权利要求

양자 연산용 광학적 방법{OPTICAL METHOD FOR QUANTUM COMPUTING}

연산에 소요되는 시간으로 인해 기존 컴퓨터를 이용하여서는 여러 종류의 산술 문제가 해결될 수 없다. 가령, N 개의 자리를 포함하는 정수를 인수분해하기 위해 소요되는 시간은 N과 함께 지수적으로 증가한다. 초고속 수퍼컴퓨터를 이용하여 150 자리 정수의 인수분해에 소요되는 시간은 우주의 수명보다도 길다. 기존 컴퓨터 속도의 차후 증가는 이런 종류의 문제 해결에는 적합하지 않다. 하지만 이는 상당히 중요한 문제이다. 가령, 큰 숫자를 인수분해함에 있어서의 어려움은 가장 공공연히 사용되는 암호법에 대한 원칙을 형성한다.

양자역학적 컴퓨터는 기존의 방법과는 다른 논리 연산을 이용할 수 있다는 것이 발견되어, 큰 숫자의 인수분해를 포함하여 여러 문제에 효율적인 해법을 제공할 수 있다. 기존과는 다른 논리 함수의 예로, 기존의 NOT 연산을 고려해보자. 이는 0에서 1 또는 1에서 0으로 단일 비트를 간단히 플립한다. 일상적인 NOT에 추가하여, NOT의 제곱근으로 알려진 새로운 종류의 논리 연산을 양자 컴퓨터가 구현할 수 있다. 이 연산이 두 번 적용될 경우, 일상적인 NOT를 생성하고, 한번만 적용될 경우에는 기존의 해석으로는 불가한 논리 연산을 제공한다.

비기존 논리 연상을 실행함에 추가하여, 양자 컴퓨터는 단일 프로세서에서 다수의 다른 연산을 동시에 실행할 수 있다. 이는 기존 컴퓨터에서는 불가능한 일이다. 이 양자 병렬성은 양자 컴퓨터의 성능 향상과 밀접한 관련이 있다.

개별 양자 논리 게이트의 연산은 알려져 있지만, 어떤 연산용 양자 컴퓨터도 제시된 바 없다. 궁극적인 목적은 현 반도체 기술과 조합하여 단일 기판 위에 다수의 양자 논리 게이트를 생성하는 것이고, 그래서 양자 컴퓨터를 실용적으로 개발하는 것이다.

양자 컴퓨터는 기존 컴퓨터와 마찬가지로 이진 체계를 사용한다. 큐비트(qubit)라고 불리는 개별 양자 비트는 양자 시스템 상태로 표시될 것이다. 가령, 원자의 기저 상태는 0으로 나타나고, 원자의 여기 상태는 1로 나타날 수 있다. 광학 연산에 대한 발명의 광학적 접근에서, 0은 주어진 경로에 대해 단일 포톤으로 나타난다. 다른 경로의 동일한 포톤은 1로 나타난다.

기존의 비트들은 잘 정의된 값을 가지지만, 큐비트는 0과 1을 나타내는 두 개의 상태 중 하나로 나타날 수 있는 가능성을 가진다. 양자 시스템의 일반 상태를 |Ψ>로 나타날 수 있고, |0>, |1>은 0과 1에 상응하는 상태를 각각 나타낸다. 양자역학은 다음과 같이 두 상태의 중첩을 나타낸다.

|Ψ> = α|0> + β|1>

이때, α와 β는 복소수이다. 상태 |0>의 시스템을 찾을 가능성은 α의 제곱이고, 상태 |1>을 찾을 가능성은 β의 제곱이다.

이러한 종류의 양자역학적 중첩은 시스템이 주어진 시간에 한 개의 상태에만 존재한다고 고려될 수 없다는 점에서 기존의 가능성과는 기초부터 틀리다. 가령, 도 1에 도시되는 바와 같이 두 경로로 위상편이

1, 2를 가진 채로 간섭계를 통과하는 한 개의 포톤을 가정해보자. 빔 스플리터는 포톤이 상부 경로 또는 하부 경로로 이동할 50%의 가능성을 부여한다. 포톤의 위치 결정을 위해 측정이 실시될 경우, 두 경로중 한곳에서만 포톤이 나타날 것이다. 그러나 이러한 측정이 이루어지지 않을 경우, 한 개의 포톤은 위상 편이 1 및 2를 동시에 측정할 수 있고, 이는 관측된 간섭 패턴이 두 위상의 차에 좌우되기 때문이다. 이는 포톤 위치 결정을 위해 어떠한 측정도 이루어지지 않을 경우 포톤이 두 경로에 동시에 위치하여야 한다는 점을 제시한다. 여러 경로를 가지는 보다 분화된 간섭계에서, 단일 포톤은 경로중 하나에서만 감지될 수 있지만, 모든 경로에 대한 위상 편이의 선형 조합을 동시에 측정할 수 있다.

동시에 한 개 이상의 연산을 실행할 수 있는 양자 컴퓨터의 능력은 방금 기술한 단일-포톤 간섭계의 성질과 유사하다. 컴퓨터가 하고 있었던 것을 정확하게 결정하기 위한 측정이 한 개의 특정 연산만을 실행하도록 프로그래밍되었음을 보여주지만, 양자 컴퓨터는 다수의 연산을 실행함에 따라 좌우되는 결과를 제공할 수 있다. 이를 설명하기 위해, N개의 입력 비트 값을 바탕을 바탕으로 특정 연산을 실행하도록 프로그래밍되는 컴퓨터를 고려해보자. 그리고 도 2에서와 같이, N개의 출력 비트로 결과가 나타날 수 있음을 가정해보자. 입력 비트에는 2 ^N 개의 다른 조합이 존재하고, 그 각각은 |input _j >로 표시되는 특정 입력 상태에 상응한다. 이때 j는 1에서 2 ^N 까지 모든 값을 취한다. 출력 비트의 동일한 수의 특정 조합은 |output _k >로 표시된다. 각각의 입력 상태는 가능한 출력 상태의 중첩을 생성할 수 있다.

이때 복소수 계수 βjk는 실행된 연산을 기술한다. 추가적으로, 입력 상태는 컴퓨터로의 모든 가능한 입력의 중첩일 수 있다.

이 경우에, 양자역학의 선형성은 다음 형태의 출력 상태를 부여한다.

특정 출력 상태 k를 얻을 가능성 Pk는 다음 방정식의 계수 제곱으로 주어진다.

특정 출력을 얻을 가능성은 컴퓨터에서의 모든 가능한 연산 결과를 나타내는 모든 계수 βjk에 따라 좌우된다. 그 결과는 모든 가능한 입력 사이의 간섭에 따라 좌우된다. 즉, 모든 입력 상태가 서로 위상에 공헌할 경우 Pk는 클 것이다. 역으로모든 초기 상태로부터의 공헌이 취소될 경우 Pk는 작을 것이다. 양자 연산의 목표는 모든 부정확한 결과가 매우 작은 가능성을 보이고 원하는 결과가 높은 가능성을 보이도록 컴퓨터를 프로그래밍하는 것이다.

이 종류의 중첩 상태 유용성을 설명하기 위해, 퀄리티 Q의 연산을 가정해보자.

이때, f(j)는 j의 고도의 비선형 함수이다. 퀄리티 Q는 컴퓨터로의 모든 가능한 입력에 대한 함수 f의 평균에 상응한다. 이는 이 종류의 퓨리에 변환값이다. 이 종류의 연산은 f(j)를 연산하도록 컴퓨터 자체를 프로그래밍함으로서, 그리고 원하는 평균의 입력 상태 중첩을 생성함으로서, 양자 컴퓨터에서 구현될 수 있다.

양자 컴퓨터는 큰 숫자를 효율적으로 인수분해하기 위해 사용될 수 있고, 이는 양자 연산에 현재 상당한 관심을 가지는 이유이기도 하다. 컴퓨터의 출력이 원하는 인수 중 하나에 높은 가능성으로 상응하는 것을 보장하도록 앞서의 알고리즘이 간섭 효과를 사용한다.

양자 컴퓨터의 실용적인 구현은 기존 컴퓨터선과 일부 동등하게 여러 분리 논리 게이트가 연결될 수 있는 모듈러 접근법을 필요로 할 것이다. 디코히어런스(decoherence)로 알려진 약자 상태의 에러 성장을 정정하는 능력 역시 중요하다. 개별 양자 게이트가 트랩의 이온 원자스핀을 이용하여 설명되었다. 그러나 이 접근법은 모듈 방식이 아니고, 한 이온으로부터 다른 이온까지 정보 전송은매우 복잡한 과정이다.

양자 연산에 대한 광학적 접근은 다수의 유용한 장점을 제공한다. 모든 양자 컴퓨터는 본디 간섭 효과에 따라 좌우되며, 적절한 위상을 반드시 유지하여야 한다. 광학 간섭계는 현재의 여러 장치에 사용되고 있다. 왜냐하면, 광학 간섭계의 위상이 상대적으로 안정하고 피드백 기술을 이용하여 제어가능하기 때문이다. 전자와 같은 대전된 입자를 바탕으로 하는 간섭계가 존재하지만, 전자기장을 흩뜨릴 정도로 매우 민감하다. 추가적으로, 원하는 논리 연산 실행에 필요할 때 광학 양자 게이트를 연결시키기 위해 광섬유나 도파관이 사용될 수 있다. 이들 이유나 다른 이유로 인해, 양자 컴퓨터 구축에 가장 실용적인 접근법은 광학 장치의 사용을 바탕으로 하는 것일 것이다.

이러한 광학적 접근의 가장 큰 문제점은 이 종류의 비선형 효과가 고강도 전기장을 필요로 하는 데 반해 단일 포톤과 연관된 전기장은 매우 약하다는 점이다. 그러나, 단일 포톤으로부터의 전기장은 포톤이 차지하는 체적의 제곱근에 역비례하고, 충분히 작은 체적에 포톤을 한정하면 약 10,000 V/M의 전기장을 생성할 수 있다. 두 개의 포톤 수준에서 이 종류의 비선형 위상 편이가 제시되었지만, 이 접근법은 극도로 뛰어나 거울, 원자 빔, 그리고 매질의 원자 공명 주파수 근처의 작동 등을 필요로 하고, 이는 작동하는 양자 컴퓨터의 구축에 있어 실용적이지 못하다.

본 출원은 1998년 4월 24일 제출된 계류중인 미국 특허 출원 제 60/082,983 호를 바탕으로 한다.

본 발명은 양자 연산에 관한 것이고, 특히 양자 컴퓨터를 구축하기 위한 새로운 광학적 방법에 관한 것이다.

도 1은 간섭계를 통과하는 단일 포톤의 도면. 이때, 이러한 포톤은 두 경로에서의 위상 편이를 동시에 측정할 수 있고, 그럼에도 불구하고 포톤은 한 경로에서만 항상 발견된다.

도 2는 N개의 입력 비트와 N개의 출력 비트를 가지는 범용 양자 컴퓨터의 도면. 이때, 다른 입력 및 출력 상태로 중첩함으로서, 컴퓨터가 여러 다른 연산을 동시에 효과적으로 실행할 수 있다.

도 3은 양자 컴퓨터의 기본 논리 요소를 형성할 수 있는 제어-NOT(XOR) 게이트의 도면. 비트 B는 비트 A가 1인 경우에만 변환(플립)된다.

도 4는 간섭계의 한 개의 아암에서 비선형 굴절률을 바탕으로 하는 제어-NOT 게이트의 광학적 구현 도면.

도 5는 두 개의 포톤 레벨에서 비선형 위상 편이의 향상을 위한 예견된 메카니즘의 도면. 이때, 기저 상태로부터 여기 상태로 전이하면서 원자 A가 포톤 1을 흡수할 때의 교환 인력 작용이 일어나고, 그 후 포톤 2를 재방출한다. 원자 B는 역순으로 포톤을 흡수하고 재방출한다. 두 포톤의 상호교환은 비선형 위상편이를 생성한다. 이러한 종류의 메카니즘은 단일 포톤 강도에서 상대적으로 강할 것으로 기대된다. 왜냐하면, 두 포톤이 동일 원자와 상호작용할 필요가 없기 때문이다.

도 6은 비선형 위상 편이의 생성을 위한 기존 메카니즘 도면. 이때 원자 레벨 |1>에서 |2>로의 가상 전이를 생성하기 위해 주파수 ω ₁ 의 포톤이 존재할 때, 원자 레벨|2>와 |3> 사이의 가상 전이는 주파수 ω ₂ 의 포톤으로 위상 편이를 생성할 것이다. 이 종류의 메카니즘으로 인해 두 포톤이 동일 원자와 상호작용하여야 하고, 이는 단일 포톤 레벨에서는 쉽게 발생하지 않는다.

도 7a와 7b로 이루어지는 도 7은 원자 증기 셀과 같은 광학 매질을 투과하는 두 개의 포톤과, 두 개의 분리된 매질을 투과하는 동일한 두 개의 포톤을 각각 도시하는 도면.

도 8은 원자 A와 B가 모두 여기되는 가상 상태로서 다음의 두 방식으로 생성될 수 있는 도면. 포톤 2가 원자 B를 여기시킬 때 포톤 1은 여기 원자 A를 가질 수 있고, 포톤 2가 원자 A를 여기시킬 때 포톤 1은 원자 B를 여기시킬 수 있다. 이 두 가능성 사이의 보강 간섭이 두 개의 여기 원자 존재 가능성에 인자 2의 향상을 생성할 수 있다.

도 9a와 9b로 나누어지는 도 9는 원자 매질의 도면. 한 매질의 밀도 p는 위치 z의 천천히 변화하는 함수이고 δkδz<<π/2일 정도로 충분히 얇으며, δz는 두께이고, δkδz<<2pπ를 만족시키는 주기적 매질이며, 이때 Δz는 주기이고 p는 정수이다. 어떤 경우에도, 도 8의 가능 진폭 사이에 보강 간섭이 존재한다.

도 10은 레벨 2와 3 사이의 전송으로부터 이조(detuning)되는 레이저 펄스의 응용 도면. 이는 상기 상태의 상응하는 위상 편이와 에너지 레벨 2의 스타크 편이를 생성하기 위해 사용될 수 있다.

도 11은 레이저 유도 전이의 도면. 이때 포톤 1, 2는 레벨 3으로부터 공명이 없지만, 레이저 펄스의 응용은 레벨 2로 공명 전이를 허용한다.

도 12는 π의 비선형 위상 편이를 생성하는 5개의 펄스 순서도.

(a) 펄스 1은 초기 상태 |

₁ ,

₂ >로부터 포톤1만이 존재하는 상태 |

₁ >까지의 전이를 생성한다.

(b) 펄스 2는 두 개의 다른 매질에 포톤이 있을 때 어떤 효과도 생성하지 않으나, 두 포톤이 동일 매질에 있을 때는 상태 |

₁ >과 |0>의 중첩을 생성한다.

(c) 펄스 3은 두 포톤이 동일 매질에 있을 때 상태 |

>의 위상 편이를 생성한다.

(d) 펄스 4는 시스템을 상태 |

₁ >로 복귀시킨다.

(e) 최종 펄스는 상대적 위상 편이 π로부터 초기 상태로 시스템을 복귀시킨다.

도 13a와 13b로 이루어지는 도 13은 다섯 개의 레이저 펄스 순서 효과를 도시하면서, 두 포톤이 동일 매질에서 전파하는 경우 시간의 함수로 상태 |0>의 가능성 진폭의 실수부 R의 그래프. 도 13a는 |

₁ >과 |0>의 중첩을 생성하는 펄스 2의 효과 도면. 도 13b는 펄스 2의 효과를 완충시키며 시스템을 상태 |

₁ >으로 되돌리는 펄스 4의 효과 도면.

도 14는 두 포톤이 동일 매질에서 전파하는 경우 펄스 3의 결과로 인한 상태 |

1>의 가능성 진폭의 실수부 및 허수부의 도면. 전선 원의 반경은 펄스 앞의 상태 | 1>의 가능성 진폭의 크기를 나타내고, 벡터 a는 펄스가 상태 |0>으로 부분적으로 연결한 후 가능성 진폭으로부터의 공헌을 나타낸다. 벡터 b는 상태|0>의 초기 가능성 진폭으로부터의 공헌을 나타내며, 이는 펄스에 의해 | 1>으로 부분적으로 연결된다. 펄스의 위상과 이조(detuning)는 점선 원 상 어디에도 최조 벡터가 놓이도록 조절될 수 있고, 이는 임의 위상 편이를 제공한다.

도 15a와 15b로 이루어지는 도 15는 두 개의 기존 시스템 S1과 S2를 각각 가지며, A로 표시되는 한 개 이상의 보조 시스템과 물리적 상호작용의 순서에 의해 연결되지 않는 두 기존 시스템을 포함할 수 있는 물리적 상호작용의 순서에 의해 두 시스템 S1과 S2가 연결된다. 후자의 경우에는 정보 흐름을 위해 어떤 경로도 존재하지 않고, 과정이 일어날 수 없다.

도 16은 기존 위상 편이를 제공하는 제어-NOT 게이트의 도면.

도 17은 박막 결정의 중복되는 미미한 전계를 이용하여 광섬유 내 두 포톤의 상호작용을 도시하는 도면. 이 메카니즘은 양자 논리 게이트 작동에 소요되는 비선형 위상 편이를 생성하기 위해 사용될 수 있다.

도 18은 동일 주파수로 두 포톤 A와 B에 작용하는 제어-NOT 게이트의 도면.

도 19는 2비트 가산기 회로의 도면.

도 20은 전기 광학 스위치로 광섬유의 두 루프를 이루는 메모리 기억 장치의도면.

도 21은 위상 에러의 효과를 최소화하기 위한 피드백 사용의 도면.

도 3에 도시되는 충분한 수의 제어-NOT(XOR) 게이트를, 쉽게 구현될 수 있는 추가 단일-비트 연산으로 조합함으로서, 어떤 논리 연산이나 숫적 연산도 구현될수 있음을 최근에 밝혀진 바 있다. 제어 NOT는 두 개의 이진 입력, A와 B를 가진다. 입력 Z는 변화없이 출력으로 전송되고, 입력 B는 입력 A=1인 경우에만 변환(플립)된다. 그러므로, 입력 는 입력 B에 나타나는 값을 제어할 수 있다. 실용적인 제어-NOT 게이트의 개발은 양자 컴퓨터의 구축을 향한 첫걸음이다.

제어 NOT 게이트는 도 4에 도시되는 광학 장치를 이용하여 구현될 수 있다. 여기서, 점선으로 표시되는 경로에 단일 포톤이 위치할 경우 비트 A는 1이고, 실선으로 표시되는 경로에 포톤이 위치할 경우 비트 A는 0이다. 입력 B는 제 2 포톤에 의해 마찬가지 방식으로 표현된다. 이때 두 포톤은 서로 다른 주파수 ω ₁ 과 ω ₂ 를 가지고, 이는 서로를 구별하게 한다. 포톤 B의 두 경로는 빔 스플리터에 의해 조합되어, 비선형 매질을 통과하는 한 개의 아암과 함께 간섭계를 형성한다. 포톤 B에 의한 위상 편이는 매질의 굴절률에 따라 좌우되고, 상기 위치의 전기장 강도에 따라 좌우된다. 포톤 A가 매질을 동시에 통과할 경우, 전기장이 추가 π위상 편이를 삽입하여, 포톤 B가 취해야할 출력 경로를 변화시킨다. 최종 결과는 포톤 A가 포톤 B의 경로를 제어할 수 있다는 점이다.

이러한 종류의 비선형 위상 편이를 크게 증가시킬 수 잇는 새로운 물리적 효과를 바탕으로 발명의 접근이 이루어진다. 기존의 비선형 메카니즘은 두 포톤의 개별 원자와의 인력작용을 이용하였다. 이는 매질의 아톰수 N _A 에 비례하는 위상 편이를 부여한다. 새로운 메카니즘은 두 포톤의 원자쌍과의 인력을 이용하고, 이는 N _A ² 에 비례하는 위상 편이를 부여한다. 왜냐하면, 앞의 값이 매질의 원자쌍의 수이기때문이다. 도 5에 도시되는 바와 같이, 제시되는 메카니즘은 원자 A에 의한 포톤 1의 흡수와 포톤 2의 방출로 이루어지고, 이어서 원자 B에 의한 포톤 2의 흡수와 포톤 1의 방출이 이어진다(양자역학 시스템의 에너지는 짧은 시간 구간에서 불명확하고, 이 과정의 중간 단계에서 보존될 필요가 없다). 한쌍의 원자에 의한 포톤의 교환은 시스템 에너지에 편이를 유발시키는 것 외엔 어떤 효과도 보이지 않으며, 이는 바람직한 위상 편이를 생성한다.

N _A 가 클 경우에, 이 새로운 메카니즘은 두 개의 포톤 레벨에서 더 큰 위상 편이를 생성하여야 한다. 이는 고품질 거울이나 원자 빔에 대한 필요성같이 다른 설계 요구사항을 완화시킨다. 그 결과, 이 접근법은 단일 기판 위에 다수의 양자 게이트를 구축하게 하고, 필요한 논리 연결을 광학 도파관이 제공하게 한다.

다른 기술에 대한 본 발명의 장점은 다음과 같다.

- 독립적인 논리 게이트.

- 광섬유나 도파관을 이용하여 독립 논리 게이트간 연결을 할 수 있는 능력.

- 반도체 기술과 조합하여 광학 도포관과 미세 제작 기술을 이용하는 단일 기판 상의 다수의 논리 소자 제작 능력.

- 빛의 속도로 정보를 전파함으로 인한 고속 논리 연산.

- 분산 효과 보정.

이 장점들의 결과로, 본 발명의 방법은 최대 크기의 컴퓨터로 스케일링-업할 수 있는 실용적 수단을 제공한다. 더욱이, 여기서 공개되는 방법은 기존 광학 데이터 처리에 적용될 수 있다. 즉, 앞서 기술된 광학적 접근법이 부품에 의해 생성되는 열을 감소시키고 속도를 증가시키기 위해 표준 컴퓨터를 구축하기 위해 사용될 수 있다.

여러 포톤을 포함하는 고강도 광선이 비선형 광학 효과에 요구된다. 일반적으로, 이는 단일 포톤과 연관된 전기장의 강도가 매우 약하기 때문이다. 그래서 다른 입자와 단일 포톤의 물리적 상호작용이 매우 작기 때문이다. 이러한 문제점을 피할 수 있는 한가지 방법은 높은 Q 인자로 작은 공동에 두 포톤을 한정하는 것이다. 이는 전기장의 크기와 상호작용 시간을 증가시킨다. 두 포톤 레벨에서의 비선형 위상 편이가 이 방식으로 나타났지만, 필요한 높은 Q-공동 및 원자 트랩의 복잡도가 다수의 큐비트를 포함하는 최대 크기의 양자 컴퓨터 건설에 이 기술의 실제적 값을 제한할 수 있다.

두 동일 입자 사이에서 어떤 물리적 사용작용도 없을 때, 이러한 교환 사이에서 파동 함수가 대칭이거나 비대칭이어야 한다는 요구사항이 밀어내거나 끌어당기는 입자의 외적 경향을 생성할 수 있다. 그 간단한 예로는 포톤 집군(photon bunching)을 들 수 있다. 이러한 경우, 어떤 실제적인 인력이나 척력도 존재할 수 없다. 왜냐하면, 두 입자간에 실제적인 힘이 작용하지 않기 때문이다. 그러나, 여러 면에서 알짜 효과는 마치 이들이 있는 것과 상당히 동일하다. 교환 상호작용은 여러 시스템에 상당한 충격을 가진다. 이때 상대적으로 강한 물리적 힘은 중성자별의 경우에서와 같이 어떤 동등한 효과를 생성하도록 요구될 수 있다.

포톤의 상대적으로 약한 물리적 상호작용보다는 교환 상호작용으로부터 필요한 비선형 상호작용이 도출되도록 광학 양자 논리 게이트를 구축할 수 있다는 것을 상대적으로 크기가 큰 교환 상호작용이 제시한다. 아래에 설명되는 바와 같이, 매질에서 두 개의 여기된 원자가 존재할 가능성은 포톤 집군과 유사하게 두 분리 매질을 통해 전파하는 경우와 비교할 때 동일 매질을 통해 두 개의 비공명 포톤이 전파하는 경우가 2배 크다. 여기 원자 상태의 밀도차는 원자 여기 상태의 위상 편이를 생성하도록 일련의 레이저 펄스를 가함으로서 발전할 수 있다. 레이저 펄스의 효과가 여기 상태의 밀도에 따라 좌우되기 때문에, 두 포톤이 두 개의 분리된 매질에서 전파할 때보다 동일 매질에서 전파할 때 다른 위상 편이을 얻는다. 이것이 비선형 효과에 상응한다. 레이저 펄스보다는 버퍼 기체와의 충돌에 의존하는 앞서의 제시사항을 포함하여 참고문헌 중 하나에서 기술되는 바와 같이, 덜 효과적으로 나타나는 다른 여러 접근법을 이미 고려한 바 있다.

기존 수단에 의해 두-포톤 레벨에서 비선형 상호작용을 획득할 때의 어려움은 원자증기 셀과 같은 매질을 통과하는 비공명 포톤이 매질 내의 원자와 상호작용할 가능성을 고려함으로서 나타날 수 있다. 이 가능성은 단순하게 매질의 원자수 증가에 의해 단위값 수준, 즉 1로 이루어질 수 있지만, 두 포톤이 이러한 매질에서 동일 원자와 상호작용할 가능성은 매우 작다. 가령, 매질이 10 ¹⁰ 원자를 포함하고 전제 상호작용 가능성이 1 수준일 때, 두 포톤이 동일 원자와 상호작용할 가능성은 10 ^-10 수준이다. 두 포톤이 동일 원자와 상호작용하여야 하는 어떤 비선형 광학 과정도 무시할 수 있을 정도로 작을 것이다. 이와는 대조적으로, 관심있는 교환 상호작용은 한쌍의 원자를 포함하고, 동일 원자와 두 포톤이 상호작용하는 것을 요구하지는 않는다.

일례로, 비선형 위상 편이를 생성하는 기존 공정(케르 효과, Kerr effect)이 도 6에 도시된다. 주파수 ω1, ω2의 두 포톤이 3-레벨 원자와 상호작용한다. 포톤 2의 주파수는 원자 레벨 2와 3 사이의 전이 주파수에 상대적으로 가깝고, 포톤 2가 흡수되고 다시 방출될 때의 전이는 상기 주파수의 포톤에 대한 위상 편이를 생성한다. 상기 종류의 전이는 원자에 의해 포톤 1이 이전에 흡수되었을 때만 일어날 수 있다. 왜냐하면, 그렇지 않을 경우 원자는 기저 상태에 위치하고 상온에서 레벨 2에 있지 않기 때문이다. 최종 결과는 포톤 1의 존재나 부재가 포톤 2에 의해 경험되는 위상 편이를 제어할 수 있다는 것이다. 이는 포톤 1과 2가 동일 원자와 상호작용하는 것을 필요로하고, 이는 단일 포톤 강도와 매우 다르며, 이 종류의 기존 메카니즘은 결과적으로 단일 포톤 강도에서 크지 못하다. 우리의 지식 한계 내에서, 낮은 강도로 비선형 위상 편이를 생성하는 모든 기존 메카니즘은 두 포톤이 동일 원자와 상호작용하는 것을 필요로한다. 정보 흐름을 바탕으로 하는 기존 주장은 이와같은 방법이 항상 옳다고 제시하며, 이는 아래에 상세히 설명될 것이다.

대신에, 도 5에서 A, B로 표시되는 매질의 두 다른 원자와 두 포톤이 상호작용하는 공정을 고려해보자. 이 공정에서, 원자 A는 포톤 1을 흡수하고 포톤 2를 재방출하며, 원자 B는 포톤 2를 흡수하고, 포톤 1을 재방출한다. 두 포톤의 이 교환은 섭동 원리(perturbation theory)를 이용하여 연산될 수 있는 에너지 편이를 생성할 것이고, 이는 시스템의 전체 위상에 편이를 생성할 것이다. 매질의 원자수 N이 충분히 커서 각각의 포톤이 원자에 의해 흡수될 1 수준의 확률을 가지면, 이 종류의 공정의 가능성 진폭은 1 수준으로 기대될 것이다. 원자 쌍의 수가 N ² 에 비례할 경우, 기대되는 비선형 위상 편이는 약한 결합 한계에서 N ² 에 비례하여야 하고, 반면에 두 포톤이 동일 원자와 상호작용하는 기존 메카니즘은 N에 비례하는 비선형 위상 편이를 제공한다. 그러나, 시스템이 어떤 방법으로 혼동을 일으키지 않으면 버퍼 기체와의 충돌에서와 같이, 이 종류의 모든 페인만(Feynman) 다이어그램으로부터의 공헌이 취소되고 어떤 최종 효과도 보이지 않는다는 것을 이전에 보인바 있다. 이 용도로 버퍼 기체를 이용하는 것이 충돌 과정의 특성에 따라 크게 좌우된다는 점과, 충돌의 임의적 특성이 불요한 위상 잡음을 삽입할 수 있다는 점은 보다 상세한 계산에서 제시된 바 있다.

충돌 효과와 관련된 어려움은 원자의 여기 상태를 혼동시키기 위해 레이저 펄스를 이용함으로서 회피할 수 있고, 이 논문의 나머지는 상기 접근법에 집중될 것이다. 아마 이 메카니즘을 이해하기 가장 간단한 방법은 도 7a에서와 같이 도일 매질을 통해 두 비공명 포톤이 전파할 때와 동시에 두 원자가 여기 상태에 있을 가능성 P ₂ 를 고려하는 것이다. 도 7b에 도시되는 바와 같이 두 분리 매질을 두 포톤이 통과할 때 보다 두 포톤이 동일 매질을 통과할 때 확률 P ₂ 가 2배 크다. 이 증가된 확률은 원자 B가 포톤 2에 의해 여기되었을 때 원자 A가 포톤 1에 의해 여기되었을 수 있고, 또는 원자 B가 포톤 1에 의해 여기되었을 때 원자 A가 포톤 2에 의해 여기되었을 수 있기 때문이다. 이는 도 8에 도시된다. 이 두 과정에 대한 확률 진폭은 다음과 같이 제시된다.

이때 δk는 두 포톤의 k 벡터의 차이고, δr은 두 원자의 위치차이다. 이는 핸버리-브라운(Hanbury-Brown) 및 트위스(Twiss) 효과(포톤 집군)의 관찰에 요구되는 것과 동일한 조건이며, 도 8은 원자 A, B가 집광원 정면에 위치하는 두 개의 "검출기"로 나타나는 경우 상기 효과와 유사하다.

P ₂ 의 2배 차이는 매질내 원자의 여기 상태에서 위상 편이를 생성하기 위해 레이저 펄스를 가함으로서 개발될 수 있다. 앞서 언급한 바와 같이, 레이저 펄스의 효과는 여기 원자 상태의 밀도에 따라 좌우될 것이고, 그러므로 두 포톤이 다른 두 매질에서 전파할 때보다 동일 매질에서 함께 전파할 때 다른 위상 편이가 생성될 것이다. 이는 도 8의 교환 상호작용으로부터 궁극적으로 도출될 수 있는 비선형 위상편이에 상응한다. 이러한 레이저 펄스의 적절한 순서는 π의 비선형 위상 편이를 생성하고, 이는 간섭계 배열에 사용되어 제어-NOT(XOR) 양자 논리 게이트를 생성한다.

흥미로운 시스템을 정의하고 상응하는 상태 벡터와 해밀터니안(Hamiltonian)을 기술함으로서 설명을 시작한다. 대형 포톤 이조에 대해 미미한 분산을 무시함으로서, 그리고 단열 근사를 이용함으로서, 전체 시스템의 양자 상태는 6개의 복소수 세트로 기술될 수 있다. 상기 6개의 복소수 세트는 유효한 6차원 상태 벡터의 요소로 간주된다. 매질을 통과하는 포톤의 전파와 레이저 펄스와의 상호작용은 6차원 고유치 문제를 해결함으로서 결정될 수 있다. 단일 레이저 펄스의 가장 간단한 경우를 고려한 후에, 최적 순서의 레이저 펄스 선택이 기술된다. 정보 흐름 및 결정과 같은 기존 개념과의 비일치성 및 이 결과의 비기존 특성의 논의와 함께 결론을 짓는다.

기본 경과가 고상 물질에 잘 적응되어야 함에도 불구하고, 편의를 위해 광학 매질은 원자 증기 셀로 간주된다. 두 입사 포톤 주파수의 차가 평균 주파수보다 훨씬 작고 두 입사 포톤이 동일 방향으로 전파할 경우, 방정식 (1)은 적당한 두께 L을 가지는 매질로 만족될 수 있다. 예를 들어, ω ₁ -ω ₂ 는 전형적인 실험에서 몇 GHz 수준일 수 있고, 이는 1cm 수준으로 증기 셀 두께를 결정한다. 매질 표면으로부터의 반사를 최소화하기 위해, 매질 원자의 밀도가 포톤 파장에 대해 천천히 변한다는 것을 가정한다. 이는 도 9a에 도시된다. 매질의 총원자수 N은 10 ¹⁰ 정도로 크게 가정된다.

도 9b에 도시되는 바와 같이, 원자의 주기적 밀도를 이용하여 방정식 (1)을 만족시키면서, 원자 매질의 두께가 증가할 수 있다. 이때, 포톤은 z-방향으로 전파한다고 가정된다. 도 9a의 박막 구조는 구간 Δz에서 반복되고, 이때 Δzδk = 2pπ이고, p는 정수이다. 이 접근법은 준-위상 정합의 공지 기술과 일부 측면에서 유사하고, 두 포톤 주파수의 상대적으로 큰 차이에 대해서도 적당한 값 L을 제공한다. 단순화를 위해, 본 논문 전체에서 도 9a의 형태를 가정할 것이지만, 그 결과는주기적 경우로 확장될 수 있다.

도 5에 도시되는 바와 같이 흥미로운 효과는 2-레벨 원자를 포함한다. 하지만, 시스템에 외부 전계를 가함으로서 시간의존적인 방식으로 상부 원자 단계의 에너지를 변화시키는 것이 필요하다. 이는 여러 방법으로 실행될 수 있지만, 구체화하자면, 도 10에 도시되는 바와 같이, 흥미로운 점이 없는 제 3 원자 상태에 제 2 원자 레벨을 연결하기 위해 레이저 광선이 사용되는 것을 가정한다. 포톤 1, 2는 레벨 1, 2 사이의 원자 전이와 함께 거의 공명을 보이지 않고, 어떤 주목할만한 레벨 3으로의 전이가 발생하지 않는 레벨 2, 3 사이의 원자 전이와 함께 레이저 광선이 공명으로부터 충분히 멀어진다. 이 경우에, 레이저 광선의 결과적 효과는 퍼터베이션 이론이나 다른 방법(AC 스타크 편이)을 이용하여 계산될 수 있는 양만큼 레벨 2의 에너지를 편이시키는 것이다. 레벨 3의 밀도 부족은 레벨 2의 에너지 e _A 가 시간의 함수로 나타나는 원자에 대한 두-레벨 모델을 사용하게 한다.

입사 포톤은 z-방향으로 전파된다고 가정되고, 가우시안 파동 패킷에 상응하는 멀티-모드 포크 상태(multi-mode Fock state)로 나타난다. 파동 패킷의 임시폭 τp는 매질을 통한 전이 시간 L/c보다 더 길다고 가정되어, 포톤 전기장의 크기가 매질 전체에서 균일하다. 흥미로운 효과는 멀티-모드 분석을 필요로 하고, 이는 두 포톤의 강도적(product of intensity)의 확장값에 따라 비선형 위상 편이가 좌우되기 때문이다. 이는 자유 공간에서 평면파 단일 포톤을 위해 사라질 것이다. 입사포톤은 두 개의 단일 포톤 생성 오퍼레이터 a ₁ , a ₂ 에 의해 나타날 수 있다.

여기서, 오퍼레이터 a _k 는 파동 벡터 k로 평면파 포톤을 생성하고, f ₁ (k)와 f ₂ (k)는 초기 시간 t ₀ 에서 가우시안 파동 패킷의 퓨리에 계수이다. 이 계수들은 다음과 같이 나타나는 퓨리에 역변환으로 선택된다.

여기서, g는 상수이고, z ₀ 는 파동 패킷 중심의 초기 위치이다. 이는 초기에 어떤 상호작용도 없도록 원자의 위치를 멀리 잡았을 때를 가정한 값이다. 두 파동 패킷이 동일한 진폭과 폭을 가지지만, 중앙 k-벡터, 벡터 k ₁ 과 벡터 k ₂ 에 대해 다른 값을 가진다. 이는 ω ₁ = ck ₁ , 그리고 ω ₂ = ck ₂ 에 의해 퓨리에 스펙트럼의 중앙 주파수에 관련된다.

매질 및 포톤 파동 패킷은 가로 방향으로 어떤 주목할만한 공간 변화도 가지지 않는 것으로 가정되고, 그래서 방정식 (3)의 우변은 z-좌표만을 포함한다. G ₁ (z)와 G ₂ (z)의 모듈러스가 z의 천천히 변화하는 함수이고 파동 패킷의 정확한 형태가중요하지 않다는 가정에 따라, 이 논문의 주된 결과가 좌우된다.

전계의 초기 상태는 다음과 같다.

여기서, |0>은 진공이다. 우리는 다음과 같이 정의되는 단일 포톤 상태를 또한 고려할 것이다.

두 동일한 포톤을 포함하는 다음의 상태도 또한 고려할 것이다.

모든 원자는 초기에 기저 상태에 있다고 가정되고, 시스템의 초기 양자 상태는 다음과 같이 나타난다.

이때 |ψ _li >는 기저 상태의 원자 i를 나타낸다.

해밀터니안 H를 다음과 같이 두 부분의 합으로 기록하는 것이 편리할 것이다.

H ₀ 는 어떤 상호작용도 존재하지 않을 때 원자와 전계의 에너지를 나타내고, 다음과 같이 주어진다.

이때, 원자는 i로 표시되고, e _A 는 기저 상태 이상의 원자의 여기 상태(레벨 2)의 에너지이며, σ _zi 는 원자 i의 기정 상태 및 여기 상태를 이루는 2차원 힐버트 공간(Hilbert space)에서 파울리 스핀 매트릭스(Pauli spin matrix) 중 하나이다. 쿨롱 게이지 및 표준 다이폴 근사에서 상호작용 해밀터니안 H _int 는 다음과 같이 나타난다.

여기서, q는 전자의 전하이고, r _i 는 원자 i의 전자의 상대적 좌표이다. 이때, 수소형 원자 상태를 가정한다. E(R _i )는 원자 i의 무게중심의 위치 R _i 에서 2차 정량화 전기장 오퍼레이터이고, 이는 슈뢰딩거 픽쳐 및 MKSA 단위로 다음과 같이 나타난다.

여기서, ε0은 자유 공간의 유전율이고, V는 주기적 경계조건에서 사용되는체적이며,

_j 는 포톤의 두 수직 편광 상태를 나타낸다. 첨부 A에서 대칭 고려에 관한 논의를 제외하고, 두 포톤은 동알힌 상태의 편광을 가진다고 가정될 것이고, 편광 지수가 떨어질 것이다. 왜냐하면, 수직 편광의 두 포톤이 다이폴 전이를 통해 도 5와 8에 도시되는 바와 같이 교환 상호작용을 실행할 수 없기 때문이다.

포톤 파동 패킷은 H ₀ 의 고유상태가 아니며, 어떤 상호작용도 없을 경우 빛의 속도로 전파할 것이다. 그 결과, 어떤 상호작용도 없을 때 포톤 상태 벡터가 일정하고 전기장 오퍼레이터가 시간 의존적인 상호작용 픽쳐에서 작용하는 것이 보다 편리하다. 슈뢰딩거 방정식은 상호작용 해밀터니안 H'(t)만을 포함한다.

여기서, 일반적으로

이다. H'(t)는 적절한 단위 변환 후 시간의 천천히 변하는 함수로 판명될 것이다. 이는 슈뢰딩거 방정식의 해를 고유치 문제로 감소시키기 위해 단열 근사를 이용하게 한다. 고유 벡터는 산술적으로나 해석학적으로 연산될 수 있지만, 어떤 경우에도 적절한 단위의 H'(t)의 매트릭스 요소를 필요로할 것이다.

양자 역학의 가설은 힐버트 공간(포톤용 포크 공간)에서 수직 단위 벡터 세트를 선택할 수 있게 한다. 흥미로운 비선형 위상 편이는 코히어런트 과정에 상응하고, 상기 코히어런트 과정에서는 포톤이 모든 위상 인자와 별개로 유입되는 것과 동일한 상태로 매질 외부로 전파한다. 그 결과, 원상태 |

₁ ,

₂ >는 물론, 포톤이매질에 있을 때 포톤 흡수의 결과로 생기는 상태 |

₁ >, |

₂ >를 포함하는 포크 공간(Fock space)에서 단위 벡터 세트를 선택하는 것이 편리할 것이다. 완전한 세트의 수직 단위 벡터를 필요로하기 때문에, a

₁ , a

₂ 로 생성되는 상태에 대해 수직인 상태를 생성하도록 수정된 평면파 생성 오퍼레이터 b

_k 세트를 정의한다.

여기서, c _n 은 정규화상수이고, 최종 두 항은 바람직한 수직성을 제공한다. 가우시안 파동 패킷의 주파수 확산보다 |ω ₁ -ω ₂ |가 더 클 때 [a ₁ , a ₂ ]와 <

₁ |

₂ >는 지수적으로 작아진다. 이는 일상적인 것으로서, 오퍼레이터 a

₁ , a

₂ , b

_k 세트는 상기 한계 내에서 일반 통신 관계를 준수한다. 이는 초기 시간 t

₀ 에서 a

₁ , a

₂ , k

_b 에 의해 생성되는 모든 상태로 이루어지는 단위 벡터 세트를 선택할 수 있게 한다. 정의에 의해, 이 단위 벡터는 상호작용 픽쳐에서 시간에 독립적이고, 반면에 슈뢰딩거 픽쳐에서 이 단위 벡터는 상호작용 효과를 포함하지 않는 자유 전파 파동 패킷에 상응한다.

관련 매트릭스 요소는 이 원칙에서 계산될 수 있다. 가령, 다음과 같이 정의되는 전기장 오퍼레이터의 매트릭스 요소, ε ₁ (R _i ,t)과 ε ₂ (R _i ,t)를 필요로할 것이다.

방정식 (2), (5), (11)을 이용하여 ε ₁ (R _i ,t)를 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서, 포톤의 좁은 대역폭에서 항

ck를 상수로 근사하였다. 이는 합계 외부로 간주된다. 통신 관계는 k=p인 경우만 제외하고 모든 항을 제거하며, 잔여 합계는 포톤 상태의 밀도 ρ(k

₁ )에 비례하는 적분으로 표현될 수 있다. 그리고, H

₀ / 는 고유 상태에 우측으로 작용할 때 ω

₁ -ck

₁ 으로 감소한다. 방정식 (15)는 다음과 같이 간단하게 표현될 수 있다.

상수와는 달리, 이 표현은 가우시안 함수 G ₁ (Z _i -c(tt ₀ ))와 동일하다는 것을 방정식 (3)과의 비교에서 알 수 있다. 단순화를 위해, 매질의 중심을 z=0으로 취하고, 매트릭스 요소를 여기서 평가한다. 왜냐하면, 매질의 두께가 충분히 얇다고 가정되어 전계 모듈러스가 상기 거리에서 균일하기 때문이다. 시간 t=0에서 포톤 파동 패킷이 매질 중심에 위치하는 방식으로 z ₀ 와 t ₀ 를 선택한다. 이 경우에, 이 매트릭스 요소는 다음과 같이 표현된다.

이때 g'은 상수이고, ε ₀ (t)는 원자 위치에서 가우시안 파동 패킷의 천천히 변화하는 엔빌롭에 상응하는 실제 함수이다. 파동 패킷의 주파수 확산이 ε ₀ (t)의 시간 의존도로 여전히 반영되는 것을 주목하여야 한다. 하지만 이는 지수 위상 인자로 나타나지는 않으며, 이는 이어지는 단위 변환의 효과를 고려할 때 중요하다.

수정 평면파 상태를 포함하는 매트릭스 요소는 다음과 같이 같은 방식으로 평가될 수 있다.

이때 파동 패킷은 매질 위치에 겹쳐진다. 여기서, |k> = b _k |0>은 수정형 평면파 단위 상태 중 하나이다. 이는 포톤 1과 포톤 2가 상기 영역에 집중됨을 반영하고, 반면에 평면파 상태가 국부화되지 않는다는 것을 반영한다. 그러므로, 평면파 상태를 포함하는 매트릭스 요소가 무시될 수 있고 상기 모드로 어떤 결합도 없다는 방식의 접근을 할 수 있다. 이는 확산 무시에 상응하며, 확산은 대량의 이조 한계 내에서 작을 것으로 예상되고, 람브 편이(Lamb shift)와 같은 작은 방사 보정도 또한 무시한다. 일련의 레이저 펄스를 이용하여 이 근사의 유효성이 아래에 기술될 것이다.

δ1 =

ω

₁ -e

_A , δ

₂ = ω

₂ -e

_A 로 정의되는 포톤 이조는 ω

₁ 이나 ω

₂ 보다 더 작은 크기를 가지는 것으로 가정될 것이다. 회전하는 파동 근사(에너지 보존)는 포톤의 흡수가 원자의 여기에 동반되어야함을 보장한다. 평면파 상태로 결합을 무시하였을 때, 도7a에 도시되는 바와 같이 동일 매질에서 두 포톤이 전파할 때 발생할 수 있는 전계의 상태는 상태 |

₁ ,

₂ >, |

₁ >, |

₂ >, |0>, |

₁ ,

₁ >, 그리고 |

₂ ,

₂ >의 선형 조합이다. 이 6개의 단위 벡터는 시스템용 포크 공간의 점유 영역을 할당하고, 전계의 상태는 이 단위의 확률 진폭에 의해 특성화될 수 있다. 이는 6차원 상태 벡터의 요소를 형성한다.

포톤이 x 방향을 따라 선형으로 편광되면, 관련 매트릭스 요소의 원자부가 다음과 같이 주어진다.

여기서, d ₀ 는 두 상태간 다이폴 모멘트의 크기이다. 수소형 원자 상태의 경우에, |

_2i >는 선형 편광 포톤의 흡수에 의해 여기되는 상태의 선형 조합에 상응한다.

오직 두 개의 입사 포톤만이 존재하기 때문에, 최대 두 개의 여기 원자가 존재할 수 있고, 이는 동일 상태를 두 번 카운팅하는 것을 피하기 위해 i와 j(i>j)로표시한다. 그러므로 원자 상태의 총수는 N ² 수준이다. 원자와 전자기장의 조합 시스템에 대한 단위 벡터는 앞서 기술된 6개의 전계 상태와 여러 원자 상태의 텐서 프로덕트로 이루어진다. 이 단위에서, 원래의 포톤과 여기되지 않은 원자 둘 모두를 가질 확률 진폭을 c(

₁ ,

₂ )로 정의할 수 있다. 원자 i가 여기되고 포톤 1이 그래도 남을 확률 진폭은 c(

₁ , i)로 표시되고, 원자 i가 여기되고 포톤 2가 남을 확률 진폭은 c(

₂ , i)로 표시된다. i와 j가 여기되고 어떤 포톤도 남지 않을 확률 진폭은 c(

₁ ,

₁ )와 c(

₂ ,

₂ )로 표시될 것이다. 슈뢰딩거 방정식, 방정식 (12)로부터 상기 확률 진폭의 시간 의존성을 얻을 수 있고, H'(t)의 상응하는 매트릭스 요소는다음과 같이 나타난다.

이때, M은 다음과 같이 정의되는 단위 매트릭스 요소에 대한 간단한 표현이다.

두 원자 상태간 상대적 위상의 적절한 선택을 위해 이는 실수일 것이다. 두 방정식에 나타나는 2의 제곱근 인자는 상기 상태들로부터의 흡수나 두 포톤을 포함하는 상태로의 의도된 방출에 기인한다.

원자가 동일 전계에 모두 종속되기 때문에, i, i', j, j'의 모든 값에 대해다음의 확률 진폭이 모두 동일할 것이다.

이는 방정식 (20)을 새로운 세트의 변수를 삽입함으로서 단순화시킬 것이다.

원자가 여기되었는 지에 상관없이 포톤 1이 존재하고 포톤 2가 흡수되는 총확률을 c(

₁ )의 제곱 모듈러스가 부여하는 방식으로 새로운 변수가 선택되었다. 이는 c(

₂ )의 경우도 마찬가지다. c(0)의 제곱 모듈러스는 여기된 원자가 두 개이고 어떤 포톤도 존재하지 않는 전체 가능성을 부여한다. 변수의 이러한 변화로, 방정식 (20)은 다음과 같이 표현된다.

이는 총 6개의 복소수 변수를 포함한다.

방정식 (24)를 고찰해보면, 6차원 벡터에 대한 슈뢰딩거 방정식과 동등함을 알 수 있다. 벡터 성분은 다음과 같이 표현된다.

이는 해밀터니안이 다음과 같이 선택된 경우이고,

이때,

는 표현을 간단하게 하기 위해 생략되었다. |ψ>

_eff 의 6가지 성분이 시스템의 상태를 결정하고 그 제곱 모듈러스는 여러 포톤 상태의 총확률을 부여하기 때문에, 우리는 |ψ>

_eff 를 시스템의 유효 상태 벡터로 말할 수 있다.

유효 상태 벡터의 물리적 의미는 그 요소 각각에 상응하는 총시스템의 상태를 고려함으로서 이해될 수 있다. 가령, |ψ> _eff 의 제 2 성분은 다음의 상태에 상응한다.

이때 각각의 원자는 동일한 여기 확률 진폭을 가진다. 상태 |

₁ , i>에 대해 대략 n개의 다른 선형 조합이 존재하지만, 헤밀터니안은 방정식 (27)에 도시되는 특정 선형 조합에만 초기 상태를 연결하고, 모든 다른 선형 조합은 여기되지 않고 무시될 수 있다. 유사한 내용이 |ψ>

_eff 의 다른 성분에 대해 이루어질 수 있고, 이는 헤밀터니안의 작용 하에서 초기 상태로부터 전개될 수 있는 상태의 선형조합만의확률 진폭에 상응한다. 방정식(26)의 헤밀터니안은 6개의 상태 벡터를 임의적으로 정의함으로서 보다 간단한 방법으로 도출도리 수 있고, 헤밀터니안이 다른 상태에 이들을 연결하지 않는다는 것을 보여줄 수 있다. 이후, 방정식 (26)의 매트릭스 요소가 검사에 의해 기록될 수 있다.

방정식 (26)의 지수 인자는 시간에 따라 급속하게 변하는 함수이다. 이 시간 변수는 다음과 같이 주어지는 단위 변환을 행함으로서 제거될 수 있다.

여기서 매트릭스 h ₀ 는 다음과 같다.

이 변환 이후에, 유효 상태 벡터는 다음의 방정식을 따른다.

이때, 유효 헤밀터니안은 다음의 형태를 가진다.

방정식 (30)과 (31)은 도 7a에 도시되는 바와 같이 두 포톤이 동일 매질에서 전파하는 경우에 대한 시스템의 시간에 따른 전개를 결정하고, 잔여 분석 대부분에 대해 원칙을 형성한다. 단순화를 위해 방정식 (30) 및 (31)의 주요부가 아래에서 생략될 것이다.

비교를 위해, 도 7b에서와 같이 분리 매질에서 각각의 포톤이 진행할 때 시스템 성질을 계산할 필요가 있다. 이 경우에, 시간 전개가 분리식으로 계산될 수 있는 두 개의 독립 시스템을 가진다. 이후, 전체 시스템의 상태 벡터는 두 개별 상태 벡터의 텐서 프로덕트와 동일할 것이다. 포톤 1만이 매질에 입사되는 경우에, 앞서 제시한 바와 유사한 분석이 다음의 성분을 가지고 유효 상태 벡터를 제시한다.

여기서, c'(

₁ )은 포톤 1이 남아있고 여기된 원자가 없는 경우의 총확률이고, c'(0)은 입사 포톤이 흡수되었고 여기 원자는 없는 경우의 확률 진폭을 나타낸다. 또한, c'(

₂ )는 포톤 1이 흡수되었고 또다른 포톤 주파수 ω

₂ 가 재방출된 경우의 확률 진폭을 나타낸다. 이 시스템의 유효 해밀터니안은 다음과 같다.

포톤 2만이 매질에 입사될 경우, 상응하는 양은 다음과 같다.

포톤 파동 패킷은 초기 시간 t ₀ 에서 매질로부터 멀리 떨어져 있다고 가정되었다. 그래서, 원자간 상호작용이 상기 시간에서 지수함수적으로 매우 작을 것이다. 그러므로 초기 상태 벡터 |ψ ₀ >은 앞서의 원칙에서 다음과 같이 주어진다.

이는 M(t) = 0에서 H _eff 의 고유상태이다. 가우시안 파동 패킷의 폭이 충분히넓어서 H _eff 의 대각선 항에 의해 설정되는 시간 스케일에서 ε ₀ (t)가 천천히 변화한다고 가정된다. 이 경우에, 단열 접근이 유효하며, 상태 벡터는 H _eff 의 상응하는 순간 고유상태로 천천히 전개될 것이다. 매질에 어떤 레이저 펄스도 가해지지 않을 경우, 파동 패킷이 전파해나감에 따라 상태 벡터가 |ψ ₀ >으로 다시 전개될 것이다. 왜냐하면 우리가 확산 및 분산을 무시하였기 때문이다.

어떤 레벨 크로싱에 접근할 수 있을 정도로 크지는 않지만 |ψ ₀ >과는 다른 혼동 상태 벡터 |ψ(t)>를 생성할만큼 충분히 큰 값 (√N)M/δ에 주로 관심이 있다. 이는 비단열적이다. 이 크기의 (√N)M/δ 값은 분산 및 흡수가 상대적으로 작은 상황에서 원자 증기 셀에서 달성될 수 있다. 이렇게 강하게 혼동된 고유상태는 두 포톤 상태로 간주될 수 있다.

두 단일 포톤간 비선형 상호작용을 무시할 수 있기 때문에, 매질을 통해 독립적으로 두 포톤이 전파하는 것이 기대되고, 두 포톤 상태가 두 단일 포톤 상태의 텐서 프로덕트 이하라고 예상된다. 이는 도 5와 8에 도시되는 종류의 교환 상호작용으로 인한 경우가 아니다. 특히, 두 포톤이 두 분리 매질에서 전파하는 경우와 비교하여 두 포톤이 동일 매질에서 전파할 때 두 개의 여기 원자가 있을 확률에 2배의 증가가 있음을 도 8이 제시한다. 이 확률을 정량적으로 조사하기 위하여, 도 7a에서와 같이 동일 매질에서 두 포톤이 전파하는 경우에 대해 매질에 한 개의 여기 원자가 있을 확률을 P _1S 로 정의하고, 동일 조건하에서 두 여기 원자가 있을 가능성을 P _2S 로 정의한다. 또한, 도 7b에서와 같이 두 포톤이 다른 매질에서 전파할 때 상응하는 확률로 P _1D 와 P _2D 를 정의한다. 앞서 정의한 유효 확률 진폭에서, 이 확률들은 다음과 같이 나타난다.

도 8에 도시되는 두 과정 사이의 보강 간섭은 다음의 방정식이 혼동 이론에서 최소한 가장 낮은 차수로 유지되어야 한다는 사실을 제시한다.

단열 접근으로부터, 이 확률 진폭은 초기 상태 벡터의 혼동 형태에 상응하는 H _eff , H _1eff , H _2eff 의 순간 고유벡터를 연산함으로서 발견될 수 있다. (√N)M/δ의 일반적인 값에 대해, 각각의 경우에 대한 고유벡터는 초기값이 0 근처인 에너지를 가지는 고유벡터가 된다. 대형 N의 한계 내에서 관련 고유벡터의 산술 연산 결과가 δ ₁ = -2, δ ₂ = 3, 그리고 (√N)M = 1/2의 경우에 대해 표 1에 요약된다. (1ns로 분할되는 단위의 에너지와 나노초 단위의 시간을 구체화할 것이다. 이는 여러 그래프와산술 결과를 전형적인 실험값으로 표시할 것이다.) 표 1의 결과는 40자리의 정확도로 연산되었으나, 표에는 첫번째 20 자리만을 표시하였다. 헤밀터니안의 √(N-1)을 √N으로 대치함으로서 대형 N의 한계를 간단히 취하는 것보다는, N의 대형값과 상응하는 M의 작은 값을 이용하여 산술 연산이 실행되었다. 표 1에 도시되는 결과는 N = 10 ¹² 및 M = 0.5 ×10 ^-6 을 이용하여 얻었다. 그러나, 이 패러미터의 다른 값에 대해서도 동등한 결과를 얻을 수 있다. 이 접근법의 장점은 다음과 같다. 즉, 두 포톤이 동일 원자와 상호작용하는 비선형 광학의 일반 메카니즘을 이 접근법이 포함하고, 그 크기는 여기서 관심있는 교환 상호작용보다 1/N 작은 인자로 보일 것이다.

표 1로부터, 12자리의 정확도로 P _2S /P _2D 가 2와 같다는 것을 알 수 있다. 12 자리 소수점 위치의 불일치는 대략 1/N과 같고, 이는 두 포톤이 동일 원자에 상호작용하는 기존 효과로부터의 공헌을 반영한다. 가령, 포톤 1의 흡수는 원자의 기저 상태를 줄게하고, 이는 상기 원자에 의한 포톤 2의 흡수 및 재방출을 방지할 것이다. 그러므로, 기존 비선형 위상 편이(케르 효과)를 제공한다. 이 효과는 큰 흥미를 유발하지는 않으나, 개별 포톤간 기존 비선형 상호작용의 상대적으로 작은 양을 설명한다. 고유값 계산은 P _2S 가 약한 결합 한계((√N)M/δ << 1)에서 N ² 에 비례한다는 것을 또한 보여준다.

이러한 고도의 정확도로 P _2S /P _2D = 2라는 사실은 어떤 면에서 놀라운 사실일수 있다. 왜냐하면, 도 8에 도시되는 확률 진폭의 간섭이 저차수 페인만 다이어그램에만 상응하고, 그러므로 방정식 (41)이 혼동 이론의 저차수만을 보지할 수 있다고 기대되었다. 한가지 산술결과는 다음의 사실을 제시한다. 즉, 방정식 (41)은 대형 N의 한계 내에서 최소한 제 1 레벨 크로싱까지 (√N)M/δ의 모든 값에 대해 정확하게 만족한다. P _2S ≠P _2D 는 다음과 같은 사실을 제시한다. 즉, 두 포톤 사이에는 유효 상호작용이 존재하고, 매질을 따라 독립적으로 두 포톤이 전파하지는 않는다.

두 포톤이 동일 매질에서 전파하거나 다른 매질에서 전파하는 지에 상관없이 동일한 시스템의 몇몇 성질이 존재함을 표 1의 예가 도시한다. 두 포톤이 동일 매질을 통과할 때 발생하는 두-포톤 상태의 에너지를 E _S 라고 하자. 또한, 두 포톤이 각각 다른 매질에서 전파할 때 발생하는 단일 포톤 상태의 에너지를 각각 E ₁ , E ₂ 라고 하자. 1/N의 정확도 내에서 E _S = E ₁ + E ₂ 임을 산술 고유값 연산이 보여주고, 이는 대형 N의 한계 내에서 두 경우에 총 시스템의 고유상태가 동일한 에너지를 가짐을 보여준다. 이 경우가 아니더라도, 레이저 펄스나 다른 혼동이 없을 때조차 비선형 위상 편이가 생길 것이다. 이는 대칭 독립변수에 의해 허용되지 않는다. 고에너지 고유 상태(즉, |ψ ₀ >에 상응하지 않는 상태)는 두 경우에 역시 동일한 에너지를 가진다.

동일 매질이나 다른 매질에서 포톤이 전파하는 경우에 대해 여기 원자의 평균을 <N _e > _S 와 <N _e > _D 로 정의하면, 유사한 상황이 관측될 수 있다.

표 1의 산술 결과는 대형 N의 한계 내에서 다음의 사실을 제시한다.

이는 두 경우에 여기 상태의 평균이 동일함을 보여준다. 이는 대칭 독립 변수에 의해 또한 요구된다. 방정식 (41)-(43)은 정확하게 한 개의 여기 원자를 가질 가능성의 차를 얻기 위해 조합할 수 있다.

상기 방정식 (44)은 두 포톤이 동일 매질에서 전파할 때 단일 여기 원자 상태의 확률이 감소됨을 보여준다. 이 결과는 다음의 사실로부터 이해될 수 있다. 즉, 두 여기 원자 상태의 생성은 한 개의 여기 원자 상태에 대한 확률 진폭을 고갈시키는 대가를 치러야 한다.

대형 N의 한계 내에서 P _2S /P _2D = 2라는 사실에는 의심의 여지가 없지만, 고유벡터와 그 관련 확률에 대한 해석적 해답을 얻었다. 최종 결과는 매우 복잡하고 길어서, 실용적 쓸모가 없으므로 여기 포함되지 않았다. 해석적 해답은 대형 N의 한계 내에서 방정식 (41), (43)을 만족시키고, 패러미터의 숫자값 세트가 해석적 표현으로 삽입될 때 이 결과가 얻어질 때까지 만족시킬 수 있다. 방정식 (41)과 (43)을 직접 얻기 위한 해석적 표현을 단순화하는 데 아직 성공하지 못했다. 인자 2는 동일 이조(δ ₁ = δ ₂ )의 경우에 쉽게 도출될 수 있다. 두 개의 여기 원자가 존재할 확률에서 두 개의 증가 인자는 비선형 위상 편이를 생성하기 위한 여러 방법으로 개발될 수 있다. 이 섹션은 간단한 접근법인 단일 레이저 펄스 효과를 기술하고, 다음 섹션은 최소 손실로 임의 양의 비선형 위상 편이를 생성하기 위한 레이저 펄스 순서 이용을 고려한다. 버퍼 기체 베리 기하 위상 및 회피 레벨 크로싱과의 충돌을 포함하여, 덜 효과적인 다수의 접근법이 기술된다.

포톤 파장 패킷이 중심에 모일 때 매질에 단일 레이저 펄스가 가해짐을 이제부터 가정한다. 레이저 펄스의 전기장은 AC 스타크 편이를 통해 여기 원자의 에너지 레벨 2로 변화를 생성한다. 이때, 도 10에 도시되는 바와 같이 레벨 3으로의 무시할만한 전이가 존재한다. 레이저 펄스의 듀레이션은 슈뢰딩거 방정식과 H _eff 에 따라 시스템의 양자 상태 밀도가 변할 수 있는 관련 시간 스케일보다 훨씬 짧다고 가정된다. 상기 경우에, 레이저 펄스의 총효과는 다음과 같이 나타나는 원자 여기 상태의 임펄스 위상 편이

_e 를 생성하게 되는 것이다.

이때, ΔE(t)는 전계를 가함으로서 생성되는 여기 상태 에너지 변화이다. 레이저 펄스의 강도 및 듀레이션은 원하는

e로 조절될 수 있고, 여기서는 π/2를 선택한다.

레이저 펄스 바로 이전에 방정식 (25)로 도시되는 형태를 상태 벡터 |ψ>가 가질 경우, 레이저 펄스 바로 다음에 시스템은 다음의 새로운 상태 |ψ'>에 놓일 것이다.

상태 벡터의 제 2, 3 성분은 단일 여기 원자에 상응하고, π/2 위상 편이에 종속되며, 제 4 성분은 두 여기 원자에 상응하고 π의 총 위상 편이를 가진다. 새로운 상태 벡터 |Ψ'>는 원래의 상태 벡터와 이에 수직인 또하나의 상태 벡터 |Ψ _┴ >의 선형 조합으로 표현될 수 있다.

이때, r 및

는 둘다 실수이다. | > 항의 계수는 | >에 | '>을 투영한 것으로 주어진다.

이때,

이는 실수로서, 레이저 펄스에 의해 영향받지 않은 항으로부터의 공헌과, 두여기 원자 상태로부터의 공헌을 포함한다. 단순화를 위해, r'이 대략 1에 가깝고,

를 포함하는 다른 항이 상대적으로 매우 작은 약한 결합 한계를 고려할 것이다. 방정식 (48)의 좌변을 의 1차로 확장하면,

방정식 (50)은 동일 매질에서 두 포톤이 전파하는 경우에 적용되고, 포톤이 두 다른 매질에서 전파하고 있을 때도 다음과 같이 유사한 결과가 적용된다.

이때,

_S 및

_D 는 두 경우의 총 위상 편이이다. 비선형 위상 편이

_non 은 둘의 차와 같다.

그리고 방정식 (44)는 약한 결합 한계에서 다음을 유도한다.

방정식 (53)은 두 원자가 동시에 여기될 확률에 비선형 위상 편이가 정비례하는 것을 보여주고, 이는 도 8에 도시되는 교환 상호작용으로 인해 두 포톤이 동일 매질에서 전파할 때 2배 크다. 앞서의 섹션의 고유치 연산을 바탕으로 하여, 비선형 위상 편이는 약한 결합 한계에서 N ² 에 비례할 것으로 기대되고, 이는 도 6에도시되는 것과 같이 기존 메카니즘에서의 위상 편이보다 훨씬 더 크게 한다. 비선형성은 두 여기 원자 상태가 음의 부호와 동등한 π의 위상 편이를 실행한다는 사실에 따라 좌우된다. 결과적으로 위상 편이보다 r'에 공헌한다. 약한 레이저 펄스(

_e << 1)의 한계 내에서와 마찬가지로, 두 여기 원자 상태로부터의 로의 공헌이 단일 여기 원자로부터 공헌의 두배일 경우 어떤 비선형 위상 편이도 생기지 않는다. 총 위상 편이는 여기 원자의 평균에만 의존한다. 이는 방정식 (43)으로부터 두 경우에서 동일하다. 두 여기 원자 상태의 총 위상의 의존성은 시스템의 비국부적 성질로 표현될 수 있고, 이는 아래에 보다 상세히 기술될 것이다.

양자 논리 게이트의 구축은 π의 비선형 위상 편이를 필요로 하고, 이는 방정식 (53)으로부터 단일 레이저 펄스에 의해 생성될 수 없다. 방정식 (47)에서 수직 상태 |δ _┴ >를 생성할 확률은 최소화되어야 한다. 왜냐하면, 이는 손실 메카니즘에 상응하기 때문이다. 이때, 손실 메카니즘에서는 양자 컴퓨터의 큐빗을 나타내는 상태 원칙 밖으로의 전이를 시스템이 취한다. 단일 레이저 펄스의 경우, 이러한 전이의 확률은 P ₁ 수준이고,

_non 보다 크다. |δ

_┴ > = 0으로 위상 편이 π를 가지도록 고안된 적절한 일련의 레이저 펄스를 이용함으로서 이러한 두가지 어려움을 피할 수 있다. 이러한 종류의 펄스 순서에 대한 최적 설계가 비선형 최적화 문제이고, 이는 여전히 연구중이다. 여기서, 두가지의 다른 접근법을 기술할 것이다. 하나는 앞서 기술한 바와 같이 일련의 짧은 레이저 펄스를 바탕으로 하고, 다른 하나는 좁은 대역폭으로 더 긴 펄스를 이용하는 보다 효과적인 접근법이다.

첫 번째 접근법에서, 일련의 n _p 단펄스가 진폭 a _j 로 시간 t _j 에서 가해진다. 펄스간 시간 구간은 펄스 순서 전체에서 ε ₀ (t)가 대략 일정한

p에 비교하여 충분히 작은 것으로 가정된다. n

_p 의 값은 |ψ

_┴ >의 모든 성분을 취소시키도록 충분한 자유도 이상이 있을 정도로 매우 크게(~10) 선택된다. t

_j 와 a

_j 에 대한 초기값 세트가 임의적으로 선택되고, 총 비선형 위상 편이에 의해 분할되는 손실비(|ψ

_┴ >의 제곱 모듈러스)를 최소화하기 위해 t

_j 와 a

_j 를 변화시키는 산술 알고리즘에 대한 시점으로 t

_j 와 a

_j 에 대한 초기값 세트가 사용되도록 몬테 카를로 접근법이 이용된다. 이때, 슈뢰딩거 방정식의 시간 전개가 산술적으로 계산된다. 임의 세트의 초기값은 국부 최소화만을 이끌 수 있지만, 최적 해답을 얻을 때까지 과정이 여러회 반복된다. 대부분의 임의 선택 시점은 |ψ

_┴ > = 0인 해를 이끌지만,

_non 의 상응하는 값은 크게 변화한다.

레이저 펄스 중, 도 10에 도시되는 바와 같이, 원자가 레벨 3에 위치하고 한 개나 두 개의 포톤이 흡수된 상태로 시스템이 여기될 것이다. 이 상태의 이조는 상태 |

₁ >과 |

₂ >의 경우와는 다르다. 이는 레이저 펄스의 주파수를 조절함으로서 제어될 수 있는 인자 f에 의한 |

₁ >의 위상 편이에 비해 |

₂ >의 위상 편이를 다르게한다. 위상 편이를 아래와 같이 정의함에 의한 분석에서 이 확률을 포함한다.

이는 방정식 (45)를 일반화한다. 여기서,

₁ ,

₂ , 그리고

₀ 은 상태 |

₁ >, |

₂ >, 그리고 |0>의 위상 편이이고,

_e 의 값은 레이저 펄스의 진폭에 따라 좌우된다(모든 펄스는 동일 듀레이션을 가진다고 가정된다).

10 레이저 펄스 순서에 대해 얻은 최적의 결과는 표 2의 함수 f로 요약된다. 이때, 펄스 순서 이후의 |ψ _┴ >의 제곱 모듈러스는 모든 경우에 0이다. f가 1에 접근함에 따라 비선형 위상 편이의 최적값이 감소하고, f=1인 경우에 |ψ _┴ >=0인 해를 발견할 수 없다. 이는 비손실 비선형 위상 편이를 제공하기 위해 포톤 1과 2 사이의 비대칭성이 요구됨을 제시한다. (유사한 비대칭성이 다음의 경우에 요구된다. 즉, 첨부 B에서 논의되는 바와 같이 레이저 펄스 대신에 버퍽 기체와의 충돌이 이용되는 경우에 유사한 비대칭성이 요구된다.) 짧은 펄스 순서로부터

_non 의 크기는 어떤 경우에도 상대적으로 작고, 이 접근법은 직선적이지만, 실용성이 제한될 수 있다.

그러므로, 보다 복잡하면서도 보다 효율적인 5-펄스 접근법을 연구하였다. 이 접근법에서는 시스템의 특정 상태 간의 전이를 생성하기 위해 협대역폭을 가지는 보다 긴 레이저 펄스를 이용한다. 이 방법에서, 도 11에 도시되는 바와 같이 두 입사 포톤이 레벨 2 보다는 레벨 3과의 공명에 더 가깝다고 가정되지만, 이조는 충분히 커서, 레벨 3의 밀도가 상대적으로 작다. 레이저 펄스의 주파수는 이때 조절되어, 레벨 2로 공명 전이를 생성하고, 이때 한 개의 주파수는 포톤 1의 공명 흡수를 생성하고, 다른 한 개의 주파수는 포톤 2의 공명 흡수를 생성한다. 레벨 3이 가상 상태이기 때문에, 전체 효과는 레벨 2로의 포톤 흡수에 대한 유효 매트릭스 요소로 표현될 수 있다.

제 1 레이저 펄스의 주파수 및 진폭은 포톤 2의 공명 흡수(π의 라비 진동)를 생성하도록 선택되어, 도 12에 도시되는 바와 같이 상태 |

₁ ,

₂ >에서 상태 |

₁ >으로 완전한 전이를 이룬다. 방정식 (35)의 H

_2eff 에 대한 방정식 (31)의 H

_eff 의 매트릭스 요소 비교는 이 전이에 대한 라비 주파수가 두 포톤이 동일 매질에 있던지 다른 두 매질에 있던지에 상관없이 동일하다는 것을 보여준다. 그러므로 이 전이는 두 경우 모두에서 일어날 수 있다.

제 2 펄스의 주파수는 포톤 1 전이에 대한 고명으로 선택될 것이고, 그 진폭은 두 포톤이 분리 매질에 있을 경우에 초기 상태 |

₁ >으로 되돌아가는 완전한 라비 진동(2π)을 생성하도록 조절된다. 도 8의 양자 간섭으로 인해 두 포톤이 동일 매질에 있을 때 관련 매트릭스 요소가 √2배 크다는 것을 H

_1eff 에 대한 H

_eff 의 비교가 보여준다. 그 결과, 상태 |0>에 대한 확률 진폭이 0에서 진동하고, 시스템은 후자의 경우에 | 1>과 |0>의 중첩 좌측에 위치한다. 이는 도 13a에 도시된다. 이 결과는 30ns의 폭으로 가우시안 레이저 펄스에 대한 슈뢰딩거 방정식의 산술 적분에 의해 얻어진다.

포톤들이 동일 매질에서 전파할 경우에만 시스템이 상태 중첩에 놓인다는 사실은 상기 경우에 제 3 펄스가 임의 위상 편이를 생성하게 한다. 펄스 3의 주파수는 포톤 1 전이로부터 약간 비공명되도록 선택되고, 두 포톤이 다른 매질에 있는 경우(약 2π라비 진동의 경우) 시스템을 상태 |

1>으로 되돌리도록 진폭이 선택된다. 두 포톤이 동일 매질에서 전파하는 경우에 상태 | 1>의 확률 진폭에 이 펄스가 미치는 영향은 도 14로부터 알 수 잇고, 이때, 점선 원의 반경은 펄스 바로 앞의 이 상태의 확률 진폭 모듈러스와 일치한다. 도면에서 a로 표시되는 벡터는 펄스 이전의 상태 | 1>의 확률 진폭으로부터의 공헌을 나타내고, 이는 펄스 중 상태 |0>으로의 결합에 의해 크기가 감소된다. 도면에서 b로 표시되는 벡터는 펄스 이전 상태 |0>의 확률 진폭으로부터의 공헌을 나타내며, 이는 펄스 중 상태 | 1>으로 다시 결합된다. 벡터 b의 크기는 펄스 이조를 변화함으로서 조절할 수 있고, 펄스 위상은 점선 원에 두 벡터 합이 존재함을 보장하기 위해 사용될 수 있다. 이는 상태 | 1>의 진폭 모듈러스를 원래값으로 유지시키고, 임의 위상 편이는 점선에 임의 지점으로 최종 벡터를 이동시킴으로서 삽입될 수 있다.

펄스 3 중 |

1>의 모듈러스를 유지하는 이유는 이것이 제 4 펄스를 펄스 2의 역으로 작용하게 함이고, 왜냐하면, 위상 편이를 제외하고 펄스 2 이후와 시스템의 상태가 동일하기 때문이다. 그러므로 펄스 4의 진폭과 주파수는 펄스 2와 동일하도록 선택되고, 이는 두 포톤이 분리 매질에 있는 경우 2π라비 진동을 적용하고 시스템을 다시 한번 | 1>에서 떠난다. 동시에, 두 포톤이 동일 매질에 있는 경우 |0> 성분을 제거하고 시스템을 완전히 | 1>으로 남기기 위해 이 펄스 위상이 조절될 수 있다. 이는 도 13b에 도시된다.

펄스 1과 동일한 제 5 펄스가 가해져서, π라비 진동을 생성하고 펄스 3에서 생신 위상 편이와는 별개로 시스템을 원상태 |

1, 2>로 되돌린다. 다시, 매트릭스 요소와 라비 주파수는 포톤이 동일 매질에 있던지 다른 매질에 있는 지에 상관없이 이 전이에 대해 동일하다.

앞서 기술한 5-펄스 순서에 대한 정확한 패러미터를 결정하기 위해 산술 알고리즘이 사용되었다. 최종 펄스 순서의 총체적 효과는 두 다른 매질에서 두 포톤이 진행하는 경우에 대해 두 포톤이 동일 매질에서 전파하는 경우에 π의 위상 편이를 생성하는 것이다. 또한 펄스 3의 주파수, 진폭, 그리고 위상을 달리 선택함으로서 임의적인 비선형 위상 편이가 생성될 수 있다. 이 접근법은 앞서 기술한 접근법 내에서 (수직 상태 벡터 |ψ _┴ > 형태의) 어떤 손실도 생성하지 않는다.

전자기장의 관련 모드가 a1 및 a2에 의해 생성되는 것을 다시 한번 앞서의 분석이 가정하였다. 굵은 매질과 적절한 위상 정합 조건을 이용함으로서 앞서의 조건이 만족될 것으로 기대된다. 이 경우에, 에너지 및 모멘트의 보존은 다른 모드로의 포톤 방출을 크게 억제할 수 있다. 분산의 효과를 포함하는 보다 상세한 산술계산이 계획된다.

일반적으로 생기는 한가지 의문점은 이 비선형 위상 편이가 고전적으로 이해될 수 있느냐 하는 점과, 이들이 본디 양자 역학적 특성을 가지고 있느냐하는 점이다. 이 섹션에서, 고전 입자나 고전 파동으로서의 포톤을 기술할 가능성을 고려하고, 관측된 효과와 어떤 기술점도 일관되지 않음을 결론짓는다. 이 종류의 비선형 위상 편이가 매질의 국부 편광성에 의해 생성될 수 없음을 볼 수 있고, 두 구분 지역에서 매질의 편광 요동간 비국부 관계를 정확한 해석만이 포함할 수 있음을 제시한다.

어떤 일관된 고전적 해석도 광의 입자적 특성을 포함하고, 원자와 상호작용하는 포톤을 결정하기 위해 최소한 원칙적으로 측정이 실행될 수 있다. 포톤이 고전적 입자라고 가정할 때, 두 포톤이 동일 원자와 상호작용할 확률은 앞서 논의한 바와 같이, 전형적인 매질에서 무시할 수 있다. 이는 고전 이론에서 한 포톤의 상태를 다른 포톤이 제어할 능력에 기본적 한계가 있음을 제시한다. 왜냐하면 일반적으로, 직접적으로 또는 상호작용 시스템의 체인을 통해 두 시스템을 연결하는 일부 물리적 상호작용(힘)이 있을 경우에만, 다른 하나의 시스템에 의한 한가지 고전 시스템의 제어가 가능하다. 이는 도 15a에 도시된다. 두 개의 분리된 시스템 세트 내에서만 각각의 시스템이 상호작용할 경우에는 어떤 제어도 가능하지 않다. 이는 도 15b에 도시된다. 도 15a에서 두 시스템을 연결하는 물리적 상호작용의 순서는 한 시스템으로부터 다른 시스템으로 정보 흐름 경로를 제공하고, 매 효과에 대한 특정 사유가 있어야 한다는 가정과 일관된다. 이와는 대조적으로, 도 8의 양자역학적 교환 상호작용은 도 15b의 두 개의 분리 시스템에서와 같은 형태를 가진다. 이는 두 입자를 연결하는 물리적 상호작용의 순서가 없을 때조차 한 개의 포톤이 다른 한 개의 포톤 상태를 제어할 수 있음을 말한다.

도 8의 교환 상호작용이 도 15b의 두 개의 분리 시스템과 같은 형태를 가지지만, 어떤 원자가 어떤 포톤과 상호작용할 지는 모른다. 고전적 관점으로부터, 불확실성은 부적절하다. 포톤이 동일한 원자와 절대 상호작용하지 않을 경우, 어떤 포톤이 어떤 원자와 상호작용하는 지에 상관없이 정보 흐름에 대한 경로가 존재하지 않는다. 양자 역학에서, 이 확률 진폭의 간섭은 두 포톤간에 어떤 고전적 상호작용도 없더라도 제어 과정의 확률을 제시한다. 도 5에 도시되는 양자 역학적 교환 상호작용에서, 원자 A는 포톤 1을 흡수하고 포톤 2를 재방출하며, 원자 B는 포톤 2를 흡수하고 포톤 1을 재방출한다. 이는 약자 역학적 관점에서 두 원자와 두 포톤이 상호작용하여야 한다는 것을 제시한다. 이는 고전적 관점에서 부적절하다. 왜냐하면, 포톤이 동일 원자에 일상적 영향을 미치지 않고, 고전적 정보 흐름에 대한 어떤 경로도 결과적으로 나타나지 않기 때문이다.

빛의 입자적 특성을 무시하고 포톤을 고전적 파동으로 나타낼 경우, 광선의 강도는 매우 낮아서 원자의 성질에 큰 영향을 미치지 못할 것이고, 매질의 굴절률에 주목할만한 변화를 생성하지 못할 것이다. 가령, 대형 팩터 f _a 에 의해 강도를 감소시키기 위해 두 입사 광선 정면에 입사 필터가 위치한다고 가정해보자. 비선형 효과가 강도 프로덕트에 비례하는 고전 이론에서, 비선형 위상 편이는 인자 f _a 만큼감소될 것이다. 이와는 대조적으로, 두 포톤이 감쇠기를 통해 전파하고 실제로 감지되는 경우만을 가정할 때, 여기서 관심있는 비선형 위상 편이는 이러한 감쇠 과정에 영향받지 않는다. 임의적으로 낮은 강도에서 비선형 효과의 지속은 비고전전 양식의 보증수표이다.

보다 일반적으로, 가해진 전기장에 매질이 국부적으로 반응하는 어떤 고전적 이론과도 예견된 위상 편이가 일치되지 않는다는 간단한 증명을 이끌어낼 수 있다.

이를 보여주기 위해, 매질의 비선형 반응이 일련의 비선형 서셉터빌러티 계수에 의해 기술된다는 일반 가정을 할 수 있다. 네 개의 전기장이 여기에 포함되기 때문에(두개는 유입, 두 개는 유출), 위치 r 및 시간 t에서 유도되는 관련 다이폴 모멘트 P(r, t)는 다음과 같이 나타난다.

이때, E(r,t)는 고전적 전계를 표시하고,

⁽³⁾ 는 3차 서셉터빌러티 계수이다. 순방향으로 생성되는 전기장의 변화 δE(r', t')는 매질 체적에 대한 적분으로 발견될 수 있다.

이때, G(r', t'; r, t)는 적절한 그린 함수이다. 방정식 (55)의 E(r, t)는약한 전계의 한계 내에서 입사 전계 E ₀ (r, t)로 대치될 수 있다. 이는 다음과 같다.

모든 체적 요소는 순방향의 동일 위상과 함께 공헌하고, 이 경우에 방정식 (57)의 적분은 매질의 체적에 비례한다. 유도되는 위상 편이가 δE에 비례하기 때문에, 이는 N ² 이 아닌 N에 비례하는 비선형 위상 편이를 제시한다. 이는 유도 다이폴 모멘트의 국부 특성이 비선형 서셉터빌러티를 바탕으로 하는 어떤 효과의 기술도 배제함을 보여준다.

방정식 (57)은 비선형 위상 편이가 매질의 국부 편광으로 기인할 수 없다는 것을 보여준다. 이는 매질의 두 다른 위치에 유도되는 편광간 비국부 관계를 정확한 해석이 포함하여야 함을 제시한다. 이는 두 여기 원자가 존재할 확률에 인자 2의 증가가 있는 것과 일관된다. 그 각각은 다이폴 모멘트를 가진다. 단일 포톤과 연관된 고전적 위상이 완전히 임의적이기 때문에, 이 유도 다이폴 모멘트는 평균 0을 가지고, 인자 2는 둘 간의 비국부 관계를 표시한다.

이 비선형 위상 편이는 양자 역학적 확률 진폭의 간섭으로 인한 것이고, 이는 원자와 상호작용하는 포톤이 어느것인지 모른다는 사실을 반영한다. 양자 간섭에의 이러한 의존도는 양자 역학의 흥미로운 상보성을 제공한다. 원칙적으로, 어떤 원자와 어떤 포톤이 상호작용하는 지를 결정하기 위해 측정이 실행될 수 있다. 그리고 이러한 측정은 두 포톤이 동일 원자와 상호작용할 가능성이 무시할만큼 작다는 것을 보여준다. 다른 한편으로, 비선형 위상 편이에 대해 책임있는 양자 간섭을 이러한 측정이 파괴할 수도 있다. 이 경우에, 동일 원자와 상호작용하지 않는 포톤으로 인해 위상 편이가 생긴다고 말할 수 있을까? 우리가 말할 수 있는 것은 도 15b에서와 같이 두 포톤간에 어떤 고전적 상호작용도 존재하지 않는다는 것이고, 상기 효과가 양자 역학적 헤밀터니안의 상호작용 항 순서로 인한 것이 아니라는 것이다. 이는 일반 교환 상호작용에서와 마찬가지다.

양자 이론의 임의적 특성은 모든 효과가 특정 이유를 가져야하는 고전적 가정과 호환되지 않는다. 이는 떨어진 입자쌍에 가해지는 임의 측정 결과간 비국부적 상관관계에서 특히 사실과 같다. 이는 정보가 빛의 속도 이상으로 이동하지 않는다는 결정론적인 해석과 일치하지 않는다. 양자 역학과 고전적 결정론간의 비일관성은 임의적 사건에 제한되지 않는다는 것을 보여준다. 고전적 관점에서 과정의 출력을 위한 특정 이유나 정보의 흐름 경로를 식별하는 것이 불가능함에도, 이 종류의 양자 제어 과정은 정해진 결과를 가진다.

마지막으로, 시스템의 비국부 성질인 두 포톤 상태의 전체적 위상에 따라 이 효과가 내재적으로 좌지우지됨을 방정식 (46)으로부터 알 수 있었다. 그 결과, 두-포톤 간섭계와 이 효과간에 일부 유사함이 존재한다. 이는 벨의 비균일성을 침범한다. 이 시스템이 벨의 비균일성을 침범하지 않고 두 포톤이 광선 중복 지점에 불명확한 위치를 가짐에도, 이 효과는 비국부적이고 비고전적임은 명백하다.

표 1 δ1 = -2, δ2 = 3, N = 1012, 그리고 (√N)M = 0.5인 경우에 두 포톤상태의 고유 벡터 연산의 산술적 결과

표 2 패러미터 f의 함수로 10개의 짧은 레이저 펄스의 순서로부터 획득되는 최적의 결과. 이 조건 |ψ> = 0은 모든 경우에 만족되었다.

제어-NOT 게이트는 도 4에 도시되는 간섭계 배열(프레드킨 게이트)을 이용하여 구현될 수 있다. 입력 비트 A는 두 경로 중 하나에 위치하는 단일 포톤으로 나타나고, 도시되는 바와 같이 포톤의 위치에 따라 0이나 1로 할당된다. 시간이 지나면, 이 경로들은 두 개의 광섬유일 것으로 고려될 수 있다. 입력 B는 두 개의 다른 경로 중 하나에 위치하는 또다른 포톤으로 나타난다. 포톤 B가 간섭계로 들어가고, 간섭계 중 한 개의 아암은 매질을 통과한다. 이는 포톤 1이 비트 0을 나타내는 경로에 위치할 경우에만 위상 편이를 생성하고, 이는 매질을 또한 통과한다. 위상 편이의 크기는 매질의 원자 밀도를 변화시킴으로서 조절될 수 있고, 일정한 위상 편이가 두 경로 중 하나에 필요한대로 추가될 수 있다. 포톤 A에 의해 구축된 위상 편이에 따라, 반대 경로나 동일 경로에 포톤 B가 나타날 수 있다. 비트 A가 1 값을 가질 때 비트 B가 역전되는 것이 최종 결과이다.

도 4의 간섭계는 원하는 경로의 게이트로 포톤을 나가게 하지만, 여러 출력상태의 상대적 위상은 기존 방식으로 정의되는 바와 같이 제어-NOT 게이트의 상대적 위상에 상응하지 않는다. 바람직한 위상은 도 16의 회로를 이용하여 부여될 수 있다. 여기서, 단일 경로에 위치하는 정사각형 박스는 잔(glass)으로 생성될 수 있는 종류의 기존 단일 포톤 위상 편이를 나타낸다. 포톤이 두 경로 중 각각에 위치할 경우에만 발생하는 비선형 위상 편이를 나타내는 것이 두 경로에 연결되는 사각형 박스이다. 또한, 비선형 위상 편이의 바람직한 크기는 매질의 원자 밀도를 변화시킴으로서, 또는 외부 자기장과 같은 다른 패러미터를 변화시킴으로서 달성될 수 있다. 또한, 레이저 펄스에 더하여, 아르곤과 같은 버퍼 기체를 추가함으로서 교환 상호작용을 증가시킬 수 있다. 버퍼 기체의 추가는 충돌 속도를 증가시킨다.

사소한 단일-비트 연산(위상 편이)과 조합하여 제어-NOT 게이트는 일반 양자 컴퓨터 구축에 충분하다는 것이 잘 알려져 있다. 특히, 도 16은 일부 경우의 편이성을 위해 대신, 제어 제곱근 NOT 게이트를 구현하도록 수정될 수 잇다.

비선형 위상 편이의 물리적 구현은 포톤 경로의 특성에 좌우된다. 기본 경로 옵션은 광선의 자유공간 전파, 광섬유에서의 전파, 그리고 기판 표면 상의 도파관 전파를 포함한다. 기본 구현은 모든 경우에 동일하다.

광섬유 경로에서, 비선형 위상 편이가 도 17에 도시되는 바와 같이 구현될 수 있다. 원자 증기 셀은 결정질 물질로 대치될 수 있고, 이는 고밀도 원자를 가지는 장점을 얻게 한다. 두 포톤의 전기장은 매질과 상호작용하고, 섬유를 폴리싱하거나 에칭함으로서 생성되는 미미한 전계를 이용해 서로 상호작용한다. (이러한 종류의 미미한 전계는 광섬유에서 방향성 커플러 생성을 위해 일반적으로 이용된다.)도 17은 도 4와 6의 회로도에서 비선형 위상 편이 박스를 대치하는 것으로 보일 수 있고, 그 간섭계는 기존 광섬유 간섭계로 이루어진다. 도 17은 동일한 섬유에서 이동하는 두 포톤을 가짐으로서 한 개의 섬유와 한 개의 결정을 이용하여 구현될 수 있다.

자유 공간에서 포톤 광선에 대한 물리적 구현은 주파수 ω ₂ 의 포톤이 반사될 때 주파수 ω ₁ 의 포톤이 전송되는 방식으로 광선 스플리터를 에탈론(etalon)으로 대치할 것이다. 이는 정상 광선 스플리터에 연관된 50%의 손실없이 원자 증기 셀을 통해 공통 경로로 두 포톤을 합병하게 한다. 두 포톤은 투과난 제 2 에탈론으로부터의 반사를 이용하여 두 다른 경로로 분리된다.

도 17의 위상-편이 구현은 제어-NOT 논리 게이트의 특정 설명을 제공하기 위해 도 16의 회로도로 병합될 수 있다.

앞서 기술한 비선형 위상 편이 메카니즘은 두 포톤이 다른 주파수를 가지는 것을 필요로 한다. 양자 컴퓨터 구축에서, 동일 주파수의 포톤으로 나타나는 두 비트의 논리 연산을 실행하는 것이 필요하다. 도 18에 도시되는 회로는 주파수 ω ₂ 에서의 스크래치 비트를 이용함으로서 주파수 ω ₁ 의 두 포톤에 제어-NOT 연산을 실행한다. 스크래치 비트는 최초 0에 상응하는 상태에 있고, 연산 말미에 다시 상태 0으로 복귀하여, "찌꺼기" 비트가 축적되지 않는다. 실제로, ω ₂ 의 주파수를 가지는 큐비트보다 주파수 ω ₁ 을 가지는 큐비트를 선택하는 것이 보다 효율적이다. 이는 이러한 종류의 회로에 대한 요구를 최소화시키기 때문이다.

도 17의 제어-NOT 게이트와 비선형 위상 편이는 제어-제어-NOT 게이트를 구현하기 위해 사용될 수 있고, 이는 도 19에 도시되는 2비트 가산기 회로에 사용될 수 있다.

양자 연산에 대한 광학적 접근을 구현하는 한 개의 중대한 도전은 각각의 큐비트를 나타내기 위해 한 개의 포톤과 1을 포함하는 초기 상태를 생성할 필요성이다. 이 문제에 대한 가장 실용적 해법은 단일 포톤 상태를 얻기 위해 사용되는 후-선택 과정과 유사하게 나타난다.

"0" 입력 경로(도 4의 실선)의 포톤 수를 변화시키기 않으면서 비트 A에 대한 상기 경로에 포톤이 존재하는 지를 결정하기 위해 제어-NOT 회로가 사용될 수 있다. 이는 입력 B의 경로 중 하나로 일련의 포톤을 주사함으로서, 그리고 반대 경로로 나오는 것이 있는 지를 확인함으로서 달성될 수 있다. 한 세트의 다른 비선형 위상 편이로 측정을 반복함으로서, 1과 한 개의 포톤 A가 지수함수적으로 작은 오차를 가지며 존재한다는 것을 보장할 수 있다.

다수의 광섬유 각각에 약한 코히어런트 상태-펄스로 제안된 광원이 초기화될 것이다. 이때 각각의 광섬유 내의 포톤 평균수는 1과 같을 것이다. 이러한 상태는 단일 레이저 펄스와 한 세트의 방향성 커플러로부터 쉽게 생성될 수 있다. 각각의 광섬유 내의 포톤수는 포톤 수 변화없이 측정될 수 있다. 1과 한 개의 포톤만을 포함하는 광섬유는 기존 광섬유 스위치를 이용하여 양자 컴퓨터의 입력 포트로 스위칭될 것이다. 이러한 과정은 자발적인 패러매트릭 다운-변환 사용보다 보다 효율적이어야 한다. 가령, 이는 같은 시간에 N개의 포톤을 생성할 지수함수적으로 작은 확률을 제시한다.

도 17에 도시되는 바와 같이, 광섬유 기술을 이용한 양자 논리 게이트 구축 능력은 합당한 비용으로 다수의 논리 게이트를 구축할 수 있게 한다. 상기 경우에, 전체 레지스터의 가산이나 승산과 같은 상대적으로 복잡한 연산은 임시 메모리 j장 장치를 필요로하지 않으면서 실행될 수 있다.

가령, 도 19의 2비트 가산기는 도시되는 바와 같이 정확하게 구현될 수 있다. 연산은 빛의 속도로 광섬유 병렬 네트워크를 통해 진행될 것이다. 이 연산의 어떤 주어진 단계에서도 처리되지 않는 큐비트는 다음번에 필요가 생길때까지 광섬유 길이를 따라 전파할 것이다. 이 병렬 처리 능력은 다수의 잠재적 장점을 가진다. 병렬 처리는 필요한 총 연산 시간을 단축시키고, 이는 디코히어런스가 중요 문제가 되기 전에 연산을 실행할 필요성의 관점에서 양자 연산에 대해 특히 유용하다. 추가적인 장점은 설계의 간편성으로서, 스위치나 분리 메모리 장치를 필요로하지 않는다. 다른 광섬유간의 연결이 최소화되거나 제거될 수 있다. 왜냐하면, 도 17에 도시되는 바와 같이, 광섬유를 함께 가까이 놓고 미미한 전계를 통해 상호작용하게 함으로서 논리 게이트가 형성될 수 있기 때문이다. 이는 중요한 장점이 될 수 있다. 커넥터와 관련된 손실이 기술적인 디코히어런스의 큰 원천이 된다고 생각되기 때문이다.

양자 컴퓨터의 연산 및 양자 정보 기술의 대부분의 다른 응용은 적절한 양자 메모리 장치의 이용을 필요로 한다. 양자 메모리 장치는 상대적으로 긴 시간 구간에서 디코히어런스의 효과를 피하면서 정보의 큐비트값을 저장할 수 있어야 한다. 도 12에 도시되면서 양자 논리 연산을 실행하기 위해 사용되는 레이저 펄스 순서는 정보 큐비트를 대신 저장하기 위해 수정될 수 있다. 상기 경우에, 여러 결정과 같이, 적절한 고상 물질에 여기 원자 상태의 중첩으로 포톤을 흡수하거나 그 정보를 저장하기 위해 펄스가 사용될 수 있다. 또다른 펄스가 가해지기 전에 정보가 결정에 저장될 것이다. 이는 도 12에 도시되는 제 5 펄스와 동등하다. 이는 결정으로 하여금 원래 가지던 동일 주파수와 동일 방향으로 포톤을 방사하게 하는 효과를 가진다. 그러므로 이 종류의 양자 메모리 장치에서, 오직 두 개의 펄스만이 사용되고, 한 개는 정보를 저장하며, 다른 한 개는 요청에 따라 원래의 큐비트를 재생성한다. 백만회의 양자 논리 연산을 실행하기에 충분히 긴 코히어런트 메모리 저장 시간은 이 방식으로 달성되어야 한다. 이는 충분히 긴 시간으로서, 양자 에러 보정 방법의 사용으로 하여금 코히어런트 저장 시간을 무한정 확장시키게 한다.

양자 컴퓨터 상의 유용한 계산은 10 ¹² 연산까지를 필요로할 수 있다. 고도의 병렬성을 고려하더라도, 메모리 장치를 사용하지 않고 상기 연산을 실행하는 것이 불가능하게 나타난다. 그럼에도 불구하고, 이 종류의 병렬 처리는 전체적으로 컴퓨터 내의 상대적으로 복잡한 수학적 연산을 실행하기 위해 여전히 적용될 수 있다.

도 17에 도시되는 비선형 위상 편이 장치가 가령 1cm의 길이를 가질 경우, 논리 연산 실행에 소요되는 시간 Δt _op 의 양은 33 피코초 수준이고, 빛의 속도에서 전이시간이다. 상업용 광섬유의 최소 감쇠 인자는 0.16dB/km이고, 이는 50%의 흡수확률을 가지기 이전에 포톤이 20km 가량을 이동할 수 있다는 것을 의미한다. 광섬유의 양자 암호법 실험과 두-포톤 간섭계 실험은 큐비트의 양자 역학적 코히어런스가 이 거리에 대해 유지될 수 있다는 것을 보여주고, 이 거리는 대략 130 마이크로초의 전파 시간에 상응한다. 이 숫자를 바탕으로, 대략 4 ×10 ⁶ 논리 연산을 실행하기에 충분히 긴 광섬유 루프에 포톤이 저장될 수 있다. 다른 한편, 진성 저장 시간이 Δt _op 보다 더 길다는 사실은 유효 저장 시간 Δt _store 를 더 큰 값으로 확장하기 위해 여러 에러 보정 기술이 적용될 수 있다는 것을 의미한다. 이는 두 개의 섬유 루프를 포함하는 도 20에 도시되는 메모리 장치에 의해 설명되고, 이중 한 개의 섬유 루프는 논리값 0을 나타내고, 다른 하나는 논리값 1을 나타낸다. 기존 광섬유 스위치는 저장 루프로 포톤을 위치시키고 이를 원하는 시간에 복구할 수 있도록 사용된다. (상업적으로 이용가능한 이런 종류의 스위치는 전기광학적으로 제어되는 위상 편이를 가지는 광섬유 간섭계로 이루어진다.)

용장 비트를 이용하는 에러 보정 기술은 어떤 단일 디코히어링 사건에 대해서도 정보를 보호하기 위해 사용될 수 있다. 비트가 충분히 짧은 구간으로 감시될 경우, 유효 저장 시간은 크게 증가할 수 있다. 앞서 언급한 양자 비파괴 측정은 여기서 좋은 용도로 놓일 수 있다. 왜냐하면, 큐비트 값을 혼란시키지 않으면서 가장 공통적인 에러 소스(흡수)를 확인 할 수 있기 때문이다. 어느 루프에 포톤이 있는 지를 결정하지 않고 두 루프의 포톤 총수를 특정할 수 있다. 정확한 큐비트를 복구하기 위해 에러 보정 기술이 사용될 수 있는 시간에서, 이는 빈번한 확인으로 한개 이상의 에러가 발생하지 않음을 보장할 수 있게 한다. 이는 이 장치의 유효 저장 시간이 기본 양자 게이트의 성능에 의해서만 제한된다.

이 종류의 장치에서 대부분의 에러는 고아섬유 루프보다는 스위치에 그 원인을 둔다. 이 문제는 다른 길이의 광섬유를 가지는 저장 레지스터의 범위를 사용함으로서 최소화될 수 있다. 큐비트가 복구될 필요가 있는 시간이 미리 알려지기 때문에, 루프가 정확한 길이를 가지는 메모리 장치에 큐비트가 저장될 수 있다. 그래서 스위치를 통한 몇몇 전이만이 필요하다.

이런 종류의 메모리 저장 장치가 가지는 추가적인 문제점이나, 일반적인 광학적 접근법의 문제점은 다음과 같다. 즉, 분산이 포톤 파동 패킷의 형태를 변형시키게 되고, 포톤 파동 패킷을 약간 다른 시간에 논리 게이트에 도달하게 한다. 도 20의 두 루프에 포함되는 동기화 장치를 이용함으로서 분산 효과가 최소화될 수 있다. 이들은 컴퓨터 클럭 사이클에서 잘 정의된 시간에 스위칭되는 (고전적) 비선형 장치이다. 각각의 동기화 장치는 전기광학 물질로 이루어지고, 그 굴절률은 장치의 좌측에서 보다 커서, 정상 위치 앞에 위치하는 포톤이 감속된다. 굴절률은 장치 우측부에서 작고, 그래서 정상 위치 뒤의 포톤이 가속된다.

이 장치의 연산이 분산 효과를 제한하고 어떤 파장 패킷의 분산도 일어나지 않도록 평형 상태에 다다른다고 믿어진다. 이 상황은 앤더슨 국부화와 일면 유사하다. 앤더슨 국부화는 일부 고상 시스템의 분산을 경계짓는다. 확산을 제어하는 다른 방법은 양자 논리 게이트의 비선형 특성을 사용할 수 있고, 이는 이미 발생한 분산을 "뒤집기 위해" 사용된다. 이는 비선형 광학 및 펄스형 레이저에 자주 사용되는 펄스 협폭 기술과 유사하다. 이 방법들의 조합이 필요해질 것이다. 연산의 말미에, 한 개 이상의 큐비트 레지스터 내용을 측정할 필요가 있다. 고효율 포톤 감지기가 이 용도를 위해 필요할 것이다.

현재 이용되는 한 개의 단일-포톤 감지기가 74%의 측정 효율을 가진다. 대부분의 이러한 비효율성은 감지기 표면으로부터의 포톤 반사에 기인한다. 반사 포톤을 제 2 감지기와, 제 3 감지기에 집광시키는 것은 99% 수준의 효율을 얻는다. 이 기술의 추가적인 정제가 필요하지만, 이는 기존 접근법이 루틴 원칙에서 99%의 단일 포톤 감지 효율을 종국에 부여할 수 있다.

다음의 사실을 다시 한번 이용함으로서 더 높은 감지 효율도 얻을 수 있다. 즉, 도 4의 제어-NOT 회로가 포톤수의 양자 비파괴 측정으로 사용될 수 있다. 이러한 과정이 여러번 반복될 수 있기 때문에, 포톤을 감지못할 가능성은 지수함수적으로 작아진다. 그러므로, 최종적인 단일-포톤 감지 효율은 앞서 기술된 단위 양자 논리 게이트의 성능에 따라 좌우될 것이다.

아래의 이론적 연산을 바탕으로 하여, 다수의 진성 또는 물리적 디코히어런스가 식별된다. 이는 다음을 포함한다.

- 선형 흡수

- 비선형 흡수

- 리코일 모멘텀

- 충돌

- 원자 밀도 변화

선형 흡수는 다른 포톤이 없을 경우 매질을 통과하는 포톤 광선의 상시적 감쇠에 상응한다. 원자에 의해 흡수되는 에너지가 또다른 포톤의 형태로 다시 방출되기 때문에, 이 "흡수" 대부분은 포톤의 분산에 상응한다. 원자의 공명 주파수로부터 멀리 포톤을 이조함으로서, 이 종류의 분산이 무시할만한 수준으로 감소될 수 있다는 것은 잘 알려져 있다. 이때, 굴절률의 실수부는 허수부보다 더 커진다. 이것이 유리가 투명한 이유이고, 동일한 효과가 발명의 논리 게이트에 대해서도 참인 상태를 유지한다.

앞서 기술한 바와 같이, 두 개 이상의 포톤이 동시에 매질에 존재할 때 발생하는 추가적인 분산이 비선형 흡수이다. 이 형태의 분산은 대형 이조의 경우 무시할 수 있고, 이 상황은 리튬 이오데이트와 같이 자주 사용되는 비선형 결정의 투명성과 유사하다.

디코히어런스에서 리코일 모멘텀의 역할은 매질의 다량의 원자의 경우 무시할 수 있다. 이는 인코히어런트 사건의 속도가 매질의 원자수에 비례하기 때문이고, 이때 코히어런트 위상 편이는 원자수의 제곱에 비례한다. 버퍼 기체와의 충돌로 인한 디코히어런스에도 동일한 상황이 진실로 유지된다.

원자 밀도 변화는 매질에 의해 생성되는 비선형 위상 편이에 변화를 생성한다. 이 변화는 매질의 원자수가 증가함에 따라 더욱 무시할 수 있다.

앞서의 이유로, 진성 디코히어런스의 모든 공지된 소스가 충분히 큰 이조와 충분히 큰 원자수의 기술적 디코히어런스에 비교할 때 무시할만해진다고 기대된다.기술적 디코히어런스가 논리 연산당 10 ^-3 으로 가정될 경우, 이론에 따라, 이는 10 ³ 라인 폭 이상의 이조를 필요로하고, 10 ⁶ 이상의 원자수 이상을 필요로한다. 이 두 조건은 가능하게 나타난다.

기술적 디코히어런스의 다음의 소스가 구별되었다.

- 광섬유나 도파관의 흡수 및 분산

- 광섬유 스위치에서의 손실

- 분산

- 비선형 위상 편이의 부정확한 크기

- 광섬유 커넥터의 손실

현재 유용한 도파관 구조의 흡수는 명백하게 커서, 순수한 표면 구조에 발명의 기술을 응용할 수 있게 한다. 이 분야의 미래 진보는 하이브리드 장치를 이용가능하게 하고, 이때, 상기 하이브리드 장치에서, 메모리 장치가 광섬유 루프를 이용할 때 도파관 구조를 이용함으로서 일부 변화가 실행될 수 있다.

앞서 언급한 바와 같이, 상업적으로 이용가능한 광섬유의 분산으로 인한 흡수는 포톤 큐비트의 진성 저장 시간을 4 ×10 ⁶ 논리 연산으로 제한하고, 이는 연산당 10 ^-6 의 메모리 에러 속도에 상응한다. 이는 다른 기대되는 기술적 디코히어런스 소스보다 낮고, 에러 보정 기술이 이를 보상할 수 있다고 기대된다.

광섬유 스위치의 손실은 이 광섬유 간섭계의 위상 에러에 주로 기인한다.99% 이상의 투명도가 광섬유 간섭계에서 얻어지고, 아래에 기술될 피드백 기술을 이용하여 10 ^-3 이하로 이 종류의 위상 에러가 감소될 수 있다. 다시, 도파관 구조의 손실은 금지가능하고, 도 17에 도시되는 것과 유사하면서 고전적 전기광학 매질을 가지는 모든 광섬유 장치를 사용하는 것이 필요할 수 있다.

분산은 중대한 문제이고, 일부 형태의 보정을 필요로할 것이다. 여러 메카니즘이 앞서 기술한 바와 같이 이 용도로 식별되지만, 어떤것도 상세히 분석된 바 없다. 원칙적으로, 분산이 무시할만한 수준으로 감소될 수 없는 이유가 없지만, 분산으로 인한 유사 에러의 정량적 추정치를 제공하기 위해 상세한 연산 및 실험이 필요하다.

어떤 주어진 양자 논리 게이트에 적용되는 비선형 위상 편이의 크기는 장치의 형태, 이조 크기, 그리고 매질의 원자 밀도 등의 변화와 같은 인자에 의해 영향을 받을 것이다. 이 종류의 에러는 양자 암호법에 대한 시스템에서 사용되는 피드백 기술을 이용하여 매우 작은 수준으로 감소될 수 있다. 이는 유사한 위상 에러에 민감하다. 도 21에 도시되는 바와 같이, 실제 연산의 일부가 아닌 실험용 포톤이 논리 게이트를 통해 주기적으로 전송되고 결과가 측정된다. 위상 편이에 대한 적절한 보정이 외부 자기장을 변화시킴으로서 적용될 수 있다. 과거의 경험을 바탕으로, 이 접근법은 10 ^-3 수준으로 이러한 시스템 에러를 감소시킬 수 있다. 이 종류의 피드백은 각각의 게이트에 필요 부분일 수 있다.

두 광섬유 사이의 연결에서 일부 손실이 불가피하게 생길 것이다. 상업적으로 이용가능한 광섬유 연결 시스템은 연결 당 0.003의 손실 인자를 가진다. 이 손실은 앞서 기술한 바와 같이 병렬 처리 알고리즘을 이용함으로서 어느 정도까지 최소화될 수 있다. 연결 시스템의 미래는 10 ^-3 수준 이하로 이 손실을 감소시킬 것으로 기대된다.

가능한 분산 예외를 가지는 디코히어런스의 모든 기술적 소스는 표준 광학 기술의 개선만을 바탕으로 연산당 10-3 이하로 감소될 수 있다. 광학적 측정은 상기 정밀도로 이루어진다.

에러 보정을 위해 필요한 추가 큐비트를 고려할 때, 대형 정수의 인수분해와 같이, 유용한 연산을 실행하기 위해 필요한 큐비트의 총수는 10 ⁶ 수준일 것으로 추정된다. 다른 양자 컴퓨터 구현의 일부가 이 숫자의 큐비트로 어떻게 스케일링 업되는 지는 상상하기 어렵다. 가령, 캐버티-QED 접근법은 백만개의 캐버티 및 트랩을 필요로할 것이다. 이때 백만개의 이온을 포함하는 이온 트랩은 중요하지 않은 것으로 보인다. 실용적인 양자 컴퓨터의 구축 가능성에 관심을 갖고 있을 때, 잠재적인 접근법이 필요한 수의 비트까지 스케일링 업될 수 있는 지를 물어야할 것이다.

발명의 접근법의 한가지 큰 장점은 이온 트랩의 경우와 달리, 양자 논리 게이트 각각이 모든 다른 것들과 물리적으로 분리된다는 점이다. 한 개의 양자 논리 게이트가 상기 작업을 훌륭히 수행할 경우, 비용과는 별도로 필요한 만큼 구축될 수 있다. 본 발명의 다른 한가지 중요한 장점은 고도로 높은 Q-캐버티, 원자 광선,원자 트랩, 등과 같이 분화된 구조를 필요로하지 않는 점이다. 그 결과, 도 17에 도시되는 구조를 바탕으로 하는 양자 논리 게이트는 충분히 낮은 가격으로 대량 생산될 수 있다.

단일 포톤 소스, 메모리 저장 장치, 그리고 고효율 포톤 감지기의 이전의 논의는 모든 다른 기능이 단위 논리 게이트의 성능에 따라 좌우된다는 것을 표시한다. 이 장치의 최종 성능은 게이트 품질에 의해 주로 제한된다.

논리 연산당 에러가 물리적 디코히러런스에 의해서가 아니라 기술적 디코히어런스에 의해 제한됨을 앞서의 설명이 제시한다. 가능한 분산 예외를 가지는 상기 에러는 10 ^-3 이하로 감소될 수 있다. 일반적으로 광학적 측정은 상기 정확도로 자주 실행된다.

양자 연산은 기존 컴퓨터로는 불가능한 산술 연산을 실행할 수 있는 능력을 종국에 제공하는 새로운 기술이다. 이 향상된 능력은 비고전적 논리 요소와 양자 컴퓨터의 능력을 이용하여 단일 프로세서에서 병렬로 수많은 연산을 처리함에 기원을 둔다. 양자 컴퓨터의 출현은 컴퓨터 과학과 정보 이론에 일대 혁명을 가져올 것이다. 양자 연산에 대한 발명의 광학적 접근은 다른 잠재적 방법에 대해 수많은 장점을 가진다. 즉, 높은 Q-캐버티, 원자 광선, 또는 트랩에 대한 어떤 요구사항의 결여, 대형 이조를 이용함으로서 디코히어런스를 최소하하는 능력, 그리고 광섬유나 도파관과 연결될 수 있는 독립 논리 게이트를 구축할 수 있는 능력을 포함한다.