一种基于扩展的线性时段不变式的有界模型检验方法
阅读：1021发布：2020-06-23
专利汇可以提供一种基于扩展的线性时段不变式的有界模型检验方法专利检索，专利查询，专利分析的服务。并且本 发明 涉及一种基于扩展的线性时段不变式的有界模型检验方法，包括以下步骤：S1，根据给定离散时间语义下时间自动机T和扩展的线性时段不变式公式Φ，构建辅助自动机H；S2，在观测时间设定的范围内，检测各整数时间点的时间自动机T是否满足公式Φ，获取不满足公式Φ的状态的集合；S3，定义计算树时序逻辑公式，用于描述集合的性质；S4，检测时间自动机T和辅助自动机H的组成产品是否满足计算树时序逻辑公式，若不满足，则时间自动机T满足扩展的线性时段不变式公式Φ，否则时间自动机T不满足扩展的线性时段不变式公式Φ。与 现有技术 相比，本发明具有更加好的效率以及更加低的 算法 复杂度。，下面是一种基于扩展的线性时段不变式的有界模型检验方法专利的具体信息内容。
1.一种基于扩展的线性时段不变式的有界模型检验方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1，根据给定离散时间语义下时间自动机T和扩展的线性时段不变式公式Φ，构建辅助自动机H，用于计算辅助自动机H对于时间自动机T的观测时间；
S2，在观测时间设定的范围内，检测各整数时间点的时间自动机T是否满足公式Φ，获取不满足公式Φ的状态的集合；
S3，定义计算树时序逻辑公式，用于描述步骤S2得到的集合的性质；
S4，检测时间自动机T和辅助自动机H的组成产品是否满足步骤S3得到的计算树时序逻辑公式，若不满足，则时间自动机T满足扩展的线性时段不变式公式Φ，若满足，则时间自动机T不满足扩展的线性时段不变式公式Φ。
2.根据权利要求1所述的一种基于扩展的线性时段不变式的有界模型检验方法，其特征在于，所述的时间自动机T包含以下约束条件：
1)时间自动机的时钟集合只包含整数变量；
2)时间自动机的时钟约束条件为布尔公式的结合体。
3.根据权利要求1所述的一种基于扩展的线性时段不变式的有界模型检验方法，其特征在于，所述的扩展的线性时段不变式，其形式如下： 其中a、b为自然
数，l为辅助自动机H对时间自动机T的观测时间长度，为扩展的线性时段公式。
4.根据权利要求3所述的一种基于扩展的线性时段不变式的有界模型检验方法，其特征在于，所述的扩展的线性时段不变式公式包含三个语法类别，分别是状态表达式S、线性时段公式D以及扩展的线性时段公式 其形式如下：
其中，P为命题，S1、S2为状态子表达式，Ω为下标i的有穷集合，ci和c为整数，Si为状态表达式， 为扩展的线性时段子公式。
5.根据权利要求1所述的一种基于扩展的线性时段不变式的有界模型检验方法，其特征在于，所述的辅助自动机H由三个部分组成，包括：
两个时钟变量g和x，其中g为本地时钟变量，用于记录观测时间区间的长度，x为本地时钟变量，取值为0或1，初始值为1；
三个位置，包括初始位置I、位置P1和位置P2，其中位置P1和位置P2中均包含不变式约束x≤1；
五个迁移：一是从初始位置I到位置P1的迁移，迁移时，时钟变量x置为1，二是位置P1的自迁移，以x＝1为约束条件，迁移时，x重置为0，三是从位置P1到位置P2的迁移，以x＝1作为约束条件，迁移时，时钟变量g和x均重置为0，四是位置P2的自迁移，以x＝1以及g
6.根据权利要求5所述的一种基于扩展的线性时段不变式的有界模型检验方法，其特征在于，从初始位置I到位置P1的迁移事件中，分析扩展的线性时段不变式中的 的语法结构，并得出 的子公式的最优性以及重复性。
7.根据权利要求6所述的一种基于扩展的线性时段不变式的有界模型检验方法，其特征在于，所述的 的子公式的最优性为 的子公式的最优潜在切变点，其具体定义如下：
给定一个扩展的线性时段公式 (D1∨…∨Di)和一个时间区间[t1,t2]，如果对于一个整数时间点t，满足t属于时间区间[t1,t2]，且 在时间区间[t1,t]上被时间自动机T所满足，则整数时间点t为潜在切变点；
对于一个潜在切变点t，如果t满足以下公式：
dk([t,t'])＝min{dk([t*,t'])|t*≤t'且t*是一个潜在切变点}
其中，1≤k≤i，t1≤t≤t’≤t2，且t,t’∈N，dk表示时段表达式Dk在相关时间区间上的值，dk([b,e])表示dk在时间区间[b,e]上的值，则潜在切变点t为t1到整数时间点t’之间的最优潜在切变点。
8.根据权利要求6所述的一种基于扩展的线性时段不变式的有界模型检验方法，其特征在于，所述的 的子公式的重复性具体为：
对于带有切变符号的扩展的线性时段公式，如果它的子公式中带有与逻辑连接词或者
0
非逻辑连接词，那么变量di在每一个时间自动机T被访问的时间点都会被重复，表示为di ,di1,...,dib，它们分别代表时段表达式Di在不同时间点到相关区间末端时间点的这段时间区间上的值。
一种基于扩展的线性时段不变式的有界模型检验方法
技术领域
[0001] 本发明涉及一种离散时间语义环境下的有界模型检验方法，尤其是涉及一种基于扩展的线性时段不变式的有界模型检验方法。
背景技术
[0002] 模型检验(model checking)是一种以形式化方式构造系统的模拟运行过程，自动检测系统是否满足某些期望规约的新兴技术。模型检验的基本思路可以概括为：对需要进行分析的系统进行建模，然后将系统需求严格地用数学逻辑进行表示，最后在所建立的模型上检验这些需求的逻辑表达式是否成立。这样“系统是否具有所期望的性质”这一问题就转化为数学问题“状态迁移系统S是否是公式F的一个模型”。对有穷状态系统来说，这个问题是可判定的，即可以通过计算机程序在有限时间内自动确定系统是否满足某个性质。模型检验的实质是利用计算机的快速计算能力，通过穷举被检验系统的状态空间中的每一个状态来验证系统规约是否满足。这也使得模型检验技术面临一个巨大的挑战——状态空间爆炸。有界模型检查(bounded model checking，简称BMC)则是为应对这一挑战而被提出的技术，它通过设置上边界K，只遍历从初始状态出发K阶可达的所有状态，从而限定了状态空间的增长。
[0003] 时间自动机(timed automata)是为解决建模和验证实时系统而对自动机理论的扩展，它是为了适应实时系统的验证需要而被提出的理论，直到今天，这一理论为模型检验和实时系统验证以及自动验证工具的开发提供了重要的基础。时间自动机是带有一个定义在非负实数域上的有限时钟集合的有穷自动机，在自动机的运行过程中，所有时钟的值以相同的速率增长。一个时间自动机由以下几个部分组成：一个有穷位置集合，一个初始位置集合，一个有穷字母表表示所有可能导致自动机位置迁移的事件，一个有穷时钟集合，一个时钟约束集合，以及一个包含所有迁移的集合。在时钟约束集合中，每一个时钟约束都为四种原子公式的布尔结合体，它们分别是x＜k、x≤k、k＜x、k≤x，其中x为时钟集合中的时钟，k为非负实数域上的常量，时钟约束集合由两部分约束组成，分别是和迁移相关的时钟约束以及和位置相关的时钟约束，前者指定迁移何时发生，后者指定自动机在该位置允许停留的时间，也被称作是不变式(invariant)；而在迁移集合中，状态迁移也由两部分组成，分别是位置迁移以及时间迁移，前者可以由这个五元组来表示，意思是对于事件a，当时钟集合中的所有时钟都满足迁移约束φ时，自动机由位置s迁移至位置t，同时λ集合中的时钟重置为0，其余的时钟保持原值不变，后者则是由时间流逝所导致的，对于此类迁移，保持位置不变，只要在时间增长的过程中时钟集合中的所有时钟都能够满足该位置的时钟约束即可。离散时间下的时间自动机(timed automata with discrete time)是在一般的时间自动机上分别对时钟和时钟约束增加了一些限制，它要求所有时钟都是定义在非负整数域上的，而非原先的非负实数域，另外对于所有的时钟约束，它要求原子公式中的k为正整数常量。
[0004] 时段演算(duration calculus)是在区间时态逻辑的基础上建立起来的逻辑系统，其变量可解释为在时间区间上，并可通过这些变量对状态的聚合信息近似推理，因此在描述实时系统和混合系统的定量性质和时序性质方面具有很强的能力，并已广泛应用于实时系统的验证过程中。时段演算自提出之后的二十几年来，在实时系统的研究上引起了计算机界极大的重视，支持时段演算的机械自动证明和模型检验工作也已取得了很大进展。时段演算的可判定性和不可判定性结果也已经被提出，并实现了用于时段演算可判定子集的自动模型检验器。时段演算是一种实时区间时态逻辑(interval temporal logic)，它将布尔函数在区间上的积分进行形式化，从而可用来描述和推导离散状态系统的实时和逻辑特性。线性时段不变式(linear duration invariants)是时段演算中描述系统性质和行为的一种重要方式，在时段演算的研究中，对于线性时段不变式有着专门论述，关于线性时段不变式的研究也有了许多成果，这些研究主要集中在验证被描述成时间自动机的系统是否满足一些线性时段不变式，线性时段不变式的含义为：在任何一个时间长度所在区间内的观察期内，系统在各个位置所停留的累计时间总是满足某一线性不等式。扩展的线性时段不变式(extended linear duration invariants)是对线性时段不变式在命题逻辑和“切变(chop)”逻辑上的扩展，能够描述连续状态和离散状态相混合的系统，比线性时段不变式具有更强的表达能力。
[0006] 现有的算法技术都是基于某种对于扩展的线性时段不变式的近似语义。
[0007] 现有的算法技术往往拥有高阶指数的复杂度，降低算法的复杂度是该类型的检验问题最为关键的部分。
发明内容
[0008] 本发明的目的就是为了克服上述现有技术存在的缺陷而提供一种在标准离散时间语义和扩展的线性时段不变式语义的情况下，对于离散时段演算的复杂度低、效率高、实用性强的基于扩展的线性时段不变式的有界模型检验方法。
[0009] 本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：
[0010] 一种基于扩展的线性时段不变式的有界模型检验方法，包括以下步骤：
[0011] S1，根据给定离散时间语义下时间自动机T和扩展的线性时段不变式公式Φ，构建辅助自动机H，用于计算辅助自动机H对于时间自动机T的观测时间；
[0012] S2，在观测时间设定的范围内，检测各整数时间点的时间自动机T是否满足公式Φ，获取不满足公式Φ的状态的集合；
[0013] S3，定义计算树时序逻辑公式，用于描述步骤S2得到的集合的性质；
[0014] S4，检测时间自动机T和辅助自动机H的组成产品，即T||H，是否满足步骤S3得到的计算树时序逻辑公式，若不满足，则时间自动机T满足扩展的线性时段不变式公式Φ，若满足，则时间自动机T不满足扩展的线性时段不变式公式Φ。
[0015] 所述的时间自动机T包含以下约束条件：
[0016] 1)时间自动机的时钟集合只包含整数变量；
[0017] 2)时间自动机的时钟约束条件为形如x≤c或者c≤x的布尔公式的结合体，其中x属于时钟集合，c属于自然数集。
[0018] 所述的扩展的线性时段不变式，其形式如下： 其中a、b为自然数，l为辅助自动机H对时间自动机T的观测时间长度，为扩展的线性时段公式，含义为：
在观测时间长度为l的时间间隔内，若时间自动机T的执行片断满足扩展的线性时段公式那么时间自动机T就满足扩展的线性时段不变式公式Φ。
在观测时间长度为l的时间间隔内，若时间自动机T的执行片断满足扩展的线性时段公式那么时间自动机T就满足扩展的线性时段不变式公式Φ。
[0019] 所述的扩展的线性时段不变式公式包含三个语法类别，分别是状态表达式S、线性时段公式D以及扩展的线性时段公式 其形式如下：
[0020]
[0021]
[0022]
[0023] 其中，P为命题，S1、S2为状态子表达式，Ω为下标i的有穷集合，ci和c为整数，Si为状态表达式， 为扩展的线性时段子公式。
[0024] 所述的辅助自动机H由三个部分组成，包括：
[0025] 两个时钟变量g和x，其中g为本地时钟变量，用于记录观测时间区间的长度，x为本地时钟变量，取值为0或1，初始值为1，它用来指明只有整数时间点才会被观测，也只有整数时间点检验算法才会被触发并执行；
[0026] 三个位置，包括初始位置I、位置P1和位置P2，其中位置P1和位置P2中均包含不变式约束x≤1；
[0027] 五个迁移：一是从初始位置I到位置P1的迁移，迁移时，时钟变量x置为1，二是位置P1的自迁移，以x＝1为约束条件，迁移时，x重置为0，三是从位置P1到位置P2的迁移，以x＝1作为约束条件，迁移时，时钟变量g和x均重置为0，四是位置P2的自迁移，以x＝1以及g
[0028] 从初始位置I到位置P1的迁移事件中，分析扩展的线性时段不变式中的 的语法结构，并得出 的子公式的最优性以及重复性。
[0029] 所述的 的子公式的最优性为 的子公式的最优潜在切变点，其具体定义如下：
[0030] 给定一个扩展的线性时段公式 和一个时间区间[t1,t2]，如果对于一个整数时间点t，满足t属于时间区间[t1,t2]，且 在时间区间[t1,t]上被时间自动机T所满足，则整数时间点t为潜在切变点；
[0031] 对于一个潜在切变点t，如果t满足以下公式：
[0032] dk([t,t'])＝min{dk([t*,t'])|t*≤t'且t*是一个潜在切变点}
[0033] 其中，1≤k≤i，t1≤t≤t’≤t2，且t,t’∈N，dk表示时段表达式Dk在相关时间区间上的值，dk([b,e])表示dk在时间区间[b,e]上的值，则潜在切变点t为t1到整数时间点t’之间的最优潜在切变点。
[0034] 所述的 的子公式的重复性具体为：
[0035] 对于带有切变符号的扩展的线性时段公式，如果它的子公式中带有与逻辑连接词或者非逻辑连接词，那么变量di在每一个时间自动机T被访问的时间点都会被重复，表示为di0,di1,...,dib，它们分别代表时段表达式Di在不同时间点到相关区间末端时间点的这段时间区间上的值。
[0036] 与现有技术相比，本发明具有以下优点：
[0037] (1)采用的是时段演算中的标准离散时间语义，也就是扩展的线性时段不变式，并且自动机模型采用的也是标准离散时间语义下的时间自动机，由于有穷观测时间这一限制，与现有的技术使用时段演算的近似语义相比，具有更加好的效率以及更加低的算法复杂度。
[0038] (2)采用了辅助自动机，可以在确切的离散整数时间点上对时间自动机进行观测以及对扩展的线性时段不变式进行验证，从而消除了现有的其它技术包含的采样误差。
[0040] 图1为本发明方法流程图。
具体实施方式
[0041] 下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。本实施例以本发明技术方案为前提进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。
[0042] 实施例
[0043] 如图1所示，一种基于扩展的线性时段不变式的有界模型检验方法，包括以下步骤：
[0044] S1，根据给定离散时间语义下时间自动机T和扩展的线性时段不变式公式Φ，构建辅助自动机H，用于计算辅助自动机H对于时间自动机T的观测时间；
[0045] S2，在观测时间设定的范围内，检测各整数时间点的时间自动机T是否满足公式Φ，获取不满足公式Φ的状态的集合；
[0046] S3，定义计算树时序逻辑公式，用于描述步骤S2得到的集合的性质；
[0047] S4，检测时间自动机T和辅助自动机H的组成产品，即T||H，是否满足步骤S3得到的计算树时序逻辑公式，若不满足，则时间自动机T满足扩展的线性时段不变式公式Φ，若满足，则时间自动机T不满足扩展的线性时段不变式公式Φ。
[0048] 时间自动机T包含以下约束条件：
[0049] 1)时间自动机的时钟集合只包含整数变量；
[0050] 2)时间自动机的时钟约束条件为形如x≤c或者c≤x的布尔公式的结合体，其中x属于时钟集合，c属于自然数集。
[0051] 扩展的线性时段不变式，其形式如下： 其中a、b为自然数，l为辅助自动机H对时间自动机T的观测时间长度，为扩展的线性时段公式，含义为：在观测时间长度为l的时间间隔内，若时间自动机T的执行片断满足扩展的线性时段公式 那么时间自动机T就满足扩展的线性时段不变式公式Φ。
[0052] 扩展的线性时段不变式公式包含三个语法类别，分别是状态表达式S、线性时段公式D以及扩展的线性时段公式 其形式如下：
[0053]
[0054]
[0055]
[0056] 其中，P为命题，S1、S2为状态子表达式，Ω为下标i的有穷集合，ci和c为整数，Si为状态表达式， 为扩展的线性时段子公式。
[0057] 辅助自动机H由三个部分组成，包括：
[0058] 两个时钟变量g和x，其中g为本地时钟变量，用于记录观测时间区间的长度，x为本地时钟变量，取值为0或1，初始值为1，它用来指明只有整数时间点才会被观测，也只有整数时间点检验算法才会被触发并执行；
[0059] 三个位置，包括初始位置I、位置P1和位置P2，其中位置P1和位置P2中均包含不变式约束x≤1；
[0060] 五个迁移：一是从初始位置I到位置P1的迁移，迁移时，时钟变量x置为1，二是位置P1的自迁移，以x＝1为约束条件，迁移时，x重置为0，三是从位置P1到位置P2的迁移，以x＝1作为约束条件，迁移时，时钟变量g和x均重置为0，四是位置P2的自迁移，以x＝1以及g
[0061] 从初始位置I到位置P1的迁移事件中，分析扩展的线性时段不变式中的 的语法结构，并得出 的子公式的最优性以及重复性。
[0062] 的子公式的最优性为 的子公式的最优潜在切变点，其具体定义如下：
[0063] 给定一个扩展的线性时段公式 和一个时间区间[t1,t2]，如果对于一个整数时间点t，满足t属于时间区间[t1,t2]，且 在时间区间[t1,t]上被时间自动机T所满足，则整数时间点t为潜在切变点；
[0064] 对于一个潜在切变点t，如果t满足以下公式：
[0065] dk([t,t'])＝min{dk([t*,t'])|t*≤t'且t*是一个潜在切变点}
[0066] 其中，1≤k≤i，t1≤t≤t’≤t2，且t,t’∈N，dk表示时段表达式Dk在相关时间区间上的值，dk([b,e])表示dk在时间区间[b,e]上的值，则潜在切变点t为t1到整数时间点t’之间的最优潜在切变点。
[0067] 的子公式的重复性具体为：
[0068] 对于带有切变符号的扩展的线性时段公式，如果它的子公式中带有与逻辑连接词或者非逻辑连接词，那么变量di在每一个时间自动机T被访问的时间点都会被重复，表示为di0,di1,...,dib，它们分别代表时段表达式Di在不同时间点到相关区间末端时间点的这段时间区间上的值。
[0069] 本发明通过对时间自动机T的xml文件以及扩展的线性时段不变式公式Φ进行解析，并通过模型转化工具将其转化为自动机C，然后该模型转化工具将自动机C和辅助自动机H进行组成，并得到可以被模型检验工具UPPAAL所执行的关于组成自动机C||H的xml文件，最后将该xml文件以及计算树时序逻辑公式 作为输入通过模型检验工具UPPAAL来进行验证，辅助自动机H如附图1所示。
[0070] 本发明的本质上是通过辅助自动机H对时间自动机T进行观测来实现具体执行的，具体实现如下：
[0071] 本发明的方法主要包括两个部分，分别是Initialize()和Checking()，程序Initialize()主要用来初始化相应的变量，而程序Checking()是本发明中的算法的核心部分，也是最为困难的部分，它主要用来检查对于观测时间在所设定的范围内，在每一个整数时间点，给定的公式 是否被时间自动机T的任意一个可达执行片段所满足。
[0072] 在某一时刻，辅助自动机H开始对时间自动机T进行观测，并从初始位置I迁移至位置P1，同时执行初始化程序Initialize()，且将时钟变量x赋值为1。
[0073]
[0074] Initialize()程序首先通过调用PreProcess()程序来对扩展的线性时段不变式中的公式 的语法结构进行分析，并将相应的结构信息记录在数组Z中，然后该程序根据k与数组Z对应的所属关系来初始化相应的引进的变量。
[0075]
[0076]
[0077] PreProcess()程序是一个预处理程序，用来分析 的语法结构，包括分析哪些子公式具有“最优属性”、哪些子公式具有重复性以及两者之间的关联。在PreProcess()程序的最后，公式 将会被表示成一个二叉语法树的形式，在这个二叉树中，每一个结点都可以被组织成一个九元组的形式，表示为(N，Op，L，R，U，P，M，S，Tag)，其中每一个元的意义分别为：N表示二叉语法树中公式 的子公式的序号；Op表示该子公式最外层的运算符；L和R分别表示Op左侧和右侧的子公式的序号；U表示线性时段不变式的下标的集合；P表示可能被重复的线性时段不变式的下标的集合；M表示必须被重复的线性时段不变式的下标的集合；S表示那些子公式被涉及到时时段表达式需要被初始化为0的线性时段不变式的下标的集合；Tag则指明子公式本身是否被重复。
[0078] PreProcess()程序根据输入公式 的不同形式来递归设置相应子公式的九元组，输入公式 的形式总共有五种，分别为最基本的线性时段公式(linear duration formula)Dk以及其它四种复合形式 最初的输入公式 的所有子公式都根据从0开始的连续整数来进行排序，不同的子公式拥有不同的序号，最初的输入公式 本身的序号为0，每个公式的序号都比它的子公式的序号要小。数组Z被用来储存和表示该语法树，每一个子公式都对应于数组Z里面的一个元素，且子公式的序号N和该子公式在数组Z里面的索引保持一致。
[0079] 在位置P1，由于不变式x≤1的约束，每当时钟变量x增长到1时，迁移必定发生。位置P1总共可能会发生两种迁移：一种是从位置P1到位置P1的自迁移，并将时钟变量x重置为0；另一种是在某个整数时间点(由时钟变量x来保证只有整数时间点时间自动机T才会被观测)，从位置P1到位置P2的迁移，它将时钟变量g和x均重置为0，并且执行程序Checking()。
[0080] Checking()程序首先更新所有di以及它们的重复变量的值，然后分别调用Reset()子程序和Satisfied()子程序，前者用来重置相对应的时段表达式的值，如果被考虑的时间点是一个新的最优潜在切变点(optimal potential chop point)的话，后者则用来指明一个公式是否在当前的相关区间上被满足。
[0081]
[0082] Reset()函数主要包含以下两个要点：
[0083] 每当一个潜在切变点(potential chop point)被访问时，我们需要观察是否更新最优潜在切变点，同时相应地重置时段表达式的值，时段表达式被列出于切变操作符的右操作数的集合S中。
[0084] 对于在一个嵌套的具有重复性的子公式中的任意两个紧接地嵌套的切变操作符，需要维持一个外层切变操作符的切变点和内层切变操作符的切变点之间的对应关系，这个对应关系被记录于一个映射关系Map中，Map在函数初始时为空。
[0085]
[0086] Reset()函数有两个输入参数，第一个参数n表示公式的序号，第二个布尔参数则指明了该公式是否在一个具有重复性的子公式里面。对于线性时段公式，该程序仅仅返回，不做任何其它操作；对于逻辑连接词，该程序递归调用本身，并以公式的左右子公式以及重新计算得到的布尔值作为子程序的输入参数；而对于切变操作符，首先以操作符的左子公式为参数递归调用Reset()函数本身，然后重置切变操作符的右操作数中的一些时段表达式的值，最后以操作符的右操作数为参数递归调用函数本身。
[0087] 对于切变操作符，Reset()程序重置其右操作数中的一些时段表达式的值，可以分为以下两种情况：
[0088] 当该公式不在一个具有重复性的子公式里面时，对应于线性时段公式的左操作数Z[n].L的dk不需要被重复，所以也无需保持外层切变点的对应关系。如果通过调用Satisfied()子程序得到Z[n].L被满足，当前时间点就可能是最优的，那么对应于列于右操作数Z[n].R的集合S上的线性时段公式的dk，就需要被重置。
[0089] 当该公式在一个具有重复性的子公式里面时，左操作数Z[n].L的最优潜在切变点与直接外层切变操作符的潜在切变点有关。如果外层切变操作符的右操作数根据某一外层切变点i被计算，同时通过调用Satisfied()子程序得到Z[n].L关于i被满足，这样当前时间点就可能关于i是最优的，那么对应于列于右操作数Z[n].R的集合S上的线性时段公式的dk，它们的各个重复变量都需要被重置。
[0090] 子程序Satisfied()的目标是确定一个公式是否在相关的区间上被满足，它被用来作为Checking()程序的返回条件以及Reset()程序的重置条件。Satisfied()程序有三个输入参数：参数n对应于被检验的公式的序号；如果严格包含公式n的最小具有重复性的子公式存在，称之为m，也就是m＝Min-Dup(n)，那么k就是Z[m].S中的某一dk的索引，i就是重复dk的特定点；如果m不存在，那么k和i均被置为-1。
[0091]
[0092]
[0093] Satisfied()子程序以递归的方式计算公式的满足性。对于一个单纯的线性时段公式Dk，返回值取决于Min-Dup(n)是否存在。如果Min-Dup(n)不存在，就使用dk的值进行比较；反之，则使用dk的第i个重复变量的值，也就是dik的值进行比较。对于切变操作符以及或逻辑操作符，由于它们不需要具有重复变量，因此可以用一种标准的方式对它们进行处理。而对于非逻辑操作符和与逻辑操作符而言，如果被考虑的公式不具有重复性，那么可以用标准的方式进行处理；否则，公式的满足性需要根据所有可能的相关子区间来进行判定。
[0094] 在位置P2，由于不变式条件的约束，每当整数时间点的时候，必定会发生迁移。当观测时长(由时钟变量g来记录)小于扩展的线性时段不变式公式中的观测区间上限时，从位置P2到位置P2的自迁移将会被触发，辅助自动机H将执行Checking()程序来对扩展的线性时段不变式公式以及时间自动机模型进行检验，同时将时钟变量g累加1，将时钟变量x重置为0。当观测时长等于扩展的线性时段不变式公式中的观测区间上限时，另一个从位置P2到位置P2的自迁移将被触发，该迁移仅仅将时钟变量x的值重置为0。
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