【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】この発明は、離散ウェーブレット変換を用いた情報処理方法に関するものである。 さらに詳しくは、この発明は、情報源を該情報源に対する出力情報から解析する情報処理方法として有用であり、
特に、情報源の数が出力情報の数よりも多い場合における情報処理において、情報源を、経験に基づく人為的な拘束条件を付加せずに、離散ウェーブレット変換を用いることにより解析することのできる新しい情報処理方法に関するものである。

【０００２】

【従来の技術とその課題】従来より、情報源を該情報源に対する出力情報により解析する情報処理の方法としては、様々なものがある。 しかしながら、このような情報源を該情報源に対する出力情報から解析する情報処理の中でも、特に、情報源の数が出力情報の数よりも多い場合において情報源を解析する情報処理、つまり、情報源を該情報源よりも少ない出力情報により解析する情報処理は、一般に、逆問題と呼ばれ、一意的な解を求めることが非常に困難である情報処理の問題であり、従来より、このような逆問題を安定して高い信頼性で解析することのできる情報処理方法はなかった。

【０００３】このような逆問題としては、例えば、情報源を該情報源に対する複数の出力情報の一部から推定して解析するInverse Source問題と、ある対象物体に入力情報を与え、該対象物体による入力情報に対する出力情報から、入力情報と出力情報間のパラメータを推定することにより対象物体を解析するInverse Parameter 問題とがある。

【０００４】Inverse Source問題としては、例えば、ある特定部分における磁界の測定値から、この磁界の発生源である電流の値を求めるという電磁界系逆問題がある。 この電磁界系逆問題は、電流が流れている任意部分を情報源、電流により発生する磁界の一部を情報源に対する出力情報と見なし、電流が流れている任意部分における電流値を、任意部分に対する特定部分における磁界強度の測定値から求めるという情報処理であり、この逆問題では、勿論情報源の数である電流が流れている任意部分の数が、出力情報の数である磁界強度を測定する特定部分の数よりも多い。

【０００５】また、Inverse Parameter 問題としては、
例えば、解析の対象物体である人体に、入力情報であるＸ線を入射角度を少しずつ変えながら照射し、人体の各部分を通過したＸ線、つまり対象物体による入力情報に対する出力情報を測定し、入力情報である入射Ｘ線と出力情報である出力Ｘ線間の吸収係数を計算し、その計算結果から人体の断層撮影を行うComputed Tomography がある。

【０００６】このような逆問題では、情報源を未知数と該情報源に対する出力情報を既知数とした、情報源と出力情報との関係を表す方程式を解くことにより、情報源を解析するが、例えば、上記のようなInverse Source問題においては、多数の情報源に対する出力情報の一部のみからでは全ての情報源の一意的な解を求めることはできず、また、Inverse Parameter 問題においても、対象物体による入力情報に対する出力情報が理想的に得られない場合では、情報源の一意的な解を求めることはできない。

【０００７】そこで、従来より、このような逆問題を解析するために、経験に基づく人為的な拘束条件を設けた支配方程式を解くことによりこの逆問題の一意的な解を求めていた。 しかしながら、このような従来の解析方法は、経験に基づく人為的な拘束条件を用いる必要があるために、求まる解が信頼性の低いものであるといった問題があった。

【０００８】そこで、この発明は、以上の通りの事情に鑑みてなされたものであり、情報源を該情報源よりも少ない出力情報により解析する逆問題のような情報処理を、経験に基づく人為的な拘束条件を付加せずに、離散ウェーブレット変換を用いることにより、高い信頼性で行うことのできる新しい情報処理方法を提供することを目的としている。

【０００９】

【課題を解決するための手段】この発明は、上記の課題を解決するものとして、情報源を該情報源に対する出力情報から解析する情報処理の方法であって、情報源と該情報源に対する出力情報との関係式からシステム方程式を求め、このシステム方程式におけるｎ行ｍ列のシステム行列に離散ウェーブレット変換を施すことによりｎ行ｍ列のウェーブレット変換係数行列を得て、このウェーブレット変換係数行列から非特異行列となるｎ行ｎ列の正方行列を切り出し、この切り出されたｎ行ｎ列の正方行列の逆行列を求め、この逆行列にｍ行ｎ列の零行列を足すことによりウェーブレット変換係数行列のｍ行ｎ列の近似逆行列を得て、この近似逆行列に逆離散ウェーブレット変換を施すことによりシステム行列のｍ行ｎ列の近似逆行列を得て、そして、この近似逆行列を用いることによりシステム方程式を解くことを特徴とする離散ウェーブレット変換を用いた情報処理方法を提供する。

【００１０】

【発明の実施の形態】この発明の離散ウェーブレット変換を用いた情報処理方法は、情報源と該情報源に対する出力情報との関係を表すシステム方程式におけるシステム行列の近似的な逆行列を、離散ウェーブレット変換を用いて求めることにより、システム方程式の近似的な一意解を求め、その一意解により情報源を解析するものである。 図１は、この発明の情報処理方法のフローチャートを例示したものであり、以下、この図１に沿ってこの発明の実施の形態について説明する。

【００１１】まず、情報源と該情報源に対する出力情報との関係式からシステム方程式を導く。 解析対象の情報源を未知数とし、出力情報を既知数とした、情報源と該情報源に対する出力情報との関係式に対して、既知数の数がｎ、未知数の数がｍである線型システムを考えると、Ｘをｎ次の既知数ベクトル、Ｙをｍ次の未知数ベクトル、そしてＣをｎ行ｍ列のシステム行列とするとき、
この線型システムのシステム方程式は、次式で表される。

【００１２】

【数１】

【００１３】このシステム方程式は、システム行列Ｃの逆行列Ｃ ^-1を両辺に掛けると、

【００１４】

【数２】

【００１５】となる。 この式は、未知数ベクトルＹの式、つまりシステム方程式の解ベクトルの式である。 すなわち、この式から明らかなように、システム行列Ｃの逆行列Ｃ ^-1を求めることができれば、Ｘは既知数ベクトルであるので、解ベクトルＹを得ることができることがわかる。

【００１６】このシステム方程式において、ｎ＝ｍの場合、つまり既知数の数ｎと未知数の数ｍとが同じ場合では、システム行列Ｃは正方行列であるため、その逆行列が存在し、よって、システム行列Ｃの逆行列Ｃ ^-1をそのまま求めることにより解ベクトルを得ることができる。
しかしながら、ｎ＜ｍの場合、つまり既知数の数ｎが未知数の数ｍよりも少ない場合では、システム行列Ｃは長方行列となるため、その逆行列Ｃ ^-1が存在せず、よって、解ベクトルを求めることはできない。 このようなシステム行列を有する問題が情報処理における逆問題である。

【００１７】そこで、この発明では、まず、このようなｎ＜ｍの長方行列であるｎ行ｍ列のシステム行列Ｃに対して、離散ウェーブレット変換を施し、システム行列Ｃ
のウェーブレット変換係数行列Ｃ ^'を得る。 このウェーブレット変換係数行列Ｃ ^'は、ｎ行ｍ列の長方行列である。 次に、このウェーブレット変換係数行列Ｃ ^'において、逆行列の存在する非特異行列となるｎ行ｎ列の正方行列を切り出す。 この正方行列の切り出しは、たとえば、１行１列目の成分を原点とし、この原点からｎ行ｎ
列の正方行列Ｃ ^''を切り出すようにする。

【００１８】ウェーブレット変換は、後述するように、
入力データに含まれる情報を、ウェーブレット変換の基底関数であるマザー・ウェーブレットの近傍に集めるように変換する特性を有している。 このマザー・ウェーブレットの近傍領域は、通常、たとえば、ウェーブレット変換係数行列において１行１列目の近傍領域に表される。 従って、たとえば、原点とした１行１列目から正方行列を切り出すことにより、システム行列Ｃに含まれる情報の大部分を含んだ行列を得ることができる。 つまり、このｎ行ｎ列の正方行列Ｃ ^''のみにより、ｎ行ｍ列のウェーブレット変換係数行列Ｃ ^'を近似的に表すことができる。

【００１９】次に、この切り出した正方行列Ｃ ^''の逆行列Ｃ ^''-1を求める。 この逆行列Ｃ ^''-1は、ｎ行ｎ列であるため、このままでは、ｎ行ｍ列のウェーブレット変換係数行列Ｃ ^'の逆行列ｍ行ｎ列とはならない。 そこで、
さらに、この逆正方行列Ｃ ^''-1に、全ての行列成分が０
であるｍ行ｎ列の零行列Ｃ _zeroを足し合わせることによりｍ行ｎ列の行列として、ウェーブレット変換係数行列Ｃ ^'の近似逆行列Ｃ ^'-1 _approxを得る。

【００２０】そして、このｍ行ｎ列の近似逆行列Ｃ ^'-1
_approxに逆離散ウェーブレット変換を施すことにより、
システム行列Ｃのｍ行ｎ列の近似逆行列Ｃ ^-1 _approxを得る。 このようにして得られたｍ行ｎ列の近似逆行列Ｃ
^-1 _approxを用いてシステム方程式の近似的な一意解を求めることにより、情報源を解析することができる。

【００２１】ここで、この発明の情報処理方法の原理の中枢となる離散ウェーブレット変換による情報の近似表現を詳しく説明する。 対象となる情報は、離散ウェーブレット変換を用いるために２次元離散データの形を有しているものとする。 図２は、対象情報である２次元離散データを例示したものである。 この図２に示した２次元離散データは、３２行３２列、つまり１０２４個の離散データから成り立っている。 また、図３は、図２の２次元離散データに離散ウェーブレット変換を施すことにより得られるウェーブレット変換係数のスペクトラムを例示したものである。

【００２２】この図３から明らかなように、図２の２次元離散データのウェーブレット変換係数は、値の大きな係数が、１行１列目の成分を原点として、その原点の近傍に集中した分布となっていることがわかる。 ウェーブレット変換は、入力データに含まれる情報を、ウェーブレット変換の基底関数であるマザー・ウェーブレットの近傍に集めるように変換する特性を有しており、通常、
このマザー・ウェーブレットの近傍領域は、原点の近傍領域として表される。 従って、この図３においては、原点の近傍に集中しているウェーブレット変換係数に、入力データに含まれている情報が集中して表されている。

【００２３】図３において、０．２以上の大きさを持つウェーブレット変換係数は、１０２４個中２６個存在し、この２６個のウェーブレット変換係数は、ほぼ全てが原点の近傍、つまりマザー・ウェーブレットの近傍に集中している。 この２６個のウェーブレット変換係数以外の変換係数を０として、逆離散ウェーブレット変換を施すことにより元の２次元離散データを再現すると、再現された２次元離散データは、図４に例示したように、
図２に示した元の２次元離散データにほぼ近い分布となる。 この図４の再現された２次元離散データと図２の元の２次元離散データとの相関は、９７．２％である。 従って、離散ウェーブレット変換を用いることにより、１
０２４個の離散データからなる情報を、２６個の離散データのみにより精度良く近似的に表現することができることがわかる。

【００２４】つまり、この発明の情報処理方法において、システム行列のウェーブレット変換係数行列から、
たとえば１行１列目の成分を原点として切り出される、
非特異行列となるｎ行ｎ列の正方行列のみにより、ウェーブレット変換係数行列を精度良く近似表現することができるため、このｎ行ｎ列の正方行列に対して上述のような各処理を施すことにより、システム行列の逆行列を精度良く近似表現することができる。

【００２５】従って、このシステム行列の近似逆行列を用いることにより、システム方程式の解ベクトルＹ、つまり未知数の近似的な一意解を求めることができる。 すなわち、システム方程式により表される情報源と該情報源に対する出力情報との関係の情報処理で、情報源よりも少ない出力情報による情報源解析を、経験に基づく人為的な拘束条件を付加せずに、離散ウェーブレット変換を用いることにより、高い信頼性で行うことができる。

【００２６】以下、実施例を示し、さらに詳しくこの発明の離散ウェーブレット変換を用いた情報処理方法について説明する。 もちろん、この発明は以下の例によって限定されるものではない。

【００２７】

【実施例】

（実施例１）この発明の離散ウェーブレット変換を用いた情報処理方法により電磁界系逆問題を解析する情報処理を行った。 この電磁界系逆問題は、図５に例示したように、電流が流れているField 源と、このField 源の上方と下方に位置している該電流により発生される磁界の測定面１と測定面２とからなる電磁界系において、磁界測定面１と磁界測定面２それぞれにおいて８点の位置で測定される磁界測定値から、縦・横それぞれ８個の正方領域に分割されるField 源において各正方領域を流れる電流を求めるものである。 つまり、この電磁界系逆問題は、出力情報である１６点の磁界測定値から情報源である６４点の電流値を一意的に求める情報処理である。 この逆問題において、電流は、Field 源において図面の垂直方向に流れ、そして、各正方領域においてその中心に集中して流れているものとする。

【００２８】図５に例示した電磁界系では、電流と該電流により発生する磁界との関係は、電流をＩ、磁界をＨ、電流と磁界との距離をＲとすると、Ampereの法則により、

【００２９】

【数３】

【００３０】と表される。 さらに、このAmpereの法則式により、６４点の電流値と１６点の磁界測定値との関係式は、６４点の電流値をそれぞれ、Ｉ ₁ 、Ｉ ₂ 、・・
・、Ｉ ₆₄とし、１６点の磁界測定値をそれぞれ、Ｈ ₁ 、
Ｈ ₂ 、・・・、Ｈ ₁₆とし、また、Ｈ ₁に対する６４点の電流値からの各距離を、Ｒ _(1,1) 、Ｒ _(1,2) 、・・・、
Ｒ _(1,64)とし、他のＨ ₂ 〜Ｈ ₁₆それぞれに対する６４点の電流値からの各距離も同様にして表すとすると、

【００３１】

【数４】

【００３２】となる。 この関係式から、システム方程式を導くと

【００３３】

【数５】

【００３４】となる。 ここで、説明の簡素化のために、
このシステム方程式を、磁界ベクトルを１６次の既知数ベクトルＸ、係数ベクトルを１６行６４列のシステム行列Ｃ、電流ベクトルを６４次の未知数ベクトルＹとして、以下の式のように簡略化して表す。

【００３５】

【数６】

【００３６】このシステム方程式の未知数ベクトルＹを求めることにより、６４点の電流値を得ることができる。 未知数ベクトルＹは、システム方程式の両辺にシステム行列Ｃの逆行列Ｃ ^-1を掛けることにより求めることができるので、このシステム行列Ｃの逆行列Ｃ ^-1を離散ウェーブレット変換を用いることにより求める。

【００３７】図６は、このシステム方程式における１６
行６４列のシステム行列Ｃを例示したものであり、縦軸・横軸がシステム行列Ｃの各成分の１６行６４列の位置を、そして高さ軸が各成分の値を示している。 まず、図６の１６行６４列のシステム行列Ｃに離散ウェーブレット変換を施すことにより離散ウェーブレット変換係数行列Ｃ ^'を得る。 図７は、得られたシステム行列Ｃのウェーブレット変換係数行列Ｃ ^'のスペクトラムを例示したものである。 この図７から明らかなように、１行１列目の係数の近傍の領域に、値の大きな係数が集中していることがわかる。

【００３８】次に、得られた離散ウェーブレット変換係数行列Ｃ ^'から、１行１列目の係数を原点として１６行１６列の正方行列Ｃ ^''を切り出す。 この正方行列Ｃ
^''は、値の大きな係数、つまりシステム行列に含まれている情報の大部分を有している。 このような正方行列Ｃ
^''の逆行列Ｃ ^''-1を求め、さらに、この逆行列Ｃ
^''-1に、全ての行列成分が０である６４行１６列の零行列Ｃ _zeroを足し合わせることにより、ウェーブレット変換係数行列Ｃ ^'の近似逆行列Ｃ ^'-1 _approxを得る。 この近似逆行列Ｃ ^'-1 _approxは、６４行１６列の長方行列である。

【００３９】そして、この６４行１６列の近似逆行列Ｃ
^'-1 _approxに逆離散ウェーブレット変換を施すことにより、システム行列Ｃの６４行１６列の近似逆行列Ｃ ^-1
_approxを得る。 ここで、この６４行１６列の近似逆行列Ｃ ^-1 _approxを用いることにより、［数６］のシステム方程式に解ベクトルＹが存在し、一意的に決まるかどうかを調べる。

【００４０】システム方程式の解ベクトルＹが存在するための存在条件は、

【００４１】

【数７】

【００４２】により表される。 但し、Ｉ ₁₆は、１６次の単位正方行列である。 また、システム方程式の解ベクトルＹが一意的に決められるための一意的解条件は、

【００４３】

【数８】

【００４４】により表される。 但し、Ｉ ₆₄は、６４次の単位正方行列である。 この存在条件と一意的解条件とを同時に満足することができれば、システム方程式に解ベクトルＹが存在し、一意的に決まることになる。 よって、まず、得られた６４行１６列の近似逆行列Ｃ ^-1
_approxと１６行６４列の元のシステム行列Ｃとを用いて、Ｃ・Ｃ ^-1 _approxとＣ ^-1 _approx・Ｃを計算する。

【００４５】図８は、Ｃ・Ｃ ^-1 _approxの計算結果を例示したものである。 また、図９は、Ｃ ^-1 _approx・Ｃの計算結果を例示したものである。 図８から明らかなように、
Ｃ・Ｃ ^-1 _approxの計算結果は、完全な１６次の単位行列であることがわかる。 また、図９から明らかなように、
Ｃ ^-1 _approx・Ｃの計算結果は、最大値が０．７５、最小値が−０．２５であるため、完全な単位行列にはなっていないが、大きさが１の要素が対角線上にほぼ並んで分布していることがわかる。 従って、この発明により得られた６４行１６列の近似逆行列Ｃ ^-1 _approxを用いても、
上記の解ベクトルＹの存在条件を完全に満たすことができ、また一意的解条件を近似的ではあるが満たすことができる。

【００４６】すなわち、得られた６４行１６列の近似逆行列Ｃ ^-1 _approxを用いて、システム行列の解ベクトルＹ
を近似的ではあるが一意的に求めることができることが確認できた。 以上のようにして得られた近似逆行列Ｃ ^-1
_approxを用いて求めたシステム方程式の解ベクトルＹ、
つまり情報源である６４点の電流値を、実際の電流値と比較した。 図１０は、この発明の情報処理方法により得られた６４点の電流値と、実際の６４点の電流値との関係を例示したものであり、細線がこの発明の情報処理方法により得られた６４点の電流値を示し、太線が実際の６４点の電流値を示している。 この図１０から明らかなように、この発明の情報処理方法により得られた電流値は、実際の電流値に非常に近い値となっていることがわかる。

【００４７】従って、この発明の離散ウェーブレット変換を用いた情報処理方法により、経験に基づく人為的な拘束条件を付加せずに、高い信頼性で電磁界系逆問題を近似的に解析することができた。 （実施例２）この発明の離散ウェーブレット変換を用いた情報処理方法により電磁界系逆問題を解析する情報処理を行った。

【００４８】この電磁界系逆問題は、図１１に例示したように、電流が流れている導電性フィルムと、この導電性フィルムの上方に位置している該電流により発生される磁界の測定面からなる電磁界系において、磁界測定面において１６点の等間隔位置で測定される磁界測定値から、６４個の等幅領域に分割される導電性フィルムにおいて各等幅領域を流れる電流を求めるものである。 つまり、この電磁界系逆問題は、出力情報である１６点の磁界測定値から情報源である６４点の電流値を一意的に求める情報処理である。 この逆問題において、電流は、導電性フィルムにおいて図面の垂直方向に流れ、そして、
各等幅領域においてその中心に集中して流れているものとする。

【００４９】この逆問題を、実施例１と同様にして、解析する。 図１１に例示した電磁界系における６４点の電流値と１６点の磁界測定値との関係式から、システム方程式を導き、このシステム方程式の１６行６４列のシステム行列Ｃの逆行列Ｃ ^-1を求める。 １６行６４列のシステム行列Ｃにウェーブレット変換を施すことによりウェーブレット変換係数行列Ｃ ^'を得て、このウェーブレット変換係数行列Ｃ ^'から１行１列目の成分を原点とした１６行１６列の正方行列Ｃ ^''を切り出し、この１６行１
６列の正方行列Ｃ ^''の逆行列Ｃ ^''-1を求め、さらに、この逆行列Ｃ ^''-1に６４行１６列の零行列Ｃ _zeroを足し合わせることによりウェーブレット変換係数行列の６４行１６列の近似逆行列Ｃ ^'-1 _approxを得る。 そして、このウェーブレット変換係数行列Ｃ ^'の近似逆行列Ｃ ^'-1
_approxに逆離散ウェーブレット変換を施すことにより元のシステム行列Ｃの近似逆行列Ｃ ^-1 _approxを求める。
この近似逆行列は６４行１６列の長方行列である。

【００５０】ここで、この６４行１６列の近似逆行列Ｃ
^-1 _approxを用いることにより、システム方程式に解ベクトルＹが存在し、一意的に決まるかどうかを調べる。 実施例１と同様にして、得られた６４行１６列の近似逆行列Ｃ ^-1 _approxと１６行６４列の元のシステム行列Ｃとを用いて、Ｃ・Ｃ ^-1 _approxとＣ ^-1 _approx・Ｃを計算する。

【００５１】図１２は、Ｃ・Ｃ ^-1 _approxの計算結果を例示したものである。 また、図１３は、Ｃ ^-1 _approx・Ｃの計算結果を例示したものである。 図１２から明らかなように、Ｃ・Ｃ ^-1 _approxの計算結果は、完全な１６次の単位行列であることがわかる。 また、図１３から明らかなように、Ｃ ^-1 _approx・Ｃの計算結果は、完全な単位行列にはなっていないが、大きさが１の要素が対角線上にほぼ並んで分布していることがわかる。 従って、この発明により得られた６４行１６列の近似逆行列を用いても、
上記の解ベクトルＹの存在条件を完全に満たすことができ、また一意的解条件を近似的ではあるが満たすことができる。

【００５２】すなわち、得られた６４行１６列の近似逆行列Ｃ ^-1 _approxを用いて、システム行列の解ベクトルＹ
を近似的ではあるが一意的に求めることができることが確認できた。 以上のようにして得られた近似逆行列Ｃ ^-1
_approxを用いて求めたシステム方程式の解ベクトルＹ、
つまり情報源である６４点の電流値を、実際の電流値と比較した。 図１４は、この発明の情報処理方法により得られた６４点の電流値と、実際の６４点の電流値との関係を例示したものであり、細線がこの発明の情報処理方法により得られた６４点の電流値を示し、太線が実際の６４点の電流値を示している。 この図１４から明らかなように、この発明の情報処理方法により得られた電流値は、実際の電流値に非常に近い値となっていることがわかる。

【００５３】従って、この発明の離散ウェーブレット変換を用いた情報処理方法により、経験に基づく人為的な拘束条件を付加せずに、高い信頼性で電磁界系逆問題を近似的に解析することができた。

【００５４】

【発明の効果】以上詳しく説明した通り、この発明によって、情報源を該情報源よりも少ない出力情報により解析する逆問題のような情報処理を、経験に基づく人為的な拘束条件を付加せずに、離散ウェーブレット変換を用いることにより、高い信頼性で行うことのできる新しい情報処理方法が提供される。

【図面の簡単な説明】

【図１】この発明の離散ウェーブレット変換を用いた情報処理方法のフローチャートを例示した図である。

【図２】２次元離散データを例示した図である。

【図３】図２の２次元離散データの離散ウェーブレット変換係数のスペクトラムを例示した図である。

【図４】逆離散ウェーブレット変換により得られた２次元離散データの再現データを例示した図である。

【図５】この発明の離散ウェーブレット変換を用いた情報処理方法の一実施例である電磁界系逆問題におけるFi
eld 源と磁界測定面とを例示した図である。

【図６】システム方程式における１６行６４列のシステム行列Ｃを例示した図である。

【図７】離散ウェーブレット変換により得られたシステム行列Ｃのウェーブレット変換係数のスペクトラムを例示した図である。

【図８】Ｃ・Ｃ ^-1 _approxの計算結果を例示した図である。

【図９】Ｃ ^-1 _approx・Ｃの計算結果を例示した図である。

【図１０】この発明の情報処理方法により得られた６４
点の電流値と、実際の６４点の電流値との関係を例示した図である。

【図１１】この発明の離散ウェーブレット変換を用いた情報処理方法の一実施例である電磁界系逆問題における導電性フィルムと磁界測定面とを例示した図である。

【図１２】Ｃ・Ｃ ^-1 _approxの計算結果を例示した図である。

【図１３】Ｃ ^-1 _approx・Ｃの計算結果を例示した図である。

【図１４】この発明の情報処理方法により得られた６４
点の電流値と、実際の６４点の電流値との関係を例示した図である。