技术领域
[0001] 本
发明涉及一种用于复合材料本构方程参数确定的多目标优化方法，尤其涉及一种考虑测量误差加权复合材料本构方程参数确定的多目标优化方法，属于材料
力学性能表征、机械制造和数值分析技术邻域。
背景技术
[0002] 颗粒增强
金属基复合材料具有低温性能，高强重比，良好的
耐磨性和低
热膨胀系数，但
机械加工性差的特点。为了实现颗粒增强金属基复合材料加工所要求的
质量，实验研发成本往往很高，且耗时长。因此，针对难加工材料加工，采用有限元仿真技术研究切削的机理，优化切削工艺和再设计刀具具有巨大的应用价值和现实意义。为了实现数值计算与实际加工实验相匹配的结果，开发在切削加工中能反映材料力学行为的本构模型至关重要。建立和应用合适本构模型的关键点在于所采用的本构模型与实验数据的匹配性，因为本构模型应该能反映在材料加工应变率、
温度范围内如
应力、应变和温度等
热力学行为。因此，有必要从工程应用
角度通过大量实验，观察得出材料本构模型参数并确定参数的准确性。由于
变形过程，应变率和温度之间的相互依赖和相互联系，量化材料本构参数是很困难的，仅基于一些可用的实验数据而不管数据的可靠性和测量误差来改进经典材料本构模型是非常有争议的。在原先的科学假说中，经典本构模型的改进只是通过实验数据统计确定，由于在本构方程式中与实际物理意义存在显着差异，因此这种改进对于后续模型的开发没有借鉴和指导意义，很少会被采用。对某种材料本构模型和参数确定的解决方案：能实现经典材料本构模型的合理应用，即在科学假设前提下使用合适的数值计算工具确定本构方程材料参数。
[0003] 大多数工程材料在低变形速率(准静态)、高变形速率(动态)或温度下表现出不同的变形特性，这给能反映不同荷载工况条件下材料力学响应的本构模型建立和参数确定工作带来巨大挑战。Johnson-Cook本构模型是用于描述高应变，高应变率和高温下塑性变形行为的最常用的半经验模型之一，特别适用于机械加工过程的数值计算。与其他模型相比，其独特的优势在于其在宏观尺度预测的准确性和简洁性，即只需要确定几个参数，就可以很好地描述材料机械行为。
[0004] 在Johnson-Cook本构方程中，其流动应力是应变，应变率和温度项的乘积形式，分别代表材料塑性行为的应力强化，应变强化和热
软化效应。
[0005]
[0006] 其中，σ是材等效流动应力，εp是等效塑性应变， 为正则化的应变率， 和 分别表示参考应变率和等效塑性应变率。需要待确定的五个经验参数的物理意义定义如下：A是材料初始
屈服强度，B和n是应变硬化系数和指数，C是无量纲应变速率硬化系数，m是热软化指数。Johnson-Cook本构模型中这些材料参数通过准静态压缩和霍普金森压杆实验(SHPB)获得的应力-应变数据来拟合确定的。T*是正则化后的温度项，由下式表示：
[0007]
[0008] 其中，T是材料温度，Tmelt是熔点，Troom是室温或参考温度。Johnson-Cook模型本构方程(1)中很重要的一点在于确定应变率与变形温度之间的耦合关系。众所周知，塑性变形产生的热会导致的温度升高特别是在高变形率下，因此应变率和温度是耦合的。因此，只有当温度升高与
工件体温相比可以忽略不计时，实验拟合的数据才能有效地将Johnson-Cook材料本构模型中 和T*项解耦合。
[0009] 在确定Johnson-Cook本构方程中的经验常数时，可以在已发表的文献中找到不同的方法。其中，广泛用于确定金属及
合金本构模
型材料参数的一种确定方法，具有以下步骤：
[0010] 1.在参考应变率 和室温Troom下，从准静态试验中确定和修正初始屈服应力A；
[0011] 2.根据本构方程(1)中的弹塑性项对数变换获得下面方程，根据准静态流动应力-应变曲线运用线性回归的方法拟合确定系数B和n；
[0012] ln(σ-A)＝lnB+nlnεp (3)
[0013] 3.通过在相同应变下在室温/参考温度的SHPB试验获得数据，将对 线性拟合，确定应变速率硬化系数C：
[0014]
[0015] 4.根据上述方法，在不同的应变下获得一组C值，并求平均值作为C的最终值；
[0016] 5 . 通 过 相 同 应 变 或 应 变 率 下 的 数 据 做对ln(T*)的线性回归，其斜率值为m的值；
[0017]
[0018] 6.计算不同的应力或应变率下的m之，求平均值最终找到m的估计值。
[0019] 然而，采用上述传统方法确定材料本构模型参数的一个困难在于，在很多情况下，材料的屈服点往往不能被明确确定，特别是复合材料的初始屈服应力，工程中常采用条件屈服强度，即以等效塑性变形的0.2％对应的应力作为初始屈服强度A。
[0020] 此外，确定率相关硬化系数C的另一个困难是，在不同的应变率下，取平均值的C并不能与在所有应变率范围内应力-应变数据相匹配，因此，找到具有小方差的C的平均值是不可行的。这主要归因于测试数据的随机性(用于本构方程参数确定的测试数据中包含测量误差)，或者在不同材料类型、不同时间或不同尺度下本构模型的应用的精确性存在差异。参数m的拟合过程采用与确定材料系数C相同的求解程序，使用相同应变或应变率，不同温度下的数据线性拟合m的值，这与拟合参数C存在相同的问题：在不同温度范围内应力-应变数据匹配性问题。
发明内容
[0021] 针对
现有技术中存在的本构方程参数确定方法
精度低、工序繁杂且不能准确可靠地反映材料力学性能等问题，本发明公开的一种用于复合材料本构方程参数确定的多目标优化方法要解决的技术问题是：提供一种考虑测量误差加权的复合材料本构方程参数确定的多目标优化方法，能够提高本构方程参数确定方法精度、降低工序繁杂度，且提高材料力学模型预测的准确性和可靠度。
[0022] 本发明的目的是通过下述技术方案实现的。
[0023] 本发明公开的一种用于复合材料本构方程参数确定的多目标优化方法，具体步骤如下：
[0024] 步骤一、建立基于卡方误差准则本构方程参数优化的度量模型。
[0025] 复合材料本构方程参数确定优化问题就是求解所有测试数据点上的非线性最小二乘问题，用卡方误差准则作为参数优化的度量模型。
[0026]
[0027] 其中，σExp是实验观察到的流动应力的数据，σModel是由独立变量X以及材料参数向量P构成的本构方程函数值，N是总的实验数据点数，而W是相应的加权矩阵，ωi为对应于观察数据点i的对角加权因子。
[0028] 由此对于观察到的数据的评估是基于测量误差而不是简简单单地武断设置加权因子。实际上，在总体观测中，测量噪声随着不同的应变率和温度荷载工况条件而有很大的不同，测量噪声(数据的
波动性)随着应变率增加或温度而增加，在联合求解时，由于优化模型是对所有测量数据的偏差的平方求最小值，如果不考虑测量误差加权的话，优化模型仅仅能拟合测量噪声很大的数据，而测量误差小的数据点对总
体模型的影响很小。
[0029] 步骤二、对参数优化的度量模型(6)参数确定的多目标优化模型分解。
[0030] 参数优化的度量模型(6)已经考虑到在准静态和动态加载条件下不同的力学响应，所以在此处将卡方误差准则分为准静态力学模型 和动态部力学模型
[0031] 准静态力学模型如下：
[0032]
[0033] 动态力学模型如下：
[0034]
[0035] 其中， 和 分别为准静态和动态力学实验的观察值； 是幂次定律的准静态弹塑性模型 PStatic＝(A,B,n)是准静态待确定的参数向量，
是和本构方程(1)具有相同形式的动态本构方程。
[0036] 步骤三、确定各加载条件下与测量误差相对应的加权因子。
[0037] 根据方程(10)和(12)将包括准静态和动态部分的双目标非线性最小二乘法优化问题通过不同的加权因子联系起来：
[0038]
[0039] 其中， 和 分别为准静态和动态观测的加权对角矩阵。通过加权残差分析，确定每个
载荷工况下实验的测量误差都处在同一个数量级上，从而使每个载荷工况的实验数据在多目标参数优化中均起到作用。值得注意得是，在各个荷载工况下的测量误差满足正态分布规律，因此，相同变形速率和温度荷载下的测量误差是相同的，测量数据和“真实”值之间的实验偏差被视为满足均值为0、标准偏差为 的高斯分布
的随机测量噪声，其中标准偏差 随着应变率和温度变化。实验数据值σExp
和待拟合本构模型数据σModel之间的关系满足如下关系：
[0040]
[0041] 由于优化之前的每个荷载工况下的测量误差的方差 还未可知，所以需要先确定每个荷载工况条件下的测量误差的方差进行分析，利用最小二乘法进行评价如下：
[0042]
[0043] 其中i＝1,2,…对应于第i种应变率和变形温度荷载工况条件。 是待确定的本构方程材料参数数量， 是在第i种载荷工况下的试验数据点的数量。在待确定的参数化本构方程(1)中，至少需要五组试验数据才能求解该本构方程。为避免在拟合过程中出现奇异矩阵，
自由度数(DoF)被设为 在每个荷载条件下的权重因子通过公式(16)单独确定，第i种荷载条件下的对角权重因子ωi在准静态力学模型中表示为：
[0044]
[0045] ωi在动态力学模型中表示为：
[0046]
[0047] 因此，根据权重因子矩阵W的定义，看似是准静态和动态的双目标优化问题实际上一个取决于荷载工况数量的多目标最小化问题。因此，问题最终转化为最小化有不同变形速率 和温度荷载T下测量误差加权的实验流应力数据与本构方程函数值的偏差平方和的卡方误差。
[0048] 步骤四、根据骤二、三对步骤一中度量模型(6)参数进行多目标优化，确定步骤一中度量模型(6)参数，即完成用于复合材料本构方程参数确定的多目标优化。
[0049] 还包括步骤五：将步骤一至四所述一种用于复合材料本构方程参数确定的多目标优化方法确定的复合材料本构方程参数，用于材料力学性能表征、机械制造和数值分析领域，解决相应工程技术问题。
[0050] 步骤一中的复合材料本构方程具有一般通用性，适用于但不限于Johnson-Cook本构方程，所述的Johnson-Cook本构方程，流动应力σ是应变εp，应变率 和温度项T*的乘积形式，分别代表材料塑性行为的应力强化，应变强化和热软化效应。
[0051]
[0052] 其中，σ是材等效流动应力，εp是等效塑性应变， 为正则化的应变率， 和 分别表示参考应变率和等效塑性应变率。需要待确定的五个经验参数的物理意义定义如下：A是材料初始屈服强度，B和n是应变硬化系数和指数，C是无量纲应变速率硬化系数，m是热软化指数。Johnson-Cook本构模型中这些材料参数通过准静态压缩和霍普金森压杆实验(SHPB)获得的应力-应变数据来拟合确定的。T*是正则化后的温度项，由下式表示：
[0053]
[0054] 其中，T是材料温度，Tmelt是熔点，Troom是室温或参考温度。
[0055] 本构方程(1)中的JC模型涉及的一组五个参数(P＝(A，B，C，n，m))，上述参数的确定能够转化为以等效塑性应变εp、等效塑性应变率 和变形温度T三个独立变量的待拟合的参数化本构方程与测试数据之间偏差或残差的平方和的加权求和的最小化问题。
[0056] 步骤四的具体实现方法为：
[0057] 步骤4.1：结合梯度下降
算法和高斯
牛顿法求解公式(8)。
[0058] 步骤4.1具体实现方法为：
[0059] 步骤4.1.1：利用梯度下降算法求解公式(8)。
[0060] 利用公式(21)所示的梯度下降算法求解公式(8)，即卡方目标函数χ2(P)对参数向量P进行微分，产生梯度下降形式：
[0061]
[0062] 其中 是一阶NPnt×MPara雅克比行列式，以J表示，它反映的是模型函数σModel对于参数P的局部灵敏度。本构方程(1)的J行列式中在第j个参数条件下的第i次观测数据Jij定义为：
[0063]
[0064] 根据公式(21)，参数向量P的最速下降方向的增量步h有：
[0065] h＝αJTW[σExp-σModel(P)] (23)
[0066] 其中，标量α是沿着下坡方向的梯度下降算法中的步长因子。虽然梯度下降算法能快速收敛到局部最小值附近，但接近局部最小值处很难或者很慢才能达到收敛。但是对于多目标参数优化的非线性最小值问题，梯度下降算法是能达到可接受精度的唯一可行方法。
[0067] 步骤4.1.2：利用高斯牛顿法求解公式(8)。
[0068] 利用公式(24)所示的高斯牛顿法求解公式(8)。增量模型函数σModel(P+h)被视为一阶泰勒级数展开以假设在接近优化值的模型参数中的二次近似。
[0069] σModel(P+h)≈σModel(P)+Jh (24)
[0070] 将上式代入公式(8)中的χ2(P+h)，并对相对于h取χ2(P+h)的导数，则公式简化为：
[0071]
[0072] 并且当 时，参数向量P的增量步长h在高斯牛顿算法中表示为：
[0073] [JTWJ]h＝JTW[σExp-σModel(P)] (26)
[0074] 高斯牛顿算法相对于梯度下降算法的优势在于在接近局部最小值时，高斯牛顿算法可迅速收敛到最小值。然而，在远离最小值的区域，梯度下降算法具有更好的鲁棒性和有效性。
[0075] 步骤4.1.3：结合梯度下降算法和高斯牛顿法求解公式(8)。
[0076]
叠加公式(23)和(26)得到如公式(27)所示的标准Levenberg算法：
[0077] [JTWJ+λI]h＝JTW[σExp-σModel(P)] (27)
[0078] 其中，I是单位矩阵，λ是一个自适应的阻尼因子，当λ值较高时采用梯度下降算法解，而较低的λ对应于高斯牛顿算法更新。因此，阻尼因子初始设值较大值，以便快速收敛到局部极值附近，并且根据χ2(P+h)>χ2(P)是否成立，确定自适应阻尼因子λ的增加或减少。如果λ降低到某一确定值点，Levenberg算法中高斯牛顿算法开始起作用，则最优解附近的目标函数将
加速收敛到局部最小值。
[0079] 由于公式(27)中求解算法可能导致[JTWJ+λI]的不可逆反演，Nielsen提出一种为Levenberg算法定义合适阻尼因子λ的替代方法。为方便起见，将Nielsen的方法称为Levenberg-Nielsen算法。
[0080] 对于公式(27)中的求解方法，推荐使用阻尼因子λ0初始值为
[0081]
[0082] 如果Q(h)>∈4，则根据以下准则
迭代阻尼因子，
[0083]
[0084] 而如果Q(h)≤∈4,则
[0085]
[0086] 步骤4.2：雅克比行矩阵J的更新。
[0087] 采用Brayden rank-1更新算法来更新雅可比矩阵。与有限差分法相比，特别是对于多参数优化问题，Brayden rank-1更新算法由于没有额外的函数估计能够降低计算成本。
[0088]
[0089] 然而，在应用Brayden更新算法进行度量模型(6)参数优化时，会出现数值不
稳定性和发散问题。原因在于，雅可比矩阵的第1和2MPara次迭代更新中，由于χ2(P)>χ2(P+h)导致Para的不良近似。因此，在第1和2M 次迭代中，Brayden rank-1更新算法被有限差分所取代，因此需要函数评估来判断MPara或2MPara。
[0090]
[0091] 步骤4.3：步长h的更新。
[0092] 对于步长的h的更新，通过比较χ2(P+h)与χ2(P)的质量来确定。增益比Q(h)作为步长h更新是否合适的度量标准，增益比Q(h)是参数矢量P的卡方误差实际变化量和预期变化量之间的比率：
[0093]
[0094] 对于公式(27)Levenberg-Nielsen算法，有：
[0095]
[0096] 通过判断Q(h)>∈4是否成立确定hi的值，其中∈4是规定
阈值，用于确定算法中的步长的选择。
[0097] 步骤4.4：收敛准则。
[0098] 满足梯度收敛准则或步长收敛准则，计算停止：
[0099] 梯度收敛准则:
[0100] max[||JTW(σExp-σModel)||]<∈1 (35)
[0101] 步长收敛准则:
[0102] max[h/P]<∈2 (37)
[0103] 其中，∈1、∈2是规定阈值，用于决定收敛容差。
[0104] 步骤4.5：误差分析。
[0105] 采用确定系数(R2)和减缩的卡方 准则作为拟合优度的统计量度，系数(R2)表示试验测量值与拟合模型间的近似程度，减缩的卡方 表示拟合误差与测量误差的比值。
[0106] 待确定参数向量的渐近标准误差可通过方差-协方差矩阵 的主对角元素的平方根。
[0107]
[0108] 公式(38)反映了试验数据变化对拟合参数值影响的度量。
[0109] 本发明公开的一种用于复合材料本构方程参数确定的多目标优化方法，以复合材料准静态和动态力学测试数据为拟合对象反向进行本构方程参数确定；此复合材料本构方程的参数的多目标确定方法首先通过准静态力学本构方程和动态力学本构方程分别拟合准静态和动态力学测试数据，确定不同应变率和温度载荷下的关于测量误差的加权因子，然后在总体
水平上基于卡方误差准则考虑加权测量误差通过Levenberg-Nielsen算法最小化所有载荷工况下测试数据与本构方程值的累计误差，实现本构参数确定的多目标反向优化，从而优化得到本构方程的所有参数。
[0110] 所述的本构方程的所有参数用于材料力学性能表征、机械制造和数值分析领域，解决相应工程技术问题。
[0111] 有益效果：
[0112] 1、本发明公开的一种用于复合材料本构方程参数确定的多目标优化方法，考虑加权测量误差的本构方程参数的多目标确定方法具有一般通用性，适用于但不限于Johnson-Cook本构的任何其它本构方程参数的确定。
[0113] 2、本发明公开的一种用于复合材料本构方程参数确定的多目标优化方法，采用测量误差加权的本构方程参数确定策略，能够消除随机测量噪声对模型参数确定的干扰，提高本构方程参数确定的可靠性。
[0114] 3、本发明公开的一种用于复合材料本构方程参数确定的多目标优化方法，可综合考虑每种变形速率和温度下测量误差对本构方程确定的影响，通过引入权重因子消除仅大测量噪声工况下试验数据对本构模型决定性作用，提高本构方程参数确定的准确性。
附图说明
[0115] 图1准静态和动态流动应力-塑性应变曲线示意图；
[0116] 图2考虑加权测量误差的本构方程参数确定的多目标优化方法总体
流程图；
[0117] 图3待拟合的准静态和动态塑形应变-应力实验数据
[0118] 图4传统方法和本发明考虑测量误差加权的多目标优化方法拟合的本构方程与试验数据的对比。
[0119] 附表说明
[0120] 表1该发明与传统本构方程参数确定的对比结果。
具体实施方式
[0121] 下面结合具体的附图和
实施例对本发明进行详细说明，所述是本发明的解释而不是限定。
[0122] 实施例1：
[0123] 为验证本发明方法的可行性和有益效果，本实施例公开的一种用于复合材料本构方程参数确定的多目标优化方法，具体步骤如下：
[0124] 步骤一、建立基于卡方误差准则本构方程参数优化的度量模型。
[0125] 对
碳化
硅铝基复合材料的进行准静态压缩实验，得到待测复合材料在准静态应变率(10-4～1)室温下的应力-应变曲线；对待测复合材料进性霍普金森压杆试验，得到其在高应变率(102-104)高温(300℃、500℃)下的应力应变曲线。图3所示为碳化硅铝基复合材料的应力-应变曲线。根据步骤一建立基于卡方误差准则本构方程参数优化的度量模型。根据图3所示的应力-应变曲线确定合适的本构方程，本案例选择Johnson-CooK方程作为碳化硅铝基复合材料的本构方程，复合材料本构方程参数确定优化问题就是求解所有测试数据点上的非线性最小二乘问题，用卡方误差准则作为参数优化的度量模型。
[0126]
[0127] 其中，σExp是实验的流动应力数据，σModel是N为651，而W是相应的加权矩阵，ωi为对应于观察数据点i的对角加权因子。
[0128] 步骤二、对参数优化的度量模型(6)参数确定的多目标优化模型分解。
[0129] 参数优化的度量模型(6)已经考虑到在准静态和动态加载条件下不同的力学响应，处将卡方误差准则分为准静态力学模型 和动态部力学模型
[0130] 准静态力学模型如下：
[0131]
[0132] 动态力学模型如下：
[0133]
[0134] 其中， 和 分别为图3所示的准静态和动态力学实验的观察值；PStatic＝(A,B,n)，
[0135] 步骤三、确定各加载条件下与测量误差相对应的加权因子。
[0136] 根据方程(10)和(12)将包括准静态和动态部分的双目标非线性最小二乘法优化问题通过不同的加权因子联系起来：
[0137]
[0138] 通过加权残差分析，确定每个载荷工况下实验的测量误差都处在10-2数量级上，从而使每个载荷工况的实验数据在多目标参数优化中均起到作用。实验数据值σExp和待拟合本构模型数据σModel之间的关系满足如下关系：
[0139]
[0140] 由于优化之前的每个荷载工况下的测量误差的方差 还未可知，所以需要先确定每个荷载工况条件下的测量误差的方差进行分析，利用最小二乘法进行评价如下：
[0141]
[0142] 其中i＝1 ,2,…9对应于第i种应变率和变形温度荷载工况条件。在待确定的参数化本构方程(1)中，至少需要五组试验数据才
能求解该本构方程。为避免在拟合过程中出现奇异矩阵，自由度数(DoF)被设为44。在每个荷载条件下的权重因子通过公式(16)单独确定，第i种荷载条件下的对角权重因子ωi在准静态力学模型中表示为：
[0143]
[0144] ωi在动态力学模型中表示为：
[0145]
[0146] 因此， 和
[0147]
[0148] 因此，根据权重因子矩阵W＝[0.456548×5；0.905348×5；0.008448×5；0.005248×5；0.006548×5；0.023348×5；0.015648×5；0.017848×5；0.015648×5]的定义，看似是准静态和动态的双目标优化问题实际上一个取决于荷载工况数量的多目标最小化问题。因此，问题最终转化为最小化有不同变形速率 和温度荷载T下测量误差加权的实验流应力数据与本构方程函数值的偏差平方和的卡方误差。
[0149] 步骤四、根据骤二、三对步骤一中度量模型(6)参数进行多目标优化，确定步骤一中度量模型(6)参数，即完成用于复合材料本构方程参数确定的多目标优化。
[0150] 还包括步骤五：将步骤一至四所述一种用于复合材料本构方程参数确定的多目标优化方法确定的复合材料本构方程参数，用于材料力学性能表征、机械制造和数值分析领域，解决相应工程技术问题。
[0151] 步骤一中的复合材料本构方程具有一般通用性，适用于但不限于Johnson-Cook本构方程，所述的本构方程为Johnson-Cook本构方程，流动应力σ是应变εp，应变率 和温度项T*的乘积形式，分别代表材料塑性行为的应力强化，应变强化和热软化效应。
[0152]
[0153] 其中，σ是材等效流动应力，εp是等效塑性应变， 为正则化的应变率， 和 分别表示参考应变率0.01s-1和等效塑性应变率(400s-1，1800s-1，2200s-1，5200s-1)。需要待确定的五个经验参数的物理意义定义如下：A是材料初始屈服强度，B和n是应变硬化系数和指数，C是无量纲应变速率硬化系数，m是热软化指数。Johnson-Cook本构模型中这些材料参数通过准静态压缩和霍普金森压杆实验(SHPB)获得的应力-应变数据来拟合确定的。T*是正则化后的温度项，由下式表示：
[0154]
[0155] 其中，T是材料温度，Tmelt是熔点620℃，Troom是20℃。
[0156] 本构方程(1)中的JC模型涉及的一组五个参数(P＝(A，B，C，n，m))，上述参数的确定能够转化为以等效塑性应变εp、等效塑性应变率 和变形温度T三个独立变量的待拟合的参数化本构方程与测试数据之间偏差或残差的平方和的加权求和的最小化问题。
[0157] 步骤四的具体实现方法为：
[0158] 步骤4.1：结合梯度下降算法和高斯牛顿法求解公式(8)。
[0159] 步骤4.1具体实现方法为：
[0160] 步骤4.1.1：利用梯度下降算法求解公式(8)。
[0161] 利用公式(21)所示的梯度下降算法求解公式(8)，即卡方目标函数χ2(P)对参数向量P进行微分，产生梯度下降形式：
[0162]
[0163] 其中 是一阶48×5雅克比行列式，以J表示，它反映的是模型函数对于参数(A，B，C，n，m)的局部灵敏度。本构方程
(1)的J行列式中在第j个参数条件下的第i次观测数据Jij定义为：
[0164]
[0165] 根据公式(21)，参数向量(A，B，C，n，m)的最速下降方向的增量步h有：
[0166] h＝αJTW[σExp-σModel(P)] (23)
[0167] 其中，标量α＝0.05。
[0168] 步骤4.1.2：利用高斯牛顿法求解公式(8)。
[0169] 利用公式(24)所示的高斯牛顿法求解公式(8)。增量模型函数σModel(P+h)被视为一阶泰勒级数展开以假设在接近优化值的模型参数中的二次近似。
[0170] σModel(P+h)≈σModel(P)+Jh (24)
[0171] 将上式代入公式(8)中的χ2(P+h)，并对相对于h取χ2(P+h)的导数，则公式简化为：
[0172]
[0173] 并且当 时，参数向量P的增量步长h在高斯牛顿算法中表示为：
[0174]
[0175] 高斯牛顿算法相对于梯度下降算法的优势在于在接近局部最小值时，高斯牛顿算法可迅速收敛到最小值。然而，在远离最小值的区域，梯度下降算法具有更好的鲁棒性和有效性。
[0176] 步骤4.1.3：结合梯度下降算法和高斯牛顿法求解公式(8)。
[0177] 叠加公式(23)和(26)得到如公式(27)所示的标准Levenberg算法：
[0178]
[0179] 其中，I是单位矩阵，λ是一个自适应的阻尼因子，当λ值较高时采用梯度下降算法解，而较低的λ对应于高斯牛顿算法更新。因此，阻尼因子初始设值较大值，以便快速收敛到局部极值附近，并且根据χ2(P+h)>χ2(P)是否成立，确定自适应阻尼因子λ的增加或减少。对于公式(27)中的求解方法，根据公式(28))使用阻尼因子λ0初始值为0.028
[0180]
[0181] 如果Q(h)>10-9，则根据以下准则迭代阻尼因子，
[0182]
[0183] 而如果Q(h)≤10-9,则
[0184]
[0185] 步骤4.2：雅克比行矩阵J的更新。
[0186] 采用Brayden rank-1更新算法来更新雅可比矩阵。与有限差分法相比，特别是对于多参数优化问题，Brayden rank-1更新算法由于没有额外的函数估计能够降低计算成本。
[0187]
[0188] 然而，在应用Brayden更新算法进行度量模型(6)参数优化时，会出现数值不稳定性和发散问题。原因在于，雅可比矩阵的第1和2×5次迭代更新中，由于χ2(P)>χ2(P+h)导致的不良近似。因此，在第1和2×5次迭代中，Brayden rank-1更新算法被有限差分所取代，因此需要函数评估来判断5或2×5。
[0189]
[0190] 步骤4.3：步长h的更新。
[0191] 对于步长的h的更新，通过比较χ2(P+h)与χ2(P)的质量来确定。增益比Q(h)作为步长h更新是否合适的度量标准，增益比Q(h)是参数矢量P的卡方误差实际变化量和预期变化量之间的比率：
[0192]
[0193] 对于公式(27)Levenberg-Nielsen算法，有：
[0194]
[0195] 通过判断Q(h)>∈4是否成立确定hi的值，其中∈4是10-9。
[0196] 步骤4.4：收敛准则。
[0197] 满足梯度收敛准则或步长收敛准则，计算停止：
[0198] 梯度收敛准则:
[0199] max[||JTW(σExp-σModel)||]<∈1 (35)
[0200] 步长收敛准则:
[0201] max[h/P]<∈2 (37)
[0202] 其中，∈1、∈2分别为10-4，10-4。
[0203] 步骤4.5：误差分析。
[0204] 采用确定系数(R2)和减缩的卡方 准则作为拟合优度的统计量度，系数(R2)表示试验测量值与拟合模型间的近似程度，减缩的卡方 表示拟合误差与测量误差的比值。
[0205] 待确定参数向量的渐近标准误差可通过方差-协方差矩阵 的主对角元素的平方根。
[0206]
[0207] 可得δp＝[12.3743,6.4749,0.0208,0.0002359,0.0452]，反映了试验数据变化对拟合参数值影响的很小。表1列举了传统方法与本发明确定的本构方程与试验数据的匹配程度，图4为传统方法和本发明考虑测量误差加权的多目标优化方法拟合的本构方程与试验数据的对比结果。通过对比可知，本发明试验测量值与拟合模型间的匹配程度明显高于传统方法，说明本发明关于本构方程参数确定的准确性；而且拟合误差与测量误差的比值在同一数量级，说明本发明关于本构方程参数确定的可靠性。
[0208] 表1该发明与传统本构方程参数确定的对比结果
[0209]
[0210] 本实施例考虑加权测量误差的本构方程参数的多目标确定方法具有一般通用性，而且本发明自动批量再处理数据，并消除测量误差对本构方程参数确定的影响，可用于一般金属材料和复合材料本构方程及方程参数的确定。考虑加权测量误差的本构方程参数的。
[0211] 以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何
修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
