【発明の詳細な説明】 【０００１】 【発明の属する技術分野】本発明は、保有している債券から他の債券に乗り換える場合における、乗換え後の通期の要求利回りを実現する乗換え債券の必要利回りを計算し表示するシステム等に関する。 【０００２】 【従来の技術】従来、債券の利回り情報を表示する方法は、個別銘柄毎に計算される各種利回り（例えば、応募者利回り、最終利回り等）を残存年数、クーポン（表面利率）、格付け、発行体等の個別銘柄属性と併せて一覧表の形式で表示したり、関連する属性と各種利回りを散布図の形式で表示したりするものがある。 【０００３】 【発明が解決しようとする課題】既に債券を保有している投資家が保有債券を売却して別の債券銘柄を購入する、いわゆる銘柄乗換えを行う場合、保有債券を保有し続けるよりも有利になるような乗換え債券の必要利回りの情報は、銘柄乗換えの意思決定に大きな影響を与えるものと予想される。 【０００４】本発明は上記観点に鑑みてなされたもので、乗換え後の通期の要求利回りを実現するような乗換え債券の必要利回りを表示する債券利回り表示システム及び債券利回り表示方法、並びに、乗換え後の通期の要求利回りを実現するような乗換え債券の必要利回りを計算する債券利回り計算装置及び債券利回り計算方法等を提供することを目的とする。 【０００５】 【課題を解決するための手段】本発明に係る第１の債券利回り表示システムは、保有債券を購入したときの購入条件のデータ、売却するときの売却条件のデータ、銘柄乗換え後の通期の要求利回りのデータ、並びに、乗換え候補債券の債券価格、利回り、及び残存年数のデータを受け取る入力部と、この入力部が受け取った前記保有債券の購入条件、売却条件及び前記要求利回りのデータから、残存年数に対して前記保有債券を売却し別の債券に乗り換えた場合の通期の利回りが前記要求利回りに等しくなる乗換え債券の必要利回りを算出する演算部と、残存年数と利回りを座標とする表示画面上に、前記演算部により算出された乗換え債券の必要利回りを表示すると共に、前記乗換え候補債券の残存年数と利回りを前記表示画面上に表示する表示部とを有することを特徴とする。 【０００６】本発明に係る第２の債券利回り表示システムは、乗換え債券の必要利回りを算出する演算部を用いて、債券の利回りを表示する債券利回り表示システムであって、保有債券を購入したときの購入条件のデータ、
売却するときの売却条件のデータ、乗換え後の通期の要求利回りのデータ、並びに乗換え候補債券の債券価格、
利回り、及び残存年数のデータを受け取り、受け取った前記保有債券の購入条件、売却条件及び前記要求利回りのデータから、残存年数に対して前記保有債券を売却し別の債券に乗り換えた場合の通期の利回りが前記要求利回りに等しくなることを条件として前記演算部により算出された乗換え債券の必要利回りを表す曲線を、残存年数と利回りを座標とする表示画面上に表示すると共に、
前記乗換え候補債券の残存年数と利回りを前記表示画面上に表示する表示部を有することを特徴とする。 【０００７】本発明に係る第１の債券利回り表示システムでは、好適には、前記入力部は、前記演算部の利回り計算について単利と複利のうち何れか一方を指定するデータをさらに受け取り、前記演算部は、前記入力部が受け取った前記一方を指定するデータに基づき、前記単利と複利のうち前記一方の利回り計算により前記乗換え債券の必要利回りを算出する。 【０００８】本発明に係る第２の債券利回り表示システムでは、好適には、利回り計算について単利と複利のうち何れか一方を指定するデータをさらに受け取り、前記乗換え債券の必要利回りは、受け取った前記一方を指定するデータに基づき、前記単利と複利のうち前記一方の利回り計算を用いて算出される。 【０００９】本発明に係る第１の債券利回り表示システムでは、好適には、前記演算部による利回り計算は、複利により行い、前記入力部は、乗換え債券の最高クーポン及び最低クーポンのデータをさらに受け取り、前記演算部は、前記入力部が受け取った前記最高クーポンに対応する第１の必要利回りと前記最低クーポンに対応する第２の必要利回りを算出し、前記表示部は、前記演算部が算出した前記第１及び第２の必要利回りを示す曲線を、前記表示画面上にさらに表示する。 【００１０】本発明に係る第１の債券利回り表示システムでは、例えば、前記購入条件は、購入価格であり、前記売却条件は、売却価格であり、前記表示画面は、残存年数と利回りを座標とする散布図の画面であり、前記散布図には、前記乗換え候補債券の残存年数と利回りに対応するドットが表示される構成としてもよい。 【００１１】本発明に係る第２の債券利回り表示システムでは、例えば、前記購入条件は、購入価格であり、前記売却条件は、売却価格であり、前記表示画面は、残存年数と利回りを座標とする散布図の画面であり、前記散布図には、前記乗換え候補債券の残存年数と利回りに対応するドットが表示される構成としてもよい。 【００１２】本発明に係る第１の債券利回り表示方法は、債券の利回りを表示する債券利回り表示システムにおける債券利回りの表示方法であって、前記債券利回り表示システムに、保有債券を購入したときの購入条件のデータ、売却するときの売却条件のデータ、銘柄乗換え後の通期の要求利回りのデータ、並びに、乗換え候補債券の債券価格、利回り、及び残存年数のデータを受け取る第１のステップと、この第１のステップで受け取った前記保有債券の購入条件、売却条件及び前記要求利回りのデータから、残存年数に対して前記保有債券を売却し別の債券に乗り換えた場合の通期の利回りが前記要求利回りに等しくなる乗換え債券の必要利回りを、前記債券利回り表示システムが算出する第２のステップと、前記債券利回り表示システムが、残存年数と利回りを座標とする表示画面上に、前記第２のステップで算出された乗換え債券の必要利回りを表示すると共に、前記乗換え候補債券の残存年数と利回りを前記表示画面上に表示する第３のステップとを有することを特徴とする。 【００１３】本発明に係る第２の債券利回り表示方法は、債券の利回りを表示する債券利回り表示システムにおける債券利回りの表示方法であって、保有債券を購入したときの購入条件のデータ、売却するときの売却条件のデータ、乗換え後の通期の要求利回りのデータ、並びに乗換え候補債券の債券価格、利回り、及び残存年数のデータを、前記債券利回り表示システムが受け取る第１
のステップと、前記債券利回り表示システムが、受け取った前記保有債券の購入条件、売却条件及び前記要求利回りのデータから、残存年数に対して前記保有債券を売却し別の債券に乗り換えた場合の通期の利回りが前記要求利回りに等しくなることを条件として算出された乗換え債券の必要利回りを表す曲線を、残存年数と利回りを座標とする表示画面上に表示すると共に、乗換え候補債券の残存年数と利回りを前記表示画面上に表示する第２
のステップとを有することを特徴とする。 【００１４】本発明に係る債券利回り計算装置は、保有債券を購入した時の購入条件のデータ、売却するときの売却条件のデータ、及び銘柄乗換え後の通期の要求利回りのデータを受け取る入力部と、前記入力部が受け取った前記購入条件、売却条件及び前記要求利回りのデータに基づき、前記保有債券を売却し別の債券に乗り換えた場合の前記保有債券の最終利回りと前記要求利回りとが等しくなることを条件として、残存年数に対する乗換え債券の必要利回りを算出する演算部とを有することを特徴とする。 【００１５】本発明に係る債券利回り計算装置では、好適には、前記入力部は、前記演算部の利回り計算について単利と複利のうち何れか一方を指定するデータを受け取り、前記演算部は、前記入力部が受け取った前記一方を指定するデータに基づき、前記単利と複利のうち前記一方の利回り計算を行う。 【００１６】本発明に係る債券利回り計算装置では、好適には、前記演算部による利回り計算は、複利により行い、前記入力部は、乗換え債券の最高クーポン及び最低クーポンのデータをさらに受け取り、前記演算部は、前記入力部が受け取った前記最高クーポンに対応する第１
の必要利回りと前記最低クーポンに対応する第２の必要利回りをさらに算出する。 【００１７】本発明に係る債券利回り計算方法は、債券の利回りを計算する債券利回り計算装置における債券利回りの計算方法であって、保有債券を購入した時の購入条件のデータ、売却するときの売却条件のデータ、及び銘柄乗換え後の通期の要求利回りのデータを、前記債券利回り計算装置が受け取る第１のステップと、この第１
のステップで受け取った前記購入条件、売却条件及び前記要求利回りのデータに基づき、前記保有債券を売却し別の債券に乗り換えた場合の前記保有債券の最終利回りと前記要求利回りとが等しくなることを条件として、残存年数に対する乗換え債券の必要利回りを、前記債券利回り計算装置が算出する第２のステップとを有することを特徴とする。 【００１８】本発明に係る第１のプログラムは、コンピュータが利用可能なプログラムであって、上記第１又は第２の債券利回り表示システムの機能、又は、上記債券利回り計算装置の機能を、コンピュータに実現させることを特徴とするプログラムである。 【００１９】本発明に係る第２のプログラムは、コンピュータが利用可能なプログラムであって、上記第１又は第２の債券利回り表示方法の処理、又は、上記債券利回り計算方法の処理を、コンピュータに実現させることを特徴とするプログラムである。 【００２０】 【発明の実施の形態】先ず、投資家の保有債券の購入条件と売却条件と乗換え後通期要求利回りとから、後述する要求利回りを実現する乗換え債券の必要利回りを所定の残存年数毎に算出する。 【００２１】次に、乗換え対象債券に対してそれらの残存年数を横軸に最終利回りを縦軸にとった散布図上にプロットする。 乗換え候補としての対象債券は当該散布図上のドットにより表される。 更に、当該散布図上に所定の残存年数毎に算出される要求利回りを実現する乗換え債券の必要利回りをプロットして曲線で結ぶことにより、要求利回り曲線を表示する。 【００２２】このような散布図を投資家に提示することにより、投資家は乗換えに有利な銘柄が容易に判断できるようになる。 要求利回りとして保有債券の最終利回りを設定した要求利回り曲線を計算することにより、保有債券の最終利回り以上の利回りとなる乗換え銘柄を容易に把握することができる。 また、保有債券の最終利回りよりも大きな利回りを要求利回りとして設定した要求利回り曲線を計算することにより、乗換えにより設定された要求利回り以上の利回りが実現できる乗換え債券も容易に把握することができる。 【００２３】先ず、債券をそのまま保有し続けた場合と銘柄乗換えを行った場合の利回りを比較し、どちらが有利であるかを明らかにするために、その境界を意味するものとして要求利回り曲線を定義する。 即ちこの要求利回り曲線は、保有債券を売却し別の債券を購入する銘柄乗換えを行った場合に、要求利回りを実現するために必要となる乗換え債券の利回りに対する条件として計算される。 この要求利回りから算出される乗換え債券の必要利回りを表す曲線を、要求利回り曲線と呼ぶことにする。 【００２４】利回りには単利と複利があるので、単利と複利の場合を分けて考える。 また、以下では残存年数を正の整数として扱うが、整数でない場合は債券価格に経過利子を含めることにより同様の議論を展開できる。 【００２５】図１は、本発明に係る債券利回り表示システムを実現するための構成例を示す図である。 図１において、この債券利回り表示システムは、データを受け取る入力部１０１と、この入力部１０１が受け取ったデータを一旦記憶する記憶部１０２と、この記憶部１０２に記憶されたデータを用いて各種演算を行う演算部１０３
と、この演算部１０３で演算された結果に基づいて表示を行う表示部１０４とを有する。 なお、入力部１０１
と、記憶部１０２と、演算部１０３とにより、債券利回り計算装置が構成されている。 【００２６】債券保有時以降のキャッシュフローに着目して、図３に示すように２通りのケースの場合における利回りを計算及び比較し、それらの通期の利回りが要求利回りと同じになる条件として要求利回り曲線を求める。 【００２７】図３（ａ）のケースは保有債券Ａを償還まで保有し続ける場合を示しており、図３（ｂ）のケースは保有債券Ａをある時点で売却し別の債券Ｂを買い付ける銘柄乗換えを行う場合を示している。 ここで、債券Ａ，Bの残存年数を各々Ｔ _Ａ， Ｔ _Ｂ年とし、またクーポン（表面利率）を年当たりＣ _Ａ ，Ｃ _Ｂ ％とし、年１回の利払いを想定する。 年にｋ回の支払いがある場合は、クーポンを１／k倍し、年数をk倍とし、更に複利計算時にとる和の項数をk倍とすることで同様の議論を展開できる。 【００２８】債券ＡはＴ _０年前に債券価格Ｐ _０円で１額面購入し、現時点ではＰ _Ｓ円で売却できる。 一方、債券ＢはＰ _Ｂ円で購入できるものとする。 また、売却代金はすべて購入代金に充てるものとする。 このことから、債券Ｂは（Ｐ _Ｓ ／Ｐ _Ｂ ）額面購入することになる。 【００２９】ところで、乗り換える対象の債券Ｂの利回りは一般的には先に所有していた債券Ａの利回りより高い利回りが要求される場合が多い。 しかしながら、保有債券Ａの利回りと同じ利回りを参考にし、これよりも利回りが大きくなる債券を選択することで保有債券Ａの利回りより高い利回りを実現することができる。 以降の実施形態では、保有債券Ａの利回りと同じ利回りを実現する債券の集合を見つけ出し、これらの債券と乗換え候補の債券を比較する場合について説明する。 ＜実施形態１：単利利回りの場合＞第１の実施形態として単利の場合につき、図２に示したフローチャートを用いて処理の流れを説明する。 【００３０】まず、ステップＳ２０１において、図１の入力部１０１に乗換え候補債券、即ち債券Ｂの情報が入力される。 この入力で入力部１０１が受け取る債券の情報としては、銘柄名に対応する銘柄コード、単価、クーポン、残存年数、格付けなどである。 入力部１０１が受け取った乗換え候補債券に関する情報は、記憶部１０２
に一旦記憶されて演算部１０３に供給される。 乗換え候補の対象となる全ての債券を考慮するため、対象債券の数に応じてデータ量が多くなる。 【００３１】次に、ステップＳ２０２において、現在保有している債券Ａに関する情報が、同様に入力部１０１
に入力される。 この入力で入力部１０１が受け取る債券Ａの情報は、記憶部１０２に一旦記憶されて演算部１０
３に供給される。 この場合の債券Ａの情報は、乗り換え候補債券の場合と同様に、銘柄名に対応する銘柄コード、単価、クーポン、残存年数、格付けなどである。 【００３２】次のステップＳ２０３では、要求利回りと、後述する等価利回り曲線を表示するグラフ表示の範囲が、償還までの残存年数と利回りで入力部１０１に入力される。 この入力で入力部１０１が受け取る情報は、
記憶部１０２に一旦記憶されて演算部１０３に供給される。 【００３３】ここで、単利の場合の等価利回り曲線の計算方法について説明する。 図３（ａ）のケースにおける最終単利利回り（保有時点から償還時点まで保有した場合の単利利回り）をｒ _Ａとし、図３（ｂ）のケースにおける最初の保有時点から乗換え後の債券が償還するまでの通期にわたる単利利回りをｒとし、債券Bの最終単利利回りをｒ _Ｂとする。 債券Ａに関しては、保有時点から償還時点まで保有した場合の全体の保有期間は（Ｔ _０ ＋
Ｔ _Ａ ）であり、最初の投資額がＰ _０であり、クーポンの利率がＣ _Ａであるから、単利利回りｒ _Aは、次式（１）
で表される。 【数１】

同様に通期の利回りｒと、債券Ｂの最終単利利回りｒ

_Ｂ

は、次式（２），（３）のように表される。 【数２】 【数３】 ここで式（２）の通期の利回りｒを、式（３）の債券Ｂ

の最終単利利回りｒ

_Ｂで表すと、次式（４）のようになる。 【数４】 上式（４）は債券Ａから債券Ｂに乗り換えたときの通期の利回りｒを表すので、この利回りｒが債券Ａを保有し続けるときの利回りｒ

_Ａと等しくなる境界は、上式（４）の左辺を式（１）に示す利回りｒ

_Ａに等しいと置くことにより得られる。 ここでは、利回りｒ

_Ａを要求利回りとしている。 このときの債券Ｂの最終単利利回りｒ

_Ｂと残存年数Ｔ

_Ｂの関係を求めると次式（５）のようになる。 【数５】 上式（５）式を変形し、債券Ｂの最終単利利回りｒ

_Ｂを求めると、次式（６）が得られる。 【数６】 したがって、債券Ａから債券Ｂに乗り換えたとき利回りが同じになる条件は、次式（７）で表される。 【数７】 上式（７）の関係はｙ＝ｂ＋α／Ｔ

_Ｂの形式で表され、

定数ｂは（ｒ

_Ａ ×Ｐ

_０ ／Ｐ

_Ｓ ）で表され、係数αは式（７）のカッコ内に示すものになる。 残存年数Ｔ

_Ｂを横軸にとり、利回りｒ

_Ｂを縦軸にとって式（７）が示す曲線を散布図上に描く。 この曲線が必要利回りを示す曲線となる。 【００３４】表示される曲線は、保有債券Ａの購入条件と売却条件から求まる形状パラメータαの直角双曲線を、ｂ（＝ｒ

_Ａ ×Ｐ

_０ ／Ｐ

_Ｓ ）だけ縦軸方向にシフトした曲線となる。 保有債券Ａからこの曲線上の点に対応する仮想債券に乗り換えた場合、その利回りは保有債券Ａ

と同一の最終利回りとなるので、この曲線を乗換え等価利回り曲線と呼ぶ。 【００３５】このようにしてステップＳ２０４において等価利回り曲線が演算部１０３で計算され、表示部１０

４は、この等価利回り曲線と各乗換え候補債券を示すドットとを、例えば図４に示すように表示画面上に表示する（ステップＳ２０５）。 図４の散布図において、横軸は残存年数を示し、縦軸は単利の利回りを示している。 【００３６】表示される各ドットはその位置により当該債券の購入条件等を示しており、各ドット上にカーソルの矢印を置くと、図４に示すように、そのドットに対応する債券の情報を表示する。 表示する情報は、例えば、

債券名、クーポン、単利利回り、残存年数、格付けなどである。 【００３７】図４中の符号ＥＣは、乗換え等価利回り曲線を示す。 図４において曲線ＥＣより上方に位置する銘柄に乗り換えた場合、乗換え後の通期利回りｒは保有債券Ａの最終利回りｒ

_Ａより大きくなる。 一方、乗換え等価利回り曲線ＥＣより下方に位置する銘柄に乗り換えた場合、乗換え後の通期利回りｒは保有債券Ａの最終利回りｒ

_Ａより小さくなる。 したがって、乗換え等価利回り曲線ＥＣは、散布図上の平面を乗換えが有利な領域とそうでない領域とに分割する境界を示しており、この曲線ＥＣより上方に位置する債券ならばその債券に乗り換えた方が有利となることを意味し、この曲線ＥＣより下方に位置する債券ならばその債券に乗り換えた方が不利となることを意味する。 【００３８】ところで、ｙ＝ｂ＋α／Ｔ

_Ｂにおけるパラメータαの正負は、Ｐ

_０ ×（ｒ

_Ａ ×Ｔ

_０ ＋１）と（Ｐ

_Ｓ

＋Ｔ

_０ ×Ｃ

_Ａ ）の大小関係によって決まる。 即ち、初期投資額Ｐ

_０を当初利回りｒ

_Ａで期間Ｔ

_０だけ運用した額と、売却価格Ｐ

_Ｓで期間Ｔ

_０に受け取ったクーポン収入の合計を加えた額との大小関係により決まる。 前者が後者より大きい場合は正となり、残存年数Ｔ

_Ｂの増大に対して単調減少する。 一方、前者が後者より小さい場合は負となり、残存年数Ｔ

_Ｂの増大に対して単調増加する。 【００３９】また、保有債券Ａの利回りｒ

_Ａに対してΔ

ｒだけ上乗せした利回りと等価な利回りを実現する乗換え債券は、乗換え後通期利回りｒをｒ

_Ａ ＋Δｒとすることにより求められる。 このような債券の集合は上記の形状パラメータαの直角双曲線を縦軸方向に（Δｒ×Ｐ

_０

／Ｐ

_Ｓ ）だけシフトした曲線として求められる。 したがって、この曲線を描くことによって保有債券Ａの利回りｒ

_Ａに対してΔｒだけ上乗せした利回り以上の利回りを実現する乗換え債券も簡単に見つけ出すことが可能となる。 【００４０】ステップＳ２０６において、ユーザーは乗換え候補債券の選択を行う。 例えば図４に示した散布図上で、乗り換えたい債券を示す点の位置にカーソルの矢印の先端を置いてクリックする。 すると、例えば図５に示すような、利回りの詳細計算画面が現れる。 この画面に現れる保有債券は、ステップＳ２０２で入力された保有債券Ａのデータであり、買付債券はステップＳ２０６

で選択された債券のデータである。 【００４１】図５に示した画面の下方には、「キャッシュフローと計算利回り（単利）」として、保有債券を継続保有した場合、及び右上方に表示されている選択された債券に乗り換えた場合のクーポン収入、償還額、保有期間、通期利回りなどの詳細が表示される（ステップＳ

２０７）。 【００４２】更にこの画面の下方に「発注」ボタン５

１、「再計算」ボタン５２、及び「戻る」ボタン５３が表示されている。 選択された債券の結果にユーザーが満足した場合には、ステップＳ２０９に進む。 【００４３】図５の右上方に表示された買付債券の買付額面の欄５４は、金額の入力と修正ができるようになっている。 この欄５４に表示されている買付額面を入力し直し、「再計算」ボタン５２をクリックすることによって、入力された金額で買い付けた場合の利回りが計算され、その結果が再び図５の画面に表示される。 計算され表示された結果に満足の場合には「発注」ボタン５１をクリックすることにより、乗換え債券として選択した債券の注文を実際に行うことになる（ステップＳ２０

９）。 【００４４】ステップＳ２０８において、選択された債券にユーザーが満足しない場合は、「戻る」ボタン５３

のクリックによってステップＳ２０６に戻り、再び図４

に示すような画面が表示部１０４に表示され、他の債券を選択することが可能になる。 ＜実施形態２；複利利回りの場合＞次に、上述の単利と同様にして複利利回りの場合について説明する。 この場合も図３（ａ）のケースと図３（ｂ）のケースのキャッシュフローを想定し、乗換え債券の利回りが保有債券の利回りと等しくなる場合について説明する。 【００４５】図６は、本発明において利回りが複利の場合における処理の流れを示すフローチャートである。 このフローチャートにおいて、ステップＳ６０１及びステップＳ６０２では、図１の入力部１０１に乗換え候補債券及び保有債券Ａの各情報が入力されることは、図２の単利の場合と同様であり、また、ステップＳ６０３では、要求利回り及びグラフ表示の範囲が指定される。 【００４６】ところで、保有債券Ａの保有時点における最終複利利回りをＲ

_Ａ 、乗換え後の債券Bの最終複利利回りをＲ

_Ｂとすると、Ｔ

_０年前の購入価格Ｐ

_０と債券Ｂ

の購入価格Ｐ

_Ｂは、次式（８），（９）のように表される。 【数８】 【数９】 一方、債券の乗換えを行った場合の通期の複利利回りＲ

は、乗換え前後の全キャッシュフローを保有時点における現在価値に割り引いた値が、保有時点の価格に等しいと置くことにより求められる。 したがって、債券ＡをＴ

_０年前に購入した購入価格Ｐ

_０は次式（１０）で表される。 【数１０】 数１０に示す方程式の解はニュートン法により求めることができるが、ここでは式変形により別の解法を示す。

式（１０）を変形すると、次式（１１）が得られる。 【数１１】 上式（１１）の右辺最終項は、乗換え前後の全キャッシュフローを乗換え債券の償還日時点まで複利利回りRで再運用した将来価値の合計を示す。 一方、上式（１１）

の左辺は初期投資額Ｐ

_０を複利利回りRで再運用した場合の将来価値を示す。 【００４７】これらを等値することにより、将来価値から複利利回りを逆算することが可能になる。 クーポン、

残存年数、初期投資額を設定して上式（１１）の左辺、

右辺の値を横軸利回りRに対して縦軸に各々表示したものを図７（ａ）に例示する。 左辺の値と右辺の値はともに利回りＲに対して単調増加を示し、利回りＲに対する左辺の値の変化率は、右辺の値の変化率よりも大きくなる。 したがって、典型的には図７（ａ）に示すような関係にあり、両者に交点が存在すれば、次に示すような繰り返し計算により左辺および右辺を等値する複利利回りが求まることになる。 但し、このとき初期値は、求める交点の複利利回りよりも大きい値から出発する点に注意する必要がある。 つまり、ｈ（R）＝左辺−右辺 を正とする複利利回りから出発することになる。 これらの関係を次式（１２）に示す。 【数１２】 先ず、ある複利利回りを想定し全キャッシュフローを複利利回りで再運用した将来価値ｇ（Ｒ

_ｉ ）を求める。 その将来価値と初期投資額Ｐ

_０とから複利利回りＲ

_ｉ＋１

を計算する。 次に、計算された複利利回りで将来価値を計算し複利利回りを再計算する。 このプロセスを繰り返し、再計算前の複利利回りと再計算後の複利利回りの誤差が許容範囲内に収まるまで繰り返し計算を行う。 具体的な計算フローは後述する。 【００４８】このようにして求められた複利利回りは、

式（１０）を満たす複利利回りに許容誤差範囲内で一致する。 ここでは、将来価値を求めてから初期投資額Ｐ

_０

に対する複利利回りを計算する方法が、現在価値から複利利回りを計算する方法よりも直感的に理解し易いと想定して計算している。 【００４９】しかしながら、この計算方法の収束速度はニュートン法よりも遅いため、計算速度の早いことが要求される場合にはニュートン法で計算し、そうではないような場合にはこの計算方法を採用するとよい。 後述する利回り計算の詳細画面では、画面に遷移した段階で利回りの計算条件が一義的に決定され、１つの複利利回りを求める。 したがって、計算時間に対する要求は厳しくないためこの計算方法により計算して表示を行っている。 【００５０】ところで、式（１０）は式（１１）と数式上では等価であるが、式（１０）は式（１１）よりも処理し易いため、以下では式（１０）に基づいて考える。

式（９）の債券Ｂの購入価格Ｐ

_Ｂを式（１０）に代入して変形することで、次式（１３）が得られる。 【数１３】 ここで、保有債券Aの情報は既知のため、乗換え対象銘柄Bの情報を変数とする以下の関数を考える。 すると、

保有債券Aに対して当該関数の零点集合（Ｒ

_Ｂ ,Ｃ

_Ｂ ,Ｔ

_Ｂ ）が乗換え後通期利回りRを達成する債券集合となる。 これを次式（１４）で表す。 【数１４】 そこで、この通期利回りＲを保有債券Ａの利回りＲ

_Ａとした場合、当該関数の零点集合（Ｒ

_Ｂ ,Ｃ

_Ｂ ,Ｔ

_Ｂ ）は単利の場合と同様に等価利回り曲面を表すことになる。 上式（１４）にＲ＝Ｒ

_Ａを代入すると、次式（１５）を得ることができる。 【数１５】 単利の場合と異なる点は、乗換え銘柄のクーポンを考慮するため、２次元ではなく３次元の空間で曲面を考えることになる。 ３次元空間内での点集合の位置関係を認識することは困難なため、残存年数を横軸とし利回りを縦軸とする２次元平面に射影して考える。 このとき、各変数の相関を把握するため偏微分係数を計算し、それらの符号を調べる。 なお、利回り、残存年数等がすべて正の領域で確認を行う。 まず、債券Ｂの複利利回りＲ

_ＢをクーポンＣ

_Ｂで偏微分する。 これを、次式（１６）に示す。 【数１６】 ここで、上式（１６）の右辺の分子と分母の各項を調べる。 これを、数１７の式（１７Ａ）〜（１７Ｅ）に示す。 【数１７】 次に、債券Ｂの複利利回りＲ

_Ｂを乗換え後の期間Ｔ

_Ｂで偏微分する。 これを次式（１８）に示す。 【数１８】 次に、式（１８）の右辺の分子と分母の各項の符号を調べる。 これを、数１９の式（１９Ａ）〜（１９Ｃ）と、

数２０の式（２０Ａ）〜（２０Ｅ）に示す。 【数１９】 【数２０】 更に、要求利回りＲ

_Ａを債券Ｂの複利利回りＲ

_Ｂで偏微分し、複利利回りＲ

_Ｂが増減する場合に要求利回りＲ

_Ａ

がどのように変化するかを調べる。 これを数２１の式（２１）に示す。 【数２１】 式（１５）から要求利回りＲ

_Ａと複利利回りＲ

_Ｂが等しくなるのは、債券Ａの売却価格Ｐ

_Ｓが次式（２２）を満たすような特別な場合のみである。 【数２２】 上式（２２）において、要求利回りＲ

_Ａはある一定値を取るが、複利利回りＲ

_ＢはクーポンＣ

_Ｂと残存年数Ｔ

_Ｂ

に関して連続的に変化する。 このことから、残存年数Ｔ

_Ｂに対する（Ｒ

_Ｂ −Ｒ

_Ａ ）の値の変化を考えると、図７

（ｂ）に示すように、０にはならないため、正か負のいずれかの定符号をとることになる。 【００５１】したがって、複利利回りＲ

_ＢはクーポンＣ

_Ｂと残存年数Ｔ

_Ｂに対して要求利回りＲ

_Ａとの大小関係に依存して単調減少か単調増加を示す。 そこで、残存年数Ｔ

_Ｂを横軸にとって複利利回りＲ

_Ｂを縦軸にとった散布図上で考えると、図７（ｃ）に示すように、要求利回りＲ

_Ａに漸近する曲線となる。 この複利利回りＲ

_Ｂの漸近的な挙動を確認するため、残存年数Ｔ

_Ｂ →∞のときの複利利回りＲ

_Ｂを調べる。 式（１５）においてＴ

_Ｂ →∞

とすると、次式（２３）が成立する。 【数２３】 上式（２３）を変形すると、次式（２４）が得られる。 【数２４】 上式（２４）の右辺分子を変形すると、次式（２５）に示すようになる。 【数２５】 この式変形から、右辺分子は保有銘柄から今後発生するであろうキャッシュフローを要求利回りＲ

_Ａで割り引いた現在価値となる。 つまり、要求利回りＲ

_Ａから求めた債券価格となる。 この値と売却価格Ｐ

_Ｓの大小関係、言い換えれば売却価格Ｐ

_Ｓから計算される複利利回りＲ

_Ｓ

と要求利回りＲ

_Ａの大小関係により、要求利回りＲ

_Ａと複利利回りＲ

_Ｂの大小関係が決定されることになる。 【００５２】Ｒ

_ＳがＲ

_Ａよりも大きい場合には、要求利回り曲線上の複利利回りＲ

_Ｂは常に要求利回りＲ

_Ａより大きくなる。 逆に、Ｒ

_ＳがＲ

_Ａよりも小さい場合には、

複利利回りＲ

_Ｂは常に要求利回りＲ

_Ａより小さくなる。

これを、数２６の式（２６Ａ），（２６Ｂ）と、数２７

の式（２７）に示す。 【数２６】 【数２７】 これにより偏微分係数の符号が初期データから決定され単調な変化を示すことになる。 【００５３】以上の関係を整理して表に示すと、次の表１のようになる。 【表１】 これらの単調性から、以下のような手順Ｆ１〜Ｆ７で等価利回り曲面を残存年数と利回りを座標とする２次元平面上に射影させ、有利な乗換え銘柄を把握することができる。 また、偏微分係数は考慮している領域で連続で定符号のため、いくつかの点を求めそれらを曲線で滑らかに結ぶことで、等価利回り曲線を近似することができる。 （Ｆ１）購入対象債券のクーポンＣ

_Ｂと残存年限Ｔ

_Ｂの最大最小を調べる。 （Ｆ２）保有債券Ａの売却単価Ｐ

_Ｓから計算される複利利回りＲ

_Ｓと保有銘柄Ａの複利利回りＲ

_Ａを比較し偏微分係数の符号を判断する。 （Ｆ３）対象債券のクーポンＣ

_Ｂに対応して求まる等価利回りの上限曲線と下限曲線を計算する。 なお、上限曲線と下限曲線とを併せて上下限曲線ともいう。 （Ｆ４）残存年数を横軸にとり、利回りを縦軸にとった散布図上に上下限曲線を表示する。 個別銘柄のクーポンに対応した利回り曲線は、これらの上下限曲線に挟まれた領域に存在するので、ユーザーは上下限曲線を参考に乗換え銘柄を選択する。 （Ｆ５）投資家が選択した個別の銘柄に対して、そのクーポンから等価利回り曲線を再計算する。 （Ｆ６）当該利回り曲線を上下限曲線と共に表示する。 （Ｆ７）利回りＲ

_Ａに対し利回りＲ

_Ｂによる偏微分の値が正であることから、当該利回り曲線より上方に位置する債券に乗り換えた場合は、乗換え後の通期の利回りは保有債券Ａの最終利回りＲ

_Ａより大きくなる。 一方、当該利回り曲線より下方に位置する債券に乗り換えた場合は、乗換え後の通期の利回りは保有債券Ａの最終利回りＲ

_Ａより小さくなる。 したがって、単利の場合と同様に、当該利回り曲線は散布図上の平面を、乗換えが有利な領域とそうでない領域とに分割する境界を示すことになる。 【００５４】上記手順により、３つのパラメータを有する乗換え候補銘柄に対して、３次元空間上の等価利回り曲面を考慮することなく、乗換え効果を有する銘柄を選択することができる。 また、式（１４）から単利の場合と同様に通期利回りＲに対して要求利回りをＲ

_Ａ ＋ΔＲ

とすれば、保有債券Ａの利回りに対してΔＲを上乗せした利回り以上の利回りを実現する乗換え債券を見つけ出すこともできる。 【００５５】図６のフローチャートに戻り、ステップＳ

６０４以降の手順を説明する。 複利の場合は、２段階で乗換え等価利回り曲線を決定して行く。 まず、乗換え対象債券のクーポンのうち最大クーポンと最小クーポン及びその残存年数の上下限値を取得し（ステップＳ６０

４）、次にこれらに対して等価利回り曲線（上下限曲線）を演算部１０３で計算し（ステップＳ６０５）、表示部１０４はこれらの２つの等価利回り曲線を散布図上に表示する（ステップＳ６０６）。 【００５６】この散布図上に示された２本の等価利回り曲線を参考に、ユーザーは乗換え債券を仮に選択する（ステップＳ６０７）。 すると、その債券のクーポンに対応する等価利回り曲線が演算部１０３で計算され（ステップＳ６０８）、前述の２本の上下限曲線と共に表示部１０４に表示される。 この等価利回り曲線は、上限曲線と下限曲線とに挟まれた領域内に表示されることになる。 このとき、先に表示されている２本の上下限曲線とは区別できるように色調、線種、太さ等を設定しておく。 この場合の散布図の一例を図８に示す。 散布図には、最低クーポン、最高クーポン及び選択した債券のクーポンに対応する等価利回り曲線の３本が表示される。 【００５７】そして、これらの曲線を参考に乗換え債券を選択してボタンクリックを行うと、図９に示すように、保有債券から選択された債券に乗り換えた場合の利回りの詳細計算画面が表示される（ステップＳ６０

９）。 【００５８】仮に、当該債券が乗換え対象債券として満足せず、当該債券を選択しない場合は（ステップＳ６１

０：Ｎ）、ステップＳ６０７に戻り、債券を選択し直す。 そして選択し直した債券のクーポンに対応する等価利回り曲線を再度計算し、直前に計算した等価利回り曲線を消去し当該曲線を表示する。 ユーザーとしては、上限曲線の上方に位置するドットを選択して当該ドットに対応する債券に満足しない場合は、等価利回り曲線と上限曲線との間に位置するドットを選択して当該ドットに対応する債券を選択することができる。 個別銘柄のクーポンに対応した利回り曲線は、上下限曲線に挟まれた領域に存在するので、ユーザーは上下限曲線を参考に乗換え銘柄を選択することができる。 【００５９】カーソルの先端で選択した債券を乗換え債券として決定する場合には、ステップＳ６１０からステップＳ６１１に移る。 図９の画面上では単利の場合と同様に、欄９４の買付金額を調整し、選択された債券を実際に注文することになる。 【００６０】ところで、単利と複利の何れの場合においても、散布図上で債券に対応するドットをクリックするとその債券の利回りや残存年数の他クーポンや格付け等の属性データが表示される。 これらの情報に基づきユーザーが乗換え債券を設定すると、例えばマウスの右ボタンクリック等で意思表示がなされ詳細な利回り計算の画面に遷移する。 この時点で初めてその債券に対応する乗換え後の利回り計算が実施され、遷移した画面に表示される。 【００６１】上記画面上に遷移した段階で選定された債券を対象として詳細な利回り計算が実施される。 ここでは一例として、ユーザーにとって理解し易いように前述した将来価値から複利利回りを計算する方法をとる。 その計算フローを図１０に示す。 【００６２】まず、ステップＳ９０１では、複利利回り

R*、複利利回りの増分ΔRおよび利回りの許容誤差範囲εの初期値を設定する。 例えば、これらの初期値は、入力部１０１に入力され、この入力により入力部１０１が受け取った初期値は記憶部１０２に一旦記憶され、演算部１０３に供給されるようにしてもよい。 ステップＳ９

０２では式（１１）の左辺−右辺（＝ｈ（R），R＝R*）

を評価し、ステップＳ９０３でその値の正負を判断する。 この値が負の場合は複利利回りがこの値より大きくなるため、ステップＳ９０４においてR*+ΔRをR*にセットする。 この値を用いてｈ（R*）の値を再度評価する。

したがって、ｈ（R*）が正又は０以上になるまでステップＳ９０２からステップＳ９０４を繰り返す。 【００６３】ステップＳ９０５では、複利利回りと繰返し計算の初期化を行う。 ステップＳ９０６では、数１２

に示すｇ（R

_i ）の評価を実施する。 そして、ステップＳ

９０７では、複利利回りR

_i+1を式（１２）の計算手順により計算する。 この値R

_i+1とR

_iを比較しこの差が許容範囲εに収まる（ステップＳ９０８）まで、ステップＳ９

０６からＳ９０９を繰り返す。 【００６４】なお、買付においては最小額面単位による額面の調整や現金化ニーズ等があるため、全額乗換えではなく部分乗換えの場合が起こり得る。 そこで、遷移直後は全額乗換えの額面を表示しておくが、図２のステップＳ２０９や図６のステップＳ６１１に示したように、

買付額面を入力し直すことができるようにしておく。 買付額面を再入力した場合は、下段の「再計算」ボタン９

２をクリックすることにより乗換え後の利回り計算が再度実行される。 【００６５】但し、複利計算の場合において新たに評価すべき複利利回りは次式（２８）の関係を満たす複利利回りとなる。 【数２８】 上式（２８）において、Ｃ

_outは売却代金と買付代金の差額を買付の額面１００円当りに換算した値であり、乗換え後の再投資には回されず現金化されることになる。

全額乗換えを前提として計算した複利利回りを初期値として、図１０に示すような繰返し計算を実行し複利の利回りRを求める。 【００６６】ところで、図５の単利の利回り計算の詳細画面と図９の複利の利回り計算の詳細画面において、表示される数値は全てその計算根拠を明示することが望ましい。 これらの図では本来数値で表示される部分を文字で置き換えて表している。 このような表記によりお互いの数値の関連を一目で理解することができる。 これらの数値を投資家が確認した上で結果に同意すれば、画面下段にある「発注」ボタン９１のクリックにより当該債券の発注が行われることになる。 【００６７】投資家が保有債券を売却し別の債券を買い付ける場合、その効果を把握した上で意思決定を行うことが必要である。 そこで、上記実施形態では、２次元の散布図を用いて乗換え効果のある銘柄を散布図上の領域で表示し、その中から更に投資家によって選択された債券に対して乗換え後利回りを計算する手順とそのプログラムを提供する。 【００６８】したがって、各投資家が買付対象の全債券の乗換え効果を自ら計算して判断する場合に比べ、計算量を軽減でき、計算時間の節約と計算機資源の節約を図ることが可能である。 さらに、投資家毎に計算のプロセスを詳細かつ正確に表現することによって、投資家に対する説明責任を果たすことができる。 【００６９】一方、投資家から見れば保有債券毎に乗換え利回り計算結果が短時間で提供され、無駄な計算時間等を無くすることができる。 また、乗換え利回り計算のプロセスの内容が簡単に確認でき、提示された計算に納得した上での投資判断が可能となる。 【００７０】これらの機能により、投資家と情報提供者側の間のコミュニケーションを円滑化することができるできる効果がある。 【００７１】また、債券投資において、利回りや残存年数以外にも債券の格付け等の信用リスクやクーポンの高低も考慮したい場合は、散布図上で乗換え対象債券をクリックすることにより、これらの情報も同時に考慮しながら銘柄選択ができ、投資判断の妥当性を向上できる効果がある。 【００７２】金利水準が高まると、クーポンの再投資効果が大きくなるため、複利計算が現実的になる。 一方、

金利水準が低い場合は、クーポンの再投資効果が小さいため単利計算が現実的になる。 このことから、投資家の金利水準の見通しに応じて単利と複利の何れか一方を選択して選択されたほうの利回り計算を行うことにより、

投資家の金利見通しに適合した評価が実施できる効果がある。 【００７３】なお、上記本実施形態の債券利回り表示システム又は債券利回り計算装置の機能に相当するプログラム、又は、債券利回り表示方法又は債券利回り計算方法の処理に相当するプログラムを、コンピュータにインストールして実行することで、その機能又は処理を実現させる構成としてもよい。 【００７４】入力部１０１は、情報を受信して受け取る受信装置により構成してもよく、例えば投資家が自分の端末装置に入力した各種情報がインターネットを介して受信装置である入力部に供給され、この受信装置が投資家からの入力情報を受け取る構成にしてもよい。 【００７５】入力部１０１、記憶部１０２、演算部１０

３、及び表示部１０４を顧客端末により構成してもよい。 また、入力部１０１と表示部１０４とを顧客端末により構成し、投資家が入力部１０１に入力した情報がインターネットを介して記憶部１０２に供給され、記憶部１０２の記憶情報から演算部１０３で算出された必要利回りの情報がインターネットを介して顧客端末に返信されて演算部１０３からの情報が顧客端末の表示部１０４

に表示される構成としてもよい。 【００７６】 【発明の効果】以上説明したように、本発明に係る債券利回り表示システム及び債券利回り表示方法によれば、

銘柄乗換え後の通期の要求利回りを実現するような乗換え債券の必要利回りを表示することができ、乗換えの適否に関する判断材料を表示画面に表示して提供することができる。 【００７７】本発明に係る債券利回り計算装置及び債券利回り計算方法によれば、銘柄乗換え後の通期の要求利回りを実現するような乗換え債券の必要利回りを算出することができ、乗換えの適否の境界となる利回りを得ることが可能である。

【図面の簡単な説明】 【図１】本発明の一実施形態の債券利回り表示システムの構成例を示す図である。 【図２】単利の利回り計算を行う場合において債券利回り表示システムの処理の流れを示す概略的なフローチャートである。 【図３】保有債券を保有し続ける場合と、銘柄乗換えを行う場合とを説明するための説明図である。 【図４】単利の利回り計算を行う場合において表示部に表示される散布図の画面例を示す図である。 【図５】単利の利回り計算を行う場合において計算の前提条件及び利回り計算結果の表示画面例を示す図である。 【図６】複利の利回り計算を行う場合において債券利回り表示システムの処理の流れを示す概略的なフローチャートである。 【図７】複利の利回り計算を行う場合において債券利回り計算方法を説明するための図である。 【図８】複利の利回り計算を行う場合において表示部に表示される散布図の画面例を示す図である。 【図９】複利の利回り計算を行う場合において計算の前提条件及び利回り計算結果の表示画面例を示す図である。 【図１０】複利の利回り計算を行う場合において複利利回りRを求める処理の流れを示す概略的なフローチャートである。 【符号の説明】 １０１…入力部、１０２…記憶部、１０３…演算部、１
０４…表示部。