技术领域
[0001] 本
发明属于数字
图像处理技术领域，它特别涉及利用分析字典学习实现CS-MRI图像重构，并提升图像的重构
质量。
背景技术
[0002]
压缩感知(CS)作为一种新兴的
采样理论与传统的奈奎斯特采样定理相比，可以从更少的随机测量中精确重构出稀疏
信号。由于
磁共振成像(MRI)需要较长的扫描时间来获取图像
频谱即K空间数据，不仅增加了患者不适的
风险，而且运动伪影现象可能会出现在生成的图像中。因此，为缩短扫描时间，将CS理论应用于MRI中可利用随机欠采样的K空间数据重建图像，从而加快成像速度。
[0003] 传统的CS-MRI重构方法利用了整图在固定变换下系数的稀疏性，并采用l1范数作为稀疏正则项，虽然可以恢复出特定的图像纹理结构，但由于固定变换难以适应于多样化的图像特征，因此极大限制了MRI图像重构的性能。为克服该
缺陷，基于图像
块的学习字典稀疏表示被用于CS-MRI重构中。在重构过程中，从目标重构图像中的图像块训练得到的学习字典能够自适应的稀疏表示重构图像中的特征结构，实现较低的稀疏表示误差，因此提高了MRI图像重构的性能。尽管学习字典相比固定变换更具有自适应性，但也会导致字典训练过程和相应的稀疏编码的复杂度较高，字典
原子间存在较大相关性等缺点。
发明内容
[0004] 本发明的目的在于利用学习字典对图像的自适应性，提出一种基于分析字典学习的CS-MRI图像重构方法。该方法可以提高字典对图像的表达能
力，且不会增加稀疏编码复杂度；本发明首先建立基于分析字典学习的图像重构模型，然后采用交替方向乘子法有效地求解该模型。具体包括以下步骤：
[0005] (1)建立基于紧
框架约束下过完备分析字典的学习模型：
[0006]
[0007] 其中 是待训练的过完备分析字典， 是傅里叶编码矩阵， 是欠采样矩阵， 是傅里叶变换矩阵， 代表复数空间，K是分析字典的基底数，n是图像块包含的
像素点个数，M是编码后的频点数，N是整张图像包含的像素点个数，x为待重构的图像， 表示图像块提取矩阵，λ是正则化参数， 表示向量H
的二范数的平方，||·||1表示向量的一范数，Ψ是Ψ的共轭转置，I是单位阵；
[0008] (2)引入图像块系数αi＝ΨRix，建立关于图像块系数αi的图像重构模型[0009]
[0010]
[0011] 对上述重构模型采用交替方向乘子法进行求解，先建立重构模型对应的增广拉格朗日函数
[0012]
[0013] 其中 是拉格朗日乘子， 是bi的共轭转置，μ＞0是惩罚参数，交替求解各优化变量并更新拉格朗日乘子和惩罚参数，可转化为以下求解步骤：
[0014] (2a)为求解t+1次
迭代中分析字典Ψ(t+1)，可将第t次迭代中所获得的图像块系数图像x(t)和拉格朗日乘子 代入增广拉格朗日函数，即
[0015]
[0016] (2b)为求解t+1次迭代中图像块系数 可将第t+1次迭代中所获得的分析字典(t+1) (t)Ψ 和第t次迭代中获得的图像x 和拉格朗日乘子 代入增广拉格朗日函数，即[0017]
[0018] (2c)为求解t+1次迭代中图像x(t+1)，可将第t+1次迭代中所获得的分析字典Ψ(t+1)、图像块系数 和第t次迭代中获得的拉格朗日乘子 代入增广拉格朗日函数，即[0019]
[0020] (2d)更新拉格朗日乘子 如下：
[0021]
[0022] (2e)更新惩罚参数μ(t+1)如下：
[0023] μ(t+1)＝ρμ(t)
[0024] 其中，ρ＞1是μ的增大因子。
[0025] (2f)重复步骤(2a)～(2e)，直到得到的估计图像满足条件或迭代次数达到预设上限。
[0026] 本发明的创新点是为了利用学习字典自适应稀疏表示优势，建立了一个基于过完备分析字典学习的CS-MRI重构模型。该模型可以针对不同的目标重构图像训练出合适的分析字典，并且采用紧框架约束有效抑制了学习分析字典中基底间的相关性。这样既提高了稀疏表示的
精度和图像系数的稀疏性，同时给重构图像的质量带了极大的改善。最后，针对提出的重构模型，采用了交替方向乘子法进行有效求解。
[0027] 本发明的有益效果：从图像块中学习过完备分析字典，提高了图像块稀疏表示的自适应性；对分析字典采用紧框架约束，避免分析字典的平凡解且抑制了字典中基底间相关性；采用交替方向乘子法对重构模型进行求解，实现分析字典、稀疏系数、重构图像的持续快速更新。因此最终输出的重构图像保留了较多纹理结构，较好的去除平滑区伪影，具有较高的重构性能。
[0028] 本发明主要采用仿真实验的方法进行验证，所有步骤、结论都在MATLAB8.0上验证正确。
附图说明
[0030] 图2是本发明仿真中使用的人体大脑MRI原图；
[0031] 图3是采用不同方法对采样率为30％的人体大脑MRI图像的重构结果；
[0032] 图4是对应于不同方法对采样率为30％的人体大脑MRI图像的重构结果的误差。
具体实施方式
[0033] 参照图1，本发明是一种基于分析字典学习的CS-MRI图像重构方法，具体步骤如下：
[0034] 步骤1，建立基于分析字典学习的CS-MRI图像重构模型。
[0035] (1a)建立基于紧框架约束下过完备分析字典的学习模型：
[0036]
[0037] 式(1)中， 是待训练的过完备分析字典， 是傅里叶编码矩阵， 是欠采样矩阵， 是傅里叶变换矩阵， 代表复数空间，K是分析字典的基底数，n是图像块像素点个数，M是编码后的频点数，N是整张图像包含的像素点个数，x是待重构图像， 是图像块提取矩阵，λ是正则化参数， 表示向量的二范数的平方，||·||1表示向量的一范数，ΨH是Ψ的共轭转置，I是单位阵。
[0038] (1b)引入图像块系数αi＝ΨRix，建立关于图像块系数αi的图像重构模型：
[0039]
[0040] 步骤2，采用交替方向乘子法求解式(2)中重构模型。
[0041] (2a)建立式(2)中重构模型的增广拉格朗日函数：
[0042]
[0043] 式(3)中， 是拉格朗日乘子， 是bi的共轭转置，μ＞0是惩罚参数，交替求解各变量并更新拉格朗日乘子和惩罚参数。
[0044] (2b)为求解t+1次迭代中分析字典Ψ(t+1)，可将第t次迭代中所获得的图像块系数图像x(t)和拉格朗日乘子 代入式(3)中，即：
[0045]
[0046] 可以采用奇异值分解法求解式(4)，为简化表达，在以下求解步骤中将式(4)中迭代上标省略：
[0047] (2b1)该子问题为含有等式约束条件的优化问题，其拉格朗日函数为[0048]
[0049] 其中， 为拉格朗日乘子，由于等式约束条件ΨHΨ＝I为埃尔米特矩阵方程，因此Ω必须为埃尔米特矩阵，即Ω＝ΩH。根据Karush-Kuhn-Tucker条件，该子问题最优解应满足以下条件：
[0050]
[0051] 其中， 为拉格朗日函数 关于Ψ的梯度，(Rix)H是Rix的共轭转置，对式(6)中第一个等式左乘ΨH，并代入第二个等式ΨHΨ＝I，可得
[0052]
[0053] 将式(7)代入式(6)并增加约束条件Ω＝ΩH，化简可得以下条件：
[0054]
[0055] (2b2)计算式(8)中第一个等式右边矩阵的奇异值分解，可以得到：
[0056]
[0057] 其中， 和 为奇异值分解后对应的酉矩阵，PH是P的共轭转置，VH是V的共轭转置， 是奇异值矩阵。将该奇异值分解结果代入式(8)中第三个等式，可以得到：
[0058] ΨHPΔVH＝VΔPHΨ 式(10)
[0059] 当ΨHP＝V或ΨHP＝0时式(10)成立。再将该奇异值分解结果代入式(8)中第一个等式，可以得到：
[0060] ΨΨHP＝P 式(11)
[0061] 由于P为非零矩阵，因此ΨHP＝0不成立，即只有ΨHP＝V能使式(10)和(11)同时成立，将其代入式(11)得到的Ψ闭合解形式如下：
[0062] Ψ＝PVH 式(12)
[0063] 由于P和V为酉矩阵，因此ΨHΨ＝VPHPVH＝I，即式(8)中三个条件都得到满足。
[0064] (2c)为求解t+1次迭代中图像块系数 可将第t+1次迭代中获得的分析字典Ψ(t+1)和第t次迭代中获得的图像x(t)和拉格朗日乘子 代入式(3)，即：
[0065]
[0066] 可采用软
阈值法对式(13)中的子问题求解，为简化表达，在以下求解步骤中将式(13)中迭代上标省略：
[0067] (2c1)该子问题为无约束凸优化问题，其一阶优化条件为
[0068]
[0069] 其中， 为αi一范数的次微分，其第k维元素可表示为
[0070]
[0071] 其中，[-1,1]表示当(αi)k＝0，该次微分的第k维元素可取-1到1之间任意数；
[0072] (2c2)根据式(14)的一阶优化条件及 的特性，αi的解为对向量ΨRix-bi/μ的各维元素做阈值为1/μ的软阈值操作，αi解的形式如下：
[0073]
[0074] 其中，max(·,·)是最大值函数。
[0075] (2d)为求解t+1次迭代中图像x(t+1)，可将第t+1次迭代中获得的分析字典Ψ(t+1)，图像块系数 和第t次迭代中获得的拉格朗日乘子 代入式(3)，即：
[0076]
[0077] 式(17)是一个最小二乘问题，为简化表达，在以下求解步骤中将式(17)中迭代上标省略：
[0078] (2d1)该子问题最优解可通过求解以下正规方程获得：
[0079]
[0080] 其中， 是Fu的共轭转置， 是Ri，j的共轭转置；
[0081] (2d2)可按周期边界条件提取图像块，以满足 的简化条件，x的闭合解可表示为：
[0082]
[0083] 式(19)中，FH是F的共轭转置，UH是U的共轭转置，c＞0为重叠因子。
[0084] (2e)更新拉格朗日乘子和惩罚参数：
[0085]
[0086] 式(20)中，ρ＞1是μ的增大因子。
[0087] 步骤3，重复(2b)～(2e)的过程，直到得到的估计图像满足条件或迭代次数达到预设上限。
[0088] 本发明的效果可以通过以下仿真实验进一步说明：
[0089] 一、实验条件和内容
[0090] 实验条件：实验使用随机采样矩阵；实验图像采用真实的人体大脑MRI图像如图2所示；实验结果评价指标采用峰值
信噪比(PSNR)，其定义为：
[0091]
[0092] 式(21)中，x和 分别是全采样图像和重建图像，其值越高表示重构图像的性能越好。另一个评价指标采用结构相似度(SSIM)，定义为：
[0093]
[0094] 式(22)中，x和 分别是全采样图像和重构后的图像，μx和 分别表示x和 的均值，σx和 分别表示x和 的标准差， 是x和 的协方差，C1和C2是两个避免不
稳定性的常量。SSIM值越高表明图像的重构质量越高。
[0095] 实验内容：在上述条件下，采用在MRI重构领域目前处于领先
水平的RecPF方法、DLMRI方法、PBDW方法与本发明方法进行对比。
[0096] 实验1：用本发明方法与RecPF方法、DLMRI方法和PBDW方法分别对图2所示的MRI图像在相同条件下进行重构。其中RecPF方法将小波和全变分正则项相结合并采用算子分离
算法求解模型，其重构结果如图3(a)，重构误差如图4(a)；DLMRI方法则是一个典型的综合字典学习方法，使用K-SVD方法对图像块学习一个冗余的综合字典，其重构结果为图3(b)，重构误差为图4(b)；PBDW方法则是对图像块训练方向小波和采用小波系数l1范数最小化的方法，其重构结果为图3(c)，重构误差为图4(c)；实验中对所有方法设置图像块大小n＝8×8，保真项正则化参数为λ＝106，对RecPF中全变分正则化参数设置为10-2，对PBDW和本方法的重叠因子设置为c＝64，对DLMRI方法和本方法设置字典原子或基底数量为K＝128，对本发明方法设置的其他参数为μ(0)＝128，ρ＝1.2，本方法最终重构结果如图3(d)，重构误差如图4(d)。
[0097] 图3中小方块中图像为选择的被放大区域，大方块中为其放大图像。从图3的重构结果及局部放大图可以看出，RecPF方法的重构结果存在较为严重的伪影现象；DLMRI方法在放大区域纹理结构模糊不清，细节信息损失较为严重；PBDW方法在放大区域出现明显的块状伪影；而从本方法的重构结果可以看出，其细节信息
对比度和整体重构效果都优于其他重构方法。从图4的重构误差结果可以得到同样的结论，本方法的重构误差要明显小于RecPF方法、DLMRI方法和PBDW方法，所以本方法的重构效果最好。
[0098] 表1不同重构方法的PSNR指标
[0099]图像 RecPF方法 DLMRI方法 PBDW方法 本发明方法
人脑图 27.43 31.58 31.67 33.27
[0100] 表1给出了各方法重构结果的PSNR指标情况，由表可见本发明方法的PSNR值比其他方法均有较大提高，说明本发明方法的重构性能最高，此结果与重构效果图相吻合。
[0101] 表2不同重构方法的SSIM指标
[0102]图像 RecPF方法 DLMRI方法 PBDW方法 本发明方法
人脑图 0.5559 0.6972 0.8507 0.8574
[0103] 表2给出了各方法重构结果的SSIM情况，可见本发明方法对应的SSIM值最高，说明图像信息保护完整，此结果与重构效果图相吻合。
[0104] 上述实验表明，本发明所获得的重构图像不仅细节信息完整，而且视觉效果及客观评价指标都较好，由此可见本发明对医学图像重构是有效的。
