一种基于同步旋转坐标变换算法的磁悬浮飞轮振动力矩抑制
方法
技术领域
[0001] 本
发明属于磁悬浮飞轮振动抑制领域，特别涉及一种基于同步旋转坐标变换的
不平衡振动力矩的抑制方法。
背景技术
[0002] 磁悬浮
轴承由于无摩擦
支撑转子，这使得
磁轴承可以完美代替现有的机械轴承。然而，由于制造工艺
水平的限制，转子仍存在
质量不平衡，这导致其惯性
主轴和几何主轴不重合。这就会产生相应的不平衡振动，磁轴承产生的振动力对磁悬浮飞轮系统的
稳定性产生很大的影响。通常，磁悬轴承控制系统的目的是控制一个5
自由度的转子，通常磁悬浮转子有两种主要形式，细长形转子和扁平形转子，对于细长形转子而言有较小的惯量比，也即Jz/Jx＞＞1，这也就意味着细长形转子有较小的陀螺效应，这也就使得传统的分散控制方案能够在5自由度单输入-单输出系统中工作。但是对于磁悬浮飞轮而言，其含有一个扁平形的转子，这就使得磁悬浮飞轮的陀螺效应非常严重，这样，传统的分散控制方案在磁悬浮飞轮这样的多输入-多输出系统中就不适用。
[0003] 为了抑制由于陀螺效应产生的振动力或者振动力矩，现存有很多种控制方案，主要有以下几种：基于陷波器的分散控制方案、反馈自适应控制、
自学习控制、H∞鲁棒控制等。同步旋转坐标变换(SRF)的方法在电力
电子和
电机控制中被广泛使用，主要作用是用于提取或
跟踪信号。现在已有方法将同步旋转坐标变换应用于磁轴承主动控制用来抑制振动力。分散控制方案不能直接应用于多输入-多输出系统。通常多输入-多输出控制系统由于陀螺效应会存在耦合，这就需要使用交叉反馈控制的方法来减少陀螺效应的影响。此外系统的稳定性也受陀螺效应的影响。因为交叉反馈技术实现简单，Shi等人给出了最小均方算法，产生与同频振动信号幅值相等，
相位相反的信号，用于补偿，但是没有考虑位移
刚度力的影响，更重要的是无法满足全转速范围内补偿效果，只能在固定转速生效。Bi等人给出了重复学习算法来自适应调节学习增益，虽然能满足大转速范围内的补偿效果，但是还是未消除同频位移刚度力，仅消除同频
电流刚度力。此外以上方法都无法保证全转速范围内加入补偿后系统的稳定性。为了抑制多输入-多输出磁悬浮飞轮系统中的振动力矩，现有的方法主要是基于交叉反馈陷波器的振动抑制法，该方法能够抑制住振动力矩并且能够保证系统的稳定性，但是该方法采用
控制器的阶数太高，实际应用中
数字信号处理器的运算负担太大。
发明内容
[0004] 本发明需要解决的技术问题是：克服现有磁悬浮飞轮振动力矩抑制算法的不足，提供一种能够在全转速范围内且保证系统稳定性条件下能有效抑制振动力矩的算法，采用基于同步旋转坐标变换算法对由于磁悬浮转子质量不平衡产生的振动力矩进行抑制，实现在全转速范围内且保证系统稳定的条件下能有效抑制振动力矩的控制效果。
[0005] 本发明解决其技术问题所采用的技术方案为：、一种基于同步旋转坐标变换的磁悬浮飞轮振动抑制方法，包括以下步骤：
[0006] 步骤一，建立磁悬浮飞轮动力学模型，得到磁悬浮飞轮电磁力和电磁力矩的表达式；
[0007] 步骤二，基于步骤一的电磁力和电磁力矩的表达式，在平衡点附近对电磁力进行线性化处理；
[0008] 步骤三，基于步骤一和步骤二建立磁悬浮飞轮不平衡力和不平衡力矩模型；
[0009] 步骤四，采用分散PID基本控制器以及交叉反馈控制器的复合控制方法，重构基于复系数的振动力矩动力学，将双输入-双输出控制系统转换为单输入-单输出系统；
[0010] 步骤五，进行同步旋转坐标变换，得到同步旋转坐标变换的闭环传递函数；
[0011] 步骤六，基于步骤三、四、五设计基于同步旋转坐标变换的磁悬浮飞轮振动力矩的抑制方法，采用基于复系数重构后的振动力矩模型，利用同步旋转坐标变换实时辨识误差信号中的同频振动信号，将辨识后的同频振动信号反馈到控制器的输入端，实时消除同频振动力矩；
[0012] 步骤七，采用灵敏度函数的分析方法进行分析，获得最大的阻尼比，使系统稳定。
[0013] 进一步地，步骤一中，首先定义磁悬浮飞轮参考
坐标系，再根据
牛顿运动学定律，得到磁悬浮飞轮动力学模型的方程表示如下：
[0014]
[0015] 参考坐标系采用广义坐标系，包括x,y和z轴,α和β分别表示磁悬浮转子在x和y轴方向的扭转
角度， 分别表示，x和y方向的
加速度， 分别表示径向扭转方向的
角速度， 分别表示，径向扭转方向的
角加速度，m表示转子的质量，Jx,Jy和Jz分别表示x,y和z轴的
转动惯量，Ω为转速，fx,fy,px和py分别表示磁悬浮飞轮中磁悬浮轴承的在x和y轴相应的电磁力以及电磁力矩，fdx,fdy,pdx和pdy分别表示磁悬浮轴承的在x和y轴方向由转子质量不平衡引起的不平衡力和不平衡力矩。
[0016] 进一步地，在步骤一的方程组中，由于磁悬浮转子在结构设计上是对称结构，因此[0017] Jx＝Jy＝Jr，Jz＝Jp；
[0018] 其中Jx和Jy分别是径向x和y方向的转动惯量，Jz为轴向的转动惯量，Jr为赤道转动量，Jp是极转动惯量。
[0019] 进一步地，步骤二中，基于步骤一得到磁悬浮飞轮电磁力和电磁力矩的表达式，[0020] 在平衡点附近对电
磁力线性化处理后得到的方程组如下：
[0021]
[0022] 其中，kix表示x方向的电流刚度系数，kiy表示y轴方向的电流刚度系数，kiz表示z轴方向电流刚度系数，ksx表示x轴方向上是位移刚度系数，ksy表示y轴方向的位移刚度系数，ksz表示z轴方向位移刚度系数，并且电流有以下关系成立：
[0023]
[0024] 其中，iα、iβ分别是径向扭转方向的电流，iz1、iz2、iz3、iz4分别是轴向的电流。
[0025] 进一步地，步骤三中，基于步骤一和步骤二建立磁悬浮飞轮不平衡力和不平衡力矩模型，不平衡力和不平衡力矩模型方程表示如下：
[0026]
[0027]
[0028] 其中λs是不平衡力的幅值系数，φs是不平衡力的初始相位，λd是不平衡力矩的幅值系数，ms和md分别代表静态不平衡质量和动态不平衡质量，φd是不平衡力矩的初始相位，式(4)、(5)中x方向的电磁力fdx、y方向的电磁力fdy、x方向的电磁力矩pdx和y轴方向的电磁力矩pdy都为和转速Ω同频的信号。
[0029] 进一步地，步骤四中，重构基于复系数的振动力矩动力学，
[0030] 对扭转方向α和β进行控制以对电磁力矩进行控制，采用分散PID基本控制器以及交叉反馈控制器的复合控制方法，带有强陀螺效应的磁悬浮转子径向扭转方向的
闭环系统动力学方程为：
[0031]
[0032] 其中，gc表示基本的分散PID控制器，gcr表示用于克服陀螺效应的交叉反馈控制器，ga表示功放，gs表示电流
传感器，kxz是轴向的位移放大系数，kiz是轴向的电流放大系数。其中
角位移α超前β90度，利用复数来重新定义一个变量η(t)＝β(t)+jα(t)，其中j是虚数算子，也即j2＝-1，将之前方程组(6)中后面一个方程乘以j加到前面一个上可以得到如下的微分方程：
[0033]
[0034] 将上述方程在零初始条件下进行拉普拉斯变换得到以下方程：
[0035]
[0036] 双输入双输出系统就可以简
化成单输入-单输出系统，在复数域条件下等效的控制通道为：
[0037] G(s)＝ga(s)[gc(s)+jgcr(s)] (9)
[0038] 控制对象为：
[0039]
[0040] 将双输入-双输出控制系统转换为单输入-单输出系统后其系统内的信号是复数。
[0041] 进一步地，步骤五中，进行同步旋转坐标变换，
[0042] 首先建立两个坐标系，一个是静止坐标系，另外一个是旋转坐标系，在静止坐标系Xs-Ys中，任意一个点的
位置的坐标可以用复变量η(t)＝β(t)+jα(t)表示，当这个坐标η(t)＝β(t)+jα(t)围绕原点以转速kΩ旋转时，其中k是磁轴承转子转速Ω的倍数，假如静止参考坐标系在η(t)＝β(t)+jα(t)旋转时也随其同步旋转，那么η(t)＝β(t)+jα(t)在旋转后的坐标系内将是一个静止的向量，这里定义旋转参考坐标系是Xr-Yr，
[0043] 假设坐标点在静止坐标系和旋转坐标系下的坐标向量分别为(xs,ys)T、(xr,yr)T，则两者在旋转坐标变换的转换下可以由下式表示：
[0044]
[0045] 其中T(kΩ)是旋转坐标变换矩阵：
[0046]
[0047] 其中θk是变换矩阵的初相角，βs(t)和αs(t)是在静止坐标系内的角位移，βr(t)和αr(t)是旋转坐标系内的角位移，
[0049]
[0050] 采用复变量重构同步旋转坐标变换的模型降低系统阶次以及简化系统分析过程，这里，首先将输入量、变换矩阵、逆变换矩阵用下面的式子表示：
[0051]
[0052] SRF变换、SRF逆变换和低通滤波器三部分的方程利用复系数重构后可以简化如下：
[0053]
[0054] 将上式进行拉普拉斯变换后得到以下式：
[0055]
[0056] 结合式(13)、(15)、(16)可以得到同步旋转坐标变换的开环传递函数为：
[0057]
[0058] 因此可以得到同步旋转坐标变换的闭环传递函数为：
[0059]
[0060] 式中ε表示低通滤波器的收敛系数。
[0061] 进一步地，步骤七中，采用灵敏度函数的分析方法进行分析，选取原始闭环系统[G,H]的灵敏度函数：
[0062]
[0063] 得到整个闭环系统[G,H,Gk]的特征方程式为：
[0064] Δ＝1+S(s)Gk(s) (20)
[0065] 式中Gk(s)表示同步旋转坐标变换变换的开环传递函数。
[0066] 假设由灵敏度函数表示的原系统是稳定的，即灵敏度函数S(s)的全部极点都在复平面的左半平面(LHP)，
[0067] 这里先令Δ＝0，带入同步旋转坐标变换的具体表达形式得到：
[0068] ε·e-jθkS(s)+λ·(s-jkΩ)+1＝0 (21)
[0069] 假如ε＝0，则上述闭环特征方程的极点为：
[0070]
[0071] 通常λ是一个常数，这也就是说闭环特征方程的极点位于点s＝jkΩ的领域内，根据闭环系统严格稳定的条件s＝jkΩ，将其带入特征方程中，可得s(ε)在ε＝0处是可导的，在ε＝0处对s(ε)求偏导数观察其变化：
[0072]
[0073] 将根轨迹的变化率由上式变化到π，以获得最大的阻尼比，取得最大阻尼比时系统的稳定性最好也就是闭环极点的
实部为负，
虚部为零，可以用下式表示：
[0074]
[0075] 这里Re[·]表示复数的实部，x表示复数的虚部。
[0076] 本发明与
现有技术相比的优点在于：(1)现有的磁悬浮飞轮振动力矩抑制方法只能在小转速变换范围内或者固定转速下完成振动力矩抑制，本发明能够克服上述问题，能够在全转速范围内有效抑制同频振动力矩(2)现有方法没有考虑加入振动抑制控制后系统稳定性的变化，本发明分析了加入同步旋转坐标变换后系统的稳定性，通过在不同转速下调节补偿相位角θ，能够在全转速范围内保证系统的稳定性。
附图说明
[0077] 图1为本发明所述的建立含有不平衡质量的磁悬浮转子系统模型；
[0078] 图2为采用分散PID基本控制器以及交叉反馈控制器的磁悬浮飞轮控制
框图；
[0079] 图3为利用复系数进行振动力矩动力学重构后的结构图；
[0080] 图4为同步旋转坐标变换的结构图；
[0081] 图5为基于同步旋转坐标变换的磁悬浮飞轮振动力矩抑制控制框图；
[0082] 图6为等效后的为基于同步旋转坐标变换的磁悬浮飞轮振动力矩抑制控制框图；
具体实施方式
具体实施方式
[0083]
[0084] 下面结合附图对本发明作进一步的详细说明。
[0085] 本发明提出一种基于同步旋转坐标变换的磁悬浮飞轮振动力矩的抑制方法，该方法是通过将同频振动力直接作为控制目标将构造的电磁力作为同步旋转坐标变换的输入，坐标变换输出直接加入原来系统的电流环构成陷波器，从而达到满足系统稳定性条件下能在全转速范围内有效抑制同频振动力。
[0086] 为了进一步说明本发明所提出的方法，下面给出本发明方法的理论推导过程。
[0087] 步骤一，建立磁悬浮飞轮动力学模型，得到磁悬浮飞轮电磁力和电磁力矩的表达式；
[0088] 如图1所示，其中1是轴向磁轴承，2是径向磁轴承，3是径向传感器，4是轴向传感器，5是惯性主轴，6是几何主轴。磁悬浮飞轮总共有5个自由度，通过一个主动式磁悬浮轴承来控制，在5个自由度中其中径向自由度包括2个径向平动自由度和两个径向扭转自由度，径向自由度由径向磁轴承进行控制，还有一个轴向自由度由轴向磁轴承控制。
[0089] 为了分析方便，首先要定义坐标系，首先定义整个转子的几何中心是Ci，
质量中心是Cg。x,y和z轴构成了广义坐标系,广义坐标系以质量中心Cg作为坐标原点，α和β表示磁悬浮转子在x和y轴方向的扭转角度。m表示转子的质量，Jx,Jy和Jz分别表示x,y和z轴的转动惯量，fx,fy,px和py分别表示磁悬浮飞轮中磁悬浮轴承的在x和y轴相应的电磁力以及电磁力矩。fdx,fdy,pdx和pdy分别表示磁悬浮轴承的在x和y轴方向由转子质量不平衡引起的不平衡力和不平衡力矩。根据以上定义以及牛顿运动学定律可以得到以下方程组：
[0090]
[0091] 在方程组中，又由于磁悬浮转子在结构设计上是对称结构，因此就有以下等式成立：Jx＝Jy＝Jr，Jz＝Jp。在平衡点附近对电磁力进行线性化处理，
[0092] 在平衡点附近对电磁力进行线性化处理可以得到以下方程组：
[0093]
[0094] 其中kix表示x方向的电流刚度系数，kiy表示y轴方向的电流刚度系数，同理，ksx表示x轴方向上是位移刚度系数，ksy表示y轴方向的位移刚度系数，并且电流有以下关系成立：
[0095]
[0096] 步骤三，基于步骤一和步骤二建立磁悬浮飞轮不平衡力和不平衡力矩模型；
[0097] 在不平衡振动中，不平衡力主要是由静态不平衡引起的，静态不平衡是由转子的几何中心和质量中心不重合引起的，不平衡力矩是由动态不平衡引起的，动态不平衡是由惯性主轴和几何主轴不重合引起的。不平衡力和不平衡力矩的模型可以用以下方程组描述：
[0098]
[0099]
[0100] 由以上方程组可以得到x方向的电磁力fdx、y方向的电磁力fdy、x方向的电磁力矩pdx和y轴方向的电磁力矩pdy都和转速Ω同频的信号。
[0101] 步骤四，采用分散PID基本控制器以及交叉反馈控制器的复合控制方法，将基于复系数的振动力矩动力学进行重构，将双输入-双输出控制系统转换为单输入-单输出系统。
[0102] 为了有效的对电磁力矩进行控制，就需要对扭转方向α和β进行控制，对于磁悬浮飞轮控制系统径向扭转方向的控制通常采用分散PID基本控制器以及交叉反馈控制器的复合控制方法，交叉反馈控制器主要用于解决磁悬浮转子高速情况下产生的陀螺效应。图2所示为带有分散PID以及交叉反馈控制器的扭转方向控制结构框图，其中gc(s)表示基本的分散PID控制器，gcr(s)表示用于克服陀螺效应的交叉反馈控制器，ga(s)表示功放，gs(s)表示电流传感器。根据图2所示，带有强陀螺效应的磁悬浮转子径向扭转方向的闭环系统动力学方程为：
[0103]
[0104] 由之前定义的磁悬浮转子的坐标系可知，对于扭转方向的控制，角位移α超前β90度，因此我们可以利用复数来重新定义一个变量η(t)＝β(t)+jα(t)，其中j是虚数算子，也即j2＝-1，将之前方程组中后面一个方程乘以j加到前面一个上可以得到如下的微分方程：
[0105]
[0106] 将上述方程在零初始条件下进行拉普拉斯变换得到以下方程：
[0107]
[0108] 由该方程可知，原先的双输入双输出系统就可以简化成单输出-单输出系统，如图2所示。在复数域条件下等效的控制通道为：
[0109] G(s)＝ga(s)[gc(s)+jgcr(s)] (8)
[0110] 控制对象为：
[0111]
[0112] 进行基于复系数力学重构后的结构图如图3所示。
[0113] 注意到，将多输入-多输出控制系统转换为单输入-单输出系统后其系统内的信号是复数。
[0114] 步骤五，进行同步旋转坐标变换，得到同步旋转坐标变换的闭环传递函数；
[0115] 同步旋转坐标变换的基本思想如图4所示，首先建立两个坐标系，一个是静止坐标系，另外一个是旋转坐标系，在静止坐标系Xs-Ys中，任意一个点的位置的坐标可以用复变量η(t)＝β(t)+jα(t)表示，当这个坐标η(t)＝β(t)+jα(t)围绕原点以转速kΩ旋转时，其中k是磁轴承转子转速Ω的倍数，假如静止参考坐标系在η(t)＝β(t)+jα(t)旋转时也随其同步旋转，那么η(t)＝β(t)+jα(t)在旋转后的坐标系内将是一个静止的向量，这里定义旋转参考坐标系是Xr-Yr。
[0116] 假设坐标点在静止坐标系和旋转坐标系下的坐标向量分别为(xs,ys)T、(xr,yr)T，则两者在旋转坐标变换的转换下可以由下式表示：
[0117]
[0118] 其中T(kΩ)是旋转坐标变换矩阵：
[0119]
[0120] 其中θk是变换矩阵的初相角，βs(t)和αs(t)是在静止坐标系内的角位移，βr(t)和αr(t)是旋转坐标系内的角位移。
[0121] 利用同步旋转坐标变换抑制振动力矩的基本思想是：通过坐标变换将输入含有噪声的振动信号转换成含有高频
干扰信号的直流与交流信号的
叠加，该信号需要经过一级低通滤波器以滤除高频干扰信号，得到直流信号，再经过旋转坐标反变换得到与原信号同频的信号，用于补偿。因此转子产生的同频振动信号可以由同步旋转坐标逆变换辨识得到，其基本结构如图4所示。
[0122] 其中低通滤波器一般采用一阶低通滤波器：
[0123]
[0124] 由于该变换是双输入-双输出变换，不利于分析，为了降低系统阶次以及简化系统分析过程，这里采用复变量重构同步旋转坐标变换的模型，首先将输入量、变换矩阵、逆变换矩阵用下面的式子表示：
[0125]
[0126] 这样结构图中的方程可以简化如下：
[0127]
[0128] 将上式进行拉普拉斯变换后得到以下式：
[0129]
[0130] 结合式12、14、15可以得到同步旋转坐标变换的开环传递函数为：
[0131]
[0132] 因此可以得到同步旋转坐标变换的闭环传递函数为：
[0133]
[0134] 加入同步旋转坐标变换后，会对系统的稳定性产生影响。
[0135] 步骤六，基于步骤三、四、五设计基于同步旋转坐标变换的磁悬浮飞轮振动力矩的抑制方法，采用基于复系数重构后的振动力矩模型，利用同步旋转坐标变换实时辨识误差信号中的同频振动信号，将辨识后的同频振动信号反馈到控制器的输入端，实时消除同频振动力矩；
[0136] 步骤七，采用灵敏度函数的分析方法进行分析，获得最大的阻尼比，使系统稳定。
[0137] 基于同步旋转坐标变换的磁悬浮飞轮振动抑制的控制框图如图5所示，包括：
[0138] 1)磁悬浮飞轮控制器
[0139] 2)磁悬浮轴承控制对象
[0140] 3)同步旋转坐标变换环节
[0141] 其中G(s)是利用复系数进行振动力矩动力学重构后的控制通道，通常磁悬浮轴承的基本控制策略采用分散PID控制算法，H(s)是等效后的磁悬浮轴飞轮控制对象。虚线框内的是同步旋转坐标变换，输入是相位相差90o的X和Y方向的振动力矩信号，输出是相应两个自由度的补偿信号，该补偿信号被输入到原来控制系统的电流环中用以抑制输出的振动力矩。
[0142] 这里采用灵敏度函数的分析方法进行分析。选取原始闭环系统[G,H]的灵敏度函数：
[0143]
[0144] 基于同步旋转坐标变换的磁悬浮飞轮振动抑制结构图就可以等效成图6。
[0145] 根据图6整个闭环系统[G,H,Gk]的特征方程式为：
[0146] Δ＝1+S(s)Gk(s) (19)
[0147] 有控制理论知识可知当且仅当系统特征方程的极点全部都在复平面的左半平面(LHP)时，整个系统才是稳定的，这里我们假设由灵敏度函数表示的原系统是稳定的，也就是说灵敏度函数S(s)的全部极点都在复平面的左半平面(LHP)。稳定性分析的主要目的是分析在引入同步旋转坐标变换后整个控制系统极点的变化情况。
[0148] 这里先令Δ＝0，带入同步旋转坐标变换的具体表达形式得到：
[0149]
[0150] 假如ε＝0，则上述闭环特征方程的极点为：
[0151]
[0152] 通常λ是一个常数，这也就是说闭环特征方程的极点位于点s＝jkΩ的领域内，根据闭环系统严格稳定的条件s＝jkΩ，将其带入特征方程中，可得s(ε)在ε＝0处是可导的，在ε＝0处对s(ε)求偏导数观察其变化：
[0153]
[0154] 根据上式可得当ε很小的时候，参数根轨迹s(ε)起始于s＝jkΩ，这样可以将根轨迹的变化率由上式变化到π，这样就可以获得最大的阻尼比，取得最大阻尼比时系统的稳定性最好也就是闭环极点的实部为负，虚部为零，可以用下式表示：
[0155]
[0156] 这里Re[·]表示复数的实部，x表示复数的虚部。
[0157] 本发明将同步旋转坐标变换的算法应用于多输入-多输出控制系统中，以抑制磁悬浮飞轮产生的振动力矩。同时整个控制系统的稳定性也能得到保证。
[0158] 以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。
