1.机床空间加工误差的非确定性描述及预测方法，其特征在于：首先，根据多体系统理
论建立起机床的误差模型，在误差模型的基础上，对误差项进行合理的削减至三个方向的“当量误差”；当量误差中也同样存在着非确定性的波动，在所述方法中，加工平面时所拥有随机波动根据随机过程理论进行描述和预测；波动的范围也应该被限制在一定范围内；此外对加工误差波动有较大影响的关键误差项会被甄别出来，根据得到的结论，提出一些对于机床零件进行改善的地方；
所述方法的具体实施步骤如下，
步骤一 为三轴机床设置广义坐标系，并建立机床的空间误差模型；
基于多体系统运动学理论，采用低序体阵列描述抽象机床系统的拓扑结构，在多体系
统中建立广义坐标系，用矢量及其列向量表达位置关系，用齐次变换矩阵表示多体系统间的相互关系；
步骤1.1建立三轴机床的拓扑结构
分析机床的结构，定义三轴机床的各个组成部件，以及刀具和工件为“典型体”，用“Bj”表示，其中j＝0,1,2...n,j表示各典型体的序号，n-1表示机床所包含典型体的个数；
典型体的编号规则如下：
1)选定床身为典型体“B0”
2)将三轴机床分为刀具分支和工件分支，共两个分支；首先对刀具分支沿远离床身的
方向，按照自然增长数列，对各典型体进行编号；再对工件分支沿远离床身的方向，按照自然增长数列，对各典型体进行编号，其中m表示刀具分支中典型体的个数；
3)任选系统中典型体Bj，典型体Bj的R阶低序体的序号定义为：
Lr(j)＝i  (1)
当典型体Bj为典型体Bi的r阶高序体，或典型体Bj为典型体Bi的相邻高序体时，会满足：
Lr(j)＝L(Lr-1(j))  (2)
式中L——低序体算子；
r、j——自然数
且补充定义：
L0(j)＝j,Lr(0)＝0  (3),(4)
步骤1.2建立三轴机床的特征矩阵；
所述方法所研究的三轴数控机床几何误差项的几何意义及其表达式如表1所示
表1：几何误差释义表
在床身B0和所有部件Bj上均建立起与其固定联接的右手直角笛卡尔三维坐标系O0-
X0Y0Z0和Oj-XjYjZj，这些坐标系的集合称为广义坐标系，各体坐标系称为子坐标系，每个坐标系的三个正交基按右手定则分别取名为X,Y,Z轴；各个子坐标系的相对应的坐标轴分别对应平行；坐标轴的正方向与其所对应的运动轴的正方向相同；
将各体之间的运动和静止情况，看作坐标系之间的运动和静止情况；根据两相邻典型
体之间的静止和运动情况，在理想运动特征矩阵和误差特征矩阵表中选择相应的运动特征矩阵，如表2；
表2：理想运动特征矩阵和运动误差特征矩阵表
其中：TijS表示典型体Bj相对于典型体Bi运动的理想运动特征矩阵；
ΔTijS表示典型体Bj相对于典型体Bi运动的运动误差特征矩阵；
xs表示沿X轴平移的距离；
ys表示沿Y轴平移的距离；
zs表示沿Z轴平移的距离；
其余参数均已在表1中列出；
若相邻的典型体Bi与典型体Bj之间不存在相对运动，则理想运动特征矩阵TijS＝I4×4，运动误差特征矩阵ΔTijS＝I4×4，I4×4表示4×4的单位矩阵；由于所述方法是有关于机床空间加工误差的非确定性描述及预测方法，故使用过程中忽略除几何误差之外的所有误差因
素，因此典型体间的体间静止特征矩阵均为TijP＝I4×4；
根据相邻典型体在静止状态下的实际位置关系，确定典型体间的体间静止误差特征矩
阵ΔTijP；
步骤1.3建立机床的空间误差模型
刀具成型点实际运动位置与理想运动位置的偏差即为机床的空间误差；
设刀具加工点在刀具坐标系中的坐标为：
PT＝[xt,yt,zt,0]T  (5)
其中xt表示刀具加工点在刀具坐标系中X轴方向的坐标值；
yt表示刀具加工点在刀具坐标系中Y轴方向的坐标值；
zt表示刀具加工点在刀具坐标系中Z轴方向的坐标值；
下标t表示刀具
机床在理想状态时成型点的运动位置：
式中TijP表示典型体Bj与典型体Bi之间的体间静止特征矩阵；
TijS表示典型体Bj与典型体Bi之间的理想运动特征矩阵；
PT表示刀具加工点在刀具坐标系中的坐标；
Pwideal表示理想条件下成型点在工件坐标系中的坐标，
m+1表示刀具分支中典型体的个数；
n+1表示三轴机床所包含的典型体的总个数；
机床在实际状态时成型点的运动位置：
其中Tij＝TijP·ΔTijP·TijS·ΔTijS
TijP表示典型体Bj与典型体Bi之间的体间静止特征矩阵；
ΔTijS表示典型体Bj与典型体Bi之间的体间静止误差特征矩阵；
TijS表示典型体Bj与典型体Bi之间的理想运动特征矩阵；
ΔTijS表示典型体Bj与典型体Bi之间的运动误差特征矩阵；
PT表示刀具加工点在刀具坐标系中的坐标；
则机床的空间误差模型表示为：
Ei＝Pwideal-Pw  (8)
步骤1.4误差项合理削减及当量误差方程的建立
所述方法此步将以空间误差模型为基础，进一步将机床的所有误差项进行合理削减；
机床的误差均值模型表示为：
F＝F(E,G,Pw,U,UW,Ut，GV)  (9)
其中：
F＝[f1,f2,...,fr]T其中f1,f2,...,fr表示r个独立方程；
E＝[Ex,Ey,Ez,0]T其中Ex，Ey，Ez表示机床的空间误差；
T
G＝[g1,g2,……,gn] 其中g1,g2,......,gn表示n个机床各零部件几何误差；
Gv＝[Δγxy,Δβxz,Δαyz,1]T其中Δγxy,Δβxz,Δαyz表示机床的三主轴间姿态形式误差；
Pw＝[Pwx,Pwy,Pwz,1]T其中Pwx,Pwy,Pwz表示工件上成形点在工件坐标系中的坐标向量；
T
U＝[x,y,z,B] 其中x,y,z,B表示机床各运动轴的位置向量；
Uw＝[xw,yw,zw,1]T其中xw,yw,zw表示工件位置坐标向量；
Ut＝[xt,yt,zt,1]T其中xt,yt,zt表示刀具位置坐标向量；
所述方法中定义Pw,U,Uw,Ut是不存在误差；因此，进一步写为：
F＝F(E,G,GV)  (10)
其中G的表达式可书写为：
若存在空间误差项，可采用的方法利用激光干涉仪、球杆仪和五坐标测量仪工具来得
出；其中对于机床测量方法而言，最常用的方法就是激光干涉仪；优点是通过一个轴的测量测出该方向上的6个误差项，总类分为直线度误差和线性误差，如果定义有一个与该轴运动形式趋势一致的激光干涉仪测量，此时产生的某些线性误差和直线度误差会有一定的相关性，因此，所述方法中定义一个相关系数ρ表示其中的关系；
在激光干涉仪测量X向的六项基本误差时，并与此同时，在Y的方向，再加之一个激光干
涉仪，运动趋势与X向运动一致，此时产生的Y项的6项基本误差就会产生一定的重叠项；X轴沿Y项的线性误差Δyx与Y轴的定位误差Δyy从空间来看二者是存在一定的关系，定义ρ＝Cov(Δyx,Δyy)便为二者的相关系数；一般情况下，设ρ＝Cov(ΔIj,ΔJi)为误差与误差之间的相关系数，其中任意两项定位误差的相关系数为零；同理则可定义出其他误差项之间的相关性，矩阵：
其中，ρ11-ρ66表示各项基本误差之间的相关系数
当量误差，由于机床几何误差最终体现在定位精度上，所述方法中定义一种新的误差
含义：即将空间误差量，投影到在各个轴线上的误差分量；
其中：
ΔXx：X向当量误差；
ΔYy：Y向当量误差；
ΔZz：Z向当量误差；
最后得到当量误差方程；
步骤二：数控机床各几何误差的测量及其测量数据的整理
激光干涉仪被频繁的用于机床误差检测上，所述方法通过定点多测的方法在X，Y，Z三
个方向上进行测量；分别在各轴50-600mm的行程上，以每20mm为一节点，进行测量重复9次并计算均值；只保留误差值：
tr＝Tr-D  (14)
D：目标点；
Tr：激光干涉仪测量值；
tr：误差值；
使用垂直度测量仪测量机床的三项垂直度误差；
2
定义各项几何误差均符合tr～N(μ,σ)均符合高斯分布的独立同分布；
μ:为误差均值；
σ2：为误差的方差；
步骤三：计算当量误差并利用随机过程对加工轴及面的随机性波动进行描述及预测
步骤3.1计算当量误差并进行线条拟合
所述方法中，认为ΔXx，ΔYy，ΔZz被设为独立同分布的；根据实验数据的均值，计算出三向的当量误差；利用B-spline曲线进行数据在位置点的拟合；拟合原理如下：
其中：
u：表示当量误差；
p:表示阶数；
步骤3.2轴向随机性描述及预测原理
针对其中一项误差的随机过程，将其称之为“高斯白噪声序列”，由白噪声过程定义可
知，其中任意两点过程n1,n2两点的相关函数 与其协方差函数 相同均为σ2δ(n1,
n2)，并且在移动过程中的任意时刻，均为不相关的，并且任意时刻均为N(0,σ2)，于是在这个过程中得到任一点的概率密度函数为：
其中：ΔXxi：为某一方向上的当量误差；
nn:为某一方向上的位置点；
步骤3.3在平面上的随机性描述及预测原理
任意两个当量误差((ΔXx,ΔYy),(ΔYy,ΔZz)和(ΔXx,ΔZz))都是独立的随机变量，并
且均符合N(0,σ2)分布；定义在X-Y平面上加工一平面，根据随机过程理论；可将平面上的任意点的误差点的误差预测为：
{XY(n)＝ΔXxcosωn+ΔYysinωn,n∈(-∞,+∞)}  (19)
ΔXx：X向当量误差；
ΔYy：Y向当量误差；
ω：相对加工平面坐标系任一点与远点的矢量角；
Exy(n)属于联合高斯过程，从而也求出：
Exy(t)＝EΔXx×cosωt+EΔYy×sinωt＝0  (20)
在机床运作过程中，任意两个过程点n1,n2时，可得到他们的相关函数 与其协方差
函数 是相等的且均为：
由于、各个点为独立同分布的，因此对于 可得到相关系数：
而ΔXx，ΔYy是服从N(0,σ2；0,σ2；cosω(n1-n2))，其二维密度函数为：
依据所述方法，同样到得到在Y-Z、X-Z面的联合概率密度函数；
步骤四：关键误差识别与修改意见
当量误差及其波动作为空间误差项的反应结果，如何将对空间误差项影响较大的误差
甄别出来，并减少波动范围就成为此步骤的重点；控制波动范围，最直观的方法是控制影响该项的方差，根据步骤1.4提出的均值误差模型则有：
由于所述方法只针对机床的几何误差项则有：
其中偏微分 是用来具体识别出具体对于加工影响较大的误差项的，可将其就某
一方向上展开归一化处理：
mni的总量为1，表示x,y,z方向上第i项误差的归一处理值；在某一方向上的mni表示了该项误差对于结果影响的大小；并根据归一化处理结果来进行可削减波动范围的关键误差项识别工作；
所述方法中，为了验证预测及比较随机性效果，在各轴50-600mm的行程上，以每3mm为
一节点随机记录下一组数据。
2.根据权利要求1所述的机床空间加工误差的非确定性描述及预测方法，其特征在于：
所述方法以三轴精密立式加工中心为例，对上述的机床空间加工误差的非确定性描述及预测方法进行验证；
步骤一：为三轴机床设置广义坐标系，并建立机床的空间误差模型；
基于多体系统运动学理论，采用低序体阵列描述抽象机床系统的拓扑结构，在多体系
统中建立广义坐标系，用矢量及其列向量表达位置关系，用齐次变换矩阵表示多体系统间的相互关系；
步骤1.1建立三轴机床的拓扑结构
该机床包括X轴、刀具、工件、Y轴、Z轴、床身；
该三轴数控机床的成型系统由X轴平动单元、Y轴平动单元、Z轴平动单元组成；在数控
机床成型运动中，所述方法考虑机床的几何误差；本机床共有21项几何误差，包括X,Y,Z轴的六项几何误差Δxx、Δyx、Δzx、Δαx、Δβx、Δγx、Δxy、Δyy、Δzy、Δαy、Δβy、Δγy、Δxz、Δyz、Δzz、Δαz、Δβz、Δγz和三项垂直度误差ΔγXY、ΔβXZ、ΔαYZ；
根据多体理论的基本原理将该机床抽象对多体系统，该机床主要由6个典型体组成，定
义三轴机床的各个组成部件，以及刀具和工件为“典型体”，用“Bj”表示，其中j＝0,1,2,3,
4,5,j表示各典型体的序号；
根据编号规则选定床身为典型体“B0”，将三轴机床分为刀具分支和工件分支，共两个分支；首先对刀具分支沿远离床身的方向，按照自然增长数列，对各典型体进行编号；再对工件分支沿远离床身的方向，按照自然增长数列，对各典型体进行编号；
步骤1.2建立三轴机床的特征矩阵；
在床身B0和所有部件Bj上均建立起与其固定联接的右手直角笛卡尔三维坐标系O0-
X0Y0Z0和Oj-XjYjZj，这些坐标系的集合称为广义坐标系，各体坐标系称为子坐标系，每个坐标系的三个正交基按右手定则分别取名为X,Y,Z轴；各个子坐标系的相对应的坐标轴分别对应平行；坐标轴的正方向与其所对应的运动轴的正方向相同；
将各体之间的运动和静止情况，看作坐标系之间的运动和静止情况；根据两相邻典型
体之间的静止和运动情况，在理想运动特征矩阵和运动误差特征矩阵表中选择相应的运动特征矩阵；选择结果如表4；
表3：该三轴机床的运动特征矩阵和运动误差特征矩阵表
由于B5相对于B0无相对运动，则T50S＝I4×4ΔT50S＝I4×4；
B4相对于B3无相对运动，则T34S＝I4×4ΔT34S＝I4×4；
由于所述方法是一种关于机床空间加工误差的非确定性描述及预测方法，在使用过程
中忽略除几何误差之外的所有误差因素；根据相邻典型体在静止状态下的位置关系，确定典型体间静止特征矩阵和静止误差特征矩阵；结果如表5；
表4：该三轴机床的静止特征矩阵和静止误差特征矩阵表
步骤1.3建立机床的空间误差模型
刀具成型点实际运动位置与理想运动位置的偏差即为机床的空间误差；
设刀具加工点在刀具坐标系中的坐标为：
PT＝[xt,yt,zt,0]T  (27)
其中xt表示刀具加工点在刀具坐标系中X轴方向的坐标值；
yt表示刀具加工点在刀具坐标系中Y轴方向的坐标值；
zt表示刀具加工点在刀具坐标系中Z轴方向的坐标值；
下标t表示刀具
机床在理想状态时成型点的运动位置：
式中TijP表示典型体Bj与典型体Bi之间的体间静止特征矩阵；
TijS表示典型体Bj与典型体Bi之间的理想运动特征矩阵；
PT表示刀具加工点在刀具坐标系中的坐标；
Pwideal表示理想条件下成型点在工件坐标系中的坐标，
机床在实际状态时成型点的运动位置：
PW＝[T05]-1[T01×T12×T23×T34]PT  (29)
其中Tij＝TijP·ΔTijP·TijS·ΔTijS
TijP表示典型体Bj与典型体Bi之间的体间静止特征矩阵；
ΔTijS表示典型体Bj与典型体Bi之间的体间静止误差特征矩阵；
TijS表示典型体Bj与典型体Bi之间的理想运动特征矩阵；
ΔTijS表示典型体Bj与典型体Bi之间的运动误差特征矩阵；
PT表示刀具加工点在刀具坐标系中的坐标；
则机床的空间误差模型表示为：
Ei＝Pwideal-Pw  (30)
步骤1.4误差项合理削减及当量误差方程的建立
所述方法此步将以空间误差模型为基础，进一步将机床的所有误差项进行削减；机床
的误差均值模型表示为：
F＝F(E,G,PW,U,UW,Ut，GV)  (31)
其中：
F＝[f1,f2,...,fr]T其中f1,f2,...,fr表示r个独立方程；
T
E＝[Ex,Ey,Ez,0] 其中Ex，Ey，Ez表示机床的空间误差；
G＝[g1,g2,……,gn]T其中g1,g2,......,gn表示n个机床各零部件几何误差；
Gv＝[Δγxy,Δβxz,Δαyz,1]T其中Δγxy,Δβxz,Δαyz表示机床的三主轴间姿态形式误差；
Pw＝[Pwx,Pwy,Pwz,1]T其中Pwx,Pwy,Pwz表示工件上成形点在工件坐标系中的坐标向量；
U＝[x,y,z,B]T其中x,y,z,B表示机床各运动轴的位置向量；
Uw＝[xw,yw,zw,1]T其中xw,yw,zw表示工件位置坐标向量；
Ut＝[xt,yt,zt,1]T其中xt,yt,zt表示刀具位置坐标向量；
由于在实际加工过程中，装夹误差及刀具装夹误差是必然要存在误差项的，故所述方
法中定义Pw,U是没有误差的；因此，进一步写为：
F＝F(E,G,GV,Uw,Ut)  (32)
其中G的表达式可书写为：
空间误差项，利用激光干涉仪、球杆仪和五坐标测量仪来得出；其中对于机床测量方法
而言，最常用的方法就是激光干涉仪；优点是通过一个轴的测量测出该方向上的6个误差项，总类分为直线度误差和线性误差，如果有一个与该轴运动形式趋势一致的激光干涉仪测量，此时产生的某些线性误差和直线度误差会有一定的相关性，因此，所述方法中定义一个相关系数ρ表示其中的关系；
在激光干涉仪测量X向的六项基本误差时，并与此同时，在Y的方向，再加之一个激光干
涉仪，运动趋势与X向运动一致，此时产生的Y项的6项基本误差就会产生一定的重叠项；X轴沿Y项的线性误差Δyx与Y轴的定位误差Δyy从空间来看二者是存在一定的关系，定义ρ＝Cov(Δyx,Δyy)便为二者的相关系数；一般情况下，设ρ＝Cov(ΔIj,ΔJi)为误差与误差之间的相关系数，其中任意两项定位误差的相关系数为零；同理则可定义出其他误差项之间的相关性，矩阵：
当量误差，由于机床几何误差最终体现在定位精度上，所述方法中定义一种新的误差
含义：即将空间误差量，投影到在各个轴线上的误差分量；
其中：
ΔXx：X项上的当量误差；
ΔYy：Y项上的当量误差；
ΔZz：Z项上的当量误差；
最后得到当量误差方程：
ΔXx＝Δxz-Δxx-Δxy-Δxwd+zΔβx-zΔβwd+yΔγwd-zΔβy  (36)
ΔYy＝z[(Δαx+Δαy)-(Δyx+Δyy)]-x(Δγwd+Δγy+Δγxy)-Δywd+zΔαwd  (37)ΔZz＝x(Δβwd+Δβy)+Δzz+Δzt+Δyz+Δyt-zΔαz+yΔαwd-Δzwd  (38)
步骤二：数控机床各几何误差的测量及其测量数据的整理
激光干涉仪被频繁的用于机床误差检测上，所述方法中，通过定点多测的方法在X，Y，Z三个方向上进行测量；分别在各轴50-600mm的行程上，以每20mm为一节点，进行测量重复9次并计算均值；只保留误差值：
tr＝Tr-D  (39)
D：目标点；
Tr：激光干涉仪测量值；
tr：误差值；
使用垂直度测量仪测量机床的三项垂直度误差；
定义各项几何误差均符合tr～N(μ,σ2)均符合高斯分布的独立同分布；
μ:为误差均值；
σ2：为误差的方差；
所述方法中，为了验证预测及比较随机性效果，在各轴50-600mm的行程上，以每3mm为
一节点随机记录下一组数据；表6～9为50-600mm的行程上，以每20mm为一节点，测量9次并取均值；由于篇幅限制，只列举数据的一部分
表5 X轴几何误差测量值均值单位为mm
表6 Y轴几何误差测量值单位为mm
表7 Z轴几何误差测量值单位为mm
表8 单元间误差测量值单位为mm
步骤三：计算当量误差并利用随机过程对加工轴及面的随机性波动进行描述及预测
步骤3.1计算当量误差并进行线条拟合
所述方法中，定义ΔXx，ΔYy，ΔZz被设为独立同分布的；根据实验数据的均值，计算出三向的当量误差；利用B-spline曲线进行数据在位置点的拟合；拟合原理如下：
其中：
u：表示当量误差；
p:表示阶数；
步骤3.2轴向随机性描述及预测原理
针对其中一项误差的随机过程，将其称之为“高斯白噪声序列”，由白噪声过程定义可
知，其中任意两点过程n1,n2两点的相关函数 与其协方差函数 相同均为σ2δ(n1,
n2)，并且在移动过程中的任意时刻，均为不相关的，并且任意时刻均为N(0,σ2)于是在这个过程中得到任一点的概率密度函数为：
其中：ΔXxi：为某一方向上的当量误差；
nn：为某一方向上的位置点；
所述方法就ΔXx，ΔYy，ΔZz三向当量误差添加高斯白噪声序列，并以此来描述和预测
机床的几何误差非确定性波动，其波动范围在±3σ之间；
步骤3.3在平面上的随机性描述及预测原理
任意两个当量误差((ΔXx,ΔYy),(ΔYy,ΔZz)和(ΔXx,ΔZz))都是独立的随机变量，并
且均符合N(0,σ2)分布；定义在X-Y平面上加工一平面，根据随机过程理论；可将平面上的任意点的误差点的误差预测为：
{XY(n)＝ΔXxcosωn+ΔYysinωn,n∈(-∞,+∞)}  (44)
ΔXx：X向当量误差；
ΔYy：Y向当量误差；
ω：相对加工平面坐标系任一点与远点的矢量角；
Exy(n)属于联合高斯过程，从而也求出：
Exy(t)＝EΔXx×cosωt+EΔYy×sinωt＝0  (45)
在机床运作过程中，任意两个过程点n1,n2时，可得到他们的相关函数 与其协方差
函数 是相等的且均为：
由于、各个点为独立同分布的，因此对于 可得到相关系数：
而ΔXx，ΔYy是服从N(0,σ2；0,σ2；cosω(n1-n2))，其二维密度函数为：
依据所述方法，同样到得到在Y-Z、X-Z面的联合概率密度函数，其波动范围也应在±3σ
之间；
步骤四：关键误差识别与修改意见
在本项方法的前面步骤中，已经提及过当量误差及波动预测的求解方法；当量误差及
其波动作为空间误差项的反应结果，如何将对空间误差项影响较大的误差甄别出来，并减少波动范围就成为此步骤的重点；控制波动范围，最直观的方法是控制影响该项的方差，根据步骤1.4提出的均值误差模型则有：
由于所述方法只针对机床的几何误差项则有：
其中偏微分 是用来具体识别出具体对于加工影响较大的误差项的，可将其就某
一方向上展开归一化处理：
mni的总量为1，表示x,y,z方向上第i项误差的归一处理值；在某一方向上的mni表示了该项误差对于结果影响的大小；所述方法为了更为直观的看到的其影响，并根据归一化处理结果来进行可削减波动范围的关键误差项识别工作。