1.一种通信系统中功率及干扰无人机轨迹的鲁棒优化方法，由含有人工干扰无人机的安全通信系统来实现：该系统主要包括信源节点S、信宿节点D、窃听节点E和人工干扰无人机U,同时包含多个禁飞区J，该系统中窃听者属于被动窃听者，系统无法获得其准确的信道状态信息，但能通过安装在无人机U上的SAR合成孔径雷达或是摄像头设备获得窃听者的大致位置信息，通过该位置信息，系统能获得窃听链路的部分信道状态信息，干扰无人机有固定的起飞点和降落点，分别表示为q0和qF，无人机以固定高度进行飞行，在有限的时间T内要从起点飞至终点，通过优化无人机飞行过程中的干扰功率、飞行轨迹以及信源节点的信息发射功率来最大化安全通信系统的平均安全通信速率，该方法的具体步骤如下：
1)建立坐标系，确定各节点的坐标：
以信源节点S为原点建立三维坐标系xyz，由于信源节点S、信宿节点D、窃听节点E皆位于地面，省略掉z轴，将其坐标分别表示为wS＝(0，0)T、wD＝(xD,yD)T、wE＝(xE,yE)T，符号(·)T表示向量的转置，其中wE为窃听节点的估计坐标，窃听者的实际坐标处于以wE为圆心、半径为rE的圆形区域内，将窃听者的实际坐标表示为wER＝(xER,yER)T，估计坐标与实际坐标有以下关系：
wER＝wE+Δw       (1)
其中，Δw＝(ΔxE,ΔyE)T表示估计位置与实际位置之间的误差，其中ΔxE,ΔyE分别表示误差向量的横坐标与纵坐标，Δw满足：
εE表示窃听节点E实际坐标与估计坐标之间可能误差的集合，将无人机的整个飞行时间段T离散化为N个时隙，每个时隙的时长为δ，N＝T/δ，无人机在第 个时隙的坐标表示为qxyz[n]＝(x[n],y[n],H)T，设无人机在整个飞行期间以固定的高度H进行飞行，故省略z轴，其二维坐标表示为q[n]＝(x[n],y[n])T，无人机的起点和终点坐标表示为q0＝(x0,y0)T＝q[0]和qF＝(xF,yF)T＝q[N+1]；
2)计算各链路的信道增益：
地面节点之间的链路有两条：
地面节点与空中节点之间的链路有两条：
其中gSD与gSE分别表示信源节点S至信宿节点D和窃听节点E实际坐标的信道增益，hUD[n]和hUE[n]分别表示在第n个时隙无人机U至信宿节点D和窃听节点E实际坐标的信道增益，ρ0为任意两通信节点之间距离d＝1米时的参考信道增益，dSD代表信源节点与信宿节点之间的距离，dSER代表信源节点与窃听节点实际坐标wER之间的距离的，距离的单位皆为米，为路径损耗指数，ξD和ξE分别是与信宿节点和窃听节点相关的单位均值的指数分布随机变量，||·||表示对·求L-2范数，即欧几里得距离，单位是米；
3)计算合法链路和窃听链路的速率及系统的安全速率：
其中RSD[n]和RSE[n]分别表示在第n个时隙合法链路速率与窃听链路速率， 表示求均值符号，PS[n]和PU[n]分别表示信源节点S和无人机U在第n个时隙的发送功率和干扰功率，σ2表示环境中高斯白噪声的功率，由以上两项可以计算出系统的平均安全速率：
Rsec表示系统的平均安全速率，符号 表示对括号中的内容从n＝1到n＝N取和，符号[·]+表示取·和0两者间的较大者，即·为正值时取其本身，为负值时取0， 表示在集合εE中取Δw使得RSE[n]的值达到最大；
4)确定优化问题：
无人机在飞行过程中，速度小于其最大的速率约束，即：
||q[n+1]-q[n]||2≤L2 n＝0,1,2,...,N      (10)
其中L＝Vmaxδ表示在1个时隙的时间内无人机所能够飞行的最大水平距离，Vmax为无人机最大飞行速度，此外，无人机为了避障或者是航空管制等原因应避开数个圆柱型禁飞区域：
其中wj＝(xj,yj)T表示第j个 禁飞区域的水平中心坐标，符号 表
示取集合中所有的元素，rj表示第j个禁飞区域圆形半径，Hj表示第j个禁飞区域的高度，Hj＞H，禁飞区域的高度要高于无人机飞行高度，即无人机不能从禁飞区域的上空飞过，此外，无人机U的干扰功率及发射节点S的发射功率都需满足一定的平均功率和峰值功率限制：
上式中，(a)为平均功率约束，(b)为峰值功率约束，其中 和 分别表示信源节点S和无人机U的最大平均功率， 和 分别表示信源节点S和无人机U的最大峰值功率，由上述可得到以下优化问题：及其后面的式子表示为约束式，
无人机的轨迹、干扰功率以及信源节点S的发射功率的矢量集合分别表示为：
Q＝{q[1],q[2],...q[N]}、PU＝{PU[1],PU[2],...,PU[N]}及PS＝{PS[1],PS[2],...,PS[N]}，式中符号s.t为约束符号，符号max表示求最大值符号，max符号下的集合{Q,PS,PU}为优化变量集合，(14)式表示在约束式中对无人机速度、禁飞区、功率进行限制的条件下，求解目标函数即符号max后部分的最大值；C1-C4分别表示无人机的最大速率约束，无人机禁飞区约束、信源节点S的发射功率约束、无人机U干扰功率约束；
5)求解优化问题
公式(14)的优化问题是一个非光滑的非线性规划问题，属于非凸问题，不易直接求解，+
先对问题进行转化，将目标函数中的[·]符号去掉并将常数 略去，不影响问题的求解，目标函数变为：
对(15)中的RSD[n]和RSE[n]两项分别进行近似，利用Jensen不等式和函数的凹凸性取其下界和上界：
其中，Xn＝angSD， 符号an表示合法链路信噪比与信道增益的比值，
表示求均值符号，Xn是均值为 的指数分布随机变量，对其求均值：
κ为欧拉常数，x代表与随机变量Xn相关的积分变量，将公式(17)带入公式(16)，RSD[n]的下界 最终表示为：
符号 表示“定义为”，对RSE[n]也做类似的处理，取其上界
公式(14)被转化为：
下面将公式(20)分解为三个子问题分别进行求解，其具体求解步骤为：
Step1.找到一个满足式(20)中所有约束的可行点 作为初始点，设置迭代次
数t＝0；在满足公式(1)(2)的情况下给出一个窃听节点的真实坐标wER＝(xER,yER)T，设定容许误差θall；
Step2.t＝t+1,将 带入子问题一求解，求得
Step3.将 带入子问题二求解，求得
Step4.将 带入子问题三解求，求得Qt；
Step5.设公式(20)中的目标函数为g，若 返回
Step2；若 停止迭代，此时的 便为公式
(14)的最优解；
其中三个子问题的求解步骤为：
a)子问题一求解：
将初始点或者是上一次迭代求得的{Q,PU}作为已知量常数，求解PS，将公式(20)改写为以下问题：
其中， γ0＝ρ0/σ2，在最坏的情
况下，窃听节点应尽量靠近信源节点，窃听节点实际位置wER应位于过信源节点S坐标wS和窃听节点估计坐标wE的直线与窃听节点所在的圆形区域边界的交点上，且为距信源节点近端的那个交点，wER＝(xER,yER)T的坐标以及dSER的表达式为：
βn可以进一步表达为：
αn、βn皆为确定的常数，当αn＜βn时，窃听速率要大于合法速率，令其发射功率PS[n]＝0，当αn＞βn时，目标函数是凸的，其约束为仿射函数，该问题为一凸优化问题，PS[n]按照下式以及下列步骤进行求解：
其中，λ为与 相关的非负拉格朗日乘子，下面给出具体求解步骤：
Step1.给定λ的上界的值λ_up＞0，下界的值λ_low＝0， 设定容许误
差θ1；
Step2.求解公式(24)，并进行判断：若 令λ_low＝λ，否则λ_up＝λ；
Step3.判断λ_up-λ_low＞θ1，若是，令 返回Step2；若否，停止迭代，
由下式对最优解 进行求解；
子问题一解毕；
b)子问题二求解：
将初始点或者是上一次迭代求得的{Q,PS}作为已知量常数，求解PU，将公式(20)改写为：
其中 在最坏情况下，窃听节点应与干扰无
人机U的距离最远，即窃听节点应处于过干扰无人机坐标q[n]和窃听节点估计坐标wE的连接直线与窃听节点所在的圆形区域的边界的交点上，并且在距无人机远端的那个交点上，则窃听节点的实际位置坐标wER[n]＝(xER[n],yER[n])T为：
en和fn表示为：
cn,dn,en,fn皆为方便表达而引入的中间变量，公式(26)仍为非凸问题，当时隙数N最够大时，原问题与其对偶问题之间的对偶间隙可以忽略不计，由KKT条件得：
其中：
μ是与约束 相关的对偶变量，由KKT条件的互补松弛条件可知，当μ＝0
时，约束严格满足，目标函数的最优解在可行域内部的驻点上，公式(29)变为：
通过求解公式(29)或公式(31)，可得到无人机干扰功率的最优解 为：
其中， 是公式(29)或(31)的解，在求解公式(29)或(31)时，若有多个非负实数解，则 取使得公式(26)中目标函数值最大的那个解；
子问题二的求解步骤为：
Step1.由{Q,PS}计算窃听节点实际坐标wER[n]＝(xER[n],yER[n])T以及cn,dn,en,fn；
Step2.根据公式(31)计算驻点，判断该驻点是否严格满足约束 若满足，
转Step5，若不满足，转Step3；
Step3.设定对偶变量μ的上界μ_up＞0和下界μ_low＝0， 设定容许
误差θ2；
Step4.求解公式(29)，判断 是否满足，若满足，令μ_up＝μ，若不满足，令μ_low＝μ，重新执行Step4直至μ_up-μ_low＜θ2，转入Step5；
Step5.将前面求出的 带入公式(32)求出最优解
至此，子问题二求解完毕；
c)子问题三求解
将初始点或者是上一次迭代求得的{PS,PU}作为已知量常数，求解Q，引入两个松弛变量m＝[m[1],m[2],...,m[N]]T，将公式(20)改写为：
根据连续凸近似原理，将子问题三进行分解，通过迭代的方式连续解决多个凸问题来求解公式(33)，设第v次迭代要求解的轨迹变量为Q(v)＝{q(v)[1],...,q(v)[N]}，第v-1次迭代得到的解为Q(v-1)＝{q(v-1)[1],...,q(v-1)[N]}，在第v次迭代求解过程中使用第v-1次迭代得到的解对窃听节点的实际位置进行鲁棒近似，在最差情况下，第v次迭代求解过程中窃听节点的实际位置应与干扰无人机的位置最远，即 应处于过干扰无
人机坐标q(v-1)[n]和窃听节点估计坐标wE的连接直线与窃听节点所在的圆形区域的边界的交点上，并且在距无人机远端的那个交点上，由几何关系可得：
公式(33)中目标函数内第二项 是凸的，导致整个目标函数的凹凸
性不确定，对该项在点 进行泰勒展开并取其上界：
其中 该项为一阶导数，约束C1
与约束C4是非线性的，对C1和C4也进行近似处理：||q[n]-wD||2对于q[n]是凸的，其一阶泰勒展开在q(v-1)[n]处是它的全局上估计，即：
||q[n]-wD||2≥||q(v-1)[n]-wD||2+2(q(v-1)[n]-wD)T×(q[n]-q(v-1)[n])     (36)C4也做类似的处理：
||q[n]-wj||2≥||q(v-1)[n]-wj||2+2(q(v-1)[n]-wj)T×(q[n]-q(v-1)[n])    (37)将(35)(36)(37)带入(33)可得：
该问题为一凸优化问题，用Matlab中的CVX工具箱对该凸问题进行了求解，通过在第v次迭代中求解公式(38)，并将第v次迭代得到的结果作为第v+1次迭代的初值，循环迭代求解，直至公式(38)中的目标函数值的增量小于我们设置的阈值，该阈值的取值越大，解决该问题所需的迭代次数越多，计算量越大，所求最优点的精确性越高，反之阈值越小，精确性越低，所需计算量要小；
求解子问题三的具体步骤为：
Step1.设迭代次数v＝0，令Q(v)＝Q0,Q0为初始可行点；设置容忍误差θ3；
Step2.v＝v+1,计算 和
Step3.求解公式(38)，得到本次迭代的解Q(v)；
Step4.设(33)中目标函数为f，若f(Q(v))-f(Q(v-1))＞θ3，返回Step2；若f(Q(v))-f(Q(v-1))≤θ3，则此时Q(v)即为子问题三的最优解；
子问题三求解完毕。