二阶波动方程的非分裂完全匹配层的构造方法
专利汇可以提供二阶波动方程的非分裂完全匹配层的构造方法专利检索，专利查询，专利分析的服务。并且本 发明 属于数值仿真技术领域，具体为一种构造二阶 波动 方程 的非分裂完全吸收匹配层的方法。该方法直接采用坐标变换得到二阶方程的完全匹配层的频域表达式；对得到的频域表达式以 角 频率 为中心进行分式分解，调整其结构；通过引入辅助变量，构造辅助微分方程的方法，得到简洁的完全匹配层的时域表达式。在本方法中，引入的辅助微分方程都为形式相同的一阶微分方程，大幅降低仿真中的离散化难度，提高了执行效率，降低了匹配层执行所需的存储量。本发明能作为一种有效边界条件，应用于基于二阶方程的数值仿真中。，下面是二阶波动方程的非分裂完全匹配层的构造方法专利的具体信息内容。
1.一种二阶波动方程的非分裂完全匹配层的构造方法，其特征在于具体步骤为： （1）基于伸缩坐标变换，采用直接求导的方法，构造二阶波动方程的PML的频域表达式；
（2）以角频率为中心变量，进行因式分解，逐步引入辅助变量，构造辅助微分方程，得到时域表达式。
2.根据权利要求1所述的构造方法，其特征在于：构造二阶波动方程的PML频域表达式的步骤为：
对于空间坐标，通过直接微分求导的方法得到PML的频率表达式:
(1)
其中 ，为伸缩坐标变换算子， 为sx关于x的导数，ω 为角频率，j 为
虚数单位；通过方程（1）直接得到二阶波动方程x 方向上的频域表达式：
（2）
其中 为声压u的频率表示，c为声速， 为衰减系数， 为其关于x的导数；
采用相同的处理方式，即得二阶波动方程y，z方向上的频域表达式：
（3）
（4）
其中 分别为y, z方向上的衰减参数， 分别为其关于y,z的导数。
3.根据权利要求2所述的构造方法，其特征在于得到时域表达式的具体步骤为：
对方程（2）右边各项以角频率为中心进行因式分解：
（5）
引入辅助变量u1， 将（5）式写为：
（6）
其中u1满足：
（7）
由（7）式得到：
（8）
其中u2满足：
（9）
由上式得到：
（10）
（11）
（6）、（8）、（10）、（11）为PML频域表达式，通过傅立叶反变换，得到它们相应的x 方向上的PML时域表达式：
(12a)
(12b)
(12c)
(12d)
根据上述处理x 方向上的方法，可得到y 方向上的PML时域表达式：
(13a)
(13b)
(13c)
(13d)
z 方向上的PML时域表达式：
(14a)
(14b)
(14c)
(14d)。
4.根据权利要求2或3所述的构造方法，其特征在于：对坐标变换的其它算子sx ：
直接推广到其它形式的二阶波动方程；σx ,kx ，ɑx为衰减参数。
二阶波动方程的非分裂完全匹配层的构造方法
技术领域
背景技术
程，如超声非线性成像模拟中运用广泛的全波模型和Westervelt 模型 ，因此找到一种有效的适用于二阶波动方程的PML对此类仿真具有重要意义。另外，二阶形式的方程由于只涉及一个主要变量，在迭代和计算上也具有优势。目前很多商业有限元仿真软件是以二阶方程为核心，二阶形式的方程更便于采用这些软件直接进行仿真。若将二阶方程化为一阶方程组，则会破坏原来方程的结构，增加计算的复杂度。
额外存储量较大，计算量大。第二种是一种混合形式（mixed form）的方法 ，它形式上是二阶的，但执行以一阶的方式进行。该方法的主要缺点是破坏了原二阶方程的执行结构，处理不便，计算量较大。
发明内容
2、以角频率为中心变量，进行因式分解，逐步引入辅助变量，构造辅助微分方程，得到时域表达式。
（1）
[8]
以x 方向为例，推导二阶波动方程的PML。根据伸缩变换法 ，PML的构造可通过如下变换实现：
（2）
因为σx是关于x的函数。故有：
（3）
通过式（1）和式（3）可直接得到二阶波动方程x 方向上的频域表达式为：
（4）
其中 ，为伸缩坐标变换算子， 为sx关于x的导数，ω为角
频率，j为虚数单位；为声压u的频率表示；c为声速。 为衰减系数， 为其关于x的导数。
（6）
其中 分别为y, z 方向上的衰减参数， 分别为其关于y,z 的导数。
引入辅助变量u1 ，将式（7）式写为如下两式：
（8）
（9）
式（7）两边同时乘以jω+σx，可得：
（10）
其中u2满足：
（11）
式（11）两侧同时乘以jω+σx ，可得：
（12）
其中：
（13）
由上式可得：
（14）
将（8）、（10）、（12）、（14）变回时域，可得最终x 方向上的PML时域表达式：
(15a)
(15b)
(15c)
(15d)
用与上述相同的方法，可以得到y 方向的PML时域表达式为：
(16a)
(16b)
(16c)
(16d)
z 方向的PML时域表达式为：
(17a)
(17b)
(17c)
(17d)
最后可采用数值方法离散化所得到的时域方程。
具体实施方式
表一为两种方法取不同层数（M）时,在A点的最大相对误差。可看到两种方法的误差都较小，同时误差结果相近。表二为相同运行环境下，30层PML运行1000时间步所用的总时间和所需的总的额外存储变量数。从表中可看到，本发明的算法可节约17%左右的运行时间，更重要的是，可显著减少所需的额外存储变量。
M 30 50 70
经典方法 -41.82dB -52.57dB -60.03dB
本发明方法 -41.98dB -52.60dB -60.25dB
表二
本发明方法 经典方法
计算时间 29.97s 36.44s
额外存储变量数 54000 158000
参考文献
[1] Berenger J P. A Perfectly Matched layer for the absorption of electromagnetic waves. Journal of computational Physics, 1994; 114(2):
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[5] LI X..PML condition for the numerical simulation of acoustic wave.2010 International Conference on Computing, Control and Industrial Engineering,
2010; 2:129-132
[6] 朱兆林,马在田.各向异性介质中二阶弹性波动方程模拟PML吸收边界条件.大地测量与地球动力学，2007；27(5):54-59.
[7] Li Y. F., Matar O. B., “Convolutional perfectly matched layer for elastic second-order wave equation,” J. Acoust. Soc. Am., vol.127, no.3, pp.1318-1327, 2010.
[8]Chew W C, Weedon W H. A 3D perfectly matched medium from modified Maxwell’s equations with stretched coordinates. Microwave Opt. Tech. Lett.,
1994; 7(13):599-604。
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