基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法
专利汇可以提供基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法专利检索，专利查询，专利分析的服务。并且基于代数Lyapunov方程的控制受限 小卫星 三轴磁 力 矩 姿态 控制方法，本 发明 涉及基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法。本发明为实现控制受限情形下的小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的全局稳定。步骤一：建立控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制的姿态运动学与姿态动力学模型，并得到 状态空间 方程；步骤二：求解代数Lyapunov方程ATP0+P0A＝‑DTD的显式解P0：其中A是系统矩阵，D是任意维数的矩阵，系统矩阵A是临界稳定或是Lyapunov稳定的，保证上述代数Lyapunov方程存在正定解P0；步骤三：通过代数Lyapunov方程的正定解P0，设计显式的控制受限情形下的线性反馈控制律。本发明应用于卫星控制领域。，下面是基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法专利的具体信息内容。
1.基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法，其特征在于它按以下步骤实现：
步骤一：建立控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制的姿态运动学与姿态动力学模型，并得到状态空间方程；
步骤二：求解代数Lyapunov方程的显式解P0：
ATP0+P0A＝-DTD
其中A是小卫星姿态控制系统的系统矩阵，D是任意维数的矩阵，由于系统矩阵A是临界稳定或是Lyapunov稳定的，保证上述代数Lyapunov方程存在正定解P0；
步骤三：通过代数Lyapunov方程的正定解P0，设计显式的控制受限情形下的线性反馈控制律，即设计控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的状态反馈磁力矩姿态镇定控制器和基于观测器的磁力矩姿态镇定控制器；通过构造显式的Lyapunov函数，保证闭环系统的全局渐近稳定性。
2.根据权利要求1所述的基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法，其特征在于步骤一具体为：
(1)坐标系定义
引入地心赤道惯性坐标系X-Y-Z记作Fi，其中X轴指向春分点，X-Y面为地球赤道面，Z轴沿地轴指向北极；
Fb记为卫星本体坐标系，Fo为轨道坐标系，其坐标原点位于卫星的质心，xo沿着轨道方向，yo垂直于轨道面，zo是最低点方向；
在轨道坐标系Fo下描述卫星的姿态，如果卫星姿态达到期望位置，则卫星本体坐标xb-yb-zb和轨道坐标xo-yo-zo完成重合；
卫星本体坐标系Fb和轨道坐标系Fo之间通过姿态矩阵Ψ相联系
其中，所述q＝[q1,q2,q3,q4]T是四元数，设卫星本体坐标系Fb相对于轨道坐标系Fo在X轴，Y轴和Z轴上的相对位置分量分别是x,y,z， 和 分别表示姿态矩阵Ψ在三个坐标轴方向分量；
(2)建立小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的姿态运动学与姿态动力学模型
小卫星的姿态运动学模型：
小卫星的姿态动力学方程：
其中，所述 表示卫星绕地球旋转的角速度，μ＝3.986×1014m3/s2是地球引力常数，r是卫星环绕轨道的半长轴，ωr＝[ωrx,ωry,ωrz]T是卫星本体坐标系Fb相对于轨道坐标系Fo的相对角速度，ωrx，ωry和ωrz分别表示角速度ωr在三个坐标轴方向的分量；Jx,Jy和Jz是航天器的转动惯量，ω＝[ωx,ωy,ωz]T是卫星本体坐标系Fb相对地心赤道惯性坐标系Fi的角速度，ωx，ωy和ωz分别表示角速度ω在三个坐标轴方向的分量；Tmx，Tmy和Tmz分别表示磁力矩在三个坐标轴方向的分量；向量Tg是重力梯度力矩，
其中Tgx，Tgy和Tgz分别表示重力梯度力矩在三个坐标轴方向的分量，J＝diag{Jx,Jy,Jz}，×表示叉积；
向量ωr和ω满足
T
向量Tm＝[Tmx,Tmy,Tmz]是磁力矩，表示为
Tm＝m×b, (4)
其中m＝m(t)＝[mx(t),my(t),mz(t)]T是磁力矩器产生的磁偶极矩，mx(t)，my(t)和mz(t)分别表示磁偶极矩在地心赤道惯性坐标系的三个坐标轴方向的分量，b表示在地心赤道惯性坐标系Fi中的地磁场矢量；忽略地球扁率的影响，则在轨道坐标系Fo中地磁场矢量表示为其中，b1(t)，b2(t)和b3(t)分别表示地磁场b0在三个坐标轴方向的分量，im是航天器在磁赤道上的倾角，时间测定是从t＝0在升交点穿越磁赤道开始；场偶极子强度μm＝7.9×
1015Wb-m，b和b0的关系为
b＝Ψb0 (6)；
(3)由小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的姿态运动学与姿态动力学模型得到状态空间方程
在平衡点q*＝[0,0,0,1]T和ω*＝[0,-ω0,0]T处姿态运动学模型(1)与姿态动力学模型(2)可得
其中，所述 和 此时有Ψ＝I3，I3是3阶单位矩
阵，从(4)和(6)中得到Tm＝m×b0
选取状态向量 控制向量m和输出向量y(t)＝[q1,q2,q3]T,由方
程(7)和(8)可得状态空间方程
其中A为系统矩阵，B(t)是输入矩阵，C是输出矩阵，分别有如下形式
其中，所述B(t)是一个周期为 的周期矩阵，A是系统矩阵，C是一个常数矩阵；小卫星滚转角V，俯仰角θ，偏航角ψ与四元数q之间的关系为
式(9)具有如下特殊的性质：(A,B(t))能控，(A,C)能测，且当(σ1,σ2,σ3)满足如下时，系统矩阵A的特征值都在虚轴上，并且特征值的代数和几何重数都是1，即系统矩阵A是Lyapunov稳定或临界稳定的；
所述小卫星为控制受限小卫星，主要表现在：
其中 表示磁力矩器在地心赤道惯性坐标系中的k轴上能产生的最大磁
偶极矩分量。
3.根据权利要求2所述的基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法，其特征在于：步骤二中求解代数Lyapunov方程正定解P0的具体过程：
代数Lyapunov方程
ATP0+P0A＝-DTD (14)
令 其中ej表示6阶单位矩阵I6的第j列，则计算
其中A1,A2和A3均为与ω0无关的常数矩阵，表示如下
假设σ1σ2σ3≠0，则在D＝0时，代数Lyapunov方程(14)的所有解表示为
其中P2＝diag{3σ2γ2,γ2}，γ2为任意常数，
其中γ1,γ3和γ13是任何标量，并使得下式成立
如果选择γ13＝0和 得正定矩阵
4.根据权利要求3所述的基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法，其特征在于：步骤三中控制受限情形下的线性反馈控制律的具体设计过程：
步骤3.1：定义饱和函数；
satα(·)是向量值饱和函数，其饱和度向量表示为
α＝[α1,α2,…,αr]T,αd>0,d∈I[1,r]＝{1,2,…,r},
即
其中u＝[u1,u2,…,ur]T和
令 即
步骤3.2：对于任何η>0和δ>0，定义周期矩阵Qδ(t)＝DTD+δP0B(t)BT(t)P0和Ac(t)＝A-ηB(t)BT(t)P0，其中BT(t)是输入矩阵B(t)的转置，验证(Ac(t),Qδ(t))是可检测的；
通过反证法验证；假设(Ac(t),Qδ(t))不可测，则存在一个特征指数ρ∈E(Ac(t))使得(15)式成立
其中E(Ac(t))是Ac(t)的特征指数的集合，t0表示初始时刻，ξ(t)是以T为周期的向量，称之为与ρ相关的右广义特征向量，且满足
因为δ>0，所以从(15)式可得
通过恒等式(17)，方程(16)导出(19)式
令ξ0(t)＝P0ξ(t)≠0,从恒等式(18)和式(19)可得下式
即可得式(20)
上式蕴含ρ是-AT的一个特征指数，ξ0(t)是与ρ相关的右广义特征向量，即ρ∈E(-AT) (21)
再次利用恒等式(18)和式(19)，可导出下式
其中ξH(t)表示ξ(t)的共轭转置，Re(ρ)表示ρ的实数部分；上面的等式可改写成下式由此可知，对于任何t≥t0,有下式成立
如果Re(ρ)>0,则有
limt→∞ξH(t)P0ξ(t)＝-∞, (22)
又由于P0正定并且ξ(t)是以T为周期的，所以(22)是不可能成立的；类似的，如果Re(ρ)<
0，则limt→∞ξH(t)P0ξ(t)＝∞，这也是不可能的；因此必有(23)式成立Re(ρ)＝0 (23)
注意到从(17)式可得BT(t)ξ0(t)＝0；通过式(20)，(21)和(23)，可以推出(-AT,BT(t))是不可检测的，即(A,B(t))是不可镇定的；这与(A,B(t))是可控的矛盾；所以(Ac(t),Qδ(t))是可检测的；
T
步骤3.3：令δ>0是任意常数，验证周期矩阵Ac(t)＝A-ηB(t)B (t)P0的渐近稳定性；将代数Lyapunov方程(14)改写成下式
因为(A-ηB(t)BT(t)P0,Q2η(t))是可检测的并且P0正定，由Lyapunov矩阵方程理论可知Ac(t)＝A-ηB(t)BT(t)P0是渐近稳定的；
步骤3.4：设计控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的状态反馈磁力矩姿态镇定控制器
其中η>0是任意常数；验证如下闭环系统
的全局渐近稳定性；令δ>0是任意常数，定义周期矩阵
Qδ(t)＝DTD+δP0B(t)BT(t)P0
则对于任何η>0和δ>0，由步骤3.3可知周期矩阵Ac(t)＝A-ηB(t)BT(t)P0是渐近稳定的，从而如下周期Lyapunov微分方程
具有唯一周期正定解P(t)；选择式(25)所示显式的Lyapunov函数
其中
V1(χ(t))＝χT(t)P0χ(t)
从而
其中 和 定义为
其中λmax{P(t)}，λmin{P(t)}分别表示周期矩阵P(t)的最大特征值和最小特征值；V(χ(t))是正定的；对Lyapunov函数(25)沿闭环轨迹求导有：
根据Lyapunov稳定性定理，闭环系统(24)是全局渐近稳定的；
步骤3.5：设计控制受限小卫星基于观测器的磁力矩姿态镇定控制器
其中矩阵L使得A+LC是Hurwitz的,η>0是任意常数，ε(t)是观测器的状态；令e(t)＝χ(t)-ε(t)，验证如下闭环系统
的全局渐近稳定性；选择式(27)所示显式的正定Lyapunov函数
其中p,V1(χ(t)),V2(χ(t))的表达式同步骤3.4；
Pe(t)是如下周期Lyapunov微分方程
的唯一周期正定解；对Lyapunov函数(27)沿闭环轨迹求导有：
根据Lyapunov稳定性定理，闭环系统(26)是全局渐近稳定的。
基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控
制方法
技术领域
背景技术
发明内容
具体实施方式
证；因此实际控制器设计必须考虑控制受限的情况，即要求
功收敛到平衡点；图5记录了控制信号变化曲线，可以看出在大部分时间中执行器都是饱和的；这说明了闭环系统呈现出本质的非线性特征；由于用于控制器设计和仿真的模型是明显不同的，所以仿真的结果还说明了本发明所提出的控制方案具有较好的鲁棒性。
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