用于控制电动机的方法、控制单元和电动机

本发明涉及用于控制电动机、特别是平面电动机的方法，其中磁 铁相对于j个线圈放置，j＝1…N，其中电流Ij可以流过该线圈以使得 与该磁铁相互作用产生力和力矩，本发明还涉及用于控制电动机的控 制单元以及电动机。

电动机用于各种电气设备，特别是用于高精度定位的设备。一个 应用领域例如是在线性或平面电动机的帮助下在光刻及其他的半导 体加工中定位晶片。

US 2003/0085676 A1描述了一种用于独立地控制平面电动机以6 个自由度移动和定位的系统和方法。该平面电动机包括动磁铁阵列和 线圈阵列。电流提供给该线圈阵列的线圈，该电流与磁铁阵列的磁铁 的磁场相互作用生成磁铁和线圈阵列之间的力。所生成的力提供该磁 铁阵列相对于该线圈阵列在通常互相垂直的第一、第二和第三方向上 的运动，以及关于第一、第二和第三方向的旋转。

根据US 2003/0085676 A1的方法包括以下步骤：确定施加到线圈 的电流以产生在磁铁阵列和线圈阵列之间的第一、第二和第三方向上 的力；确定由所确定的电流生成的力产生在该磁铁阵列和该线圈阵列 之间的关于第一、第二和第三方向的合转矩；确定用于补偿或抵偿该 合转矩的电流调整量；以及将所确定的电流与确定的电流调整量的和 施加到该线圈以与磁铁阵列的磁场相互作用。

期望提供以关于定位和流过路径的高精度来控制电动机的可能， 其中磁铁相对于一个或多个线圈放置，其中电流Ij，j＝1…N可以流过 该线圈以使得与该磁铁相互作用而生成力和力矩。

在本发明的第一方面中，提出了一种用于控制电动机、尤其是平 面电动机的方法，其中磁铁相对于j个线圈放置，j＝1…N，其中电流 Ij可以流过该线圈以使其与该磁铁相互作用而生成力和力矩，该方法 具有以下步骤：确定磁铁和线圈的当前相对位置；确定将磁铁和线圈 的相对位置从当前位置改变到期望位置所需的力和力矩； 确定用于产生力和力矩所必需的电流Ijnec，其中考虑关于 所述磁铁-线圈系统的更进一步的约束条件以确定该电流Ijnec；以及将 所确定的电流Ijnec施加到j个线圈。

首先考虑磁铁和线圈之间的期望相对运动所必需的力和力矩的 事实允许对该运动进行非常精确的控制。通过考虑关于该磁铁-线圈 系统的更进一步的约束条件，从整体上优化该系统，并且提供确定唯 一电流的可能性，因此提高了所述控制的精确度。

如果电流Ij的数量N大于该电动机自由度的数量，那么根据本发 明的方法特别有利，这将产生所述唯一电流Ijnec。自由度的数量等于 自变量和的数量。

在优选实施方式中，所考虑的更进一步的约束条件是该电动机总 功率损耗的最小化，使得关于效率对该电动机进行优化，或者在空间 上具有规定分布的力和力矩的约束条件，这可以使该磁铁板在运动期 间的变形最小化。

在本发明的最优选实施方式中，采用拉格朗日方法来确定所述唯 一电流Ijnec。对于给定电流Ijnec，使得电流Ij和拉格朗日乘子λi的函数 相关性并且考虑将磁铁的线圈之间的相对位置从当前位置改变到期 望位置所需的力和力矩以及所选择的约束条件最小化。

有利地，用于将磁铁和线圈之间的相对位置从当前位置改变到期 望位置所需的力和力矩不是在每一新位置之后通过计算单独确定的， 而是预先计算一组不同的力和力矩并且将其作为数据库 提供，其中每一个力和力矩都是将磁铁和线圈的相对位置从当前位置 改变到期望位置所需的。这在控制期间减少了所需要的计算资源并且 增加了反应时间。

在本发明的另一方面中，提出了一种用于控制电动机、尤其是平 面电动机的控制单元，其中磁铁相对于j个线圈放置，j＝1…N，其中 电流Ij可以流过所述线圈以使得其与磁铁相互作用而产生力和力矩， 该控制单元设置有第一输入装置，其用于接收关于磁铁和线圈的当前 相对位置的信息；第二输入装置，其用于接收关于将磁铁和线圈的相 对位置从所述当前位置改变到期望位置所需的力和力矩 的信息；计算装置，其用于计算产生该力和力矩所必需的 电流Ijnec，其中考虑磁铁-线圈系统的更进一步的约束条件以确定Ijnec； 以及调节装置，其用于调节电流Ij以将经计算的电流Ijnec施加到j个线 圈。

可以将该控制单元的第二输入装置设置为用于存储一组力 和力矩的存储装置，其中每一个都是将磁铁和线圈的相对位置 从当前位置改变到期望位置所需的，或者可以将该控制单元的第二输 入装置设置为用于计算将磁铁和线圈的相对位置从当前位置改变到 期望位置所需的所述力和力矩的计算装置。

在本发明的最后一个方面中，提供了一种电动机，该电动机包括 磁铁和j个线圈(j＝1…N)以及根据本发明的控制单元，其中电流 Ij可以流过该线圈以使得其与该磁铁相互作用而产生力和力矩。

在优选实施方式中，所述电动机是平面电动机，在最优选实施方 式中，所述电动机是具有6个自由度的平面电动机。

可以使线圈相对于磁铁运动或者使线圈和磁铁两者都运动。但 是，优选的是使磁铁相对于线圈运动。这避免了软管和电缆阻碍线圈 的自由运动。

有利地，电动机具有用于测量磁铁和线圈的相对位置的装置，从 而改善控制和定位的精度。

下面提供本发明的具体说明。所述说明通过参照附图阅读非限制 性实例来提供，在附图中：

图1是说明根据本发明的控制方法的实施例的框图；以及

图2是说明根据本发明的控制单元和电动机的实施例的框图。

图1示出了用于举例说明根据本发明的方法的实施例的框图，其 作为图2所示电动机的控制环。该磁铁板必须以规定的速度沿着规定 的路径运动。为了实现该运动，必须在该磁铁板上施加力和力矩。该 力和力矩由该磁铁板的磁场和流过该线圈的电流之间的相互作用而 产生。该电流可以被控制，这意味着作用于该板的力和力矩可以被控 制。

为了生成所需的力和力矩，必须规定通过该线圈的电流。如果力 和力矩作用于该板，那么该板将运动并到达新的位置。相对于磁铁板 的位置和取向，测量该位置。控制环考虑力和力矩，并由此规定 该电流使得该板以规定的速度沿着规定的路径运动。

在步骤101，将起始点，即磁铁和线圈的第一相对位置作为设定 点给出。该磁铁必须以规定的速度沿着通向位置和取向的路径移 动。在步骤102，确定必须作用于该磁铁的必需的力和力矩。这使得 可以在预定的数据库中查找该值以及按时计算该值。在下一步骤103 中，利用约束条件，即所确定的必须产生的力和力矩以及更进一步的 约束条件(例如，最小功率损耗或者力和力矩的规定分布)来确定所 必需的电流Ij。下面将给出如何确定该电流的实例。

一旦已经确定了该电流，就将其施加到一个或多个线圈，因此相 对于该线圈以规定的速度移动该磁铁到位置和取向(步骤104)。 然后测量当前的相对位置和取向(步骤105)，并将其作为新环路的 起始点。

在图2中，示出了相应的电动机1。该电动机1具有放置在线圈 阵列3上方的磁铁2。磁铁2和线圈3设置在x-y平面中，其中z方 向从线圈3指向磁铁2。可以看出，仅仅30个线圈至少部分被磁铁2 覆盖。为了简化该电动机的控制，尤其是确定所必需的电流，当确定 力、动量和电流时，可以使电流仅仅流经被磁铁2至少部分覆盖的线 圈3并且仅仅考虑这些线圈。然后，路径必须被分成子路径，每个子 路径具有由该磁铁2至少部分覆盖的限定线圈组3。进一步要注意的 是，磁铁2不一定是单个磁铁，还可以是磁铁阵列。这仅仅使得规定 的力和力矩更加复杂。

电动机1由控制单元4控制。通过第一输入装置41，计算装置 43获取关于磁铁2和线圈3的当前相对位置的信息。该信息可以由 测量装置5提供，例如基于利用激光的光学测量。还可以将该信息存 储为相应于最近的当前位置的第一设定点。但是，如果至少有时独立 测量该当前位置，则可以改善精度。

将关于规定的力和动量的信息通过第二输入装置42提供给计算 装置43。第二输入装置42例如可以是存储装置，其中数据库包含用 于将相对位置从当前位置改变到期望位置所需的力和力矩的组。此 外，其还可以是用于计算实际的力和力矩的计算装置，并且甚至也可 以将其集成到计算装置43中。

具有全部所需要的信息，该计算装置43就可以计算用于产生确 定的力和力矩所必需的电流。下面将要给出如何进行计算的实例。于 是，调节装置44调节线圈电流以便施加所计算的电流，从而相对于 线圈3以规定速度移动磁铁2到位置和取向。

在下文中将参照平面电动机的实例来介绍确定电流Ijnec的可行方 法，其中该平面电动机具有移动的板和许多固定的线圈，并且具有6 个自由度。

电流流过所述线圈，从而将力和力矩施加到该磁铁。每一电流Ij 引起作用于该磁铁的力和力矩。因此，作用于该磁铁的合力和 合力矩为

$\overrightarrow{F}=\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\overrightarrow{F}}_j,$ $\overrightarrow{M}=\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\overrightarrow{M}}_j$                                  (1)

其中N是有助于施加到所述磁铁上的负荷的电流的数量。问题在于 确定电流Ij，(j＝1…N)以使得将规定的力和力矩施加到 所述磁铁上。

假设单元电流Ij＝1。通过线圈的该单元电流在磁铁上施加力 和力矩。值为Ij的电流将施加力 ${\overrightarrow{F}}_j={\overrightarrow{F}}_j^1{I}_j$ 和力矩 ${\overrightarrow{M}}_j={\overrightarrow{M}}_j^1{I}_j$ (并非到 j的和)。叠加所有的电流Ij，(j＝1…N)得出该电流必须满足

$\left(\begin{array}{c}{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{presc}}\\ {\overrightarrow{M}}^{\mathrm{presc}}\end{array}\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}\left(\begin{array}{c}{\overrightarrow{F}}_j^1\\ {\overrightarrow{M}}_j^1\end{array}\right)I_j=\left(\begin{array}{ccc}{\overrightarrow{F}}_1^1& ···& {\overrightarrow{F}}_N^1\\ {\overrightarrow{M}}_1^1& ···& {\overrightarrow{M}}_N^1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{I}_1\\ ·\\ ·\\ ·\\ I_N\end{array}\right)$ (2)

为了简化符号表示法，我们引入矢量 ${\overrightarrow{T}}^{\mathrm{presc}}={({\overrightarrow{F}}^{\mathrm{presc}},{\overrightarrow{M}}^{\mathrm{presc}})}^T,$ 影响矩阵 $F=\left(\begin{array}{ccc}{\overrightarrow{F}}_1^1& ···& {\overrightarrow{F}}_N^1\\ {\overrightarrow{M}}_1^1& ···& {\overrightarrow{M}}_N^1\end{array}\right)$ 和电流矢量 $\overrightarrow{I}={(I_1,···{,I}_N)}^T.$ 那么，约束条件(2)被改写 为

${\overrightarrow{T}}^{\mathrm{presc}}=F\overrightarrow{I}$ 或 $T_i^{\mathrm{presc}}=\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{F}_{\mathrm{ij}}{I}_j(i=1···6)$ (3)

如果N＝6并且影响因数的矩阵并非奇异矩阵，那么从(2)得 出的电流为

$\overrightarrow{I}=F^{-1}{\overrightarrow{T}}^{\mathrm{presc}}$ (4)

如果N＜6并且影响因数的矩阵F的秩等于N，如果规定的力和 力矩在取值范围为(j＝1…N)的空间中，则仅 存在唯一电流Ij(j＝1…N)。该电流由(3)的最小平方解确定

$\overrightarrow{I}={\left(F^{T}F\right)}^{-1}{F}^T{\overrightarrow{T}}^{\mathrm{presc}}$ (5)

如果规定的力和力矩不在取值范围为(j＝1…N)的空间 中，那么不存在可以产生所述规定的力和力矩的电流组合。

如果N＜6、该影响因数的矩阵的秩小于N，并且如果 处于取值范围为(j＝1…N)的空间中，那么产生规定的力 和力矩的电流Ij(j＝1…N)不是唯一的。在这种情况下以及N＞6 的情况下，附加要求必须施加于该电流以获得产生所述规定的力和力 矩的唯一值Ij。

一般而言，所需要的力和力矩表示与电动机的6个自由度一致的 6个约束条件。通常，影响作用于所述板的力和力矩的线圈的数量N 大于6。电流数量的典型值在20和30之间，例如为27。然后，问题 在于如何规定所述电流以便在所述板上产生所需的力和力矩。因此， 必须确定N＞6个变量，从而满足6个约束条件。

电流是具有产生所述必要的力和力矩的约束条件的 最优化/最小化问题的解。因此，如果使用拉格朗日方法，那么所述 电流是下述函数的变量，其中下述函数

$J(I_1,...,I_N,{\lambda }_1,...,{\lambda }_6)=G(I_1,...,I_N)-\underset{i=1}{\overset{6}{\Sigma }}{\lambda }_i(T_i^{\mathrm{required}}-T_i(I_1,...,I_N))$ (6)

在该变量处具有其最小值。J的表达式中的下标i表示矢量 $\overrightarrow{T}(\overrightarrow{T}=\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{F}\\ \overrightarrow{M}\end{array}\right))$ 和 的分量，λ1，…，6是拉格朗日乘子。函数定义了电流I1，…，IN及 所产生的力与力矩之间的关系。在这种情况下，力和力矩与所述 电流线性相关，因此 $\overrightarrow{T}=A(\overrightarrow{x},\overrightarrow{\omega })\overrightarrow{I},$ 其中张量取决于磁铁板相对 于固定线圈的位置和取向。利用产生所必需的力和力矩 $({\overrightarrow{T}}^{\mathrm{required}}=\left(\begin{array}{c}{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{required}}\\ {\overrightarrow{M}}^{\mathrm{required}}\end{array}\right))$ 的约束条件，函数G(I1，…，IN)限定该函数最小化， 并且其等价于用于确定Ijnecc而考虑的另外的约束条件。必须选择该函 数G(I1，…，IN)。然后，该函数J必须被最小化的条件产生充分的额外条 件以唯一地确定电流I1，…，IN(并且其唯一地确定额外引入的所谓拉格 朗日乘子λ1，…，λ6)。因此，利用产生必需的力和力矩的 约束条件，确定使函数G(I1，…，IN)最小化的唯一电流I1，…，IN。

1.最小功率损耗

必须选择将受到优化的函数G(I1，…，IN)。适当的选择是所述线圈 中的总功率耗损，因此

$G(I_1,...,I_N)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{R}_i{I}_i^2$ (7)

在式中，Ri是线圈的电阻，而由电流Ij所引起的功率损耗是 $P_j=R_j{I}_j^2$ (并 非总和)。如果N＞6，则对电流Ij的附加要求可以是所述电流的总功 耗最小。

接下来，利用约束条件(3)，通过使总功耗最小来确定通过所 述线圈的电流，因此所述电流通过使下列函数最小来确定

$J(I_1,...,I_N)=\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{R}_j{I}_j^2-\underset{i=1}{\overset{6}{\Sigma }}{\lambda }_i(T_i-\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{F}_{\mathrm{ij}}{I}_j)$ (8)

式中λi是拉格朗日乘子。

该函数具有最小值的条件是

$\frac{\partial J}{\partial I_k}=2R_k{I}_k+\underset{i=1}{\overset{6}{\Sigma }}{\lambda }_i{F}_{\mathrm{ik}}=0$ (k＝1…N)    (9)

以及

$T_i^{\mathrm{presc}}=\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{F}_{\mathrm{ij}}{I}_j$ (i＝1…6)    (3)

为了简化方程(3)和(9)的解，将电流写为

$I_k=\underset{i=1}{\overset{6}{\Sigma }}{\lambda }_i{I}_{\mathrm{ki}},(k=1...N)$ 或 $\overrightarrow{I}=I\overrightarrow{\lambda }$ (10)

在(10)代入(9)得到

$\frac{\partial J}{\partial I_k}=2R_k\underset{i=1}{\overset{6}{\Sigma }}{I}_{\mathrm{ki}}{\lambda }_i+\underset{i=1}{\overset{6}{\Sigma }}{\lambda }_i{F}_{\mathrm{ik}}=\underset{i=1}{\overset{6}{\Sigma }}(2R_k{I}_{\mathrm{ki}}+F_{\mathrm{ik}}){\lambda }_i=0$ (k＝1…N)    (11)

因此解答(11)得到

$I_{\mathrm{ki}}=-\frac{F_{\mathrm{ik}}}{2R_k},(i=1...6)$ (k＝1…N)    (12)

拉格朗日乘子λi根据约束条件(3)得出。将(10)和(12)代入(3) 中得到

$T_i^{\mathrm{presc}}=\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{F}_{\mathrm{ij}}{I}_j=\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{F}_{\mathrm{ij}}\underset{k=1}{\overset{6}{\Sigma }}{\lambda }_k{I}_{\mathrm{jk}}=\underset{k=1}{\overset{6}{\Sigma }}{\lambda }_k\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{F}_{\mathrm{ij}}{I}_{\mathrm{jk}}=\underset{k=1}{\overset{6}{\Sigma }}{\lambda }_k\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{-F_{\mathrm{ij}}{F}_{\mathrm{kj}}}{2R_j}$

或

$T_i^{\mathrm{presc}}=\underset{k=1}{\overset{6}{\Sigma }}{A}_{\mathrm{ik}}{\lambda }_k,(i=1...6)$ 其中 $A_{\mathrm{ik}}=\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{-F_{\mathrm{ij}}{F}_{\mathrm{kj}}}{2R_j}$ (13)

或

${\overrightarrow{T}}^{\mathrm{presc}}=A\overrightarrow{\lambda }$

因此拉格朗日乘子一定从(13)中得出，并由下式给出

$\overrightarrow{\lambda }=A^{-1}{\overrightarrow{T}}^{\mathrm{presc}}$ (14)

为了得到电流Ij，将(12)和(14)代入(10)中，那么

$I_k=\underset{i=1}{\overset{6}{\Sigma }}{\lambda }_i{I}_{\mathrm{ki}}=\underset{i=1}{\overset{6}{\Sigma }}{\lambda }_i\frac{-F_{\mathrm{ik}}}{2R_k}$ (k＝1…N)    (15)

因此，由(15)给出的所述电流是以最小的功率损耗发出所述规 定的力和力矩的电流。

作为实例，考虑所述线圈的全部电阻都相等的情形，因此Rj＝R (j＝1…N)。那么矩阵A(13)和I(12)是

$A=\frac{-1}{2R}{\mathrm{FF}}^T,$ $I=\frac{-1}{2R}{F}^T$ (E.1)

并且电流由下式给出

$\overrightarrow{I}={\mathrm{IA}}^{-1}{\overrightarrow{T}}^{\mathrm{presc}}=\frac{-1}{2R}{F}^T{\left(\frac{-1}{2R}{\mathrm{FF}}^T\right)}^{-1}{\overrightarrow{T}}^{\mathrm{presc}}=F^T{\left({\mathrm{FF}}^T\right)}^{-1}{\overrightarrow{T}}^{\mathrm{presc}}$ (E.2)

因此，如所期望的，所述电流与所述线圈的电阻无关。

2.规定的力和力矩的分布

另一个需求可以是在所述板上每一单位面积分布的期望的力和 力矩，因此期望的分布于是函数G(I1，…，IN)变成

$G(I_1,...,I_N)=\underset{D}{\int \int }({\overrightarrow{T}}_{\mathrm{dis}}^{\mathrm{desired}}\left(\overrightarrow{x}\right)-{\overrightarrow{T}}_{\mathrm{dis}}\left(\overrightarrow{x}\right))·({\overrightarrow{T}}_{\mathrm{dis}}^{\mathrm{desired}}\left(\overrightarrow{x}\right)-{\overrightarrow{T}}_{\mathrm{dis}}\left(\overrightarrow{x}\right))\mathrm{da}$ (16)

其中积分必须在板的面积D上执行，并且表示在板的位置处 的板的每一单位面积所产生的力和力矩。由于实际原因，通常使用数 值法(例如离散化)来计算所述面积分。可以将板的面积D分成M 个子面积Dk，于是D上的积分可由下式近似

$G(I_1,...,I_N)\approx \underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}({\overrightarrow{T}}_{\mathrm{dis},k}^{\mathrm{desired}}-{\overrightarrow{T}}_{\mathrm{dis},k})·({\overrightarrow{T}}_{\mathrm{dis},k}^{\mathrm{desired}}-{\overrightarrow{T}}_{\mathrm{dis},k})$ (17)

在式中，表示期望的作用于磁铁板的总面积D的部分Dk的力和 力矩，而 ${\overrightarrow{T}}_{\mathrm{dis},k}=A^k\overrightarrow{I}$ 表示由流过所述线圈的电流引起的作用在Dk的力 和力矩。合力和合力矩的由下式给出

${\overrightarrow{T}}^{\mathrm{total}}=\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}{\overrightarrow{T}}_{\mathrm{dis},k}=\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}{A}^k\overrightarrow{I}=A\overrightarrow{I}$ (18)

该合力和合力矩的必须等于所必须的作用于磁铁板上的力和力矩。因 此，被最优化的函数变成

$J(I_1,...,I_N,{\lambda }_1,...,{\lambda }_6)=\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}\{({\overrightarrow{T}}_{\mathrm{dis},k}^{\mathrm{desired}}-A^{k}I)·({\overrightarrow{T}}_{\mathrm{dis},k}^{\mathrm{desired}}-A^{k}I)\}-\overrightarrow{\lambda }·({\overrightarrow{T}}^{\mathrm{required}}-\mathrm{AI})$ (19)

更详细地，必须将所述磁铁板划分为多个面元。这些面元不必相 等。假定单位电流Ij＝1。如果假设该面元与所有其他面元分开，那么 通过线圈的该单位电流在面元k上施加力和力矩。值为Ij的电 流在面元k上施加力 ${\overrightarrow{K}}_j^k={\overrightarrow{A}}_j^k{I}_j$ 和力矩 ${\overrightarrow{L}}_j^k={\overrightarrow{B}}_j^k{I}_j$ (并非到j的和)。叠加 所有电流Ij，(j＝1…N)得到面元k上的下列的力和力矩

${\overrightarrow{F}}^k=A^k\overrightarrow{I},$ ${\overrightarrow{M}}^k=B^k\overrightarrow{I},$ k＝1，…，M，    (20)

在式中，M是面元的数量。作用在所述磁铁板上的合力和合力矩从耦 合的全部面元得出，因此合力和合力矩为

${\overrightarrow{F}}^{\mathrm{tot}}=\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}{\overrightarrow{F}}^k=\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}{A}^k\overrightarrow{I},$ ${\overrightarrow{M}}^{\mathrm{tot}}=\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}({\overrightarrow{M}}^k+{\overrightarrow{x}}^k\times {\overrightarrow{F}}^k)=\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}(B^k\overrightarrow{I}+{\overrightarrow{x}}^k\times A^k\overrightarrow{I})$ (21)

在式中，是从合力和合力矩所作用的点到力和力矩所作用的 面元上的位置的矢量。

可以规定在所述磁铁板上的力和力矩的分布。如果以面元离散化 所述磁铁板，那么这意味着可以规定作用于所述面元的力和力矩 的分布。然后，问题是确定通过所述线圈的电流，其产生(近似) 这些力和力矩分布。然而，流经所述线圈的电流必须产生规定的作用 于所述磁铁板上的合力和合力矩。因此，必须解决下面的优化问题。

利用产生必需的合力和合力矩的约束条件，确定电流以 使得力和力矩的规定分布满足最小平方。因此，所述电流根据 使下列函数最小得出

$J(\overrightarrow{I},\overrightarrow{\lambda },\overrightarrow{\mu })=\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}\{({\overrightarrow{F}}^k-A^k\overrightarrow{I})·({\overrightarrow{F}}^k-A^k\overrightarrow{I})+({\overrightarrow{M}}^k-B^k\overrightarrow{I})·({\overrightarrow{M}}^k-B^k\overrightarrow{I})\}$

$-\overrightarrow{\lambda }·({\overrightarrow{F}}^{\mathrm{tot}}-\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}{A}^k\overrightarrow{I})-\overrightarrow{\mu }·({\overrightarrow{M}}^{\mathrm{tot}}-\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}(B^k\overrightarrow{I}+{\overrightarrow{x}}^k\times A^k\overrightarrow{I}))$ (22)

在式中，和是拉格朗日乘子。

为了确定函数(22)具有最小值的条件，我们将其写成矢量、 和的分量的函数，因此

$J(I_i,{\lambda }_j,{\mu }_k)=\underset{m=1}{\overset{M}{\Sigma }}\{({{\overrightarrow{F}}_n}^m-A_{\mathrm{np}}^m{I}_p)·({{\overrightarrow{F}}_n}^m-A_{\mathrm{np}}^m{I}_p)+(M_n^m-B_{\mathrm{np}}^m{I}_p)·(M_n^m-B_{\mathrm{np}}^m{I}_p)\}$

$-{\lambda }_r·({\overrightarrow{F}}_r^{\mathrm{tot}}-\underset{m=1}{\overset{M}{\Sigma }}{A}_{\mathrm{rp}}^m{I}_p)-{\mu }_s·(M_s^{\mathrm{tot}}-\underset{m=1}{\overset{M}{\Sigma }}(B_{\mathrm{sp}}^m{I}_p+{ϵ}_{\mathrm{sqt}}{x}_q^m{A}_{\mathrm{tp}}^m{I}_p))$ (23)

在式中，

如果sqt为123，312，231，则εsqt＝1，

如果sqt为132，321，213，则εsqt＝-1，

否则，εsqt＝0。

注意在函数(23)的表达式中，爱因斯坦求和约定用于下标n， p，q，r，s和t(即，如果它们在一项中出现两次，则对这些下标求 和)。关于Ii，λj，和μk进行微分，并将其结果设为零，得到

$0=\frac{\partial J}{\partial I_i}=\underset{m=1}{\overset{M}{\Sigma }}\{-2({{\overrightarrow{F}}_n}^m-A_{\mathrm{np}}^m{I}_p)A_{\mathrm{ni}}^m-2(M_n^m-B_{\mathrm{np}}^m{I}_p)B_{\mathrm{ni}}^m\}$

$-{\lambda }_r\underset{m=1}{\overset{M}{\Sigma }}{A}_{\mathrm{ri}}^m-{\mu }_s\underset{m=1}{\overset{M}{\Sigma }}(B_{\mathrm{si}}^m+{ϵ}_{\mathrm{sqt}}{x}_q^m{A}_{\mathrm{ti}}^m)$ (24)

或者

$0=\frac{\partial J}{\partial I_i}=-2\underset{m=1}{\overset{M}{\Sigma }}(A_{\mathrm{ni}}^m{{\overrightarrow{F}}_n}^m+B_{\mathrm{ni}}^m{M}_n^m)+2\underset{m=1}{\overset{M}{\Sigma }}(A_{\mathrm{ni}}^m{A}_{\mathrm{np}}^m+B_{\mathrm{ni}}^m{B}_{\mathrm{np}}^m)I_p$

$+\underset{m=1}{\overset{M}{\Sigma }}{A}_{\mathrm{ri}}^m{\lambda }_r+\underset{m=1}{\overset{M}{\Sigma }}(B_{\mathrm{si}}^m+{ϵ}_{\mathrm{sqt}}{x}_q^m{A}_{\mathrm{ti}}^m){\mu }_s$ (25)

$0=\frac{\partial J}{\partial {\lambda }_j}=-(F_j^{\mathrm{tot}}-\underset{m=1}{\overset{M}{\Sigma }}{A}_{\mathrm{jp}}^m{I}_p)$ (26)

$0=\frac{\partial J}{\partial {\mu }_k}=-({M_k}^{\mathrm{tot}}-\underset{m=1}{\overset{M}{\Sigma }}(B_{\mathrm{kp}}^m{I}_p+{ϵ}_{\mathrm{kqt}}{x}_q^m{A}_{\mathrm{tp}}^m{I}_p))$ (27)

如果(25)、(26)和(27)被实现，则函数(22)具有最小值。 在矢量和矩阵表示中，这些表达式变为

$\overrightarrow{0}=-2\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}\{{\left(A^k\right)}^T{\overrightarrow{F}}^k+{\left(B^k\right)}^T{\overrightarrow{M}}^k\}+2\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}\{{\left(A^k\right)}^T{A}^k+{\left(B^k\right)}^T{B}^k\}\overrightarrow{I}$

$+\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}{\left(A^k\right)}^T·\overrightarrow{\lambda }+\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}\{{\left(B^k\right)}^T+{\left(D^k\right)}^T\}·\overrightarrow{\mu }$ (28)

$\overrightarrow{0}=-{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{tot}}+\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}{A}^k\overrightarrow{I}$ (29)

$\overrightarrow{0}=-{\overrightarrow{M}}^{\mathrm{tot}}+\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}\{B^k+D^k\}\overrightarrow{I}$ (30)

在式中，矩阵Dk的分量是 $D_{\mathrm{ij}}^k={ϵ}_{\mathrm{ipq}}{x}_p^k{A}_{\mathrm{qj}}^k,$ 其中

如果ipq为123，312，231，则εipq＝1，

如果ipq为132，321，213，则εipq＝-1，    (31)

否则，εipq＝0。

接下来介绍下列定义

$A=\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}{A}^k$

$B=\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}{B}^k$

$C=\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}\{{\left(A^k\right)}^T{A}^k+{\left(B^k\right)}^T{B}^k\},$

$D=\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}{D}^k$

$\overrightarrow{E}=2\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}\{{\left(A^k\right)}^T{\overrightarrow{F}}^k+{\left(B^k\right)}^T{\overrightarrow{M}}^k\}$

于是，函数(22)的最小化条件(28)-(30)变成

$C\overrightarrow{I}=\overrightarrow{E}-A^T\overrightarrow{\lambda }-{(B+D)}^T\overrightarrow{\mu }$ (32)

${\overrightarrow{F}}^{\mathrm{tot}}=A\overrightarrow{I}$ (33)

${\overrightarrow{M}}^{\mathrm{tot}}=(B+D)\overrightarrow{I}$ (34)

根据(32)，由此得出

$\overrightarrow{I}=C^{-1}\overrightarrow{E}-C^{-1}{A}^T\overrightarrow{\lambda }-C^{-1}{(B+D)}^T\overrightarrow{\mu }$ (35)

可以重写为

$\overrightarrow{I}=C^{-1}\overrightarrow{E}-C^{-1}{\left(\begin{array}{c}A\\ B+D\end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{\lambda }\\ \overrightarrow{\mu }\end{array}\right)$ (36)

将(35)分别代入(33)和(34)中，

${\overrightarrow{F}}^{\mathrm{tot}}=A{C}^{-1}\overrightarrow{E}-A{C}^{-1}{A}^T\overrightarrow{\lambda }-A{C}^{-1}{(B+D)}^T\overrightarrow{\mu }$ (37)

${\overrightarrow{M}}^{\mathrm{tot}}=(B+D)C^{-1}\overrightarrow{E}-(B+D)C^{-1}{A}^T\overrightarrow{\lambda }-(B+D)C^{-1}{(B+D)}^T\overrightarrow{\mu }$ (38)

结合(37)和(38)给出拉格朗日乘子和的下列线性方程组

${\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{AC}}^{-1}{A}^T& {\mathrm{AC}}^{-1}{(B+D)}^T\\ (B+D)C^{-1}{A}^T& (B+D)C^{-1}{(B+D)}^T\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{\lambda }\\ \overrightarrow{\mu }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}A\\ B+D\end{array}\right)C^{-1}\overrightarrow{E}-\left(\begin{array}{c}{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{tot}}\\ {\overrightarrow{M}}^{\mathrm{tot}}\end{array}\right)$ (39)

因此和的解为

$\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{\lambda }\\ \overrightarrow{\mu }\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{AC}}^{-1}{A}^T& {\mathrm{AC}}^{-1}{(B+D)}^T\\ (B+D)C^{-1}{A}^T& (B+D)C^{-1}{(B+D)}^T\end{array}\right)}^{-1}\{\left(\begin{array}{c}A\\ B+D\end{array}\right)C^{-1}\overrightarrow{E}-\left(\begin{array}{c}{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{tot}}\\ {\overrightarrow{M}}^{\mathrm{tot}}\end{array}\right)\}$ (40)

将(40)代入到等式(36)中计算出来得到该电流的数学表达式， 将其直接作为规定的力和力矩的函数。

规定的力的分布和力矩分布可以例如是均匀的。在这种情况下， 利用在面元上的均匀力和力矩分布的条件以及利用面元是大小相等 的条件来规定合力和合力矩，作用于表面单元k的力和力矩为

${\overrightarrow{F}}^k=\frac{1}{M}{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{tot}},{\overrightarrow{M}}^k=\frac{1}{M}({\overrightarrow{M}}^{\mathrm{tot}}-\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}{\overrightarrow{x}}^i\times {\overrightarrow{F}}^i)$ (E.3)

在面元并不相等并且大小为Ok的情况下，其中 $O=\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}{O}^k$ 是磁铁板 的总面积，属于均匀分布的力和力矩为

${\overrightarrow{F}}^k=\frac{O^k}{O}{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{tot}},{\overrightarrow{M}}^k=\frac{O^k}{O}({\overrightarrow{M}}^{\mathrm{tot}}-\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}{\overrightarrow{x}}^i\times {\overrightarrow{F}}^i)$ (E.4)

尽管已经介绍了本发明的几个优选实施例，但是本领域技术人员 应该意识到，在不偏离本发明的精神和原理的情况下，可以进行各种 改变、变更和置换。因此，利用所附权利要求的适当范围，以其任何 形式或改进要求本发明的权利。例如，在不偏离本发明范围的情况下， 将下述从属权利要求的特征与独立权利要求的特征进行组合。此外， 不应该将权利要求中的任何附图标记理解为是对保护范围的限制。

附图标记列表：

1电动机

2磁铁

3绕组

4控制单元

5测量装置

41第一输入装置

42第二输入装置

43计算装置

44调节装置

101指定设定点的步骤

102确定力/力矩的步骤

103确定电流的步骤

104移动磁铁的步骤

105测量位置的步骤