技术领域
[0001] 本
发明涉及机电换能器的控制方法，具体涉及一种互耦分数阶混沌机电换能器加速自适应模糊控制方法。
背景技术
[0002] 近年来，具有在拓扑复杂性与耦合单元动
力特性间相互作用的复杂网络在工程中得到了重视。随着微
机电系统的发展，耦合机电系统的设计、分析、建模和控制等研究领域受到了广泛的关注而且这种趋势正在逐步增加。机电换能器属于动圈式机电装置，其与相关混沌和分岔的动态特性会破坏系统的
稳定性。Pérez-Molina和Perez-Polo讨论了由
铁磁活动件组成的机电换能器在谐波振荡作用下的非线性动力学。Ngueuteu等人研究了两个分布式耦合机电换能器的动力学和同步性问题。这些工作仅限于整数阶机电换能器的建模和分析。此后，Ngueuteu等人进一步研究了具有电容器分数特性的耦合机电换能器动力学和同步分析。Aghababa建立了分数阶鲁棒滑模
控制器，用来稳定静电和机电换能器。但是，该方案过度依赖已知的动力学以及匹配条件，而且没有耦合配置。
[0003] 为了补偿未知动力学的影响，将
模糊逻辑、神经网络、观测器和勒让德多项式等常用工具与反演控制相结合。众所周知，自适应反演控制方法因其优越性而被广泛应用于不确定系统。一些研究者将反演的思想应用于控制分数阶非线性系统。然而，随着系统阶数的增加，被控对象的动力学特性需要预先知道，同时项爆炸是不可避免的。直接推导虚拟控制输入可能导致重复微分，在计算量较大的情况下，权值的数量与模糊基函数相匹配。此外，控制器的最优性通常被忽略。为了解决上述复杂度增长问题，引入了一阶
滤波器。即便如此与
跟踪微分器相比，其滤波
精度较差。给定性能控制是加速收敛速度的一个好选择。但这种方法在很大程度上依赖于初始条件。Song和Zhao为一类非线性不确定系统开发了一种加速自适应控制方法。但由于分数阶微积分的复杂性，它的模型不涉及未知的非线性函数，只适用于整数阶系统。因此，如何针对耦合分数阶非线性系统开发一种给定性能的模糊反演控制方案仍然是一个未解决的问题。
[0004] 最优控制由于消耗较少的资源而受到越来越多的关注。最优控制的核心问题是求解汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程，最小
化成本指数。针对系统动力学未知、近似精度差的问题，选择神经网络作为函数逼近器来实现策略
迭代算法。值得注意的是，这些方法存在局部极小、开放分析和收敛性差的问题。为了解决这些问题，Liu等人针对一类非线性离散时间系统，提出了一种基于模糊逼近的自适应反演最优控制方法。Li等人讨论了基于观测器的SISO非线性系统自适应模糊容错最优控制问题。针对具有输入饱和的非线性多导弹制导系统，Sun和Liu设计了一种分布式模糊自适应反演最优控制器。他们都将最优控制纳入自适应反演控制。然而，由于分数阶导数的复杂性，这些方法对于耦合分数阶非线性系统是无效的。此外，给定性能、时间延迟、混沌抑制和复杂性增长等问题都没有涉及到。
发明内容
[0005] 本发明的目的在于，提供一种互耦分数阶混沌机电换能器加速自适应模糊控制方法。本发明不仅保证了所有
信号的有界性，实现了混沌抑制、同步和加速收敛，而且使成本函数最小。
[0006] 本发明的技术方案：一种互耦分数阶混沌机电换能器加速自适应模糊控制方法，包括下述步骤：
[0007] a.系统建模：创建一个由三个相同的机电换能器组成的小型网络，每个机电换能器均具有最近邻居耦合结构；基于小型网络构建出具有最近邻居的机电耦合换能器模型；
[0008] b.设计控制器：设计由一个前馈模糊控制器和一个自适应最优反馈控制器构成的控制器；
[0009] 所述的前馈模糊控制器在反演控制的
框架内由回归非单值2型序列模糊神经网络、速度函数和跟踪微分器集成；
[0010] 所述的自适应最优反馈控制器由回归非单值2型序列模糊神经网络、策略迭代和执行-评价
强化学习算法融合而成，能求解汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程。
[0011] 前述的互耦分数阶混沌机电换能器加速自适应模糊控制方法所述的步骤a中，所述的机电耦合换能器模型为；
[0012]
[0013] 其中， 和
[0014] 表示时变时滞项，τji＝τji(t),j＝1,3。
[0015] 前述的互耦分数阶混沌机电换能器加速自适应模糊控制方法所述的步骤a中，所述的系统建模的过程如下：
[0016] 基于
牛顿第二定律和基尔霍夫定律，构建单个分数阶机电换能器的动力学方程：
[0017]
[0018] 其中，L、R、C0、v0和ω’分别表示电感、
电阻、电容、振幅和
频率；a3和a5表示系统系数；α和C表示分数阶值且满足0＜α＜1和Caputo分数阶导数，m、η、k、l、B和vi分别表示
质量、粘性
摩擦系数、
刚度系数、动圈长度、
密度磁通量和第i个机电换能器的
电压；
[0019] 三个相同的机电换能器之间存在以下关系：
[0020] νi＝-νi,i-1-νi,i+1,Ii,i-1＝Ii-Ii-1 (2)
[0021] 其中，Ii、Ii,j分别表示通过i个机电换能器的
电流和穿过支路的电流，j＝i-1；vi,j表示支路耦合的电压，j＝i-1或j＝i+1；
[0022] 得到： 其中qi,j、Cv和Rv分别表示耦合电容器的电荷、电容和分支耦合电阻；则有：
[0023]
[0024] 根据式(1)导出三个最近相邻耦合分数阶机电换能器的动力学方程：
[0025]
[0026] 定义无量纲变量 和t＝ωeτ，其中Q0表示电容器的参考电荷， 通过增加控制输入，三个最近相邻耦合分数阶机电换能器的无量纲
方程为：
[0027]
[0028] 其中，和 表示无量纲参数， 和 表
示控制输入；单个机电换能器的系统参数为：
[0029] γ1＝0.2，γ2＝0.1，β1＝0.9，β2＝0.1，ζ1＝0.01，ζ2＝0.05，ω2＝1.2，ω＝0.85和E0＝23.5；κ1和κ2表示
电容耦合系数和电阻耦合系数；此外，κ2包含耗散耦合；
[0030] 系统状态x1i和x3i在工作过程中存在时间延迟，机电耦合换能器模型表示为式(6)。
[0031] 前述的互耦分数阶混沌机电换能器加速自适应模糊控制方法所述的步骤b中，所述的回归非单值2型序列模糊神经网络的输出过程如下：
[0032] 1)计算上隶属度 和下隶属度
[0033]
[0034] 有： 和
[0035] 其中， 和 分别表示隶属函数的中心、输入、上输入和下输入；和 表示隶属函数的上宽度， 和 是隶属函数的下宽度；
[0036] 2)回归非单值2型序列模糊神经网络的
知识库由一系列模糊的如果-那么规则组成，具体如下：
[0037] 如果： 是 是
[0038] 那么：
[0039] 其中 表示l阶高斯2型隶属度函数的j阶输入；
[0040] 上下映射度可以表示为
[0041]
[0042] 其中 和ξi(t-1)表示上一次
采样时i条规则的上下映射度，r是一个设计常数和
[0043] 3)2型序列模糊神经网络的输出可以得到：
[0044]
[0045] 其中：
[0046]
[0047]
[0048] 对于任意连续函数f(uf)，都有
[0049]
[0050] 其中 表示权值，ε(uf)和 是近似误差和uf的合适边界紧集；定义最优参数 其中Ωφ
是φ的紧集和
[0051] 令 其中φ*是虚拟项，同时有 其中
[0052] 与回归非单值2型序列模糊神经网络的权向量相关的变换被提出为
[0053]
[0054] 存在λ＝||φTφ||和 其中 是λ的估计值，
[0055] 和Bf＞0。
[0056] 前述的互耦分数阶混沌机电换能器加速自适应模糊控制方法所述的步骤b中，速度函数构建过程如下：
[0057] 引入速率函数：
[0058]
[0059] 其中0＜T＜∞表示时间，ρ(t)表示任何非递减和 时间平滑函数并满足ρ(0)＝1和 ρ(t)的形式通常被选为1,1+t2,et或4t(1+t2)；
[0060] 构造速度函数：
[0061]
[0062] 其中设计常数bψ满足0＜bψ＜＜1；
[0063] 根据式(19)和(20)，可以得到
[0064]
[0065] 令 其中 是连续可微和有界的；速度函数ψ(t)是正定且严格地递增，初始值为ψ(0)＝1。
[0066] 前述的互耦分数阶混沌机电换能器加速自适应模糊控制方法所述的步骤b中，跟踪微分器的构建如下：
[0067]
[0068] 其中 和 是跟踪微分器的状态， 和σji表示设计常数，有和0＜σji＜1， 表示跟踪微分器的
输入信号。
[0069] 前述的互耦分数阶混沌机电换能器加速自适应模糊控制方法所述的步骤b中，所述的前馈模糊控制器的设计包括下述步骤：
[0070] 步骤1：设计前馈模糊控制器的跟踪误差eji和加速误差Sji
[0071]
[0072] 式(23)中， 是虚拟控制率，其中 表示前馈模糊控制器的虚拟控制输入， 表示自适应最优反馈控制输入；
[0073] S1i的分数阶导数可以获得：
[0074]
[0075] 假设3：时变时延项τ1i(t)和τ3i(t)满足下列不等式
[0076]
[0077] 其中τmax和 表示已知常数；
[0078] 虚拟控制率可以设计为
[0079]
[0080] 其中k1i表示一个设计常数；
[0081] 选取第一个Lyapunov函数
[0082]
[0083] 对V1i(t)求导得到
[0084]
[0085] 步骤2：计算S2i的导数
[0086]
[0087] 有 其中 表示未知的连续函数，f2i(Xi)＝-T
(γ1+2κ2)x2i-ζ1x4i+E0cosωt和Xi≡[x1i,x2i,x3i,x4i]；
[0088] 对于 采用回归非单值2型序列模糊神经网络进行估算，则
[0089]
[0090] 选择Lyapunov-Krasovskii候选函数为：
[0091]
[0092] 其中μ2i和κi表示常量；
[0093] 取V2i(t)对时间的导数得：
[0094]
[0095] 其中：
[0096]
[0097]
[0098] 将式(32)和(33)带入到(31)得到；
[0099]
[0100] 设计具有自适应律的控制输入：
[0101]
[0102]
[0103] 其中μ2i，g2i和k2i是正常数；
[0104] 根据式(35)和(35)，将式(34)写为：
[0105]
[0106] 步骤3：选择Lyapunov函数候选者为
[0107]
[0108] 对V3i(t)求导可以得到
[0109]
[0110] 然后，虚拟控制选为
[0111]
[0112] 其中k3i表示设计常数；
[0113] 将式(40)代入到(39)得到：
[0114]
[0115] 步骤4：考虑Lyapunov-Krasovskii函数：
[0116]其中μ4i是正常数；对S4i求分数阶积分得到：
[0117]
[0118] 有 其中 表示连续函数f4i(Xi)＝-γ2x4i+ζ2x2i；
[0119] 对于未知非线性函数 使用回归非单值2型序列模糊神经网络以高精度近似它，得到
[0120] 同理，使用分数阶跟踪微分器来近似它，以避免对 的复杂计算，即
[0121] 假设2:存在未知正函数q2j和q4j，并满足
[0122]
[0123] 其中Sj,j＝1,…,4为加速误差变量；
[0124] 引用假设2和杨氏不平等式，有：
[0125]
[0126]
[0127] V4i(t)的导数根据式(42)～(44)推导：
[0128]
[0129] 选择控制输入为：
[0130]
[0131] 其中k4i是正常数；
[0132] 分数阶自适应律为：
[0133]
[0134] 其中μ4i和g4i是正常数；
[0135] 根据式(46)和(47)，式(45)进一步推断为：
[0136]
[0137] 定义两个向量Si≡[S1i,S2i,S3i,S4i]T和 则式(48)为
[0138]
[0139] 其中
[0140] 前述的互耦分数阶混沌机电换能器加速自适应模糊控制方法所述的步骤b中，所述的自适应最优反馈控制器的设计如下：
[0141] 设计自适应最优反馈控制器的的分数阶非线性系统
[0142]
[0143] 引入无限域成本函数：
[0144]
[0145] 基于自适应最优反馈控制优化式(50)：
[0146]
[0147] 其中 且Gi是一个四阶单位矩阵；
[0148] 定义哈密顿函数为
[0149]
[0150] 其中 表示Ji(Si)的梯度；
[0151] 最优成本函数 满足HJB方程，即 假设该方程存在并且是唯一的，将自适应最优反馈控制输入 导出为：
[0152]
[0153] 其中 表示 的梯度；
[0154] 在式(52)中插入(53)可以得到 的HJB方程：
[0155]
[0156] 引理2：对于具有无限域成本函数式和最优控制输入式(53)的受控系统式(51)，存在一个连续的可微和无约束Lyapunov函数 满足其中 表示Jio(Si)的偏导数；
[0157] 引入一个正定函数Λi(Si)满足 和 有：
[0158]
[0159] 下列不等式可以得到
[0160]
[0161] 基于值函数逼近VFA，可以在Sobolev空间中近似成本函数及其梯度，则：
[0162]
[0163] 式(57)的梯度可以写为
[0164]
[0165] 将(58)代入(53)，可以得到
[0166]
[0167] HJB方程被进一步推导为：
[0168]
[0169] 其中 残余误差 定义为：
[0170]
[0171] 最优闭环动力系统是有界的，则：
[0172]
[0173] 其中cio表示一个正常数；由于执行/评价模糊神经网络的输出权值未知，需要使用当前已知权值替换它们，则：
[0174]
[0175] 其中 表示φin的估计值。此外，权值误差 等于
[0176] 设计最优反馈控制器
[0177]
[0178] 然后HJB方程变为
[0179]
[0180] 其中
[0181] 选择 以最小化平方残余误差；
[0182]
[0183] 针对执行/评价模糊神经网络的自适应律设计为：
[0184]
[0185] 其中， 和是调节参数，ain表示直接决定学习速度的正调节参数，运算符 定义为
[0186]
[0187] 与
现有技术相比，本发明取得了以下有益效果：
[0188] 1)本发明考虑电容和速度的分数阶特性，构建由三个相同机电换能器组成的小型耦合网络，并建立了具有最近邻居耦合配置的机电换能器数学模型。该模型增加了系统记忆特性和设计
自由度。
[0189] 2)本发明把模糊最优控制方法引入加速反演法控制中，拓宽了分数阶反演控制的应用范围。现有技术没有考虑控制的最优性以及给定有限时间内的加速收敛问题，同时互耦分数阶混沌机电换能器与一类非线性系统差别巨大，因此互耦分数阶混沌机电换能器的加速自适应模糊最优控制更具实际工程意义。
[0190] 3)本发明控制器的整个控制策略由一个前馈模糊控制器和一个自适应最优反馈控制器组成，该前馈控制器在反演控制的框架内集成了回归非单值2型序列模糊神经网络、跟踪微分器和速度函数，而反馈控制器则融合回归非单值2型序列模糊神经网络、策略迭代和执行-评价强化学习算法。该方法不仅保证所有信号的有界性和最小成本函数，同时实现了混沌抑制、同步和加速收敛目标。
附图说明
[0191] 图1是三个耦合分数阶机电换能器的原理图；
[0192] 图2是κ1＝κ2＝0.1下x1i和x2i之间的
相图；
[0193] 图3是κ1＝κ2＝0.1下x3i和x4i之间的相图；
[0194] 图4是κ1＝κ2＝0.1和α＝0.99下的外部激励相图；
[0195] 图5是回归非单值2型序列模糊神经网络的示意图；
[0196] 图6是参考信号和实际信号之间的跟踪性能；
[0197] 图7是前馈控制器和最优控制器中回归非单值2型序列模糊神经网络的自适应律；
[0198] 图8是第一个分数阶机电换能器跟踪误差的加速收敛性能；
[0199] 图9是不同条件下分数阶跟踪微分器的逼近性能；
[0200] 图10是在不同条件下，包括前馈控制器和最优控制器在内的整个控制输入；
[0201] 图11是不同条件下HJB方程的残余误差；
[0202] 图12是本发明系统控制图。
具体实施方式
[0203] 下面结合附图和
实施例对本发明作进一步的说明，但并不作为对本发明限制的依据。
[0204] 实施例。一种互耦分数阶混沌机电换能器加速自适应模糊控制方法，参见图12，包括下述步骤：
[0205] a.系统建模：创建一个由三个相同的机电换能器组成的小型网络，基于电容器和电阻的序列关联，每个机电换能器均具有最近邻居耦合结构；基于小型网络构建出具有最近邻居的机电耦合换能器模型；通过动力学分析揭示了所述模型行为对外部激励和分数阶值非常敏感；
[0206] b.设计控制器：设计由一个前馈模糊控制器和一个自适应最优反馈控制器构成的控制器；
[0207] 所述的前馈模糊控制器在反演控制的框架内由回归非单值2型序列模糊神经网络、速度函数和跟踪微分器集成；
[0208] 所述的自适应最优反馈控制器由回归非单值2型序列模糊神经网络、策略迭代和执行-评价强化学习算法融合而成，能求解汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程；
[0209] 回归非单值2型序列模糊神经网络用于估计前馈模糊控制器中动力学系统的未知函数；
[0210] 回归非单值2型序列模糊神经网络和最优反馈控制器中的策略迭代还用来构建近似评价函数和执行控制函数；
[0211] 速度函数用来在给定的有限时间内加快收敛速度；
[0212] 跟踪微分器用来解决与传统反演控制相关项的爆炸问题。
[0213] 前述的步骤a中，所述的机电耦合换能器模型为；
[0214]
[0215] 其中， 和表示时变时滞项，τj＝iτ(t)j,
ji＝1。
[0216] 具体地，步骤a所述的系统建模的过程如下：
[0217] 单个机电换能器通常由一个线性机械
振荡器和一个达芬五次
电子振荡器组成，其中两个振荡器通过密度的磁通量相互作用。机械振荡器是由一个可沿Z轴振荡的活动梁组成。电子振荡器由电阻、非线性电容、电感和正弦电压源组成；基于牛顿第二定律和基尔霍夫定律，构建单个分数阶机电换能器的动力学方程：
[0218]
[0219] 其中，L、R、C0、v0和ω’分别表示电感、电阻、电容、振幅和频率；a3和a5表示系统系数；α和C表示分数阶值且满足0＜α＜1和Caputo分数阶导数，m、η、k、l、B和vi分别表示质量、粘性摩擦系数、刚度系数、动圈长度、密度磁通量和第i个机电换能器的电压；
[0220] 创建一个由三个相同的机电换能器组成的小网络；通过电容器和电阻的序列关联，每个换能器都有最近的相邻耦合结构；三个耦合机电换能器的原理图如图1所示；三个相同的机电换能器之间存在以下关系：
[0221] νi＝-νi,i-1-νi,i+1,Ii,i-1＝Ii-Ii-1 (2)
[0222] 其中，Ii、Ii,j分别表示通过i个机电换能器的电流和穿过支路的电流，j＝i-1；vi,j表示支路耦合的电压，j＝i-1或j＝i+1；
[0223] 得到： 其中qi,j、Cv和Rv分别表示耦合电容器的电荷、电容和分支耦合电阻；则有：
[0224]
[0225] 根据式(1)导出三个最近相邻耦合分数阶机电换能器的动力学方程：
[0226]
[0227] 定义无量纲变量 和t＝ωeτ，其中Q0表示电容器的参考电荷， 通过增加控制输入，三个最近相邻耦合分数阶机电换能器的无量纲
方程为：
[0228]
[0229] 其中，和 表示无量纲参数， 和 表
示控制输入；单个机电换能器的系统参数为：
[0230] γ1＝0.2，γ2＝0.1，β1＝0.9，β2＝0.1，ζ1＝0.01，ζ2＝0.05，ω2＝1.2，ω＝0.85和E0＝23.5；κ1和κ2表示电容耦合系数和电阻耦合系数；此外，κ2包含耗散耦合，它能加强横向扰动的指数衰减；图2-3揭示了三个耦合机电换能器在不同分数阶值下具有不同的动力学状态和行为，如混沌振荡。图4揭示了最近相邻耦合配置下外部激励的相图。很明显，系统的动力学行为对参数变化非常敏感。基于此，在没有有效方案的情况下，混沌振荡会导致系统在运行过程中出现不稳定状况。如果κ1＝κ2＝0和α＝1，三个耦合分数阶机电换能器将退化为单个通用机电换能器。考虑活动梁速度的分数阶特性可以增加记忆功能和设计自由度；同时，通过分支耦合配置将单个机电换能器扩展为三个耦合机电换能器；系统状态x1i和x3i在工作过程中存在时间延迟，特别是在低速启动和反向运动的情况下；基于此，机电耦合换能器模型表示为式(6)。
[0231] 定义1:对于函数F(t)的Caputo分数阶导数可以写为：
[0232]
[0233] 其中Γ(n-α)表示Gamma函数并等于 和
[0234] 定义2:对F(t)定义Riemann-Liouville分数阶导数：
[0235]
[0236] 引理1:如果y(x)∈Cn[a,b]和α>0，下列不等式存在：
[0237]
[0238] 假设1:参考信号 及其导数连续和可用；
[0239] 假设2:存在未知正函数q2j和q4j，并满足
[0240]
[0241] 其中Sj,j＝1,…,4为加速误差变量；
[0242] 假设3:时变时延项τ1i(t)和τ3i(t)满足下列不等式
[0243]
[0244] 其中τmax和 表示已知常数；
[0245] 引入无限域成本函数
[0246]
[0247] 其中Qi(Si)＞0, Si和Ui分别表示惩罚函数，不对称正定矩阵，跟踪误差和控制输入。
[0248] 前述的步骤b中，所述的回归非单值2型序列模糊神经网络的输出过程如下：
[0249] 1)计算上隶属度 和下隶属度
[0250]
[0251] 有： 和
[0252] 其中， 和 分别表示隶属函数的中心、输入、上输入和下输入；和 表示隶属函数的上宽度， 和 是隶属函数的下宽度；
[0253] 2)回归非单值2型序列模糊神经网络的知识库由一系列模糊的如果-那么规则组成，具体如下：
[0254] 如果： 是 是
[0255] 那么：
[0256] 其中 表示l阶高斯2型隶属度函数的j阶输入；
[0257] 上下映射度可以表示为
[0258]
[0259] 其中 和ξi(t-1)表示上一次采样时i条规则的上下映射度，r是一个设计常数和
[0260] 3)2型序列模糊神经网络的输出可以得到：
[0261]
[0262] 其中：
[0263]
[0264]
[0265] 对于任意连续函数f(uf)，都有
[0266]
[0267] 其中 表示权值，ε(uf)和Duf是近似误差和uf的合适边界紧集；定义最优参数 其中Ωφ
是φ的紧集和
[0268] 令 其中φ*是虚拟项，同时有 其中
[0269] 与回归非单值2型序列模糊神经网络的权向量相关的变换被提出为
[0270]
[0271] 存在λ＝||φTφ||和 其中 是λ的估计值，
[0272] 和Bf＞0。
[0273] 将回归非单值2型序列模糊神经网络应用于前馈模糊控制器中未知非线性函数的逼近，并对自适应最优反馈控制器中的成本函数进行估计。通过变换，权值的数量显著减少到一个，从而降低计算负担和控制器设计复杂度。
[0274] 前述的步骤b中，速度函数用于加快收敛速度，构建过程如下：
[0275] 引入速率函数：
[0276]
[0277] 其中0＜T＜∞表示时间，ρ(t)表示任何非递减和 时间平滑函数并满足ρ(0)＝1和 ρ(t)的形式通常被选为1,1+t2,et或4t(1+t2)；
[0278] 构造速度函数：
[0279]
[0280] 其中设计常数bψ满足0＜bψ＜＜1；
[0281] 根据式(19)和(20)，可以得到
[0282]
[0283] 令 其中 是连续可微和有界的；速度函数ψ(t)是正定且严格地递增，初始值为ψ(0)＝1。此外，bψ和ρ(t)的选择能直接确定被控系统的瞬态响应和稳态性能。
[0284] 前述的步骤b中，跟踪微分器能够实现对信号的精确估计，而无需系统的数学表达式，具体地构建如下：
[0285]
[0286] 其中 和 是跟踪微分器的状态， 和σji表示设计常数，有和0＜σji＜1， 表示跟踪微分器的输入信号。
[0287] 前述的步骤b中，所述的前馈模糊控制器的设计包括下述步骤：
[0288] 步骤1：设计前馈模糊控制器的跟踪误差eji和加速误差Sji
[0289]
[0290] 式(23)中， 是虚拟控制率，其中 表示前馈模糊控制器的虚拟控制输入， 表示自适应最优反馈控制输入；
[0291] S1i的分数阶导数可以获得：
[0292]
[0293] 假设3：时变时延项τ1i(t)和τ3i(t)满足下列不等式
[0294]
[0295] 其中τmax和 表示已知常数；
[0296] 虚拟控制率可以设计为
[0297]
[0298] 其中k1i表示一个设计常数；
[0299] 选取第一个Lyapunov函数
[0300]
[0301] 对V1i(t)求导得到
[0302]
[0303] 步骤2：计算S2i的导数
[0304]
[0305] 有 其中 表示未知的连续函数，f2i(Xi)＝-(γ1+2κ2)x2i-ζ1x4i+E0cosωt和Xi≡[x1i,x2i,x3i,x4i]T；
[0306] 对于 采用回归非单值2型序列模糊神经网络进行估算，则
[0307]
[0308] 选择Lyapunov-Krasovskii候选函数为：
[0309]
[0310] 其中μ2i和κi表示常量；
[0311] 取V2i(t)对时间的导数得：
[0312]
[0313] 其中：
[0314]
[0315]
[0316] 很难直接计算 需要采用分数阶跟踪微分器来近似它；将式(32)和(33)带入到(31)得到：
[0317]
[0318] 对于Caputo分数阶导数，有 其中 如果选择Riemann-Liouville分数阶导数继续控制器设计，存在
两种分数阶导数之间存在变换关系，即 因此，该方法
具有更广泛的应用前景。
[0319] 设计具有自适应律的控制输入：
[0320]
[0321]
[0322] 其中μ2i，g2i和k2i是正常数；
[0323] 根据式(35)和(35)，将式(34)写为：
[0324]
[0325] 步骤3：选择Lyapunov函数候选者为
[0326]
[0327] 对V3i(t)求导可以得到
[0328]
[0329] 然后，虚拟控制选为
[0330]
[0331] 其中k3i表示设计常数；
[0332] 将式(40)代入到(39)得到：
[0333]
[0334] 步骤4：考虑Lyapunov-Krasovskii函数：
[0335]其中μ4i是正常数；对S4i求分数阶积分得到：
[0336]
[0337] 有 其中 表示连续函数f4i(Xi)＝-γ2x4i+ζ2x2i；
[0338] 对于未知非线性函数 使用回归非单值2型序列模糊神经网络以高精度近似它，得到
[0339] 同理，使用分数阶跟踪微分器来近似它，以避免对 的复杂计算，即
[0340] 引用假设2和杨氏不平等式，有：
[0341]
[0342]
[0343] V4i(t)的导数根据式(42)～(44)推导：
[0344]
[0345] 选择控制输入为：
[0346]
[0347] 其中k4i是正常数；
[0348] 分数阶自适应律为：
[0349]
[0350] 其中μ4i和g4i是正常数；
[0351] 根据式(46)和(47)，式(45)进一步推断为：
[0352]
[0353] 定义两个向量Si≡[S1i,S2i,S3i,S4i]T和 则式(48)为
[0354]
[0355] 其中
[0356] 整个控制器Ui由两部分组成：前馈模糊控制器 和最优反馈控制器 后者取决于前者，它们之间不平行；当 等于0时， 不能保证整个闭环耦合机电换能器的稳定性。此外，前馈模糊控制器不涉及任何形式的最优性。因此，应该开发一种最优反馈控制器，以实现成本函数最小、
闭环系统稳定的目的。
[0357] 随着系统阶数的增加，传统分数阶反演法带来的“复杂性爆炸”问题是不可避免的。需要采用跟踪微分器来解决这个问题。此外，设计了一个速度函数来获得与指数速度一样快的甚至更快的收敛速度。
[0358] 前述的步骤b中，所述的自适应最优反馈控制器的设计如下：
[0359] 设计自适应最优反馈控制器的的分数阶非线性系统
[0360]
[0361] 引入无限域成本函数：
[0362]
[0363] 基于自适应最优反馈控制优化式(50)，以稳定式(50)的系统：
[0364]
[0365] 其中 且Gi是一个四阶单位矩阵；
[0366] 定义哈密顿函数为
[0367]
[0368] 其中 表示Ji(Si)的梯度；
[0369] 最优成本函数 满足HJB方程，即 假设该方程存在并且是唯一的，将自适应最优反馈控制输入 导出为：
[0370]
[0371] 其中 表示 的梯度；
[0372] 在式(52)中插入(53)可以得到 的HJB方程：
[0373]
[0374] 引理2：对于具有无限域成本函数式和最优控制输入式(53)的受控系统式(51)，存在一个连续的可微和无约束Lyapunov函数 满足其中 表示Jio(Si)的偏导数；
[0375] 引入一个正定函数Λi(Si)满足 和 有：
[0376]
[0377] 下列不等式可以得到
[0378]
[0379] 将基于(53)的策略改进和基于贝尔曼方程的策略评价相结合的策略迭代算法作为求解HJB方程(54)的有效方法之一。它有一个执行/评价强化学习结构。然而，未知的系统动力学项会导致HJB方程难以求到精确解。为了解决这个问题，使用回归非单值2型序列模糊神经网络来近似临界值和执行控制函数，并使用策略迭代算法来调整模糊神经网络。
[0380] 基于值函数逼近VFA，可以在Sobolev空间中近似成本函数及其梯度，则：
[0381]
[0382] 式(57)的梯度可以写为
[0383]
[0384] 将(58)代入(53)，可以得到
[0385]
[0386] HJB方程被进一步推导为：
[0387]
[0388] 其中 残余误差 定义为：
[0389]
[0390] 最优闭环动力系统是有界的，则：
[0391]
[0392] 其中cio表示一个正常数；由于执行/评价模糊神经网络的输出权值未知，需要使用当前已知权值替换它们，则：
[0393]
[0394] 其中 表示φin的估计值。此外，权值误差 等于
[0395] 设计最优反馈控制器
[0396]
[0397] 然后HJB方程变为
[0398]
[0399] 其中
[0400] 回顾HJB方程(54)，选择 以最小化平方残余误差；
[0401]
[0402] 显然，只有调节不能保证控制系统(51)的稳定性。针对执行/评价模糊神经网络的自适应律设计为：
[0403]
[0404] 其中， 和是调节参数，ain表示直接决定学习速度的正调节参数，运算符 定义为
[0405]
[0406] 自适应律(66)包括三项，其中：第一项是寻求最小化ein，第二项是保证系统状态的有界性，最后一项是用于稳定性分析。Qi(Si)＞0在这里是充分非必要。从(63)可以看出，该方法不需要系统动力学项Hi(Si)和Gi。
[0407] 稳定性分析
[0408] 定理1：考虑在假设1-3下具有未知非线性函数、混沌振荡和时变时滞的三个耦合分数阶机电换能器(6)，设计前馈模糊控制输入为(25)、(35)、(40)、(46)，自适应律为(36)、(47)，如果将执行/评价模糊神经网络的自适应最优反馈控制输入选择为(63)且更新律为(66)，则得出以下结论：
[0409] 1)所有系统信号包括状态和自适应参数都是有界的；
[0410] 2)实现混沌抑制、同步、加速收敛和控制时滞；
[0411] 3)成本函数最小化；
[0412] 证明：考虑整个Lyapunov函数为
[0413]
[0414] 通过取V(t)的导数，有
[0415]
[0416] 其中将(49)
和(61)代入(69)得到
[0417]
[0418] 其中 表示 的最小特征值，ko＝min(k1i,k2i,k3i,k4i)，go＝min(g2i,g4i)和λo＝[λ2i,λ4i]T。
[0419] 情况1：当 存在一个正常数Φs， 时，有Φs＜||Si||。
[0420] 然后(70)重写为
[0421]
[0422] 其中
[0423] 为了保证闭环系统的稳定性， 只有在
[0424]
[0425] 或
[0426]
[0427] 或
[0428]
[0429] 或
[0430]
[0431] 情况2:当 时，存在 然后(70)重写为
[0432]
[0433] 其 中 λm i n ( Λ i ( S i ) ) 是 Λ i ( S i ) 的 最 小 特 征 值 ，和
[0434]
[0435] 如果以下条件成立
[0436]
[0437] 或
[0438]
[0439] 或
[0440]
[0441] 或
[0442]
[0443] 那么
[0444] 对于情况1-2，如果 ||Si||≥max(D1,D2)或那么 成立。
[0445] 结果分析
[0446] 参考信号选取为 和 速度函数的参数设置为T＝1和bψ＝0.5。根据定理1，选择前馈模糊控制器的设计参数为k1i＝35，k2i＝55，k3i＝12，k4i＝25，μ2i＝μ4i＝4，g2i＝g4i＝5和B2i＝B4i＝1。跟踪微分器的调节参数设置为 和σ1i＝σ3i＝
0.3。另外，将回归非单值2型序列模糊神经网络的隶属函数的上下宽度选为
和 隶属函数的中心和相应的参数定义为[-0.8-
0.500.50.8]和r＝0.06。时间延迟选取为τ1i＝0.03sint和τ3i＝0.01sin0.4t。
[0447] 与最优反馈控制相关的惩罚函数为 将自适应最优反馈控制器的设计参数设置为ain＝5， 和R＝I4×4。
[0448] 图6显示了三个耦合机电换能器参考信号和实际信号之间的跟踪轨迹。很明显，系统状态迅速跟踪参考信号，且误差非常小。同时，实现了三个机电换能器的同步，并在很短的时间内完全抑制了系统的混沌振荡(与图2-4相反)。
[0449] 图7揭示三个耦合机电换能器前馈控制器中回归非单值2型序列模糊神经网络的自适应律和的最优控制器中执行/评价模糊神经网络的更新律。可以得出结论，所有未知的系统动力学在短时间内得到较好的补偿。研究还表明三种机电换能器的完全同步结果是令人满意的。图8呈现加速收敛性能。可以看出，所有的误差变量都有一个很快的收敛且
波动很小。该方法利用速度函数可以在可分配的衰减率下获得较好的性能。
[0450] 图9给出了所设计的分数阶跟踪微分器在不同阶次和外部激励下的近似性能。很显然，分数阶跟踪微分器能很好地逼近未知信号，具有很高的精度。图10显示了由前馈控制器和最优控制器构成的控制输入。控制输入在一个小的区域内有界，并在很短的时间内保持稳定。图11描述了与HJB方程相关的残余误差曲线。很明显，误差在2.5秒后接近零，所提出的方案以最佳方式运行。图9-11的几条曲线在不同条件下重叠，进一步说明了该方法具有良好的抗干扰能力和韧性。
