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전기 모터를 제어하는 방법, 제어 유닛 및 전기 모터{METHOD FOR CONTROLLING AN ELECTRIC MOTOR, CONTROL UNIT AND ELECTRIC MOTOR}
본 발명은 전기 모터를 제어하는 방법에 대한 것으로서, 특히 한 개의 자석이 j개 코일(j=1… N)에 대해 위치하고, 힘과 모멘트가 발생하도록 이 자석과 상호작용하는 코일을 통하여 전류 I j 가 흐를 수 있는 평면형 모터, 전기 모터를 제어하기 위한 제어 유닛 및 전기 모터에 관한 것이다.
전기 모터는 다양한 전기 장비, 특히 고정밀 포지션닝(positioning) 장비에 사용된다. 하나의 응용분야는 예를 들면 포토리소그래피(photolithography: 광식각기술) 및 선형 또는 평면형 전기 모터의 도움으로 다른 반도체 공정 동안, 웨이퍼의 포지션닝이다. 미국특허 제 US 2003/0085676 A1호는 6개의 자유도로 이동하고 위치하도록 평면형 모터를 독립적으로 제어하는 방법 및 시스템을 기술한다. 이 전기 평면형 모터는 이동 자석 및 코일 어레이를 포함한다. 코일 어레이의 코일에 인가되는 전 류가 자석과 코일 어레이 사이의 힘을 생성하기 위해 자석 어레이의 자석들의 자기장과 상호작용한다. 발생된 힘은, 제 1, 제 2 및 제 3의 방향에 관해 회전뿐만 아니라 일반적으로 서로 직교하는 제 1, 제 2 및 제 3의 방향으로 코일 어레이에 관하여 자석 어레이의 모션을 제공한다. 미국특허 제 US 2003/0085676 A1호에 따른 방법은 제 1, 제 2 및 제 3 방향의 코일 어레이와 자석 어레이 사이에서 힘을 발생하도록 코일에 인가되는 전류를 결정하는 단계를 포함한다; 즉 결정된 전류에 의해 발생한 힘에 의해 발생한 코일 어레이와 자석 어레이 사이의 제 1, 제 2 및 제 3 방향에 관한 합성 토크를 결정하는 단계; 상기 합성 토크를 상쇄하거나 또는 보상하기 위해 전류 조정을 결정하는 단계; 및 자석 어레이의 자기장과 상호작용하기 위해 코일에 결정된 전류와 결정된 전류 조정의 합을 인가하는 단계. 전기 모터를 제어하기 위한 가능성을 제공하는 것도 바람직하며, 여기서 자석은 하나 이상의 코일에 대하여 위치되며, 전류 (I j , j = 1…N)는 힘과 모멘트가 발생하도록 포지셔닝 및 따라야할 경로에 대하여 고정밀도로 자석과 상호작용하는 코일을 흐를 수 있다.
본 발명의 제 1 측면에 있어서, 자석은 j개 코일(j=1…N)에 대하여 위치하고, 전류(I j )는 힘과 모멘트가 발생되도록 자석과 상호작용하는 코일을 흐를 수 있는, 전기 모터, 특히 평면형 모터를 제어하는 방법이 제공되며, 상기 방법은, 자석과 코일의 현재 상대적인 위치를 결정하는 단계; 현재 위치로부터 원하는 위치로 자석 및 코일의 상대적인 위치를 변화시킬 필요가 있는 모멘트( )와 힘( )을 결정하는 단계; 상기 모멘트( )와 상기 힘( )을 발생시키기 위해 필요한 전류( )를 결정하는 단계로서, 자석-코일의 시스템에 관한 추가 제약조건(constraint)이 전류( )의 정의에 고려되는, 전류를 결정하는 단계; 및 상기 j개 코일에 상기 결정된 전류( )를 인가하는 단계를 포함한다. 자석과 코일 사이의 원하는 상대적인 운동을 위해 필요한 힘 및 모멘트 모두가 초기로부터 고려되는 사실은 운동의 매우 정확한 제어를 허용한다. 또한, 자석-코일의 시스템에 관한 추가 제약조건을 고려함으로써, 전체적으로 시스템은 최적화되고, 유일 전류를 결정하는 가능성을 제공하며, 따라서 제어의 정확도를 형상시키게 된다. 만일 전류(I j )의 개수(N)가 전기 모터의 자유도 개수보다 크다면, 유일 전류( )에 이르게 되어, 본 발명에 따른 방법은 특히 유리하다. 자유도의 개수는 와 의 독립변수 개수와 등가가 된다. 바람직한 실시예에서, 고려되는 추가 제약조건은 효율에 대해 최적화된 전기 모터가 되게 하는, 전기 모터의 총 전력 소모의 최소화이거나, 또는 동작 동안 자석 플레이트의 최소 변형이 될 수 있는 공간에서 힘과 모멘트의 정의된 분포를 가지는 제약조건이다. 본 발명의 최선 실시예에서, 라그랑주의 방법은 유일 전류( )를 결정하기 위해 이용될 수 있다. 전류(Ij )와 라그랑주 곱수(λ i )에 의존하고, 선택된 제약조건 뿐만 아니라 현재 위치로부터 원하는 위치로 자석과 코일 사이의 상대적인 위치를 변화시키기 위해 필요한 힘과 모멘트를 고려하는 함수는 최소화되어, 전류( )가 생성된다. 유리하게는, 현재 위치로부터 원하는 위치로 자석과 코일 사이의 상대적인 위치를 변화시키기 위해 필요한 힘과 모멘트는 계산을 통하여 매 새로운 위치 이후 개별적으로 결정되지 않지만, 그러나 현재 위치로부터 원하는 위치로 자석과 코일의 상대적인 위치를 각기 변화시킬 필요가 있는, 상이한 모멘트( )와 힘( )의 세트가 이전에 계산되고, 데이터베이스로 제공된다. 이는 요구되는 계산 자원을 감소시키고, 제어 동안 반응 시간을 증가시킨다. 본 발명의 다른 측면에서, 자석은 j개 코일(j=1…N)에 대하여 위치하고, 전류는 힘과 모멘트가 발생되도록 자석과 상호작용하는 코일을 흐를 수 있는, 전기 모터, 특히 평면형 모터를 제어하는 제어 유닛이 제공된다. 상기 제어 유닛은, 자석과 코일의 현재 상대 위치에 관한 정보를 수신하기 위한 제 1 입력 수단; 현재 위치로부터 원하는 위치로 자석 및 코일의 상대적인 위치를 변화시킬 필요가 있는 모멘트( )와 힘( )에 관한 정보를 수신하기 위한 제 2 입력 수단; 상기 모멘트( )와 상기 힘( )을 발생시키기 위해 필요한 전류( )를 계산하는 계산 수단으로서, 자석-코일의 시스템에 관한 추가 제약조건이 전류( )의 정의에 고려되는, 필요한 전류를 계산하는 계산 수단; 및 상기 j개 코일(3)에 상기 계산된 전류( )를 인가하기 위해 전류(Ij )를 조정하는 조정 수단을 포함한다. 제어 유닛의 제 2 입력 수단은, 현재 위치로부터 원하는 위치로 자석과 코일의 상대적인 위치를 변화시키기 위해 각기 필요한, 상이한 모멘트( )와 힘( )의 하나의 세트를 저장하기 위한 저장 수단으로서 배열될 수 있거나, 또는 현재 위치로부터 원하는 위치로 자석과 코일의 상대적인 위치를 변화시키기 위해 필요한, 상기 모멘트( )와 힘( )을 계산하는 계산 수단으로서 배열될 수 있다. 본 발명의 마지막 측면에서, 본 발명에 따른 제어 유닛, 자석 및 j개 코일(j = 1…N)을 포함하는, 전기 모터가 제공되며, 여기서, 전류(I j )는, 힘과 모멘트가 발생하도록 상기 자석과 상호작용하는 코일을 흐를 수 있다. 바람직한 실시예에서, 모터는 평면형 모터이고, 최선 실시예에서, 이 평면형 모터는 6개의 자유도를 가진다. 자석에 대하여 코일을 이동시키는 것 코일과 이동하는 자석 둘 다를 이동시키는 것도 가능하다. 그러나, 코일에 대하여 자석을 이동시키는 것이 바람직하다. 이는 코일의 자유로운 동작을 저해하는 호스(hose)와 케이블을 회피하게 한다. 유리하게는, 모터는 자석 및 코일의 상대적인 위치를 측정하기 위한 수단을 가지며, 따라서 제어와 포지셔닝의 정확도를 개선하게 된다. 본 발명의 상세한 설명은 이하에서 제공된다. 상기 설명은 첨부된 도면을 참조하여 이해되도록 하기 위한 비제한적인 예시로서만 제공된다.
도 1은 본 발명에 따른 제어 방법의 실시예를 예시하는 블럭도. 도 2는 본 발명에 따른 제어 유닛과 전기 모터의 실시예를 예시하는 블럭도. ****도면의 주요부호 설명**** 1:전기 모터, 2:자석 3:코일, 4:제어 유닛 5:측정 수단, 41:제 1 입력 수단 42:제 2 입력 수단, 43:계산 수단 44:조정 수단, 101: 설정점 지정 단계 102:힘/모멘트 결정단계 103:전류 결정단계 104:자석이동단계 105:위치 측정단계
도 1은 도 2에 도시된 모터의 제어 루프로서 본 발명에 따른 방법의 실시예를 예시하는 블럭도를 도시한 것이다. 자석 플레이트는 정의된 속도로 지정된 경로 를 따라 이동해야한다. 이러한 동작을 실현하기 위해, 힘과 모멘트는 자석 플레이트 상에 영향을 미쳐야만 한다. 이러한 힘과 모멘트는 코일을 흐르는 전류와 자석 플레이트로부터의 자기장의 상호작용에 의해 발생된다. 이들 전류는 제어될 수 있으며, 이는 플레이트에서 작용하는 힘과 모멘트가 제어될 수 있음을 의미한다. 필요한 힘과 모멘트를 발생시키기 위해, 코일을 흐르는 전류가 규정되어야 한다. 만일 힘과 모멘트가 플레이트에서 작용한다면, 이 플레이트는 이동하여 새로운 위치에 도달할 것이다. 이러한 위치는 자석 플레이트의 위치( )와 방향( )에 대하여 측정된다. 이 제어 루프는 힘과 모멘트 및 이에 따라 전류가 이 플레이트가 지정된 속도로 지정된 경로를 따르도록 규정되는 것을 처리한다. 시작점, 즉 자석과 코일의 제 1 상대적인 위치는 단계(101)에서 설정점(set point)으로서 주어진다. 자석은 지정된 속도로 위치( )와 방향( )에 대한 경로를 따라 이동해야만 한다. 자석에서 동작해야만 하는 필요한 힘과 모멘트는 단계(102)에서 결정된다. 값을 정확하게 계산하는 것뿐만 아니라 사전 설정된 데이터베이스에서 값을 찾는 것도 가능하다. 다음 단계(103)에서, 필요한 전류(Ij )는 결정된 힘과 모멘트가 발생해야 하는 제약조건들 및 예를 들면 힘과 모멘트의 지정된 분포, 또는 최소 전력 소모와 같은 추가 제약조건으로 결정된다. 전류를 결정하기 위한 방법에 관한 예가 아래에 주어질 것이다. 일단 전류가 결정된다면, 이들 전류는 하나 이상의 코일에 인가되며, 따라서, 지정된 속도로 코일에 대한 자석을 위치( )와 방향( )으로 이동시키게 된다 (단계 104). 이후, 현재 상대적인 위치 및 방향이 측정되고(단계 105), 새로운 루프를 위한 시작점으로서 선택된다. 도 2에서 대응하는 전기 모터(1)가 도시된다. 이 전기 모터는 코일(3)의 어레이 위에 위치하는 자석(2)을 갖는다. 자석(2)과 코일(3)은 코일(3)로부터 자석(2)으로 향하는 z-방향을 가지고, xy 평면으로 배열된다. 관찰되는 바와 같이, 단지 30개의 코일은 적어도 자석(2)에 의해 부분적으로 뒤덮인다. 전기 모터의 제어, 특히 필요한 전류의 결정을 간단하게 하기 위해, 힘, 모멘트 및 전류가 결정할 때, 전류가 자석(2)에 의해 적어도 부분적으로 뒤덮인 코일(3)만을 흐르게 하여, 단지 이들 코일만을 고려하는 것이 가능하다. 이후, 경로는 서브-경로로 분할되어야 하고, 각 서브-경로는 자석(2)에 의해 적어도 부분적으로 뒤덮인 한정된 코일(3)의 세트를 갖는다. 자석(2)이 단일 자석이어야 는 것이 아니고, 자석의 어레이일 수 있음을 더 주목해야 할 것이다. 이 어레이는 단지 지정된 힘과 모멘트를 더 복잡하게 한다. 전기 모터(1)는 제어 유닛(4)에 의해 제어된다. 제 1 입력 수단(41)을 통하여, 계산 수단(43)은 자석(2)과 코일(3)의 현재 상대적인 위치에 관한 정보를 얻는다. 이 정보는 예를 들면 레이저가 구비되는 광학 측정에 기반한 측정 수단(5)에 의해 제공될 수 있다. 또한, 이러한 정보는, 적어도 현재 위치에 대응하는, 제 1 설정점(set point)으로서 저장될 수 있다. 그러나, 만일 현재 위치가 적어도 때때로 독립적으로 측정된다면, 정확도가 개선된다. 지정된 힘과 운동량에 관한 정보는 제 2 입력 수단(42)을 통하여 계산 수 단(43)으로 제공된다. 이 입력 수단은 예를 들면, 저장 수단이 될 수 있으며, 이때 데이터베이스는 현재 위치로부터 원하는 위치로 상대적인 위치를 변경시키기 위해 필요한 힘과 모멘트의 세트를 포함한다. 또한, 이 저장 수단은 실제 힘과 모멘트를 계산하기 위한 추가 계산 수단일 수 있으며, 따라서 심지어 계산 수단(43)으로 통합될 수 있다. 모든 정보가 필요하다면, 계산 수단(43)은 결정된 힘 및 모멘트를 발생시키기 위한 필요한 전류를 계산할 수 있다. 계산을 어떻게 행하는 지에 대한 예가 이하에서 주어진다. 이후, 조정 수단(44)은 계산된 전류가 인가되도록 코일 전류를 조정하며, 따라서 코일에 대하여 자석을 지정된 속도로 위치( )와 방향( )으로 이동시키게 된다. 전류( )를 결정하는 가능한 방법이 이동 플레이트, 다수의 고정 코일 및 6개의 자유도를 가지는 평면형 모터의 예에 대하여 이하에서 기술된다. 힘과 모멘트가 자석에 인가되도록, 전류는 코일을 흐르게 된다. 각 전류(I j )는 힘( )과 모멘트( )는 자석 상에 작용하도록 한다. 따라서, 자석 상에 작용하는 총 힘( )과 모멘트( )는 다음식과 같다.
, 여기서, N은 자석에 가해진 부하에 기여하는 전류의 개수이다. 문제는 지정 된 힘( )과 모멘트( )가 자석에 인가되도록 전류(Ij , j = 1…N)을 결정하는 것이다. 유닛 전류(I j ) = 1이라고 간주한다. 코일을 흐르는 이러한 유닛 전류는 자석에 힘( )과 모멘트( )를 가한다. 값(Ij )를 가진 전류는 힘( )과 모멘트( )를 가할 것이다(j에 대한 합은 아님). 모든 전류(I j , j=1…N)의 중첩은 전류가 다음식을 만족하도록 한다.
표기를 단순하게 하기 위해, 우리는 벡터 , 영향 행렬 , 전류 벡터 를 도입한다. 이후 제약조건(2)은 다음식과 같이 다시 쓰인다.
또는 만일 N=6이고 영향 팩터의 행렬이 단수가 아니라면, 전류는 수학식 2의 결과 로서 일어나며 다음식과 같다.
만일 N < 6이고, 영향 팩터(F)의 행렬의 순위가 N과 동일하다면, 그리고 만일 지정된 힘 및 모멘트 가 (j = 1…N)에 의해 미치는 공간에 있다면, 단지 유일 전류(Ij , j=1…N)가 존재한다. 이들 전류는 수학식 3의 최소 제곱에 의해 결정되며, 다음식과 같다.
만일 지정된 힘과 모멘트가 (j = 1… N)에 의해 미치는 공간에 있지 않다면, 지정된 힘 및 모멘트를 발생하는 전류의 조합은 아무것도 존재하지 않을 것이다. 만일 N<6이고, 영향 팩터의 매트릭스의 순위가 N보다 작다면, 그리고 만일 가 (j = 1…N)에 의해 미치는 공간에 있다면, 지정된 힘( )과 모멘트( )를 발생시키기 위한 전류(Ij , j = 1…N)는 유일하지 않다. 이 경우 및 N>6인 경우, 추가 요구가 지정된 힘 및 모멘트를 발생시키기 위해 유일 값(I j )를 획득하기 위해 부과되어야 한다. 일반적으로 말하면, 요구된 힘과 모멘트는 모터의 6개 자유도와 일치하는 6개의 제약조건(constraint)을 나타낸다. 일반적으로, 플레이트에 작용하는 힘과 모멘트에 영향을 미치는 코일의 개수(N)는 6보다 크다. 전류 개수에 대한 일반적인 개수는 20과 30 사이, 예를 들면 27이다. 이후, 문제는 플레이트 상의 필요한 힘과 모멘트가 발생되도록 전류를 어떻게 규정하는 지에 관한 것이다. 따라서, N>6인 변수가 결정되어야 하고, 따라서 6개의 제약조건이 만족된다. 전류는 요구되는 힘( )과 모멘트( )가 발생되는 제약조건을 갖는 최적화/최소화 문제의 해답이 된다. 따라서, 만일 라그랑주 방법을 사용한다면, 전류는 다음식의 함수가 최소값을 가지는 변수가 된다.
여기서, J를 위한 수식에서 지수(i)는 벡터 ( )의 성분을 표시하고, 는 라그랑주 곱수가 된다. 함수 는 전류(I1… I N )과 발생된 힘( )및 모멘트( ) 사이의 관계를 정의한다. 이 경우, 힘과 모멘트는 전류에 의존하여 선형이고, 따라서 , 여기서 텐서( )는 고정 코일에 대하여 자석 플레이트의 위치( )와 방향( )에 의존한다. 함수( )는 요청된 힘 및 모멘트( )가 발생되는 제약조건으로 최소화되는 함수를 정의하며, 의 결정을 고려하기 위한 추가 제약조건과 같다. 이러한 함수( )이 선택되어야만 한다. 따라서, 함수(J)가 최소가 되어야 하는 조건은 유일하게 전류(I 1 … I N )를 결정하기 위해 충분한 추가 조건을 발생시킨다(그리고, 이 조건은 추가로 도입된 소위 라그랑주 곱수 λ 1,... ,λ 6 을 유일하게 결정한다). 요구된 힘( )과 모멘트( )가 발생되는 제약조건으로 일부 함수( )를 최소화하는 유일 전류(I 1 ,...,I N )가 결정된다. 1. 최소 전력소모 최적화되기 위한 함수( )가 선택되어야만 한다. 적절한 선택은 코일의 총 전력 소모이며, 따라서 다음식과 같다.
여기서, R i 는 코일의 저항이고, 전류(I j )에 의해 야기된 전력 소모는 (비합산)이 된다. 만일 N>6이면, 전류(Ij )에 관한 추가적인 요구는 전류의 총 전력 소모가 최소일 수 있다. 다음, 코일을 흐르는 전류는 제약조건(3)으로 총 전력 소모를 최소화함으로써 결정되며, 따라서 전류는 다음식을 최소함으로써 결정된다.
여기서, λ i 는 라그랑주 급수이다. 이 함수는 다음식이 같다면 최소값을 갖는다.
및 (수학식 3) 수학식 3과 수학식 9의 해법을 간단히 하기 위해, 전류는 다음식과 같이 쓰여진다.
또는 수학식 9에서 수학식 10의 대치는 다음식을 산출한다.
따라서, 수학식 11의 해법은 다음식을 산출한다.
라그랑주 곱수(λi)는 제약조건(3)으로부터 얻는다. 수학식 3에서 수학식(10)과 수학식(12)의 대입은 다음식을 산출한다.
또는 또는 여기서, 이다. 따라서, 라그랑주 곱수는 수학식 13으로부터 얻어져야 하고 다음식에 의해 주어진다.
전류 I j 를 얻기 위해, 수학식 12와 수학식 14가 수학식 10에 대입되며, 따라서 다음 수학식이 산출된다.
따라서, 수학식 15에 의해 주어진 전류는 최소 전력 소모로 지정된 힘( )과 모멘트( )를 전달하는 전류가 된다. 예를 들면, 코일의 모든 저항이 동등한 경우를 가정하면, R j = R (j = 1 … N)이다. 따라서 행렬 A(13)과 I(12)는 다음식과 같다. (수학식 E1) , 전류는 다음식에 의해 주어진다. (수학식 E2) 따라서, 예상되는 바와 같이, 전류는 코일의 저항과 독립적이다. 2. 지정된 힘 및 모멘트 분포 또 다른 요구조건은 플레이트에 걸쳐 단위 면적당 요구되는 힘 및 모멘트 분포, 즉 원하는 분포( )가 될 수 있다. 따라서 함수( )은 다음식이 된다.
여기서, 적분은 플레이트의 영역(D)에 대하여 실행되어야만 하고, 는 플레이트의 위치( )에서 플레이트의 단위 면적당 발생된 힘 및 모멘트를 나타낸다. 일반적으로, 실천상의 이유로, 면적분을 계산하기 위해 수치적 방법(예: 이산화)이 사용된다. 플레이트의 영역(D)은 M개의 서브-영역(Dk )으로 분할될 수 있으며, 따라서 D에 대한 적분은 다음식에 의해 근사될 수 있다.
여기서, 는 자석 플레이트의 총 면적(D)의 일부분(Dk )에 작용하는 원하는 힘 및 모멘트를 나타내고, 는 코일을 흐르는 전류로 인해 D k 에 작용하는 힘 및 모멘트를 나타낸다. 이 총 힘 및 모멘트는 다음식에 의해 주어진다.
이러한 총 힘 및 모멘트는 자석 플레이트에 작용하는 요구되는 힘 및 모멘트( )는 과 등가이어야만 한다. 따라서, 최적화될 함수는 다음식이 된다.
더 상세하게, 다수의 면적 요소로 자석 플레이트를 분할해야만 한다. 이들 면적 요소가 반드시 동일할 필요는 없다. 단위 전류(I j )가 1과 같음(I j =1)을 가정한다. 만일 이러한 면적 요소가 모든 다른 영역 요소로부터 분리되는 것으로 가정한다면, 코일을 흐르는 이러한 단위 전류는 각 면적 요소(k)에 힘( )과 모멘트( )를 미치게 될 것이다. 값(Ij )을 가지는 전류는 면적 구성요소(k)에 힘( ) 및 모멘트( )를 미친다(j에 대하여 무합산). 모든 전류(I j , j=1…N)의 중첩은 면적 구성요소(k)에 관한 다음식의 힘( )과 모멘트( )를 산출한다.
, 여기서, M은 면적 구성요소의 번호이다. 자석 플레이트에 작용하는 총 힘과 모멘트는 모든 면적 구성요소의 결합으로부터 획득되며, 따라서 총 힘( )과 모멘트( )는 다음식과 같다.
, 여기서, 는 총 힘과 모멘트가 힘( )과 모멘트( )가 작용하는 면적 구성요소의 위치에 영향을 미치는 점으로부터의 벡터가 된다. 자석 플레이트 상의 힘과 모멘트의 분포는 규정될 수 있다. 만일 이 자석 플레이트가 면적 구성요소에서 분리된다면, 이는 면적 구성요소에 미치는 힘( )과 모멘트( )의 분포가 규정될 수 있음을 의미한다. 따라서, 이 문제는 (대략) 이들 힘과 모멘트 분포를 전달하는 코일을 흐르는 전류를 결정하는 것이다. 그러나, 코일을 흐르는 전류는 자석 플레이트에 작용하는 지정된 총 힘과 총 모멘트를 발생해야만 한다. 따라서, 다음의 최적화 문제가 해결되어야만 한다. 요구되는 총 힘( )과 모멘트( )가 발생되는 제약조건을 가지고, 힘( )과 모멘트( )의 지정된 분포가 최소 제곱법(least square) 의미에서 만족되도록 전류( )를 결정하자. 따라서, 전류는 다음식을 최소화하는 결과로부터 산출된다.
여기서, 와 는 라그랑주 곱수이다. 수학식 22가 최소값을 가지기 위한 조건을 결정하기 위해, 우리는 이를 벡터 성분( )의 함수로 쓰면, 다음식과 같다.
여기서, 만일 sqt가 123, 312, 231이라면 이고, 만일 sqt가 132, 321, 213이라면 이며, 만일 이외의 경우라면 이 된다. 수학식 23의 수식에서, 아인슈타인 합표시 규약(Einstein summation convention)는 지수(n,p,q,r,s 및 t)를 위하여 사용됨을 주목하자(즉 만일 이들이 식에서 두 번씩 나타나게 된다면 이들 지수에 걸친 합이 됨). I i , λ i 및 μ k 에 대한 미분과, 이 결과를 0으로 설정은 다음식을 산출한다.
또는,
만일 수학식 25, 26 및 27이 성취되면, 수학식 22는 최소값을 갖는다. 벡터와 행렬 기호법에서, 이들 수식은 다음식과 같다.
여기서, 행렬 D k 의 성분은 이고, 여기서 εipq 는 다음식과 같다.
다음 정의가 도입된다. (정의) 따라서, 수학식 22의 최소값을 위한 조건인 수학식 28 내지 30은 다음식과 같다.
수학식 32로부터 다음식이 결과로서 산출된다.
이는 다음식과 같이 다시 나타낼 수 있다.
수학식 33과 34에서 수학식 35의 대입은 각기 다음식을 산출한다.
수학식 37과 수학식 38의 결합은 라그랑주 곱수( )에 대한 선형 방정식의 다음 세트가 된다.
따라서, 와 를 위한 해식은 다음식과 같다.
수학식 36으로 수학식 40의 대입은 지정된 힘 및 모멘트의 함수로서, 직접적으로, 전류를 위한 닫힌 수식을 나타낸다. 지정된 힘 분포(force distribution) 및 모멘트 분포는, 예를 들면 균일할 수 있다. 총 힘 및 모멘트가 면적 구성요소에 관한 균일한 힘 및 모멘트 분포의 조건과 면적 구성요소가 크기에서 동등한 조건으로 지정되는 경우, 표면 구성요소(k)에 미치는 힘( )과 모멘트( )는 다음식과 같다. (수학식 E3) 면적 구성요소가 동가가 아니고, 자석 플레이트의 총면적인 인 크기(Ok )를 가지는 경우, 균일한 분포에 속하는 힘( )과 모멘트( )는 다음식과 같다. (수학식 E4) 비록 본 발명의 바람직한 실시예가 기술되었을 지라도, 당업자라면 본 발명의 사상과 개념을 벗어나지 않으면서도 다양한 변화, 변경 및 대체가 이루어질 수 있음을 이해할 것이다. 그러므로, 본 발명은 첨부된 청구항의 적절한 보호범위로 본 발명의 형태 또는 변형 중 임의 하나로 청구된다. 예를 들면, 후속되는 종속 청구항의 특징에 대한 여러 조합이 본 발명의 범위를 벗어나지 않으면서도 독립 청구항의 특징으로 이루어질 수 있다. 더욱이, 청구항의 임의 참조번호 숫자는 범위를 제한하는 것으로 이해되지 않아야 할 것이다.
전술한 바와 같이, 본 발명은 석이 j개 코일(j=1… N)에 대해 위치하고, 힘과 모멘트가 발생하도록 이 자석과 상호작용하는 코일을 통하여 전류 I j 가 흐를 수 있는 평면형 모터, 전기 모터를 제어하기 위한 제어 유닛 및 전기 모터에 이용 가능하다. |
