一种用于传输包含附加的(additive)阿贝尔(Abelian)群元素 的数字消息的方法是已知的。该方法包括下面步骤：编码、调制和在 通信信道中传输数字消息，以及解调并解码接收信号[1]。
一种用于传输包含附加的阿贝尔群元素的数字消息的已知系统， 包括串连在发射端的编码器，调制器和发射器，和串连在接收端的接 收器，解调器和解码器[1]。
已知的方法和系统在实现上相当复杂，因为对于编码和解码过 程，它们使用四种算术运算。

在使用提出的方法和系统时获得的技术效果，因从编码和解码过 程中去除乘法和除法运算而简化其实现。这又提供机会来传输包含阿 贝尔群元素的任何消息，尤其是具有矩阵、多项式、混合非按位记数 制中的数字形式的元素的编码字，并且根据提出的规则而组织的代码 对应于一类系统线性块代码。
上述技术效果通过用于传输包含附加的阿贝尔群元素的数字消息 的方法来实现，该方法包括步骤：编码、调制消息和将消息发送到通 信信道，以及解调并解码接收信号，其特征在于根据规则Yn＝XkG 编码消息，其中
Xk为初始消息的向量行，包含k个信息元素，
Yn为编码消息的向量行，包含k个信息和一个校验元素，
G为包含k行和(k+1)列的运算产生矩阵，由在对角线具有运算 g0并且在其它位置具有运算g1的k×k矩阵、以及从右边加到k×k矩 阵并且包含在所有位置是运算g0或者运算g2的序列的附加列来产生， 或者通过重新排列行和/或列从所述运算产生矩阵获得的矩阵产生，
为广义矩阵乘法运算，根据规则：yj＝∑gv ij(xi)对于j≤k， yj＝g2[∑gv ij(xi)]对于j＝k+1，如果附加列包含运算g0的序列；或者根 据规则：yj＝∑gv ij(xi)，如果附加列包含运算g2的序列，其中
yj为编码消息的向量行的第j个元素，
∑gvij(xi)＝gv 1j(x1)gv 2j(x2)...gv kj(xk)，
为阿贝尔群元素的求和运算，
gv ij(xi)为根据第ij个矩阵元素的规则，元素xi的运算gv，
v＝[0，2]，i＝[1，k]，j＝[1，k+1]，
g0＝xie，g1＝xi(-xi)，g2＝xi(-xi)(-xi)，
e为阿贝尔群的么元(unity element)，
并且其特征在于通过从向量行Y′n中去除按编号对应于运算产生 矩阵G的附加列的元素来解码解调的消息Y′n，假设HY′n T＝e，其中
Y′n T为转置向量行Y′n，
H为1×(k+1)的运算校验矩阵，通过转置附加列来产生，即，将 运算g0从右边添加到该列，如果附加列包含运算g0的序列，并且与重 新排列运算产生矩阵的列相同地重新排列矩阵列；或者以同样的方 法，但是把运算g0换成运算g2，如果附加列包含运算g2的序列。
上述技术效果也可以如下获得，即当消息元素属于具有一的环 时，运算g0为与一的乘法运算，运算g1为与零的乘法运算，运算g2为 与负一的乘法运算。
上述技术效果也可以如下获得，即当消息元素属于模q的剩余类 环时，其中q是自然数，运算为对模q的求和运算。
上述技术效果也通过用于传输包含附加的阿贝尔群元素的数字消 息的系统来实现，该系统包括串连在发射端的编码器、调制器和发射 器，以及串连在接收端的接收器、解调器和解码器，其中编码器的输 入对应系统输入，解码器的输出对应系统输出，其特征在于编码器为 能够执行算法Yn＝XkG的形式，其中
Xk为初始消息的向量行，包含k个信息元素，
Yn为编码消息的向量行，包含k个信息和一个校验元素，
G为包含k行和(k+1)列的运算产生矩阵，由在对角线具有运算 g0并且在其它位置具有运算g1的k×k矩阵、以及从右边加到k×k矩 阵并且包含在所有位置是运算g0或者运算g2的序列的附加列来产生， 或者通过重新排列行和/或列从所述运算产生矩阵获得的矩阵产生，
为广义矩阵乘法运算，根据规则：yj＝∑gv ij(xi)对于j≤k， yj＝g2[∑gv ij(xi)]对于j＝k+1，如果附加列包含运算g0的序列；或者根 据规则：yj＝∑gv ij(xi)，如果附加列包含运算g2的序列，其中
yi为编码消息的向量行的第j个元素，
∑gv ij(xi)＝gv 1j(x1)gv 2j(x2)...gv kj(xk)，
为阿贝尔群元素的求和运算，
gv ij(xi)为根据第ij个矩阵元素的规则，元素xi的运算gv，
v＝[0，2]，i＝[1，k]，j＝[1，k+1]，
g0＝xie，g1＝xi(-xi)，g2＝xi(-xi)(-xi)，
e为阿贝尔群的么元，
并且其特征在于通过从向量行Y′n中去除按编号对应于运算产生 矩阵G的附加列的元素来解码解调的消息Y′n，假设HY′n T＝e，其中
Y′n T为转置向量行Y′n，
H为1×(k+1)的运算校验矩阵，通过转置附加列来产生，即，将 运算g0从右边添加到该列，如果附加列包含运算g0的序列，并且与重 新排列运算产生矩阵的列相同地重新排列矩阵列；或者以同样的方 法，但是把运算g0换成运算g2，如果附加列包含运算g2的序列。
上述技术效果也可以如下获得，即提供编码器，包含：
第一运算存储部件，该第一运算存储部件的k个输出连接到第二 运算存储部件的相应前k个信息输入，该第二运算存储部件的输出形 成编码器输出；
串连的用于计算函数g2的计算部件、用于累加阿贝尔群元素并且 输出连接到其第二输入的第一累加加法器，以及第一开关，该第一开 关的输出连接到第二运算存储部件的第(k+1)个信息输入；
串连的第一脉冲波形形成部件和用于计数到k的第一环形计数 器，该第一环形计数器的溢出输出连接到第一开关的控制输入和第一 运算存储部件的复位输入；
串连的具有重复频率f(k+1)/k的脉冲发生器、第二开关和用于计 数到(k+1)的第一环形计数器，该第一环形计数器的信息输出连接到 第二运算存储部件的地址输入；
输出连接到第二开关的控制输入的第一与门；
输出连接到第一与门的直接输入的第一触发器，该第一与门的倒 相输入与用于计数到(k+1)的第一环形计数器的溢出输出相连并且连 接到第一触发器的复位输入；
串连的第一脉冲重复频率倍频部件和用于计数到(2k+1)的环形计 数器，该第一脉冲重复频率倍频部件的输入连接到具有重复频率 f(k+1)/k的脉冲发生器的输出，该环形计数器的溢出输出连接到第一 触发器的计数输入；
第一运算存储部件与用于计算函数g2的计算部件的联合信息输 入、脉冲波形形成部件的起动输入以及具有重复频率f(k+1)/k的脉冲 发生器的同步输入形成编码器输入，并且f对应于数字消息中编码字 元素的重复频率。
上述技术效果也可以如下获得，即提供解码器，包含：
第三运算存储部件，该第三运算存储部件的(k+1)个输出连接到 第四运算存储部件的相应前(k+1)个信息输入，该第四运算存储部件 的输出形成解码器输出；
串连的用于累加阿贝尔群元素并且输出连接到其第二输入的第二 累加加法器、第三开关、用于识别到阿贝尔群么元的对应的识别部 件，和第四开关，该第四开关的输出连接到第四运算存储部件的地址 输入；
串连的第二脉冲波形形成部件和用于计数到(k+1)的第二环形计 数器，该第二环形计数器的溢出输出连接到第三开关的控制输入和第 三运算存储部件的复位输入；
串连的具有重复频率fk/(k+1)的脉冲发生器、第五开关和用于计 数到k的第二环形计数器，该第二环形计数器的信息输出连接到第四 开关的信息输入；
输出连接到第五开关的控制输入的第二与门；
输出连接到第二与门的直接输入的第二触发器，该第二与门的倒 相输入连接到用于计数到k的第二环形计数器的溢出输出并且连接到 第二触发器的复位输入；
串连的第二脉冲重复频率倍频部件和用于计数到[2(k+1)+1]的环 形计数器，该第二脉冲重复频率倍频部件的输入连接到具有重复频率 fk/(k+1)的脉冲发生器的输出，该环形计数器的溢出输出连接到第二 触发器的计数输入；
第三运算存储部件与用于累加阿贝尔群元素的第二累加加法器的 联合信息输入、第二脉冲波形形成部件的起动输入以及具有重复频率 fk/(k+1)的脉冲发生器的同步输入形成解码器输入，并且f对应于数 字消息中编码字元素的重复频率。
附图说明
图1说明单独消息编码和解码的实例。
图2说明用于传输数字消息的系统的电框图。
图3说明编码器的电框图。
图4说明解码器的电框图。
用于传输数字消息的系统包括编码器1，调制器2，发射器3， 接收器4，解调器5和解码器6。
编码器1包括第一脉冲波形形成部件7，用于计算函数g2的计算 部件8，具有重复频率f(k+1)/k的脉冲发生器9，第一脉冲重复频率 倍频部件10，用于计数到k的第一环形计数器11，用于累加阿贝尔 群元素的第一累加加法器12，第二开关13，用于计数到(2k+1)的环 形计数器14，第一与门15，第一运算存储部件16，第一开关17，第 一触发器18，第二运算存储部件19，以及用于计数到(k+1)的第一环 形计数器20。
解码器6包括第二脉冲波形形成部件21，用于累加阿贝尔群元 素的第二累加加法器22，具有重复频率fk/(k+1)的脉冲发生器23， 第二脉冲重复频率倍频部件24，用于计数到(k+1)的第二环形计数器 25，第五开关26，第三运算存储部件27，第三开关28，第二与门 29，用于计数到[2(k+1)+1]的环形计数器30，用于识别到阿贝尔群么 元的对应的识别部件31，第二触发器32，第四运算存储部件33，第 四开关34，用于计数到k的第二环形计数器35。

一种用于传输数字消息的方法如下来实现。
具有k行(k+1)列的运算产生矩阵G被形成，所述矩阵使用在其 对角线具有运算g0并且在其它位置具有运算g1的k×k矩阵，和使用 从右边加到所述k×k矩阵并且对应于位于每个位置的运算g0或运算 g2的序列的附加列来产生。也可能使用利用所述运算产生矩阵通过重 新排列其行和/或列而产生的运算产生矩阵。作为结果的运算产生矩 阵不是像通常的矩阵那样由数形成的矩阵，而是由记录形成的矩阵， 当运算产生矩阵的对应元素被启动时，所述记录交付产生相应运算。
添加附加列的操作被产生，其目的是在传输消息中引入校验元 素，所述校验元素用于找出接收消息中的错误，如果错误在通过通信 信道的消息传输过程中出现的话。
使用相应源产生的数字消息Xk通过产生向量行Xk与上述运算产 生矩阵G的广义矩阵乘法来编码。
广义矩阵乘法运算的过程与通常矩阵乘法的过程完全相同，因为 它以同样的方法来产生，如下：对于向量行Xk的第i个元素和运算矩 阵G的每个第ij个元素(其位于第i行和第j列的交叉点)产生成对 相互运算，然后第j个运算的结果被求和，形成向量行Yn的第j个元 素。结果，产生广义矩阵乘法运算所需的每个上述运算可以理解为根 据为阿贝尔群的元素制定的规则的求和运算[2，p.140]，该阿贝尔群 使用相应源来形成，其包含数字消息Xk(具有k个信息元素)的元 素。运算gv(g0，g1和g2)相应地对应于与群的么元的求和运算[2， p.139]，与群的逆元的求和运算[2，p.140]，以及与群的逆元的二重求 和运算。
编码消息被调制并发送到通信信道。
接收消息被解调和解码。解码使用校验矩阵H与转置向量行Y′n T 的广义矩阵乘法运算来产生。
1×n的运算检验矩阵H通过如下方法来形成，即转置附加矩 阵，将运算g0从右边添加到该矩阵，如果附加列对应于运算g0的序 列，或者把运算g2换成g0，以同样的方法，如果附加列对应于运算g2 的序列，并且以与重新排列运算产生矩阵的列同样的方法来重新排列 矩阵列(如果运算产生矩阵的形成通过重新排列矩阵列来执行)。
如果作为乘法的结果而获得的值等于群的么元(这一事实告知在 接收消息中没有错误)，编号对应于运算产生矩阵G中附加列的编 号的元素从向量行Y′n中除去；这样，在编码过程中插入到消息中的 校验元素被丢弃。
如果消息元素属于具有一的环，其对应于附加的阿贝尔群的变体 中的一个，运算g0退化成与一的乘法运算，运算g1退化成与零的乘法 运算，并且运算g2退化成与负一的乘法运算。
如果消息元素属于模q的剩余类环，其对应于具有一的环的变体 中的一个，运算∑转化成模q的求和运算。
图1说明传输包含七个二进制元素的传输消息Xk的实例。运算产 生矩阵G根据上述规则来形成。在该情况下，附加列插入在第一位 置中。在产生向量行Xk与矩阵G的广义矩阵乘法之后，具有位于第 一位置的校验元素的编码消息向量行Yn被形成。
解调消息Y′n被没有错误地接收。所以，产生校验矩阵H与转置 向量行Y′n T的广义矩阵乘法导致获得群的么元。然后解码通过丢弃校 验元素，特别地通过提取初始消息的元素来执行。
一种用于传输数字消息的系统以下面方法来操作。
使用相应源而形成并且包括每个具有k个元素的顺向传输的代码 字的数字消息Xk的每个元素，在编码器1的输入处以及进一步在第一 运算存储部件16和计算部件8的信息输入处获得。同时该元素起动 第一脉冲波形形成部件7并且使脉冲发生器9同步。来自第一脉冲波 形形成部件7的输出的脉冲起动第一环形计数器11。第一计数器11 提供到达其输入处的脉冲的计数，并且代码字的元素存储在第一运算 存储部件16的相应单元中并且根据规则g2使用计算部件8来转换。 对消息元素而产生的转换结果传送到第一累加加法器12的输入，在 那里每个后续转换元素根据阿贝尔群元素的求和规则与先前元素的和 数相加，并且形成插入到传输代码字中的校验元素。在把代码字的第 k个元素传送到第一环形计数器11的输入之后，脉冲在其溢出输出 处形成，并且该脉冲打开第一开关17，使第一运算存储部件16复位 并将来自第一运算存储部件16的输出的信息传送到第二运算存储部 件19的前k个存储单元。同时，该脉冲将来自第一加法器12的输出 的信息传送到第二运算存储部件19的第(k+1)个存储单元。来自发生 器9的输出、具有超过代码字中元素的重复频率值的(k+1)/k倍的重 复频率值的脉冲到达第二开关13的信息输入，该第二开关最初保持 闭态，不把它们传送到第一环形计数器20的输入。相同的脉冲传送 到使到达脉冲的重复频率加倍的第一频率倍频部件10的输入。然后 脉冲从部件10的输出传送到环形计数器14的输入。当第(2k+1)个脉 冲传送到环形计数器14的输入时(大约在当前代码字的最后元素到 达编码器1的输入的时刻与下一代码字的第一元素到达该输入的时刻 之间的时间间隔的中间)，脉冲在计数器14的溢出输出处形成，并 且传送到第一触发器18的计数输入，改变该触发器的状态。在第一 触发器18的输出处形成的“逻辑一”的电压信号传送到第一与门15 的直接输入。第一环形计数器20还没有开始计数，从而其溢出输出 处保持“逻辑零”的电压信号；所以，“逻辑一”的电压信号出现在 第一与门15的输出处，并且该信号帮助打开第二开关13。来自发生 器9的输出的脉冲开始到达第一环形计数器20的输入；结果，代码 出现在计数器20的信息输出处，并且该代码随每个后续计数的脉冲 而改变。在到达第二运算存储部件19的地址输入之后，该代码使用 与第一环形计数器20计数的脉冲相同的序号来初始化在其相应存储 单元中复位的信息，并且代码字的k个信息和一个校验元素顺序地传 送到调制器2的输入。在传送第n个脉冲到第一环形计数器20的输 入之后，“逻辑一”的电压信号在其溢出输出处形成，并且该电压信 号改变第一触发器18的状态；所以，“逻辑零”的电压信号出现在 第一与门15的输出处，并且该电压信号关闭第一开关13并停止从发 生器9的输出获取脉冲到第一环形计数器20的输入，第一环形计数 器20为下一个运算周期做准备。
调制消息从调制器2的输出传送到发射器3的输入，并且进一步 传送到通信信道。
在通过接收器4传送之后，接收消息在解调器5中被解调并传送 到解码器6的输入。
在传送到解码器6的输入之后，接收代码字的每个元素到达第三 运算存储部件27和第二累加加法器22的信息输入处，起动第二脉冲 波形形成部件21并且使发生器23同步。来自第二脉冲波形形成部件 21的输出的脉冲起动第二环形计数器25。当第二环形计数器25计数 到达其输入的脉冲时，代码字的元素被存储在第三运算存储部件27 的相应单元中，并且第二累加加法器22根据阿贝尔群元素的求和规 则确定在其输入处接收的代码字的元素的求和结果。在传送代码字的 第(k+1)个元素到第二环形计数器25的输入之后，脉冲在其溢出输出 处形成，并且该脉冲打开第三开关28，使第三运算存储部件27复 位，并且相应地将信息从其输出传送到第四运算存储部件33的存储 单元和将信息从第二累加加法器22的输出传送到识别部件31。当到 达识别部件31的输入处的和数等于阿贝尔群的么元时，“逻辑一” 的电压信号传送到第四开关34的控制输入，并且该开关被打开。来 自发生器23的输出、具有超过代码字中元素重复频率值的k/(k+1)倍 的重复频率值的脉冲到达第五开关26的信息输入，该开关26最初保 持闭态，不把这些脉冲传送到第二环形计数器35的输入。相同的脉 冲传送到使到达脉冲的重复频率加倍的第二频率倍频部件24的输 入；来自部件24的输出的脉冲传送到第二环形计数器30的输入。当 第[2(k+1)+1]个脉冲到达环形计数器30的输入时(大约在当前代码字 的最后元素到达解码器6的输入的时刻与下一代码字的第一元素到达 该输入的时刻之间的时间间隔的中间)，来自计数器30的溢出输出 的脉冲传送到第二触发器32的计数输入并且改变该触发器的状态。 “逻辑一”的电压信号出现在第二触发器32的输出处，并且该电压 信号传送到第二与门29的直接输入。第二环形计数器35还没有开始 计数，并且在其溢出输出处保持“逻辑零”的电压信号；所以，“逻 辑一”的电压信号出现在第二与门29的输出处，并且打开第五开关 26。来自发生器23的输出的脉冲开始到达第二环形计数器35的输 入；结果，代码出现在该计数器的信息输出处，并且该代码随每个后 续计数的脉冲而改变。该代码通过正好打开的第四开关34来传送， 并且在到达第四运算存储部件33的地址输入之后，该代码使用与第 二环形计数器35计数的脉冲的编号相对应的序号来初始化在其单元 中复位的信息，并且代码字的k个信息元素顺序地传送到解码器输 出，尤其传送到用户。校验元素，如被丢弃一样，保持在第四运算存 储部件33的第(k+1)个存储单元中，并且在这些单元中换成下一个代 码字的校验元素。在传送第k个脉冲到第二环形计数器35的输入之 后，“逻辑一”的电压信号出现在其溢出输出处，并且该电压信号改 变第二触发器32的状态；然后，“逻辑零”的电压信号在第二与门 29的输出处形成，并且该电压信号关闭第五开关26并停止从发生器 23的输出获取脉冲到第二环形计数器35的输入，第二环形计数器35 为下一个运算周期做准备。
参考文献
1.J.Clark，J.Cane，“Coding with an error correction in digital communication systems(数字通信系统中具有误差校正的编 码，由S.I.Gelfand)”从英文翻译，B.S.Tsybakov编辑，发行28，莫 斯科，出版社“Radio i svyaz”，1987，9-18页，图1.2。
2.A.I.Kostrikin，“Introduction for an algebra(代数引论)”， 莫斯科，出版社“Nauka”，1977。