技术领域
[0001] 本
发明涉及多组元
合金熔体互扩散领域，具体地说是一种将智能的遗传
算法、模拟
退火算法及传统的L-M算法进行有机结合而获得多组元互扩散系数的全局
优化算法。
背景技术
[0002] 作为现代科学与工业发展的
基础，材料的重要性毋庸置疑，而在传统的材料成型过程中，无论是熔炼还是
铸造、
焊接等，扩散都起着至关重要的作用。在具有周期性的结构的固态合金中，由于结构的简化及大量实验数据的支持，其扩散理论已比较完备；而对于液体的扩散，由于其结构复杂，实验数据匮乏，到目前为止还缺乏完善的理论
支撑。与此同时，越来越多的科研工作者意识到了液体扩散在科学研究和工业生产上的重要意义。一方面，作为物质
原子尺度上的传质形式，扩散能直接影响材料的
凝固过程，决定材料微观结构的演化。另一方面，由于液体扩散的缓慢性，扩散往往成为限制体系过程进行的关键步骤，如化学中，限制化学反应的快慢；金属学中，控制材料表面的
腐蚀速度等等。同时，在材料设计、新材料开发及计算机模拟等过程中同样需要熔体扩散的数据，而且精确的扩散数据是建立熔体扩散模型的有效检验依据。
[0003] 不同于一般的自扩散过程，实际的工业生产中往往涉及多组元的相互传质，因此，对多组元高温熔体的互扩散进行研究具有重要的科研和应用价值。近年来，由于Shear cell技术，Sliding cell技术的发展，对于一些
二元合金体系，如Al-Cu、Al-Ni等，一些学者已获得一些
精度非常高的熔体互扩散数据，大大促进了熔体互扩散方面理论的发展，但是对于三组元及以上的多组元互扩散过程，特别是合金熔体的扩散，互扩散系数还很稀少，精度也很低。
[0004] 目前，获得多组元互扩散系数的方法主要有“扩散路径法”、“平方根扩散系数法”等。就“扩散路径法”而言，为了确定某一成分点的互扩散系数，至少需要进行两次互扩散实验，因此工作量大；此外，对于四组元及以上的系统，需要三条以上的扩散路径相交于一点，实验上不具有可行性，因此，这种方法现在还仅适用于三组元体系，无法推广到四组元及以上的互扩散体系，通用性较差。对于“平方根扩散系数法”，尽管可推广到多组元体系，但是需要确定实验浓度曲线的梯度、积分等，毫无疑问，实验点的散射、拟合浓度曲线的选择等都会给上述梯度、积分值的确定带来误差，并最终影响所得互扩散系数的精度。
[0005] 已有扩散系数的数据少及数据
质量的精度低严重限制了合金熔体结构动
力学理论的发展以及金属材料的研究、设计与应用。因此，为了促进多组元合金熔体扩散理论的发展及金属材料的工业应用，需要发展出一种通用性好、工作量低且精度高的分析方法，在精确测量扩散偶浓度分布的基础上，能可靠、有效的获得多组元扩散过程中的互扩散系数。
发明内容
[0006] 本发明是为了克服
现有技术存在的不足之处，提出一种多组元熔体互扩散系数的分析方法，以期能通过三组元及以上扩散偶的单次互扩散实验，有效、可靠、快速地获得描述多组元合金熔体互扩散过程的互扩散系数，从而能大量的获得合金熔体的扩散系数，并提高扩散系数的精度，促进相关理论和应用的发展。
[0007] 本发明为解决技术问题采用如下技术方案：
[0008] 本发明一种多组元合金熔体互扩散系数的全局分析方法的特点包括：
[0009] 步骤1、利用互扩散设备对所述合金熔体的一维扩散偶进行等温扩散实验，获得等温时间为t的成分谱C(t)＝{C1(t),C2(t),…,Cm(t),…,CM(t)}；Cm(t)表示第m组元的成分谱，并有Cm(t)＝{Cm(x1,t),Cm(x2,t),…,Cm(xn,t),…,Cm(xN,t)}；Cm(xn,t)表示第m组元的成分谱Cm(t)在第xn
位置上的浓度；N表示实验测量成分点的个数；M为组元数；1≤m≤M；1≤n≤N；
[0010] 步骤2、利用式(1)建立目标函数F(a)：
[0011]
[0012] 式(1)中，a表示待求解的优化参数向量；并有a＝{a1,a2,…,aq,…,aM2}；aq表示第q个优化参数；1≤q≤M2； 表示在所述优化参数向量a下进行t时间的等温扩散后，第m组元在第xn位置上的浓度，并通过式(2)获得：
[0013]
[0014] 式(2)中，erf()表示误差函数；x0表示Matano平面的位置；αk表示第k个特征扩散系数，1≤k≤M-1；am0表示第m组元在Matano平面处的浓度；amk表示第m组元的第k个误差函数的系数；am0、amk、αk和x0属于所述优化参数向量a中的参数；
[0015] 步骤3、将所述优化参数向量a作为
染色体，则第q个优化参数aq表示第q基因；令所述第q基因aq的取值范围为[bmin(q),bmax(q)]；定义循环次数为i；定义循环
阈值为
马尔可夫链长度L；定义基因变异率为Pm；定义种群数量为S；定义初始退火
温度为T0；并初始化i＝1；
[0016] 步骤4、利用实数编码方式获得第i次循环的种群 表示所述第i次循环的种群P中第j条染色体，并有 表示所
述第i次循环的种群P中第j条染色体上的第q基因，1≤j≤S；
[0017] 步骤5、判断i＞L是否成立，若成立，则循环结束，输出全局最优化后的第L次循环(L)种群P ；否则执行步骤5.1；
[0018] 步骤5.1、利用式(1)计算第i次循环的种群P(i)中第j条染色体 的目标函数值从而获得S条染色体的目标函数值；
[0019] 步骤5.2、利用式(3)对所述第j条染色体 进行交叉操作，获得第j条备选染色体[0020]
[0021] 式(3)中，λ为0～1内的随机数， 表示第i次循环的种群P中第r条染色体；1≤r≤S；
[0022] 步骤5.3、利用式(1)计算第i次循环的种群P(i)中第j条备选染色体 的目标函数值 从而获得S条备选染色体的目标函数值；
[0023] 步骤5.4、判断 是否成立，若成立，则选择所述第j条备选染色体因进行变异操作，并记为第j条交叉染色体 执行步骤5.6，否则，执行步骤5.5；
[0024] 步骤5.5、判断式(4)所述Metropolis准则是否成立，若成立，则选择所述第j条染色体 行变异操作，并记为第j条交叉染色体 执行步骤5.6；否则，择所述第j条备选染色体因 进行变异操作，记为第j条交叉染色体 执行步骤5.6，
[0025]
[0026] 式(4)中ξ为0～1之间的随机数，Ti为第i次循环时的退火温度；
[0027] 步骤5.6、利用式(1)计算所述第j条交叉染色体 的目标函数值 并有表示所述第j条交叉染色体 上的第q基因；
[0028] 步骤5.7、产生一个0～1内的随机数χ，当χ≤Pm时，利用式(5)对所述第j条交叉染色体 上的第q基因 进行变异操作，获得第q个备选变异基因 从而获得所述第j条备选变异染色体
[0029]
[0030] 式(5)中，ρ、ζ表示0～1间的任意随机数；
[0031] 步骤5.8、利用式(1)计算第i次循环的种群P(i)中第j条备选变异染色体 的目标函数值
[0032] 步骤5.9、判断 是否成立，若成立，则选择所述第j条备选变异染色体 作为第j条变异染色体，记为 并执行步骤5.11，否则，执行步骤5.10；
[0033] 步骤5.10、判断式(6)所述Metropolis准则是否成立，若成立，则选择所述第j条交叉染色体 作为第j条变异染色体，记为 并执行步骤5.11；否则，择所述第j条备选变异染色体 作为第j条变异染色体，记为 并执行步骤5.11；
[0034]
[0035] 式(6)中φ为0～1之间的随机数；
[0036] 步骤5.11、利用L-M算法对所述第j条变异染色体 进行适度局域优化，获得第i+1次循环的种群P中第j条染色体 从而获得第i+1次循环的种群P(i+1)；
[0037] 步骤5.12、利用式(7)所示的冷却函数对所述第i次循环时的退火温度Ti进行降温，获得第i+1次循环时的退火温度Ti+1：
[0038] Ti+1＝βTi (7)
[0039] 式(7)中，β为0.95～0.99间的一个常数；
[0040] 步骤5.13、将i+1赋值给i，并返回步骤5执行；
[0041] 步骤6、利用式(1)计算所述第L次循环种群P(L)的第j条染色体 的目标函数值从而获得S条染色体的目标函数值；
[0042] 步骤7、利用式(8)所示的适应函数计算所述第j条染色体 的适应值从而获得S条染色体的适应值：
[0043]
[0044] 式(8)中，(F(P(L)))max表示所述第L次循环种群P(L)中S条染色体的目标函数值中的最大值，ε为一常数；
[0045] 步骤8、从所述S条染色体的适应值中适应值最大的染色体作为初步全局最优解，记为a′；
[0046] 步骤9、利用L-M算法对所述初步全局最优解a′进行局域优化；从而获得全局最优解，记为a*，以所述全局最优解a*作为所述目标函数F(a)的最优解。
[0047] 与已有技术相比，本发明有益效果体现在：
[0048] 1、本发明能够利用单次互扩散实验获得多组元合金熔体的互扩散系数，相对于“扩散路径法”工作量大大减少；同时本发明能够很好的推广到四元及以上的合金熔体的互扩散过程，具有很好的通用性；此外，由于不存在确定实验浓度曲线梯度、积分等易引入误差的操作，显著提高了互扩散系数的实验测量精度；最后，本发明通过模拟退火算法、
遗传算法和(L-M)算法进行有机结合，通过选取合适的种群数量，初始温度，降温函数，交叉、变异和局域优化等操作不仅能获得目标函数的最优解，而且能保证最优解的全局性和精确度；因此，本发明有效克服了“扩散路径法”等获得互扩散系数方法的不足之处，能高效、精确地获得多组元合金熔体的互扩散系数，无论是对工业生产还是理论计算都具有重要的意义。
[0049] 2、本发明利用互扩散实验的成分谱构建目标函数，为了保证获得目标函数最优解的全局性，在全局优化上，本算法为了提高算法的全局搜索能力，将遗传算法和模拟退火算法进行了结合，不仅提高了算法解的
稳定性，避免了陷入局域最小的概率，同时大大加快了算法的收敛速度。
[0050] 3、本发明为了提高获得目标函数最优解的精度，在遗传算法和模拟退火算法的基础上，加入了传统的L-M算法，通过对遗传算法种群进行适度的局域优化及对初步获得的全局解的进一步局域优化，大大提高了目标函数最优解的精度，从而保证了最终获得的互扩散系数的精度。
附图说明
[0051] 图1为本发明
实施例1中扩散偶成分谱及最优解图；
[0052] 图2为本发明实施例2中扩散偶成分谱及最优解图。
具体实施方式
[0053] 为了对本发明做进一步的论述，下面将结合两个三组元熔体互扩散的实例进行具体说明。
[0054] 实例1：通过式(2)，我们可以预先
选定一组优化参数a及相应的等温扩散时间t从而获得对应的扩散成分谱。然后利用本发明算法对这些预设的成分谱进行分析，从而获得相应的最优解，通过最优解与预设值的比较来判断本算法的可靠性。
[0055] 表1给出了我们预设的优化参数a，图1中的离散点则表示由这些预设优化参数产生的扩散成分谱，选取扩散偶的成分为：A75B8C17-A65B12C23，相应的平均成分为A70B10C20，等温扩散时间t＝1600s，选取的实验点数N＝50。
[0056] 利用本发明进行求解实例1的步骤包括：
[0057] 步骤1、利用互扩散设备对合金熔体的一维扩散偶进行等温扩散实验，获得等温时间为t的成分谱C(t)＝{C1(t),C2(t),…,Cm(t),…,CM(t)}；Cm(t)表示第m组元的成分谱，并有Cm(t)＝{Cm(x1,t),Cm(x2,t),…,Cm(xn,t),…,Cm(xN,t)}；Cm(xn,t)表示第m组元的成分谱Cm(t)在第xn位置上的浓度；N表示实验测量成分点的个数；M为组元数；1≤m≤M；1≤n≤N；本实例中N＝50，M＝3，t＝1600s，成分谱C(t)如图1中的离散点所示；
[0058] 步骤2、利用式(1)建立目标函数F(a)：
[0059]
[0060] 式(1)中，a表示待求解的优化参数向量；并有 本实例中a＝{a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9}；aq表示第q个优化参数；1≤q≤M2，本实例中1≤q≤9；
表示在优化参数向量a下进行t时间的等温扩散后，第m组元在第xn位置上的浓
度，并通过式(2)获得：
[0061]
[0062] 式(2)中，erf()表示误差函数；x0表示Matano平面的位置；αk表示第k个特征扩散系数，对于一个含M组元的互扩散体系共含有(M-1)个特征扩散系数，故1≤k≤M-1；am0表示第m组元在Matano平面处的浓度；amk表示第m组元的第k个误差函数的系数；am0、amk、αk和x0属于优化参数向量a中的参数；对于一个含M组元的互扩散体系，这些参数的总个数为M2，即a为M2维向量，为了方便描述，可将am0、amk、αk和x0等重新排序，并标记为a＝{a1,a2,…,aq,…,aM2}，在后续的遗传算法中可称作染色体a，aq表示染色体a上的第q基因；对于本例有a＝{a10,a20,a11,a12,a21,a22,α1,α2,x0}＝{a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9}；
[0063] 步骤3、将优化参数向量a作为染色体，则第q个优化参数aq表示第q基因；令第q基因aq的取值范围为[bmin(q),bmax(q)]，本实例中9个基因的取值范围分别为[10.0±1.0,20.0±1.0,0.0±100.0,0.0±100.0,0.0±100.0,0.0±100.0,10(0±2.0),10(0±2.0),25.0±
5.0,]；定义循环次数为i；定义循环阈值为马尔可夫链长度L，本实例中L＝200；定义基因异率Pm，本实例中Pm＝0.1；定义种群数量为S，本实例中S＝100；定义初始退火温度为T0，本实例中T0＝20；并初始化i＝1；
[0064] 步骤4、利用实数编码方式获得第i次循环的种群 表示第i次循环的种群P中第j条染色体，并有 表示第i次
循环的种群P中第j条染色体上的第q基因，1≤j≤S，本实例中1≤j≤100；本发明编码方式采用实数编码不仅能提高染色体的精度，同时能加快算法的运行速度；
[0065] 步骤5、判断i＞L是否成立，若成立，则结束循环，输出全局最优化后的第L次循环种群P(L)；否则执行步骤5.1；
[0066] 步骤5.1、利用式(1)计算第i次循环的种群P(i)中第j条染色体 的目标函数值从而获得S条备选染色体的目标函数值；
[0067] 步骤5.2、利用式(3)对第j条染色体 进行交叉操作，获得第j条备选染色体[0068]
[0069] 式(3)中，λ为0～1内的随机数， 表示第i次循环的种群P中第r条染色体；1≤r≤S，本实例中1≤r≤100；交叉操作提高了算法的全局搜索能力；
[0070] 步骤5.3、利用式(1)计算第i次循环的种群P(i)中第j条备选染色体 的目标函数值 从而获得S条备选染色体的目标函数值；
[0071] 步骤5.4、判断 是否成立，若成立，则选择第j条备选染色体因进行变异操作，并记为第j条交叉染色体 执行步骤5.6，否则，执行步骤5.5；
[0072] 步骤5.5、判断式(4)Metropolis准则是否成立，若成立，则选择第j条染色体 行变异操作，并记为第j条交叉染色体 执行步骤5.6；否则，选择第j条备选染色体因进行变异操作，记为第j条交叉染色体 执行步骤5.6，
[0073]
[0074] 式(4)中ξ为0～1之间的随机数，Ti为第i次循环时的退火温度；将模拟退火算法与遗传算法进行结合，不仅能增加算法解的稳定性，避免了陷入局域最小的概率，同时大大加快了算法的收敛速度；
[0075] 步骤5.6、利用式(1)计算第j条交叉染色体 的目标函数值 并有表示第j条交叉染色体 上的第q基因；
[0076] 步骤5.7、产生一个0～1内的随机数χ，当χ≤Pm时，利用式(5)对第j条交叉染色体上的第q基因 进行变异操作，获得第q个备选变异基因 从而获得第j条备选变异染色体 即对 的任一基因 当满足χ≤Pm时，采用式(5)的非一致变异方式对
进行变异：
[0077]
[0078] 式(5)中，ρ、ζ表示0～1间的任意随机数；非一致变异方式提高了变异算子对局部方式的搜索能力；
[0079] 步骤5.8、利用式(1)计算第i次循环的种群P(i)中第j条备选变异染色体 的目标函数值
[0080] 步骤5.9、判断 是否成立，若成立，则选择第j条备选变异染色体作为第j条变异染色体，记为 并执行步骤5.11，否则，执行步骤5.10；
[0081] 步骤5.10、判断式(6)Metropolis准则是否成立，若成立，则选择第j条交叉染色体作为第j条变异染色体，记为 并执行步骤5.11；否则，择第j条备选变异染色体作为第j条变异染色体，记为 并执行步骤5.11；
[0082]
[0083] 式(6)中φ为0～1之间的随机数；
[0084] 步骤5.11、定义局域优化循环次数为h，并置h＝1；局域优化循环阈值为H，本例中，H＝2；利用L-M算法对第j条变异染色体 进行适度局域优化，获得第i+1次循环的种群P中第j条染色体 从而获得第i+1次循环的种群P(i+1)；L-M算法中利用Armijo准则确定搜索步长(关于L-M算法的详细内容可参考文献：Nocedal J,Wright S.Numerical optimization.Springer Science&Business Media,2006.)；
[0085] 步骤5.12、利用式(7)所示的冷却函数对第i次循环时的退火温度Ti进行降温，获得第i+1次循环时的退火温度Ti+1：
[0086] Ti+1＝βTi (7)
[0087] 式(7)中，β为0.95～0.99间的一个常数，其大小直接决定了降温速度的快慢，本例中β＝0.99；
[0088] 步骤5.13、将i+1赋值给i，并返回步骤5执行；
[0089] 步骤6、利用式(1)计算第L次循环种群P(L)的第j条染色体 的目标函数值从而获得S条染色体的目标函数值；
[0090] 步骤7、利用式(8)所示的适应函数计算第j条染色体 的适应值 从而获得S条染色体的适应值：
[0091]
[0092] 式(8)中，(F(P(L)))max表示第L次循环种群P(L)中S条染色体的目标函数值中的最大值，ε为一常数，这样构建适应函数能在目标函数值很接近时，扩大适应值间的差异，保证优良基因能被选择进行遗传而不淘汰；
[0093] 步骤8、从S条染色体的适应值中适应值最大的染色体作为初步全局最优解，记为a′；
[0094] 步骤9、利用L-M算法对初步全局最优解a′进行局域优化；从而获得全局最优解，记为a*，以全局最优解a*作为目标函数F(a)的最优解。同样利用Armijo准则确定搜索步长；定义局域优化循环次数为y，并置y＝1；局域优化循环阈值为Y，本实例中，Y＝50000；局域优化终止条件由阈值Y或最优解的梯度满足下式决定：
[0095] ||g(a′y)||2≤η (9)
[0096] 式(9)中，|| ||2表示向量的2范数，η为误差控制参数，本实例中η＝10-8，a′y表示第y次局域优化后的最优解，g(a′y)表示第y次局域优化后目标函数对应的空间曲面在a′y处* *的梯度。局域优化输出的染色体即为本算法给出的全局最优解，记为a ，本例中a ＝[10.0，
20.0，1.5，0.5，1.8，1.2，0.008，0.001，25.0]。这一步骤能大大提高最优解的精度，从而提高最终获得互扩散系数的精度。
[0097] 表1给出了实例1中的预设参数及由本算法给出的全局最优解，相应的扩散成分谱及本算法最优解对应的扩散成分谱由图1给出，有这些结果可看出，本算法能得到描述实例1互扩散过程的真实互参数，即本发明能精确、有效地处理多组元互扩散问题。表2分别列出了预设的互扩散系数及利用本算法获得的互扩散系数，它进一步表明利用本算法能有效获得多组元体系的互扩散系数。
[0098] 表1预设优化参数及由本算法对预设值产生的数据进行分析给出的最优解.[0099]拟合参数 a10 a20 a11 a12 a21 a22 α1 α2 x0
预设优化参数 10 20 1.5 0.5 1.8 1.2 0.008 0.001 25
全局最优解 10 20 1.5 0.5 1.8 1.2 0.008 0.001 25
[0100] 表2预设的互扩散系数及由本算法对预设值产生的数据进行分析给出的最优解.[0101]
[0102] 表2中：预设值为预先设定的互扩散系数，算法最优解为利用本算法分析由预先设定值产生的数据而得到的全局最优解对应的互扩散系数。
[0103] 实例2：为了更接近真实的扩散过程，我们在预设的优化参数产生的扩散成分谱的基础之上加入了范围在±1(at.％)内的随机误差，由此产生的扩散成分谱如图2中的离散点所示。根据所得成分谱，同样可根据式(1)构建目标函数。
[0104] 实例2的计算步骤与实例1完全一致，区别只在于以下两点:
[0105] (1)、根据图2所示的扩散浓度数据，本例中9个基因的取值范围分别取为：[10.0±5.0,20.0±5.0,0.0±100.0,0.0±100.0,0.0±100.0,0.0±100.0,10(0±2.0),10(0±2.0),
25.0±5.0,]；
[0106] (2)、L-M算法的误差控制参数η的取值在本例中取为10-4，即η＝10-4；
[0107] 利用本算法获得的全局最优解如图2中的实线所示，表3给出了描述本互扩散偶体系的互扩散系数。由结果易知，对于存在真实的多组元熔体互扩散偶，本发明同样对其互扩散过程进行很好的分析，获得精确的互扩散系数。
[0108] 表3在预设值上增加了范围为±1(at.％)内的随机误差后，由本算法给出的A-B-C三元熔体互扩散系数及相应的特征互扩散系数.
[0109]
