一种基于矩阵分解的双程波叠前深度偏移的方法
阅读：216发布：2020-05-08
专利汇可以提供一种基于矩阵分解的双程波叠前深度偏移的方法专利检索，专利查询，专利分析的服务。并且本 发明 公开了一种基于矩阵分解的双程波 叠前深度偏移 的方法，从求解双程波方程所需要的边界条件入手，利用地表处记录的波场值，通过单程波偏移 算法 估算出地表处波场值对深度方向的偏导数，并利用两个边界条件推导构建了基于垂直 波数 及其三 角 函数的双程波深度偏移方程；并进一步利用矩阵分解理论对双程波深度偏移方程进行准确求解，解决了现有文献中对双程波深度偏移方案求解不稳定的问题。除此，本发明通过对强速度变化介质中脉冲响应的计算，证明本发明提出的方法的计算结果与有限差分计算的结果相一致，体现了本算法计算的准确性；通过对盐丘模型的成像，验证了本算法对强速度变化介质准确、以及稳定的成像能 力 ，体现了本算法在成像上的优越性。，下面是一种基于矩阵分解的双程波叠前深度偏移的方法专利的具体信息内容。
1.一种基于矩阵分解的双程波叠前深度偏移的方法，其特征在于，包括：
S1、构建二维常密度介质下的频率域声波方程；
S2、假设已知地表处记录的波场值及其偏导数，求解得到频率域声波方程的两个初始条件，并在均匀介质的情况下，计算得到频率域声波方程对深度的偏导数：
S3、基于步骤S2中的两个初始条件和欧拉公式，构建一般形式下的双程波波场深度延拓方程：
其中，x和z分别表示水平和垂直坐标，垂直坐标即为深度，v(x,z)表示介质速度，是波场压力的频率域表示形式， 为在z+Δz深度处波场的偏导数
值， 为在z+Δz深度处波场值，ω为角频率，sin(kzΔz)为垂直波数的正弦函数，cos(kzΔz)为垂直波数的余弦函数， 为垂直波数；
S4、基于矩阵分解理论将双程波波场深度延拓方程中的Helmholtz算子L改写为：
其中，
v(x)
表示速度的横向变化， 为采用二阶有限差分算子展开，ωi为第i个角频率点；
S5、根据矩阵特征值分解理论，计算得到垂直波数及其三角函数：
kz＝QΛ1/2QT
cos(kzΔz)＝Qcos(Λ1/2Δz)QT
kzsin(kzΔz)＝Q{Λ1/2sin(Λ1/2Δz)}QT
其中，Λ为Helmholtz算子L的特征值矩阵，Q为其特征向量矩阵，上标T代表矩阵转置；
S6、将所述垂直波数及其三角函数带回至步骤S3中，求解得到一般形式下的双程波场深度延拓方程；利用步骤S3中双程波波场深度延拓方程对z深度处的检波点波场和震源波场 计算z+Δz深度处检波点波场
和震源波场
S7、在求得下一个深度的延拓波场之后，利用互相关成像原理计算偏移结果其中*表示共轭运算；
S8、判断偏移结果是否计算到最大模型深度，如果计算到最大深度处，算法结束；否则重复执行步骤S3-S7；
S9、基于脉冲响应数值试验，验证步骤S1-S8在强速度变化介质中波场计算的准确性，并在对盐丘模型的成像试验中，验证步骤S1-S8对强速度变化介质成像计算的稳定性。
2.根据权利要求1所述的基于矩阵分解的双程波叠前深度偏移的方法，其特征在于，所述步骤S1构建二维常密度介质下的频率域声波方程为：
其中，x和z分别表示水平和垂直坐标，v(x,z)表示介质速度， 是波场压力的频率域表示形式，ω为角频率。
3.根据权利要求1所述的基于矩阵分解的双程波叠前深度偏移的方法，其特征在于，所述步骤S2中假设已知地表处记录的波场值及其偏导数，得到频率域声波方程的两个初始条件：
其中， 为地表处记录的波场值， 为根据地表处的波场值估计的波场对深度的偏导数值。
4.根据权利要求1所述的基于矩阵分解的双程波叠前深度偏移的方法，其特征在于，所述步骤S2中在均匀介质的情况下，计算得到频率域声波方程对深度的偏导数为：
其中，C1,C2为待定系数， kx为水平波数，kz为垂直波数，c为均匀介质速度。
5.根据权利要求1所述的基于矩阵分解的双程波叠前深度偏移的方法，其特征在于，所述步骤S3的具体步骤包括：
基于步骤S2中的两个初始条件，求解待定系数C1,C2，则频率域声波方程对深度的偏导数为：
根据欧拉公式eix＝cos x+i sin x，得到频率域声波方程对深度的偏导数为：
构建在任意速度变化介质下的一般形式的双程波波场深度延拓方程：
6.根据权利要求1所述的基于矩阵分解的双程波叠前深度偏移的方法，其特征在于，所述步骤S5的具体步骤包括：
根据矩阵理论，将Helmholtz算子L的矩阵分解为：
L＝QΛQT
其中，矩阵Λ为Helmholtz算子L的特征值矩阵，Q为L的特征向量矩阵，上标T代表矩阵转置；
根据矩阵理论，用特征值函数表示矩阵的函数：
f(L)＝Qf(Λ)QT
其中，f(L)和f(Λ)表示矩阵函数；
计算得到垂直波数及其函数：
1/2 T
kz＝QΛ Q
cos(kzΔz)＝Qcos(Λ1/2Δz)QT
kzsin(kzΔz)＝Q{Λ1/2sin(Λ1/2Δz)}QT。
一种基于矩阵分解的双程波叠前深度偏移的方法
技术领域
[0001] 本发明属于叠前深度偏移的技术领域，具体涉及一种基于矩阵分解的双程波叠前深度偏移的方法。
背景技术
[0002] 地震偏移成像是指在一定的数学模型基础上(一般以弹性波或声波方程作为偏移成像的数学模型)建立合适的波场外推算子，用该算子在已知的宏观速度场中对地表观测的数据进行波场外推(波的反向传播)，并把地表观测到的波场反向外推到产生该反射(或绕射)的反射界面或绕射点上，利用适当的成像条件，计算成像剖面。地震偏移成像的本质是利用数学的手段使地表观测到的地震数据反向传播，消除地震波的传播效应得到地下结构的图像，其中涉及两个关键问题：波场外推(或称为波场延拓)和成像条件。地震偏移方法大致可以分为三类，即射线积分类偏移方法，单程波方程类偏移方法和双程波类偏移方法。
[0003] 单程波类偏移算法是以单程波方程为基础展开研究的。单程波方程是将全声波方程进行上下行波分解得到的，单程波偏移方法就只是对下行波或者是下行波进行深度延拓之后，采用成像条件实现成像计算。常规的单程波方程在上下行波分解过程中，舍弃了振幅矫正项，因此不具备保幅特性(Zhang et al.,2003,2005)。单程波偏移算法作为一种波动方程类偏移算法，与Kirchhoff积分类偏移方法相比，单程波偏移无高频近似假设，能够处理多值走时和由速度变化所引起的焦散问题，在地震偏移方法发展过程中形成了丰富的发展成果，例如在常规单程波偏移算法中应用广泛的单程波傅里叶有限差分偏移方法和广义屏偏移方法(Gazdag and Sguazzero,1984；Ristow and Ruhl,1994；Wu,1994；Le Rousseau and de Hoop,2001)。但是常规的单程波偏移方法常常都是基于Taylor 级数或者是Pade级数等理论对垂直波数进行近似处理的，导致了常规单程波偏移算法对强横向速度变化介质和复杂介质的成像能力有限。
[0004] 要实现对复杂介质的准确成像，特别是实现保幅深度偏移成像，基于准确双程波声波方程的偏移是达到该目的的理论基础，特别是逆时偏移算法在复杂构造中的准确成像正说明了该问题。显然，基于单程波方法的偏移方法在成像精度并不满足该要求。因此，在理论上和实践上都完全有必要开展基于双程波声波方程的波场深度偏移成像的研究。但是，当前开展关于双程波声波方程的波场深度延拓及成像的理论和实践报道还比较少，具有理论研究价值。众所周知，声波方程是一个关于时间变量和空间变量的二阶偏导数微分方程，在理论上，需要两个边界条件方能在深度域上进行准确求解。常规的地震数据采集系统只是在地表处记录波场值，一般只能提供一个边界条件，即地表初记录的波场值，因此，在理论上缺乏求解双程波声波方程充足的边界条件。Kosloff and Baysal(1983)在地表是均匀介质的假设条件下，利用单程波方法估算出波场值对深度方向的偏导数，结合地表处的波场值实现全声波方程的波场深度延拓。在 Kosloff and Baysal提出的双程波声波方程深度偏移算法中使用最大速度建立的低通滤波器消除在深度延拓过程中的倏逝波，同时也滤掉了一部分陡倾角构造的反射波能量，这导致了该算法对陡倾角构造的成像能力不足。Sandberg and Beylkin(2009)在分析了倏逝波和有效波的特征值差异之后，提出了利用谱投影算法消除在双程波声波方程深度延拓过程中的倏逝波，实现了利用双程波声波方程深度偏移算法对盐丘模型的准确成像。Wu et al.(2012)建立了利用单程波传播算子中的Beamlet算子对双程波深度偏移，但是该方法对复杂介质的成像表现出不稳定性。Pan(2015)建立的双程波深度延拓算法与Wu et al.的方程类似，但是Pan选择利用与常规相位加插值类似的方法实现双程波深度偏移成像。
发明内容
[0005] 本发明的目的在于针对现有技术中的上述不足，提供一种基于矩阵分解的双程波叠前深度偏移的方法，以解现有技术对双程波深度偏移方案求解不稳定的问题。
[0006] 为达到上述目的，本发明采取的技术方案是：
[0007] 一种基于矩阵分解的双程波叠前深度偏移的方法，其包括：
[0009] S2、假设已知地表处记录的波场值及其偏导数，求解得到频率域声波方程的两个初始条件，并在均匀介质的情况下，计算得到频率域声波方程对深度的偏导数：
[0010] S3、基于步骤S2中的两个初始条件和欧拉公式，构建一般形式下的双程波波场深度延拓方程：
[0011]
[0012]
[0013] 其中，x和z分别表示水平和垂直坐标，垂直坐标即为深度，v(x,z)表示介质速度，是波场压力的频率域表示形式， 为在z+Δz深度处波场的偏导数值，为在z+Δz深度处波场值，ω为角频率，sin(kzΔz)为垂直波数的正弦函数，cos(kzΔz)为垂直波数的余弦函数， 为垂直波数；
[0014] S4、基于矩阵分解理论将双程波波场深度延拓方程中的Helmholtz算子L 写为：
[0015]
[0016]
[0017] 其中，
[0018] v(x)表示速度的横向变化， 为采用二阶有限差分算子展开，ωi为第i个角频率点；
[0019] S5、根据矩阵特征值分解理论，计算得到垂直波数及其三角函数：
[0020] kz＝QΛ1/2QT
[0021] cos(kzΔz)＝Qcos(Λ1/2Δz)QT
[0022]
[0023] kzsin(kzΔz)＝Q{Λ1/2sin(Λ1/2Δz)}QT
[0024] 其中，Λ为Helmholtz算子L的特征值矩阵，Q为其特征向量矩阵，上标T 代表矩阵转置；
[0025] S6、将所述垂直波数及其三角函数带回至步骤S3中，求解得到一般形式下的双程波场深度延拓方程；利用步骤S3中双程波波场深度延拓方程对z深度处的检波点波场和震源波场 计算z+Δz深度处检波点波场和震源波场
[0026] S7、在求得下一个深度的延拓波场之后，利用互相关成像原理计算偏移结果其中*表示共轭运算；
[0027] S8、判断偏移结果是否计算到最大模型深度，如果计算到最大深度处，算法结束；否则重复执行步骤S3-S7；
[0028] S9、基于脉冲响应数值试验，验证步骤S1-S8在强速度变化介质中波场计算的准确性，并在对盐丘模型的成像试验中，验证步骤S1-S8对强速度变化介质成像计算的稳定性。
[0029] 优选地，步骤S1构建二维常密度介质下的频率域声波方程为：
[0030]
[0031] 其中，x和z分别表示水平和垂直坐标，v(x,z)表示介质速度， 是波场压力的频率域表示形式，ω为角频率。
[0032] 优选地，步骤S2中假设已知地表处记录的波场值及其偏导数，得到频率域声波方程的两个初始条件：
[0033]
[0034] 其中， 为地表处记录的波场值， 为根据地表处的波场值估计的波场对深度的偏导数值。
[0035] 优选地，步骤S2中在均匀介质的情况下，计算得到频率域声波方程对深度的偏导数为：
[0036]
[0037]
[0038] 其中，C1,C2为待定系数， kx为水平波数，kz为垂直波数，c为均匀介质速度。
[0039] 优选地，步骤S3的具体步骤包括：
[0040] 基于步骤S2中的两个初始条件，求解待定系数C1,C2，则频率域声波方程对深度的偏导数为：
[0041]
[0042]
[0043] 根据欧拉公式eix＝cosx+isinx，得到频率域声波方程对深度的偏导数为：
[0044]
[0045]
[0046] 构建在任意速度变化介质下的一般形式的双程波波场深度延拓方程：
[0047]
[0048]
[0049] 优选地，步骤S5的具体步骤包括：
[0050] 根据矩阵理论，将Helmholtz算子L的矩阵分解为：
[0051] L＝QΛQT
[0052] 其中，矩阵Λ为Helmholtz算子L的特征值矩阵，Q为L的特征向量矩阵，上标T代表矩阵转置；
[0053] 根据矩阵理论，用特征值函数表示矩阵的函数：
[0054] f(L)＝Qf(Λ)QT
[0055] 其中，f(L)和f(Λ)表示矩阵函数；
[0056] 计算得到垂直波数及其函数：
[0057] kz＝QΛ1/2QT
[0058] cos(kzΔz)＝Qcos(Λ1/2Δz)QT
[0059]
[0060] kzsin(kzΔz)＝Q{Λ1/2sin(Λ1/2Δz)}QT。
[0061] 本发明提供的基于矩阵分解的双程波叠前深度偏移的方法，具有以下有益效果：
[0062] 本发明从求解双程波方程所需要的边界条件入手，利用地表处记录的波场值，通过单程波偏移算法估算出地表处波场值对深度方向的偏导数，并利用两个边界条件推导构建了基于垂直波数及其三角函数的双程波深度偏移方程；并进一步利用矩阵分解理论对双程波深度偏移方程进行准确求解，解决了现有文献中对双程波深度偏移方案求解不稳定的问题。
[0063] 除此，本发明通过对强速度变化介质中脉冲响应的计算，证明本发明提出的方法的计算结果与有限差分计算的结果相一致，体现了本算法计算的准确性；通过对盐丘模型的成像，验证了本算法对强速度变化介质准确、稳定的成像能力，体现了本算法在成像上的优越性。附图说明
[0064] 图1(a)准确速度模型，(b)平滑速度模型。
[0065] 图2为不同传播算子在准确速度模型(图1a)中t＝1.0s时刻计算的波场快照； (a)有限差分算法；(b)单程波广义屏传播算子；(c)基于矩阵分解的双程波深度传播算子。
[0066] 图3为不同传播算子在准确速度模型(图1a)中t＝1.5s时刻计算的波场快照； (a)有限差分算法；(b)单程波广义屏传播算子；(c)基于矩阵分解的双程波深度传播算子。
[0067] 图4为不同传播算子在准确速度模型(图1a)中t＝2.0s时刻计算的波场快照； (a)有限差分算法；(b)单程波广义屏传播算子；(c)基于矩阵分解的双程波深度传播算子。
[0068] 图5为不同传播算子在平滑速度模型(图1b)中t＝1.0s时刻计算的波场快照； (a)有限差分算法；(b)单程波广义屏传播算子；(c)基于矩阵分解的双程波深度传播算子。
[0069] 图6为不同传播算子在平滑速度模型(图1b)中t＝1.5s时刻计算的波场快照； (a)有限差分算法；(b)单程波广义屏传播算子；(c)基于矩阵分解的双程波深度传播算子。
[0070] 图7为不同传播算子在平滑速度模型(图1b)中t＝2.0s时刻计算的波场快照； (a)有限差分算法；(b)单程波广义屏传播算子；(c)基于矩阵分解的双程波深度传播算子。
[0071] 图8.(a)原始速度模型；(b)平滑速度模型。
[0072] 图9.基于Beamlet传播算子的双程波深度偏移算法计算的盐丘模型叠后成像剖面(引自Wu et al.,2012)。
[0073] 图10.基于平滑的速度模型(图8b)，利用不同偏移方法计算成像的结果； (a)常规单程波广义屏偏移算法；(b)本文提出的双程波深度偏移算法。
具体实施方式
[0074] 下面对本发明的具体实施方式进行描述，以便于本技术领域的技术人员理解本发明，但应该清楚，本发明不限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内，这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。
[0076] S1、构建二维常密度介质下的频率域声波方程；
[0077]
[0078] 其中，x和z分别表示水平和垂直坐标，v(x,z)表示介质速度， 是波场压力的频率域表示形式，ω为角频率。
[0079] S2、假设已知地表处记录的波场值及其偏导数，求解得到频率域声波方程的两个初始条件，并在均匀介质的情况下，计算得到频率域声波方程对深度的偏导数，其具体步骤包括：
[0080] 从公式(1)可见，频率域声波方程是关于空间坐标的二阶偏导数方程；根据微分方程的求解原理，要准确求解二阶偏导数声波方程理论上需要两个初始条件，即地表处记录的波场值及其偏导数值。
[0081] 假设在地表处记录的波场值及其偏导数已知，则频率域声波方程及其初始条件为：
[0082]
[0083] 在均匀介质的情况下，公式(2)具有如下通解形式，其对深度的偏导数为：
[0084]
[0085] 其中，C1,C2为待定系数， kx为水平波数，kz为垂直波数，c为均匀介质速度。
[0086] S3、构建一般形式下的双程波波场深度延拓方程，其具体步骤包括：
[0087] 在常规的波场深度延拓过程中，由于只利用了地表处的波场这一个初始条件，只能求解公式(3)中的一个待定系数，即常规的单程波传播算子。
[0088] 在公式(2)中，得到了两个初始条件，即可求解公式(3)中的两个待定系数，在根据两个初始条件计算出待定系数之后，公式(3)可以改写为：
[0089]
[0090] 根据欧拉公式eix＝cosx+isinx，公式(4)写为三角函数形式：
[0091]
[0092] 其中，sin(kzΔz)为垂直波数的正弦函数，cos(kzΔz)为垂直波数的余弦函数。
[0093] 从公式(5)中可以看出，根据上一个深度的波场及其偏导数值可以计算下一个深度的波场及其偏导数值，实现波场的深度延拓计算。公式(5)是在均匀介质假设条件下建立的波场深度延拓公式，为了实现波场深度延拓对任意速度变化介质的计算能力，构建如下一般形式的波场深度延拓公式：
[0094]
[0095] 其中
[0096] 从公式(6)知，结合公式(2)中地表处记录的波场值及其偏导数值即可实现双程波方程的波场深度延拓计算，而要实现基于双程波方程的波场深度延拓，如何准确的求解垂直波数及其三角函数是解决该问题的核心。
[0097] S4、基于矩阵分解将双程波波场深度延拓方程中的Helmholtz算子改写为：
[0098]
[0099] 其中，
[0100] v(x)表示速度的横向变化，ωi为第i个角频率点。
[0101] S5、采用二阶有限差分算子表示二阶偏导微分算子，并根据矩阵理论，计算得到垂直波数及其三角函数，其具体步骤包括：
[0102] 在离散Helmholtz算子L中，采用了二阶有限差分算子表示二阶偏导微分算子，当采用更高阶的有限差分算子表示二阶偏导微分算子可以实现更高的计算精度并更好的控制频散效应。显而易见，Helmholtz算子L是一个实对称矩阵，根据矩阵理论，Helmholtz算子L具有如下的矩阵分解形式：
[0103] L＝QΛQT (8)
[0104] 其中，矩阵Λ为Helmholtz算子的特征值矩阵，Q为其特征向量矩阵，上标 T代表矩阵转置，根据矩阵理论，矩阵的函数可以用其特征值函数表示：
[0105] f(L)＝Qf(Λ)QT (9)
[0106] 其中f(L)和f(Λ)表示矩阵函数。
[0107] 根据公式(9)，计算得到垂直波数及其三角函数：
[0108] kz＝QΛ1/2QT (10)
[0109] cos(kzΔz)＝Qcos(Λ1/2Δz)QT (11)
[0110]
[0111] kzsin(kzΔz)＝Q{Λ1/2sin(Λ1/2Δz)}QT (13)[0112] 对Helmholtz算子进行矩阵分解的时，特征值矩阵Λ包含有正特征值和负特征值，其中负特征值对应的是倏逝波，倏逝波在波场深度延拓过程中会使振幅呈现指数上升的问题，不利于波场延拓的稳定性，需要在深度延拓过程中消除。因此，在对Helmholtz算子进行矩阵分解过程中，将特征值矩阵Λ中的负特征值进行滤除，只保留正的特征值，以保证算法的稳定性。
[0113] S6、将所述垂直波数及其三角函数带回至步骤S3中，求解得到一般形式下的双程波场深度延拓方程；利用步骤S3中延拓方程对z深度处的检波点波场和震源波场 计算z+Δz深度处检波点波场
和震源波场
和震源波场
[0114] S7、在求得下一个深度的延拓波场之后，利用互相关成像原理计算偏移结果其中*表示共轭运算。
[0115] S8.判断是否计算到最大模型深度，如果计算到最大深度处，算法结束；否则重复执行步骤S3-S7。
[0116] S9、验证步骤S1-S8的准确性和稳定性；
[0117] 强速度变化介质中波场描述
[0118] 对强速度变化介质中波场现象的研究一直是波场正演和成像的重点。准确的波场描述是地震成像的基础，因此有必要开展对强横向速度变化介质中的波场计算的研究。在本数值实验中，为了对比各种传播算子的波场计算性能，采用有限差分算法、常规的广义屏传播算子和本发明算法计算盐丘模型的地震响应。在波场计算中，采用了两种类型的速度模型，一种是准确的速度模型，见图1(a)；另外一种是利用5×5窗口高斯平滑原速度模型之后的速度模型，设计该速度模型的目的是为了检验在速度模型不准确的情况下传播算子计算波场的准确性，见图1(b)。
[0119] 在计算波场中，将震源设置在z＝0m和x＝6800m处，震源采用的是10Hz 雷克子波。采用了有限差分算法、常规的广义屏传播算子和本发明方法计算盐丘模型的地震响应。利用三种算法计算分别计算了在准确速度模型中t＝1.0s, t＝1.5s和t＝2.0s时刻的波场快照，三种算法计算的波场快照分别见图2-图4。
[0120] 以准确的速度模型为基础，利用三种传播算子计算的波场快照对比发现：当传播的波场还未传播到盐丘体时(t＝1.0s时)，三种传播算子计算的波场快照都比较吻合，即在速度变化不大的情况下，三种传播算子都具备计算准确波场快照的能力；当传播波场到达盐丘体时(t＝1.5s时)，由于盐丘体的速度比围岩的速度大，盐丘体界面的入射波和经入盐丘体的透射波发生分离，如图3a中箭头所示，本发明方法计算的结果与有限差分算法计算的下行波吻合，但是常规的广义屏传播算子在波前计算上与有限差分算法计算的结果相差较大，如图3b 中箭头所示。当传播波场穿过盐丘体时(t＝2.0s时)，常规的广义屏传播算子波前计算结果与有限差分算法计算的结果相差变得更大，常规的广义屏传播算子已经不能准确的计算波场的传播了，这对成像的结果影响较大，而本发明算法计算的结果和有限差分的计算结果保存一致。
[0121] 在速度反演中，例如全波形速度反演中，很难得到准确的速度模型，一般是得到一个比较平滑的速度模型，因此，有必要研究在平滑速度模型中各种传播算子计算波场的差异。利用三种算法计算分别计算了在平滑速度模型中t＝1.0s, t＝1.5s和t＝2.0s时刻的波场快照，三种算法计算的波场快照分别见图5-图7。由于在图3b中对原速度模型进行了平滑处理，原速度模型中的层位信息明显弱化，因此在有限差分算法中计算的波场快照中反射波几乎不可见。当传播波场达到盐丘体和传过盐丘体时，本发明算法计算的波前面与有限差分算法计算的结果保持一致，常规的广义屏传播算子计算的波前面与有限差分算法计算的结果存在较大误差，如图6-图7中箭头所示。
[0122] 盐丘模型
[0123] 由于盐丘体速度与围岩速度的巨大差异，盐丘体对地震波具有非常强的散射作用，因此对盐丘体下方构造的准确成像一直是偏移成像的难点和热点问题。采用采用本文提出方法和常规的单程波广义屏偏移算法对盐丘模型进行成像。在本试验中，采用了两个速度模型，图8a所示的速度模型为准确的速度模型，用于正演波场模拟产生炮集记录，图8b所示的速度模型为利用5x5窗口高斯平滑原速度模型之后的速度模型，用于本数值试验的偏移成像。
[0124] 吴帮玉等(2012)利用基于单程波Beamlet传播算子的双程波深度偏移算法对盐丘模型进行了叠后成像。但是由于单程波Beamlet传播算子的不稳定性问题，该双程波偏移算法无法对盐丘体下方的成像噪音比较严重，成像剖面见图9。
[0125] 利用常规的单程波广义屏深度偏移算法和本算法对利用准确速度模型(图 8a)正演计算的炮集记录进行叠前偏移处理，偏移成像使用的速度模型为对准确速度模型平滑之后的结果，成像结果见图10。从图10中可以发现，由于高速盐丘体的存在，利用常规的单程波广义屏偏移算法对盐丘体下方的构造成像质量较差；即使在速度模型不准确的情况下，本算法获得了更高质量的成像结果，而且解决了之前双程波深度偏移算法的不稳定性问题。
[0126] 本文从求解全声波方程所需要的边界条件入手，利用地表处记录的波场值，通过单程波偏移算法估算出地表处波场值对深度方向的偏导数，并利用这两个边界条件推导构建了基于垂直波数及其三角函数的双程波深度偏移方案。
[0127] 并进一步提出了利用矩阵分解理论对该双程波深度偏移方案进行准确求解，解决了现有文献中对双程波深度偏移方案求解不稳定的问题。在脉冲响应数值试验中，以有限差分算法计算的波场快照为参考，通过与利用常规的单程波广义屏传播算子和本文提出的双程波深度传播算子计算的波场快照进行对比分析，证明了本文提出的双程波深度传播算子在强速度变化介质中波场计算的准确性。
[0128] 并通过对准确盐丘速度模型和平滑盐丘速度模型中波场的计算，进一步说明了既然在速度模型不准确的情况下，本发明的双程波深度传播算子也具备提供和有限差分算法相一致的计算结果。在对盐丘模型的成像试验中，本算法完全解决了之前文献中对强速度变化介质成像不稳定的问题，通过与单程波广义屏深度偏移算法计算结果的对比，体现了双程波深度偏移算法在计算复杂介质的优势。
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