一种航天器姿轨一体化反步跟踪控制方法
阅读：1019发布：2020-08-11
专利汇可以提供一种航天器姿轨一体化反步跟踪控制方法专利检索，专利查询，专利分析的服务。并且一种 航天器 姿轨一体化反步 跟踪 控制方法，本 发明 涉及航天器姿轨一体化反步跟踪控制方法。本发明为了解决 现有技术 对航天器的轨道与 姿态 采用分别独立的控制方式导致跟踪效果差的缺点。本发明步骤包括：步骤一：基于对偶四元数建立航天器姿轨一体化相对运动学和动 力 学模型；步骤二：根据步骤一建立的航天器姿轨一体化相对运动学和动力学模型，基于反步法设计 控制器 ；步骤三：根据步骤二设计的控制器，设计基于抗饱和法的输入有界控制器。本发明在反步控制器的 基础 上考虑输入有界问题，设计了基于抗饱和环节的输入有界反步控制器。本发明能够实现追踪航天器对目标航天器的六 自由度 姿轨协同跟踪，适用于实际的在轨情况，本发明用于航天领域。，下面是一种航天器姿轨一体化反步跟踪控制方法专利的具体信息内容。
1.一种航天器姿轨一体化反步跟踪控制方法，其特征在于：所述航天器姿轨一体化反步跟踪控制方法包括以下步骤：
步骤一：基于对偶四元数建立航天器姿轨一体化相对运动学和动力学模型；其具体过程为：
利用偏差四元数表示追踪航天器的相对运动：
其中 为航天器相对目标的偏差对偶四元数， 为目标相对于地心惯性坐标系的对偶四元数的共轭， 为航天器相对于地心惯性坐标系的对偶四元数；
对式(81)求导，得到偏差对偶四元数的相对运动学方程：
其中 为 的导数，为四元数乘法， 为航天器相对目标的角速度旋量在航天器本体坐标系下的投影；
的定义为：
其中 为航天器的角速度旋量在航天器本体坐标系下的投影， 为航天器相对目标的偏差对偶四元数的共轭， 为目标的角速度旋量在目标本体坐标系下的投影；
对式(83)两端求导，并代入式(82)，得到：
其中 为对偶惯量矩阵， 为作用于航天器质心的对偶力旋量， 为 的导数，为 的导数；
得到基于对偶四元数得到航天器姿轨一体化相对运动学和动力学方程为：
步骤二：根据步骤一建立的航天器姿轨一体化相对运动学和动力学模型，基于反步法设计控制器；
所述步骤二中基于反步法设计控制器的具体过程为：
当存在外界干扰和模型不确定性时，(85)改写为：
其中 为 的对偶部的导数， 为 的实部， 为 的对偶部的叉
乘矩阵，I为单位矩阵， 为表示对偶惯量矩阵的标称部分， 为控制器输出， 表示模型总不确定性；
定义 为偏差对偶四元数的对偶部， 为期望偏差对偶
四元数的对偶部， 为 的导数， 为 的导数；
构造李雅普诺夫函数：
其中ε为对偶算子，I3为3×3的单位矩阵；
对式(90)求导得到：
定义： 为常值对偶四元数，代入式(91)得到：
引入切换函数 其中 为切换增益；
则若 则有 渐近收敛；
构造Lyapunov函数：
对式(93)求导可得：
则设计控制器为：
⊙表示对偶数和对偶向量的乘法运算， 为 的逆， 为期望偏差对偶四元数的二阶导数， 表示模型总不确定性的上界，sgn()为符号函数，和 为控制器增益；
步骤三：根据步骤二设计的控制器，设计基于抗饱和法的输入有界控制器，其具体过程为：
非线性饱和模块表示如下：
其中v为非线性饱和模块的输出，u为非线性饱和模块的输入，umin和umax为饱和阈值；
在式(95)中结合抗饱和控制器，得到基于抗饱和设计法的输入有界反步协同控制器：
其中 为抗饱和的的反馈增益系数， 为非线性饱和模块的限幅阈值。
一种航天器姿轨一体化反步跟踪控制方法
技术领域
[0001] 本发明涉及航天器姿轨一体化反步跟踪控制方法。
背景技术
[0002] 1957年，前苏联发射了首颗人造地球卫星，标志着人类对太空的探索历程向前推进了一大步。现如今，航天技术已成为世界上最引人关注的技术之一，它推动着人类科学技术的进步，使人类的活动领域由大气层内扩展到宇宙空间。其中，为科学研究、国民经济和军事服务的各种科学卫星与应用卫星得到很大发展，卫星已应用于生活的各个领域，在侦察监视、导航定位、信息传输、环境探测、深空探索等应用领域发挥了至关重要的作用，对人类的生产和生活带来了极其重大的影响。
[0003] 传统上，研究人员通常对航天器的轨道与姿态采用分别独立的控制方式，而航天器编队飞行任务是一种轨道和姿态动力学严重耦合的航天任务，因此这种分而治之的控制方式势必会带来顾此失彼的被动局面，无法达到满意的控制效果。为了避免上述问题，应系统而全面的考虑航天器的轨道和姿态控制问题。航天器姿轨一体化的控制方式由于充分的考虑了轨道运动与姿态运动的耦合影响，在面对控制要求较高的任务时则充分体现了其优越性。
[0004] 为了实现航天器轨道和姿态的一体化控制，应在控制器的设计过程中充分考虑轨道和姿态的耦合影响。对此，许多学者都进行了相关研究，其研究方法主要分为以下两种：一种是首先独立设计姿态控制器和轨道控制器，并在此基础上对姿轨耦合部分进行控制修正，如Lennox等针对多航天器编队控制问题，设计了推力器推力矢量估计器、姿态控制器以及轨道估计器，并提出了相对轨道和相对姿态的耦合控制方法(S.E.Lennox.Coupled Orbital and Attitude Control Simulations for Spacecraft Formation Flying[C].The 2004AIAA Region I-MA Student Conference,Blacksburg,USA,2004)。另一种是以姿轨耦合动力学模型为基础来设计一体化控制算法，这种方式虽然需要建立姿轨耦合的动力学模型，但是由于可以直接利用许多现有的控制器设计方法，因此已经成为目前较为常用的方法。如，Pan等针对轨道和姿态耦合情况下从星对主星轨迹的跟踪控制问题，设计了全局收敛的自适应控制器(H.Pan,V.Kapila.Adaptive Nonlinear Control for
Spacecraft Formation Flying with Coupled Translational and Attitude Dynamics[C].Proceedings of 40th IEEE Conference on Decision and Control,Inst.of Electrical and Electronics Engineers,New York,2001: 2057～2062)；Welsh等为了使空间中的抓捕机器人与目标实现同步，基于自适应控制。理论设计了相对轨道和相对姿态的跟踪控制律(S.J.Welsh,K.Subbarao.Adaptive Synchronization and Control of Free Flying Robots for Capture of Dynamic Free-Floating Spacecrafts[C].AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference,2004:1193～1214)；Xu等设计了卫星轨道和姿态的连续滑模跟踪控制器(Y.J.Xu,A.Tatsch,N.G.Fitz-Coy.Chattering Free Sliding Model Control for a 6DOF Formation Flying Mission[C].AIAA Guidance,
Navigation,and Control Conference,San Francisco,CA,2005)；Bondhus等针对无角速度测量的情况，设计了一种角速度估计器，并基于输出反馈的控制方法提出了主星跟踪控制律和从星协同控制律(A.K.Bondhus,K.Y.Pettersen,J.T.Gravdahl.Leader/Follower Synchronization of Satellite Attitude without Angular Velocity Measurements[C].Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control,Seville,Spain,
2005:7270～7277)；Wong等考虑角速度信息未知的情况，通过设计高通滤波器，实现了卫星的姿轨耦合协同控制(H. Wong,H.Z.Pan,V.Kapila.Output Feedback Control for Spacecraft Formation Flying with Coupled Translation and Attitude Dynamics[C].Proceedings of the American Control Conference,Portland,USA,2005:2419～
2426)。在这些文献的研究中，他们考虑了编队卫星的姿轨耦合特性，但是在编队卫星的动力学建模中，轨道和姿态是分开描述的，这种参数表示的不统一，为运算带来了困难。
Spacecraft Formation Flying with Coupled Translational and Attitude Dynamics[C].Proceedings of 40th IEEE Conference on Decision and Control,Inst.of Electrical and Electronics Engineers,New York,2001: 2057～2062)；Welsh等为了使空间中的抓捕机器人与目标实现同步，基于自适应控制。理论设计了相对轨道和相对姿态的跟踪控制律(S.J.Welsh,K.Subbarao.Adaptive Synchronization and Control of Free Flying Robots for Capture of Dynamic Free-Floating Spacecrafts[C].AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference,2004:1193～1214)；Xu等设计了卫星轨道和姿态的连续滑模跟踪控制器(Y.J.Xu,A.Tatsch,N.G.Fitz-Coy.Chattering Free Sliding Model Control for a 6DOF Formation Flying Mission[C].AIAA Guidance,
Navigation,and Control Conference,San Francisco,CA,2005)；Bondhus等针对无角速度测量的情况，设计了一种角速度估计器，并基于输出反馈的控制方法提出了主星跟踪控制律和从星协同控制律(A.K.Bondhus,K.Y.Pettersen,J.T.Gravdahl.Leader/Follower Synchronization of Satellite Attitude without Angular Velocity Measurements[C].Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control,Seville,Spain,
2005:7270～7277)；Wong等考虑角速度信息未知的情况，通过设计高通滤波器，实现了卫星的姿轨耦合协同控制(H. Wong,H.Z.Pan,V.Kapila.Output Feedback Control for Spacecraft Formation Flying with Coupled Translation and Attitude Dynamics[C].Proceedings of the American Control Conference,Portland,USA,2005:2419～
2426)。在这些文献的研究中，他们考虑了编队卫星的姿轨耦合特性，但是在编队卫星的动力学建模中，轨道和姿态是分开描述的，这种参数表示的不统一，为运算带来了困难。
[0005] 针对这个问题，有学者采用对偶四元数这个数学工具来分析航天器六自由度的相对运动。文献(X.K.Wang,D.P.Han,C.B.Yu,et al.The geometric structure of unit dual quaternion with application in kinematic control[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2012,389(2):1352～1364)研究了与单位对偶四元数相关的几何结构和李群特性，并应用于运动学的控制。对偶四元数是四元数的自然扩展，其运算方式、结构特点与四元数类似，单位四元数的几何内容很容易推广到对偶四元数(X.K.Wang,D.P.Han,C. B.Yu,et al.The geometric structure of unit dual quaternion with application in kinematic control[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2012,389(2):1352～1364)。此外，对偶四元数包含了转动和平动，能够与编队卫星六自由度的相对运动相对应。
[0006] 目前基于对偶四元数框架对航天器姿轨一体化问题进行研究的大部分文献中，都没有考虑输入有界的问题。文献(王剑颖.航天器姿轨一体化动力学建模、控制与导航方法研究[D].哈尔滨工业大学,2013)针对前文建立的对偶四元数姿轨一体化模型，提出了一种类PD鲁棒控制算法。
[0007] (1)控制器的设计
[0008] 本控制器的设计目的是使得追踪航天器运动状态 渐近收敛于期望的运动状态 定义对偶四元数误差为： 速度旋量误差
则控制器的设计目标是使追踪航天器的跟踪误差
渐进收敛到
则控制器的设计目标是使追踪航天器的跟踪误差
渐进收敛到
[0009] 首先给出如下定义：
[0010]
[0011] 设α和β均为有界的实数矢量。追踪航天器的期望角速度ωd满足||ωd||≤ρω，ρω为正实数。
[0012] 针对系统(85)，为了完成跟控制的目标，设计如下与PD控制结构类似的控制器：
[0013]
[0014] 其中 为对偶四元数 的矢量部分； 为鲁棒项，形式为对偶函数，且f(s)和f′(s′)被定义为：
[0015]
[0016] 其中，λi和λ′i为正实数，当t≥0时， 为误差变量，且这里 且c和c′均为正实数。则有如下定理成立：
[0017] 考虑系统相对运动学和动力学模型(85)，当满足下述条件时，控制器(106)可使和 在t→∞时收敛于零。
[0018] (1)c和c′足够小；
[0019] (2)λi＞|αi|且λi′＞|βi|,i＝1,2,3；
[0020] (3) 且
[0022] 证明：控制器(106)可以分解为两部分：实数部分和对偶部分。实数部分可令相对姿态运动收敛到0，对偶部分可令相对轨道运动收敛到0。
[0023] 实数部分
[0024] 控制器(106)实数部分可以写为：
[0025] τu＝-Kpξe-Kdωe-f(s) (108)
[0026] 其中，s＝ωe+cξe， 为角速度跟踪误差，qe＝(ηe,ξe)为误差四元数，ωd为期望角速度。
[0027] 考虑如下Lyapunov函数
[0028]
[0029] V1的一个下界为：
[0030]
[0031] 其中，χ1＝(||ξe|| ||ωe||)T且
[0032]
[0033] 这里，σmax和σmin分别表示矩阵的最大和最小特征值。当c足够小时，可以保证Ae为正定矩阵，因此V1也是正定的。对V1求导，并将控制器(108)代入，可得：
[0034]
[0035] 其中，
[0036]
[0037] 当c足够小时，σmin(Θe1)＞0，且 的上界为：
[0038]
[0039] 将(114)两端同时积分，得到：
[0040]
[0041] 由于V1(t)＞0，所以即ξe(t)和ωe(t)是有界的，所以V1(t)也是有界的。当t→∞时，有
[0042]
[0043] 所以ξe(t)，ωe(t)∈L2。由Barbalat引理可知， 且 因此，闭环系统的转动部分收敛。
[0044] 对偶部分
[0045] 由于实数部分是稳定的，即ξe(t)，ωe(t)是随时间增加而趋于零的，因此控[0046] 制器(106)的对偶部分可以写为：
[0047]
[0048] 其中， 为位置跟踪误差，rd为期望相对位置矢量，当ξe＝0且ωe＝0时，有ξ′e＝pe,
[0049] 考虑如下Lyapunov函数
[0050]
[0051] 稳定性证明过程与实数部分证明过程类似。可证闭环系统的位移部分也是收敛的。
[0052] 注：为满足定理中的第2个和第3个条件， 和 在t→∞时满足此时，fi(s)＝λisgn(si)，f′i(s)＝λ′isgn(s′i)。由于符号函数会引起抖振问题，所以仿真中用如下函数代替
[0053]
[0054] 其中，
[0055]
[0056] 这里的δi和δi′为小正数。
[0057] 方案缺点描述如下：
[0058] 该算法的鲁棒性体现在控制器中不显含模型的参数信息，并且闭环系统已被证明是稳定的，因此可以说系统对模型不确定性和外部干扰是鲁棒的。但是，在实际应用中，由于各执行机构自身的物理限制，都存在输出上界，难以输出过大的控制力和控制力矩。而一旦执行机构处于饱和情况，控制器的输出将不等于被控对象的输入，二者的偏差将严重影响航天器控制系统的性能，甚至会影响航天器的稳定性。因此，从实际的工程设计角度考虑，必须在控制器设计中考虑控制输入饱和问题。因此此方案具有一定的局限性。
发明内容
[0059] 本发明的目的是为了解决现有技术对航天器的轨道与姿态采用分别独立的控制方式导致跟踪效果差的缺点，而提出一种航天器姿轨一体化反步跟踪控制方法。
[0060] 一种航天器姿轨一体化反步跟踪控制方法按以下步骤实现：
[0061] 步骤一：基于对偶四元数建立航天器姿轨一体化相对运动学和动力学模型；
[0062] 步骤二：根据步骤一建立的航天器姿轨一体化相对运动学和动力学模型，基于反步法设计控制器；
[0063] 步骤三：根据步骤二设计的控制器，设计基于抗饱和法的输入有界控制器。
[0064] 本发明的有益效果为：
[0065] 针对航天器姿轨一体化跟踪控制问题，本发明基于姿轨一体化相对动力学模型，采用反步控制法，为实现追踪航天器相对目标航天器姿态轨道的跟踪，考虑外界干扰和系统不确定性，引入切换函数设计姿轨一体化反步控制器。然后，在反步控制器的基础上考虑输入有界问题，设计了基于抗饱和环节的输入有界反步控制器。最后通过仿真分析，证明了两种控制器对于外界干扰和系统不确定性具有鲁棒性，能够实现追踪航天器对目标航天器的六自由度姿轨协同跟踪，适用于实际的在轨情况，有很大的实际应用工程价值。附图说明
[0067] 图2为椭圆的辅助圆示意图；a为轨道半长轴，f为真近点角，E为偏近点角；
[0068] 图3为轨道平面示意图；P和Q分别表示卫星近地点和半通径方向的单位矢量；
[0069] 图4为相对运动坐标系与地心惯性坐标系的关系示意图；OIXIYIZI为地心惯性坐标系，xyz为相对运动坐标系，rc,rs分别为追踪航天器和目标航天器的地心矢量，追踪航天器相对于目标星的位置矢量为ρ；
[0070] 图5为追踪航天器相对运动坐标系；XYZ为地心惯性坐标系，Ol-XlYlZl为相对运动坐标系，追踪航天器相对于目标星的位置矢量为ρ，目标航天器地心矢量为R。
[0071] 图6为追踪航天器相对运动坐标系平面图，ω为地球自转角速度，r为追踪航天器轨道高度。
[0072] 图7为基于反步控制器的Anti-Windup控制系统结构示意图；
[0073] 图8为x轴相对位置误差；横坐标为时间(s)，纵坐标为x轴相对位置误差；图中 AWC反步法为本发明步骤三的控制器，反步法为本发明步骤二的控制器；
[0074] 图9为y轴相对位置误差；横坐标为时间(s)，纵坐标为y轴相对位置误差；
[0075] 图10为z轴相对位置误差；横坐标为时间(s)，纵坐标为z轴相对位置误差；
[0076] 图11为误差对偶四元数实部标量部分；横坐标为时间(s)，纵坐标为误差对偶四元数实部标量部分；
[0077] 图12为误差对偶四元数实部矢量部分1；横坐标为时间(s)，纵坐标为误差对偶四元数实部矢量部分1；
[0078] 图13为误差对偶四元数实部矢量部分2；横坐标为时间(s)，纵坐标为误差对偶四元数实部矢量部分2；
[0079] 图14为误差对偶四元数实部矢量部分3；横坐标为时间(s)，纵坐标为误差对偶四元数实部矢量部分3；
[0080] 图15为误差对偶四元数对偶部标量部分；横坐标为时间(s)，纵坐标为误差对偶四元数对偶部标量部分；
[0081] 图16为误差对偶四元数对偶部矢量部分1；横坐标为时间(s)，纵坐标为误差对偶四元数对偶部矢量部分1；
[0082] 图17为误差对偶四元数对偶部矢量部分2；横坐标为时间(s)，纵坐标为误差对偶四元数对偶部矢量部分2；
[0083] 图18为误差对偶四元数对偶部矢量部分3；横坐标为时间(s)，纵坐标为误差对偶四元数对偶部矢量部分2；
[0084] 图19为x轴姿态角速度；横坐标为时间(s)，纵坐标为x轴姿态角速度；
[0085] 图20为y轴姿态角速度；横坐标为时间(s)，纵坐标为y轴姿态角速度；
[0086] 图21为z轴姿态角速度；横坐标为时间(s)，纵坐标为z轴姿态角速度；
[0087] 图22为x轴控制力；横坐标为时间(s)，纵坐标为x轴控制力；
[0088] 图23为y轴控制力；横坐标为时间(s)，纵坐标为y轴控制力；
[0089] 图24为z轴控制力；横坐标为时间(s)，纵坐标为z轴控制力；
[0090] 图25为x轴控制力矩；横坐标为时间(s)，纵坐标为x轴控制力矩；
[0091] 图26为y轴控制力矩；横坐标为时间(s)，纵坐标为y轴控制力矩；
[0092] 图27为z轴控制力矩；横坐标为时间(s)，纵坐标为z轴控制力矩；
[0093] 图28为相对位置跟踪轨迹。
具体实施方式
[0094] 具体实施方式一：一种航天器姿轨一体化反步跟踪控制方法包括以下步骤：
[0095] 四元数和对偶四元数
[0096] 四元数是1843年由Hamilton提出的，复数在四维空间的推广，也称超复数。四元数可以表示为q＝[η,ξ]，其中η为实数，称为标量部分、ξ＝ξxi+ξyj+ξzk为四元数矢量部分，i、j、k为彼此正交的单位方向矢量，ξx、ξy、ξz为实数，代表四元数矢量部分在i j k三个方向上的分量。定义如下对偶四元数运算法则：
[0097] q1±q2＝[η1±η2,ξ1±ξ2] (1)
[0098] λq＝[λη,λξ] (2)
[0099]
[0100]
[0101] q-1＝q*/||q|| (5)
[0102] 其中，q1、q2均为四元数，λ为实数， 为四元数乘法，q*为四元数的共轭，q-1为四元数的逆，||q||定义为四元数的模，模为1的四元数称为单位四元数。由Euler定理可知：刚体绕固定点的旋转变换可以等效为绕过该点的旋转轴旋转一定的角度，该姿态变换利用单位四元数可得：
[0103]
[0104] 其中，θ为欧拉角，n为欧拉轴。
[0105] 对偶数定义为：
[0106]
[0107] 其中，a、a′均为实数，a被称为“实数部分”，a′被称为“对偶部分”；ε≠0为对偶单2
位，且满足ε＝0。对偶数的集合在实数上构成了一类满足交换律、结合律并含有单位元素的二维代数。对偶数的基本运算法则为：
位，且满足ε＝0。对偶数的集合在实数上构成了一类满足交换律、结合律并含有单位元素的二维代数。对偶数的基本运算法则为：
[0108]
[0109]
[0110]
[0111] 当对偶数的实数部分与对偶部分均为矢量时，该对偶数成为对偶矢量。因此，对偶矢量可看作实部对偶部均为矢量的对偶数，也可看作每个元素均为对偶数的矢量。对于对偶矢量，若实数部分为自由矢量，即该矢量与所选取的参考点无关，而对偶部分为定位矢量，即该矢量与所选取的参考点有关，则该对偶矢量称为旋量。本发明中涉及的对偶力矢量、对偶速度矢量和对偶动量等均可以看做为旋量。定义如下对偶矢量运算法则：
[0112]
[0113]
[0114]
[0115]
[0116]
[0117]
[0118]
[0119]
[0120] 其中，为对偶数； 为对偶矩阵，即实数部分与对偶部分均为矩阵的对偶数。
[0121] 四元数可以描述刚体空间的三维姿态转动，却难以对轨道和姿态同时刻画。对偶四元数既可以看成是元素为对偶数的四元数，也可以写成一个元素为四元数的对偶数，即：
[0122]
[0123] 其中，为对偶数， 为对偶向量。q和q′均为普通四元数，ε2＝0，ε≠0。 为单位正交向量，满足 类似四元数，定义如下对偶四元数运算法则：
[0124]
[0125]
[0126]
[0127]
[0128]
[0129]
[0130] 单位对偶四元数可以用来描述坐标系的六自由度运动，包括转动运动和平移运动。如图1所示，由坐标系O到坐标系N的变换可由转动q紧接着平移pN(或平移pN紧接着转动q)实现。利用对偶四元数，该坐标系变换可以表示为：
[0131]
[0132] 由上式可知，pN和pO也可以表示为：
[0133]
[0134]
[0135] Chasles定理指出：任意刚体的运动均可由绕固定轴的转动和平行于该轴的平动实现。类似四元数，对偶四元数也可以由旋转轴和转动角度表示：
[0136]
[0137] 其中，表示旋转轴， θ为旋转角、d为螺距。如图1所示：
[0138] 航天器二体轨道运动数学模型
[0139] 在二体问题中，将两个天体均看作质点。讨论卫星m相对地球M的运动，在以M为中心的惯性坐标系中，m相应的运动方程为：
[0140]
[0141] 上述方程存在动量矩积分，记为：
[0142]
[0143] h为单位质量的动量矩，是一个常矢量，垂直于轨道平面。由上两式可以推出：
[0144]
[0145] 积分可得：
[0146]
[0147] 其中e是积分常矢量，位于轨道平面内。
[0148] 令u为从轨道升交点方向到r指向之间的夹角，ω为从升交点方向到e之间的夹角， f为在轨道平面内从e到r的夹角，称为真近点角，则f＝u-ω。将式(32)与r点乘，可得到卫星的轨道方程：
[0149]
[0150] 上式为极坐标形式的圆锥曲线方程，此即开普勒第一定律。设圆锥曲线轨道的半通径为p，可得到
[0151]
[0152] 其中，a为轨道半长轴。
[0153] 另外，用 点乘式(29)并积分可得：
[0154]
[0155] 其中，v为卫星速度，ξ为积分常数，代表卫星单位质量的总能量，所以卫星总能量守恒。取f＝90°的点，可以得到：
[0156]
[0157] 此式被称为活力积分，用它可以计算出卫星在轨道上任意一点的速度。
[0158] 对于椭圆轨道，引入偏近点角E，如图2所示，有r＝a(1-ecosE)，经推导可得：
[0159]
[0160] 其中τ为过近地点的时间。令
[0161]
[0162] M＝n(t-τ) (39)
[0163] n称为平均运动角速度，M称为平近点角，式(37)可以写为
[0164] E-esin E＝M (40)
[0165] 此即著名的开普勒方程，它将卫星在椭圆轨道上的位置与过近地点后所经历的时间联系起来。
[0166] 通过对二体问题的求解，卫星在惯性空间中的运动可以用六个经典的轨道要素(也称轨道根数)来描述：
[0167] a：轨道半长轴；
[0168] e：偏心率；
[0169] Ω：升交点赤经，在地心惯性系中自x轴方向在xy平面内逆时针转到升交点的角度0 ≤Ω<2π；
[0170] i：轨道倾角，轨道正法向h与地心惯性系z轴的夹角，0≤i<π。若0≤i<π/2，为顺行轨道，航天器偏向东飞行；若π/2≤i<π，为逆行轨道，航天器偏向西飞行；若i＝π/2，为极轨道；
[0171] ω：近地点幅角，在轨道平面内自轨道升交点方向到偏心率矢量e之间的夹角，顺航天器方向度量，0≤ω<2π；
[0172] f：真近点角，在轨道平面内从e到r之间的夹角。
[0173] 只要初始条件给定，从观测的航天器位置和速度数据出发，可以计算轨道根数，这一过程称为轨道计算。同时，轨道根数确定以后，也能计算出任意时刻卫星的位置和速度，这一过程称为星历表计算。以下简单介绍一下两种过程的计算方法。
[0174] 轨道计算
[0175] 半长轴a：
[0176]
[0177] 偏心率e：
[0178]
[0179] 轨道倾角i与升交点赤经Ω：
[0180] i＝arccos(hz/h) (43)
[0181] Ω＝-arctan(2hx/hy) (44)
[0182] 真近点角f：
[0183] cosf＝(p/r-1)/e (45)
[0184] 近地点幅角ω：
[0185] 令iΩ为地心指向升交点的单位矢量，在地心惯性系(xi,yi,zi)中表示为iΩ＝cosΩ·xi+ sinΩ·yi
[0186]
[0187] ω＝u-f (47)
[0188] 注：当e＝0时，会出现奇异。因此一般考虑当e<10-6时，轨道称为圆轨道，有ω＝ 0，f＝u。
[0189] 在轨道平面内定义如图3所示的坐标系，有
[0190]
[0191]
[0192] 其中，P和Q分别表示卫星近地点和半通径方向的单位矢量。通过3-1-3的旋转，P 和Q的表达式如下所示：
[0193]
[0194]
[0195] 卫星在轨道上除受到地球引力外，还始终受着空间环境各种摄动力的作用，如地球非球形摄动、大气摄动、日月引力摄动、太阳光压摄动等。在摄动影响下，卫星轨道不再遵循二体运动模型，其周期、偏心率、升交点赤经和轨道倾角等都会发生变化。虽然这些摄动力与地球中心引力相比十分微小，但长时间的作用也会使卫星逐渐偏离原有轨道，导致应用任务的要求不能满足。
[0196] 航天器相对轨道运动动力学模型
[0197] 以某课题实际背景为例。记目标航天器为s，追踪航天器为c。设目标航天器s处在近圆轨道上，取目标航天器的轨道坐标系s-xyz作为相对运动坐标系，轨道坐标系s-xyz 与地心惯性坐标系OI-XIYIZI的关系如图4所示
[0198] 在轨道坐标系中有
[0199]
[0200] 设追踪星的地心位置为rc，则其对于目标星的位置矢量ρ为
[0201]
[0202] 在地心惯性坐标中，目标星和追踪星的动力学方程如下
[0203]
[0204]
[0205] 其中as和ac分别为目标星和追踪星除地球中心重力以外的其他作用力的合力的加速度矢量，即对推力和摄动力(包括地球形状摄动，大气阻力摄动和太阳光压摄动)的加速度矢量。
[0206] 由式(51)、式(52)和式(53)可得追踪星与目标星的绝对加速度之差 为
[0207]
[0208] 上式可进一步表示为下列等效的关系式
[0209]
[0210] 为了建立追踪星与目标星在动坐标系s-xyz中的相对运动方程，有
[0211]
[0212] 上式中的 和v分别为追踪星在目标星轨道坐标系中的相对加速度矢量和相对速度矢量，则
[0213]
[0214]
[0215] 式(56)中的 分别为轨道参考坐标系旋转的角加速度矢量和角速度矢量。目标星的平均运动角速度为
[0216] 由轨道要素描述的卫星位置和轨道角速度的形式如下
[0217]
[0218]
[0219] 针对圆轨道e＝0，由式(60)得 并可得下列近似式
[0220]
[0221] 对于追踪星和目标星的近距离的相对运动情况，卫星间距ρ是小量，特别是相对高度不大(即rs/rc接近1)时，从式(55)可以看出，其右端第一项为中心引力加速度差表达式，通过取一次近似(即线性化)可以进行简化。下面为具体的简化过程，可以看出简化实质是对中心引力取一次近似(即线性化)。
[0222] 因为
[0223]
[0224] 所以有
[0225]
[0226] 在上式忽略 以及更高的幂次项，则近似可得一下公式
[0227]
[0228] 将上式(64)和式(51)代入(55)得
[0229]
[0230] 进一步简化上式，忽略小量xρ项，得
[0231]
[0232] 将式(66)、式(57)、式(58)和式(61)代入式(56)可得
[0233]
[0234] 通过简化，将相对运动动力学方程化为一组常系数线性微分方程。式(67)称为Hill 方程，也称Clohessey-Whiltshire方程(简称C-W方程)。
[0235] 航天器姿态运动数学模型
[0236] 姿态是物体相对于观察者的几何角度关系。航天器的姿态就是指航天器的本体坐标系相对于参考坐标系的方位或指向。一般说来，刚体航天器姿态运动的数学模型由两个方程组成，一个是描述姿态运动改变原因的姿态动力学方程，另一个是用来描述姿态运动几何性质的姿态运动学方程。
[0237] 航天器姿态动力学模型
[0238] 航天器姿态动力学方程用来描述作用力矩和角运动状态之间的关系
[0239]
[0240] 其中，ω＝[ω1 ω2 ω3]T表示航天器本体系相对于惯性系的旋转角速度在本体T T系下的分量； u＝[u1 u2 u3] 表示控制力矩；d＝[d1 d2 d3] 表示干扰力矩。矩阵函数表示矩阵叉乘，对于任一向量 有
[0241]
[0242] 根据叉乘函数S(～)的定义，有如下三条常用性质成立：
[0243]
[0244] 对于式(103)的结论，可由如下式所示的推导得到
[0245]
[0246] 反步设计法
[0247] 反步设计法(Backstepping)本质上是一种迭代Lyapunov方法，其基本思想是将复杂的级联线性或非线性系统分解成若干个子系统，通过逆向为每个子系统设计子Lyapunov函数和中间虚拟控制量，最终设计能够保证整个系统稳定的控制律。
[0248] 对于一个二阶级联系统
[0249]
[0250] 典型的反步控制器设计可按照以下步骤进行：
[0251] 第一步：首先定义反步控制变量z1＝x1-xr， 其中xr为参考值，α1为中间虚拟控制量。
[0252] 第二步：设计虚拟控制变量α1
[0253] 为z1选择一个子Lyapunov函数为
[0254]
[0255] 并对其求导可得
[0256]
[0257] 可暂时忽略z2等待下一步处理，此处仅需设计虚拟控制α1以镇定z1，则可设计α1为[0258] α1＝-k1z1 (71)
[0259] 第三步：设计最终控制器u
[0260] 为z1和z2选择一个子Lyapunov函数为
[0261]
[0262] 并对其求导，可得
[0263]
[0264] 为了镇定z1和z2，则可设计控制器u为
[0265]
[0266] 此时有
[0267] 当系统为更高阶级联系统时，可重复第二步设计过程并最终得到全局稳定的反步控制器。
[0268] 基于对偶四元数的航天器姿轨一体化系统是一个高阶强耦合的非线性控制系统，包括姿轨耦合动力学模型，控制器设计以及执行机构配置等部分，其中最重要的环节就是针对姿轨耦合模型的一体化控制器设计。输入饱和问题是控制器设计中必须要考虑的实际问题。在实际航天器任务中，由于各执行机构自身的物理限制，都存在输出上界，难以输出过大的控制力和控制力矩。而一旦执行机构处于饱和情况，控制器的输出将不等于被控对象的输入，二者的偏差将严重影响航天器控制系统的性能，甚至会影响航天器的稳定性。因此，从实际的工程设计角度考虑，必须在控制器设计中考虑控制输入饱和问题。
[0269] 在非线性控制器设计方法中，反步法由于能够将控制器设计与Lyapunov稳定性证明相结合，可将高阶系统划分为若干个低阶子系统，对每个子系统选择相应的Lyapunov函数并引入虚拟控制律使其镇定，从而降低了针对高阶强耦合模型的Lyapunov函数设计难度。因此本发明中选用反步控制方法进行控制器设计。
[0270] 航天器姿轨一体化动力学建模
[0271] 常用坐标系定义
[0272] 为便于描述追踪航天器相对空间目标航天器的运动，定义相对运动坐标系如图5和图6所示：
[0273] (1)本体坐标系
[0274] 以追踪航天器质心为坐标原点，三轴均固连与追踪航天器本体上并与追踪航天器三个惯量主轴重合。在相对跟踪问题中，定义Ol-XlYlZl为目标航天器的本体坐标系， Of-XfYfZf为追踪航天器的本体坐标系。
[0275] (2)相对运动坐标系
[0276] 定义当地垂直当地水平(Local Vertical Local Horizontal,LVLH)参考坐标系为相对运动坐标系。其中，以目标航天器质心为坐标原点，xl，yl和zl为目标航天器坐标轴，yl沿R 指向方向向外，zl指向平行于目标航天器轨道法向量方向，xl，yl和zl满足右手坐标系。
[0277] 单航天器姿轨一体化动力学模型
[0278] 基于LVLH坐标系，在对偶框架内定义刚体质量元的线动量，即质量元与该点速度旋量的乘积。假设质点A是位于刚体B中的任意一点，于是：
[0279]
[0280] 其中， 为质量元线速度的对偶表示， 为质量元对偶质量算子。代入上式，可以得到
[0281]
[0282] 对整个刚体积分，得到刚体的动量矩
[0283]
[0284] 其中J为刚体转动惯量，ω为刚体旋转角速度。
[0285] 定义刚体对偶动量 经整理得到
[0286]
[0287] 其中定义 为对偶惯性算子，形式上为对偶质量算子与对偶惯量算子之和。 为刚体空间运动本体坐标系相对于地心惯性坐标系的速度旋量在本体
系下的投影。
系下的投影。
[0288] 对刚体对偶动量求导，可以得到
[0289]
[0290] 其中， 为作用在航天器本体系下的对偶力矢量，实数部分主要包括控制力万有引力 以及干扰力fd；对偶部分主要包括控制力矩 重力梯度力矩 以及干扰力矩τd。
[0291]
[0292] 在(79)中不难发现，对偶形式下的牛顿欧拉方程可以同时描述刚体的平移运动与转动运动。此外，等式右侧实数部分与对偶部分由于角速度的影响相互制约，即刚体的平移运动会受到旋转运动的影响，这部分影响即为姿轨动力学耦合。因此，(79)将航天器轨道运动、姿态运动以及姿轨动力学耦合综合表示，成为对航天器在轨运动的统一描述，即姿轨一体化模型。
[0293] 步骤一：基于对偶四元数建立航天器姿轨一体化相对运动学和动力学模型；
[0294] 步骤二：根据步骤一建立的航天器姿轨一体化相对运动学和动力学模型，基于反步法设计控制器；
[0295] 步骤三：根据步骤二设计的控制器，设计基于抗饱和法的输入有界控制器。
[0296] 具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：所述步骤一中基于对偶四元数建立航天器姿轨一体化相对运动学和动力学模型的具体过程为：
[0297] 定义Ol-XlYlZl为目标航天器的本体坐标系，Of-XfYfZf为追踪航天器的本体坐标系。利用偏差四元数表示追踪航天器的相对运动：
[0298]
[0299] 其中 为航天器相对目标的偏差对偶四元数， 为目标相对于地心惯性坐标系的对偶四元数的共轭， 为航天器相对于地心惯性坐标系的对偶四元数；
[0300] 对式(81)求导，得到偏差对偶四元数的相对运动学方程：
[0301]
[0302] 其中 为 的导数，为四元数乘法， 为航天器(追踪)相对目标(航天器)的角速度旋量在航天器本体坐标系(Of-XfYfZf)下的投影；
[0303] 的定义为：
[0304]
[0305] 其中 为航天器的角速度旋量在航天器本体坐标系下的投影， 为航天器相对目标的偏差对偶四元数的共轭， 为目标的角速度旋量在目标本体坐标系下的投影；
[0306] 对式(83)两端求导，并代入式(82)，得到：
[0307]
[0308] 其中 为对偶惯量矩阵， 为作用于航天器质心的对偶力旋量， 为 的导数， 为 的导数；
[0309] 得到基于对偶四元数得到航天器姿轨一体化相对运动学和动力学方程为：
[0310]
[0311]
[0312] 将上式按实数部分与对偶部分分解，可以得到相对姿态运动的动力学模型以及相对轨道运动轨道动力学模型：
[0313]
[0314] 其中：
[0315]
[0316]
[0317] 由式(87)可知，由于相对轨道动力学方程中包含姿态动力学中的参数方向余弦矩阵Ce和相对角速度 因此相对姿态动力学会影响相对轨道动力学；相对姿态动力学中的重力梯度力矩与相对轨道位置有关，因此相对轨道动力学会影响相对姿态动力学方程。综上所述：相对姿态运动与相对轨道运动相互影响、相互耦合。
[0318] 其它步骤及参数与具体实施方式一相同。
[0319] 具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：所述步骤二中基于反步法设计控制器的具体过程为：
[0320] 本发明的控制目标为，在考虑外部干扰情况下，使得追踪航天器运动状态的误差量 以及 即， 其中(·)v为对应的向量部分。
[0321] 当存在外界干扰和模型不确定性时，(85)改写为：
[0322]
[0323]
[0324] 其中 为 的对偶部的导数， 为 的实部， 为 的对偶部的叉乘矩阵，I为单位矩阵， 为表示对偶惯量矩阵的标称部分， 为控制器输出，表示模型总不确定性；
[0325] 假设系统总不确定性有上界，即
[0326] 定义 为偏差对偶四元数的对偶部， 为期望偏差对偶四元数的对偶部， 为 的导数， 为 的导数；
[0327] 构造李雅普诺夫函数：
[0328]
[0329] 其中ε为对偶算子，I3为3×3的单位矩阵；
[0330] 对式(90)求导得到：
[0331]
[0332] 定义： 为常值对偶四元数，代入式(91)得到：
[0333]
[0334] 引入切换函数 其中 为切换增益； 且ki＞0，ki′＞0，i＝1,2,3；
[0335] 则若 则有 渐近收敛；
[0336] 构造Lyapunov函数：
[0337]
[0338] 对式(93)求导可得：
[0339]
[0340] 则设计控制器为：
[0341]
[0342] ⊙表示对偶数和对偶向量的乘法运算， 为 的逆， 为期望偏差对偶四元数的二阶导数， 表示模型总不确定性的上界，sgn()为符号函数，和 为控制器增益。
[0343] 将控制器代入 中，可得：
[0344]
[0345] 构造：
[0346]
[0347] 将 代入 中，可得：
[0348]
[0349] 其中， 当 为正定矩阵，即|Q|＞0且|Q′|＞0时，该反步控制器可实现闭环系统渐近稳定，使航天器相对位置和相对姿态渐近收敛到期望值，即 且
[0350] 其证明为以上设计过程的逆推。
[0351] 其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。
[0352] 具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：所述步骤三中根据步骤二设计的控制器，设计基于抗饱和法的输入有界控制器的具体过程为：
[0353] 抗饱和设计法(Anti-Windup Control)的基本思路是对执行机构饱和输出值与控制器输出值之差积分，并将积分值反馈给控制器，从而降低控制器的输出以削弱饱和区对被控对象的影响。基于反步控制法的Anti-Windup控制系统结构示意图如图7所示：
[0354] 非线性饱和模块表示如下：
[0355]
[0356] 其中v为非线性饱和模块的输出，u为非线性饱和模块的输入，umin和umax为饱和阈值；
[0357] 基于Anti-Windup控制的基本原理，在式(95)中结合抗饱和控制器，得到基于抗饱和设计法的输入有界反步协同控制器：
[0358]
[0359] 其中 为抗饱和的的反馈增益系数， 为非线性饱和模块的限幅阈值。
[0360] 分别为转动和平动Anti-Windup的反馈增益系数；ftlim、frlim分别为平动和转动非线性饱和模块的限幅阈值。
[0361] 其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。
[0362] 采用以下实施例验证本发明的有益效果：
[0363] 实施例一：
[0364] 仿真参数设置
[0365] 仿真中假设主航天器位于地球同步圆轨道，采用的系统参数和初始条件如下：
[0366] ρe(0)＝[-20,-10,-10]Tm ρed＝[0,0,0]Tm
[0367] qe(0)＝[0.6245,0.5,0.5196,0.3]T qed＝[1,0,0,0]T ωe(0)＝[0,0,0]Trad/s[0368] 外界干扰力及干扰力矩如下：
[0369]
[0370] 追踪航天器标称质量及转动惯量为：
[0371] mf0＝300kg Jf0＝diag(52,52,72)kg·m2
[0372] 追踪航天器实际质量及转动惯量为：
[0373] mf＝295kg Jf＝diag(51.1,51.1,70.8)kg·m2
[0374] 控制参数如下：
[0375]
[0376]
[0377] ftlim＝diag(10,10,10)N frlim＝diag(0.15,0.15,0.15)(N.m)
[0378] 仿真时加入的空间干扰力矩有：太阳光压力矩、重力梯度力矩、地磁力矩、气动力矩。
[0379] 通过仿真，分别得到反步跟踪和考虑输入有界时反步跟踪控制算法仿真曲线；
[0380] 图8～图21分别给出了相对位置和相对姿态的跟踪误差，并将两种控制器的控制效果进行对比：每种控制器均能使相对位置跟踪误差和相对姿态误差在200s内收敛到0，即追踪航天器能够到达并保持在相对主航天器的期望位置和姿态上，且动态品质良好。图 22～图24和图25～图27清晰地表明带有抗饱和环节的反步控制器的输出满足输入有界条件，即控制力和控制力矩均满足输入有界要求，充分说明了控制器设计的有效性。
[0381] 在不考虑输入有界条件的传统反步控制器作用下，闭环系统具备更快的收敛速度和更短的收敛时间，相应也需要更大的控制力和控制力矩。而考虑输入有界的反步控制器由于对控制力和控制力矩进行限制，整体上延长了相对位置和相对姿态收敛时间，降低了控制系统的快速性。然而由于对控制力的约束强于对控制力矩的约束，因此对偶四元数实部与相对姿态角速度的收敛曲线并未出现较大偏差，而对相对位置与对偶四元数对偶部的影响较为明显。图28表明抗饱和环节对相对位置跟踪轨迹的影响效果。在数值仿真中可以发现，当控制力及控制力矩的限幅阈值提高时，Anti-windup反步法的收敛时间将减小，相应的仿真曲线逐渐与反步法的曲线相重合；反之，相应的仿真曲线逐渐远离原始曲线，并在控制力与控制力矩曲线中出现频繁震颤现象，这是因为小幅限制将使控制器长期处于饱和和线性区的切换状态，控制器控制效果的连续性将受到严重影响。因此，控制力与控制力矩的限幅阈值并非越小越好，而是需要对实际航天器任务要求、所配置的执行机构综合考量。
[0382] 综上，针对航天器姿轨一体化跟踪控制问题，本发明基于姿轨一体化相对动力学模型，采用反步控制法，为实现追踪航天器相对目标航天器姿态轨道的跟踪，考虑外界干扰和系统不确定性，引入切换函数设计姿轨一体化反步控制器。然后，在反步控制器的基础上考虑输入有界问题，设计了基于抗饱和环节的输入有界反步控制器。最后给出了两种控制器的仿真曲线并进行分析，证明了两种控制器对于外界干扰和系统不确定性具有鲁棒性，能够实现追踪航天器对目标航天器的六自由度姿轨协同跟踪，适用于实际的在轨情况，有很大的实际应用工程价值。
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