[0047] 式中：Ri为
内圈曲率中心轨迹半径，Ri＝0.5dm+(fi-0.5)Dbcosα0；dm为中间钢球列
节圆直径；fi为内滚道曲率系数；Db为钢球直径；α0为各接触对的初始接触角；
[0048] 位置角为ψj处，钢球与内、外滚道接触对1和接触对2的接触角为
[0049]
[0050]
[0051] 位置角为ψj处钢球与内、外滚道的各个接触对所产生的弹性变形量为
[0052] δ1j＝S1j-A0 (18)
[0053] δ2j＝S2j-A0 (19)
[0054] 根据点接触赫兹接触理论，则各个接触对的接触载荷为
[0055]
[0056]
[0057] 式中，Kn是钢球与内、外圈的接触变形系数，对于轴承钢
[0058]
[0059] 式(22)中∑ρi、∑ρe是钢球与内、外滚道接触点主曲率和函数， nδi、nδe是钢球与内、外滚道接触点主曲率差函数F(ρ)有关的系数；
[0060] 中间钢球列产生的轴向接触载荷、径向接触载荷和接触弯矩分别为
[0061]
[0062]
[0063]
[0064] 轴连轴承中间钢球列轴承形成的3×3刚度矩阵可表示为：
[0065]
[0066] 根据
滚动轴承设计原理，为了修正钢球直径对于轴承额定动载荷的影响，引入一个变量fb，其是与Db有关的函数，则
[0067]
[0068] 对钢球列滚道额定动载荷为
[0069]
[0070] 式中：f表示滚道
曲率半径系数，代表动、静套圈u和v，γb＝Dbcosα0/dm，α0是钢球初始接触角，Zb是钢球数目，双算符的上下符号分别适用于内滚道和外滚道；Db为钢球直径；dm为钢球列节圆直径；
[0071] 中间钢球列接触对1和接触对2的动、静套圈的当量动载荷分别为
[0072]
[0073]
[0074] 中间钢球列接触对1和接触对2的动、静套圈和接触对的疲劳寿命分别为
[0075]
[0076]
[0077] 中间钢球列综合疲劳寿命为
[0078]
[0079]
[0080] 式(34)中ns为轴连轴承工作转速；
[0081] 同理，右端钢球列的分析计算过程与中间钢球列的分析计算过程相同，可得轴连轴承右端钢球列的3×3刚度矩阵为：
[0082]
[0083] 右端钢球列综合疲劳寿命为
[0084]
[0085]
[0086] 步骤五：W2B型轴连轴承滚子列刚度矩阵和寿命分析
[0087] 轴连轴承受载时，与左端圆柱滚子列对应的转轴位置产生的径向和转角位移量分别为δR、θR；轴连轴承左端滚子列第j号滚子的受载位移变化，zRj是滚子中心由于轴连轴承发生弯曲倾斜变形而产生的轴向偏移量，ORj是滚子中心初始位置，O′Rj为变形后的滚子中心位置；
[0088] 为了计及转轴挠曲变形对滚子接触载荷的影响，采用切片法对滚子进行处理，把滚子沿
母线方向均分成n等份，2w是每个切片单元的厚度，ljk是编号为 k的切片单元中心到滚子左端面的长度，le是滚子的有效长度；
[0089] 轴连轴承左端滚子列第j号滚子产生的径向位移量和转角位移量分别为
[0090] δRj＝δRcosψj (38)
[0091] θRj＝θRcosψj (39)
[0092] 第j号滚子第k切片单元产生的接触变形为
[0093] δRjk＝δRj+θRj(0.5le-ljk-zRj)-2cjk-ur (40)
[0094] 式中，ψj是滚子位置角，cjk是滚子在第k切片单元位置的母线修型量， ur是轴连轴承
径向游隙；
[0095] 采用线接触弹性趋近计算公式，可以得到滚子第k切片单元上的接触载荷为
[0096]
[0097] 滚子第k切片单元产生的接触弯矩为
[0098] MRjk＝QRjk(0.5le-ljk) (42)
[0099] 则第j滚子的径向接触载荷与接触弯矩分别为
[0100]
[0101]
[0102] 左侧滚子列上产生的整体接触载荷和接触弯矩为
[0103]
[0104]
[0105] 式中，n为单个滚子划分的切片数，Zr为滚子数；
[0106] 轴连轴承左端滚子列的3×3刚度矩阵可表示为：
[0107]
[0108] 滚子列额定动载荷为
[0109]
[0110] 式中：λ＝0.72；代表动、静套圈u和v；γr＝(Drcosα0)/dm；α0为滚子与滚道初始接触角；Dr为滚子直径，dm为滚子列公称圆直径；le为滚子有效长度； Zγ为滚子个数；双算符的上下符号分别适用于内滚道和外滚道；
[0111] 滚子列内、外圈的当量动载荷为
[0112]
[0113] 滚子列内、外圈的疲劳寿命为
[0114]
[0115] 轴连轴承滚子列综合疲劳寿命为
[0116]
[0117]
[0118] 步骤六：刚度矩阵复合及平衡方程的建立
[0119] 当转轴与轴连轴承并联复合时，轴连轴承自由量与对应轴系节点自由量协调一致，即式(6)可写成以下形式
[0120] Uox＝[u1，v1，θ1，u2，δR，θR，δB1a，δB1r，θB1，δB2a，δB2r，θB2]′ (53)[0121] 将刚度矩阵按对应节点写成轴连轴承-转轴系统整体刚度矩阵的形式为
[0122]
[0123] 根据外部等效载荷、位移自由度和刚度的关系，可建立
[0124] KUox＝Pox (55)
[0125] 又有转轴对应节点支反力与轴连轴承接触变形力平衡关系
[0126] PS＝PB (56)
[0127] 其中，PS＝[FRz，FRx，MRy，FB1z，FB1x，MB1y，FB2z，FB2x，MB2y]′； PB＝[0,-QRr,-MRθ,-QB1a,-QB1r,-MB1θ,-QB2a,-QB2r,-MB2θ]′
[0128] 故式(55)可以变换成下式
[0129] KUox＝P0 (57)
[0130] 其中，P0＝[Pz，Px，My，0，0，0，0，0，0，0，0，0]′为外部等效载荷矩阵；
[0131] 其中QRr，MRθ为W2B型轴连轴承左端滚子列径向接触变形力和力矩，QB1a，QB1r， MB1θ为W2B型轴连轴承中间钢球列轴向、径向接触变形力和力矩，QB2a，QB2r，MB2θ为W2B型轴连轴承右端钢球列轴向、径向接触变形力和力矩；
[0132] 由式(57)可得到关于u1、v1、θy1、u2、v2、θy2、u3、v3、θy3、u4、v4、θy4的12个方程组成的非线性方程组，包含12个未知数；可利用Newton-Raphson 求解方法可对方程组进行
迭代求解，由式(20)～式(21)以及式(43)可以求出钢球列和滚子列的接触载荷分布，再由式(33)、式(36)和式(51)进一步计算W2B型汽车水泵轴连轴承寿命，然后再根据滚动轴承寿命计算理论得到整体轴连轴承的综合寿命。
[0133] 本发明的有益效果：
[0134] 本发明提供的W2B型水泵轴连轴承及其寿命分析方法，提出了一种W2B(两球一柱)新型汽车水泵轴连轴承，其中一端滚动体为圆柱滚子，中间和另一端滚动体为三点或四点接触钢球；要评估W2B型汽车水泵轴连轴承的寿命，需精确计算轴连轴承受载变形和载荷分布，而W2B型轴连轴承长转轴挠曲变形是影响轴连轴承受载变形和内部载荷分布的一个重要因素。
[0135] 本发明采用将柔性转轴刚度矩阵和轴连轴承刚度矩阵相复合的方法，建立了比传统分析方法更加精确的W2B型轴连轴连轴承力学分析模型；然后采用数值分析方法对轴连轴连轴承力学平衡方程组进行数值求解，精确获得W2B型轴连轴连轴承内部载荷分布，根据载荷分布情况进而得到轴连轴承寿命。本发明提供了一种对W2B型汽车水泵轴连轴承进行寿命分析的模型和方法，由于考虑了转轴的挠曲变形这个重要影响因素，使分析计算结果相比于常用刚性轴分析方法得出的结果更加精准、更加接近实际；
[0136] 本发明为W2B型水泵轴连轴承的相关研究建立了一种通用的考虑转轴挠曲影响因素的力学分析模型；为今后此类轴连轴承的研究提供了一种参考思路和分析方法；本发明考虑转轴挠曲变形对轴连轴承内部载荷分布的影响，对轴连轴承寿命进行分析，由实例验证本发明所提出的W2B型水泵轴连轴承寿命分析方法相比于传统的刚性轴分析方法更加精确、更加符合实际情况。
附图说明
[0137] 图1为W2B型汽车水泵轴连轴承工作结构图；
[0138] 图2为W2B型汽车水泵轴连轴承力学模型图；
[0139] 图3为W2B型汽车水泵轴连轴承转轴离散有限元模型图；
[0140] 图4为平面梁单元自由度定义图；
[0141] 图5为W2B型轴连轴承整体受载位移变化图；
[0142] 图6为滚动体编号及方位角定义图；
[0143] 图7为钢球列受载位移变化图；
[0144] 图8为钢球中心与内、外滚道曲率中心的位移变化图；
[0145] 图9为滚子列受载位移变化图；
[0146] 图10为滚子切片划分定义图；
[0147] 图11为W2B型汽车水泵轴连轴承柔性分析模型图；
[0148] 图12为W2B型汽车水泵轴连轴承刚性分析模型图；
[0149] 图13为W2B型汽车水泵轴连轴承仿真实验分析模型图；
[0150] 图14为W2B型汽车水泵轴连轴承寿命变化图；
[0151] 图15为W2B型汽车水泵轴连轴承工作系统图；
[0152] 附图标记：1、水泵轴连轴承，2、充
电机电轮，3、泵壳，4、水泵叶轮，5、轴连轴承转轴，6、曲轴带轮，7、水泵带轮，8、风扇离合器，9、风扇。
具体实施方式
[0153] 下面结合具体实施方式对本发明做进一步的阐述。
[0154] 一种W2B型水泵轴连轴承，该水泵轴连轴承含有三列滚动体，一端为圆柱滚子，中间和另一端为钢球；轴连轴承与泵壳上轴连轴承孔以过盈方式安装，表面加工滚道的转轴通过皮带传动，并由发动机曲轴驱动，轴连轴承转轴的一端与水泵叶轮直接相连，另外一端与水泵皮带轮相连，冷却风扇通过联接螺栓与水泵皮带轮端面相连。
[0155] 一种如上所述W2B型水泵轴连轴连轴承的寿命分析方法，包括以下步骤：
[0156] 步骤一：建立W2B型汽车水泵轴连轴承工作系统：
[0157] 水泵轴连轴承、水泵皮带轮、冷却风扇、水泵叶轮及其附件组成了W2B型汽车水泵轴连轴承系统结构，W2B型汽车水泵轴连轴连轴承工作结构图和系统图如图1和图15所示。
[0158] 步骤二：建立W2B型汽车水泵轴连轴承力学模型：
[0159] 水泵轴连轴连轴承工作时，轴连轴承所受外部载荷包括：驱动水泵皮带轮的皮带拉力及其在转轴引起的弯矩，水泵叶轮和风扇在工作时产生的轴向力，皮带轮、风扇、水泵叶轮和
联轴器等由偏心
质量引起的
离心力以及转轴上各部件自身的重量等。在这些外部载荷下，轴连轴承转轴将会产生明显挠曲变形，对轴连轴承的内部载荷分布产生很大影响。因此，对于W2B型轴连轴承，转轴的挠曲变形是精确分析轴连轴承内部接触变形和载荷分布必须考虑的因素；
[0160] 可以将W2B型轴连轴连轴承所承受的外部载荷等效集中作用在转轴同一位置处，称为外部等效载荷。图2所示为W2B型汽车水泵轴连轴承系统力学模型示意图，外部等效载荷(Px、Py、Pz)，左端圆柱滚子列支反力(FRx、FRy、FRz)，中间钢球列支反力(FB1x、FB1y、FB1z)以及右端钢球列支反力(FB2x、FB2y、FB2z)分别是在x、y、z方向上的受力投影分量；外部等效载荷力矩(Mx、My)，左端圆柱滚子列力矩 (MRx、MRy)，中间钢球列力矩(MB1x、MB1y)以及右端钢球列力矩(MB2x、MB2y)分别是在x、 y方向上的弯矩投影分量。
[0161] 步骤三：建立W2B型轴连轴连轴承转轴有限元模型和刚度矩阵：
[0162] W2B型轴连轴承正常工作时，长转轴会发生挠曲变形，从而对轴连轴承的力学性能产生很大影响，因此为了对轴连轴承进行精准的分析，须考虑转轴的挠曲变形因素。将图1中的轴连轴承转轴采用有限元方法进行处理，选择梁单元并进行单元划分，沿着转轴轴线与外部等效载荷、轴连轴承左端圆柱滚子列、轴连轴承中间钢球列及轴连轴承右端钢球列对应位置处分别设置节点1、节点2、节点3、节点4。这样转轴就成为具有3个单元、4个节点的离散化有限元模型。图3所示为W2B型汽车水泵轴连轴连轴承转轴离散有限元模型示意图， (u1,v1,w1,θx1,θy1)、(u2,v2,w2,θx2,θy2)、(u3,v3,w3,θx3,θy3)、(u4,v4,w4,θx4,θy4) 分别是节点1、节点2、节点3和节点4的自由度分量，L1、L2和L3分别为单元①、单元②和单元③的单元长度。
[0163] 对任意平面内的任意单元i，其自由度的定义如图4所示：ui、u(i+1)为单元两端节点的z向自由度，vi、v(i+1)为单元两端节点的x向自由度，wi、w(i+1)为y 向自由度，θxi、θx(i+1)为单元两端节点绕x轴的转角自由度，θyi、θy(i+1)为单元两端节点绕y轴的转角自由度。
[0164] 平面oxz内与平面oyz内的分析相同，仅选取oxz平面进行单元分析。在平面oxz内，图4
中轴系第i号单元的刚度矩阵为
[0165]
[0166] 式中：E是转轴材料的弹性模量，A为轴系单元的截面面积，I为对应单元截面的惯性矩。
[0167] 图4中各局部单元节点位移自由量与图3中整体轴系位移自由量的对应关系为：
[0168] ui(j)＝u[3×(i-1)+j] (2)
[0169] 式中：ui(j)表示第i单元的第j自由度，u[3×(i-1)+j]表示ui(j) 在整体轴系中相对应的自由度。
[0170] 图4中局部单元刚度矩阵元素与图3整体轴系刚度矩阵元素的对应关系为
[0171]
[0172] 式中： 表示轴系整体刚度矩阵形式，上标S表示与转轴相关，下标代表单元号；Ki表示局部第i单元刚度矩阵，i表示单元号，(j，k)表示单元矩阵元中自由度元素的位置坐标，(j＝1～6,k＝1～6)。
[0173] 转轴整体轴系的总体刚度矩阵为
[0174]
[0175] 式(4)还可以根据节点将刚度矩阵分块为
[0176]
[0177] 式(5)中 表示轴系各个节点处的3×3主刚度矩阵，i,j表示节点位置。
[0178] 由图3可知，在oxz平面和oyz平面中整个轴系自由量分别为
[0179] Uox＝[u1，v1，θy1，u2，v2，θy2，u3，v3，θy3，u4，v4，θy4]′ (6)
[0180] Uoy＝[u1，w1，θx1，u2，w2，θx2，u3，w3，θx3，u4，w4，θx4]′ (7)
[0181] 由图2可知，轴系外部等效载荷及轴连轴承支反力组成的载荷矩阵在oxz 平面和oyz平面中的分量分别为
[0182] Pox＝[Pz，Px，My，FRz，FRx，MRy，FB1z，FB1x，MB1y，FB2z，FB2x，MB2y]′ (8)[0183] Poy＝[Pz,Py,Mx,FRz,FRy,MRx,FB1z,FB1y,MB1x,FB2z,FB2y,MB2x]′ (9)
[0184] 步骤四：W2B型轴连轴承钢球列刚度矩阵和寿命分析
[0185] W2B型汽车水泵轴连
轴承外圈和轴连轴承座之间是过盈安装，可以把外圈看作是刚性外圈即外圈无变形或偏斜。当转轴受外部载荷作用时，轴连轴连轴承的整体位移变化如图5所示。在这里，仅对oxz平面内的受载变形情况进行分析，对oyz平面内的分析与oxz相同。转轴相对于外圈的倾斜角度和位移量与转轴轴线在该位置节点处的倾斜角度和位移量一致。
[0186] 对于W2B型汽车水泵轴连轴承的位移方向的定义，本发明以图3中所示方向为正方向。对于滚动体的编号及方位角的定义如图6所示，ψj表示第j号滚动体沿圆周方向的位置角，j表示滚动体的编号。
[0187] 轴连轴承受载时，与中间钢球列对应的转轴位置产生的轴向、径向和转角位移量分别为δB1a、δB1r、θB1。中间钢球列滚动体与内、外滚道之间为四点接触，在位置角ψj处工作时的受载位移变化如图7所示。
[0188] 轴连轴承中间钢球列在位置角ψj处产生的轴向、径向和转角位移量分别为
[0189] δBaj＝δBla (10)
[0190] δBrj＝δBlrcosψj (11)
[0191] θBj＝θB1cosψj (12)
[0192] 可以根据内、外滚道与钢球间的曲率中心距的变化来分析计算轴连轴承内部接触变形及载荷。图8所示的是位置角度为ψj处钢球中心和内、外圈曲率中心的初始和受载后的位置变化，c1ij、c1ej和c2ij、c2ej为轴连轴承受载前接触对1和接触对2的内、外滚道曲率中心位置，c′1ij、c′2ij为变形后接触对1 和接触对2的内滚道曲率中心位置，OBj和O′Bj为钢球受载前后的中心位置，α0为钢球受载前的初始接触角，α1j、α2j为轴连轴承受载后接触对1和接触对 2的接触角。
[0193] 钢球各个接触对内、外滚道初始曲率中心距为
[0194] A0＝(fe+fi-1)Db (13)
[0195] 式中：fi、fe分别是内、外滚道沟曲率系数，Db是钢球直径；
[0196] 轴连轴承受载后，位置角ψj处接触对1和接触对2的内、外滚道曲率中心距为
[0197] S1j＝[(A0sinα0+δBaj+RiθBj)2+(A0cosα0+δBrj)2] [14)
[0198] s2j＝[(A0sinα0-δBaj-RiθBj)2+(A0cosα0+δBrj)2]0.5 (15)
[0199] 式中：Ri为内圈曲率中心轨迹半径，Ri＝0.5dm+(fi-0.5)Dbcosα0；dm为中间钢球列节圆直径；fi为内滚道曲率系数；Db为钢球直径；α0为各接触对的初始接触角；
[0200] 位置角为ψj处，钢球与内、外滚道接触对1和接触对2的接触角为
[0201]
[0202]
[0203] 位置角为ψj处钢球与内、外滚道的各个接触对所产生的弹性变形量为
[0204] δ1j＝S1j-A0 (18)
[0205] δ2j＝s2j-A0 (19)
[0206] 根据点接触赫兹接触理论，则各个接触对的接触载荷为
[0207]
[0208]
[0209] 式中，Kn是钢球与内、外圈的接触变形系数，对于轴连轴承钢
[0210]
[0211] 式(22)中∑ρi、∑ρe是钢球与内、外滚道接触点主曲率和函数， nδi、nδe是钢球与内、外滚道接触点主曲率差函数F(ρ)有关的系数；
[0212] 中间钢球列产生的轴向接触载荷、径向接触载荷和接触弯矩分别为
[0213]
[0214]
[0215]
[0216] 中间钢球列轴连轴承形成的3×3刚度矩阵可表示为：
[0217]
[0218] 根据滚动轴连轴承设计原理，为了修正钢球直径对于轴连轴承额定动载荷的影响，引入一个变量fb，其是与Db有关的函数，则
[0219]
[0220] 对钢球列滚道额定动载荷为
[0221]
[0222] 式中：f表示滚道曲率半径系数，代表动、静套圈u和v，γb＝Dbcosα0/dm，α0是钢球初始接触角，Zb是钢球数目，双算符的上下符号分别适用于内滚道和外滚道；Db为钢球直径；dm为钢球列节圆直径。
[0223] 中间钢球列接触对1和接触对2的动、静套圈的当量动载荷分别为
[0224]
[0225]
[0226] 中间钢球列接触对1和接触对2的动、静套圈和接触对的疲劳寿命分别为
[0227]
[0228]
[0229] 中间钢球列综合疲劳寿命为
[0230]
[0231]
[0232] 式(34)中ns为轴连轴承工作转速；
[0233] 同理，右端钢球列的分析计算过程与中间钢球列的分析计算过程相同，可得轴连轴承右端钢球列的3×3刚度矩阵为：
[0234]
[0235] 右端钢球列综合疲劳寿命为
[0236]
[0237]
[0238] 步骤五：W2B型轴连轴连轴承滚子列刚度矩阵和寿命分析
[0239] 轴连轴承左端滚子列只能承受径向力和弯矩，故在分析过程中只考虑径向位移量和转角位移量对轴连轴承接触载荷的影响。轴连轴承受载时，与左端圆柱滚子列对应的转轴位置产生的径向和转角位移量分别为δR、θR。图9所示为轴连轴承左端滚子列第j号滚子的受载位移变化，zRj是滚子中心由于轴连轴承发生弯曲倾斜变形而产生的轴向偏移量，ORj是滚子中心初始位置，O′Rj为变形后的滚子中心位置。
[0240] 为了计及转轴挠曲变形对滚子接触载荷的影响，采用如图10所示的切片法对滚子进行处理，把滚子沿母线方向均分成n等份，2w是每个切片单元的厚度， ljk是编号为k的切片单元中心到滚子左端面的长度，le是滚子的有效长度。
[0241] 轴连轴承左端滚子列第j号滚子产生的径向位移量和转角位移量分别为
[0242] δRj＝δRcosψj (38)
[0243] θRj＝θRcosψj (39)
[0244] 第j号滚子第k切片单元产生的接触变形为
[0245] δRjk＝δRj+θRj(0.5le-ljk-zRj)-2cjk-ur (40)
[0246] 式中，ψj是滚子位置角，cjk是滚子在第k切片单元位置的母线修型量， ur是轴连轴承径向游隙。
[0247] 采用线接触弹性趋近计算公式，可以得到滚子第k切片单元上的接触载荷为
[0248]
[0249] 滚子第k切片单元产生的接触弯矩为
[0250] MRjk＝QRjk(0.5le-ljk) (42)
[0251] 则第j滚子的径向接触载荷与接触弯矩分别为
[0252]
[0253]
[0254] 左侧滚子列上产生的整体接触载荷和接触弯矩为
[0255]
[0256]
[0257] 式中，n为单个滚子划分的切片数，Zr为滚子数。
[0258] 轴连轴承左端滚子列的3×3刚度矩阵可表示为：
[0259]
[0260] 滚子列额定动载荷为
[0261]
[0262] 式中:λ＝0.72；代表动、静套圈u和v；γr＝(Drcosα0)/dm；α0为滚子与滚道初始接触角；Dr为滚子直径，dm为滚子列公称圆直径；le为滚子有效长度；Zr为滚子个数；双算符的上下符号分别适用于内滚道和外滚道。
[0263] 滚子列内、外圈的当量动载荷为
[0264]
[0265] 滚子列内、外圈的疲劳寿命为
[0266]
[0267] 轴连轴承滚子列综合疲劳寿命为
[0268]
[0269]
[0270] 步骤六：刚度矩阵复合及平衡方程的建立
[0271] 当转轴与轴连轴承并联复合时，轴连轴承自由量与对应轴系节点自由量协调一致，即式(6)可写成以下形式
[0272] Uox＝[u1，v1，θ1，u2，δR，θR，δB1a，δB1r，θB1，δB2a，δB2r，θB2]′ (53)[0273] 将刚度矩阵按对应节点写成轴连轴承-转轴系统整体刚度矩阵的形式为
[0274]
[0275] 根据外部等效载荷、位移自由度和刚度的关系，可建立
[0276] KUox＝Pox (55)
[0277] 又有转轴对应节点支反力与轴连轴承接触力平衡关系
[0278] PS＝PB (56)
[0279] 其中，PS＝[FRz，FRx，MRy，FB1z，FB1x，MB1y，FB2z，FB2x，MB2y]′； PB＝[0,-QRr,-MRθ,-QB1a,-QB1r,-MB1θ,-QB2a,-QB2r,-MB2θ]′
[0280] 故式(55)可以变换成下式
[0281] KUox＝P0 (57)
[0282] 其中，P0＝[Pz，Px，My，0，0，0，0，0，0，0，0，0]′为外部等效载荷矩阵；
[0283] 其中QRr，MRθ为W2B型轴连轴承左端滚子列径向接触变形力和力矩，QB1a，QB1r， MB1θ为W2B型轴连轴承中间钢球列轴向、径向接触变形力和力矩，QB2a，QB2r，MB2θ为W2B型轴连轴承右端钢球列轴向、径向接触变形力和力矩；
[0284] 由式(57)可得到关于u1、v1、θy1、u2、v2、θy2、u3、v3、θy3、u4、v4、θy4的12个方程组成的非线性方程组，包含12个未知数。可利用Newton-Raphson 求解方法可对方程组进行迭代求解，由式(20)～式(21)以及式(43)可以求出钢球列和滚子列的接触载荷分布，再由式(33)、式(36)和式(51)进一步计算W2B型汽车水泵轴连轴承寿命，然后再根据滚动轴连轴承寿命计算理论得到整体轴连轴连轴承的综合寿命。
[0285] 下面以本发明提出的柔性轴分析、传统的刚性轴分析以及利用KISSsoft
软件进行仿真实验三种寿命计算结果进行比较，来证明考虑转轴挠曲变形的柔性轴寿命计算方法比传统的不考虑转轴挠曲变形的刚性轴分析计算得出的结果的有效性。
[0286] W2B型水泵轴连轴连轴承结构参数和工况条件
[0287] 选择的W2B型汽车水泵轴连轴连轴承中，转轴的结构参数：转轴弹性模量 E为2.06×105MPa、转轴横截面积A为490.9(mm)2、转轴惯性矩I为19174.8(mm)4、单元①长度L1为42.2(mm)、单元②长度L2为29.5(mm)以及单元③长度L3为 29.5(mm)。
[0288] 轴连轴承左端滚子列结构参数：滚子直径Dr为9mm、滚子数目Zr为12个、滚子列径向初始游隙ur为0.03mm、滚子有效长度le为16mm以及单个滚子切片数为31；轴连轴承中间和右端钢球列结构参数：钢球直径Dw为12.7mm、钢球数目Z为12个、轴连轴承钢球列轴向初始游隙ua为0.06mm、内圈沟曲率半径系数fi为0.535、外圈沟曲率半径系数fe为0.535mm、初始接触角α0为25度以及轴连轴承公称直径dm为43.5mm。
[0289] 外部等效载荷条件：轴向外部等效载荷Pz为200N、径向向外部等效载荷 Px为2500～8000N、外部等效弯矩My为6500N·mm，转轴转速ns为2300r/min。图11是本发明提出的柔性轴分析即考虑转轴挠曲变形的影响分析模型示意图，图12是刚性轴分析即不考虑转轴挠曲变形的影响分析模型示意图，图13是利用 KISSsoft仿真软件进行实验仿真分析计算模型示意图。
[0290] 寿命计算结果验证
[0291] 图14是W2B型汽车水泵轴连轴承在轴向力、弯矩以及转轴转速均不变化的条件下，只施加12组变化的外部径向载荷条件下W2B型汽车水泵轴连轴承的寿命变化曲线图。由图14可以看出轴连轴承寿命变化趋势是随着所施加的径向载荷的增大而减小，在同样的工况条件下刚性轴分析寿命最大，仿真实验分析寿命最小，柔性轴分析寿命介于二者之间。因此，考虑转轴挠曲作用所得轴连轴承寿命更加接近用KISSsoft仿真实验得出的轴连轴承寿命分析结果，相比于不考虑转轴挠曲变形(刚性轴)得出的轴连轴承寿命结果更加精确，更加符合实际情况。
