一种基于2:1内共振的柔性机械臂耗能减振方法及实现装
置
技术领域
[0001] 本
发明涉及
一种基于2:1内共振的柔性机械臂耗能减振方法及实现装置，它可在被控柔性机械臂和吸振摆杆之间构建模态
能量交互通道，将柔性机械臂的振
动能量迁移至减振装置并由阻尼耗散，属于机械振动、精密机械、
机器人运动控制等技术领域。
背景技术
[0002] 为满足轻质、高速、高负载自重比的性能要求，柔性机械臂被广泛应用于航空航天、微
电子制造、精密机械等技术领域。然而，柔性机械臂在名义运动作用下产生的弹性振动，严重影响了机械臂的空间
定位精度和工作效率。为解决振动在柔性机械臂工作过程中所引发的空间上与时间上的双重矛盾，柔性机械臂的振动控制成为科学研究和技术应用领域探讨的重要课题。
[0003] 迄今为止，人们从不同视
角对柔性机械臂的振动控制开展了广泛研究。例如，在结构设计方面，通过合理选取几何尺寸或形状提高基频，降低机器人的柔性
变形和振动；在减振构型设计方面，采用滑动
质量可控的杆件实现柔性机器人的轨迹控制；在控制规律设计方面，主动控制逐步取代传统被动控制，成为振动控制的主要发展方向。其中，利用伺服
电机控制刚体运动的同时，附加压电陶瓷、形状记忆
合金等机敏材料作为作动器，抑制柔性机器人的弹性动
力响应的方法已经成为当前的一个研究热点。当前的振动控制方法已在柔性效应较弱、可做线性化处理的柔性机器人的一般振动方面取得了显著进展，然而在高
加速度、复杂名义运动环境下，柔性机械臂非线性动力学效应显著而致使动力学行为变得十分复杂，致使以线性振动控制为核心的动态性能优化问题进展缓慢、困难重重。
[0004] 与一般振动不同，大幅非线性振动大大增强了系统中原本可以忽略的非线性因素，原有基于线性化的各种控制方法不仅会引起大的计算误差更会造成根本性的错误，从而丧失应有的控制效果。另一方面，与柔性结构研究中可将其模态参数视为不变有所不同，柔性机器人是一类复杂的时变多体系统，存在着刚性运动（整体大位移）与柔性振动的耦合，不仅模态密集而且模态参数（如：
频率）随拓扑结构的变化而变化。此外，外激励的频率也会随着工作任务的不同而发生变化。因此，在处理柔性机器人大幅非线性振动问题时，原本寄希望于结构设计以消减振动的做法将面临着“防不胜防”的困境。例如：
申请号为200910071707.0和申请号为200510094882.3的
专利公开的基于磁流变弹性体的半主动吸振器，对于柔性结构振动控制具有比较好的效果，但对于名义运动作用下刚柔耦合的柔性机械臂的大幅非线性振动控制将难以实施。尽管各种主动控制方法取得了显著进展，但在处理大幅非线性振动问题时也面临着极大挑战。本质上，主动控制方法依赖外部能量的输入以实现振动抑制，直接将外部能量转变为控制力作用于被控对象。但是，大幅非线性振动通常蕴含了强烈的振动能量，主动控制方法将不得不消耗更多的能量转变为控制力来抑制这种大幅振动。显然，这种做法并非总是妥当的，其能耗高、易过载的不足甚至使之得不偿失。更为重要的是，一般机敏材料的输出功率往往有限，因而难以提供足够能量来克服这种强烈振动，甚至面临着过载破坏的危险。由此可见，现有的常规控制方法难以应对柔性机器人的大幅非线性振动问题。
[0005] 另一方面，从非线性振动理论出发，当系统各阶频率或局部的某几阶频率具有近似通约或具有一定的可公度时，系统将发生强烈的内共振。此时，对应模态之间将构建起模态能量交互的通道，模态能量可周期性地从某一阶模态迁移到另一阶模态。如果系统存在阻尼，那么振动能量将在交互的过程中逐渐衰减。因此，从非线性振动固有的属性出发，利用内共振模态能量交互通道，将柔性机械臂大幅非线性振动的能量迁移出来并且利用阻尼予以耗散的方法，成为我们解决大幅非线性振动的新思路。
[0006] 因此，为解决诸如微电子制造、航空航天、机器人等领域，具有柔性机构，特别是具有单柔性机械臂的机械系统的大幅非线性振动控制问题，本发明提出了以非线性振动的模态耦合为理论
基础的一种基于2:1内共振的柔性机械臂耗能减振方法及实现装置。
发明内容
[0007] 本发明的目的是针对当前柔性机械臂大幅非线性振动控制方法的欠缺及不足，为解决柔性机械系统，特别是具有单柔性杆的柔性机械臂，在工作过程中的振动控制问题，提供了一种基于2:1内共振的柔性机械臂耗能减振方法及实现装置。本发明可以应用于航空航天柔性臂杆机构、微电子制造柔性机械臂及机器人系统柔性机械手等的振动控制，具有减振效果明显、结构简单和鲁棒性好的特点。
[0008] （1）本发明一种基于2:1内共振的柔性机械臂耗能减振装置，由吸振器安装座A2、扭转
弹簧A3，连接转盘A5，惯性调节球A6，摆动支杆A7和可调阻尼器A8组成，其中：吸振器安装座A2通过螺钉与柔性机械臂连接，可调阻尼器A8通过
螺栓与吸振器安装座连接，连接转盘A5紧固在可调阻尼器A8的
转轴上，扭转弹簧A3穿过可调阻尼器的转轴，扭转弹簧A3的两端分别与可调阻尼器A8及连接转盘A5连接，摆动支杆A7与连接转盘A5
螺纹连接，惯性调节球A6经通孔穿过摆动支杆A7并由
紧定螺钉与摆动支杆固连。
[0009] 所述吸振器安装座A2为一“L”形的安装支座，其中一个表面设有4个与柔性机械臂螺钉连接的通孔，另一表面设有一大圆孔和两个小通孔便于与可调阻尼器A8连接。吸振器安装座A2为该减振装置与柔性机械臂的连接件。
[0010] 所述扭转弹簧A3，其上下各有一竖直圆柱端，分别与可调阻尼器A8的固定部分和连接转盘A5连接。扭转弹簧为减振装置提供线性恢复转矩,为减振装置的
刚度单元；
[0011] 所述连接转盘A5，其转盘轴线方向开有非圆的通孔，用以与可调阻尼器A8转轴的非圆柱面配合。连接转盘A5的两互相垂直的半径方向，各有一紧定螺钉孔和螺纹通孔。连接转盘A5起到与可调阻尼器A8的转轴定位并连接摆动支杆的作用。
[0012] 所述惯性调节小球A6，小球设有一通过球心的通孔，与该通孔垂直的半径方向有一紧定螺钉孔。可通过调节惯性调节小球A6在摆动支杆上的
位置，改变减振装置的
转动惯量。
[0013] 所述摆动支杆A7，为一小直径的轻质圆柱刚性杆件，其一端有
外螺纹可与连接转盘A5连接，杆件表面光滑可供惯性调节小球滑动定位。
[0014] 所述可调阻尼器A8，其外形为柱状并带有
耳状安装
接口可与吸振器安装座A2连接。可调阻尼器的大端为阻尼调节旋钮，可通过旋转旋钮的角度设置阻尼大小。可调阻尼器A8的小端为阻尼的
输出轴，其带有与连接转盘A5定位连接的接口，可为减振装置提供阻尼，其规格型号为FUJI SEIKI的FRN-P2。
[0015] 其中，该扭转弹簧A3的直径为1-2mm。
[0016] 其中，该摆动支杆A7的直径范围值为20-50mm。
[0017] 其中，该可调阻尼器A8的规格型号为FUJI SEIKI的FRN-P2。
[0018] 本发明的工作原理及流程简介如下：
[0019] 吸振器安装座A2有4个等大通孔的端面与柔性机械臂侧面紧靠，并通过机械螺钉与柔性机械臂紧固联机。可调阻尼器A8的柱状
外圈穿过吸振器安装座A2的大孔，可调阻尼器A8的耳状安装接口与吸振器安装座A2的安装孔对齐并通过螺栓联机紧固。连接转盘A5的通孔穿过可调阻尼器A8的转轴端，连接转盘A5的内侧端面紧贴可调阻尼器A8的转轴中部竖直小端面，螺钉旋入连接转盘A5和可调阻尼器A8的小轴上
螺纹孔从而将二者紧固连接。扭转弹簧A3穿过可调阻尼器A8的圆柱外廓，扭转弹簧A3两头的竖直端头分别插入可调阻尼器A8和连接转盘A5上的圆孔中，从而将扭转弹簧固连在可调阻尼器转轴的外侧。摆动支杆A7通过一端的螺纹旋入连接转盘A5的螺纹孔，并在摆动支杆A7的螺纹处旋紧
螺母与连接转盘A5的螺纹孔处的端面紧靠，从而将摆动支杆A7与连接转盘A5紧固。惯性调节小球A6的通孔穿过摆动支杆A7，并可在摆动支杆A7上滑动，紧定螺钉旋入惯性调节小球径向的螺纹孔紧定在摆动支杆A7上从而将惯性小球紧固定位。
[0020] 将减振装置按照上述的连接方式与柔性机械臂连接后，该系统即具有特定的结构参数，因此，柔性机械臂在固有柔性特征和给定的名义运动作用下具有特定的模态参数，此时即可调节减振装置的结构参数来追踪柔性机械臂的模态已达到内共振的基本条件，从而建立内共振模态能量交互通道，并实现内共振能量的迁移和耗散。具体为：首先，在给定减振装置安装位置的前提下，根据经验选择基本合理的扭转弹簧，按照上述的过程组装减振装置，此时减振装置即具有特定刚度。其次，调节惯性调节小球A6在摆动支杆A7上的位置从而调节减振装置的转动惯量，达到“定刚度变惯量”而调节减振装置频率的目的，从而，提供了内共振的频率条件，构建了模态能量的交互通道。最后，通过可调阻尼器A8的阻尼旋钮选择适当的旋转阻尼，使得在内共振模态能量交互的工程中振动能量被迅速耗散，从而实现最佳的振动能量耗散的效果。
[0021] （2）本发明一种基于2:1内共振的柔性机械臂耗能减振方法，该方法基本原理和具体步骤如下：
[0022] 本发明通过在柔性机械臂上增设减振装置，改变减振装置的固有频率来跟随柔性机械臂固有频率的变化，从而使得减振装置与柔性机械臂满足内共振条件，并在两者之间构建起模态能量交互的通道，再通过调节减振装置的阻尼，使得柔性机械臂的振动能量被迅速迁移至减振装置，并由阻尼耗散，从而实现柔性机械臂的振动控制。
[0023] 本发明的具体实施步骤如图10所示，具体为：
[0024] 步骤一：将一种基于2:1内共振的柔性机械臂耗能减振装置与系统柔性机械臂连接，确保吸振摆杆和柔性机械臂的相对空间位置和角度，如图2所示。注意务必确保刚性吸振摆杆与柔性机械臂垂直，此时系统动力学方程为惯性解耦状态。
[0025] 步骤二：对步骤一中实
体模型进行理论简化，
抽取数学模型。
[0026] 如图1所示，本发明中的柔性主系统为待抑振的柔性机械臂，该机械臂在o1x1y1平面内具有刚性转动（名义运动），柔性机械臂负载简化为末端一质量
块mB。柔性机械臂的名义运动由其驱动单元唯一确定，表征为任意时刻相对于初始时刻的名义运动转角，用q表示。为方便理论推导，主系统柔性机械臂简化为均匀质量伯努利-欧拉梁（很多工程计算也如此），其长度及截面参数如图2a、b所示。
[0027] 如图2a、图2b所示，本发明中减振装置由刚性摆杆和柔性关节组成，柔性关节包括具有线性恢复力的扭转弹簧和具有粘性阻尼的旋转阻尼器。吸振摆杆质心距离柔性关节轴心用rc表征。吸振摆杆通过柔性关节联接于主系统柔性机械臂的某处，具体安装位置可用其与主系统名义运动转轴的距离r表征。吸振摆杆具有被动
自由度，在主系统柔性机械臂的运动参数作用下绕柔性关节摆动，其摆动的空间位置可用当前时刻与初始时刻刚性摆杆的夹角β表征。
[0028] 步骤三：在数学模型中计入柔性机械敏感方向的变形。
[0029] 如图3所示，考虑主系统柔性机械臂的非线性因素，记及柔性机械臂的较敏感方向的振动变形，包括柔性机械偏离名义运动方向的横向振动δ(x1,t)、偏转角α以及柔性机械臂沿自身中性线的轴向伸缩变形υ(x1)。由材料力学和假设模态法可知：
[0030] （1）横向弯曲振动： ui(x1)为i阶的模态振型， 为i阶模态坐标，nF为系统需考虑模态阶数；（由于振动能量主要聚集在第一阶模态，本发明主要考虑一阶模态能量的消减，故nF＝1。）
[0031] （2）弯曲引起的转角： 其中
[0032] （3）轴向伸缩变形： 其中
[0033] 步骤四：基于凯恩方法建立该系统的动力学模型。
[0034] 基于凯恩方法以主系统柔性机械臂的一阶模态坐标 和减震装置的吸振摆杆的摆角β为广义坐标可得出系统振动方程为:
[0035]
[0036]
[0037] 其中的中间代换参数如下:
[0038]b3=mrcu1r;
[0039] 上述方程组中c1为主系统柔性机械臂的机构阻尼，c2为吸减振装置柔性关节的粘性阻尼，k2为减振装置柔性关节的扭转弹簧刚度。
[0040] 步骤五：利用多尺度法对动力学模型进行求解分析。
[0041] 视整个系统中广义坐标的 和β，主系统柔性机械臂名义运动转角的速度 主系统柔性机械臂结构阻尼c1，减振装置柔性关节的粘性阻尼c2为同阶小量。经过无量纲化处理、同阶小量代换及关于时间的多尺寸方程解的替换后，可以得出振动系统具有快变时间和一阶慢变时间的形式为：
[0042] （1）关于快变时间的振动方程组为：
[0043]
[0044]
[0045] （2）关于慢变时间的振动方程组为:
[0046]
[0047]
[0048]
[0049]
[0050]
[0051] 中间推导代换参数如下：
[0052] η1＝c1/(ωβm1); d1＝b1/m1;d2=lb2/m1;d3＝b3/(m1l);
[0053] d4=lb4/m1;d5＝b5/(m1l);d6＝b6/(m1l);η2＝c2/(m2ωβ);d7＝b7/m2;d8=lb3/m2.[0054] 设上述的快变时间对应方程组解的书写形式为：
[0055] ψ0,k=A2,k(T1)exp(jT0)+cc。 （7）
[0056] 考虑在非线性振动中发生2:1内共振的条件为： （即减振装置的频率与主系统的频率近似满足2:1关系），其中σ为调谐参数，ε为小量。设定振动方程的解的振幅具有如下形式:
[0057]
[0058]
[0059] 其中a1，k，a2，k，θ1，k，θ2,k是慢变时间的实函数，a1，k，a2k为系统的模态振幅，它的大小反映了对应模态能量的大小。根据一阶慢变时间方程组的可解性可得出:
[0060]
[0061]
[0062]
[0063] 其中γk=θ1,k-2θ2,k-εσT0.
[0064] 步骤六：对动力学方程的解进行内共振分析。
[0065] 假设主系统柔性机械臂不存在机构阻尼，减振装置也不存在阻尼，则由式（10）、（11）得出：
[0066]
[0067]
[0068] 经数学处理得出：
[0069] (与初始能量相关的积分常数)其中 显然，此即能说明在无阻尼情况下对应的两阶模态之间构建了能量交互的通道，υ>0则表明两阶模态能量均有界且此消彼长。
[0070] 因为未考虑系统阻尼，故仅从数学意义上讲，这种模态能量的交互恒久进行。考虑到真实情况下主系统具有结构阻尼及减振装置的粘性阻尼，系统能量必然在阻尼的作用下衰减至消逝。
[0071] 步骤七：对动力学方程解进行
稳定性判定。
[0072] 为更科学说明模态能量在阻尼的作用下逐渐衰减的过程，考察在平衡点的稳定性则：
[0073]
[0074]
[0075]
[0076] 那么该系统的雅克比矩阵为 其中 对应的特征值为:(μ1,μ2,0).
[0077] 由于主系统柔性机械臂的机构阻尼比ζ1>0，柔性关节粘性阻尼的阻尼比ζ2>0，即有μ1<0，μ2<0。系统的特征根为负值，因此模态振幅a1，k，a2k具有连续稳定性。至此表明，运用吸振摆杆与柔性关节构造的减振装置，能够在主系统与减振系统之间构建模态能量的交互通道，并且主系统柔性机械臂的振动能量在减振装置柔性关节粘性阻尼（主要因素）和柔性机械臂结构阻尼（次要因素）作用下连续稳定的衰减。至此即说明了运用基于2:1内共振的柔性机械臂耗能减振方法的可行性和科学性。
[0078] 步骤八：对动力学模型算例仿真，以便为减振装置选取理论最佳阻尼。
[0079] 为进一步直观表述本发明的优越性，并为减振装置选择理论最佳阻尼，给定以下系列算例对比说明。设定算例初始条件为：主系统柔性机械臂长度为l＝1.0m，柔性机械臂横截面为高h=0.05m宽b=0.003m的矩形,末端负载为mB＝0.5kg，
铝质柔性臂
弹性模量3
为71Gpa
密度2710kg/m。减振系统刚性吸振摆杆安装位置r=0.5m，质量为m2=0.05kg质心位置为rc=0.4m。
[0080] 首先，限定主系统柔性机械臂的名义运动，不增设减振装置，给定柔性机械臂的末端初始扰动量为0.1m。设主系统柔性机械臂无结构阻尼，柔性机械臂末端振动情况如图4所示。在主系统柔性机械臂上加入减振装置，但未设定减振装置阻尼的情况下，模态能量的交互情况如图5。由图5可知，在无阻尼情况下不同模态能量之间构建了交互的通道，并且这种交互因此消彼长而有界，这与本发明阐述的理论分析完全吻合。
[0081] 其次，赋予主系统柔性机械臂的名义运动规律为：(0≤t≤50s)，给定柔性机械臂0.1m的初始扰动量。设主系统柔性机械臂无结构阻尼，柔性机械臂末端的振动情况如图6。在主系统柔性机械臂上加入减振装置，但未设定减振装置阻尼的情况下，模态能量的交互情况如图7。由图7可得知，在赋予柔性机械臂名义运动后，在无阻尼情况下不同模态能量之间构建了交互的通道，并且这种交互此消彼长而有界，这与本发明阐述的理论分析完全吻合。
[0082] 然后，赋予主系统柔性机械臂的名义运动规律为：(0≤t≤50s)，给定柔性机械臂0.1m的初始扰动量。由于一般情况柔性机械臂的结构阻尼很小，故设定主系统柔性机械臂的结构阻尼为0，设定减振装置柔性关节的粘性阻尼阻尼比为0.001（小量作用下的阻尼比），柔性机械臂末端的振动情况如图8，模态能量的交互情况如图9所示。由图9便可以知道，模态能量在所构建的能量交互通道中此消彼长的交互并，并且在阻尼的作用下柔性机械臂的振动能量逐步衰减至消逝。通过图8则可以清晰的看到在10s内柔性机械臂的末端振动就已经衰减了80%。本算例考察了最恶劣的工作情况，即主系统柔性机械臂无结构阻尼，但实际上柔性机械臂总会有结构阻尼存在，即使很小这对振动的衰减也是有积极作用的，这也进一步说明本发明提出的方法及实现装置在实际应用中将产生更佳的效果。
[0083] 最后，基于方程组（10）、（11）、（12），按照上述理论推导过程赋予各参数数值，根据名义运动的规律（不仅限于本专利列举的机械臂的运动规律），反复
修改和代换柔性关节阻尼值进行数值计算分析，选择模态能量指示图或柔性机械臂末端振动变图中振动衰减最快时对应的阻尼作为理论最佳阻尼。
[0084] 步骤九：将刚性吸振摆杆和主系统柔性机械臂暂时性固结，确保二者相对位置和角度为初始零位角度，如图2中左图所示。应用试验模态测试技术，通过锤击法获得包括主系统柔性机械臂和刚性吸振摆杆在内的系统的固有频率ω1和阻尼比ξ1。
[0085] 步骤十：根据构造2:1非线性内共振的频率匹配要求，调节一种基于2:1内共振的柔性机械臂耗能减振装置中惯性调节小球的位置，使得减振装置的固有频率满足ω2≈2ω1。扭转弹簧刚度k随装置
选定后，根据具有线性扭转恢复力的复摆的物理模型得出减振装置频率公式为 其中J为吸振摆杆绕柔性关节的转动惯量。
[0086] 步骤十一：释放步骤九中对主系统柔性机械臂和刚性吸振摆杆所实施的暂时性固结，并调节柔性关节一种基于2:1内共振的柔性机械臂耗能减振装置中旋转阻尼器阻尼的大小，确保刚性吸振摆杆为自由态，使之能在主系统柔性机械臂的运动参数作用下被动摆动。
[0087] 步骤十二：对所选择的理论最佳阻尼参数进行实际测试，并在选择的理论参数附近，对阻尼进行微调，以获得实际最佳参数。至此便完成本发明提出的基于2:1内共振的柔性机械臂耗能减振方法及装置的实施操作过程。
[0088] 优点及功效：本发明突破了现有的运用线性振动理论来解决非线性振动问题的理论方法层面的束缚，充分利用了非线性振动系统发生内共振时，模态能量在不同模态之间交互的特性，较为全面地考虑了具有名义运动（刚性转动）的柔性臂杆敏感性较强的横向弯曲振动、弯曲转角和轴向伸缩振动，提供了一种理论基础更为科学且简单可行的非线性减振方法及其实现装置。该发明具有减振效果明显，结构简单且鲁棒性强的特点，在微电子制造、航空航天机械以及机器人等领域有着重要的现实意义和广阔的应用前景。
附图说明
[0089] 图1为本发明的主系统结构说明图。
[0090] 图2a为本发明减振装置与主系统安装示意图
[0091] 图2b为本发明减振装置吸振刚性摆杆摆动示意图
[0092] 图3为本发明计及非线性因素柔性机械臂敏感方向的变形说明图。
[0093] 图4为限定主系统名义运动且未加减振装置，主系统柔性机械臂末端振动变形图。
[0094] 图5为限定主系统名义运动且加入减振装置，未进行减振装置阻尼设置时模态能量交互指示图。
[0095] 图6为给定名义运动未加入减振装置，主系统柔性机械臂末端的振动变形图。
[0096] 图7为给定名义运动且加入减振装置，未进行减振装置阻尼设置时模态能量交互指示图。
[0097] 图8为给定名义运动，主系统加入减振装置并进行减振装置阻尼设置后主系统柔性机械臂末端变形。
[0098] 图9为给定名义运动，主系统加入减振装置并进行减振装置阻尼设置后模态能量交互指示图。
[0099] 图10为2:1内共振柔性机械臂耗能减振方法进行柔性机械臂振动控制实施
流程图。
[0100] 图11为2:1内共振柔性机械臂耗能减振的减振装置图
[0101] 图12为2:1内共振柔性机械臂耗能减振的减振装置与柔性机械臂安装结构图[0102] 图中符号说明如下：
[0103] x0y0z0与大地固连的基
坐标系；x1y1z1与柔性机械臂名义运动（刚性转角）固连的随动坐标系；mB柔性机械臂末端负载；l柔性机械臂的长度；q柔性机械臂名义运动（刚性转角）；rc变动支杆质心到柔性关节的距离；r柔性关节安装点到柔性机械臂转动中心的距离；b柔性机械臂横截面厚度；h柔性机械臂横截面高度；β摆动支杆摆角；δ(x1,t)柔性机械臂横向振动变形量；α柔性机械臂偏转角度变形量；υ(x1)柔性机械臂伸缩变形量；A1柔性机械臂；A2吸振器安装座；A3扭转弹簧；A4末端机械手及负载；A5联接转盘；A6惯性调节球；A7摆动支杆；A8可调阻尼器；A9机器人驱动单元。
具体实施方式：
[0104] （1）见图11，本发明一种基于2:1内共振的柔性机械臂耗能减振装置，由吸振器安装座A2、扭转弹簧A3，连接转盘A5，惯性调节球A6，摆动支杆A7和可调阻尼器A8组成，其中：吸振器安装座A2通过螺钉与柔性机械臂连接，可调阻尼器A8通过螺栓与吸振器安装座连接，连接转盘A5紧固在可调阻尼器A8的转轴上，扭转弹簧A3穿过可调阻尼器的转轴，扭转弹簧A3的两端分别与可调阻尼器A8及连接转盘A5连接，摆动支杆A7与连接转盘A5
螺纹连接，惯性调节球A6经通孔穿过摆动支杆A7并由紧定螺钉与摆动支杆固连。图12为2:1内共振柔性机械臂耗能减振的减振装置与柔性机械臂安装结构图。
[0105] （2）见图10，本发明一种基于2:1内共振的柔性机械臂耗能减振装置方法，该方法具体步骤如下:
[0106] 步骤一：将一种基于2:1内共振的柔性机械臂耗能减振装置与系统柔性机械臂连接，确保吸振摆杆和柔性机械臂的相对空间位置和角度，如图2a、图2b所示。注意务必确保刚性吸振摆杆与柔性机械臂垂直，此时系统动力学方程为惯性解耦状态。
[0107] 步骤二：对步骤一中实体模型进行理论简化，抽取数学模型。
[0108] 如图1所示，本发明中的柔性主系统为待抑振的柔性机械臂，该机械臂在o1x1y1平面内具有刚性转动（名义运动），柔性机械臂负载简化为末端一质量块mB。柔性机械臂的名义运动由其驱动单元唯一确定，表征为任意时刻相对于初始时刻的名义运动转角，用q表示。为方便理论推导，主系统柔性机械臂简化为均匀质量伯努利-欧拉梁（很多工程计算也如此），其长度及截面参数如图2a、图2b所示。
[0109] 如图2a、图2b所示，本发明中减振装置由刚性摆杆和柔性关节组成，柔性关节包括具有线性恢复力的扭转弹簧和具有粘性阻尼的旋转阻尼器。吸振摆杆质心距离柔性关节轴心用rc表征。吸振摆杆通过柔性关节联接于主系统柔性机械臂的某处，具体安装位置可用其与主系统名义运动转轴的距离r表征。吸振摆杆具有被动自由度，在主系统柔性机械臂的运动参数作用下绕柔性关节摆动，其摆动的空间位置可用当前时刻与初始时刻刚性摆杆的夹角β表征。
[0110] 步骤三：在数学模型中计入柔性机械敏感方向的变形。
[0111] 如图3所示，考虑主系统柔性机械臂的非线性因素，记及柔性机械臂的较敏感方向的振动变形，包括柔性机械偏离名义运动方向的横向振动δ(x1,t)、偏转角α以及柔性机械臂沿自身中性线的轴向伸缩变形υ(x1)。由材料力学和假设模态法可知：
[0112] （1）横向弯曲振动： ui(x1)为i阶的模态振型， 为i阶模态坐标，nF为系统需考虑模态阶数；（由于振动能量主要聚集在第一阶模态，本发明主要考虑一阶模态能量的消减，故nF＝1。）
[0113] （2）弯曲引起的转角： 其中
[0114] （3）轴向伸缩变形： 其中
[0115] 步骤四：基于凯恩方法建立该系统的动力学模型。
[0116] 基于凯恩方法以主系统柔性机械臂的一阶模态坐标 和减震装置的吸振摆杆的摆角β为广义坐标可得出系统振动方程为:
[0117]
[0118]
[0119] 其中的中间代换参数如下:
[0120]b3=mrcu1r;
[0121] 上述方程组中c1为主系统柔性机械臂的机构阻尼，c2为吸减振装置柔性关节的粘性阻尼，k2为减振装置柔性关节的扭转弹簧刚度。
[0122] 步骤五：利用多尺度法对动力学模型进行求解分析。
[0123] 视整个系统中广义坐标的 和β，主系统柔性机械臂名义运动转角的速度 主系统柔性机械臂结构阻尼c1，减振装置柔性关节的粘性阻尼c2为同阶小量。经过无量纲化处理、同阶小量代换及关于时间的多尺寸方程解的替换后，可以得出振动系统具有快变时间和一阶慢变时间的形式为：
[0124] （1）关于快变时间的振动方程组为：
[0125]
[0126]
[0127] （2）关于慢变时间的振动方程组为:
[0128]
[0129]
[0130]
[0131]
[0132]
[0133] 中间推导代换参数如下：
[0134] η1 ＝ c1/(ωβm1); d1=b1/m1；d2=lb2/m1；d3=b3/(m1l)；
[0135] d4=lb4/m1;d5＝b5/(m1l);d6＝b6/(m1l);η2＝c2/(m2ωβ);d7＝b7/m2;d8=lb3/m2.[0136] 设上述的快变时间对应方程组解的书写形式为：
[0137] ψ0，k=A2,k(T1)exp(jT0)+cc。 （7）
[0138] 考虑在非线性振动中发生2:1内共振的条件为： （即减振装置的频率与主系统的频率近似满足2:1关系），其中σ为调谐参数，ε为小量。设定振动方程的解的振幅具有如下形式:
[0139]
[0140]
[0141] 其中a1，k，a2，k，θ1，k，θ2,k是慢变时间的实函数，a1，k，a2k为系统的模态振幅，它的大小反映了对应模态能量的大小。根据一阶慢变时间方程组的可解性可得出:
[0142]
[0143]
[0144]
[0145] 其中γk=θ1,k-2θ2,k-εσT0.
[0146] 步骤六：对动力学方程的解进行内共振分析。
[0147] 假设主系统柔性机械臂不存在机构阻尼，减振装置也不存在阻尼，则由式（10）、（11）得出：
[0148]
[0149]
[0150] 经数学处理得出：
[0151] (与初始能量相关的积分常数)其中 显然，此即能说明在无阻尼情况下对应的两阶模态之间构建了能量交互的通道，υ>0则表明两阶模态能量均有界且此消彼长。
[0152] 因为未考虑系统阻尼，故仅从数学意义上讲，这种模态能量的交互恒久进行。考虑到真实情况下主系统具有结构阻尼及减振装置的粘性阻尼，系统能量必然在阻尼的作用下衰减至消逝。
[0153] 步骤七：对动力学方程解进行稳定性判定。
[0154] 为更科学说明模态能量在阻尼的作用下逐渐衰减的过程，考察在平衡点的稳定性则：
[0155]
[0156]
[0157]
[0158] 那么该系统的雅克比矩阵为 其中 对应的特征值为:(μ1,μ2,0).
[0159] 由于主系统柔性机械臂的机构阻尼比ζ1>0，柔性关节粘性阻尼的阻尼比ζ2>0，即有μ1<0，μ2<0。系统的特征根为负值，因此模态振幅a1，k，a2k具有连续稳定性。至此表明，运用吸振摆杆与柔性关节构造的减振装置，能够在主系统与减振系统之间构建模态能量的交互通道，并且主系统柔性机械臂的振动能量在减振装置柔性关节粘性阻尼（主要因素）和柔性机械臂结构阻尼（次要因素）作用下连续稳定的衰减。至此即说明了运用基于2:1内共振的柔性机械臂耗能减振方法的可行性和科学性。
[0160] 步骤八：对动力学模型算例仿真，以便为减振装置选取理论最佳阻尼。
[0161] 为进一步直观表述本发明的优越性，并为减振装置选择理论最佳阻尼，给定以下系列算例对比说明。设定算例初始条件为：主系统柔性机械臂长度为l＝1.0m，柔性机械臂横截面为高h=0.05m宽b=0.003m的矩形,末端负载为mB＝0.5kg，铝质柔性臂弹性模量3
为71Gpa密度2710kg/m。减振系统刚性吸振摆杆安装位置r=0.5m，质量为m2=0.05kg质心位置为rc=0.4m。
[0162] 首先，限定主系统柔性机械臂的名义运动，不增设减振装置，给定柔性机械臂的末端初始扰动量为0.1m。设主系统柔性机械臂无结构阻尼，柔性机械臂末端振动情况如图4所示。在主系统柔性机械臂上加入减振装置，但未设定减振装置阻尼的情况下，模态能量的交互情况如图5。由图5可知，在无阻尼情况下不同模态能量之间构建了交互的通道，并且这种交互因此消彼长而有界，这与本发明阐述的理论分析完全吻合。
[0163] 其次，赋予主系统柔性机械臂的名义运动规律为：(0≤t≤50s)，给定柔性机械臂0.1m的初始扰动量。设主系统柔性机械臂无结构阻尼，柔性机械臂末端的振动情况如图6。在主系统柔性机械臂上加入减振装置，但未设定减振装置阻尼的情况下，模态能量的交互情况如图7。由图7可得知，在赋予柔性机械臂名义运动后，在无阻尼情况下不同模态能量之间构建了交互的通道，并且这种交互此消彼长而有界，这与本发明阐述的理论分析完全吻合。
[0164] 然后，赋予主系统柔性机械臂的名义运动规律为：(0≤t≤50s)，给定柔性机械臂0.1m的初始扰动量。由于一般情况柔性机械臂的结构阻尼很小，故设定主系统柔性机械臂的结构阻尼为0，设定减振装置柔性关节的粘性阻尼阻尼比为0.001（小量作用下的阻尼比），柔性机械臂末端的振动情况如图8，模态能量的交互情况如图9所示。由图9便可以知道，模态能量在所构建的能量交互通道中此消彼长的交互并，并且在阻尼的作用下柔性机械臂的振动能量逐步衰减至消逝。通过图8则可以清晰的看到在10s内柔性机械臂的末端振动就已经衰减了80%。本算例考察了最恶劣的工作情况，即主系统柔性机械臂无结构阻尼，但实际上柔性机械臂总会有结构阻尼存在，即使很小这对振动的衰减也是有积极作用的，这也进一步说明本发明提出的方法及实现装置在实际应用中将产生更佳的效果。
[0165] 最后，基于方程组（10）、（11）、（12），按照上述理论推导过程赋予各参数数值，根据名义运动的规律（不仅限于本专利列举的机械臂的运动规律），反复修改和代换柔性关节阻尼值进行数值计算分析，选择模态能量指示图或柔性机械臂末端振动变图中振动衰减最快时对应的阻尼作为理论最佳阻尼。
[0166] 步骤九：将刚性吸振摆杆和主系统柔性机械臂暂时性固结，确保二者相对位置和角度为初始零位角度，如图2a所示。应用试验模态测试技术，通过锤击法获得包括主系统柔性机械臂和刚性吸振摆杆在内的系统的固有频率ω1和阻尼比ξ1。
[0167] 步骤十：根据构造2:1非线性内共振的频率匹配要求，调节一种基于2:1内共振的柔性机械臂耗能减振装置中惯性调节小球的位置，使得减振装置的固有频率满足ω2≈2ω1。扭转弹簧刚度k随装置选定后，根据具有线性扭转恢复力的复摆的物理模型得出减振装置频率公式为 其中J为吸振摆杆绕柔性关节的转动惯量。
[0168] 步骤十一：释放步骤九中对主系统柔性机械臂和刚性吸振摆杆所实施的暂时性固结，并调节柔性关节一种基于2:1内共振的柔性机械臂耗能减振装置中旋转阻尼器阻尼的大小，确保刚性吸振摆杆为自由态，使之能在主系统柔性机械臂的运动参数作用下被动摆动。
[0169] 步骤十二：对所选择的理论最佳阻尼参数进行实际测试，并在选择的理论参数附近，对阻尼进行微调，以获得实际最佳参数。至此便完成本发明提出的基于2:1内共振的柔性机械臂耗能减振方法及装置的实施操作过程。
