在生产齿轮，特别是在生产锥齿轮和准双曲面齿轮时，通常采用两种方法：滚切法 和非滚切法。
滚切法可以分成两大类，即端面铣切(间断地分齿)和端面滚切(连续地分齿)。在端面 铣切的过程中，旋转的刀具被进给到工件内预定的深度。一旦到达这个预定深度，刀具 和工件便会以一个预定的相对滚切运动而一起滚动，虽然工件是与假想的产形齿轮啮合 转动，但仍可以把它称为产形滚切。假想的产形齿轮的齿可由切除毛坯的刀具面来表 示。齿的齿廓形状是通过刀具和工件在产形滚切过程中的相对运动来成形的。
在端面滚切的过程中，刀具和工件同步地转动，刀具被进给到一定的深度，因此在 刀具一次插入的过程中可成形出所有的齿沟。在到达所需的深度之后，开始产形滚切。
非滚切法，不管是间断地分齿或者是连续地分齿，工件上的齿廓形状是通过刀具的 形状直接仿形制造出来的。刀具进给到工件之中，使工件成形为刀具的形状。当不采用 产形滚切时，在非滚切工艺中采用的是一种以“冠齿轮”形式出现的假想产形齿轮。在 非滚切法中，作为假想齿轮的冠齿轮的齿面与工件的齿面形式互嵌。因此，在非滚切的 工件上成形齿面时，刀具上的切削刃代表了冠齿轮的齿。
工件和产形齿轮之间的相互关系可由一组基本机床参数来加以限定。这些参数把产 形齿轮和工件的有关尺寸和比例联系起来，并且为齿轮设计提供了一个共同的起点，因 而可在多种型号的机床中把设计工艺统一起来。基本的参数总的说明了任何情况下刀具 和工件之间的相对位置。
在本技术领域中用于成形齿轮的基本机床参数是已知的，例如，古德里奇(Goldrich) 的“螺旋锥齿轮和准双曲面齿轮的数控滚切：原理和实践”(格里森工场，纽约州，路 切斯特市，1990)。在该公开的内容中，基本的机床参数是以下的这些：(1)半径S，它 表示摇台轴线和刀具轴线之间的距离；(2)刀倾角Pi，它表示摇台轴线和刀具轴线之间 的夹角；(3)刀转角Pj，它表示刀具轴线相对于摇台上的一固定参考面的方位；(4)摇 台角q，它表示刀具绕摇台轴线的角度位置；(5)根锥角∑，它表示工件座相对于摇台 轴线的方位；(6)床鞍Xb，它表示从机床中心到工件和摇台轴线的交点的距离；(7)工 件座参数Xp，它表示从工件和摇台轴线交点至沿工件轴线到达与工件相距一固定距离 的点的距离；(8)工件的偏移Em，它表示工件轴线和摇台轴线之间的距离；(9)工件 的转动位置Wg；以及(10)刀具的转动位置Wt，它是用于端面滚切的情况。此外，在 滚切法中，必须知道滚比Ra，它是工件的转动相对摇台转动的比值。
在传统的齿轮成形机床中，摇台角、工件转动位置和刀具转动位置在滚齿过程中发 生变化，而其它的参数则基本固定。对此，两个重要的例外情况是螺旋运动，它涉及床 鞍Xb的运动，以及在工件的偏移Em方向上的垂直运动。
传统的用来生产锥齿轮和准双曲面齿轮的机床包括一工件支承机构和一摇台机 构，在滚齿过程中，摇台机构上安装着一个可沿一环形路径绕摇台轴线的盘形刀具。摇 台表示假想的产形齿轮本体，而摇台轴线则对应于假想产形齿轮的轴线。刀具表示产形 齿轮上的一个或多个齿。
传统的机械加工机床可以满足理论上的基本机床(theoretical basic machine)的概 念，因为几乎所有的机床参数都与理论的基本参数相对应。在前述的古德里奇公开的内 容中说明和描述了这样的一种机床。在这种机械加工机床中，基本的参数半径S受到一 个角度机床参数的控制，这个参数是通常由“β”表示的偏心角。
最近已研制出可减少刀具相对工件所必须的机床参数之数量的机床。这些机床能将 传统机械机床的参数和运动转换成一个线性的、旋转的并具枢转轴线的系统，因此可简 化机床并使之更为通用。
Stadtfeld等人的美国专利5,257,882中揭示了一个多轴线机床的例子。在这种机床 中，偏心角、刀转角、刀倾角、以及准双曲面的偏移参数都被取消，但机床上仍出现装 有一偏心滑座的摇台。
Krenzer等人的美国专利4,981,402中揭示了另一种多轴线式或自由式的机床。这 种机床包括六个运动轴线，三个直线的和三个旋转的，以用来使刀具和工件相互定位。 其中的摇台、偏心角、准双曲面齿轮轴偏移以及使刀具定向的角度参数都被取消了。一 计算机对应于传统的机械式齿轮滚切机床的参数来对这六个轴线加以控制。该种机械式 机床的机床参数已经转换成多轴线机床的六个轴线之间的相对运动关系。
然而，虽然多轴线式机床代表了传统机械式机床的一个简化形式，但是所有的设计 计算和有关齿轮的理论仍是基于具有多个固定之机床参数的理论上的基本机床。这种情 况实际上会把现时的多轴线式齿轮加工机床中所能获得的齿轮加工方法限制为：只能复 制先前在老式的机械机床上可获得的运动。
已经有人建议改进齿轮的成形和产形运动的方法，以更精确地控制所生产齿轮的齿 面几何形状。Krenzer的美国专利5,088,243中揭示了这样的一个例子，其中引入了附 加运动，以便控制采用扩口杯型砂轮进行磨齿的工艺。Goldrich的美国专利5,116,173 中揭示了另一种方法，它是在滚齿过程中，改变产形齿轮轴线的位置，并且还改变产形 齿轮齿面。
然而，上述各方法所揭示的改型是基于可在传统机械式机床中获得的、用于限定基 本齿面设计的多个固定的参数来实施的。这些固定的参数可以是由多轴线机床的轴线直 接限定各种运动的叠加，无需考虑理论上的基本机床的轴线。通过这些机床的组合可获 得近似的齿面形状，这是因为基本的理论机床的运动和来自其它机床的实际运动的叠加 可提供一种“双模式(two-model)的加工面，该加工面既不能用齿的接触分析来表示也不 能用齿侧面的数据来表示。
在任何情况下，由于用理论机床的固定参数来计算各种数据，所以齿轮的计算受到 限制。从来就没有实现过基于理论齿轮机床的参数是可调节的或变化的情况下来制造齿 轮。因此，尽管多轴线式的机床能使刀具和工件相互之间取向为几乎任何位置，但是发 现附加运动或自由度会受到理论上的基本机床之固定参数的限制。
发明概要
本发明的方法包括：设置一个齿轮加工机床，所述机床具有一个可绕一工件轴线转 动的被切齿轮以及一个可绕一刀具轴线转动的刀具，刀具和被切齿轮可沿着和/或围绕 多个轴线相对移动。本发明还设置了一个理论上的基本机床，它包括多个机床参数，以 使所述刀具和被切齿轮互相之间相对定位和移动。把所述多个机床参数中的每一个都定 义为可变参数，每个所述可变参数均可由一函数表示，
通过限定每一可变参数的一组系数来确定一所需的齿侧面改型，然后为所述每一可 变参数确定所述系数的基础上，为每一可变参数确定函数。所述函数可以用下面的式子 来表示： $f\left(\theta \right)={\alpha }_0+\frac{{\alpha }_1}{1!}*\mathrm{\Delta \theta }+\frac{{\alpha }_2}{2!}*{\mathrm{\Delta \theta }}^2+\frac{{\alpha }_3}{3!}*{\mathrm{\Delta \theta }}^3+\frac{{\alpha }_4}{4!}*{\mathrm{\Delta \theta }}^4$
其中：f(θ)＝以导程运动形式来定义的函数，
     θ＝导程运动，
     α0，α1，α2，α3，α4＝控制某一特定轴线和导程运动之间相互关系的系数。
可以把这些函数由所述理论机床转换成一齿轮加工机床的轴线配置。通过这样的转 换，可以使在所述理论机床上定义的可变参数运动在所述齿轮加工机床的一根或多根轴 线进行，以便根据所述可变参数函数，用所述刀具从所述被切齿轮上去除坯料。本发明 的方法可施加于滚切或非滚切工艺。
理论机床的可变参数等式可以由沿齿面的整个长度方向单一函数来表示，该函数可 以表述齿面的整个长度方向。然而，在本发明的构思中，还可以沿齿面的长度方向把它 分成两段或更多段，并且对每个段单独施加函数。
利用本发明，可以把先前所有固定的基本机床轴线参数变成可变的，并且把它们用 于表述刀具和被切齿轮之间相对运动，这样就可以提供理论上的基本机床的运动，从而 为齿轮的研制提供额外的自由度。
此外，利用本发明可以克服迄今所采用的以实际和/或数学模型相结合的方法来描述 齿面改型。现在可有一种能描述所有齿面变化的模型，因此可在实际加工齿轮之前，获 得精确的齿面接触分析和齿侧面数据，从而获得所需的齿面形状。
附图的简要说明
图1是一假想的基本齿轮加工机床的示意图，它也可以代表一个传统的机械式机 床；
图2是一自由式的六轴线齿轮加工机床的示意图；
图3是从垂直于机床摇台的方向上看到的、理论上的基本机床的数学模型；
图4是沿图3中的座标Y5-Z5看到的、理论上的基本机床的数学模型；
图5是从顶部看下来的理论上的基本机床的数学模型；
图6是一产形系统的三维立体图；
图7示出了其上带有若干计算点的齿侧面；
图8示出了一包括多个单独沿长度改进段的齿面；
图9示出了根据本发明的齿面改型。
对较佳实施例的详细描述
下面将结合附图来描述本发明。
本发明提供了一种被切齿轮之齿面修正的方法，该方法是基于消除理论上基本齿轮 加工机床的基本参数中固有的一些约束来达成的，假想产形齿轮的齿面以及被切齿轮和 假想齿轮间的相互关系可以这样来加以修正，即，用可允许参数变化的函数来代替固定 的参数，从而影响被切齿轮的齿面几何形状。
图1示出了一假想的基本齿轮机床，它包括一机床座2、一可在附着于机床座2的 导轨6上作线性移动的刀具座4。该基本的机床还包括一可在附着于工作台12的导轨 10上作线性移动的工件座8，所述工作台可在导轨14上沿一个弧形的路径绕枢轴WP 转动。
刀具座4上安装着一个可绕摇台轴线WC转动的摇台16，摇台16上连接着一系列 可调节的鼓轮18、20和22，它们分别控制着偏心角、刀转角和刀倾角。这些鼓轮被 设置成可使刀具24以一个相对被切齿轮26正确转动的方式绕刀具轴线WT转动。
工件座8包括滑动件28，该滑动件上安装着可绕工件轴线WG转动的被切齿轮26。 滑动件28被定位和设置在所需的准双曲面齿轮轴偏移位置上。
理论机床的轴线都具有一齿轮的理论含义。理论上的齿轮机床最好包括八个控制轴 线，但更多一些或少一些也应该在本发明的范围之内。刀具座4在导轨6上移动限定了 床鞍参数Xb，以便控制切削深度。滑动件28的位置控制着垂直运动或准双曲面齿轮 轴偏移Em。工件座8沿导轨10的移动控制着头部参数或节锥参数Xp。工作台12绕 轴线Wp的运动设定了根锥角∑。对鼓轮18的转动调节(偏心角)可调节被切齿轮的螺旋 角。对鼓轮20和22的转动调节可分别设定刀具的轴线位置、刀转角Pj和刀倾角Pi， 这样就可以调节齿侧面的形状并且影响纵向的鼓形齿和啮合的鼓形齿。摇台16的转动 可使产形齿轮绕轴线WC转动(角γ)。刀具和被切齿轮可分别绕轴线WT和WG转动。如 果用滚切(展成)法来生产齿轮，那么还需要一个滚比，它是被切齿轮的转动相对摇台转 动的比值。
图2示出了前述美国专利4,981,402所揭示的自由式齿轮加工机床。该机床包括一 机床座30、刀具座32、以及工件座34。刀具座32的导轨38上安装着刀具滑座36以 便作直线移动(AY)，而刀具座32则安装在机床座48的导轨40上以便作直线运动(AX)。 刀具42安装在刀具滑座36上并且可围绕刀具轴线WT转动。
工件座34安装在工作台44的导轨46上以便作弧形(枢转)运动，而工作台44则安 装在机床座30的导轨48上以便作直线运动(AZ)。被切齿轮50安装在工件座34上，并 且可绕被切齿轮轴线WG转动。
图3、图4和图5是理论上的基本机床的一数学模型的三个不同视图。图3是垂直 于图1中摇台16的正视图。轴线Z3垂直地指向图3。参数Em表示准双曲面齿轮轴偏 移，参数S是偏心角，RCP是刀具半径，Pj是刀具的刀倾角，而γ0是名义的摇台滚动 位置。
图4是垂直于图3中的座标系统Y5-Z5的视图。轴线Y5和Y6之间的夹角Pi表示 刀具座的倾角。
图5是基本理论机床的俯视图。参数Xb是被切齿轮和刀具座之间的调节长度，参 数Xp可调节锥距，∑是工件锥(加工的根锥角)的调节参数，而Xc是刀具座的轴向调节 参数。
图6是一产形滚切系统的三维立体图。对基本机床系统进行一矢量形式的变换，为 齿轮啮合法则(将在下文中加以限定)提供一种矢量的解法。产形齿轮连接在轴线Z3上并 且绕轴线γ3转动。产形齿轮的节锥顶位于离开座标原点的点-TZ3上。被切齿轮连接于轴 线Z2并绕-γ2转动。被切齿轮的节锥顶位于离开座标原点的点TZ2上。准双曲面齿轮轴 偏移是TX。矢量T使被切齿轮相对产形齿轮保持一定的位置。T的每个分量都可以根 据一四次函数来变化。这是相对于基本机床(图1)的螺旋运动Xb、工件座参数Xp以及 准双曲面齿轮轴偏移Em。锥度调节参数∑可根据一四次函数来变化，它是在Ω∑方向上 的转动。RP是一个对产形齿轮的齿侧面的一主点的矢量。
利用齿轮啮合的法则可找到产形点。齿轮啮合法则可以表达成：
|N3×R3|＝|N2×R2|·Ra
对于一个特定的情形，例如一个外齿轮副而言，最多可以有两个矢量解，只有一个 有物理意义。这意味着，对齿轮啮合法则而言，绕轴线Z3旋转的径向矢量R3和一法向 矢量N3只能处在角度位置γ3处，它限定了一个能绕轴线Z2旋转的径向矢量R2，R2具 有一个共线的法向矢量N2，对一个有限的小转动量-γ2而言，如果R2和R3在这种小转 动的情况下接触，那么就能满足Ra相对γ3的比值要求。
因此，矢量RP是围绕Z3转动大约γ3。这就使RP成为解矢量R3。R2是被切齿轮系 统(X2，Y2，Z2)的解矢量。γ2是使被切齿轮的产形点转到转出位置的角度(γ3×Ra这个式 子中，Ra是滚比，它可以是一个与摇台滚动角γ有关的四次函数)。
通过把设计结果转化成一个现实的切削或磨削加工，就可以把基于理论齿轮机床所 进行的齿轮设计计算应用于实际。在采用机械式摇台型机床的情况下，因为摇台型机床 能满足和理论上的基本机床一样概念，所以相对比较简单。
在图2所示的自由式机床的情况下，基本机床的数据转换起来就比较复杂。所有基 本机床的参数必须转换成自由式机床的轴线之间的相互运动关系。还有，基本机床中的 运动关系，像恒定不变的滚动或螺旋运动(图1中导轨6方向上)必须加以转换。工件的 滚动不会再是恒定的，而螺旋运动通常不会取向在机床的长度方向，在滚齿过程中其方 向会改变。已经知道可以把一个基本的或机械式的机床转变成自由式的机床，前述的美 国专利4,981,402中进一步讨论了从机械式机床参数转变成自由式机床多轴线配置的 情况。
任何一种对齿面的改型，例如前述的美国专利5,088,243或5,116,173中的那些改 型，必须被限定在理论上的基本机床上，这样才可以在一机械式机床上或者是当转换成 一自由式机床时实际地实施这些改型。由于理论机床中存在固定参数的限制，所以不能 完全形成齿面的改型，必须使它们接近或叠加到形成基本齿的运动中去。因而，不能精 确地形成出所需的改型齿面。
由于自由式机床和理论上的基本机床有着不同的轴线结构，所以，必须把通过自由 式机床上各轴的运动来所进行的齿面改型叠加到从基本机床参数转换而来的齿轮加工 中去，或者必须有固定参数之约束的理论上的基本机床来改型，用这种机床也能获得的 最佳改型齿面。
由于齿面改型数据不涉及现有的机床或数学模型，所以无论齿面的改型是叠加的或 接近的，都不能获得可靠的齿面接触分析以及齿侧面的数据。用两种方式混合，也就是 假想地叠加自由式的运动或者是假想地组合受限的近似值，也不是精确地和可靠地确定 齿侧面和产形工艺的好办法。在对一模型叠加一分析修正值，或者是把两种模型混合起 来的情况下，齿轮啮合法则只能用于基本齿形，不能用于修正，也不能用于叠加的结果 (基本齿形加上修正值)。在制造一个齿轮或小齿轮之前，不可能知道是否会发生根切、 干涉或二次切削等破坏齿面进而是齿轮的现象。采用一种符合齿轮啮合法则的模式，又 可以检查齿面计算、接触分析以及根切或干涉的现象，所以这样的齿轮计算过程是最经 济的。
业已发现，通过去除理论上的基本机床上的种种固定的参数，可以把齿面改型定义 成基本机床的一个或多个参数。换言之，用本发明可使理论机床的所有参数都变成可变 的或活的。
本发明可使产形齿轮改变其齿面形状，并且可使被切齿轮在滚切的过程中改变其位 置和角度。在已有技术的理论上的基本机床中，产形齿轮的齿侧面和被切齿轮的位置和 角度是固定的。由于这些机床和理论上的基本机床相对应，而且在自由式机床上由于假 想的基本参数转换成自由式机床的轴线配置，所以这些限制也同样出现在实际的机械机 床中。
因为理论上的基本机床的轴线均具有一齿轮的理论名义值，所以每根轴线现都可用 一函数来表示。从几何加工到以运动学为基础的加工需要把所有的机床轴线连接成一个 带有运动关系的导程运动，例如摇台刀转角或被切齿轮刀转角。下面的多项式至少应是 二次等式，最好是一个四次等式。下面总的方程式表示一个优选函数： $f\left(\theta \right)={\alpha }_0+\frac{{\alpha }_1}{1!}*\mathrm{\Delta \theta }+\frac{{\alpha }_2}{2!}{\mathrm{\Delta \theta }}^2+\frac{{\alpha }_3}{3!}*{\mathrm{\Delta \theta }}^3+\frac{{\alpha }_4}{4!}{\mathrm{\Delta \theta }}^4$
其中：f(θ)＝以导程运动形式来定义的函数，
    θ＝导程运动，
    α0，α1，α2，α3，α4＝控制某一特定轴线和导程运动之间相互关系的系数。
尽管多项函数是比较好的，但本发明也可以用其它函数来加以描述，例如指数函 数、对数函数或三角函数。
为了完成整个以动力学为基础进行工作的机床，还必须把产形齿轮和被切齿轮之间 的滚比定义成一个导程运动的多项函数。这个多项函数至少应是一个二次等式，最好是 一个四次等式。 $\mathrm{Ra}={\mathrm{Ra}}_0*(1-\frac{{\mathrm{R\alpha }}_1}{2}*\mathrm{\Delta \theta }-\frac{{\mathrm{R\alpha }}_2}{6}*{\mathrm{\Delta \theta }}^2-\frac{{\mathrm{R\alpha }}_3}{24}*{\mathrm{\Delta \theta }}^3-\frac{R{\alpha }_4}{120}*{\mathrm{\Delta \theta }}^4)$
其中：Ra＝滚比
      Ra0，Ra1，…＝控制刀具与被切齿轮之间相互关系的系数
      Δθ＝导程运动
在滚齿过程中，用摇台的回转角作为导程函数，下面的九个参数在滚齿的过程中是 可变的或“可修正的”，这些参数是：可变的滚比(Ra)、螺旋运动(Xb)、垂直运动(Em)、 可变的偏心度(S)、可变的锥距(Xp)、可变的刀倾角(Pi)、可变的刀转角(Pj)、可变的刀 具座轴向调节度(Xc)、以及可变的根锥角(∑)。
基本的滚切运动可以分成两类，一类是影响滚齿过程中被切齿轮和产形齿轮之间相 互关系，一类是影响产形齿轮齿侧面形状。下面的关系式说明了影响滚齿过程中被切齿 轮和产形齿轮之相互关系的那些滚切运动(螺旋运动Xb、垂直运动Em、可变的锥距 Xp、以及可变的根锥角∑)。这些关系式是： $\mathrm{AS}={\mathrm{AS}}_0+{\mathrm{AS}}_1*\mathrm{\Delta \theta }+\frac{{\mathrm{AS}}_2}{2}*{\mathrm{\Delta \theta }}^2+\frac{{\mathrm{AS}}_3}{6}*{\mathrm{\Delta \theta }}^3+\frac{{\mathrm{AS}}_4}{24}*{\mathrm{\Delta \theta }}^4$ $\mathrm{VAS}={\mathrm{AS}}_1+{\mathrm{AS}}_2*\mathrm{\Delta \theta }+\frac{{\mathrm{AS}}_3}{2}*{\mathrm{\Delta \theta }}^2+\frac{{\mathrm{AS}}_4}{6}*{\mathrm{\Delta \theta }}^3$
其中：AS＝特定的可变参数，
      VAS＝可变参数的第一变型式，
      AS0，AS1，…＝控制刀具和被切齿轮之间相互关系的系数，
      Δθ＝导程运动 利用可变参数的第一变型等式VAS可以计算出由等式AS描述的位置改变的速度。 在滚齿过程中，滚比也会改变产形齿轮和被切齿轮之间的结构。表示滚比Ra的等 式已经在上面给出了。
对于那些会影响产形齿轮齿侧面的滚齿运动(可变的偏心度S、可变的刀倾角Pi、 可变的刀具座轴向调节度Xc、可变的刀转角Pj)而言，下面的等式描述它们之间的关 系： $\mathrm{AS}={\mathrm{AS}}_0+{\mathrm{AS}}_1*\mathrm{\Delta \theta }+\frac{{\mathrm{AS}}_2}{2}*{\mathrm{\Delta \theta }}^2+\frac{{\mathrm{AS}}_3}{6}*{\mathrm{\Delta \theta }}^3+\frac{{\mathrm{AS}}_4}{24}*{\mathrm{\Delta \theta }}^4$ $\mathrm{VAS}=({\mathrm{AS}}_1+{\mathrm{AS}}_2*\mathrm{\Delta \theta }+\frac{{\mathrm{AS}}_3}{2}*{\mathrm{\Delta \theta }}^2+\frac{{\mathrm{AS}}_4}{6}*{\mathrm{\Delta \theta }}^3)*{\Omega }_T$
其中：AS＝特定的可变参数，
      VAS＝可变参数的第一变型式，
      AS0，AS1，…＝控制刀具和被切齿轮之间相互关系的系数，
      Δθ＝导程运动，
      ΩT＝导程运动的速度。
就像上面讨论过的产形齿轮和被切齿轮之间相互关系一样，该等式表示：对产形齿 轮齿侧面的改进型是伴随着由等式乘以导程运动速度之后的第一变型式VAS来产生 的。
在非滚切的齿轮中，可以藉扩口型刀具或砂轮采用成形切削法来生成齿侧面。齿侧 面是刀具沿着环状齿沟并向其移动而“生成”的。这是一种进给运动。根据本发明，具 有可变的或“活的”轴线的理论上的基本机床可以利用例如刀具的进给运动之类的导程 运动来提供任何类型的齿面改型。非滚切法的关系式如下所述： $\mathrm{AS}={\mathrm{AS}}_0+{\mathrm{AS}}_1*\mathrm{\Delta \theta }+\frac{{\mathrm{AS}}_2}{2}{\mathrm{\Delta \theta }}^2+\frac{{\mathrm{AS}}_3}{6}*{\mathrm{\Delta \theta }}^3+\frac{{\mathrm{AS}}_4}{24}{\mathrm{\Delta \theta }}^4$ $\mathrm{VAS}=({\mathrm{AS}}_1+{\mathrm{AS}}_2*\mathrm{\Delta \theta }+\frac{{\mathrm{AS}}_3}{2}*{\mathrm{\Delta \theta }}^2+\frac{{\mathrm{AS}}_4}{6}*{\mathrm{\Delta \theta }}^3){\Omega }_T$
其中：AS＝特定的可变参数，
      VAS＝可变参数的第一变型式，
      AS0，AS1，…＝控制刀具和被切齿轮之间相互关系的系数，
      Δθ＝导程运动，以及，
      ΩT＝导程运动的速度。
当然，因为在非滚切法中没有滚齿运动，所以也没有滚比。然而，必须考虑被切齿 轮的转动WG，而且应该在上述等式中增加被切齿轮相对导程运动的关系。除了被切齿 轮的转动之外，其余的可变参数包括：螺旋运动(Xb)、可变的准双曲面齿轮轴偏移(Em)、 可变的偏心度(S)、可变的锥距(Xp)、可变的刀倾角(Pi)、可变的刀转角(Pj)、可变的刀 具座轴向调节度(Xc)、以及可变的根锥角(∑)。
还应该理解的是，由于在非滚切法中没有出现产形滚切，所以在产形齿轮和被切齿 轮之间也没有相应关系。因此，理论上的基本机床的轴线运动只需要以会影响“产形齿 轮”(即冠齿轮)齿侧面的那些轴线运动来表达刀具和被切齿轮之间的关系。几乎所有的 产形齿轮齿侧面的改型都可以用上述的不超过九根可变轴线(最好是只有四根轴线)来 表述。
可以把分成两类的四根轴线定义为可以完全表述非滚切法中产形齿轮之齿侧面的 改型。第一类包括螺旋运动(Xb)、可变的准双曲面齿轮轴偏移或垂直运动(Em)、可变的 锥距(Xp)、以及可变的根锥角(∑)。第二类包括：螺旋运动(Xb)、可变的偏心度(S)、可 变的锥距(Xp)、以及可变的根锥角(∑)。
无论用何种方式来成形齿侧面，也就是无论用滚切法或非滚切法，通过用一系列计 算点定义所需齿面几何结构，可以较为理想地实施本发明。例如，在一个四次等式中， 在可变参数等式中会出现五个未知数(a0，a1，a2，a3，和a4)。因此，需要五个计算点来提供 同样多的未知数。当然，无论等式的级数如何，齿面计算点的数量都会等于等式中未知 数的数量。
经典的齿轮计算需要从基本的参数开始，对机床的计算通常是基于齿侧面的中心点 (例如图7中的P3)进行的。由于本发明采用了一动力学函数来确定机床参数，所以有可 能获得不从一个计算点定义的齿侧面。在四次函数的情况下，五个计算点可定义五个参 数。
图7示出了一个齿侧面60，其上具有接触线或产形线62以及一接触点路径64。 如果可变参数的等式是四次的，那么它就会有五个未知数，这样就需要五个计算点。由 于齿面是一个展成面，所以可变的参数是：可变的滚比(Ra)、螺旋运动(Xb)、垂直运动 (Em)、可变的偏心度(S)、可变的锥距(Xp)、可变的刀倾角(Pi)、可变的刀转角(Pj)、可 变的刀具座轴向调节度(Xc)、以及可变的根锥角(∑)。
根据齿面在每个点上所需的不同形状，为五个计算点赋予相应于八根轴线的一个相 应值，这样就可以相应于Ra、Xb、Em、S、Xp、Pi、Pj、Xc和∑，沿齿面的长 度方向获得五个计算点。应理解的是，各轴线在一个或多个计算点上的值可以是零。
接着，利用相对某一特定轴线的相应计算点的值解出等式AS中的每一可变参数， 以确定系数a0-a4。这可以用已知方法中优选的Gauss算法来完成。例如，对某一给定 的齿面结构而言，可变的偏心度S可以沿齿的长度方向获得各计算点S(P1)、S(P2)、 S(P3)、S(P4)和S(P5)。用这些值就可以像上述的那样计算出系数S0、S1、S2、S3和 S4。用于经变化的或经修正的偏心度S的等式可以表达成： $S=S_0+S_1*\mathrm{\Delta \theta }+\frac{S_2}{2}*{\mathrm{\Delta \theta }}^2+\frac{S_3}{6}*{\mathrm{\Delta \theta }}^3+\frac{S_4}{24}*{\mathrm{\Delta \theta }}^4$ $\mathrm{VS}=(S_1+S_2*\mathrm{\Delta \theta }+\frac{S_3}{2}*{\mathrm{\Delta \theta }}^2+\frac{S_4}{6}*{\mathrm{\Delta \theta }}^3)*{\Omega }_T$
在这个例子中，Δθ最优是摇台滚动的导程角，而ΩT是摇台的转动速度。
应理解的是，本发明并不限于用上面讨论的那些点来确定系数a0-a4。例如，可通 过限定所需齿轮副的接触特性，或者是通过结合最小乘方法至少用平方法获得的一修正 矩阵来确定各系数。
上述的例子可沿齿面的整个长度方向(如图7所示)应用可变参数等式。然而，采用 表示整个齿面的单个函数来影响齿面端部的结果时，例如，可能会对齿的中央部分带来 不良影响。因此，如图8所示，本发明构思了在齿面上沿长度方向形成两段或更多段(图 8中包括3段)，并且为每一段赋予一个单独的函数。
在该实施例中，可用一组单独的可变参数等式来表述每一段齿面。为了保持每两段 齿面之间的连续性，可以把一段齿面的结束点作为下一段齿面的开始点。应该理解，段 的长度不必相等。
在图8中，段1是齿侧面66的齿根端。该齿根端是齿侧面的进入区。对齿根端进 行修正(改型)的目的是：降低由于一啮合齿的第一接触而造成的噪声。
段2是齿侧面66的中间区域。这个区域应该能在负载下以较小的运动误差来传递 运动。
段3是齿侧面66的齿顶，并且是与实际啮合齿的齿端相接触的出口区域。对该段 进行修正或(改型)可防止边缘接触，并且可提供一个具有最小运动误差的较高的接触 比。
对于齿面的最佳使用状况而言，可以单独地计算出每一段的设定函数的系数。最早 的五个计算点(1-5)是沿滚切路径来选择的。这样就给段1赋予了一个四次函数。
段2的系数也可以由沿滚切路径的五个点(6-10)来限定。为了使段1之接触线的最 后部分与段2之接触线的最先部分相匹配，点5和6可以是相同的。
可以把相应段1和段2描述的同样过程施加于段3的点11-15。为了使段2之接触 线的最后部分与段3之接触线的最后部分相匹配，点10和11可以是相同的。
应该理解的是，尽管这样做是比较好的，但是本发明并不限于使某一段中的最后一 点等同于相邻段中的最初一点。本发明还构思出，在相邻段中的一个或两个相邻段中间 覆盖一段距离的函数，以保持连续。本发明还包括在相邻两段中没有相交之共同点的函 数。
为了获得一个光滑的齿侧面(第二次推导之后获得的稳定的表面)，第一步骤可以包 括描述基本齿侧面(如中心点8所描述的)的所有15个点。在这种情况下，除了零级数 以外，所有的系数都不存在，也就是说它们等于零。这三个段的所有零级系数是相同的。 可对齿面改型施加第二步骤，以改变一个或多个段中的一些或所有的系数。
还应该理解的是，在一个多段的齿面上，可以修正其中的一些段，而在离开由基本 机床轴线参数(只有零级数)所形成的展成面的其它的段中可以没有齿面修正(零修正)。 例如，在一个三段式的齿面中，第一和第三段可以以某些方式加以修正，而中间段可以 没有任何修正。
图9示出了一种齿侧面修正的配置，其中70、72和74分别是一锥齿轮齿的齿顶 面、小端和大端。对小齿轮和大齿轮的修正都可以用数学方法来转化，并且表示成图9 中的齿轮齿面。没有一种严格符合运动学或共轭的齿轮副配置。图9中的曲线图示出了 对共轭面80、82与经改型或最佳的齿侧面76和78之间的差别。
对修正而言最困难的事情是：如果小齿轮或大齿轮是以一种双重双面法生产的，也 就是说刀具同时成形或滚切出两个齿侧面(凸面和凹面)时，小齿轮凸面改型和大齿轮凹 面相配以及小齿轮凹面改型和大齿轮凸面相配都是一个较高阶的修改。
为了在小齿轮的齿侧面上精确地实现图9中的数学模型，螺旋运动Xb、偏心度S、 刀转角 Pj、到倾角Pi、锥距Xp、根锥角∑等机床参数必须能随着一个函数变化，最 好是一个四次函数，但本发明中也构思出至少用一个二次函数。由于所有的基本加工机 床的轴线都有一定的理论含义，所以图9中的面可以分解成图1中的一个四次压力角改 型(图1中的Pj和Pi)、一个四次的螺旋角改型(图1中的S)、一个四次的锥距改型(图1 中的Xp)、一个受到四次螺旋运动(图1中的Xb)影响的四次齿厚改型、一个限定的四次 齿根线改型(图1中的∑)、以及一个四次的滚比改型(Ra)。理想的是，把图9中的齿侧面 分成三段，并且像结合图8讨论的那样，分别对每个段单独地施加一函数。
图1中的轴线q、S、Pj和Pi在图2的自由式机床中是没有的。图1中的轴线Xb、 Xp、Em及∑与图2之自由式机床相应位置上的正交轴线(Ax，Ay，Az)以及枢轴(Ap)有着 不同的含义。在本发明之前，图9中的配置函数只能是这样来接近地获得，即，在基本 机床模型的共轭计算的基础上叠加以自由式机床(图2)的运动。这样叠加的结果是，不 能获得齿面接触分析以及有关现实或数学模型的齿面数据。用两种模型叠加或者是在一 个模型的基础上叠加分析函数，不是一种精确和可靠地定义一个齿侧面和滚切工艺的好 办法。
用两种模型叠加或者是在一个模型的基础上叠加分析函数，不能给出是否能加工最 终所需齿面的信息。由于齿轮啮合法则只能施加于一个模型，所以这意味着干涉、根切 或二次切削会破坏部分齿面。此外，在一个模型中生产(包括修正)一个最优齿面更为有 效。
图9中所示的改型结果考虑到减少滚切噪声、降低灵敏度、提高负载能力的种种要 求。用已有技术的方法，不可能在一个双重双面切削法中产生两个相应的函数以形成图 9中的调节。
利用本发明，除了用单一(间歇式)的分齿法，以及摆线式(端面滚齿)的连续分齿法以 外，可加工出不同的齿曲率。例如，在单一分齿法中可用摆线的导程函数来磨削成形齿 轮。也可以对用端面滚齿法生产的齿轮加以磨削，因为可用一个合适的导程函数来引导 砂轮进入经成形切削的摆线型齿长的齿轮中。
尽管上面结合较佳实施例对本发明进行了描述，但是应该理解，本发明并不限于这 些特定的实施例。在不偏离本发明精神和所附权利要求的基础上作出的种种改动和变 型，对本技术领域的熟练人员而言是显而易见的。