在许多领域中使用的材料的弹性通常对于这些材料使用的设计、操作、效用或安全是关键的。在制造领域，所制造的材料及其成分的弹性通常必须满足对制造产品的效用和安全必不可少的规定的要求。在医疗领域，生物组织的弹性对超声波成像是重要的。在建筑领域，建筑材料以及地基土壤的弹性对建造的结构、道路、水坝、洞穴以及土木工程来说，是重要的设计标准和关键的安全考虑。在地震勘探领域，地球中的近地表弹性波速度的空间变化和深度变化的测量对用于碳氢化合物勘探的地震成像方法来说是重要的。在地震灾害缓解领域，在倾向于强震震动的区域中，地表上的土壤和地质构成的弹性是评估和缓解灾害的关键因素。在所有这些领域中，测试所讨论的材料弹性的有效可靠的方法是有用的，且通常是必不可少的。
众所周知，材料的弹性可通过测量材料对所施加的动态驱动力的弹性响应来测试。在实验室测试中，测试设备通常约束所述材料样本以限制弹性响应为某些规定的运动模式或方向，施加已知的约束压力，并且按需要提供一个装置来测量该材料体的动态尺寸和形状。然而，对于许多重要类型的材料，在测试设备中约束材料是耗费时间的、昂贵的或不切实际的。而且，对于一些材料，分离材料样本的处理改变了弹性，一个特殊的例子是土壤。因此，需要有效且可靠地测量一个未受约束的、未被改变的材料的弹性。以前曾经提出过通过测量一个材料在同时施加测量动态驱动力的同一点的运动，来测试该未受约束的材料的方法。因为运动测量和力量施加是在同一地点和时间，所述驱动点测量处理是非常有时间效率的，并且仅仅需要访问一个测量点。然而，从实际材料的不受约束的驱动点运动中可靠地确定弹性是一个难题。
对于一个各向同性的线性弹性材料的理想半空间，过去已经表示了材料的驱动点运动同时包含瞬态和稳态运动，其是三个独立弹性的组合的复杂函数以及也是频率的函数。而且，实际材料通常是非线性的，并以包含一组谐波频率分量的非调谐的运动来响应，并且对于高度非线性的材料来说，非调谐的频率分量可能在响应中占主导。从所测量的驱动点响应中确定弹性的现行办法通常是拉普拉斯变换型分析的变化，其中分析驱动力与测量运动的复比，以确定材料的刚性和/或粘性。拉普拉斯(Laplace)型方法是基于正弦驱动力的数学假设、线性材料的运动的小幅度近似假设、以及稳态响应的假设。这些假设限制了这些方法对施加足够长时间以接近稳态响应的低幅度驱动力的有效性。在某种程度上，实际的测量中都以一定程度违反了这些假设的大部分。因为低幅度测量对测量误差和噪声污染更敏感，另一现行办法是根据在大范围频率内的平均值来确定弹性。现有技术中已知的另一办法是使用一个跟踪滤波器，同时衰减噪声和非调谐的频率分量。低幅度限制还限制了那些较大驱动力可能有利的领域中的有效性。例如，用于地震勘探中的地震振荡器产生非常大的驱动力，远远超过现有分析方法的低幅度限制。Hamblen等人(美国专利第6,604,432号)提供了一种使用LaPlace型分析以从测量的驱动点响应中估计土壤刚性的方法，其中所述驱动力必须限于低水平，并且所述刚性在大范围频率中被平均。问题在于实际的、不受约束材料的刚性和粘性是频率的复杂函数，并不可能由一个大范围频率中的平均值来很好地表示。此外，瞬时的和非调谐的响应分量表示关于实际的非线性弹性材料的弹性的有用信息，因此衰减这些分量将引起有用信息的丢失。瞬时分量和非调谐频率分量可以表示所述驱动点运动的测量运动中总弹性能量的相当大的部分，并且衰减这些分量将导致驱动力与运动之间的关系的表达不当。因此，分析所测量的驱动点响应以确定材料弹性的现行办法的可靠性值得怀疑，并且受到许多实质的限制。
本发明提供了使用一个非线性材料的被测量驱动点响应来确定该材料的一个或多个弹性的系统和方法。本发明利用了由一个实际的非线性材料的测量驱动点响应的瞬时分量、稳态分量、非调谐分量以及非线性响应分量表示的完整信息，而没有限制使用大幅度的力。通过组成并求解表示材料的驱动点运动的微分方程模型的时域线性方程组，来确定所述弹性。时域微分方程模型没有现有方法的数学假设和限制。根据单个的、短期的、大幅度驱动点测量，线性和非线性的特性均可被确定；大幅度和接近零幅度的特性均可被确定；并且弹性波速和弹性模量及其随深度的变化可被确定。

本发明提供了一种用于确定一个材料的一个或多个弹性的系统，该系统包含：第一输入装置，用于接收第一输入信号，其表示通过致动器在一个驱动点上施加在所述材料上的驱动力；第二输入装置，用于接收第二输入信号，其表示对应于所述驱动力的驱动点速度；第三输入装置，用于接收第三输入信号，其表示对应于所述驱动力的驱动点位移；信号生成器装置，用于对一组基函数中的每一个生成一个基函数信号，所述基函数组对应于所述驱动点运动的微分方程模型的项，并且每个基函数包含所述输入信号中任意一个或多个的函数；以及处理器装置，用于相对于所述第一输入信号来分析所述基函数信号组，以确定最符合第一输入信号的基函数信号的线性组合的系数，所述一个或多个系数然后表示所述材料的一个或多个弹性值。
在一个实施例中，本发明提供了一种用于确定一个原地材料的一个或多个弹性的系统，该系统包含：第一输入装置，用于接收第一输入信号，其表示通过动态致动器在一个驱动点上施加在所述材料上的驱动力；第二输入装置，用于接收第二输入信号，其表示对应于所述驱动力的驱动点速度；第三输入装置，用于接收第三输入信号，其表示对应于所述驱动力的驱动点位移；信号生成器装置，用于对一组个基函数中的每一个生成一个基函数信号，所述基函数组对应于所述驱动点运动的力平衡微分方程模型的项，该微分方程模型包含由驱动点位移的多项式函数和驱动点速度的多项式函数表示的非线性弹簧减震器系统，并且每个基函数包含所述输入信号中任意一个或多个的函数；以及处理器装置，用于相对于所述第一输入信号来分析所述基函数信号组，以确定最符合第一输入信号的函数信号的线性组合的系数，其中对应于位移项的每个系数因而表示所述材料的刚性特性，并且对应于速度项的每个系数因而表示所述材料的粘性特性。
本发明还提供了一种用于滤波输入信号的系统，该系统包含：相位检测器，用于生成相位采样时间信号，其表示对应于一个相位基准信号的基本上等间隔的相位的时间序列，其中在所述相位基准信号的每个周期，所述等间隔的相位包含整数N个相位间隔；采样器，用于在对应于所述相位采样时间信号的时间序列中采样输所述入信号，从而生成相位采样信号；以及滤波器，其被配置来滤波所述相位采样的信号以生成滤波信号，其中所述滤波器被配置来衰减或保持一个或多个被选择分量中的每一个。
附图说明
图1A-D描绘了一种弹性材料的若干概念上的力学模型，这为若干微分方程模型提供了概念上的基础；
图1A描绘了一种弹簧减震器模型；
图1B描绘了一种质量弹簧减震器模型；
图1C描绘了一种由一个无质量的驱动元件驱动的弹性半空间模型；
图1D描绘了一种有一个重的驱动元件的弹性半空间模型。
图2是均依照本发明构造的部分周期间隔滤波器10和误差衰减器20的示意性图示。
图3是依照本发明构造的驱动点分析器系统90的示意性图示。
图4是依照本发明构造的非调谐运动信号积分器30的示意性图示。
图5是依照本发明构造的加权和驱动力估计系统100的示意性图示。
图6是依照本发明构造的部分周期间隔频谱分析器系统110的示意性图示。
图7是依照本发明构造的驱动点信号调节器60a的具体实施例的示意性图示。
图8A是从土壤(例1)中的地震振荡器中计算的驱动点加速度信号的功率频谱图，其中所述功率频谱是由传统的FFT方法生成的。
图8B是使用与图8A中相同的加速度信号，由部分周期间隔频谱分析器系统110生成的谐波功率频谱图，其表示了由本发明提供的优势。
图9A是通过积分一个驱动点加速度信号而不利用误差衰减生成的速度信号图，其表示了积分误差的严重。
图9B是由部分周期间隔滤波器10使用图9A的速度信号作为输入，来输出的估计的误差信号图，其表示了误差信号的随机特性。
图9C是由误差衰减器20使用图9A的速度信号作为输入，来输出的误差校正的驱动点速度信号图，其表示了误差衰减器20对于减少积分误差和测量误差的好处。
图10A是由非调谐运动信号积分器30使用地震振荡器底板加速度信号作为输入，来输出的误差校正的驱动点加速度信号图，其表示了在例1中描述的测试数据。
图10B是对应于10A的加速度信号的误差校正的驱动点速度信号图，其由非调谐运动信号积分器30生成。
图10C是对应于10A的加速度信号的误差校正的驱动点位移信号图，其由非调谐运动信号积分器30生成。
图10D是对应于图10A-C的驱动点运动信号的误差校正的驱动力信号图，其表示了在例1中描述的测试中由地震振荡器施加给土壤的扫频力。
图11A表示与基于模型A的线性系统解决方案的参数系数合成的最佳拟合力相比，图10D的驱动力信号的一部分，其表示了对线性模型的拟合优度。
图11B表示与基于模型B的线性系统解决方案合成的最佳拟合力相比，与图11A相同的驱动力，其表示了对一个对称的非线性模型的拟合优度。
图11C表示与基于模型C的线性系统解决方案合成的最佳拟合力相比，与图11A相同的驱动力，其表示了对一个具有依赖位移的阻尼的不对称非线性模型的拟合优度。
图12是从基于模型A和B的解决方案中合成的力量-位移曲线图，其表示了使用模型B的解决方案的非线性。
图13是从基于模型A和B的解决方案中合成的刚性相对于弹力曲线图，其表示了在低力量水平时，非线性模型B对于确定刚性的好处。
图14A是由本发明用于非线性弹性模型的系统和方法确定的一阶刚性图，其表示了在图10D的力量施加期间，土壤刚性随时间的变化。
图14B是对应于与图14A相同的驱动力和相同的模型的一阶粘性图，其由本发明的系统和方法确定，表示了随时间的大变化。
图14C是基于图14A-B中的数据的刚性对粘性的比率图，其表示了随时间的复杂的变化。
图15是将例1的实验结果与弹性半空间理论相比较的图，其表示了结合弹性理论的所有优势可以确定剪切波速度。
图16是根据图14C的数据确定的剪切波速度的深度轮廓的图，其表示了由本发明的系统和方法提供的优势。

1、描述本发明的术语
用于本发明的描述中的术语应被理解为有下文描述的意义：
致动器
致动器是一种用于生成机械力，或用于同时生成机械力和机械运动的设备。当致动器与衬底材料接触时，在接触表面区域中，由致动器生成的力量作用在衬底材料上。致动器具有驱动元件，是一个致动器单元，具有一个表面用于接合衬底材料的所述接触表面区域，其中致动器在所述表面上施加驱动力。致动器可以是一个静态致动器或一个动态致动器。
衬底材料
衬底材料是一种弹性材料，在其上致动器施加一个力。在接触表面区域中，致动器在衬底材料上施加力。衬底材料不被认为是致动器的一部分。
接触表面区域
接触表面区域是所述衬底材料的表面区域，在该区域所述材料与所述致动器驱动元件接合。在接触表面区域中，致动器输出力作用在衬底材料上。接触表面区域具有规定的表面区域大小。接触表面区域的规定表面区域大小与致动器的驱动元件的规定表面区域大小相同。假定所述接触表面区域上的点基本上与所述驱动元件中的对应点共享相同的运动。不必使接触表面区域的所有点与致动器驱动元件接触，但衬底材料的接触表面区域的一部分足以被使致动器接合，从而在衬底材料上施加驱动力。衬底材料的接触表面区域可以是材料主体的外表面区域，或者可以是在衬底材料主体内部之内的钻孔或其它洞穴或空腔的表面区域。
动态力
动态力是一种随时间而变化的机械力。为了本发明的目的，动态力指的是随时间而变化的变形力，以便净力在力量施加的时间间隔上抵消，以便当撤去动态力时，该力量所作用的材料主体保持基本没有净速度或净加速度。动态力包含一个或多个下述分量频率：单个频率分量、连续范围的频率、一组不同的频率、一组不同频率范围、多个频率分量的叠加或其组合。扫频力、脉冲力、伪随机的频率力以及噪声突发脉冲力是各种各样的动态力。
驱动力
驱动力包含由致动器在衬底材料上在接触表面区域中施加的动态力。驱动力是有大小、方向以及作用点的矢量力。驱动力的方向包含六个自由度：一个法向力分量、两个正交的剪切力分量、一个扭转力分量以及两个正交的摆动力分量。法向力是在垂直于接触表面区域的方向上作用的力。剪切力是在平行于接触表面区域的方向上作用的力。扭转力是绕着垂直于接触表面区域的轴作用的旋转力。摆动力是绕着平行于接触表面区域的轴作用的旋转力。驱动力包含所述六个分力中的一个或多个的组合。组合驱动力可被分离成各个表示法向、剪切、扭转以及摆动的各个分量的分力。驱动力还可被表示为驱动压力或驱动应力，其通过接触表面区域的规定表面区域大小所述驱动力的大小，以生成表示关于单位面积上的力的压力或应力值。
作用在衬底材料上的驱动元件的驱动力与衬底材料作用在驱动元件上的力相等且相反。因此，衬底材料作用在驱动元件上的力在此被分类为驱动力的一个具体实施例，其中该驱动力由负数的缩放因子来缩放。
驱动力的作用点是驱动点。
驱动力信号是表示驱动力的信号。
驱动点
术语“驱动点(driving point)”和“驱动的点(driving-point)”描述了驱动力作用在衬底材料上的作用点的位置。驱动点是致动器在衬底材料上施加驱动力的接触表面区域。驱动点本身并非单个的点；驱动点具有对应于致动器的驱动元件的规定表面区域大小的规定的表面区域大小。驱动点还被称为驱动点位置。驱动点位置是在所述衬底材料的主体上或之内的驱动点的位置。
源位置
在一个实施例中，驱动点位置在现有技术中也被称为源位置。
驱动点运动
驱动点运动是致动器所施加对应驱动力的驱动点的运动，其中所述运动是在所述对应驱动力的作用下生成的。在基本上相同的位置和时间确定所述驱动点运动和所述对应驱动力，所述位置是衬底材料的接触表面区域，并且所述时间是施加驱动力的时间。驱动点运动是形变运动，其表示衬底材料响应于驱动力的形变。驱动点运动是时间的矢量函数，其有大小和方向，且包含六个运动分量中任意一个或多个的矢量和：三个正交的位移分量和三个正交的旋转分量。
驱动点运动包含任意下述种类的驱动点运动：驱动点加速度、驱动点速度、驱动点位移或驱动点旋转。
如技术中众所周知的，三种不同的驱动点运动的任意一个——加速度、速度或位移——可被用于通过适当的积分或微分，来确定其它两个。因此，在一个实施例中，驱动点运动可由三种不同的驱动点运动——驱动点加速度、驱动点速度或驱动点位移的任意一个的表达式来表示。
驱动点位移是形变位移，其是相对于衬底材料的主体从一个起始位置移动所述接触表面区域的距离。起始位置通常是所述接触表面区域在驱动力施加之前基本上静止的位置。驱动点位移表示由所述对应驱动力引起的所述衬底材料的形变。所述驱动点位移包含一个法向位移分量、在第一剪切方向上的剪切位移分量、在垂直于第一剪切方向的第二剪切方向上的第二剪切位移分量、或任意其组合的矢量和。超过一个运动分量的组合的驱动点位移可被分离成各个位移分量，并且每个独立的位移分量可作为单个分量驱动点位移而被独立地分析。
驱动点速度是一种驱动点运动。驱动点速度是驱动点位移中的时间变化率。
驱动点加速度是一种驱动点运动。驱动点加速度是驱动点速度中的时间变化率。
如果在基本上不同于施加驱动力的接触表面区域的位置上，或者在基本上在施加对应驱动力的时间之后的时间，确定衬底材料的形变运动，那么所述运动由术语“转移点运动(transfe-point motion)”和“转移点响应(transfer-point response)”来描述。转移点运动和转移点响应包含弹性扰动运动，其在被测量之前已从驱动点通过弹性材料移动了一段距离。
驱动点响应
驱动点响应包含驱动点运动和对应的驱动力。在一个实施例中，驱动点响应由一组两个不同的信号来表示，所述组包含一个表示所述驱动力的驱动力信号，以及一个表示对应于所述驱动力的驱动点运动的驱动点运动信号。
非调谐的
非调谐的信号包含在所述信号的基础周期分量的多个谐波上的多个谐波频率分量的叠加。非调谐的信号是周期的，但并非正弦的。
任何包含在基础周期分量的多个谐波上的多个谐波频率分量的叠加的力、运动或信号可被分类为非调谐的。
响应于周期驱动力，非线性弹性材料的驱动点响应包含一个非调谐的响应，其中驱动点运动是包含所述对应驱动力的频率分量的诸个谐波上的多个谐波频率分量的叠加的非调谐运动。
运动
运动是一个质点在空间中的位置作为时间的函数的机械运动，其包含加速度、速度、位移或旋转。位移是从一个起始位置移动质点的距离，所述起始位置通常是质点静止时的位置。速度是位移的时间变化率。加速度是速度的时间变化率。运动是时间的矢量函数，具有大小和方向。
驱动元件
驱动元件是致动器的元件。驱动元件是具有表面的元件，所述表面接合衬底材料的接触表面区域，在所述表面上致动器施加驱动力。驱动元件在接触表面区域上向衬底材料施加驱动力。驱动元件具有规定的表面区域大小，是所述驱动元件接合的接触表面区域的表面区域大小。驱动元件的规定表面区域大小相当于衬底材料的接触表面区域的规定表面区域大小。通常假定驱动元件的接触表面基本上作为刚体来移动，尽管驱动元件的一些弯曲可能发生。
当驱动元件向一个弹性材料的接触表面区域施加驱动力时，弹性材料的驱动点运动被耦合到所述驱动元件的运动。除非在此另作说明，否则假定衬底材料的接触表面区域的驱动点运动是与所述驱动元件的运动基本上相同的运动。在所述驱动元件的运动和所述弹性材料的驱动点运动之间的相似度取决于耦合的程度。所述驱动元件到所述接触表面区域的耦合可以是完整的或部分的。
在一个实施例中，驱动元件可被附着装置牢固地附着到衬底材料上。
在另一实施例中，通过施加基本上独立于所述致动器驱动力作用的静态压力，可以使驱动元件保持与衬底材料的表面接触。在该实施例中，所述驱动元件对所述接触表面区域施加的合力是所述静态力加上作用在接触表面区域上的致动器驱动力的总和。当静态压力和致动器驱动力的总和为零总和时，致动器驱动元件可能与衬底材料接触不良，并且驱动元件的运动可能变得与衬底材料的运动相分离。静态力在现有技术中也被称为“压紧力”或“压紧重量”。根据底板与压紧装置的分离程度，驱动元件的运动可被部分地传输到压紧装置，以产生一个压紧力的动态分量。由压紧装置产生的动态力分量包含施加给驱动元件的总驱动力的一个分量。如果压紧力的动态分量相当大，那么它可被量化并被包括作为所述驱动力的一个分量。压紧力的静态分量并未被认为是驱动力的一部分，并且所述驱动力产生一个驱动点响应，其独立于静态压紧力而被分析。
驱动元件有机械惯性质量。驱动元件质量是驱动元件的惯性质量和所有其它牢固地附着到驱动元件或对驱动元件加速度的惯性阻力有贡献的致动器元件的惯性质量的总和。
驱动元件也被称为底板。
动态致动器
动态致动器是产生动态驱动力的致动器。动态致动器向衬底材料施加一个动态驱动力。动态致动器可以是受控制的或不受控制的。受控制的动态致动器具有用于控制致动器输出的控制系统。
往复运动致动器
往复运动致动器是一种反作用式(reaction type)动态致动器，其中致动器输出力是由反作用物质和底板的往复运动产生的。反作用物质是由致动器驱动的惯性质量，反作用物质的往复运动将引起一个对底板起作用的往复力。底板是所述往复运动致动器的驱动元件。反作用物质运动和底板运动之间的关系是剧烈变化的，并且取决于各种因素，包括但不限于致动器驱动装置的响应、将反作用物质连接到底板的装置、运动的频率分量、以及衬底材料的响应。
反作用物质有惯量质量。反作用物质的惯性质量是反作用物质单元的惯性质量和所有其它牢固地附着到反作用物质单元或对反作用物质加速度的惯性阻力有贡献的致动器元件的惯性质量的总和。
相对位移
相对位移是在往复运动致动器中反作用物质位置相对于底板位置的移动的表示。在往复运动致动器中，随着反作用物质和底板进行往复运动，相对位移是参照静止时在反作用物质和底板之间的初始间隔来衡量当它们运动时其间的间距。相对位移是一种运动。相对位移信号是表示往复运动致动器的相对位移运动的信号。相对位移信号是一种运动信号，并且是一种致动器输出。
伺服液压致动器
伺服液压致动器是一种往复运动致动器，其中驱动反作用物质和底板的往复运动的动力是由伺服阀控制的液体的液压。
电子动态致动器
电子动态致动器是一种往复运动致动器，其中驱动反作用物质和底板的往复运动的动力是电磁力。
地震振荡器
地震振荡器是一种受控制的往复运动致动器，普遍地用于地球物理行业。在一个实施例中，地震振荡器是伺服液压致动器。“剪切波振荡器”包含具有以产生剪切力为目标的致动器的地震振荡器的实施例。“P波振荡器”包含具有以产生法向力为目标的致动器的地震振荡器的实施例。地震振荡器在现有技术中也被简称为振荡器。术语“地震振荡器”和“振荡器”在现有技术中还用于指所述致动器以及在其上安装致动器的车辆。为了本发明的目的，术语“地震振荡器”和“振荡器”指的是所述致动器。
海洋振荡器
海洋振荡器是一种动态致动器，普遍地用于地球物理行业以在水体中产生动态驱动力。
旋转质量致动器
旋转质量致动器是一种动态致动器，其中致动器输出是由一个或多个偏心质量的转动产生的。旋转偏心质量的向心加速度产生一个振荡输出力，随偏心质量的旋转周期而振荡。可以使用一个或多个旋转质量，并且所述致动器输出力是每个旋转质量的输出力的矢量和。当使用多于一个旋转质量时，每个质量的旋转轴在方向、位置或其组合上可以是不同的。在旋转质量致动器的一个实施例中，以相同的速度在相反的方向上旋转两个有平行旋转轴的偏心质量，从而产生被极化的净输出力振荡，其中极化取决于两个质量的旋转的相对相位。轨道振荡器是旋转质量致动器的实施例。
压电致动器
压电致动器是用于在声波和超声波频率产生驱动力的动态致动器。压电致动器包含被电信号动态地变形以产生输出力的压电材料。压电致动器的实施例是超声波传感器。
脉冲致动器
脉冲致动器是产生脉冲驱动力的动态致动器。在一个实施例中，脉冲力是由脉冲元件作用在一个独立的底板元件上而产生的，并且由底板将驱动力施加在衬底材料上。在另一实施例中，脉冲元件直接向衬底材料施加驱动力。落重法致动器、加速落重法致动器以及电磁脉冲致动器是脉冲致动器的实施例。脉冲致动器可以配备有感应装置，以测量由脉冲产生的驱动力。
致动器输出
致动器输出是由致动器产生的运动或力的表示。致动器输出包含各种表示由致动器或其元件产生的运动、力、压力或应力的测量的任意一种，包括但并不限于：
■由致动器驱动元件施加在衬底材料上的驱动力；
■由衬底材料在致动器驱动元件上施加的力；
■对于往复运动致动器，反作用物质加速度、速度或位移；
■驱动元件加速度、速度或位移；
■驱动点加速度、速度或位移；
■加权和力，是底板加速度乘以其质量和反作用物质加速度乘以其质量的总和；
■作用在衬底材料上的致动器驱动元件施加的压力；
■作用在衬底材料上的致动器驱动元件施加的应力；
■对于往复运动致动器，相对于底板的反作用物质相对位移、相对速度或相对加速度。
控制系统
致动器控制系统是控制致动器输出的装置。控制系统包含以受控方式驱动致动器以便致动器输出基本上与一个基准信号相似的装置，其中基本上相似指的是在控制系统的能力范围之内尽可能地相似。致动器控制系统可以包括相位控制、幅度控制或同时包括相位和幅度控制。如果使用相位控制，那么控制致动器以便选择的致动器输出的相位与基准信号的相位相似，其中相位相似指的是选择的致动器输出和基准信号之间基本上恒定的相位差异，所述相位差异值在一个选定值。如果使用幅度控制，那么控制致动器以便致动器输出的幅度与基准信号的幅度成比例。
在基准信号和致动器输出之间的相似度取决于致动器的能力和致动器控制系统的能力。在基准信号和致动器输出之间的相似度可以用各种方法来表示，包括但并不限于相位差异、时间延迟、幅度比或频谱密度差异。
致动器输出的若干不同测量的任意一个可被选择来控制所述致动器。
基准信号
基准信号是用在致动器控制系统中控制动态致动器以便控制致动器输出与基准信号相似的信号。基准信号表示希望由致动器在致动器输出中产生的相位和/或相对幅度。
驱动力基准信号是用于控制致动器的驱动力输出的基准信号。
在一个实施例中，基准信号是直接控制致动器的驱动信号。在另一实施例中，致动器有控制系统，其产生不同于基准信号的驱动信号，调节驱动信号以实现致动器输出相对于基准信号的改善的相似性。致动器控制系统可以包括一个反馈回路，其将基准信号与表示致动器实际测量的输出的反馈信号相比较，并调节致动器驱动以优化与基准信号相比的输出相似性。反馈回路可以包含锁相回路、幅度控制回路或同时包含锁相回路和幅度控制回路。
连续相位信号通常被用作基准信号来控制动态致动器。
基准信号的一个实施例是连续相位基准信号，其是被用作基准信号的连续相位信号。基准信号的另一实施例是包含一个频率范围的连续相位基准信号。选择所述频率范围以产生满足特定用途的需求的致动器输出。
一些通常使用的基准信号的实施例如下所示：
扫频信号；
由频率的线性函数定义的连续相位信号；
由频率的指数函数定义的连续相位信号；
由频率的对数函数定义的连续相位信号；
由频率的多项式函数定义的连续相位信号；以及
由伪随机函数定义的连续相位信号。
基准信号在现有技术中也被称为引导(pilot)信号。
对于那些熟悉现有技术的人来说，众所周知，还有可用于控制致动器的基准信号的其它实施例。
连续相位信号
连续相位信号是可被表示为相位正弦函数的信号，其中所述相位是时间的连续函数。连续相位信号由可以随时间而变化的幅度包络函数来缩放。连续相位信号在数学上可被表示为：

其中
P(t)表示连续相位信号；
A(t)表示作为时间函数的幅度包络；
(t)表示连续相位信号的相位函数，其被(以弧度)表示为作为时间连续函数的角度相位；
t表示时间；
$i=\sqrt{-1};$
eiθ＝cosθ+isinθ。
连续相位信号的角频率是角度相位函数的一阶导数：

f(t)＝ω(t)/2π(3)
其中
ω(t)＝作为时间函数的角频率(每秒的弧度)
f(t)＝作为时间函数的频率(每秒的转数)
因为频率是相位的时间导数，相位函数(t)也可以从频率函数的积分中确定：

给定频率f(t)的任意可积分的连续函数，可以从如此确定的角度相位函数(t)中生成连续相位信号。这样，连续相位信号P(t)的一个实施例可由连续相位函数(t)和连续频率函数f(t)来描述。
在连续相位信号的另一实施例中，相位(t)的连续函数可以有不连续的一阶导数，以至于频率函数f(t)是不连续的。只要相位函数(t)是连续的，它不必一定要有连续导数以被包括在本人对连续相位信号的定义中。基于有不连续一阶导数的角度相位函数(t)的连续相位信号将有不连续的频率函数。伪随机的频率信号是连续相位信号的具体实施例，其可由在一些特定例子中可能具有不连续一阶导数的角度相位函数(t)来描述。
如果相位(t)的连续函数是单调递增的，对所有时间t的值来说，一阶导数将大于零，因此连续相位信号P(t)的频率函数对所有时间t的值来说将是正频率。如果相位(t)的连续函数是单调递减的，对所有时间t的值来说，一阶导数将小于零，因此连续相位信号P(t)的频率函数对所有t的值来说将是负频率。
连续相位信号具有各种有用的特性。因为相位函数(t)在任意时间点有唯一值，连续相位信号在每个时间点有唯一的“瞬时相位”值。如果相位函数(t)有连续导数，相位函数(t)的导数在任意时间点也是唯一值，并且连续相位信号在每个时间点有唯一“瞬时频率”值d(t)/dt。如果幅度包络函数A(t)随时间而变化，变化的幅度将导致连续相位信号的幅度调制。在现有技术中已知幅度调制将引入高于和低于瞬时频率d(t)/dt的边带频率。这样，在具有变化的幅度包络函数A(t)的连续相位信号的实施例中，瞬时频率可被认为等效于包含一个或多个边带频率的调幅信号的“载波”频率。
另一有用的特性是连续相位信号有助于表示实际目标的运动。实际运动在相位上是连续的。例如，致动器的运动可以由一个连续相位信号来准确地表示。这样，连续相位信号有助于作为基准信号来控制致动器。
由此定义，对熟悉现有技术的人来说，显而易见连续相位信号可以包含单个频率、频率范围、一组不同的频率、一组不同频率范围或其组合。
连续相位信号的一个实施例包含表示方程(1)的复值连续相位信号P(t)的实部的模拟信号。另一实施例是一个表示P(t)实部的数字信号的数字采样值。连续相位信号的另一实施例是参数表示，参数值规定了定义信号的幅度函数和相位函数或频率函数。连续相位信号的另一实施例是由两个不同信号组成的解析信号：一个信号表示连续相位信号的实部，另一信号表示连续相位信号的虚部。连续相位信号的虚部包含连续相位信号的实部的Hilbert变换。该解析信号的两个信号包含一个Hilbert变换对。
对熟悉现有技术的人来说，显而易见还有其它连续相位信号的等价表示和实施例，以及连续相位信号的其它有用特性。
相位基准信号是提供给部分周期间隔滤波器作为相位基准的连续相位信号。
扫掠(sweep)、扫频、向上扫掠、向下扫掠、线性调频脉冲(chirp)
基准信号的通用实施例是由包含一定频率范围的频率的单调函数定义的连续相位信号。
基于这类频率函数的基准信号被称为“扫掠”、“线性调频脉冲”或“扫频”函数或信号。如果频率函数是单调递增的，扫掠被称为向上扫掠。如果频率的函数是单调递减的，扫掠被称为向下扫掠。术语“扫掠”和“扫频”也用于指任意表示具有频率的单调函数的连续相位函数的信号或功能。所述致动器输出在现有技术中有时也被称为扫掠。
部分周期间隔
一个周期可被均匀地分成被称为部分周期间隔的等间隔的相位，以便每个周期有整数个部分周期间隔。部分周期间隔是一个周期的整数倒数部分的相位间隔。将一个周期分成N个相等的部分周期间隔可以由下述数学表达式来描述：

，对于k＝0，1，2，3，...(6)
其中
Δ是等于一个周期的N分之一的部分周期间隔的大小，其以弧度表示为相位间隔；
是第k个间隔的末端的相位值；
N是每个周期的间隔的数量。
谐波
谐波是基频的正整数倍，所述基频是第一谐波。术语“谐波”指的是一组均基于同一基频的谐波频率；“谐波”可以包括所述组中作为第一谐波的基频。
积分信号
积分信号是通过在一个积分区间上积分另一信号而产生的信号。
2、弹性材料及特性
通过向材料主体的表面区域施加外力，可以使材料的物理实体变形。外部变形力被抵抗形变的材料的内力对抗。当撤去外力时，材料趋向于恢复并回到其初始大小和形状。形变是大小、形状或大小和形状同时变化。固体材料在大小和形状上抵抗形变；液体材料在大小(体积)上抵抗变化，但在形状上并不改变。抵抗形变并在被变形之后恢复的所述特性被称为弹性。对于液体来说，这也被称为不可压缩性。弹性材料在外部变形力被撤去之后，回到其初始大小和形状。
如果变形力足够大，在外力被撤去之后，材料可能不能完全地恢复并且可能保持形变。不引起永久形变的最大的外加应力被称为材料的弹性极限。包括岩石和土壤在内的许多材料可被认为是对于材料弹性极限之内的应力来说有弹性的(W.M.Telford等，1990，应用地球物理学第二版，剑桥大学出版社，第140页)。
大多数实际材料并非完全弹性的。当外部变形力被撤去时，材料经过一段时间可能回到其初始大小和形状，但并非即刻的。弹性响应中的延迟是由于被称为粘性的材料特性。弹性响应中的延迟的特征还在于动态变形力的能量耗散，并且它通过耗散弹性能量，在材料的自由振动上产生阻尼效应。
应当注意，在许多材料中的弹性响应的延迟和耗散并不被认为在物理上是由材料的真实粘滞性引起的。为方便起见，在此使用术语“粘性”和“粘滞的”通常指弹性材料中的振动的耗散或阻尼效应。
弹性能量耗散的一个形式包含弹性波的辐射。对于大体积的弹性材料来说，动态变形力产生穿过材料并沿着材料表面传播的弹性波，其从施加变形力的区域中辐射出来。传播的弹性波从变形力传输能量到材料主体，而远离施加变形力的区域。所述通过辐射弹性波的能量耗散在施加变形力的区域的弹性响应中产生阻尼效应。对于半无限体材料来说，弹性波的辐射表示了在弹性响应中显著的能量损失和显著的阻尼效应。所述由弹性波的辐射产生的阻尼效应被称为几何阻尼或辐射阻尼。
弹性能量耗散的另一形式是由于吸收弹性能量的材料的内部特性。由材料吸收弹性能量有时被称为内耗。弹性能量的内部吸收导致变形力的弹性响应中的阻尼效应，并且它被称为内部阻尼或材料阻尼。
因此，在此使用的被称为粘性的特性包含两种一般形式的耗散组合：辐射阻尼和材料阻尼。
弹性可被描述为对形变的抵抗。弹力是由对抗形变的弹性材料体施加的内力。线性弹力是形变的线性函数；非线性弹力是形变的非线性函数。对形变的抵抗程度的一种衡量包含被称为刚性的材料弹性。另一种衡量被称为柔性，其包含刚性的互补。对于一维的线性弹力，刚性包括变形力与相应形变位移的比例。
线性弹力对相应形变的比例系数在此指的是一阶刚性系数或刚性的一阶系数。对非线性弹力来说，刚性包含多于一个系数。非线性刚性的系数在此指的是，按照非线性度，例如二阶刚性系数、三阶刚性系数等。
众所周知，刚性可以按照力对位移的比例，或按照应力对应变的比例来表示。表示刚性的两种形式通过力所作用的区域而相互关联，并且刚性可从一种表达形式转换成另一种。同样，众所周知，可以通过使六个应力分量和六个应变分量相关的6×6的张量，以一般化的形式来表示刚性。
粘性可被描述为对形变中的变化的抵抗。粘性力是材料主体施加的内力，对抗形变中的变化。线性粘性力是形变的变化率的线性函数；非线性粘性力是形变的变化率的非线性函数。粘性力在弹力中产生延迟响应。由于延迟，形变并不与施加的变形力同相，并且粘性的特征在于在变形力和形变之间的相位滞后和/或时间延迟。
粘性在此由粘性系数来量化，其包含变形力与相应形变中时间变化率的关系。对于线性粘性力，粘性系数包含变形力与形变中时间变化率的比例。粘性的线性系数在此被称为一阶粘性系数。对于非线性粘性力，有被称为二阶粘性系数、三阶粘性系数等的相应的非线性系数。粘性系数有时也被称为阻尼系数。
弹性材料可以是线性弹性材料或非线性弹性材料。线性弹性材料以线性弹力和线性粘性力来响应变形力。非线性弹性材料以非线性弹力、非线性粘性力或其组合来响应变形力。大多数实际弹性材料是非线性的。然而，对于产生小形变的足够小的变形力来说，许多实际材料接近于线性弹性材料。线性近似被称为小幅度近似。较大的变形力可能超过小幅度近似的限制，而没有超过弹性材料的弹性极限。
作用在弹性材料主体上的变形力可以是静态力或动态力。动态力，在此被称为驱动力，导致力所作用的弹性材料的运动。因为驱动点处于运动中，运动被弹性材料的质量密度的惯性所抵抗。惯性阻力可被表示为弹性材料对动态驱动力的响应的惯性分力。
作用在弹性材料的接触表面区域上的驱动力使弹性材料变形，并且弹性材料以抵抗形变的内部弹力和抵抗形变中变化的内部粘性力来响应。因为驱动力是动态的，形变随时间而变化，这意味着接触表面区域响应于驱动力而处于运动中。变化的运动包含接触表面区域的加速度，并且接触表面区域的加速度表示有净不平衡力作用在接触表面区域上。接触表面区域进行加速度运动，因为内部粘性力和弹力并不正好平衡所施加的驱动力。因此，惯性质量密度是弹性材料的特性，其影响弹性材料对动态驱动力的响应。
驱动点响应的惯性分力表示净不平衡力，其导致所述材料响应于动态力的形变的加速度运动。
还应当指出，在基本在固有频率之下的低频率，弹性材料对动态驱动力的驱动点响应在现有技术中被称为刚性占优的响应；在接近固有频率的频率，被称为粘性占优的响应；并且在基本高于固有频率的频率，被称为质量占优的响应。该分类同时适用于线性和非线性材料和模型，并且同时适用于小幅度和大幅度驱动力。
初始静止的弹性材料以包含一个或多个固有模态频率的频率分量以及匹配所述驱动力频率分量的频率分量的初始响应来响应动态变形力的开始。所述固有模态频率的初始响应的分量被称为瞬时响应。随着在开始之后继续施加动态变形力，瞬时响应的幅度随时间而耗散，并且剩余响应包含对应于所述驱动力频率分量的频率分量。在瞬时响应降低到基本上可忽略的幅度足够长时间之后，剩余响应被称为稳态响应。初始响应包含瞬时响应和稳态响应的叠加。
非线性弹性材料对超过小幅度近似限制的驱动力的响应是非线性、非调谐的响应(A.P.French，1971，振动和波，W.W.Norton &Co.，第110-112页)。所述非线性、非调谐的响应包含驱动力所施加的接触表面区域的非调谐的驱动点运动，并且包含非线性弹性分力、非线性粘性分力或其组合。非调谐的驱动点运动包含在驱动力的频率分量的谐波上的一组频率分量的叠加。非调谐响应的基频分量与驱动力的基频分量相同，因此非调谐响应具有与驱动力的基本周期相同的基本周期。非调谐频率分量的出现是非线性弹性材料的驱动点响应的特性，并且非调谐驱动点响应的谐波频率分量的幅度和相位关系表示关于所述材料的非线性弹性的信息。
例如，Bratu示出了具有线性弹性和非线性粘性的弹性材料具有包含驱动力的奇数倍谐波的非调谐响应，但具有非线性弹性和线性粘性的材料具有同时包含奇偶数倍谐波的非调谐响应。他推断分析由谐波分量表示的信息对于评估非线性材料的特性是重要的(P.Bratu，2003，“在固定谐波激励下的非线性系统的动态响应”，FactaUniversitatis：力学、自动控制和机器人学，第3卷，第15号，第1073-1076页)。
总之，弹性材料对动态驱动力的响应包含：瞬时响应、稳态响应、线性或非线性弹性分量、线性或非线性粘性分量、惯性分量、非调谐响应或其组合。所述响应可被描述为下述中的一个或多个：线性或非线性的；非调谐的；刚性占优、粘性占优、或质量占优；在小幅度近似限制之内或超过小幅度近似限制；以及在弹性极限之内或超过弹性极限。
弹性材料主体对变形力的响应可以由被称为弹性的材料特性来描述，其表示材料的弹性、粘性、惯性质量密度或其组合。弹性可以用技术中众所周知的各种方法来表示，包括但并不限于刚性、粘性、惯性质量密度、弹性模量、弹性波速度、杨氏模量、体积模量、剪切模量、拉梅弹性常数lambda、泊松比、P波速、S波速、P波速与S波速的比以及吸收因子。
各向同性、线性、完全弹性的材料的动态弹性可以由任意三个独立的特性来充分地描述。有多于三种表达形式来表示弹性；这些不同的表示是相互关联的，并且可以通过众所周知的关系，从一种形式转换成另一种(R.E.Sheriff，2002，应用地球物理学百科词典第四版，勘探地球物理学家学会，第115-116页)。通常用于现有技术中的三个独立的特性是剪切模量、泊松比以及密度；但这三个特性可被转换成三个独立弹性的不同组合的等价表示。
通过对弹性材料主体施加变形力，测量材料的响应，并且分析响应以确定弹性的若干确定弹性的方法在现有技术中是已知的。这些方法可被分类为静态的、动态的、驱动点或转移点。
在静态方法中，变形力是基本上恒定的静态力，并且响应的特征在于分析蠕变(creep)函数或在于分析形变或应变。在动态方法中，变形力是在基本上短于测量持续时间的期间在大小上显著地变化的动态力。对动态力的响应包含力所施加的材料的动态运动，并且针对所施加的力来分析动态运动以表征所述弹性。
在驱动点方法中，对动态力的响应基本上是在施加力的同一点测量的，并且基本上与所施加的力同时测量。在转移点方法中，对动态力的响应是在弹性材料主体中的与施加力的点基本上不同的位置测量的，或者基本上在施加力之后的时间测量的，或其组合。换句话说，转移点方法测量经由弹性材料移动了一些距离的弹性形变扰动。驱动点方法在其所生成的位置测量所述形变运动。
现有技术中已知的用于分析动态驱动点响应的典型方法是通过使用通常被称为Laplace变换法的方法，在复频域中分析频率响应。Laplace变换法中的隐含假定是被分析的响应表示稳态响应，而且该响应仅仅包括在驱动力中表示的相同的频率分量(即所述响应被假定为不是非调谐的)。因此，通常的做法是使用在小幅度近似限制之内的驱动力，并且使用跟踪滤波器来衰减瞬时响应和/或具有高于基频的频率的非调谐频率分量。
然而，瞬时响应和非调谐响应表示关于实际的非线性弹性材料的弹性的有用信息，因此衰减这些分量将引起有用信息的丢失。瞬时分量和非调谐频率分量可以表示驱动点响应中的总弹性能量的相当大的部分，并且衰减这些分量将导致驱动力对响应的关系的表达不当。衰减高于基频的非调谐频率分量将导致显著地低估刚性的弹性估计。
依赖于小幅度近似，限制了可被使用的驱动力幅度和致动器类型。为了能够使用大驱动力和大致动器，本发明提供了并不依赖小幅度近似的方法。例如，在地球物理行业中，产生大幅度驱动力的大功率致动器被用于地球的地震成像，其使用显著地超过小幅度近似限制的驱动力幅度。本发明的一个目的是分析由地震振荡器产生的大幅度驱动点运动，以确定在所述作用力位置的地球的弹性，而不必依赖小幅度近似，以便如此确定的弹性更能够表示真实的弹性。
本发明提供了系统和方法，以使用由实际的非线性弹性材料的瞬时分量、稳态分量、非线性响应以及非调谐响应表示的完整信息，来产生弹性材料弹性的改善估计。本发明的系统和方法包含分析弹性材料响应于由动态致动器对弹性材料的接触表面区域施加的动态驱动力的驱动点响应。
本发明的目的
本发明的一个目的是通过分析弹性材料的驱动点响应，来确定弹性材料的一个或多个弹性，其中驱动点响应包含响应于由动态致动器对弹性材料的接触表面区域施加的驱动力而产生的驱动点运动。
本发明的一个目的是通过分析驱动点响应来确定弹性，其中驱动点响应包含下述中的任意一个或多个：
■在小幅度近似之内的线性驱动点响应；
■由显著地超过弹性材料的小幅度近似限制的驱动力产生的非线性驱动点响应，以确定线性和/或非线性弹性；
■包含在驱动力频率分量的谐波上的多个谐波频率分量的叠加的非调谐驱动点响应；
■由包含基本上低于、基本上接近和/或基本上高于弹性材料的固有频率的频率范围的驱动力产生的刚性占优、粘性占优或质量占优响应及其组合；
■瞬时响应和稳态响应的叠加；
■原地材料或材料的隔离样本的驱动点响应。
本发明的一个目的是通过分析由显著地超过非线性弹性材料的小幅度近似限制的驱动力产生的非线性、非调谐驱动点响应，来确定一个或多个表示线性小幅度近似响应的线性弹性。
本发明的一个目的是确定在施加驱动力期间，作为时间函数的弹性变化，以检测由驱动力引起的材料特性中的变化，以及确定作为频率函数的特性变化。
本发明的一个目的是通过构成表示驱动点响应的线性方程组系统，并求解该线性方程组系统以确定表示弹性的最佳拟合解，来确定弹性。
本发明的一个目的是通过提供解的零空间分量的控制的方法，来求解用于超定系统、不定系统和/或病态系统的线性方程组。
本发明的一个目的是利用非线性弹性材料的驱动点运动的非调谐特性，来估计并衰减在驱动点运动信号中和在驱动力信号中的宽带误差——包括测量误差和/或宽带积分误差——同时基本上保持表示弹性材料的非调谐响应的多个谐波分量的相位关系和幅度关系。
本发明的一个目的是估计在已知的连续相位基准信号的谐波的频率上包含驱动点运动信号和致动器输出信号在内的非调谐信号的频谱幅度和频谱相位函数。
3、通过分析驱动点响应来确定弹性
在本发明中，公开了通过分析弹性材料的驱动点响应，来确定该弹性材料的一个或多个弹性的系统和方法。
分析驱动点响应包含分析在两个或更多表示弹性材料驱动点响应的不同驱动点响应信号之间的关系——所述不同驱动点响应信号是驱动力信号、驱动点加速度信号、驱动点速度信号或驱动点位移信号。
分析驱动点响应包含确定一组最佳拟合线性方程组的系数，所述线性方程的项对应于一个微分方程的项，所述微分方程表示弹性材料的运动模型，并且如此确定的系数是表示所述弹性材料的一个或多个弹性的弹性系数。最佳拟合系数组是通过求解所述线性方程组来确定的。
在一个实施例中，求解线性方程组包含确定表示线性方程组的设计矩阵的奇异值分解，所述设计矩阵的元素表示线性方程的项。依照微分方程的项，从一个或多个不同的驱动点响应信号的值中确定设计矩阵的每个元素的值。调整奇异值分解，以排除基本上表示线性方程组的零空间的接近奇异值。使用调整的奇异值分解来确定表示弹性材料的一个或多个弹性的最佳拟合参数系数的解集。
本发明提供了一种通过分析弹性材料的驱动点响应，来确定该弹性材料的一个或多个弹性的方法，该方法包含：
(aa)构成表示弹性材料的驱动点响应的线性方程组，所述线性方程的项对应于一个微分方程的项，所述微分方程表示弹性材料的驱动点响应的模型，并且线性方程组中的每个方程表示在不同时间点估计的微分方程，从而，如此构成的方程组表示在一组不同时间点估计的微分方程；以及
(bb)求解如此构成的线性方程组，以确定一组表示线性方程组的最佳拟合解的参数系数。
在步骤(bb)中的最佳拟合解是一组表示弹性材料的一个或多个弹性的参数系数。
在包含解的组合的本发明另一实施例中，通过使用不同微分方程模型的集合，以通过由每一个不同微分方程模型确定的最佳拟合系数组的组合来确定一个或多个弹性，来重复步骤(aa)和(bb)，以增强对驱动点响应的分析。对每一个不同微分方程模型重复一次步骤(aa)和(bb)，以对每一个不同微分方程模型产生一个不同的最佳拟合解。组合不同最佳拟合解的集合，以确定表示弹性材料的一个或多个弹性的组合的解。
在另一实施例中，在驱动点响应的不同时间窗口序列中，重复对驱动点响应的分析，以产生表示一个或多个弹性的一系列值的一系列解，其中所述一系列值表示作为时间函数的弹性的值。一个时间窗口是步骤(aa)中不同时间点组的一个实施例，其中所述不同时间点组在驱动点响应的已定义的时间间隔内产生。每个不同的时间窗口表示从驱动点响应中选择的一个不同的已定义的时间间隔。
在一个实施例中，不同的时间窗口在时间上相互重叠。一系列不同的时间窗口表示驱动点响应的一系列已定义的时间间隔。对序列中的每个不同时间窗口重复一次步骤(aa)和(bb)，以对每个不同时间窗口产生一个不同的解。一系列不同的解表示作为一系列已定义的时间间隔的时间的函数的一个或多个弹性的值。
施加驱动力的致动器包含任意各种动态致动器，包括但并不限于受控致动器、轨道致动器、无源致动器、压电致动器、往复运动致动器、电子动态致动器、伺服液压致动器、地震振荡器、剪切波振荡器、P波振荡器或其组合。
驱动力可以超过弹性材料的小幅度近似限制，或者可以在弹性材料的小幅度近似限制之内。
驱动力包含动态法向力、动态剪切力、动态旋转力或其组合。作为法向、剪切和/或旋转力的组合的驱动力可被分离成不同的分力，每个表示法向、剪切或旋转力的一个分量。每个不同的分力可以作为独立的驱动力而被独立地分析。被分析的驱动力信号包含表示相应分力的带符号幅度的信号。
驱动力的大小作为时间的函数而变化，并且基本上表示驱动力大小变化的时间函数包含任意各种时间函数，包括但并不限于：包含唯一频率、频率范围、多个不同谐波频率的叠加、多个不同谐波频率范围的叠加的函数、作为非调谐函数的周期函数、扫频函数、伪随机函数、正弦函数、脉冲函数、调频函数、调幅函数、有初始幅度衰减的函数、有终止幅度衰减的函数、具有在时间上定义的期间的函数、均具有在时间上定义的期间的不同函数序列、或其组合。
被分析的驱动点响应包含下述中的任意一个或多个：
■在小幅度近似之内的线性驱动点响应；
■由显著地超过弹性材料的小幅度近似限制的驱动力产生的非线性驱动点响应；
■包含在驱动力频率分量的谐波的多个谐波频率分量的叠加的非调谐驱动点响应；
■由包含基本上低于、基本上接近和/或基本上高于弹性材料的固有频率的频率范围的驱动力产生的刚性占优、粘性占优或质量占优响应及其组合；以及
■瞬时响应和稳态响应的叠加。
出现在被分析的驱动点运动信号和驱动力信号中的非调谐频率分量基本上被保存并包括在分析中。
用于产生表示由致动器对衬底材料的接触表面区域施加的驱动力的驱动力信号的装置包含任意各种技术中众所周知的测量装置，包括但并不限于力传感器、负载单元、压力传感器或用于确定表示往复运动致动器的力输出的质量加权和的加速计系统。用于产生表示接触表面区域响应于驱动力的运动的驱动点运动信号的装置可以是任意各种技术中已知的测量装置，包括但并不限于加速度传感器、速度感传器、位移传感器或转动传感器。
在一个实施例中，用于确定驱动力的装置和用于确定驱动点运动的装置可以是现有技术中被称为阻抗头的系统的传感器元件。
在另一实施例中，用于确定驱动点运动的装置是牢固地连接到致动器的驱动元件的加速度传感器，从而该加速度传感器产生表示接触表面区域的驱动点加速度的驱动点加速度信号。
在所述分析之前，使用那些熟悉现有技术的人众所周知的刻度校正和补偿法，测量的驱动点运动信号或驱动力信号可被校正传感器刻度，并且可补偿由检测并产生该信号的测量系统的滤波器、放大器或其它元件引起的相位和幅度影响。
在所述分析之前，每个驱动点运动信号可通过使用在此描述的误差衰减器20和部分周期间隔滤波器10被滤波以衰减信号的估计测量误差和/或积分误差分量。驱动力信号可通过使用在此描述的误差衰减器20和部分周期间隔滤波器10被滤波以衰减驱动力信号的估计测量误差分量。
本发明包括使用可能超过弹性材料的线性响应范围的驱动力或驱动点运动，并且包括确定非线性弹性材料的非线性弹性。本发明包括使用含有非调谐响应分量的动态力，以及使用含有驱动力谐波上的非调谐运动分量的驱动点运动。本发明包括使用驱动力以及使用含有瞬时分量和稳态分量的驱动点运动。本发明包括使用含有低于、接近以及高于弹性材料固有频率的频率范围的驱动力。
驱动力可被施加在原地材料或在材料的隔离样本上。
弹性材料包含其弹性将被确定的材料。弹性材料可以是任意各类材料，包括但并不限于下述类型的材料：地球材料例如岩石、土壤、冲积层、地质构成、非固结沉积物、多孔材料、含有孔隙流体的地球材料、在地表上或在钻孔或其它洞穴中的原地地球材料，或其组合；建筑材料例如地基土壤、压实土、土壤填充、底土、堤坝、路基；制造材料；复合材料；颗粒状材料；粘性材料；非粘结性材料；多孔材料；含有孔隙流体的材料；不同种类的材料；各向异性材料；及其组合。弹性材料可以包含生物材料例如组织样本、骨、皮、肌肉以及包括人在内的原地活有机体。
3.1微分方程模型：步骤(aa)
在步骤(aa)中构成的线性方程组表示弹性材料的驱动点响应的微分方程模型。该微分方程表示弹性材料响应于驱动力的驱动点运动的模型。线性方程组包含一组线性方程，其中每个线性方程包含在不同时间点估计的微分方程的实施例。每个线性方程包含表示测量的驱动点响应的已知因素，并且包含表示将被确定的一个或多个弹性的未知参数系数。本发明的一个目的是通过确定线性方程组的最佳拟合解，来确定一个或多个未知参数系数的值。
各种模型和各种微分方程的任意一种可被用于构成线性方程组。各种可用于表示弹性材料的驱动点响应的模型是现有技术中已知的，包括但并不限于Maxwell模型、Kelvin模型、Voigt模型以及各向同性的弹性半空间模型。模型可以是线性模型或非线性模型。表示模型的微分方程包含力平衡方程或能量平衡方程。
应当理解在本发明的描述中，驱动点加速度α、驱动点速度v、驱动点位移x以及驱动力Fd均表示时间的函数，而且它们均共享相同的时间横坐标。应当理解驱动点加速度α、驱动点速度v、驱动点位移x以及驱动力Fd的值均表示矢量的带符号数值。驱动力Fd包含一个法向力、一个剪切力、一个旋转力或其组合。如果驱动力Fd是法向力，驱动力Fd处于垂直于接触表面区域的方向上，并且驱动点运动表示在垂直于接触表面区域的相同方向上的运动。如果驱动力Fd是剪切力，驱动力Fd处于平行于接触表面区域的方向上，并且驱动点运动表示在与驱动力Fd相同的剪切方向上，平行于接触表面区域的剪切运动。如果由致动器对弹性材料的接触表面区域施加的动态力是法向、剪切以及旋转力的组合，施加的力可被表示为六个不同正交分量的叠加——一个法向力分量、两个正交剪切力分量、一个扭转力分量以及两个正交摆动力分量。通过对独立的分量运用技术中众所周知的方法，施加的力可被分成不同的正交分力。通过本发明的方法，三个不同的正交分力的每一个可以作为驱动力Fd而被独立地分析。相似地，组合驱动点运动可被分成对应于所施加的驱动力Fd的不同正交分量的不同正交运动分量。
在本发明的一个实施例中，驱动力Fd是一个法向力并且驱动点运动是法向运动。在另一实施例中，驱动力Fd是一个剪切力并且驱动点运动是在与驱动力相同的剪切方向上的运动。
3.1.1单一自由度模型
在本发明的一个实施例中，微分方程模型是基于弹性材料的Voigt模型的。图1B描绘了一个Voigt型的模型，其表示有单一自由度的作为质量弹簧减震器系统的弹性材料。
如图1B所示，驱动力Fd作用在连接到弹簧单元2和减震器单元3(减震器单元在现有技术中有时被称为缓冲器)的质量单元4上。假定弹簧单元2和减震器单元3是无质量的。为了易于看清，弹簧单元2和减震器单元3在图中被描绘成在空间上分开的，但应被认为是沿着单一轴作用的，以便没有质量单元4的旋转。
弹簧单元2表示弹性材料的弹性，并且减震器单元3表示弹性材料的粘性。在单一自由度模型中，弹性材料的形变由质量单元4的位移来表示。驱动力Fd的施加引起质量4移动，并且质量4的运动表示弹性材料的驱动点运动。弹簧单元2施加一个对抗驱动力的弹力，并且由弹簧单元2施加的力表示由弹性材料响应于由驱动力产生的形变而施加的弹力。弹力是质量单元4的位移的函数。线性弹力与质量单元4的位移线性地成比例。非线性弹力是位移的非线性函数。减震器单元3在质量单元4上施加力，并且由减震器单元3施加的力表示由弹性材料响应于由驱动力产生的形变而施加的粘性力。粘性力是质量单元4的速度的函数。线性粘性力与质量单元4的速度线性地成比例。非线性粘性力是质量单元4的速度的非线性函数。
在线性模型中，弹簧单元2是线性弹簧，并且减震器单元3是线性减震器。在非线性模型中，弹簧单元2、抑或减震器单元3、抑或弹簧单元2和减震器单元3两者是非线性的。
本发明包括可能超过弹性材料的线性响应范围的驱动力，因此在本发明的一个实施例中，弹簧单元2和减震器单元3均是有非线性力函数的模型。
在一个实施例中，质量单元4表示“俘获的质量”，其是与驱动元件同相移动的弹性材料的体积的等效质量。在另一实施例中，质量单元4表示驱动元件的质量，并且力1被认为是作用在驱动元件上。
由非线性弹性材料施加的弹力可以由驱动点位移的多项式函数来表示。非线性弹力的一般表达式如下所示：
$F_s=-\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{k}_i{x}^i=-(k_{1}x+k_2{x}^2+k_3{x}^3+...+k_n{x}^n)---\left(7\right)$
其中
Fs表示弹力；
ki是一组表示刚性系数的常数；
x表示驱动点位移；
n是弹力方程中多项式项的数量，当n足够大时，高次项与低次项相比是可忽略的，即$\underset{i=n+1}{\overset{\infty }{\Sigma }}{k}_i{x}^i\approx 0$对于i>n。
第一系数k1表示弹性材料的一阶刚性。二阶刚性由k2表示，三阶刚性由k3表示，等等。
有各种用于现有技术中的符号规定来表示驱动力和每个驱动点运动的带符号幅值。在本发明的描述中，符号规定是，正驱动力的方向与正驱动点运动的方向相同。在本发明中描述的方程和实施例可以使用其它符号规定来描述，而没有改变本描述的精髓、范围或意义。
在方程(7)中显而易见，n＝1的情况表示线性弹性材料，并且关于弹力得到的表达式在现有技术中被称为Hooke定律：
Fs＝-k1x。                      (8)
因此很明显，线性弹性材料是非线性弹性材料的一般表示的特例。
非线性粘性力可以由驱动点速度的多项式函数来近似。非线性粘性力的一般表达式如下所示：
$F_{\nu }=-\underset{i=1}{\overset{L}{\Sigma }}{b}_i{\nu }^i=-(b_1\nu +b_2{\nu }^2+b_3{\nu }^3+...+b_L{\nu }^L)---\left(9\right)$
其中
Fv表示粘性力；
bi是一组表示粘性系数的常数；
v表示驱动点速度；
L是粘性力方程中项的数量，选择L，以便粘性力基本上由L度的多项式函数来近似。
第一系数b1表示弹性材料的一阶粘性。第二系数b2表示二阶粘性，第三系数b3表示三阶粘性，等等。
方程(7)表示由弹簧单元2施加的弹力的实施例。方程(9)表示由减震器单元3施加的粘性力的实施例。
力平衡方程是表示所有各种作用在模型单元上的力的总和的方程。对于静态模型，净力为零。对于动态驱动力，有一个净不平衡力，其产生驱动点运动。使用牛顿第二运动定律，净不平衡力等于质量和加速度的乘积。在质量弹簧减震器模型中，在质量单元4上的净不平衡力包含粘性力、弹力以及驱动力的总和。净不平衡力(被称为惯性力)引起质量单元4响应于驱动力的加速度。
对于非线性质量弹簧减震器系统来说，力平衡微分方程模型包括使驱动力等于惯性力、非线性弹力以及非线性粘性力的总和。非线性质量弹簧减震器系统的力平衡微分方程模型在数学上可被表示为如下：
$\mathrm{ma}+\underset{i=1}{\overset{L}{\Sigma }}{b}_i{\nu }^i+\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{k}_i{x}^i=F_d---\left(10\right)$
其中Fd表示驱动力，α表示驱动点加速度，m表示质量单元4的惯性质量，第一总和表示粘性力，并且第二总和表示弹力。方程(10)是一个非线性质量弹簧减震器系统的一般微分方程模型的表示。
在微分方程(10)的一个实施例中，弹性材料包含具有粘性力并且弹力近似于线性函数的线性弹性材料。如果驱动力的幅度、驱动点位移以及驱动点速度足够小以至于方程(10)的非线性项的总和是可忽略的，那么驱动点响应基本上可以由一个被称为小幅度近似模型的微分方程模型来近似。
线性质量弹簧减震器系统的力平衡微分方程模型包含使驱动力等于惯性力、线性弹力以及线性粘性力的总和。线性质量弹簧减震器系统的力平衡微分方程模型可被表示为如下：
ma+b1ν+k1x＝Fd。            (11)
因此，线性模型是由其中仅包括线性项的方程(10)表示的一般非线性模型的具体实施例。
如果驱动力是正弦驱动力并且驱动点运动是在单一频率的正弦运动，线性质量弹簧减震器模型在质量m和刚性k1中有固有的不明确性。如果驱动点位移是正弦位移x＝sin(ωt)，那么从而驱动点加速度是位移的比例函数α＝-ω2sin(ωt)＝-ω2x，其中ω表示角频率并且t表示时间。将驱动点加速度的所述表达式代入方程(11)，并整理后得出
b1ν+cx＝Fd               (12)
其中c＝(k1-ω2m)。       (13)
从方程(12)和(13)中显而易见，在正弦驱动点运动的小幅度近似线性模型的本实施例中，对于角频率ω的固定值，仅有两个独立的参数系数——这两个独立的参数系数是由b1表示的粘性系数和由c表示的包含刚性和质量的组合的组合系数。在方程(13)中产生相同c值的刚性k1和质量m的值的任意组合是等效解，其表示在使用小幅度近似线性模型时，确定刚性和/或质量的值中的固有的不明确系性。
如果角频率ω为零或接近零，那么驱动力是静态力，并且在方程(12)和(13)中参数系数c的值基本上等于一阶刚性k1。然而，随着角频率ω的增加，质量项(ω2m)的值也显著地增加，并且一阶刚性k1和质量m的值变得显著地不明确。在弹性材料的固有频率，在方程(12)和(13)中的组合系数c基本上为零值，并且驱动点响应是粘性分力占优的。对于足够大的角频率ω的值，质量项(ω2m)超过刚性项k1。
出于这些原因，弹性材料在基本上低于固有频率的低频率的驱动点响应在现有技术中被称为刚性占优的响应，在接近固有频率的频率，被称为粘性占优的响应，并且在基本上高于固有频率的频率，被称为质量占优的响应。该分类同时适用于线性和非线性材料和模型，并且同时适用于小幅度和大幅度驱动力。由于本发明的一个目的是包括使用在基本上低于、接近和/或基本上高于弹性材料固有频率的频率的驱动力，因此驱动点响应包括刚性占优、粘性占优或质量占优响应及其组合。
对于动态驱动力，驱动点运动有非零角频率ω，并且组合系数c的值是刚性k1和质量m的组合。为了充分地表示所有分力的净力，质量弹簧减震器系统的力平衡方程包括一个惯性质量分量。因此，如果在确定刚性或质量的值中固有的不明确性未被解决，使用静态力确定的刚性的值可能与使用动态驱动力确定的值显著不同，并且使用动态驱动力确定的值可能与弹性材料的实际刚性显著不同。
解决质量刚性的不明确性的一种方法是确定在驱动力频率范围内的作为角频率ω的函数的组合系数c的多个值，并且刚性k1和质量m的值可以通过使用函数c(ω)＝(k1-ω2m)来拟合参数系数k1和m而被确定。拟合频域函数以解决所述不明确性的方法包含使用正弦驱动力的频率范围，其中驱动力的频率随时间而变化，并且从而如此确定的参数表示跨越驱动力的相当大时间范围的频率范围。因此，所述频域法可以解决刚性和质量的固有的不明确性，但该方法并不更适合于确定作为时间或频率的函数的弹性中的变化，因为如此确定的特性表示相当大的时间跨度。
超过小幅度近似的驱动力产生非调谐的驱动点响应，其包含在驱动力的基频分量的谐波的多个谐波频率分量的叠加。因为驱动点运动包含一组谐波频率分量的叠加，驱动点加速度不是驱动点位移的比例函数，因此刚性和质量参数系数对非线性弹性材料的非调谐驱动点响应来说不是固有的不明确的。
因此，解决质量刚性的不明确性的另一方法包含分析实际非线性材料特有的非调谐的驱动点运动。如果基本上保持谐波分量的幅度和相位关系，那么可以分析非调谐驱动点运动以明确地确定方程(11)中的三个独立参数系数。本发明的一个优势是通过分析包含非调谐响应的驱动点响应可以确定所述弹性。
在线性模型中解决质量m和刚性k1中的固有的不明确性的另一方法是通过使用两个或更多不同微分方程模型的组合解方法，这将在本申请的其它地方描述。
如果质量单元4的加速度和质量是已知量，那么通过向微分方程(10)和(11)的右手侧移动所述惯性分力，可以构成无质量的模型，从而构成包含作用在质量单元4上的惯性力和力1的组合的驱动力。例如，如果图1B中的质量单元4的加速度和质量是已知的，那么可以从驱动力1中减去惯性分力，以产生表示作用在无质量系统上的驱动力的力。
图1A描绘了包含弹簧减震器系统的无质量模型，其中驱动力Fd作用在弹簧单元2和减震器单元3上。假定弹簧单元2和减震器单元3是无质量的。在本模型中，驱动力Fd在点8处作用在弹簧单元2和减震器单元3上，并且点8的运动表示弹性材料的驱动点运动。由弹簧单元2施加的弹力和由减震器单元3施加的粘性力等效于图1B所描述的相应力和元件。
非线性弹簧减震器系统的力平衡微分方程模型包括使驱动力等于非线性弹力和非线性粘性力的总和。非线性弹簧减震器系统的力平衡微分方程模型在数学上可被表示为如下：
$\underset{i=1}{\overset{L}{\Sigma }}{b}_i{\nu }^i+\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{k}_i{x}^i=F_d---\left(14\right)$
其中Fd表示驱动力，第一总和表示粘性力，并且第二总和表示弹力。方程(14)是非线性弹簧减震器系统的一般微分方程模型的表示。
相似地，线性弹簧减震器系统的力平衡微分方程模型包含使驱动力等于线性弹力和线性粘性力的总和。线性弹簧减震器系统的力平衡微分方程模型包含方程(14)的线性项：
b1ν+k1x＝Fd。             (15)
因此，线性弹簧减震器模型是由其中仅包括线性项的方程(15)表示的一般非线性弹簧减震器模型的具体实施例。
3.1.2弹性半空间模型
弹性材料的实际主体包含大量未被内部束缚在单一方向上移动的材料。当对一大堆弹性材料施加一个变形的驱动力时，主体以包含剪切应变、空间应变以及向材料主体和沿着材料表面传播的若干形式的弹性波的分量的形变来响应。确定弹性材料的无束缚主体的驱动点响应的运动方程是一个难题。
图1C和D表示包含一个具有单一平面的半无限体的弹性半空间模型的示意图。弹性半空间模型通常用于表示一大堆弹性材料。在图1D中，动态力9作用在与一个弹性半空间5接触的刚性质量单元7上。动态力9产生质量单元7的运动，其被耦合到弹性半空间5的运动，并且质量单元7在弹性半空间5上施加一个驱动力。由质量单元7施加的力在驱动点引起弹性半空间的形变和弹性波能的辐射。刚性质量单元7也被称为底座。在图1D中，出于说明的目的，力9被描绘成法向力，但剪切力或旋转力也可由相似的模型来表示，其中力朝着剪切方向、朝绕着一个垂直于半空间表面的扭转轴的方向、或者朝绕着一个平行于半空间表面的摆动轴的方向。
已经示出，对刚性环形底座的所有振动模式，弹性半空间的驱动点响应可由一个简单的质量弹簧减震器系统来表示：一个法向驱动力模式、一个剪切驱动力模式、一个摆动驱动力模式以及一个纯扭转驱动力模式。Richart等人总结了弹性半空间响应于由一个刚性环形底座产生的动态力的驱动点响应的若干微分方程模型(F.E.Richart，Jr等人，1970，土壤和地基的振动，Prentice-Hall，第191-230页)。
通过将质量单元7的惯性分力与动态力9相结合，质量单元7可被转换成图1C所示的在数学上无质量的驱动元件6。图1C表示由一个无质量的刚性驱动元件6施加在弹性半空间5上的驱动力1。
Richart等人示出在弹性半空间(图1D)中，刚性环形底座的运动可以由一个等效的质量弹簧减震器系统(图1B)的微分方程模型来表示。Richart等人还表示在弹性半空间(图1C)中，刚性无质量环形底座的运动可以由等效的弹簧减震器系统(图1A)的微分方程模型来表示。对于矩形底座和法向朝向的驱动力的特殊情况，Richart等人表示矩形底座的运动也可以由等效的弹簧减震器系统或质量弹簧减震器系统(图1A-B)来表示。
因此，使用具有质量驱动元件的弹性半空间模型(图1D)可以由非线性或线性质量弹簧减震器微分方程模型(方程(10)和(11))来表示。使用无质量驱动元件的弹性半空间模型(图1C)可以由非线性或线性弹簧减震器微分方程模型(方程(14)和(15))来表示。
对于弹性半空间微分方程模型，刚性系数和粘性系数是频率和半空间弹性的函数。Lysmer和Richart提出了用于法向朝向驱动力和刚性环形底座的特殊情况的弹性半空间的微分方程模型的详细描述(J.Lysmer和F.E.Richart，Jr.，1966，“底座对垂直负载的动态响应”，J.Soil Mech.and Found.Div.，Proc.ASCE，第92卷，第SM1号，一月，第65-91页)。Lysmer和Richart描述了用于无质量(图1A和C)和有质量(图1B和D)弹性半空间模型这两者的微分方程模型。对于这些微分方程模型，他们描述了表示相应刚性和粘性系数的函数。
为了使用近似于弹性半空间的一大堆弹性材料的驱动点响应来确定弹性，使用能够测量作为频率函数的刚性和粘性系数中的变化的方法是有利的，因为在弹性半空间中的刚性和粘性系数是频率的复杂函数。通过使用作为时间函数而变化的包含一个频率范围的驱动力，并且确定作为时间函数的刚性和粘性系数，本发明提供了可以确定作为频率函数的刚性和粘性系数值的系统和方法。
本发明的一个优势是使用包含瞬时分量和稳态分量的非调谐驱动点响应，可以确定作为驱动力基频的函数的非线性弹性材料的刚性和粘性值。
在例1中详细描述了从作为频率函数的刚性和粘性的变化中获得弹性的方法。
3.1.3微分方程模型的实施例
对于大驱动力，其产生超过线性模型的小幅度近似范围的驱动点响应，以至于方程(10)中的非线性项的总和是不可忽略的，需要一种非线性模型以充分地表示实际弹性材料的驱动点响应。包含一个或多个非线性项以至于L>1或n>1的方程(10)的任意实施例表示非线性模型的实施例。非线性模型的一个优势在于大驱动力和大幅度驱动点运动可被用于确定所述弹性。非线性模型的另一优势在于可以使用包含非调谐响应的驱动点响应来确定所述弹性。
在力平衡微分方程模型(10)的具体非线性实施例中，弹性材料由具有近似于到三次项的非线性函数的粘性力和弹力的非线性模型来表示，其中L＝3，n＝3，并且表示所述非线性模型的驱动点响应的微分方程为：
ma+b1ν+b2ν2+b3ν3+k1x+k2x2+k3x3＝Fd。          (16)
由方程(16)表示的微分方程模型的一个优势在于它包括使用超过弹性材料的小幅度近似范围的驱动力。另一优势在于小幅度弹性可以通过使用大幅度驱动点运动来确定，因为一阶系数b1和k1表示小幅度弹性，但这些系数的不同值可被确定为不同于本模型中的二阶和三阶参数系数。
对称模型是微分方程模型的另一实施例，其仅包含粘性分力和弹性分力的奇次项。仅包含奇次粘性项的粘性力产生作为驱动点速度的奇数对称函数的粘性力。仅包含奇次弹性项的弹力产生作为驱动点位移的奇数对称函数的弹力。对称的质量弹簧减震器系统的力平衡微分方程模型的例子可以由下述方程来表示：
ma+b1ν+b3ν3+b5ν5+...+k1x+k3x3+k5x5+...＝Fd 。         (17)
由方程(17)表示的对称模型的一个优势在于它迫使偶次系数为零值，以便最佳拟合解是仅对奇次项的最佳拟合。这是有用的，因为某些类型的弹性材料的响应是对称的。
包含粘性分力或弹性分力的偶次项的微分方程模型被称为非对称的模型。
微分方程模型的另一实施例包含粘性分力的奇次项和弹性分力的所有项。粘性奇次微分方程模型可以由下述方程来表示：
ma+b1ν+b3ν3+b5ν5+...+k1x+k2x2+k3x3+...＝Fd。         (18)
由方程(18)表示的粘性奇次模型的一个优势在于它表示某些种类的弹性材料的响应，其中粘性力基本上由奇次项支配，但弹力包含来自偶次和奇次项这两者的影响。
一般来说，微分方程模型的不同实施例可以通过仅选择由方程(10)表示的一般非线性质量弹簧减震器模型或由方程(14)表示的一般非线性弹簧减震器模型的所需项来构成。其它不同实施例可以通过对某些选择的参数系数指定一个已知的恒定值来约束所述模型而构成。
微分方程模型的另一实施例适用于由往复运动致动器产生的驱动力。往复运动致动器的驱动力输出可被估计为反作用物质加速度和底板加速度的加权和Fd＝-(MRαR+MBαB)，其中MR和MB分别表示反作用物质和底板的惯性质量；并且αR和αB分别表示反作用物质和底板的加速度。注意假定底板加速度αB等于驱动点加速度α。将加权和驱动力的表达式代入方程(16)，并得出下述表示微分方程模型的实施例的方程：
(m+Mb)a+b1ν+b2ν2+b3ν3+k1x+k2x2+k3x3＝-MRαR              (19)
将往复运动致动器的加权和驱动力的表达式代入方程(12)，并得出下述表示小幅度近似模型的另一实施例的表达式：
c2a+b1ν＝-MRαR               (20)
其中$c_2=(m+M_B)-\frac{k_1}{{\omega }^2}.---\left(21\right)$
由用于往复运动致动器的方程(19)和(20)表示的模型的一个优势在于底板加速度仅在方程的一项中进入模型。在由方程(12)和(16)表示的模型中，往复运动致动器的底板加速度出现两次——一次在左手侧作为驱动点加速度，此外，作为包含右手侧函数的加权和驱动力Fd的隐含分量。
微分方程模型的另一实施例是根据经验的微分方程模型，其是一个非严格地来源于力学模型的模型。表示弹性材料的根据经验的微分方程模型的一个实施例由下述方程表示：
$\mathrm{ma}+\underset{i=1}{\overset{L}{\Sigma }}{b}_i{\nu }^i+\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{k}_i{x}^i+c_1\mathrm{\alpha x}+c_2\mathrm{\alpha \nu }+c_3\mathrm{\nu x}+c_4=F_d---\left(22\right)$
其中c1、c2、c3分别表示代表基函数αx、αν和vx的项的参数系数；并且c4表示在驱动力Fd中的恒定值分量(即DC、零频率或静态分量)的值。通过增加三个运动乘积项和恒定值的项，从方程(10)中得出方程(22)。该模型是有用的，因为在驱动点响应信号中包含残余恒定值偏移或其它非线性影响的驱动点响应的情况下，它提供了改善的拟合。
3.1.4能量平衡微分方程模型
可以表示驱动点响应的微分方程模型的另一种类是能量平衡方程。能量平衡方程是表示模型的单元的各种形式能量含量的总和的方程。可以进入能量平衡方程的能量形式包含机械能、动能、势能、耗散的能量或其组合。能量平衡方程根据的是能量守恒定律。
在包含机械能守恒的实施例中，弹性材料的驱动点运动的总机械能含量可被表示为势能和动能的总和。势能是保存在弹性材料的弹性形变中的能量，并且动能是材料的机械运动的能量。势能可以从由弹力完成的功的积分中确定，其中功是力和距离的乘积。使用方程(7)来表示弹力，弹性势能可以由下述方程来表示：
$U=\underset{x}{\int }{F}_s\mathrm{dx}=-\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\underset{x}{\int }{k}_i{x}^i\mathrm{dx}$
$U=-(\frac{1}{2}{k}_1{x}^2+\frac{1}{3}{k}_2{x}^3+\frac{1}{4}{k}_3{x}^4+...+\frac{1}{n+1}{k}_n{x}^{n+1})---\left(23\right)$
其中U表示作为时间的函数的弹性势能，并且Fs表示弹力，其可由方程(7)来表示。基于非线性质量弹簧减震器模型的能量平衡微分方程的一个实施例包含：
$\frac{1}{2}m{\nu }^2+\frac{1}{2}{k}_1{x}^2+\frac{1}{3}{k}_2{x}^3+\frac{1}{4}{k}_3{x}^4+...+\frac{1}{n+1}{k}_n{x}^{n+1}=E---\left(24\right)$
其中E表示总机械能，左手侧的第一项(mv2/2)表示质量单元的动能，并且左手侧的其余项表示势能。通过进行关于在方程右手侧的总能量E的变化的假设，该微分方程(24)可被用于确定质量系数m和刚性系数组ki的值。
基于能量的微分方程模型的另一实施例可以由方程(24)的代数移项生成：
$\frac{1}{2}\left(\frac{k_1}{m}\right)x^2+\frac{1}{3}\left(\frac{k_2}{m}\right)x^3+\frac{1}{4}\left(\frac{k_3}{m}\right)x^4+...+\frac{1}{n+1}\left(\frac{k_n}{m}\right)x^{n+1}-\frac{E}{m}=-\frac{1}{2}{\nu }^2---\left(25\right)$
在该实施例中，方程(25)的右手侧是从驱动点速度中确定的已知值，并且所有未知系数都在左手侧。在左手侧，未知系数(k1/m)以角频率的平方(每秒平方的弧度平方)为单位，并且表示弹性材料的特征频率的平方。该特征频率与质量弹簧减震器模型的自由振动的固有频率成比例。
使用一个多项式函数来估计在方程(25)中能量项的值，得出能量平衡微分方程模型的另一实施例：
$\frac{1}{2}\left(\frac{k_1}{m}\right)x^2+\frac{1}{3}\left(\frac{k_2}{m}\right)x^3+...+\frac{1}{n+1}\left(\frac{k_n}{m}\right)x^{n+1}-\frac{e_0}{m}-\frac{e_{1}t}{m}-\frac{e_2{t}^2}{m}=-\frac{1}{2}{\nu }^2---\left(26\right)$
其中作为时间t的函数的总机械能E由n度的多项式的项来表示：
E＝e0+e1t+e2t2+...+entn      (27)
其中e0，e1，e2，...，en表示多项式的系数。在其它实施例中，各种其它时间函数的任意一个可用于表示微分方程(26)的总能量项的值。
由方程(24)、(25)、和(26)表示的微分方程模型的实施例的一个优势在于它们均提供独立于粘性的模型。微分方程模型(24)、(25)和(26)的另一优势在于驱动力的值并不进入方程，因此不必获得驱动力的值以使用这些模型来确定一个或多个弹性。
在方程(24)、(25)和(26)中，能量项是将通过求解基于所述模型的线性方程组来确定的未知参数系数。然而，在本发明的另一实施例中，可以测量表示能量项的值，以生成一个能量平衡微分方程模型，其中能量项是已知量。由驱动力传递给弹性材料的总能量是由驱动力完成的功，其中功是力和微分位移的乘积：
ET＝∫Fddx                       (28)
其中ET是由驱动力Fd完成的功传递给弹性材料的总能量。微分位移dx可被表示为速度和时间微分的乘积：dx＝vdt。替换dx得出方程
ET＝∫Fdνdt                      (29)
以便通过驱动力信号和驱动点速度信号的乘积的时间积分，可以确定作为时间函数的输入系统的总能量。
传递给弹性材料的总能量的一部分由于材料的粘性而耗散。总能量是机械能和耗散能量的总和。耗散能量是由粘性力完成的功。耗散的能量可以通过使用一个力平衡微分方程模型来确定粘性系数并且使用该粘性系数来确定粘性力而被确定。如此确定的粘性力可被乘以速度，并对时间积分以生成表示作为时间的函数而耗散的功率的信号。可以从总能量中减去如此确定的耗散功率，以生成机械能的估计值。如此生成的机械能的值可被用作能量平衡方程(24)的实施例中的已知量，其中右侧函数是已知的机械能。
在组合的解中，通过两个或更多不同微分方程模型的解的组合，可以确定未知参数系数的值，以生成弹性的组合的估计值。
在组合的解的一个实施例中，线性模型(12)中的刚性和质量值的不明确性可以通过组合能量平衡模型(25)的解来解决。线性模型(12)的解确定一阶粘性系数b1和组合系数c1的值。能量平衡模型(25)的解确定固有基频系数(k1/m)的值，其通过使用组合系数c1的表达式(13)，可被用于确定刚性和质量的明确的值：
$m=\frac{c_1}{\left(\frac{k_1}{m}\right)-{\omega }^2},$ $k_1=\frac{c_1}{1-\left(\frac{{\omega }^2}{(k_1/m)}\right)}.---\left(30\right)$
在这里描述的微分方程模型的各个实施例中，已知量包括一个或多个表示驱动点响应——驱动力、驱动点加速度、驱动点速度以及驱动点位移——的信号的已知值。未知量包括弹性参数系数——质量、刚性和粘性的系数。
3.2构成线性方程组：步骤(aa)
从在此描述的在上述方程(10)、(11)、(12)、(14)(15)(16)、(17)、(18)、(19)、(20)、(22)、(24)、(25)以及(26)中的微分方程模型的各个实施例中可以看出，微分方程模型可以由线性组合项和右手侧的函数来表示：
c1Z1(t)+c2Z2(t)+...+cNZN(t)＝y(t)     (31)
每一项可被表示为时间的函数，所述时间的函数包含一个未知参数系数和驱动点响应信号的一个已知函数的乘积。每个时间的函数在数学上可以由形式为cjZj(t)的项来表示，其中cj表示未知参数系数并且Zj(t)表示驱动点响应信号的已知函数。驱动点响应信号Zj(t)的每个函数被称为基函数，并且微分方程可被表示为基函数组的线性组合。对微分方程模型的每一项有一个基函数。每个基函数包含一个或多个已知的驱动点响应信号的函数。
基函数Zj(t)可以是时间的线性或非线性函数，包括但并不限于多项式函数、三角函数、指数函数以及对数函数。基函数Zj(t)可以是时间的常数函数。描述“线性方程”和“线性组合”指的是未知参数系数cj的线性相关性。
因此，在一个实施例中，微分方程模型包含一个右手侧的函数和一个表示微分方程模型的项的基函数组的线性组合。线性组合的系数是未知参数系数，它的一个或多个表示弹性材料的弹性。在该实施例中，微分方程模型在数学上可以由形式为
$\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{c}_j{Z}_j\left(t\right)=y\left(t\right)---\left(32\right)$
的方程来表示，其中y(t)表示右手侧的函数，Zj(t)表示对应于微分方程N个项的N个基函数的组，并且cj表示N个未知参数系数。
例如，方程(16)是微分方程模型(32)的实施例，其中N＝7；右手侧的函数y(t)是驱动力Fd；七个基函数组Zj(t)为
α，v，v2，v3，x，x2，x3；     (33)
并且七个未知参数系数cj为
m，b1，b2，b3，k1，k2，k3。         (34)
在另一例子中，方程(26)是微分方程(32)的实施例，其中右手侧的函数y(t)是(-v2/2)；基函数组Zj(t)为
$\frac{x^2}{2},\frac{x^3}{3},\frac{x^4}{4},···,\frac{x^{n+1}}{n+1},-1,-t,-t^2---\left(35\right)$
并且未知参数系数cj为
$\left(\frac{k_1}{m}\right),\left(\frac{k_2}{m}\right),\left(\frac{k_3}{m}\right),···,\left(\frac{k_n}{m}\right),\frac{e_0}{m},\frac{e_1}{m},\frac{e_2}{m}.---\left(36\right)$
在本发明的一个实施例中，在步骤(aa)中构成线性方程组包含在一组M个不同时间ti估计所述微分方程，以生成一组M个表示微分方程的不同方程。在该方程组中，每个不同方程表示在M个不同时间组中的一个不同时间ti估计的微分方程，所述不同时间是基函数和右手侧函数的横坐标。如此生成的方程组是表示弹性材料的驱动点响应的模型的线性方程组。该线性方程组在数学上可以由一组形式为
$\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{c}_j{z}_{\mathrm{ij}}=y_i$，对于i＝1，2，3，...，M              (37)
的方程来表示，其中
cj是由M个方程组相互关联的N个未知参数系数，每个系数cj对应于微分方程(32)的第j项的未知系数；
zij是从对应于微分方程的项的基函数中确定的已知值，每个zij表示在时间ti估计的微分方程(32)的第j项的基函数的值，以至于zij＝Zj(ti)；
yi是组成方程的右手侧的M个已知值，每个yi是在时间ti估计的右手侧函数的值，以至于yi＝y(ti)；
i表示方程编号，并且它是zij的第一下标；
j表示在微分方程中项的位置的项编号；
N表示微分方程中的项的数量。
方程组(37)是有N个未知量的M个线性方程的组，并且组(37)可以由展开形式的等价方程组来表示：
c1z11+c2z12+c3z13+...+cNz1N＝y1
c1z21+c2z22+c3z23+...+cNz2N＝y2
c1z31+c2z32+c3z33+...+cNz3N＝y3

c1zM1+c2zM2+c3zM3+...+cNzMN＝yM             (38)
方程组(38)中的每个方程表示在不同时间点ti估计的驱动点响应的运动的微分方程。方程组(38)是通过在一组时间ti中的每个时间，根据微分方程模型(32)，估计基函数zij＝Zj(ti)和相应右手侧的值yi＝y(ti)而构成的。
时间ti的组跨越被称为时间窗口的定义的期间的时间范围，其有一个开始时间和一个结束时间。时间窗口可以包括可得到的驱动点响应信号的整个期间，或者时间窗口可以具有仅包括可得到的驱动点响应信号的一部分的较短期间。
不同时间点ti的组包含下述中的任意一个或多个：有基本上相同时间间隔的时间序列；有基本上不同时间间隔的时间序列；非时间序列顺序的时间组；包括相当大的时间间隙的时间组；和/或其组合。在时间间隔的均匀性、时间的顺序或时间间隔的模式中没有限制。在一个实施例中，时间ti的组表示在基本上相同时间间隔采样的驱动点响应信号的样本序列的时间。在一个非均匀的实施例中，时间ti的组可以表示在一系列由方程(61)中的tk表示的部分周期间隔采样的相位采样信号的一系列部分周期间隔时间。在另一实施例中，时间ti的组可以是无关的非均匀的时间间隔。
选择方程组中方程的数量M，以便方程的数量M大于或等于方程中未知系数的数量N(M≥N)。如果方程的数量大于未知系数的数量，线性方程组是超定的，并且解表示对于由估计方程的时间ti的组表示的时间间隔的最佳拟合解。增加方程的数量可以生成一个改善的解，因为消除了驱动点响应信号中的噪声和剩余误差。然而，如果在驱动点响应的期间，弹性显著地随时间而改变，并且如果增加方程的数量需要增加由时间ti的组表示的时间窗口的期间，那么增加时间窗口的长度将减小作为时间函数的弹性中的变化的分辨，其中所述解表示变化的弹性的时间平均值。增加方程的数量还增加了要求构成并求解线性方程组的处理。方程的数量M是根据特殊应用的噪声消除要求、特殊应用的时间分辨要求以及在特殊实施系统中可获得的资源来选择的。
出于清楚的目的，下述例子包含线性方程组的一个具体实施例，其中该组表示由微分方程(16)描述的驱动点响应，微分方程(16)是在M个不同时间ti的组估计的，以对于i＝1，2，3，...，M，生成M个不同方程的组：
mα1+b1ν1+b2ν12+b3ν13+k1x1+k2x12+k3x13＝F1
mα2+b1ν2+b2ν22+b3ν23+k1x2+k2x22+k3x23＝F2
mα3+b1ν3+b2ν32+b3ν33+k1x3+k2x32+k3x33＝F3

mαM+b1νM+b2νM2+b3νM3+k1xM+k2xM2+k3xM3＝FM                            (39)
其中
Fi表示在时间ti的驱动力的值；
αi表示在时间ti的驱动点加速度的值；
vi表示在时间ti的驱动点速度的值；
xi表示在时间ti的驱动点位移的值；以及
m，b1，b2，b3，k1，k2，k3表示在微分方程(16)中的参数系数的未知值。
方程组(39)中的每个方程表示在一组时间ti中的不同时间估计的微分方程(16)。在组(39)中，在方程右手侧的驱动力F1，F2，F3，...，FM的已知值对应于组(37)中的方程右手侧的yi。组(39)中的值αi，νi，νi2，νi3，xi，xi2，xi3表示在一组时间ti估计的基函数，并且对应于组(37)中的基函数值zi1、zi2、zi3、zi4、zi5、zi6、zi7。组(39)中的未知参数系数m，b1，b2，b3，k1，k2，k3对应于组(37)中的未知系数cj。因此，方程组(39)是一般线性方程组(38)根据微分方程(16)的具体实施例，其中N＝7，有七个基函数和七个表示弹性材料弹性的未知参数系数。
注意方程(39)在x和v中是非线性的，但对于未知系数cj是线性的。在本发明的描述中，术语“线性方程组”指的是在方程组(37)中的未知参数系数cj的线性相关性；已知的基函数zij可以是或者可以不是线性的。
在一个实施例中，线性方程组(37)可以由一个矩阵形式的等价方程来表示：
Z·C＝Y                                      (40)
其中升高的点表示矩阵乘法，Z表示组(37)左手侧的基函数zij的值的M×N矩阵，Y表示组(37)右手侧的M个已知值yi的一列矩阵，并且C表示一组N个未知系数cj的一列矩阵：
$C=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\\ .\\ .\\ .\\ c_N\end{array}\right]$ $Y=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\\ .\\ .\\ .\\ y_M\end{array}\right]---\left(41\right)$
矩阵Z被称为设计矩阵。设计矩阵Z的每一行表示在不同时间估计的线性方程组中的一个方程。设计矩阵Z中的每一列表示弹性材料的驱动点响应的微分方程模型的一个基函数。矩阵的行标是矩阵元素zij的第一下标并且矩阵的列标是第二下标。矩阵C被称为参数矩阵，并且矢量Y被称为右手侧的函数。
在本发明的一个实施例中，构成线性方程组包含确定有一组基函数、一组参数系数以及一个右手侧函数的微分方程模型；依照表达式(41)构成设计矩阵Z和右手侧矩阵Y；通过依照一个微分方程模型，使用驱动点响应信号在不同时间组估计基函数，来确定设计矩阵Z的元素的值；以及通过在不同时间组估计右手侧的函数，来确定右手侧矩阵Y的元素的值。如此构成的矩阵表示线性方程组。在本实施例中，在步骤(bb)中，求解矩阵形式的线性方程组来确定最佳拟合参数矩阵C。
求解矩阵形式的线性方程组的一个优势在于设计矩阵的行并不需要处于时间序列的顺序。在线性方程组的一个实施例中，设计矩阵被实施为一个在数字存储系统中的环形缓冲器，其允许有效的方式来构成线性方程组。使用任意顺序的设计矩阵的行，而不管所述行在环形缓冲器中保存的顺序，可以实现求解该线性方程组。在另一实施例中，可以根据驱动点响应中包括时间间隙的部分，来构成线性方程组。例如，仅使用驱动力的每个冲程的负速度部分，而排除每个冲程的正速度部分，可以构成设计矩阵。排除每个冲程的一部分可以产生线性方程组中的时间间隙，该时间间隙是由所述冲程被排除的部分导致的。
独立于非压缩冲程来分析压缩冲程是有用的，因为与驱动力的非压缩冲程相比，对于压缩冲程来说弹性可能是不同的。因此，求解矩阵形式的线性方程组可用于作为一种从动态驱动力中确定压缩的弹性或膨胀的弹性的不同值的方法。
在另一实施例中，微分方程模型的每个基函数由一个信号而不是由设计矩阵的一列来表示。换句话说，设计矩阵Z的每列被实施为一个不同的信号。在本实施例中，构成线性方程组包含确定有一组基函数、一组参数系数以及一个右手侧函数的微分方程模型；产生一组基函数信号，其每个表示对应于设计矩阵Z的一列的一个不同的基函数Zj(t)，同时基函数信号和基函数Zj(t)是一一对应的；并且生成一个表示右手侧函数的右手侧的信号y(t)。如此构成的基函数信号Zj(t)的组和右手侧信号y(t)表示线性方程组。在本实施例中，在步骤(bb)中，通过确定拟合右手侧信号的基函数信号的最佳拟合线性组合，来求解线性方程组。最佳拟合线性组合的系数表示所述未知参数系数。
3.3求解线性方程组：步骤(bb)
在步骤(bb)中，求解在步骤(aa)中构成的线性方程组以确定弹性的一个或多个值。本发明的一个目的是通过求解线性方程组(37)以确定包含参数系数的最佳拟合组的解，来确定所述弹性的一个或多个值。依照用于构成线性方程组的微分方程模型，如此确定的一个或多个参数系数组表示材料的一个或多个弹性。
在一个实施例中，通过假定从如上所述的已知的驱动点响应中确定的设计矩阵Z和右手侧矢量Y，求解矩阵方程Z·C＝Y以获得未知参数矩阵C，来确定最佳拟合解。只要方程的数量M大于或等于参数矩阵C中的未知参数的数量N，如果设计矩阵Z并非奇异的，解是可能的。即使设计矩阵Z是奇异的或病态的，也可能发现产生对线性方程组(37)的最佳逼近的最佳拟合解。最佳拟合解是一组在最小平方意义上产生对线性方程组(37)的最佳逼近的参数系数C。换句话说，最佳拟合解的一个实施例包含解C，其最小化
x2＝|Z·C-Y|2              (42)
其中x2表示将被最小化的卡方优质函数。
可用于确定最佳拟合解的除了卡方(chi-squared)之外的其它优质函数也是已知的，包括但并不限于L-norms。
用于求解线性方程组(37)以确定未知参数系数的各种数值法在现有技术中是众所周知的，该方法包括但并不限于Gauss-Jordan消去法、LU分解、逆矩阵法、一般线性最小二乘法、奇异值分解法以及Kalman滤波器法。这些方法的详细描述在现有技术中是可广泛获得的，包括在Press等人中(Press等人，C中的数值法，剑桥大学出版社，1988，第28-84页以及第528-539页)。
如果方程的数量M等于未知数的数量N，设计矩阵Z是方形矩阵，并且线性方程组可以通过直接的方法来求解，包括但并不限于Gauss-Jordan消去法或LU分解。然而，如果矩阵Z是奇异的或接近奇异的，直接的方法可能失败或者由直接的方法如此生成的解可能显著地受解误差的影响以至于该解并非最佳拟合解，或可能基本上不能表示弹性材料的实际弹性。
如果方程的数量M大于未知数的数量N，线性方程组是超定的，并且需要最佳拟合解法。如果方程的数量M小于未知数的数量N，线性方程组是不定的，但有可能找到一个特殊解，其是最小化方程(42)的最佳拟合解。
那些熟悉线性系统技术的人众所周知，线性方程组(37)的解是一个特殊解，并且还可能有一个或多个齐次解，其可能与特殊解结合以构成一个通解。对每个线性方程组(37)，有被称为齐次组的另一相关的组，其中右手侧的元素yi均为零值：
$\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{c}_j{z}_{\mathrm{ij}}=0$对于i＝1，2，3，...，M          (43)
或者等价距阵表达式：
Z·C＝0                                (44)
其中一个或多个元素yi为非零的线性方程组(37)被称为非齐次组。线性方程组(43)是对应于非齐次组(37)的齐次组。非齐次组(37)的解被称为特殊解。齐次组(43)的解被称为齐次解。解C＝0总是齐次组的解，但可能还存在非零的齐次解。齐次组所有解的集合是非齐次组的零空间。齐次组的无关解的集合构成一个确定零空间的矢量基。特殊解和齐次解的任意线性组合也是非齐次组：
Z·(C+H)＝Y                                   (45)
的特殊解，其中C是特殊解并且H是相关齐次组(43)的齐次解。通解是特殊解和零空间的基矢量的线性组合的总和：
G＝C+g1H1+g2H2+...+gkHk     (46)
其中G是通解，C是特殊解，Hk是一组齐次解，其是构成非齐次组零空间的k元矢量基的k个独立矢量，并且gk是任意的标量。如果H＝0是唯一的齐次解(即没有非零的齐次解)，那么通解是特殊解C。
如果线性方程组有非零的零空间，那么它是奇异的；也就是说，如果存在线性方程组的非零的齐次解，那么该组是奇异的。如果存在基本上近似齐次组的解的非零解，那么线性方程组是接近奇异的。如果存在非零的参数矩阵H以至于Z·H＝0，其中H是非零的齐次解，那么设计矩阵Z是奇异的。如果存在基本上近似齐次解的非零的参数矩阵H以至于Z·H≈0，其中近似值充分地接近于零以至于非齐次组的解被接近齐次的分量所控制而产生一个基本上不可能表示弹性材料实际弹性的特殊解，那么设计矩阵Z是接近奇异的。奇异或接近奇异的矩阵也被称为病态矩阵。
实际上，对于基于非线性弹性材料的非线性驱动点响应的微分方程模型的线性方程组(37)来说，由于实际非线性弹性材料的驱动点响应所固有的特性，线性方程组可能是病态的。病态的线性方程组产生一个奇异的或接近奇异的设计矩阵Z。为了产生准确地表示实际弹性材料的一个或多个弹性的解，用于求解该线性方程组的方法需要以控制解的零空间分量的影响的方式来求解病态的组。
基于弹性微分方程模型的奇异线性方程组的例子是由上述方程(11)表示的线性弹性模型。如同对上述方程(12)和(13)描述的，即使在方程(11)中有三个参数系数，对于一个单频正弦位移来说，在该线性模型中仅有两个独立参数，这是被称为列退化的条件。在方程(13)中产生零值组合系数c1以至于k1＝ω2m的刚性k1和质量m的值的任意组合表示线性方程组的齐次解。因此，基于由上述方程(11)描述的用于单一频率正弦函数的驱动点运动的线性弹性模型的线性方程组是一个奇异组。
在本发明中，线性方程组(37)的最佳拟合解是一个特殊解。然而，如果设计矩阵Z是病态的，可能存在相关齐次组的非零齐次解或接近齐次解的零空间，因此通解可以通过将特殊解与零空间的矢量基的线性组合相结合而构成。通解可用于找到线性方程组(37)的其它特殊解。
本发明的一个目的是通过一种提供解的零空间分量的控制的方法，来求解用于超定系统、不定系统和/或病态系统的线性方程组(37)。
3.4通过奇异值分解的解
在一个实施例中，用于求解线性方程组的方法是奇异值分解(SVD)法，其包含设计矩阵Z的奇异值分解以求解线性方程组(37)来确定系数的最佳拟合组。SVD法是现有技术中已知的，其生成作为最小平方意义上的最佳拟合解的特殊解，其最小化了用于超定系统、不定系统和/或病态系统的方程(42)中的卡方优质函数χ2。设计矩阵Z的奇异值分解识别奇异的或接近奇异的设计矩阵Z的零空间分量，并且这些零空间分量可被控制或可以从解中删除。
奇异值分解法具有若干优势。设计矩阵Z的奇异值分解提供了一种用于确定作为最佳拟合解的特殊解的方法。设计矩阵Z的奇异值分解提供了用于确定病态线性方程组的最佳拟合解的方法。SVD还提供了用于确定基本上表示零空间的矢量基的齐次解Hk的方法，并且从而提供了通过组合特殊解和零空间的矢量基来确定通解的方法。SVD提供了一种方法来控制解的零空间分量的影响，以消除零空间分量，或通过零空间分量和最佳拟合解的线性组合来构成一个特殊解。SVD提供了一种方法来估计线性方程组的病态度。SVD提供了一种方法来确定在最佳拟合解中每个系数的估计概率误差的测量，并且从而提供了一种方法来估计从最佳拟合解中确定的每个弹性的概率误差。
在步骤(bb)的一个实施例中，通过奇异分解来求解在步骤(aa)中构成的线性方程组以确定最佳拟合解，其中线性方程组是由设计矩阵Z和右手侧的矢量Y确定的，所述用于确定解的方法包含：
(cc)确定设计矩阵的奇异值分解，以生成乘积等于所述设计矩阵的三个不同矩阵，所述三个不同矩阵是一个作为列正交矩阵的左侧矩阵；一个奇异值矩阵，其是包含表示各自具有正或零值的奇异值的对角元素的对角矩阵；以及一个基矩阵的转置，其是表示解空间归一化的矢量基的正交方形矩阵，基矩阵的每列包含一个解基矢量；
(dd)从如此确定的奇异值分解中消除接近奇异的基矢量，以生成一个调整的奇异值分解；
(ee)使用由如此生成的调整的奇异值分解中的相应奇异值的逆所加权的左侧矩阵的每列，构成一个右手侧矩阵的点积；
(ff)构成一个在步骤(cc)中如此确定的解基矢量的线性组合，以生成最佳拟合解，其中线性组合的系数是在步骤(ee)中如此构成的相应点积。
在步骤(ff)中生成的最佳拟合解是参数系数C的最佳拟合组，它的一个或多个表示弹性材料的弹性。
在步骤(cc)中，设计矩阵z被分解为三个不同矩阵的等价乘积，这被称为奇异值分解，并且因式分解可由下述矩阵方程来表示：
Z＝U·W·VT                       (47)
其中升高的点表示矩阵乘法，以及
Z表示包含M行×N列的设计矩阵；
U表示包含M行×N列的左侧矩阵；
W表示奇异值矩阵，即一个包含N个各自具有大于或等于零的值的对角元素的方形对角矩阵；
VT表示基矩阵V的转置，基矩阵V包含N行×N列的方形正交矩阵。
矩阵U、W和VT共同表示设计矩阵Z的奇异值分解。
用于进行矩阵的奇异值分解的各种数值法是那些熟悉现有技术的人众所周知的，并且这些不同的数值法的任意一个可被用作在步骤(cc)中进行奇异值分解的实施例。例如，Press等人提供了SVD程序和数值算法的一个实施例的描述(w.Press等人，C中的数值法，剑桥大学出版社，1988，第60-72页，第534-539页以及第556-557页)。
用于进行奇异值分解的方法的其它实施例，在公共领域软件以及在市场上可买到的软件资料库包括用于嵌入式数字信号处理机(DSP)的软件中，是广泛熟知的。这些可利用的方法中的一些在效率、准确性或实现的简易性中具有不同的优势。在本发明的一个实施例中，用于在步骤(cc)中确定设计矩阵的奇异值分解的系统是通过包含在执行于数字处理机中的软件或固件代码程序中的奇异值分解法和数值算法。
基矩阵V包含由设计矩阵Z表示的线性方程组的解空间的归一化的矢量基。基矩阵V的每列包含所述解空间的一个独立基矢量，列的集合包含跨越解空间的基矢量的归一正交集。在步骤(ff)中确定最佳拟合解包含构成基矩阵V的列的基矢量的线性组合。基矩阵V的列(其对应于在奇异值矩阵W的同一列中的零值或接近零值的奇异值)包含所述线性方程组的零空间的归一化的矢量基。
在步骤(ee)和(ff)的实施例中，用于确定最佳拟合解的方法可由下述矩阵方程来表示：
C＝V·(W-1·(UT·Y))            (48)
其中升高的点表示矩阵乘法，并且
C表示包含最佳拟合解的参数系数矩阵；
V表示包含解基矢量的N行×N列矩阵的基矩阵；
W-1表示奇异值矩阵的逆；
UT表示左侧矩阵U的转置。
在由方程(48)表示的实施例中，在步骤(ee)中构成点积包含在所述括号之内的矩阵积结果；并且在步骤(ff)中构成解基矢量的线性组合包含基矩阵V的矩阵积和在外部括号之内的矩阵积。
由于解基矩阵W是一个对角矩阵，逆W-1也是一个对角矩阵，其包含等于W的相应对角元素的倒数的对角元素(1/wk)。
在步骤(ee)和(ff)的等价实施例中，方程(48)可由一个有由方程对进行扩展注释的等价表达式来表示：
$d_k=\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}\frac{u_{\mathrm{ik}}{y}_i}{w_k}$对于k＝1，2，...，N       (49)
$c_j=\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{d}_k{\nu }_{\mathrm{jk}}$对于j＝1，2，...，N        (50)
其中
dk表示U的第k列与右手侧矩阵Y的点积，其由对应奇异值wk的倒数来加权；
uik表示左侧矩阵U在i行、k列的元素；
yi表示右手侧矩阵Y在i行的元素；
wk表示奇异值矩阵W在k列的对角元素；
vjk表示基矩阵V在j行k列的元素；以及
cj表示参数系数矩阵C的第j个元素，其由基矩阵V的列的线性组合构成，使用来自方程(49)的dk点积的组作为系数。
方程(49)表示步骤(ee)的实施例，其等于在方程(48)中的括号之内的矩阵积。方程(50)表示步骤(ff)的实施例，其等于在方程(48)中的括号之内的矩阵积。
从方程(49)中显而易见为何奇异或接近奇异的线性方程组可能产生一个可能无法表示真实参数系数的不稳定解。如果wk的值基本上接近于零，wk的倒数非常大，因此由方程(49)确定的dk的值非常大，并且对应分量对方程(50)中的线性组合的影响超过基矢量的线性组合的其它分量。对应于数值接近零的wk的同一列的基矩阵V的列表示零空间的矢量基。参见方程(46)的通解，方程(46)的标量gk等于由对应于数值接近零的wk的方程(49)确定的dk，并且方程(46)的Hk等于对应于数值接近零的wk的基矩阵V的列。奇异或接近奇异的线性方程组可能产生一个由方程(46)表达的解，其中齐次解分量gkHk超过特殊解C。因此，必须控制解的零空间分量的影响，并且奇异值分解法提供了一种方法来实现这一点。
步骤(dd)包含从确定解的线性组合中消除零空间基矢量。在步骤(dd)的一个实施例中，如果对应奇异值wk基本上接近零，由方程(49)在步骤(ee)中确定的点积值dk被设置为零值，如在使用与方程(49)相同注释的下述方程中所示：
对于k＝1，2，...，N    (51)
其中ε值表示用于确定wk是否基本上接近零的阈限；wk<ε的情况是步骤(dd)的实施例；并且wk≥ε的情况是步骤(ee)的实施例，其等于方程(49)。对应于方程(51)中wk<ε，向dk分配一个零值具有从方程(50)的总和的线性组合中消除对应分量的效果，从而控制解的零空间分量的影响。
在步骤(dd)的另一实施例中，从方程(50)中的总和消除对于每个对应于wk<ε的k的分量(dkvjk)，从而控制解的零空间分量的影响。
根据线性方程组的特性来选择接近零阈值ε的值。实际上，限制ε的值取决于各种因素，包括但并不限于最大的奇异值、wk的数值表示的精度、以及在基矩阵V中的列。在一个实施例中，对于wk基本上接近零的限制ε可被分配一个表示舍入误差限制的估计值，其依照下述表达式：
ε＝N×(machine epsilon)×max(wk)      (52)
其中N是在基矩阵V中列的数量；(machine epsilon)表示wk的数值表示的精度；并且max(wk)表示在奇异值矩阵W中的最大奇异值wk。在另一实施例中，给所所述限制ε的值分配一个与方程(52)相比大若干数量级的值，以便消除由奇异值分解识别的基本上近似齐次解的分量。在另一实施例中，选择限制ε足够大，以便消除那些基本上不贡献减小所述解的χ2最佳拟合测量的解分量。
在本发明的另一实施例中，在步骤(cc)中确定的SVD被用于估计表示解的一个或多个参数系数的概率误差的测量。概率误差是由现有技术中众所周知的关系确定的(W.Press等人，C中的数值法，剑桥大学出版社，1988，第556-557页)，并且可以依照下述表达式来确定：
对于第j个参数系数cj    (53)
其中
wk表示奇异值矩阵W在k列的对角元素；以及
vjk表示基矩阵V在j行、k列的元素。
如果驱动点运动信号的标准偏差是已知的或估计的，那么设计矩阵Z和右手侧矩阵Y的元素可以由对应的标准偏差估计的倒数来加权，以生成一个误差加权的设计矩阵和一个误差加权的右手侧矩阵。从误差加权设计矩阵的SVD中确定的概率误差表示对应参数系数的标准偏差的估计。如果设计矩阵和右手侧矩阵不是误差加权的，从SVD中确定的概率误差并不表示标准偏差，但确实表示相对误差估计，其表示不同参数系数的相对误差。
估计参数系数的概率误差的测量以便衡量由本发明的方法确定的弹性值的准确度和可信度是有用的。
在另一实施例中，在步骤(cc)中确定的SVD被用于确定线性方程组的秩、零维和/或条件数。零维是对应于方程(51)所描述的wk<ε的在步骤(dd)中确定的零空间基矢量的数量。秩是非零空间基矢量的基矢量数量；秩加零维等于解基矢量N的总数(这也与在基矩阵V中的列的数量相同，并且与在C矩阵中的参数系数的数量相同)。条件数是最大奇异值与最小奇异值的比；大的条件数表示线性方程组是病态的。如果最小的奇异值是零值，条件数是无限的并且矩阵是奇异的。确定所述秩、零维和/或条件数作为构成线性方程组的具体微分方程模型的退化衡量是有用的。识别所述模型基函数的哪个组合是零空间矢量的分量，对于选择一个有较少条件数从而更少退化的微分方程模型是有帮助的。
在用于线性方程组的解的方法的另一实施例中，通过依照方程(42)评估卡方优质函数χ2，将真实解C代入方程(42)中来确定解的拟合优度的值。有拟合优度的测量以衡量从解中确定的弹性的相对可靠性，或者比较不同微分方程模型或不同弹性材料的解，是有用的。
通过其它方法得出的解
线性方程组的最佳拟合解可以通过使用关于未知参数系数的额外信息的方法来确定。对于许多弹性材料，可以预先得知一个或多个参数系数值的合理预期值范围。例如，可以设计微分方程模型以至于一阶刚性系数k1、一阶粘性系数b1和/或惯性系数m已知为具有大于零的值的正值。在一个数量级或更好范围之内合理预期的值范围通常对于一个或多个参数系数是已知的，特别对于相同或相似材料的重复的测量。存在由那些熟悉现有技术的人了解的各种方法，其通过利用一个或多个未知参数系数的先验协方差，结合已知概率值和/或可能的不确定度以用于求解线性方程组。
用于线性方程组的解的另一方法是那些熟悉现有技术的人众所周知的Kalman滤波法。在一个实施例中，由一组基函数信号和一个右手侧的信号来表示线性方程组，其中每个基函数信号表示作为时间函数的微分方程模型的基函数值，并且右手侧的信号表示作为时间函数的右手侧的值。Kalman滤波是用于分析所述基函数信号组和右手侧信号以确定一个或多个参数系数的作为时间函数的最佳拟合参数估计的方法。
4、弹性
本发明的系统和方法根据测量的驱动点响应，确定对应于线性方程组的参数系数。如此确定的参数系数表示弹性材料的一个或多个弹性。弹性包含一个或多个下述特性：刚性、粘性、剪切波速度、剪切模量、惯性质量密度。
刚性特性包含一个或多个下述特性：一阶刚性、二阶刚性、三阶刚性等或高次刚性系数。一阶刚性等于近似于服从Hooke定律的线性弹力响应的小幅度驱动点运动的线性刚性，虽然一阶刚性可以使用一个超过小幅度近似限制的驱动力来确定。
一阶刚性表示剪切模量和泊松比的组合，由静态刚性的关系来近似：
$K=\frac{4G{r}_0}{1-\mu }---\left(54\right)$
其中K表示刚性，G表示剪切模量，r0表示等于驱动元件的规定表面区域大小的圆形区域的半径，并且μ表示泊松比。
粘性特性包含一个或多个下述特性：一阶粘性、二阶粘性、三阶粘性等或高次粘性系数。一阶粘性等于小幅度驱动点运动的线性粘性。
在现有技术中还使用其它表示粘性的衡量。表示粘性、阻尼或弹性能量的耗散的数量衡量包含下述：粘性、减振能力、内耗常数、滞后常数、比衰减率、对数衰减、弹性相位常数、内耗系数、阻尼模量、共振放大因数、衰减因数、比衰减能量、应力-应变相位角、损耗角、特殊耗散函数、松弛时间、蠕变函数、松弛函数、衰减、吸收系数以及品质因数Q。这些特性是相互关联的，并且通常可从一种表达形式转换成另一种。
非线性刚性和粘性系数(二次、三次等)表示弹性材料的非线性度。非线性刚性系数表示刚性非线性度的数量衡量。非线性粘性系数表示粘性非线性度的数量测度。偶次和奇次系数的关系表示对应刚性或粘性的对称或不对称的衡量。非线性的对称或不对称度表示材料的弹性。
针对驱动力如此确定的一个或多个特性的每一个可以通过将特性值除以驱动力所施加的接触表面区域定义的面积大小，转换成表示为每单位面积的特性值。通过将驱动力除以驱动力所施加的接触表面区域定义的面积大小，驱动力可被表示为驱动应力。
通过在材料主体之中或之内的多个位置的每一个独立地确定弹性，可以确定不同种类的弹性材料的一个或多个弹性，从而确定弹性的空间变化。
本发明的一个优势在于使用大幅度非线性驱动点运动来确定线性(即一阶)的小幅度特性。本发明的另一优势在于通过将驱动点响应分割成压缩的冲程部分或非压缩的冲程部分，并且独立于非压缩的冲程部分来分析压缩的冲程部分，可以独立于非压缩或扩展的特性来确定压缩的特性。本发明的另一优势在于在施加驱动力期间，弹性可被确定为时间的函数，以及作为所施加驱动力的基频的函数。
由本发明的系统和方法确定的其它有用的弹性将在此在例1中详细描述。
5、从测量的驱动点运动中确定加速度、速度和位移
表示弹性材料响应的驱动点运动是驱动力所施加的接触表面区域的加速度、速度和位移。这些运动的任意一个可被用于确定其它两个。加速度的积分生成速度。速度的积分生成位移。位移的时间导数生成速度。速度的时间导数生成加速度。给定这三类运动信号的任意一个，可以通过适当的积分或微分确定其它两个。
在本发明的一个实施例中，牢固地连接到动态致动器的驱动元件的加速度传感器生成一个表示驱动点加速度的加速度信号。在本实施例中，通过测量的加速度的积分来确定驱动点速度，并且通过速度的积分来确定驱动点位移。
积分将引入误差，并且必须基本上消除积分误差以获得有用的积分信号。
5.1积分误差
那些熟悉现有技术的人知道，实际信号的积分将引入随着积分区间的长度增加而增加的积累误差。一种误差是信号中的累积的测量误差，以至于被积分的信号不是被测量的真实值的完美精确的表示。另一种误差是由积分过程的有限精度引起的。例如，数字信号的数值积分受由信号的数字表示的有限精度引起的积累舍入误差的影响。
技术中还已知，积分误差可能趋向于统计上随机的，其产生一个基本上与所谓的随机游动相似的累积误差。因此，累积误差可能包括大范围的频率分量，包括低于、相似于以及高于表示被积分信号的频率的频率。
积分还向积分信号引入一个未知常数值(即DC漂移或零频分量)，因为积分信号的初始值在积分区间开始时通常是未知的。该未知的初始值是积分信号中的另一积分误差。
如果分析包含相当大积分误差的加速度、速度或位移信号来确定材料的弹性，如此确定的弹性可能无法表示材料的实际弹性。如果积分误差度很大，如此确定的弹性可能基本上是无意义的。
实际上，已发现测量的驱动点加速度信号的积分即使在短时间间隔内，也将生成作为实际速度不良表示的速度信号，因为积累的积分误差包含大量频率分量。测量的驱动点加速度信号的二次积分有时生成的位移信号具有基本上超过实际位移的积分误差。
为了使这些积分信号变得有用，必须基本上消除积分误差。为了使来源于这些积分信号的弹性变得有意义，消除积分误差的方法必须基本上保持在加速度、速度以及位移信号之间的相位关系和幅度关系。
存在已知的通常用于现有技术中以估计和消除积分误差的方法。一种方法是使用平滑函数例如低度多项式函数，对积分信号拟合平滑曲线，所述低度多项式通常是常数、一次或二次多项式。多项式拟合表示信号在若干周期期间的长期平均的近似值。假定多项式拟合是在被拟合的区间中平均积分误差的估计，并且通过从积分信号中减去多项式拟合，来消除所估计的误差。用于现有技术中的另一方法是使用高通滤波器或带通滤波器滤波积分信号，以消除在信号频带之外的频率产生的积分误差的分量。
现有方法对于估计并衰减积分误差的低频分量是受限制的，并且无法估计或衰减在随机游动积分误差中出现的宽频带范围。现有方法还可能引入相对相位误差和相对幅度误差，这导致在确定弹性中的精度降低。
5.2在弹性材料的响应中的谐波分量
本发明的一个目的是利用弹性材料的驱动点运动的特性，以允许一种方法来估计并衰减在驱动点运动信号中和在驱动力信号中的宽带误差——包括测量误差和/或宽带随机游动积分误差——同时基本上保持表示所述材料实际响应的积分信号的分量的相位关系和幅度关系。表示所述实际响应的分量是驱动力的谐波和瞬时响应。
由驱动力变形的弹性材料将以包含作用力频率谐波的频率分量的驱动点运动作为响应。线性弹性材料的响应包含与驱动力相同的频率分量。非线性弹性材料的响应是包含驱动力频率分量的谐波的多个谐波频率分量的叠加的非调谐响应。在任意其它频率没有显著的响应，除了在固有形式频率的分量的瞬时响应之外。
如果施加给材料的动态力的频率分量是已知的，那么驱动点运动信号中的任何不是已知动态力频率的谐波的频率分量可被假定为误差或噪声，除了在固有形式频率的瞬时分量之外。
控制由受控的动态致动器施加的驱动力以与作为已知信号的连续相位基准信号相似。根据对弹性材料的反应特性的知识，假定接触表面区域的驱动点运动具有在已知连续相位基准信号的谐波的频率分量。在本发明中，通过衰减在基准信号的谐波的已知谐波分量，来估计信号的误差分量。还可能衰减瞬时分量的频率(如果出现的话)，以改善误差估计。从信号中减去估计误差以生成一个误差校正的信号。
所述误差估计和衰减法在数学上可被描述如下：
使为已知的连续相位基准信号P(t)的角相位函数，其中所述信号P(t)由一个受控的动态致动器使用以控制一个驱动力：

其中
A(t)表示已知的基准信号的幅度包络函数；
表示已知的基准信号的角相位函数；
$i=\sqrt{-1};$以及
eiθ＝cosθ+isinθ
根据实际弹性材料的非调谐响应，假定驱动力和驱动点运动包含在作为基准信号谐波的频率的分量的叠加，因此所述分量具有角相位函数，其中k是正整数：

其中
R(t)表示驱动点响应信号，其包含驱动点加速度、驱动点速度、驱动点位移或驱动力信号；
αk(t)表示信号的第k个谐波分量的幅度包络函数；
表示已知的基准信号的角相位函数；
表示第k个谐波分量的角相位函数，其是基准信号的相位函数的正整数k倍；
δk表示驱动点运动信号的第k个谐波分量的相位偏移常数；
k表示谐波编号，正整数1，2，3...。
实际上，对于真实材料，幅度函数αk(t)随着k的增加而变得非常小，以便R(t)可由n个谐波的有限和来准确地近似：

其中对于k>n，αk(t)≈0
选择谐波的数量n足够大，以在总和中获得所需准确度。
除了驱动点运动信号和驱动力信号，表示受控的动态致动器的运动或输出的其它信号还可以由方程(72)表示的谐波分量的叠加来准确地近似。这种信号的例子包含反作用物质运动信号和表示反作用物质相对于底板的相对位移的相对位移信号。
测量的驱动点响应信号包含测量误差。通过积分形成的驱动点运动信号包含积分误差。已知的信号包含未知误差和“真实”信号的总和，其被假定为由R(t)描述的谐波的叠加：
S(t)＝R(t)+E(t)          (58)
其中S(t)表示已知的驱动点响应信号，R(t)表示“真实”的响应信号，并且E(t)表示测量误差和/或积分误差。
由测量或者由积分或微分确定的，连续相位基准信号P(t)的值是已知的，并且驱动点响应信号S(t)的值是已知的。“真实”响应信号R(t)和误差信号E(t)的值是未知的。目的是估计未知误差E(t)，以便可能从已知信号S(t)中将其减去，以生成一个“真实”响应信号R(t)的更精确表示。
然而，“真实”运动信号R(t)的谐波分量的相位函数是已知的，因为所述材料被假定为在驱动力的谐波进行响应。非已知的R(t)的一部分是幅度函数αk(t)和相位偏移δk。滤波已知信号S(t)以有选择地衰减有基本上等于的谐波相位函数的分量，这基本上衰减了真实运动信号R(t)。剩余分量表示测量和/或积分误差E(t)的宽带估计。
因此，根据对有相位函数的“真实”响应信号R(t)的谐波分量的相位函数的知识，可以估计测量误差或积分误差E(t)。对相位函数的知识是基于实际弹性材料的物理响应的特性的，其中所述材料在与基准信号相似的驱动力的谐波进行响应。
这些原理不仅可用于估计在任意驱动点运动信号或任意驱动点力信号中的积分误差，而且可用于估计其它误差，例如测量误差。除了信号的瞬时分量的频率分量之外，驱动点信号在除了驱动力谐波之外的频率的任意分量可被认为在弹性材料中在物理上是不可实现的，并且因此这些非谐波分量可被假定为表示误差。该误差可以包含测量误差、积分误差或任意其它在弹性材料中在物理上不可实现的噪声或误差。
本发明的一个目的是根据对“真实”响应信号R(t)的谐波分量的相位函数的知识，估计在驱动点响应信号中的误差E(t)。本发明的一个目的是估计包括大范围频率分量的积分误差。在估计的积分误差中包括大范围频率分量是有用的，因为实践中遇到的实际积分误差通常表示包含大范围频率分量的统计上的随机游动。此外，本发明的一个目的是从非调谐的驱动点响应信号中消除估计误差，同时基本上保持“真实”响应信号R(t)的多个谐波分量的幅度和相位。保持这些谐波分量是有用的，因为在驱动点运动的谐波分量的幅度和相位之间的关系携带着关于实际弹性材料的非线性响应的信息。如果仅仅保持基频分量，高次谐波分量的衰减或失真将导致关于材料弹性的信息的丢失。
本发明的一个目的是从驱动点运动信号中以及从驱动力信号中估计并衰减积分误差和/或测量误差的宽带估计。使用被称为部分周期间隔滤波器的滤波器来估计这些误差，并且使用误差衰减器通过从驱动点运动信号中减去估计误差来衰减。
部分周期间隔滤波器对于估计在非调谐驱动点响应信号中的误差分量、同时基本上保持非调谐响应的多个谐波频率分量的幅度和相位关系是有用的。
5.3部分周期间隔滤波器和误差衰减器
在本发明中，我公开了一种系统和一种方法来滤波输入信号，以衰减或者保持选定谐波分量，所述谐波分量是已知连续相位信号(在此被称为相位基准信号)的谐波。我将所述滤波器称为部分周期间隔滤波器，所述滤波方法包含下述步骤：
(pp)确定位于相位基准信号的相位的等间隔的一系列时间值，其中所述相位的等间隔是部分周期间隔；
(qq)在由如此确定的一系列时间值表示的时间点采样输入信号，以生成相位采样信号；
(rr)使用被配置为显著地衰减或保持位于连续相位信号的谐波的一个或多个选定谐波频率分量的每一个的滤波器，来滤波如此生成的相位采样信号，其中所述连续相位信号的谐波基本上等于相位周期期间的倒数的谐波倍数，以生成滤波相位采样信号；
(ss)在相等的时间间隔，根据在上述步骤(pp)中确定的一系列时间值，重新采样如此生成的滤波相位采样信号，从而生成一个部分周期间隔滤波信号。
在步骤(rr)中生成的滤波相位采样信号和在步骤(ss)中生成的部分周期间隔滤波信号是表示输入信号的误差分量的估计误差信号。用于衰减输入信号的估计误差分量的误差衰减器法包含下述步骤：
(tt)通过从输入信号中减去估计误差信号，来衰减输入信号的估计误差分量，以生成一个误差校正信号。
部分周期间隔滤波器具有两个不同的输入，一个将被滤波的输入信号(在此由S(t)来表示)以及一个相位基准信号(在此由P(t)来表示)。相位基准信号包含具有由表示的相位函数的连续相位信号。
在步骤(pp)中，分析相位基准信号的相位以确定在相位的等间隔点的时间值。特别地，相位的等间隔是部分周期间隔，以至于每个周期被等分为整数个相位的等间隔。每个相位的等间隔等于一个周期的N分之一(部分周期间隔)：

k＝0，1，2，3，...(60)

其中
表示等于一个周期的N分之一的相位间隔(部分周期间隔)，在此以弧度表示为相位间隔；
N表示一个整数常数，其表示每个周期间隔的数量；
表示第k个间隔的末端的相位值；
tk表示在相位函数的等间隔相位的一系列时间值，从而
每周期间隔的数量(用N表示)可以是任意的正整数，包括奇或偶整数。选择每周期间隔的数量N，以优化滤波器的分辨率和性能，使用较大的N产生较高分辩率的相位采样信号，但较大的N还产生将被滤波的较大数据量。
在一个实施例中，由定义相位函数的一组已知参数来表示相位基准信号P(t)，并且通过估计所述已知参数组，分析地确定相位函数的一系列时间值tk，以找到一系列时间tk从而。一系列时间值tk是如下方程的根：

该方程的根tk可以用简单的相位函数分析地确定，或者根tk可由数值求根法来确定，包括但并不限于括号平分法、Newton-Ralphson法、平分和Newton-Ralphson法的混合(Press等人，C中的数值法，剑桥大学出版社，1988，第255-289页)，以及那些熟悉现有技术的人众所周知的任意各种其它求根法。
在一个实施例中，相位函数是频率的单调函数，在此情况下对于系数k的每个值，仅有一个方程(62)的根。通过使用先前的根作为下一个根的括号的下限，可以按顺序有效地找到每个单根。
在另一实施例中，通过估计相位基准信号虚部除以相位基准信号实部的反正切：

来确定相位信号的值，其中Re[P(t)]是P(t)的实部，Im[P(t)]是P(t)的虚部，并且Im[P(t)]是Re[P(t)]的Hilbert变换。在本实施例中，反正切函数产生每个周期重复的从+π到-π的相位值。通过P(t)的零交点的计数，有可能解开反正切相位以产生一个连续相位函数。通过追踪连续相位函数的幅度，并且检测幅度是部分周期间隔的整倍数：的时间，来确定一系列时间值tk。
在另一实施例中，从相位信号中减去相位值以产生一个差异信号，并且通过使用零交点检测器来检测差异信号的零交点，以确定时间值tk。在检测到零交点之后，增加系数k的值，以产生用于找到下一个零交点的新的相位值
在步骤(qq)中，在步骤(pp)确定的一系列时间点tk采样输入信号S(t)，从而产生一个相位采样信号Sk。所述相位采样信号是表示在由步骤(pp)确定的一系列时间点tk的输入信号幅度的一系列采样值：Sk＝S(tk)。该采样也可被称为转换，该采样将输入信号S(t)从时间的函数转换成一个相位基准信号的相位的函数。
在一个实施例中，输入信号S(t)是一个数字信号，并且输入信号S(t)的采样包含插入表示输入信号的数值，以在步骤(pp)确定的一系列时间点tk插入数值。插值可由技术中众所周知的任意各种插值法来进行，包括但并不限于：线性插值、Lagrange插值、多项式插值、三次样条插值以及三角插值例如Fourier变换法或正弦函数插值(例如Shannon重构)。在另一实施例中，输入信号是一个模拟信号，并且可由在步骤(pp)确定的一系列时间点tk采样的模数转换器进行采样。
在步骤(rr)中，通过应用一个滤波器(其在基本上等于一个相位周期的倒数的谐波的一组选定谐波频率上具有衰减节点(零点)的响应)，滤波相位采样信号以衰减一个或多个谐波频率分量，其是所述相位基准信号的谐波。因为在相位的等间隔采样所述相位采样信号，相位采样信号的“频率”分量不是瞬时的频率，而是作为替代地，可用周期每弧度的单位表示的伪频率。一个相位周期等于相位采样间隔乘以每周期相位采样的数量N，其可由下述一系列方程来表示：

换句话说，由相位采样信号的N个采样点的序列来表示连续相位信号的一个周期的长度而不管连续相位信号的瞬时频率，其中N是用于构成相位采样信号的每个周期采样的数量。连续相位信号的谐波在作为N个采样间隔的倒数的谐波的伪频率出现在所述相位采样信号中，并且这些谐波分量可按照周期每弧度来表示：
$\frac{1}{2\pi },\frac{2}{2\pi },\frac{3}{2\pi },···,\frac{i}{2\pi }$周期每弧度，         (65)
或按照周期每相位采样间隔来表示：
$\frac{1}{N},\frac{2}{N},\frac{3}{N},···,\frac{i}{N}$周期每相位采样间隔，   (66)
其中i表示谐波倍数。
因为相位采样信号是在部分周期间隔采样的，使用具有在N个采样间隔的倒数的谐波上的衰减节点(零点)的响应的简单的数字滤波器。
在一个实施例中，使用非常简单的两点滤波器，通过构成相距半周期的两点的平均值，来衰减相位采样信号的所有奇数谐波分量：
$E_k=\frac{(S_{k-4}+S_{k+4})}{2}$，对于N＝16，          (67)
其中
Ek是在相位采样信号序列Sk的第k点的滤波器输出；
Sk-4、Sk+4是在相位采样信号序列中相距半周期间隔的两点，在本例中是在相位采样序列中的八个相位间隔；以及
Sk＝S(tk)是相位采样信号序列，在点tk采样从而
在本实施例中N＝16，因此相位采样间隔是弧度，并且从(k-4)到(k+4)的间隔是等于π的相位间隔，其是半周期。所述半周期滤波器的幅度响应具有在连续相位信号的所有奇数谐波上的衰减节点(零点)。
所述滤波器是伴随着点相距半周期的普通种类的两点滤波器的例子(对于N＝16)，其被用于衰减输入信号的所有奇数谐波分量。在该种类中的滤波器具有所有奇数谐波为零的响应函数，其在相位采样信号中表示为等于的单位为周期每弧度的相位采样伪频率。所述半循环滤波器的一般表达式如下所示：
$E_k=\frac{(S_{k-N/4}+S_{k+N/4})}{2}$，N可被4整除       (68)
其中
Ek是在相位采样信号序列Sk的第k点的滤波器输出；
Sk-N/4、Sk+N/4是在相位采样信号序列中相距半循环间隔的两点，这在本例中是在相位采样序列中的N/2相位间隔；以及
Sk＝S(tk)是相位采样信号序列，在点tk采样从而，其中N是可被4整除的正整数。
半周期滤波器的输出在输入之后滞后四分之一周期。由方程(68)表示的奇数谐波滤波器的作用是衰减作为连续相位信号奇数谐波的相位采样信号的频率分量。
衰减奇数谐波的滤波器是有用的，因为奇数谐波支配某些弹性材料的非调谐驱动点响应。具有基本上线性弹力响应和基本上非线性粘性力响应的弹性材料趋向于产生包含奇数谐波频率分量的叠加的非调谐驱动点响应。
具有在N个采样间隔的倒数的谐波上的衰减节点(零点)的响应的滤波器的另一实施例是一种窗口长度等于一个周期的移动平均滤波器：
$E_k=\frac{1}{65}\underset{i=k-32}{\overset{k+32}{\Sigma }}{S}_i$，对于N＝65，                 (69)
其中
Ek是在相位采样信号序列Sk的第k点的滤波器输出；
Si是在相位采样信号中的序列点。
在本例中N＝65，因此相位采样间隔。其幅度响应在单位为周期每幅度的前64个谐波：$\frac{1}{2\pi },\frac{2}{2\pi },\frac{3}{2\pi },···,\frac{64}{2\pi }$有零点。
具有在整数个采样间隔的倒数的谐波上的衰减节点(零点)的响应的通用种类的滤波器可被表示为如下：
$E_k=\underset{i=-m}{\overset{+m}{\Sigma }}{w}_i{S}_{k+i}---\left(70\right)$
其中
Ek是在相位采样信号序列Sk的第k点的滤波器输出；
Sk+i是在相位采样信号中的一系列点，在点tk采样以至于，其中N是一个正整数；
wi是施加给Sk+i相位采样信号的一组滤波系数，总共有2m+1个滤波系数，其中m是一个正整数。
那些熟悉现有技术的人知道，有各种滤波方式和滤波设计方法来选择一组滤波系数wi，其可用于产生一个具有这种在整数个相位采样间隔的倒数的谐波上的衰减节点(零点)的响应的滤波器。例如，Hamming、Hanning、Blackman、Blackman-Harris及其它滤波方式在现有技术中是众所周知的，并且有许多众所周知的滤波设计方法来选择其它类型的优化的滤波系数。
用于滤波在步骤(rr)中的相位采样序列的谐波滤波器的特性在于所述滤波器响应具有在N个相位采样间隔的倒数的选定谐波的衰减节点(零点)，其中N是连续相位信号每周期采样的数量。当具有所述特性的滤波器被应用到按所描述的在部分周期间隔被采样的相位采样信号时，相位采样和滤波操作的组合结果是基本上衰减选定谐波分量，其是所述已知连续相位信号的谐波。
在另一实施例中，在步骤(rr)中的滤波器可被配置来或衰减或保持相位基准信号的一个或多个选定谐波倍数，从而滤波器响应函数包含一个基本上等于零、或者基本上等于在每个选定谐波倍数的单位的幅度响应。
在一个实施例中，通过使用相位采样信号来卷积滤波算子来应用步骤(rr)中的滤波器。所述卷积可以直接在相位采样域中进行，或者通过将相位采样信号Fourier变换成伪频域(例如通过FFT或DFT)并在该伪频域中进行滤波。
在步骤(rr)中生成的滤波的相位采样信号表示输入信号估计的误差分量，其中由相位采样估计误差信号来表示估计的误差分量。在步骤(rr)中生成的所述相位采样估计误差信号可被使用而无需进一步修改，或者它可在步骤(ss)中被转换回时间的函数。
在步骤(ss)中，在时间的等间隔重新采样在步骤(rr)中生成的滤波的相位采样信号，以将相位采样信号转换回时间的函数。在一个实施例中，通过在相位采样信号的相位间隔采样之间插值来进行重新采样，以在时间的等间隔确定一个插值信号幅度值。插值可以通过任意各种技术中已知的插值法来进行，包括但并不限于：线性插值、Lagrange插值、多项式插值、三次样条插值、三角插值以及正弦函数插值(例如Shannon重构)。
在步骤(ss)中生成的滤波的相位采样信号表示输入信号的估计误差分量，其中该估计误差分量由一个在时间上均匀地采样的信号来表示。
通过在步骤(pp)中仅一次确定一系列时间值，并且在步骤(qq)和(rr)中对各自共享相同相位函数的输入信号集合中的每个输入信号重复地使用所述同一系列时间值，所述部分周期间隔滤波器可被有效地应用到所述输入信号集合。通过确定将被应用插值函数的一系列时间间隔，并且对在步骤(qq)和/或步骤(ss)中的插值重复地使用所述同一时间间隔，在步骤(qq)和(ss)中的插值也可被有效地应用到均共享相同相位采样间隔的输入信号集合。
例如，包含一个驱动点响应的三个驱动点运动信号——加速度、速度和位移——都可使用表示用于控制致动器输出力的连续相位基准信号的相同相位基准信号来滤波。在步骤(pp)中一次确定一系列时间值tk，并且重复地使用如此确定的所述系列，以对三个驱动点运动信号——加速度、速度和位移的每一个应用部分周期间隔滤波器。此外，当使用受控的动态致动器来向不同衬底材料的集合或向衬底材料中的不同位置的集合施加动态力时，典型的做法是选择一个基准信号重复使用以重复施加同一动态力。在此情况下，对共享相同相位基准信号的所述集合中的每个信号，可以重复地使用同一系列时间值tk。
部分周期间隔滤波器是有用的，因为它有效地衰减了输入信号的选定分量，其是具有已知相位函数的已知连续相位函数的瞬时频率的谐波。因为在部分周期间隔采样输入信号，可以使用简单的数字滤波器以有选择地或衰减或保持选定谐波分量，所述滤波器具有在选定谐波分量上的零或者单位增益的响应。
因为在步骤(rr)中的滤波器具有在选定谐波分量的节点(零点)，当从输入信号中减去由部分周期间隔滤波器生成的误差估计时，基本上保持输入信号中的这些相同谐波分量的幅度和相位关系。
本发明用于估计并衰减测量误差、积分误差或其它在驱动点响应信号中的误差的方法是通过使用一个部分周期间隔滤波器滤波信号来估计所述信号的误差分量，以生成一个估计误差信号，并且通过从驱动点运动信号中减去估计误差信号来衰减该误差，以生成一个误差校正驱动点运动信号。
用于估计并衰减误差的方法可通过下述数学摘要来描述：
已知信号S(t)是“真实”响应信号R(t)和未知误差E(t)的组合：
S(t)＝R(t)+E(t)。                      (58)
通过滤波已知信号S(t)以衰减由已知相位函数的谐波组成的″真实″信号R(t)估计未知误差E(t)，所述衰减是通过一个部分周期间隔相位滤波器来实现的：

其中tk是如此以至于对k＝0，1，2，3，...
其中wi是用于离散滤波器的离散滤波系数，所述离散滤波器具有在相位采样间隔的逆的谐波上的节点(零点)的响应函数。对相位采样信号S(tk)应用滤波器，该信号在相位的等间隔的离散系列点tk采样，以至于的每个周期被均分为N个被称为部分周期间隔的等相位间隔，并且N是一个常整数。
从已知信号S(t)中减去估计误差E(t)来实现误差衰减，以生成误差校正信号R(t)：
R(t)＝S(t)-E(t)。                         (72)
在误差衰减的另一实施例中，通过在部分周期间隔滤波器的步骤(rr)中，将误差估计和减法组合成单个滤波器，在单个操作中有效地实现误差估计和误差减法。在该实施例中，在部分周期间隔滤波器的步骤(rr)中的滤波器的响应函数将等于1减去谐波相位滤波器的响应函数：

将减法和部分周期间隔滤波器组合成单个操作的优势在于通过排除确定估计误差E(t)的值，减少了舍入误差。
本发明中给出的所述部分周期间隔滤波器的描述使用时间值作为独立变量t以描述本方法。然而，应当理解独立变量t可以表示任意独立变量，包括但并不限于空间变量例如距离。相同的方法以类似的方式应用到任意独立变量，例如空间变量的函数。
对熟悉现有技术的人显而易见，有其它在数学上等价的方法来描述所述部分周期间隔滤波器。
在一个实施例中，将部分周期间隔滤波器应用到一个非调谐的驱动点运动信号。输入信号是驱动点运动信号，并且相位基准信号P(t)包含受控致动器的基准信号的表示，其产生所述驱动点运动。如已经解释的，弹性材料的驱动点运动由驱动力谐波上的非调谐的响应分量组成。部分周期间隔滤波器有选择地衰减这些谐波，这样在步骤(rr)中生成的相位滤波信号表示非调谐驱动点信号的误差分量的宽带估计。这些误差分量可以是测量误差及其它并不表示弹性材料物理上可实现的运动的噪声。从驱动点运动信号中减去估计误差，以生成一个误差校正驱动点运动信号。误差校正驱动点运动信号包含在驱动力谐波上的谐波分量，并且由部分周期间隔滤波器校正基本上保持这些谐波分量的幅度和相位关系。因此，误差校正非调谐驱动点运动信号对确定弹性材料的弹性是有用的。
在另一实施例中，将部分周期间隔滤波器应用到一个积分运动信号，其表示非调谐驱动点运动信号的积分。输入信号是积分运动信号，并且相位基准信号P(t)包含致动器控制基准信号的表示。在上述步骤(rr)中生成的相位滤波的信号表示在积分运动信号中的积分误差的宽带估计。从积分驱动点运动信号中减去估计积分误差，以产生一个误差校正的积分非调谐驱动点运动信号。
估计积分误差的时间导数还可用于估计在被积分的信号中的误差。例如，积分一个测量加速度信号以生成一个速度信号。使用部分周期间隔滤波器法来估计在速度信号中的积分误差。从速度信号中减去估计积分误差，以生成一个误差校正速度信号。确定所述估计积分误差的时间导数，以生成一个在加速度信号中的误差估计，并且从加速度信号中减去所述导出的误差估计以生成一个误差校正加速度信号。可以对速度信号重复该方法，以估计在位移信号中的积分误差，将其从位移信号中减去以生成一个误差校正位移信号。估计位移误差可被求导以生成速度信号的进一步校正，并且可被二次求导以生成加速度信号的进一步校正。
在另一实施例中，将部分周期间隔滤波器应用到一个非调谐驱动力信号。输入信号是所述驱动力信号，并且相位基准信号包含致动器控制信号的表示。在上述步骤(rr)中生成的相位滤波信号表示在驱动力信号中的测量误差的宽带估计。从驱动力信号中减去估计误差，以生成一个误差校正驱动力信号。误差校正驱动力信号对于确定弹性材料的弹性是有用的。
在本发明的另一实施例中，使用部分周期间隔滤波器来估计在驱动点运动信号中以及在驱动力信号中的积分误差和/或测量误差，并且通过从对应信号中减去估计误差来衰减所述误差。误差校正信号表示所述驱动点响应，并被分析以确定弹性材料的一个或多个弹性。
可以参见附图，特别地参见图2，来描述用于误差估计的部分周期间隔滤波器系统(FCIF)。图2表示依照本发明构造的部分周期间隔滤波器的具体实施例，其由附图标记10来表示。部分周期间隔滤波器10配备有相位检测器11、相位采样器12、谐波滤波器13以及重新采样器14。
在操作中，部分周期间隔滤波器10接收一个将被滤波的输入信号S(t)以及一个相位基准信号P(t)。部分周期间隔滤波器10具有一个输出信号。该输出信号包含表示输入信号S(t)的估计宽带误差分量E(t)的误差信号。
相位基准信号P(t)经由信号通道15被传递给相位检测器11。相位检测器11检测相位基准信号P(t)的相位，并根据依照上述方程(59)、(60)以及(61)的描述以及上述部分周期间隔法的步骤(pp)的描述的部分周期间隔，在每个部分周期间隔的末端生成一个输出信号。相位检测器11具有用于每周期N个采样间隔的可配置参数设置。相位检测器11的输出信号是表示部分周期间隔的一系列时间的相位采样时间信号。相位采样时间信号经由信号通道16被提供给相位采样器12，并且还经由信号通道29被提供给重新采样器。
经由信号通道24向相位采样器12输入将被滤波的输入信号S(t)。经由信号通道16接收的相位采样时间信号触发相位采样器12，以在每个部分周期间隔的末端采样所述输入信号S(t)。经由信号通道17向谐波滤波器13输出由相位采样器12生成的每个采样值。由相位采样器12输出的一系列采样表示在根据相位基准信号P(t)的相位的部分周期间隔采样的相位采样信号。实际上，根据相位基准信号P(t)的相位，相位采样器12将输入信号S(t)从作为时间的函数转换成作为相位的函数。
依照上述部分周期间隔滤波器方法的步骤(rr)的描述，谐波滤波器13使用在相位周期的选定谐波上在滤波器响应中具有一个或多个衰减节点(零点)的滤波器，来滤波一系列表示所述相位采样信号的采样。选择所述衰减节点以与所述周期频率的一个或多个谐波倍数一致，其中每N个采样一个周期，其中N是每周期采样间隔的数量。因为输入信号是在部分周期间隔采样的，谐波滤波器13的一个实施例包含具有在衰减节点(零点)的简单有效的数字FIR滤波器，其中所述衰减节点(零点)基本上与每采样相位周期频率的谐波倍数一致，其基本上表示相位基准信号P(t)瞬时频率。
谐波滤波器13的滤波器输出是一个滤波相位采样信号，其表示输入信号的估计误差分量，该估计误差被表示为一系列相位采样值。由谐波滤波器13经由信号通道18输出所述滤波相位采样信号。滤波相位采样信号可被用作部分周期间隔滤波器10的最终输出，或者它可由重新采样器14从一个相位采样信号转换成一个基于时间的信号。
重新采样器14经由信号通道18从谐波滤波器13接收滤波相位采样信号，并且在通过插入由从相位检测器11经由信号通道29提供的相位采样时间信号所表示的非均匀时间所确定的等间隔时间，来重新采样所述滤波相位采样信号。然而，谐波滤波器13的滤波器输出具有由滤波器引入的时间滞后。重新采样器在经由信号通道29从相位检测器11中接收的对应采样时间信号之后的显著时间滞后之后，经由信号通道18接收滤波的相位采样信号。滤波器滞后输出采样时间信号的时间量等于谐波滤波器13的延迟。因此，重新采样器14配备有一个存储缓冲装置，以保存经由信号通道29接收的插入采样时间信号。重新采样器14使滤波相位采样信号的每个接收采样与在存储缓冲区中的对应相位采样时间信号同步，并且在等间隔时间重新采样滤波的相位采样信号。重新采样器14经由信号通道19输出重新采样的信号，所述信号通道19传送所述部分周期间隔滤波器10的输出信号。在信号通道19中的输出信号包含表示输入信号S(t)的估计宽带误差分量E(t)的滤波时间采样信号。
在部分周期间隔滤波器10的另一实施例中，相位基准信号P(t)由单调的相位信号来表示。相位检测器11经由信号通道15接收相位信号，并从相位信号中减去一个部分周期间隔相位值以生成一个相位差异。相位检测器11通过检测相位差异的零交点，来检测部分周期间隔的末端，并且在检测到零交点时，相位检测器11经由信号通道16生成一个表示部分周期间隔的末端时间的相位采样时间信号。为检测下一个部分周期间隔的时间，相位检测器11增加系数k的值，以生成一个新的相位值和一个新的相位差异，以检测下一个零交点。
在另一实施例中，谐波滤波器13可被配置来衰减或保持相位基准信号的一个或多个选定谐波倍数，从而所述滤波器响应函数包含一个基本上等于零点、或者基本上等于在每个选定谐波倍数的单位的幅度响应。在本实施例中，在信号通道19中的输出信号包含一个相位滤波时间采样信号，其中保持或衰减选定谐波相位分量。
依照本发明构造的误差衰减器如图2所示，并由附图标记20来表示。误差衰减器20配备有部分周期间隔滤波器10、节点滤波器21以及加法器22。
在操作中，误差衰减器20经由信号通道23接收一个将被误差衰减的输入信号S(t)。在信号通道23中的输入信号S(t)经由信号通道24被传递给部分周期间隔滤波器10，同时经由信号通道25被传递给加法器22。经由信号通道15向部分周期间隔滤波器10提供一个作为相位采样基础的连续相位信号P(t)。部分周期间隔10滤波所述输入信号S(t)以生成一个表示输入信号S(t)的估计误差分量的估计误差信号。由部分周期间隔滤波器生成的估计误差信号经由信号通道19被传递给节点滤波器21，所述节点滤波器21衰减基本上表示驱动点响应的瞬时响应分量的一个或多个瞬时频率分量或频带。预先估计或测量所述瞬时响应频率分量，从而为节点滤波器21建立滤波参数。节点滤波器21的作用是衰减瞬时响应分量。衰减瞬时响应分量是有用的，因为瞬态可能无法被部分周期间隔滤波器10充分地衰减，因为瞬时响应频率分量通常不与连续相位信号P(t)的频率相关。如果瞬时响应分量包含多于一个频率或多于一个频带，节点滤波器21可被设计为具有一个用于瞬时响应的每个频率分量的衰减抑制带。节点滤波器21经由信号通道26生成一个输出信号，其是表示输入信号S(t)的估计误差分量的瞬时衰减估计误差信号。
在信号通道26中的节点滤波器21的输出信号还被连接到信号通道27。误差衰减器20经由信号通道27提供瞬时衰减估计误差信号作为输出信号。
应当注意，节点滤波器21可被配置来衰减一个或多个频带、一个或多个窄带节点或其组合。
加法器22经由信号通道26接收瞬时衰减估计误差信号的负值，其由加法器22加到输入信号S(t)，以生成由误差衰减器经由信号通道28输出的误差校正信号。应当注意，部分周期间隔滤波器10和节点滤波器21均产生时间延迟的输出，因此相对于经由信号通道25接收的输入信号S(t)，加法器22经由信号通道26接收的瞬时衰减估计误差信号被延迟。因此，加法器22配备有时间延迟装置以在构成总和之前延迟接收的输入信号S(t)。
在信号通道28中的误差衰减器20的输出信号包含一个误差校正信号R(t)，依照上述方程(71)和(72)的描述，其表示具有衰减的估计误差E(t)的输入信号S(t)。
误差衰减器20以及部分周期间隔滤波器10提供了一种装置来估计并衰减在非调谐驱动点响应信号中的测量误差和积分误差，同时基本上保持多个非调谐频率分量的幅度和相位关系，以便这些信号变得更好地表示实际非线性弹性材料的实际的非调谐的驱动点响应。
6、用于确定弹性的驱动点分析器系统
现在，参见附图来描述用于确定弹性材料的弹性的驱动点分析器系统，图3表示依照本发明构造的用于确定弹性的驱动点分析器系统的具体实施例。驱动点分析器系统由附图标记90来表示。驱动点分析器90分析表示弹性材料的驱动点响应的信号。驱动点分析器系统90配备有驱动点信号调节器60、线性系统形成器70以及求解器80。
在操作中，向驱动点分析器系统90提供三个输入信号，其包含：经由信号通道61的驱动力信号、经由信号通道38的驱动点运动信号、以及经由信号通道15a的基准信号。驱动力信号表示一个施加给弹性材料的驱动力。驱动点运动信号表示一个对应于驱动力的驱动点运动。基准信号表示由一个致动器用来控制驱动力输出以便驱动力相位基本上与基准信号相位相似的连续相位基准信号。
在所示的实施例中，驱动点运动信号是一个驱动点加速度信号，并且驱动点响应由驱动力信号和驱动点加速度信号来表示。
由驱动点信号调节器60接收三个输入信号，在其中误差校正所述输入信号并且积分驱动点加速度信号以生成一个驱动点速度信号和一个驱动点位移信号。信号调节器60经由各个信号通道51、47、43以及62输出四个驱动点响应信号：误差校正的加速度信号α、误差校正的速度信号v、误差校正的位移信号x、以及误差校正的驱动力信号Fd。驱动点响应信号共同表示弹性材料的驱动点响应，并且这四个信号被传递给线性系统形成器70。
线性系统形成器70依照在上文中描述的选择的微分方程模型，将驱动点响应信号转换成设计矩阵Z和右手侧矢量Y，其表示反映弹性材料的驱动点响应的线性方程组。经由各个信号通道79和77将设计矩阵Z和右手侧矩阵Y输出到求解器80，其被配置来生成表示弹性材料的一个或多个弹性的最佳拟合解信号C。经由信号通道97输出最佳拟合解信号C。求解器80还被配置来生成一个估计概率误差信号，其是经由信号通道98输出的并且表示包含最佳拟合解C的参数系数的可能准确度的估计。
在驱动点信号调节器60中，基准信号经由信号通道15a被传递给相位检测器11a，相位检测器11a根据图2所示和上文描述的相位检测器11起作用。相位检测器11a检测基准信号的相位，并输出在部分周期间隔的一系列时间的相位采样时间信号。相位采样时间信号经由信号通道16a被传递给非调谐运动信号积分器30，以及经由信号通道16d被传递给一个误差衰减器20d。
非调谐运动信号积分器30还经由信号通道38接收输入的驱动点加速度信号。参见图4来描述非调谐运动信号积分器30。概括地说，非调谐运动信号积分器30使用第一误差衰减器20a来衰减在驱动点加速度信号中的测量误差，使用第一积分器31一次积分误差校正的加速度信号以生成一个速度信号，并且使用第二积分器32积分该速度信号以生成一个位移信号。在每个积分器31、32之后有一个误差衰减器20以衰减积分误差。非调谐运动信号积分器30配备有一系列三个误差衰减器20，出于清楚的目的其由附图标记20a、20b以及20c表示。误差衰减器20a、20b以及20c(图4)和20d(图3)依照在图2中详细表示以及在上文中描述的误差衰减器20来被构造并起作用。然而，在图3和图4所示的实施例中，误差衰减器20a、20b以及20c(图4)和20d(图3)均共享单个的公共相位检测器11a。
再次参见图4，相位检测器11a的输出分别经由信号通道16a、16b以及16c，被传递给误差衰减器20a、20b以及20c。
估计并衰减在驱动点加速度信号中的测量误差的第一误差衰减器20a经由信号通道38接收输入的驱动点加速度信号，以生成一个误差校正的驱动点加速度信号。第一误差衰减器20a经由信号通道39向第一积分器31输出误差校正的驱动点加速度信号。第一积分器31积分所述误差校正的驱动点加速度信号，以生成一个经由信号通道40向第二误差衰减器20b输出的速度信号。作为积分的结果，速度信号包含在该速度信号用于确定弹性之前必须被消除的积分误差。第二误差衰减器20b估计并衰减在速度信号中的积分误差，并经由信号通道41输出一个误差校正的速度信号。第二误差衰减器20b还经由信号通道27b输出一个表示速度信号的估计误差分量的速度误差信号。
第二积分器32经由信号通道41接收所述误差校正的速度信号，并积分该误差校正的速度信号，以生成一个经由信号通道42向第三误差衰减器20c输出的位移信号。第三误差衰减器20c估计并衰减在位移信号中的积分误差，并经由信号通道43输出一个最终的误差校正驱动点位移信号。
第三误差衰减器20c还经由信号通道27c输出一个表示位移信号的估计误差分量的位移误差信号。在信号通道27c中的位移误差信号由第一微分器33接收，所述第一微分器33生成位移误差信号的时间导数，并经由信号通道44输出该时间导数作为导出的速度误差信号。导出的速度误差信号表示未被第二误差衰减器20b衰减的剩余速度误差的估计。第一加法器36接收在信号通道44中的导出的速度误差信号的负值，并将其加给在信号通道46中的误差校正速度信号，以生成一个经由信号通道47输出的最终的误差校正驱动点速度信号。
经由信号通道45导出的速度误差信号还被第二加法器37加给在信号通道27b中的速度误差信号，以生成一个经由信号通道48向第二微分器34输出的组合的速度误差信号。第二微分器34生成组合的速度误差信号的时间导数，并经由信号通道49输出该时间导数作为导出的加速度误差信号。导出的加速度误差信号表示未被第一误差衰减器20a衰减的剩余加速度误差的估计。
第三加法器35经由信号通道49接收导出的加速度误差信号的负值，并从信号通道50中将其加给误差校正的驱动点加速度信号，以生成一个经由信号通道51输出的最终的误差校正的驱动点加速度信号。
应当注意，由于在误差衰减器20的操作中的滤波器延迟，误差衰减器20a、20b以及20c均在输入信号和对应的误差校正的输出信号之间引入一个恒定的时间延迟。因此，第二误差衰减器20b和第三误差衰减器20c配备有一个输入缓冲器，以用于部分周期间隔采样时间信号16b和16c的各自输入来补偿先前的滤波器延迟。加法器36、37以及35还均配备有一个输入缓冲装置来使它们的输入信号同步。
已经指出，在驱动点加速度信号开始输入的初始时(这也表示由致动器施加的驱动力的开始)，第一积分器31和第二积分器32被复位为零。复位积分器31和32至零点表示对初始条件的假设：弹性材料最初是静止的，并且驱动点加速度、驱动点速度、驱动点位移以及驱动力在信号通道38中的驱动点加速度信号的输入开始时基本上都是零值。
在另一实施例中，第一微分器33，或者第二微分器34、或者第一微分器33和第二微分器34这两者被可选地禁用，以便每个被禁用的微分器在各自的信号通道44和/或49中生成一个基本上为零值的输出信号。该实施例将非调谐运动信号积分器30改为可配置的，以无需导出误差校正而运转。
在另一实施例中，在任意一个或多个误差衰减器20a、20b、20c或20d中的部分周期间隔滤波器10可被一个高截止滤波器替代，其中所述高截止角的频率低于驱动力的基频。在另一实施例中，误差衰减器20可被一个DC偏移滤波器或一个低截止滤波器替代，其中所述低截止角的频率低于驱动力的基频。这两个实施例对于分析由一个没有基准信号的致动器(例如一个脉冲致动器)生成的驱动点响应是有用的。
总之，非调谐运动信号积分器30积分输入的加速度信号，并且衰减测量误差和积分误差同时基本上保持在连续相位基准信号的谐波的非调谐信号分量的幅度和相位关系，以便输出信号表示非线性弹性材料的非调谐驱动点响应。非调谐运动信号积分器30的操作的最终结果是生成三个输出信号：经由信号通道51的最终的误差校正的驱动点加速度信号，经由信号通道47的最终的误差校正的驱动点速度信号，以及经由信号通道43的最终的误差校正的驱动点位移信号。
现在参见图3以及参见驱动点信号调节器60，驱动力信号经由信号通道61被传递给第四误差衰减器20d，其估计并衰减在驱动点力信号中的测量误差，以生成经由信号通道62输出的误差校正的驱动点力信号。
总之，驱动点信号调节器60接收驱动点加速度信号(信号通道38)、驱动力信号(信号通道61)以及基准信号(信号通道15a)，并输出四个最终的误差校正的驱动点响应信号：最终的误差校正的驱动点加速度信号(信号通道51)、最终的误差校正的驱动点速度信号(信号通道47)、最终的误差校正的驱动点位移信号(信号通道43)以及误差校正的驱动力信号(信号通道62)。驱动点信号调节器60基本上保持表示非线性弹性材料的非调谐响应的驱动点响应信号的多个谐波频率分量的幅度和相位关系。
线性系统形成器70的运行与上述步骤(aa)的描述一致。求解器80的运行与上述步骤(bb)的描述一致，特别地，图3所示实施例的运行与上述步骤(cc)至(ff)的描述一致。
最终的误差校正的驱动点响应信号由线性系统形成器70接收，在其中它们被传递给一个模型基函数生成器71。模型基函数生成器71根据弹性材料响应的微分方程模型，生成一组表示线性方程组的信号。所述信号组包含一个右手侧信号Y和一组模型基函数信号Zj。依照上述方程(32)和上述步骤(aa)的描述，每个模型基函数信号Zj表示一个对应的模型基函数Zj(t)。依照上述方程(32)和上述步骤(aa)的描述，右手侧信号Y表示一个对应的右手侧函数y(t)。在操作中，通过选择一个特殊的微分方程模型来配置模型基函数生成器71。依照选择的具体微分方程模型，模型基函数生成器71被配置来生成右手侧信号Y和模型基函数信号Zj。依照上述方程(32)及其描述，模型基函数生成器71使用在信号通道51、47、43以及62中接收的驱动点响应信号来生成右手侧信号Y和模型基函数信号Zj。由模型基函数生成器71生成的每个模型基函数信号Zj是包含一个或多个驱动点响应信号的函数的信号。
出于清楚的目的举例来说，在一个实施例中，使用由上述方程(18)表示的选择的微分方程模型来配置模型基函数生成器71。使用由包括至速度的五次方和位移的三次方的项的上述方程(18)表示的选择的微分方程模型来操作，模型基函数生成器71生成八个不同信号的下述组：
Zj：α，ν，ν3，ν5，x，x2，x3和Y＝Fd，
其中七个不同模型基函数信号Zj的组如下所示：
Z1：α表示最终的误差校正的驱动点加速度信号；
Z2：v表示最终的误差校正的驱动点速度信号；
Z3：v3表示最终的误差校正的驱动点速度信号的三次方；
Z4：v5表示最终的误差校正的驱动点速度信号的五次方；
Z5：x表示最终的误差校正的驱动点位移信号；
Z6：x2表示最终的误差校正的驱动点位移信号的二次方；
Z7：x3表示最终的误差校正的驱动点位移信号的三次方；
并且右手侧信号Y是
Y：Fd表示误差校正的驱动力信号。
模型基函数生成器71经由一个对应的信号通道75，其在图3中出于清楚的目的由附图标记75a、75b、75c、...、75n来表示，输出每个模型基函数信号Zj。对于每个模型基函数信号Zj，有一个对应的信号通道75。由模型基函数生成器生成的模型基函数信号的数量N对应于在选择的微分方程模型中的未知参数系数的数量N。在一个实施例中，模型基函数生成器71被配置来使用基本上不超过三十二个信号通道75的不同信号通道75的最大数量并且基本上不超过三十二个不同模型基函数信号Zj来运行。如所需微分方程模型需要，其它实施例可以有显著超过32个的基函数信号通道。
模型基函数生成器71经由信号通道77输出右手侧信号Y。
模型基函数生成器71配备有存储装置来保存从驱动点信号调节器60接收的驱动点响应信号。模型基函数生成器71可以重复地使用所保存的驱动点响应信号来运行，以构成一系列不同的线性方程组，其中对于相同的驱动点响应信号，每个线性方程组基于一个不同的微分方程模型。由求解器80来求解一系列线性方程组，以确定均表示不同微分方程模型的一系列不同最佳拟合解。根据两个或更多不同的微分方程模型，可以组合不同的最佳拟合解来确定组合的解。
向图3所示的模型基函数生成器71的具体实施例提供了四个输入信号。根据微分方程模型，可能不要求一个或多个输入信号来构成基函数信号和右手侧信号的组。不需要不被用于构成基函数信号的驱动点响应信号，并且该不被使用的信号输入是可选的。
本发明包括一个被修改并使用少于所示的四个输入信号或多于四个输入信号运行的模型基函数生成器71。为了实施本发明，运行线性系统形成器70和模型基函数生成器71所需要的最小输入是一个驱动力信号和任意两个对应的驱动点运动信号。为了实施本发明的具体实施例，所需的实际输入包含构成对应于所需微分方程模型的基函数组所需的信号。本发明包括使用一个微分方程模型和一组对应的基函数，其可以下述内容的任意组合的函数：一个在法向、剪切和/或旋转的任意六个分量方向的驱动点运动；一个在法向、剪切和/或旋转的任意六个分量方向的驱动力；和/或表示致动器元件运动，例如反作用物质运动、底板对反作用物质的相对运动、压紧装置运动的信号和/或液压压力信号。
本发明包括等于输入驱动点运动信号之一的基函数，以便生成一个基函数信号包括仅仅将输入信号传递到设计矩阵形成器72。在生成一个基函数信号包括将输入信号传递到设计矩阵形成器72的情况下，如此生成的信号仍然被认为包括由模型基函数生成器71生成的基函数信号。
设计矩阵形成器72经由各个信号通道75接收模型基函数信号Zj，并依照上述方程(41)和(37)以及上述步骤(aa)的描述，构成表示设计矩阵的矩阵Z。对于每个不同模型基函数信号Zj，存在设计矩阵Z的对应的不同列。在设计矩阵Z中，存在与由模型基函数生成器71生成的模型基函数信号Zj的数量N相同的列数N。每行设计矩阵包含表示在不同时间ti的每个模型基函数信号Zj的值；在各个不同时间ti的N个值从而包含矩阵行的元素zij。不同时间ti表示相对于驱动力起始的时间。存在对应于每行设计矩阵的不同时间ti。存在对应于每列设计矩阵的不同模型基函数信号Zj。
设计矩阵形成器72配备有一个可配置的矩阵设计标准，其表示一组不同时间ti以构成设计矩阵Z的行。设计矩阵形成器72在不同时间ti的组采样模型基函数信号Zj，以填充设计矩阵Z的行。
不同时间组可以是下述的任意一个或多个：一组包含连续序列时间的时间、一组包含非连续序列时间的时间、一组非时间顺序的时间、一组均匀间隔的时间、一组非均匀间隔的时间或其任意组合。
在一个实施例中，矩阵设计标准包含构成设计矩阵Z的一个已定义的时间间隔和一个已定义的行数。设计矩阵形成器72在已定义的时间间隔估计基函数信号，并通过保存矩阵元素zij的值直到达到已定义的行数标准，来填充设计矩阵Z的行，然后经由信号通道79输出设计矩阵Z。
在另一实施例中，矩阵设计标准包含一个用于模型基函数信号Zj的时间间隔之内的时间间隔的已定义的时间窗口。设计矩阵形成器72通过保存开始于在时间窗口标准的起始的时间t0的矩阵元素zij的值，继续直到达到时间窗口结束的标准，填充设计矩阵Z的行，然后经由信号通道79输出设计矩阵Z。
在另一时间窗口实施例中，矩阵设计标准包含一个已定义的时间窗口序列。设计矩阵形成器72对序列中的每个具体时间窗口构成设计矩阵Z，从具体时间窗口消除到期的矩阵元素zij并增加矩阵元素zij直到达到具体时间窗口结束的标准。对已定义的时间窗口序列中的每一个不同时间窗口，输出不同设计矩阵Z，从而生成对应于由矩阵设计标准确定的时间窗口序列的设计矩阵Z的序列。已定义的时间窗口序列可以是重叠的时间窗口或不相重叠的时间窗口。使用表示时间窗口序列的设计矩阵标准来运行的设计矩阵形成器72提供了一种方式，以通过分析如此生成的每个设计矩阵来确定对每个时间窗口的一个或多个弹性值，来确定作为时间函数的一个或多个弹性值。
在另一实施例中，矩阵设计标准包含驱动力的冲程方向。设计矩阵形成器72通过保存对应于时间ti的矩阵元素zij的值(当由例如驱动点速度的信号所确定的冲程方向位于由矩阵设计标准所定义的方向时)来填充设计矩阵Z的行。使用冲程方向矩阵设计标准运行的设计矩阵形成器72提供了一种方式来确定一个或多个弹性值，其作为由致动器施加的驱动力的冲程方向的函数。
矩阵设计标准的实施例也可以组合使用。例如，矩阵设计标准的另一实施例包含一个已定义的时间间隔、一个已定义的冲程方向、一个已定义的矩阵行数以及一个已定义的时间窗口序列。
对于熟悉现有技术的人来说显而易见，存在可用于构成设计矩阵的时间标准的其它实施例和时间标准的其它组合。
设计矩阵形成器72被配置用于基函数信号的幅度控制。设计矩阵形成器72对设计矩阵中的每个基函数信号应用一个所需的缩放因子。所述缩放因子提供一个方式，以独立地控制设计矩阵中的每个基函数信号的幅度。调整设计矩阵中的基函数信号的幅度，从而提供了一个方式以控制设计矩阵的状态，以及控制线性方程组的解的质量。
设计矩阵的每个元素包含表示对应基函数信号的值乘以所需缩放因子的缩放值。具有对应于每个基函数信号的不同缩放因子。每个不同缩放因子在单个设计矩阵之内是常数。
在一个实施例中，选择缩放因子以便被缩放的基函数信号均有大致相同的a.c.幅度水平。这是有用的，因为基函数信号的幅度比例可能相差若干数量级。使用具有相当不同幅度的基函数信号生成一个病态的设计矩阵，并产生一个可能被舍入误差及其它数值噪声支配的参数系数的解。使用被缩放成大致相同的幅度水平的基函数将改善设计矩阵的条件，并且改善解的质量。
在另一实施例中，可以根据除了a.c.幅度之外的特性，例如每个信号的概率误差，来选择缩放因子，以提供一个控制解的其它特性的方式。
如果设计矩阵形成器72对一系列时间窗口生成一系列设计矩阵，所述幅度控制缩放因子对系列中的每个设计矩阵可以是不同的。基函数信号的相对幅度可以随时间而变化，因此对每个设计矩阵调整缩放因子是有用的。缩放因子在每个设计矩阵之内是常数，但每个缩放因子是对每个新的设计矩阵而调整的，从而提供对基函数信号的幅度控制。
在一个实施例中，幅度控制缩放因子可被定义为设计矩阵形成器72的配置设置。在另一实施例中，设计矩阵形成器72可被配置来根据用于构成设计矩阵的不同时间组所跨越的时间间隔之内的一个或多个基函数信号的相对幅度，确定一组缩放因子。
由设计矩阵形成器72使用的幅度控制缩放因子是已知值，其可被用于重新缩放由求解器80输出的解结果至一个所需比例。
基函数信号的幅度控制可通过对所有基函数信号指定单位缩放因子来禁用。
设计矩阵形成器72配备有存储装置，以在构成设计矩阵Z时，保存构成设计矩阵Z的元素zij的值。设计矩阵形成器72向求解器80输出设计矩阵Z。
求解器80经由信号通道79接收设计矩阵Z，并且经由信号通道77接收右手侧信号Y。求解器80分析设计矩阵Z和右手侧信号Y，以确定一个形成符合右手侧信号Y的设计矩阵Z的列的最佳拟合线性组合的最佳拟合解C。求解器80可以依照在上文中步骤(bb)的描述，使用任意各种已知的方法来求解线性方程组。
在图3所示的实施例中，依照上述步骤(bb)和(cc)至(ff)及其描述，解是通过奇异值分解法。
参见图3，求解器80配备有一个奇异值分解(SVD)模块81。SVD模块81经由信号通道79接收设计矩阵Z，并依照上述方程(47)及其描述，分解设计矩阵Z以生成一个奇异值分解，其包含(经由信号通道86输出的)左侧矩阵U，(经由信号通道87输出的)奇异值矩阵W、以及(经由信号通道88输出的)基矩阵V。
除法器85经由信号通道87接收奇异值矩阵W。除法器85配备有一个最小阈值ε的可配置的参数值，依照上述方程(51)及其描述，其表示滤去奇异值的阈值。对奇异值矩阵W的每个奇异值元素wk，如果奇异值元素wk的值大于或等于最小阈值ε，除法器85生成一个代表奇异值元素的倒数(1/wk)的倒数奇异值；或者如果奇异值元素wk的值小于最小阈值ε，则生成一个零值输出。除法器经由信号通道89输出如此生成的值，并且被连接到信号通道93。
左侧矩阵U由一个点积乘法器82接收。该点积乘法器82配置有一个时间选择标准，其表示由设计矩阵形成器72用于生成设计矩阵Z的相同的不同时间组ti。依照上述步骤(ee)及其描述，点积乘法器82使用从信号通道77接收的右手侧信号Y，生成左侧矩阵U的每列的点积乘法。右手侧信号Y与左侧矩阵U的列的对应是由用于构成设计矩阵Z的相同的不同时间组ti确定的。点积乘法器82使用在不同时间组ti的右手侧信号Y的值，用左侧矩阵U的每列构成一个点积。点积输出包含左侧矩阵U的N列的每列的点积值。经由信号通道95向乘法器83输出N个点积值的组。
乘法器83将经由信号通道95接收的N个点积值的每一个乘以经由信号通道89接收的对应的倒数奇异值。乘法的结果是由对应的倒数奇异值(1/wk)加权的一组N个加权的点积值dk。从乘法器经由信号通道96输出加权的点积值dk。
点积乘法器82、除法器85以及乘法器83的操作的总作用是依照上述方程(51)及其描述以及依照上述步骤(dd)和(ee)及其描述，生成一组N个值dk。依照上述步骤(dd)及其描述，在除法器85中可配置的最小阈值ε提供了对零空间解的控制。
将基矩阵V从连接至信号通道94的信号通道88传递给加权和模块84，其还经由信号通道96接收加权的点积值dk。加权和模块84按照上述步骤(ff)及其描述来操作。依照上述方程(50)及其描述，加权和模块88使用对应的加权点积值dk作为权重，构成基矩阵V的列矢量的加权和，由此总和生成包含元素cj的解矢量C。从加权和模块84经由信号通道97输出解矢量C的元素cj。
经由信号通道97输出的解矢量C表示由线性系统形成器70构成的线性方程组的最佳拟合解。
由解误差模块86来生成解矢量C的元素cj的相对概率误差估计。解误差模块86有两个输入和一个输出。这两个输入是经由信号通道88接收的基矩阵V和经由连接到信号通道89、除法器85的输出的信号通道93接收的倒数奇异值(1/wk)。依照上述方程(53)及其描述，解误差模块86从基矩阵V和倒数奇异值(1/wk)生成一个表示解C相对概率误差估计的输出。由解误差模块经由信号通道98输出估计的相对概率误差。
信号通道97中输出的解矢量C的元素以及在信号通道98中估计的相对概率误差表示求解器80的输出并且包含驱动点分析器系统90的输出。
在信号通道97中输出的解矢量C的元素cj的值包含由线性系统形成器70构成的线性方程组的最佳拟合解。构成解矢量C的元素cj的值表示对在模型基函数生成器71的配置中选择的具体微分方程模型的参数系数的值的最佳拟合解，以及对于由设计矩阵形成器72的矩阵设计标准配置表示的具体时间选择的最佳拟合解。
根据在系统内使用的若干缩放因子的已知值，由求解器80输出的参数系数值可被重新缩放为一个所需输出比例。参数系数值的比例受下述缩放因子的影响：用作在信号通道38中对驱动点分析器系统90的初始输入的驱动点加速度信号的比例；用作在信号通道61中对驱动点分析器90的初始输入的驱动力信号的比例；由设计矩阵形成器72施加于基函数信号的缩放因子组；表示用于表示在驱动点分析器系统90中每个不同信号的幅度比例的缩放因子；及其它可能由模型基函数生成器71、非调谐运动信号积分器30、误差衰减器20d或求解器80应用的缩放因子。
参数系数的最佳拟合组表示弹性材料的一个或多个弹性。每个参数系数的意义是根据在模型基函数生成器71的配置中选择的微分方程模型的对应项的意义。参数系数的最佳拟合解的值表示一个特定矩阵设计标准的最佳拟合解，其中所述矩阵设计标准包含由设计矩阵形成器72使用的不同时间组。
为了操作驱动点分析器系统90，使用表示弹性材料的驱动点响应的所需微分方程模型，来配置模型基函数生成器71。使用对将分析的不同时间组的所需矩阵设计标准以及用于基函数信号的幅度控制的所需缩放因子组，来配置设计矩阵形成器72。使用所需谐波滤波器响应来配置在每个误差衰减器20a、20b、20c、20d中的部分周期间隔滤波器10。使用用于生成相位时间信号的所需数量的每周期相位间隔来配置相位检测器11a。
将表示弹性材料的驱动点响应的输入信号输入到驱动点信号调节器60：经由信号通道38的驱动点加速度信号、经由信号通道61的驱动力信号、以及经由信号通道15a的对应基准信号。驱动点信号调节器60积分加速度并衰减在驱动点响应信号中的积分误差和测量误差，以生成一组有助于确定弹性材料的弹性的误差校正驱动点响应信号。依照选择的微分方程模型以及对于不同时间的组，线性系统形成器70将误差校正驱动点响应信号构成一个线性方程组，以生成经由各自的信号通道79和77输出到求解器80的设计矩阵Z和右手侧矩阵Y。求解器80被配置来通过设计矩阵Z的奇异值分解来生成线性方程组的最佳拟合解。求解器80经由信号通道97输出最佳拟合解C，以及在信号通道98中输出一个解的估计的相对概率误差。
7、使用误差衰减器的往复运动致动器的估计的力输出
本发明提供了系统和方法来估计并衰减在往复运动致动器(例如一个地震振荡器)的测量的力输出中的误差。误差衰减器20和部分周期间隔滤波器10有助于衰减在驱动力输出中的误差。
在现有技术中众所周知，往复运动致动器的力输出可被估计为底板加速度和反作用物质加速度的质量加权和(J.Sallas，1984，“Seismicvibrator control and the downgoing P-wave(地震振荡器控制和下行P波)”：地球物理学，第49卷，第6号，第732-740页)：
Fd＝-(Mbαb+Mrαr) (74)
其中Fd是由致动器对衬底材料施加的驱动力；Mb是底板的惯性质量；αb是底板的加速度运动；Mr是反作用物质的惯性质量；以及αr是反作用物质的加速度运动。
在一个实施例中，每个加速度信号αb和αr是在构成加权和之前由误差衰减器20(图2)误差校正的。
底板加速度和反作用物质加速度是测量的运动信号，通常由加速度传感器来测量。参见图2，经由信号通道15向误差衰减器20提供一个对应于所述两个加速度信号的致动器基准信号作为相位基准信号。经由不同的信号通道23将两个加速度信号的每一个输入给不同的误差衰减器20，以生成一个误差校正的底板加速度信号和一个误差校正的反作用物质加速度信号。误差校正的底板加速度和误差校正的反作用物质加速度的质量加权和包含估计的致动器输出力信号，其中保持了非调谐的信号分量而衰减了其它分量。
在另一实施例中，两个加速度信号的每一个——底板加速度信号和反作用物质加速度信号——是在构成所述加权和之前由一个非调谐运动信号积分器30(图4)误差校正的。非调谐运动信号积分器30按照已在此描述的内容来工作。非调谐运动信号积分器30经由信号通道51输出一个最终的误差校正的加速度信号，其用于构成一个误差校正的加权和力信号。
图7描绘了用于生成一个误差校正的驱动力信号的系统的另一实施例，其被包括在一个驱动点信号调节器60a中。驱动点信号调节器60a在信号通道62中生成一个表示误差校正的驱动力信号的输出信号。驱动点信号调节器60a经由信号通道38接收一个底板加速度信号、经由信号通道15a接收一个相位基准信号并且经由信号通道61接收一个反作用物质加速度信号。非调谐运动信号积分器30经由信号通道61接收底板加速度信号，并且估计并衰减在底板加速度信号中的误差，以在信号通道51中生成一个误差校正的驱动点加速度信号。误差衰减器20d接收在信号通道61中的底板加速度，并且估计并衰减误差，以在信号通道63中生成一个误差校正的底板加速度信号。加权和元件65经由信号通道64接收误差校正的驱动点加速度信号以及经由信号通道63接收误差校正的底板加速度信号。加权和元件65构成两个加速度信号的加权和，以生成在信号通道62中输出的误差校正的驱动力信号。驱动点信号调节器60a的操作的进一步描述将在例1中提供。
在另一实施例中，加权和力信号是在误差校正之前构成的，然后使用一个误差衰减器20来误差校正加权和力信号，以构成一个误差校正的驱动力信号。该实施被包括在图3所示的特定的驱动点分析器系统90中。参见图3，经由信号通道61向误差衰减器20d输入驱动力信号。经由信号通道15a向相位检测器11a提供表示致动器基准信号的相位基准信号。经由信号通道62的误差衰减器20的输出表示一个误差校正的驱动力输出信号。
由这些实施例生成的误差校正的驱动力信号更准确地表示实际非线性弹性材料的非调谐响应，并且从而有助于确定材料的弹性。
8、使用相对位移测量的往复运动致动器输出的改善估计
往复运动致动器通常有一个测量传感器，其测量反作用物质的位置相对于底板的位置。例如，一些往复运动致动器(例如地震振荡器)具有连接到反作用物质和底板的位移传感器，例如线性可变位移传感器(LVDT)，以便位移传感器的输出表示反作用物质相对于底板的位移。相对位移信号可结合两个加速度信号(底板加速度、反作用物质加速度)来使用，以生成致动器底板的驱动点运动的改善估计，以及生成往复运动致动器的驱动力输出的改善估计。
在往复运动致动器的一个实施例中，测量三个表示致动器运动的不同信号：底板加速度信号、反作用物质加速度信号以及相对位移信号。相对位移信号由一个位移传感器测量，所述位移传感器生成一个表示反作用物质相对于底板的位移的信号。底板加速度信号由一个连接到底板的加速度传感器测量，以便该加速度传感器生成一个表示底板加速度运动的输出信号。反作用物质加速度信号由一个连接到反作用物质的加速度传感器测量，以便该加速度传感器生成一个表示反作用物质加速度运动的输出信号。
本发明公开了用于组合这三个信号的一种系统和两种方法。
一种方法是使用相对位移信号的二阶时间倒数来生成一个相对加速度信号，其结合了底板加速度信号和反作用物质加速度信号。驱动力输出被估计为底板加速度、反应加速度以及相对加速度的加权和。底板加速度和反作用物质加速度由一个按比例表示底板质量和反作用物质质量之和的因子来加权。所述相对加速度由一个按比例表示在反作用物质质量和底板质量之差的因子来加权。
对上述表示往复运动致动器的加权和力输出的方程(74)进行代数移项，产生下述表示往复运动致动器估计的力输出的表达式：
$-F_{d+}=\sigma \times \left(\frac{M_r+M_b}{2}\right)+\delta \prime \prime \times \left(\frac{M_r-M_b}{2}\right)---\left(75\right)$
其中×表示乘法，并且
Fd+表示在接触表面区域上由致动器底板对衬底材料施加的力量的组合估计；
Mr是反作用物质的惯性质量；
Mb是底板的惯性质量；
σ＝αr+αb是反作用物质加速度αr和底板加速度αb的总和；
δ＝xr-xb是由位移传感器测量的反作用物质位置xr相对于底板位置xb的相对位移；以及
$\delta \prime \prime =\frac{d^2\delta }{d{t}^2}$表示相对位移δ的二阶时间倒数，因此表示反作用物质相对于底板的相对加速度：δ″＝αr-αb。
换句话说，由往复运动致动器施加在衬底材料上的力量被估计为两个数值的总和：(a)第一个数值是反作用物质和底板的质量平均值，该平均值乘以反作用物质加速度和底板加速度的总和；以及(b)第二个数值是相对位移的二阶倒数乘以反作用物质和底板的质量差异的一半。应当理解加速度、相对位移以及力量都是时间的函数。还应当理解加速度和相对位移是相对于相同规定方向测量的，以便正加速度和正位移均在相同方向，并且负加速度和负位移在相反的方向。
将方程(75)除以反作用物质和底板的平均质量，生成驱动力输出的组合估计的另一实施例：
$-\left(\frac{2}{M_r+M_b}\right)\times F_{d+}={\alpha }_r+{\alpha }_b+\delta \prime \prime \times \left(\frac{M_r-M_b}{M_r+M_b}\right)---\left(76\right)$
其中方程(76)的左手侧表示由一个表示底板和反作用物质平均质量的倒数的常数因子缩放的驱动力，并且方程(76)的右手侧表示反作用物质加速度αr、底板加速度αb以及相对加速度δ″的加权和。
图5表示一个加权和驱动力估计系统100，其被配置来生成一个表示往复运动致动器的驱动力输出的输出。加权和驱动力估计系统100有三个输入信号：经由信号通道101输入的反作用物质加速度信号αr，经由信号通道102输入的底板加速度信号αb，以及经由信号通道103输入的相对位移信号δ。反作用物质加速度信号αr表示往复运动致动器的反作用物质的加速度。底板加速度信号αb表示往复运动致动器的底板的加速度。相对位移信号δ表示反作用物质相对于底板的相对位移。
经由信号通道103将相对位移信号δ输入到二次微分器104，其生成一个表示相对位移信号的二阶时间导数δ″的输出信号。相对位移信号的二阶时间导数δ″等于相对加速度信号。二次微分器104可按需要配备一个高截止滤波器，以衰减由微分器生成的高频噪声。经由信号通道105将由二次微分器104输出的相对加速度信号δ″提供给加权和模块106。
加权和模块106接收三个输入信号：经由信号通道105接收的相对加速度信号δ″、经由信号通道101接收的反作用物质加速度信号αr以及经由信号通道102接收的底板加速度信号αb。依照方程(76)及其描述，加权和模块106生成三个输入信号的加权和。相对加速度信号δ″的加权系数还由一个表示相对位移信号δ的幅度比例的额外因子来缩放。相对位移信号δ是由不同于底板和反作用物质加速度信号的另一种传感器测量的，因此相对加速度信号δ″的幅度值可以表示不同于底板加速度信号和反作用物质加速度信号的幅度比例单元的比例单元。因此，相对加速度信号δ″的加权系数由一个因子来缩放，相比于底板加速度信号αb和反作用物质加速度信号αr基本上补偿在缩放相对加速度信号δ″中的任意差异。加权和模块106在信号通道107中提供加权和作为输出信号。
在信号通道107中的加权和输出信号是加权和驱动力估计系统100的输出信号。在信号通道107中的加权和信号输出表示往复运动致动器的驱动力输出。
相对位移测量还可用于生成底板加速度的组合估计和反作用物质加速度的组合估计：
${\alpha }_{r+}=\frac{(\sigma +\delta \prime \prime )}{2},---\left(77\right)$
${\alpha }_{b+}=\frac{(\sigma -\delta \prime \prime )}{2},---\left(78\right)$
其中
αr+是反作用物质加速度的组合估计，其由相对位移测量的二阶导数来调节；
αb+是底板加速度的组合估计，其由相对位移测量的二阶导数来调节；
σ＝αr+αb是未调节的反作用物质加速度信号αr和未调节的底板加速度信号αb的总和；
δ＝xr-xb是反作用物质位置xr相对于底板位置xb的相对位移，其由位移传感器测量；以及
$\delta \prime \prime =\frac{d^2\delta }{d{t}^2}$表示相对位移的二阶时间导数，因此表示相对加速度。
用于组合这三个信号的另一方法是二次积分底板加速度和反作用物质加速度信号，以生成可与相对位移信号组合的底板位移信号和反作用物质位移信号。底板加速度和反作用物质加速度均可被独立地二次积分，然后求和，或者底板加速度和反作用物质加速度可被首先求和，然后二次积分该总和。
积分反作用物质加速度和底板加速度生成可与相对位移测量组合的位移信号，以生成反作用物质位移的组合估计和底板位移的组合估计，如下述方程所示；
$x_{r+}=\frac{(\xi +\delta )}{2}---\left(79\right)$
$x_{b+}=\frac{\xi -\delta }{2}---\left(80\right)$
其中
xr+表示反作用物质位移的组合估计，其由相对位移测量来调节；
xb+表示底板位移的组合估计，其由相对位移测量来调节；
ξ＝∫∫σdtdt＝∫∫(αr+αb)dtdt＝∫∫αrdtdt+∫∫αbdtdt＝xr+xb是未调节的反作用物质加速度信号αr和未调节的底板加速度信号αb的总和的二次时间积分，因此ξ表示从加速度测量中确定的反作用物质和底板的未调节位移的总和；
δ＝xr-xb是反作用物质位置xr相对于底板位置xb的相对位移，其由位移传感器测量。
底板位移xb+的组合估计可被用于确定底板速度的组合估计和底板加速度的组合估计：
${\nu }_{b+}=x_{b+}^{\prime }=\frac{d\left(x_{b+}\right)}{\mathrm{dt}},---\left(81\right)$
${\alpha }_{b+}=x_{b+}^{\prime \prime }=\frac{d^2\left(x_{b+}\right)}{{\mathrm{dt}}^2}.---\left(82\right)$
反作用物质速度和反作用物质加速度的组合估计可被以相似的方法来确定。
底板运动的这些组合的、调节的估计——底板位移xb+、底板速度vb+以及底板加速度αb+——是衬底材料的驱动点运动的估计，并且可以结合驱动力Fg+以用于确定致动器所施加力的衬底材料的弹性。
还可以通过使用部分周期间隔滤波器法估计并衰减测量误差和/或积分误差同时基本上保持作为连续相位基准信号的谐波的信号分量的相位和幅度关系，来校正用于生成致动器输出的调节的估计的每个信号——相对位移δ、反作用物质加速度αr以及底板加速度αb。误差校正可以在生成致动器输出组合的调节的估计之前应用于所述信号，和/或误差校正可以在生成组合的调节的估计之后应用于该估计。
通过组合所述三个测量——相对位移δ、反作用物质加速度αr以及底板加速度αb来确定往复运动致动器的输出力和/或运动的估计的这些方法是有用的，因为相对位移测量与加速度测量无关，并且结合所有三个测量将生成致动器输出力和运动的改善估计。
在现有技术中众所周知，往复运动致动器的驱动力的加权和估计可以与实际驱动力有所不同，因为取决于致动器机械性能的各种因素，其包含下述的任意一个或多个：由底板引起的惯性质量中的不精确、由反作用物质引起的惯性质量中的不精确、反作用物质和底板的加速度测量中的不精确、底板在高频率的弯曲、反作用物质力对底板的不完美连接、底板与压紧设备的不完美隔离、底板和/或反作用物质的摆动及其组合。驱动点分析器系统可以补偿在加权和驱动力信号中由致动器机械性能引起的误差，该补偿是通过使用包含表示致动器一个或多个元件的动态力学响应的项的微分方程模型，并且包括对应于除了底板的驱动点运动之外的致动器元件运动的运动信号和基函数信号来实现的。
9、使用部分周期间隔的频谱估计
当估计误差衰减方法的性能，或估计用于确定实际非线性弹性材料的弹性的方法的性能时，用于估计驱动点运动信号在驱动力谐波频率上的非调谐分量的频谱幅度和相位的方式是有用的。这种频谱估计还有助于估计作用于弹性材料的动态致动器的性能，并且有助于表示弹性材料在频域中的响应的非调谐分量。本发明的一个目的是估计驱动点运动信号或致动器输出信号在已知连续相位信号的谐波频率上的非调谐分量的频谱幅度和相位，同时基本上保持这些谐波分量的相对幅度和相对相位关系。
在本发明中，我公开了一种系统和一种方法以使用部分周期间隔相位采样法，来进行输入信号在具有已知相位函数的已知连续相位信号的谐波上的谐波分量频率的频谱估计，所述方法包含下述步骤：
(pp)确定在已知相位函数的相位的等间隔的一系列时间值，其中相位的等间隔是部分周期间隔；
(qq)在由一系列如此确定的时间值表示的时间点采样输入信号，以生成一个相位采样信号；
(rr)估计如此生成的相位采样信号的频谱分量，以生成一个表示相位采样信号的频谱分量的估计频谱函数。
该方法有两个不同的输入：一个输入信号(在此由S(t)来表示)以及一个相位函数(在此由来表示)。相位函数表示连续相位信号(由P(t)表示)的已知相位。
步骤(pp)和步骤(qq)是根据已在上文中完整详细地描述的部分周期间隔滤波器步骤(即)和(qq)。步骤(uu)是不同的。在步骤(uu)中，替代于使用滤波器，频谱分析将被应用到相位采样信号。频谱分析提供了一种方式来估计相位采样信号的谐波分量的幅度频谱和/或相位频谱。频谱分析包含现有技术中已知的任意各种频谱分析法，包括但并不限于Fourier分析法(例如快速傅立叶变换或离散傅立叶变换)或最大熵法(Press等人，C中的数值法，剑桥大学出版社，1988，第447-452页)。
由所述方法生成的频谱分量并非瞬时频率，因为被分析的信号是相位采样信号。频谱分量是关于已知相位函数的相位分量的伪频率，并且这些相位分量的单位为周期每弧度。基本上保持作为已知相位函数的谐波的频谱分量的幅度和相位关系，并且由所述方法清晰地分解这些谐波分量。根据用作部分周期间隔相位采样的基础的所述已知相位函数的瞬时频率，单位为周期每弧度的伪频率值可被转换成周期每秒的单位。
在频谱估计的现有技术中众所周知，在分析窗口长度和频谱估计分辨率之间存在分辨率折衷。需要较长的窗口以获得频率分量的较高的分辨率估计。然而，对于其中频率随时间连续地变化的扫频信号，较长的窗口包括在扫掠中的较宽的频率范围，因此频谱估计将散布在所述窗口之内的扫掠信号的整个频率范围。使用传统的瞬时频率估计方法不可能获得短时窗口之内扫频信号中的谐波频率分量的清晰分辨的估计。使用部分周期间隔相位采样信号的频谱分析的一个优势在于该方法提供了已知相位函数谐波的谐波频率分量的清晰分辨的频谱估计。
图6表示一种依照本发明构造的部分周期间隔频谱分析器系统，并由附图标记110表示。部分周期间隔频谱分析器系统110配备有相位检测器11、相位采样器12以及频谱分析器113。相位检测器11和相位采样器12按照已在此结合部分周期间隔滤波器10给出的描述来操作。参见图6，在操作中，部分周期间隔频谱分析器110接收一个将被分析的输入信号以及一个相位基准信号。相位基准信号经由信号通道15被传递给相位检测器11。相位检测器11检测相位基准信号的相位并生成表示部分周期间隔的一系列时间的相位采样时间信号。将相位采样时间信号经由信号通道16提供给相位采样器12。经由信号通道24向相位采样器12输入一个将被分析的输入信号。经由信号通道16接收的相位采样时间信号触发相位采样器12，以在每个部分周期间隔的末端采样输入信号。经由信号通道17向频谱分析器113输出由相位采样器12生成的一系列采样值。由相位采样器12输出的一系列采样表示相位采样信号。实际上，根据相位基准信号的相位，相位采样器12将输入信号从作为时间的函数转换成作为相位的函数。频谱分析器113估计相位采样信号的频谱，并在信号通道115中输出表示频谱的信号。
频谱分析器113的频谱输出包含部分周期间隔频谱分析器系统110的输出。频谱输出包含输入信号在相位基准信号的谐波上的频谱。频谱输出的一个实施例的形式为表示频谱的复值信号。频谱输出的另一实施例的形式为幅度频谱和/或相位频谱。
由部分周期间隔频谱分析器110的实施例生成的谐波功率频谱的一个例子如图8B所示，并在例1中描述。
有经验的专业人员应当理解，在此描述的任意各种力可通过将力除以力所施加的对应接触表面区域的表面区域大小，而被表示为压力或应力。仅仅出于清楚和一致描述的目的，在此关于力描述了弹性和粘性关系，并且它们可用压力或应力的项来表示，而不改变本发明的本质、逻辑或范围。
应当理解仅仅出于清楚地识别用于每个独立步骤或方法中的信息以及用于每个步骤中的方法或处理的目的，在此独立地表示并描述了本发明若干方法的所有信号、处理、步骤或方程。实际上，只要基本上执行在此描述的方法的逻辑，可以分离或组合信号、处理、步骤或方程。
应当理解，可以保存在此描述的任意一个或多个信号的任意中间值；并且只要基本上执行在此描述的方法的逻辑，通过检索保存的信号值，可以以独立的不连续的步骤来实施每个方法，并且操作每个系统。
应当理解仅仅出于清楚地识别在系统的每个独立元件和每个元件的操作之间传递的信息的目的，在此独立地表示并描述了若干系统的所有信号通道与元件、模块或系统。在操作中，只要基本上执行在此描述的系统的逻辑，信号通道与元件、模块或系统可以是独立的或组合的。
还应当理解，在此描述的每个系统可被实施为：在一个或多个适当的处理器、微处理器、数字信号处理机或计算机中执行的一个或多个软件程序；多个离散的或集成的电子元件；和/或其组合。
对于熟悉现有技术的人来说显而易见，在这里描述的各种组件、元件和系统的结构和操作中可以进行改变，并且在这里描述的方法的步骤或步骤序列中可以进行改变，而不背离所描述的本发明的精髓和范围。
实例
例1
在测试位置上，在地球表面上土壤的弹性是使用本发明的系统和方法的实施例从土壤的驱动点响应中确定的。地震振荡器致动器产生应用于土壤的驱动力，并且振荡器控制系统采集表示土壤的驱动点响应的信号。被测试的土壤是原地的，位于地球表面的位置上。

地震振荡器被设计用作地震能源，以使用各种众所周知的地震勘探系统和方法来对地球的地下成像。在地震勘探法中，地震振荡器在源位置对地球的表面施加一个振动力，产生传播进地球并接着由一个或多个地震传感器接收到的弹性波。地震数据采集系统使地震振荡器和地震传感器同步，并记录地震传感器信号。在一个典型的地震勘测中，可以使用多个地震振荡器，并且每个地震振荡器在遍及测量面积的许多不同的源位置振动，以生成许多不同地震记录的集合。处理地震记录的集合以生成测量面积的地下地质的地震图像。
为了有效地服务于所述目的，地震振荡器被设计来以受控的方式产生大的动态振动力，以最大化传输进地球并由地震传感器以最优信号强度接收的弹性波能的功率。在地震勘探操作中，振动施加在每个源位置的持续时间出于经济方面的考虑是有限的，以最小化勘测的实耗时间和经济成本，同时还获得地震成像目的。
为了达到地震勘探目的，由地震振荡器在地震勘探期间产生的振动力和运动通常超过线性弹性模型的小幅度近似。地震振荡器的高功率输出在驱动点产生非线性的弹性响应。而且，由于实际的经济限制，振动力施加的期间通常太短，无法近似稳态运动。
因此，由地震振荡器在典型的地震勘探期间产生的驱动力和驱动点运动包含由非线性弹性响应引起的驱动力的谐波的非调谐叠加，以及还包含稳态分量和瞬时分量这两者的叠加。瞬时分量还包含一组谐波的叠加。
典型的现行办法是使用Laplace变换法或各种相关的频域法来从驱动点运动(其包括由从事于地震勘探的地震振荡器产生的驱动点运动)中确定弹性。这些方法根据对线性弹簧减震器模型的运动的微分方程应用Laplace变换，将方程转换成Laplace域表示，其中驱动力与驱动点运动的复矢量比产生简单的代数关系。在这些方法中，弹性通常通过对驱动力信号与驱动点运动信号的复比的频域表示拟合曲线来获得。如果使用的驱动点运动是驱动点速度，驱动力对驱动点速度的复矢量比也被称为机械阻抗或复阻抗。这类解法还被称为传递函数解。在这些Laplace变换和相关方法中明确的数学要求是驱动力和驱动点运动均必须近似于稳态的纯正弦信号。非调谐信号分量(也被称为谐波失真)或瞬时分量的存在使Laplace变换法的数学基础无效。有经验的专业人员尝试通过组合若干众所周知的方法来处理这些限制，其包括但并不限于1)对于驱动点响应信号应用跟踪滤波器，以衰减除了固有驱动频率之外的所有非调谐和瞬时分量；2)限制驱动力的大小在小幅度近似的限制之内，以获得近似的线性弹性响应；以及3)施加驱动力足够长的持续时间以达到稳态运动。隐含的假定是瞬时和谐波信号分量被充分地衰减，以便Laplace变换法产生真实弹性的合理的近似值。
例如，Hamblen等人(US专利第6,604,432号)教导了一种用于从驱动力与驱动点加速度的复比中，或作为替代地从驱动力对驱动点位移的复比中，确定土壤机械刚性的Laplace变换型方法。Hamblen等人在他们的方法中要求驱动力的幅度必须限于一个低水平，并且他们建议对驱动力和位移信号应用跟踪滤波器以衰减除了固有驱动频率之外的所有信号分量。Hamblen的方法通过平均大范围的频率来产生刚性的单个值。
相反，本发明的系统和方法没有对非调谐或瞬时信号分量的精确使用的数学限制。本例子表示本发明的系统和方法如何使用地震振荡器致动器产生高幅度、短期间的驱动力，来确定在地球表面上一个测试位置的原地弹性。用于本例的驱动力的幅度超过小幅度近似，并且由此产生的弹性响应是包括瞬时分量的非线性、非调谐的驱动点响应。一阶刚性和一阶粘性的值被确定为频率的函数，其提供一个分析装置以确定剪切波速度的深度概况。
如此确定的弹性的一个用途是改善由地震勘探产生的地震图像。在地表及其附近的弹性通常是剧烈变化的，这引起在更深地质特性的地震图像中的失真。弹性波场在从能源中辐射出时和在地震传感器中被接收时，随着它传播至近地表材料而变得失真。这些失真特征在于静时延迟、相位偏移、由频率决定的衰减、临界角反射、弹性波型转换及其它弹性波传播影响。如果近地表材料的弹性是已知的，地震成像方法可以减小近地表失真的影响以改善更深特性的合成图像。特别地，知道在近地表材料中的地震波速度的概况是有用的。
在地震勘探实践中用于确定近地表波速的一种方法是钻一个钻孔并直接测量在地表和钻孔之内的一个或多个次表面深度水平之间的地震波速的深度轮廓。所述钻孔测量方法在地震勘探技术中被称为“上孔(up-hole)”法。该方法是相对耗时的且在经济上昂贵的，并且它通常难以获得关于超过几个稀疏的钻孔的测量。通过使用由地震振荡器在地震勘探期间产生的驱动点响应来确定近地表弹性的若干优势在于可在每个地震振荡器源位置确定其特性，这正好是所述特性最有用的地方；地震振荡器源位置通常是密集的，这允许近地表特性的空间变化的良好测量；并且除了地震勘探操作已经需要的之外，并不产生额外的时间或工作。因此能够从同时包含瞬时和稳态响应并且包含超过小幅度近似的驱动力的驱动点响应中确定所述弹性是一个优势。
近地表弹性的其它用途是在土木工程领域中。在地表及其附近的土壤及其它材料的弹性是影响建筑物、路基、洞穴、堤坝、隧道及其它类型地基和陆地工程的设计和结构的重要因素。对于许多建筑物来说，必须测量并且有时通过各种建造方法(例如夯实、填充或挖掘)来修改地基土壤的弹性，然后进行检查，以符合建筑物的设计标准。使用本发明的驱动点响应系统和方法的一个优势在于它们提供了一种方式以使用相对较短期间的线性调频脉冲和相对较大幅度的驱动力，快速有效地确定在大量驱动点位置的弹性。
Richart等人表示弹性半空间的驱动点响应可以由等效弹簧减震器模型的微分方程模型来表示(Richart，F.E.Jr.，1970，“Vibrationsof Soils and Foundations(土壤和地基的振动)”，Prentice-Hall，第191-213页)。Richart讲授等效弹簧减震器模型的刚性和粘性系数并非常数；刚性和粘性系数的值是驱动力的频率和弹性半空间特性——密度、剪切模量以及泊松比的复杂函数。Lysmer提出一种解决对于刚性圆盘对弹性半空间的水平面施加垂直驱动力的特殊情况的刚性和粘性系数的方法(Lysmer和Richart，1966，“Dynamic response offootings to vertical loading(底座对垂直负载的动态响应)”，土壤力学和地基部学报，Proc.ASCE，第92卷、第SM1号，第65-91页)。用于刚性矩形底座的情况的响应也被研究，并且Richart等人教导弹性半空间对由刚性矩形底座施加的垂直驱动力的驱动点响应可以通过相同表面区域大小的刚性圆盘的响应来合理地近似。
对于本例中的被测土壤来说，土壤的特性随在底板之下的深度而变化。由Lysmer(1966)提出的弹性半空间解是用于齐次的半空间。由驱动力传播进弹性材料的大多数弹性波能包含沿着材料表面传播的Rayleigh波(F.E.Richart，Jr.等，1970，Prentice-Hall，第91页)。因为它是表面波，Rayleigh波的产生和传播显著地受所述表面约一个波长之内的弹性材料特性的影响。特别地，已经观察到Rayleigh波传播速度可以由在Rayleigh波的约一半波长的深度的弹性来近似(F.E.Richart，Jr.等，1970，Prentice-Hall，第115-118页)。因此，假定被测土壤的驱动点响应将显著地受在由驱动力辐射的Rayleigh波的约一半波长的深度的弹性的影响。
实验步骤
在本例中，被测弹性材料是在地表上以及在地质构成下的原地土壤。地震振荡器致动器产生施加给土壤的驱动力。地震振荡器是位于垂直方向的伺服液压的往复运动致动器，也被称为P波振荡器。致动器的描述列在表1中。
表1

地震振荡器的底板与土壤直接接触。由致动器驱动，底板在垂直于土壤表面的方向上施加一个垂直的往复运动驱动力(法向力)。在本例中由地震振荡器产生的驱动力的幅度近似于200,000牛顿。
按照地震振荡器的常规作法，地震振荡器致动器配备有一个压紧装置，其对底板施加一个静态的向下压紧力，以保持底板对土壤表面的机械接触连接。驱动力的幅度是有限的，以便向上的驱动力不会超过向下的静态压紧力，从而阻止底板跳离地面。静态压紧力是由其上安装致动器的车辆的静态重量产生的。通过安全气囊隔离器将压紧装置连接到底板，并且压紧力是通过安全气囊隔离器施加的，其基本上隔离底板的驱动点运动被传输到所述压紧装置。
致动器控制系统控制地震振荡器的驱动力输出的幅度和相位以基本上符合一个连续相位基准信号。表1给出了用于本例的基准信号的参数。该基准信号是一个有线性频率函数的从8到82赫兹的8秒持续时间的扫频线性调频脉冲。控制系统同时包含相位控制和幅度控制。控制系统在驱动力正被产生时监控致动器输出驱动力，并调节致动器驱动以优化驱动力与基准信号的相似性。为了监控驱动力，控制系统使用驱动力的加权和估计，其是反作用物质加速度和底板加速度各自乘以一个与它们的对应惯性质量成比例的因子的总和。关于在本例1中描述的结果，控制系统报告在基准信号和致动器输出驱动力的基频之间小于3度相位差异的最大相位误差，并且报告平均相位误差是1.25度。
致动器控制系统使用一个反作用物质加速度传感器来测量在垂直方向上的反作用物质加速度，并且使用一个底板加速度传感器来测量在垂直方向上的底板加速度，以产生一个反作用物质加速度信号和一个底板加速度信号。由控制系统输出反作用物质加速度信号和底板加速度信号作为数字采样信号，在8秒线性调频脉冲的持续时间内以一毫秒采样间隔来采样。
由控制系统生成的反作用物质加速度信号和底板加速度信号表示在驱动点位置的土壤的驱动点响应。
驱动点分析器系统依照本发明的系统和方法，处理驱动点响应信号，以确定在驱动点位置的土壤的弹性。用于本例的驱动点分析器系统的具体实施例是除了若干具体差异之外，依照图3中示意地描绘的系统及其描述、以及依照图2和图4中描绘的元件系统及其描述来构造和运转的。
用于本例的具体驱动点分析器系统的配置和操作的具体细节列在表2中。与图3中描绘的实施例的具体差异如下所述：
1.01>在本例中，驱动力信号并非直接作为一个对驱动点信号调节器60的输入信号而被接收的。作为替代地，驱动力信号由驱动点信号调节器的一个不同的实施例产生，其中利用误差校正的反作用物质加速度信号和最终的误差校正的底板加速度信号的加权和。
图7以示意图的形式表示了用于本例的驱动点信号调节器60a的具体实施例，出于清楚地辨别本具体实施例的目的，其由附图标记60a表示。驱动力信号调节器60a被配置来能够产生一个加权和驱动力信号。
1.02>参见图7，误差衰减器20d经由信号通道61接收反作用物质加速度信号。
误差衰减器20d(图7)依照误差衰减器20a(图4)及其描述来配置和操作。与误差衰减器20a估计并衰减在(经由信号通道38接收的)底板加速度信号中的误差相同的方式，误差衰减器20d估计并衰减在反作用物质加速度信号中的误差。
误差衰减器20d的输出是一个误差校正的反作用物质加速度信号αR，其经由信号通道63输出。
1.03>驱动点信号调节器60a配备有一个加权和元件65，以形成加权和驱动力信号。向加权和元件提供两个输入信号：经由信号通道63的误差校正的反作用物质加速度，以及经由信号通道51在信号通道64中接收的最终的误差校正的底板加速度信号。加权和元件65生成两个输入信号的加权和，每个由一个与它们各自的惯性质量(如表1中列出的)成比例的因子来加权。加权和元件65的操作在数学上可被表示为如下：
Fd＝-MRαR-MBαB          (83)
其中
Fd表示在信号通道62中输出的驱动力信号；
αR表示误差校正的反作用物质加速度信号(通道63)；
αB表示最终的误差校正的底板加速度信号(通道64)；
MR表示致动器反作用物质的惯性质量；
MB表示致动器底板的惯性质量。
两个加速度αR和αB的极性在方程(83)中为负值，因为作用在土壤上的驱动力与作用在反作用物质和底板上的净加速力相等且相反。
在信号通道62中的如此生成的加权和信号表示从驱动点信号调节器60a输出的误差校正的驱动力信号。
图7所示的驱动点信号调节器60a包含加权和驱动力误差校正系统的实施例，以衰减在表示往复运动致动器的输出力的加权和力信号中的测量误差。
除了在此描述的若干差异，用于本例的驱动点信号调节器60a(图7)的元件和操作与在此关于驱动点信号调节器60(图3)描述的对应元件和操作相同。图7所示的输出信号通道51、47和43与图3所示的顺序不同，但该差异仅仅出于清楚地示意附图，并不表示与在此描述和图3所示的操作或元件的实质上的偏离。
表2
 元件或信号附图标记用于例1的配置驱动点加速度信号38由致动器控制系统测量的底板加速度信号表示在垂直方向上的驱动点加速度，并且包含在信号通道38中输入的以1毫秒采样间隔的数字信号。连续相位基准信号15a驱动力基准信号以参数形式由描述扫频线性调频脉冲的参数来表示；线性调频脉冲参数(表1)被配置进相位检测器11a中。反作用物质加速度信号61由致动器控制系统测量的反作用物质加速度信号表示在垂直方向上的反作用物质加速度，并且包含在信号通道61中输入的以1毫秒采样间隔的数字信号。驱动力信号62依照方程(83)及其在1.03条中的详细描述，由反作用物质和底板加速度信号的加权和生成。相位检测器11a每周期32个等相位间隔的配置。相位采样时间信号是依照方程(87)及其在1.05条中的详细描述生成的。误差衰减器20a20b20c20d使用相同的参数设置来配置所有四个误差衰减器的各个元件。相位采样器12、谐波滤波器13和重新采样器14的参数设置如下所列。
 相位采样器12在由相位检测器11a生成的相位采样时间信号表示的部分周期间隔时间序列，由三次样条插值进行采样。谐波滤波器13依照方程(88)和(89)及其描述的数字滤波。重新采样器14在1毫秒的均匀时间间隔，由三次样条插值进行重新采样。节点滤波器21在本实施例中未使用。第一积分器第二积分器3132由替代的延伸的Simpson法则进行数值积分，由Press等人所述(Press等人，1988，NumericalRecipes in C(C中的数值法)，剑桥大学出版社，第112-117页)。
 相位采样器12在由相位检测器11a生成的相位采样时间信号表示的部分周期间隔时间序列，由三次样条插值进行采样。第一微分器第二微分器3334由五点中心差分法进行数值微分。模型基函数生成器71生成表3所述的微分方程模型的基函数信号。设计矩阵形成器72两种实例模式：第一模式：单个时间窗口：1.5至1.7秒。第二模式：重叠时间窗口的序列；每个窗口长度500毫秒；每窗口10毫秒起始时间增量。求解器系统80由奇异值分解进行数值解法，基于Press等人所述(Press等人，1988，C中的数值法，剑桥大学出版社，第60-72页，第534-539页以及第556-557页)除法器85在本例中，奇异值从不低于最小阈值，因此使用整个SVD矢量空间来生成解结果。无奇异值除法结果被除法器设置为零。解误差模块86在本实施例中未使用。
用于本例的部分参数和操作如下详细描述：
1.04>所使用的运动和力信号的极性是如此以至于方向向上的垂直方向的运动或力被指定为正的信号极性。这样，加压的驱动力有负信号值，并且外延的驱动力有正信号值。
1.05>连续相位基准信号由相位检测器11a中的一组可配置的参数表现为参数表示的形式。相位检测器11a使用基准信号的参数表示来操作以生成一个包含部分周期间隔时间序列的相位采样时间信号。在本例中，相位检测器11a以基准信号的每周期32个相等部分周期间隔的相位速度，生成相位采样时间信号。
表示用作本例中的基准信号的线性扫频线性调频脉冲的相位函数是众所周知的，并且在数学上可被表示为：

其中
以弧度表示代表致动器基准信号的连续相位信号的相位；
f1以赫兹表示线性调频脉冲起始频率；
f2以赫兹表示线性调频脉冲终止频率；
L以秒表示线性调频脉冲持续时间；
t以秒表示从线性调频脉冲开始的时间。
部分周期间隔是每个周期的相等的部分间隔，其在数学上可被表示为：
k＝0，1，2，3，...                (85)
其中
表示第k个间隔的末端的相位值；
N表示每周期的整数个间隔。
从而，对应于线性扫频线性调频脉冲的部分周期间隔的时间在数学上可被表示为：
$\frac{\pi (f_2-f_1)t^2}{L}+2\pi f_{1}t-\frac{2\pi }{N}k=0,k=\mathrm{0,1,2,3},...---\left(86\right)$
其是变量t的二次方程的形式，并且有众所周知的求根的解法。因此，对应于线性扫频线性调频脉冲的部分周期间隔的时间tk的序列在数学上可被如下表示为二次方程(86)的根的序列：
$t_k=\frac{-f_1+\sqrt{f_1^2+\left(2k\right)(f_2-f_1)/\left(\mathrm{NL}\right)}}{(f_2-f_1)/L},k=\mathrm{0,1,2,3},...---\left(87\right)$
在用于本例的相位检测器11a的实施例中，相位检测器11a生成包含依照方程(87)的部分周期间隔的时间tk的序列的相位采样时间信号，其中N的特定值＝32。这产生基准信号的每周期32个部分周期间隔，每个部分周期间隔是相等的相位间隔。
在用于本例的连续相位基准信号的参数表示的实施例中，起始频率f1是8赫兹，终止频率f2是82赫兹，并且线性调频脉冲持续时间L是8秒。
1.06>误差衰减器20a、20b、20c(图4)和20d(图6)各自配备有一个具有谐波滤波器13(图2)的部分周期间隔滤波器10。所有四个对应的谐波滤波器13被相同的滤波器来配置和操作，其在数学上是由下述滤波函数表示的滤波器：
$E\left(k\right)=\underset{i=-31}{\overset{+31}{\Sigma }}{w}_{i}S(k+i)---\left(88\right)$
并且使用滤波系数wi的下述组来操作：
$w_i=\frac{32-\left|i\right|}{{32}^2},$i＝-31，-30，-29，...，0，...，29，30，31        (89)
其中
E(k)表示在输入到谐波滤波器13的相位采样信号系列S(k)的第k点的滤波器输出；
S(k+i)表示在相位采样信号系列S(k)之内的点；
wi表示由方程(89)确定的滤波系数组；
|i|表示系数索引i的绝对值。
滤波器还可以被描述为两个各自有均匀权重的32个滤波系数的滤波器的卷积。
在操作中，滤波器的响应是在基准信号的基频的前31个谐波具有零点(节点)的线性相位响应和幅度响应，其中包括所述基频作为第一谐波。
1.07>模型基函数生成器71为若干不同微分方程模型而配置。在此描述了三种特定模型的结果，并且所述模型在此被称为模型A、模型B和模型C。所使用的三种特定模型在表3中描述。
列在表3中的模型表示半无限弹性半空间的驱动点响应的力平衡微分方程模型。这些模型依照在图1C中描绘的零质量的驱动元件模型。驱动元件等效地是零质量的，因为驱动元件的质量已被合并进右手侧函数，其依照方程(83)及其描述，是驱动力信号的加权和估计。模型A包含两个基函数，模型B包含6个基函数，并且模型C包含11个基函数。
表3。
模型基函数生成器：
用于本例中的微分方程模型

注释：Fd表示驱动力；
v表示驱动点速度；
x表示驱动点位移；
bi是粘性系数，b1表示一阶粘性；
ki是刚性系数，k1表示一阶刚性；
c1是由位移决定的阻尼项的系数；
(t)表示时间的函数。
列在表3中的微分方程模型的三个实施例(模型A-C)包含驱动点速度和驱动点位移的项。模型A-C在左手侧没有取决于驱动点加速度的项。因此，模型基函数仅取决于两个输入信号：驱动点速度和驱动点位移。用于本例的驱动点分析器系统80的具体实施例包含具有两个输入信号的模型基函数生成器：表示驱动点速度的第一输入信号，以及表示驱动点位移的第二输入信号。因此，用于本例的线性系统形成器70的具体实施例包含三个输入信号：驱动力信号，驱动点速度信号以及驱动点位移信号。
1.08>设计矩阵形成器72以两种不同的模式来操作以形成并生成设计矩阵：具有单个固定长度时间窗口的第一模式；以及具有共同地跨越驱动力线性调频脉冲的持续时间的一序列重叠时间窗口的第二模式。在第一模式中，求解器80确定表示关于由设计矩阵表示的单个时间窗口的弹性的单组解系数。在第二模式中，求解器80确定关于序列中的每个重叠时间窗口的一组解系数，这产生每个系数的一系列值。每个系数的一系列值表示作为时间函数的系数的值。
在第一模式中，所述单个时间窗口对每个基函数信号包含200个数据采样(以1毫秒采样间隔的200毫秒)。在第二模式中，每个时间窗口对每个基函数信号包含500个数据采样(以1毫秒采样间隔的500毫秒)。因为每个基函数信号的数据采样的数量超过本例的特定微分方程模型的基函数的数量，由本例中的设计矩阵形成器72生成的每个设计矩阵输出包含超定的线性方程组。
设计矩阵形成器72对基函数信号应用缩放因子，设计该缩放因子以便被缩放的基函数信号均有大致相同的幅度。这么做是因为基函数信号的幅度比例不然将相差若干数量级。使用有迥然不同的幅度的基函数信号会生成一个病态的设计矩阵，并产生一个可能被舍入误差及其它数值噪声支配的参数系数解。使用缩放为大致相等幅度的基函数改善了设计矩阵的状态，并改善了解的质量。
特别地，在基函数中的每个位移信号项由一个角频率因子来缩放，其是表示在由设计矩阵形成器72使用的特定时间窗口之内基准信号的平均角频率的常数。对位移信号应用按频率比例的缩放因子，产生被缩放的位移信号，其在幅度上大致等于速度信号。其它缩放因子还用于生成有大致相等幅度的基函数信号。
缩放因子值在每个设计矩阵标准窗口之内是常数。设计矩阵形成器72通过调节对每个新窗口的每个缩放因子的值，来控制设计矩阵的状态。由设计矩阵形成器72使用的缩放因子是已知的。根据在系统之内使用的若干缩放因子的已知值，由求解器80输出的参数系数被重新缩放到希望的输出比例，其包括由设计矩阵形成器72施加给基函数信号的缩放因子，以及用作到驱动点分析器系统90的初始输入的加速度信号的缩放因子。
部分周期间隔频谱分析系统110被用于分析驱动点加速度信号的非调谐分量。用于本特定例子的部分周期间隔频谱分析器是依照图6的示意图而构造和操作的。
结果
在此描述的实验步骤被用于确定表3中描述的弹性模型的每个参数系数的最佳拟合值。根据如此确定的参数系数，确定在测试位置的土壤的若干弹性，包含但并不限于一阶刚性、一阶粘性、作为驱动力幅度的函数的明显刚性、剪切模量、剪切波速以及剪切波速的深度轮廓。
在此所示的数据和结果是驱动力线性调频脉冲对被测土壤的具体应用的结果，并且在此表示为操作中的本发明的系统和方法的例子。
还使用部分周期间隔频谱分析器，来分析被测土壤的驱动点响应的非调谐特性，并且据发现实际驱动点响应是一个包含所述非线性弹性材料的响应的非调谐驱动点运动信号特性的非调谐驱动点响应。
底板加速度信号的部分周期间隔频谱分析的结果的例子如图8B所示，并且出于对比，图8A表示同一信号的常规功率频谱。由致动器控制系统以1毫秒采样间隔，测量并生成底板加速度信号。图8A和B的频谱分析都是基本上在表示致动器线性调频脉冲的前2秒的相同时间窗口中进行的，并且在每个频谱分析之前，同一余弦窗口锥形函数将被应用到所述时间窗口。在该时间窗口之内，致动器驱动力基准信号的频率从8赫兹线性地增加到到26.5赫兹。
在图8B中，横轴表示伪频率值(周期每弧度)，其被缩放为表示基准信号的基频的谐波倍数的单位(在所示横轴中的每个单位表示每2π弧度一周期)。部分周期间隔频谱分析使用基准信号的每周期32个采样的相位采样率，这样本例的Nyquist极限为基准信号基频的第16个谐波。根据在分析的时间窗口之内的频率范围的窗口加权平均值，谐波倍数1表示约17赫兹的平均瞬时频率，并且谐波倍数16表示约272赫兹的平均瞬时频率。当相位采样率增加到超过每周期32个采样时，高于第16个谐波的谐波分量可被分解。
图8A和图8B的横轴均被缩放为表示基本上相同的频率范围。
从图8B所示的结果中可以得出若干重要结论。首先，很明显，底板加速度信号是由在基准信号谐波上的一组离散谐波分量主导的。根据图8B所示的分析，该组离散谐波分量表示在所述特定底板加速度信号中总功率的约百分之98.6。除了谐波分量之外的频率表示总功率的约百分之1.4。
其次，因为在本测试中土壤的驱动点运动是由该组谐波分量主导的，驱动点响应被正确地分类为非调谐响应。因此，土壤的响应由一个理想的非线性弹性响应的非线性数学模型很好地表示，其包含在驱动力谐波上的一组谐波频率分量(P.Bratu，2003，“Dynamic responseon nonlinear systems under stationary harmonic excitation(在固定谐波激励下的非线性系统的动态响应)”，Facta Universitatis Series：力学、自动控制和机器人学，第3卷，第15号，第1073-1076页)。
第三，图8B表示使用部分周期间隔频谱分析系统110来清晰地分辨驱动点响应信号的谐波频率分量。关于在此情况下的数据，图8B表示偶数谐波的幅度通常低于奇数谐波的幅度，谐波分量随着增加的谐波编号而在幅度上顺序地下降，并且这些幅度关系可被通过分析来量化。与图8A相比，常规频谱分析无法分解或量化这些关系，并且无法正确地显示谐波分量相对于其它信号分量的优势。部分周期间隔频谱分析系统110还被用于量化谐波分量的相位关系。
部分周期间隔滤波器10的结果和优势如图9A-C所示。图9A表示一个通过积分底板加速度信号而没有应用误差校正或滤波而生成的驱动点速度信号。图9C表示通过同一输入的积分生成的的误差校正的驱动点速度信号，但具有用于误差校正的部分周期间隔滤波器10的优势。图9B表示由部分周期间隔滤波器10估计的误差信号。
从图9A中显而易见，积分处理引入大量并不表示实际驱动点速度的人为因素。例如，图9A中的信号表示在线性调频脉冲中的从约4到4.5秒，致动器被漂移而以约20厘米/秒的平均速度远离地面进入空中。这显然是积分处理的人为因素。已知实际驱动点速度以零值为中心。所述积分人为因素包含在并不表示底板实际运动的底板加速度信号中的数值积分误差和测量误差(噪声)的组合。
部分周期间隔滤波器10与误差衰减器20一起被用于估计图9A所示的速度信号的组合测量和积分误差分量。按照表2列出的和在此描述的来配置和操作部分周期间隔滤波器10和误差衰减器20，其中使用用于生成图9A中的信号的相同底板加速度信号和相同积分参数。误差衰减器20消除图9B所示的估计误差信号，并且图9C表示由此产生的输出信号：误差校正的驱动点速度信号。
从图9C中显而易见，图9A中的误差人为因素基本上被误差衰减器20以及部分周期间隔滤波器10所衰减。图9C所示的驱动点速度信号更准确地表示实际驱动点速度，并且有助于确定弹性。部分周期间隔滤波器估计一个误差信号(图9B)，其是一个宽带的、明显随机的信号。该误差信号同样不会由线性或低次多项式拟合的常规作法来表示到图9A中未校正信号。
驱动点信号调节器60a处理两个测量的输入信号——底板加速度信号和反作用物质加速度信号——并且生成四个输出信号，其在图10A-D中用图形表示。四个输出信号表示最终的误差校正的驱动点响应信号，如下所示：
图示       信号                              信号通道
图10A      最终的误差校正的驱动点加速度信号   51
图10B      最终的误差校正的驱动点速度信号     47
图10C      最终的误差校正的驱动点位移信号     43
图10D      误差校正的驱动力信号               62
参见图10A-D中的图形，纵轴被分别缩放为米/秒、厘米/秒、毫米、以及千牛顿的测量单位，并且横轴均以单位为秒的相同比例来表示。在非调谐运动信号积分器30，还包含使用部分周期间隔滤波器10的误差校正以及使用第一微分器33和第二微分器34的微分误差校正的作用下，积分图10A中的加速度信号以生成图10B中的速度信号，速度信号被积分以生成图10C中的位移信号。由驱动点信号调节器60a通过图10A的加速度信号和在此描述的误差校正的反作用物质加速度信号的加权和，来生成图10D中的驱动力信号。
模型基函数生成器71接收图10A-D所示的四个误差校正的驱动点响应信号，并依照表3中描述的微分方程模型，组合它们以生成基函数信号。注意在图10A-D中，四个驱动点信号的幅度有数量级的差别：加速度信号幅度在线性调频脉冲的末端附近，近似为100米/秒2，同时位移信号幅度小于5×10-4米，这是超过五个数量级的幅度尺度比。这表示了为何由设计矩阵形成器72使用的基函数缩放因子对于改善设计矩阵的条件并控制数值结果的稳定性和效用是重要的。
在第一运行模式中，设计矩阵形成器72对包含在驱动力线性调频脉冲的起始之后从1.5到1.7秒的200毫秒间隔的单个时间窗口生成一个设计矩阵，并使用包含所述全部时间窗口(即在窗口之内没有时间间隙)的选择标准。设计矩阵是对每个微分方程模型生成的。时间窗口1.5-1.7秒对应于有平均频率22.8赫兹的21.875-23.725赫兹的基准信号频率范围。因此，该时间窗口表示1.85赫兹范围的窄频带。
求解器80对每个设计矩阵生成一组最佳拟合参数系数。对每个微分方程模型的最佳拟合参数系数解结果列在表4中，其中数值被缩放成在表格中表示的测量单位。表4所示的对每个模型的参数系数结果表示对本例中被测土壤的驱动点分析器系统的输出。
表4

列在表4中的刚性系数ki和粘性系数bi表示被测土壤的弹性。由位移决定的阻尼系数c1表示土壤的弹性、致动器的机械性能或其组合。表4所示的刚性和粘性值用力的单位(牛顿)的项来表示，并且通过除以致动器底板规定的表面区域大小，可以用压力单位(帕斯卡)的项来表示。
表4中的结果表示线性模型A产生一阶刚性k1和一阶粘性b1的解，其与由非线性模型模型B和模型C产生的解相比是显著低估的。
图11A-C表示分别与每个模型A-C的最佳拟合解结果相比的驱动力信号。表示了用于所述解的整个时间窗口(1500-1700毫秒)。在图11A-C中，在每个图形中绘制了两个曲线，一个实曲线和一个虚曲线。实曲线表示驱动力信号输入，其是对所有三个模型相同的信号。驱动力信号输入表示用作对求解器80的输入的右手侧函数Y(t)。虚曲线表示分别对每个模型的最佳拟合解结果。虚曲线是通过将列在表4中的系数解往回代入分别用于每个解的微分方程模型而形成：每个基函数信号乘以其各自的最佳拟合参数系数解，并依照微分方程模型来求和，以形成一个表示对驱动力信号的最佳拟合的合力信号。换句话说，实曲线表示驱动力信号输入，以及每个虚曲线表示从分别对应于每个模型的解确定的参数系数中合成的最佳拟合力。
将图11A-C的每个中的虚曲线与实曲线相比，表示了在驱动力信号输入和解结果之间的差异。图11A表示模型A产生一个对驱动力信号输入的相当合理的拟合，但差异是明显的。图11B表示模型B产生一个略微地改善的拟合，但与模型A相比，差异仅仅略微较小。图11C表示模型C产生一个对驱动力信号输入的基本上良好的拟合，并且与模型A或B相比，有显著的改善。模型C的结果中的改善主要归因于在微分方程模型中的由位移决定的阻尼项c1vx。
即使图11A和11B中的虚曲线看起来有相对较小的差异，模型A的列在表4中的刚性和粘性的一阶系数显著不同于模型B。模型A的系数显著不同于模型B，主要因为被测材料的非线性响应。
为了帮助表征在线性和非线性模型的结果之间的差异，从最佳拟合参数系数中得出其它弹性。依照每个微分方程模型，仅仅考虑一个弹力分量，可以从刚性系数中计算产生给定的弹性位移所必需的力，以形成力对位移的关系，如下所示：
模型A：F(x)＝k1x          (99)
模型B：F(x)＝k1x+k3x3+k5x5   (100)
其中
F(x)表示作为位移的函数的弹力分量；
k1，k3，k5表示对应于每个模型的刚性系数；
x表示驱动点位移。
图12表示对模型A和B的作为位移函数的弹力分量，使用具有列在表4中的刚性的最佳拟合系数的方程(99)和(100)获得。纵轴以千牛顿表示弹力分量，并且横轴以毫米表示位移。实曲线表示产生的模型B的弹力分量，并且很明显它是非线性的，表示被测土壤的非线性弹性。虚曲线表示产生的模型A的弹力分量，其被用于模型A的微分方程模型限制为线性的。对模型A和B的曲线均覆盖了在本特例中驱动力位移的全幅度，其在分析时间窗口(1.5-1.7秒)之内约为0.75毫米。图12表示模型A和模型B的刚性的最佳拟合系数均在大致相同的点拟合峰值幅度力，但在较低的幅度力水平产生相当大的差异。
通过将所述系数转换成明显刚性函数，如图13所示，更明显地表示了在线性和非线性结果之间的差异。明显刚性K是弹力除以对应位移：K＝F(x)/x。从模型A和B的参数系数结果中确定作为力幅度的函数的明显刚性，如通过图13中的曲线用图形所示。
图13表示作为对应弹力分量F(x)的函数的明显刚性K。纵轴以兆牛顿每米表示明显刚性，并且横轴以千牛顿表示对应弹力分量。实曲线表示模型B的结果，并且虚线表示模型A的结果，均来源于列在表4中的对应刚性系数。其中每个曲线与纵轴相交的零截距对应于一阶刚性系数k1的值。特别地，在零截距的明显刚性K表示在小幅度近似之内，接近零位移幅度的刚性。模型A和B均产生对全幅度位移确定的相似的刚性值，但非线性模型B对接近零幅度的位移产生高得多的刚性值判断。
模型B的明显刚性结果(图13中的实曲线)表示许多类型非线性弹性材料的众所周知的行为：对于超过小幅度近似的位移，刚性随着作用力增加而减小。众所周知，土壤及其它陆地材料可以表现出这类非线性弹性行为，并且该行为限制大多数现有方法来仅仅使用在小幅度近似之内的较小力量。图13表示对模型B确定的非线性参数系数拟合土壤的已知非线性弹性行为。特别地，模型B的明显刚性结果表示所述驱动点位移信号的全幅度范围超过对在本特例中的被测土壤的小幅度近似。
现在，由线性模型A和非线性模型B产生的系数中的差异从图13中是显而易见的。模型A的一阶刚性系数k1表示在全幅度位移的刚性。模型B的一阶刚性系数k1表示在小幅度近似之内，在接近零幅度位移的刚性。在全幅度，模型A和B的明显刚性是大致相同的，这就是为何图11A和B所示的全幅度波形显得相似但有可看出的差异。图13中在接近零幅度位移的模型A和B的结果之间的差异非常明显，而在图11A和B的全波形表示中较不明显。
在本例中的模型B结果表示，为非线性弹性微分方程模型配置的本发明的系统和方法被用于确定表示小幅度近似的刚性系数，即使非常大的驱动力将被施加到非线性材料，其产生超过小幅度近似的位移。
通过图12-13中的曲线用图形表示的作为弹力函数的明显刚性和作为位移函数的弹力，表示被测土壤的弹性。这些弹性是从列在表4中的参数系数直接获得的。因此，这些弹性是通过由驱动点分析器系统90产生的最佳拟合参数系数确定的。
在相同的方式下，从线性模型A的使用所产生的粘性系数不同于非线性模型B和C的对应系数。通过对刚性系数描述的相同逻辑和分析，模型A的一阶粘性系数b1表示在全幅度速度的粘性。模型B和C的一阶粘性系数b1表示在小幅度近似之内，在接近零幅度速度的粘性。作为力的函数的明显粘性和作为速度函数的粘性力分量可以从列在表4中的参数系数中直接获得。
在第二运行模式中，设计矩阵形成器72为重叠时间窗口序列生成一个设计矩阵，并且对每个窗口，求解器80生成一组最佳拟合参数系数，来生成一系列参数系数值，表示作为时间函数的每个参数系数的值。根据对应于在所述序列中每个时间窗口中心的时间的驱动力基准信号的已知频率，一系列参数系数值还表示作为频率函数的系数值。在此仅对模型C的例子描述如此生成的一系列参数系数的结果。
图14A和B用图表表示为对应于模型C的一阶系数而获得的一系列结果。图A-C中的横轴表示在驱动力线性调频脉冲的起始之后消逝的时间，其中分配给每个值的时间是在用于所述系列中对应值的特定分析时间窗口的中心的时间。图14A表示为一阶刚性系数k1而获得的一系列最佳拟合解值。图14A的纵轴以兆牛顿每米表示刚性。图14B表示为一阶粘性系数b1而获得的一系列最佳拟合解值。图14B的纵轴以兆牛顿秒每米表示粘性。
从图14A和B中显而易见，刚性和粘性系数在扫掠期间作为时间的函数，以复杂的方式变化。所述随时间的变化还表示作为频率函数的变化，所述频率是驱动力基准信号的频率。刚性系数k1(图14A)通常随时间而增加，但有显著的无规律的变化。
粘性系数b1(图14B)有从约1到3秒的宽的最大峰值，并且在其它时间为较低值。粘性系数b1测量的是能量耗散，因此粘性系数b1的较大值表示较多的能量耗散，并且宽的最大峰值表示弹性波能辐射进地球的最大值。特别地，在粘性系数b1中的宽的最大峰值描述了由驱动力传播的最大Rayleigh波能的频带。宽的最大峰值可被用于估计传播的Rayleigh波能的功率谱内容。
从图14A和B很清楚，在本例中，没有将表示被测土壤弹性响应的明显的单个恒定的刚性系数或粘性系数值。图14A和B清楚表明，仅通过平均在频率的大范围内的值来确定刚性或粘性的方法，在此情况下将产生无法很好地表示被测土壤的复杂弹性响应的结果。
作为频率函数的参数系数中的变化，以复杂的方式反映了被测弹性材料的弹性。作为频率函数的一个或多个参数系数的变化和关系可被用于确定一个或多个弹性值。
Lysmer在他的对于通过刚性圆形底座的均匀周期负载的弹性半空间解方法中，表示作为频率函数的刚性和粘性中的变化可以由一个被称为位移函数的无量纲函数来表示(Lysmer和Richart，1966，“Dynamic response of footings to vertical loading(底座对垂直负载的动态响应)”，土壤力学和地基部学报，Proc.ASCE，第92卷，第SM1号，第65-91页)。
根据Lysmer(1966)的解法，刚性对粘性的比与剪切波速成比例：
$\frac{K}{C}=\left(\frac{{\alpha }_0{F}_1}{-F_2}\right)\times \left(\frac{V_S}{r_0}\right)---\left(101\right)$
其中
K表示Lysmer用于动态刚性系数的符号；
C表示Lysmer用于动态粘性系数的符号；
Vs表示剪切波速；
r0表示圆形底座的半径；
α0表示无量纲的频率比；
F1，F2是Lysmer的位移函数的实部和虚部，并且均表示无量纲的实数。
Lysmer的动态刚性K等于在此由k1表示的一阶刚性系数，并且Lysmer的动态粘性C等于在此由b1表示的一阶粘性系数。因此，方程(101)可被重新整理以表示剪切波速Vs，如下所示：
$V_S=\left(\frac{-F_2}{{\alpha }_0{F}_1}\right)\times \left(\frac{r_0{k}_1}{b_1}\right)---\left(102\right)$
无量纲的比-F2/(α0F1)是频率和弹性半空间弹性的复杂函数。Lysmer给出了下述无量纲频率α0的定义：
${\alpha }_0=\frac{r_0}{V_S}\omega ---\left(103\right)$
其中ω表示驱动力索引的角频率。
图14C画出了表示作为时间函数的一阶刚性/粘性比k1/b1的值的图。图14C所示的k1/b1比根据在图14A和B中绘制的k1和b1的相同值。图14C中的纵轴在秒的倒数为单位表示刚性/粘性比。图14C表示刚性/粘性比的值以复杂的方式变化，在驱动力线性调频脉冲的频率范围内超过因子5。为了从比k1/b1的值中获得关于剪切波速的有用信息，在方程(102)中的无量纲比-F2/(α0F1)的值需要被确定。
在本例中，从k1和b1的值的序列中确定无量纲比-F2/(α0F1)的至少一个特殊值。组合方程(102)和(103)给出位移函数比-F2/F1的下述关系：
$\left(\frac{-F_2}{F_1}\right)=\frac{\omega b_1}{k_1}---\left(104\right)$
其中k1和b1表示刚性和粘性的一阶系数。(应当注意Lysmer使用符号k1来表示与在此用法的不同数值。在我的方程(104)以及本发明的通篇描述中，依照在表3中列出和在此其它地方的微分方程模型，我使用符号k1来表示一阶刚性系数。我的一阶刚性系数k1等于Lysmer的动态刚性K，并且我的一阶粘性系数b1等于Lysmer的动态粘性C。)
Lysmer提供了对于具有等于三分之一的泊松比值的弹性半空间的特殊情况，作为无量纲频率比α0的函数的-F2和F1的值的特殊解。对于泊松比等于三分之一的特殊情况，Lysmer表示在α0的值近似等于一时，-F2的值等于F1的值。其他研究者还提供了在泊松比从0到0.5的其它值时，对于α0的值接近1.0，-F2和F1的特殊解，并且他们的结果与Lysmer的相似，但有较小的差异。Lysmer示出了使用泊松比的其它值的其他研究者的解法，其在ωb1/k1＝1.0的点，产生在近似0.9至1.0的范围内的α0的值。因此，在比-F2/F1等于1的点，α0近似等于0.95：
$\begin{array}{cc}{\alpha }_0=0.95\pm 0.05& \mathrm{where}\frac{-F_2}{F_1}=1\end{array}---\left(105\right)$
我组合了方程(103)、(104)和(105)，以提供一种用于确定α0的值和基本上对泊松比不敏感的剪切波速Vs的值的方法：
$\left.\begin{array}{c}{\alpha }_0=0.95\\ V_S=\frac{r_0\omega }{0.95}\end{array}\right\}$其中$\frac{\omega b_1}{k_1}=1---\left(106\right)$
通过假定α0的值＝0.95，由于泊松比中的不确定度，剪切波速的值的确定预期有小于约百分之五的不确定度。方程(106)的表达式中体现的方法基本上对泊松比不敏感是一个优势，其中基本上不敏感指的是小于百分之十的变化。
在α0的其它值的剪切波速的更普通解法可被如下表示：
$V_S=\frac{r_0\omega }{{\alpha }_0}$其中$\frac{\omega b_1}{k_1}=1---\left(107\right)$
其中α0的特殊值包含泊松比的函数。
对本例来说，我使用分别在模型C的图14A和B中表示的系数k1和b1的解结果，来确定作为频率函数的比ωb1/k1的值。图15中的实曲线表示如此确定的比ωb1/k1的值。图15中的纵轴表示所述比的无量纲值，并且横轴以赫兹表示驱动力基准信号的频率。
图15中的实曲线表示从10Hz到20Hz，比ωb1/k1的值增加并在约22.6Hz达到1.0的值。从方程(106)和表1中列出的r0的值，根据α0的值＝0.95，在该频率点的剪切波速被确定约为135米/秒。根据泊松比，对该特殊情况确定的剪切波速的值在135+/-7米/秒的近似范围内。
弹性半空间理论的简化并不要求使用以比ωb1/k1＝1.0作为确定剪切波速的方式的所述点，并且所述方法基本上对泊松比不敏感。
为了将理论上的弹性半空间响应与被测土壤的实际驱动点响应相比较，图15中的虚曲线表示根据由Lysmer提出的理想弹性半空间解的比-F2/F1。虚曲线是Lysmer关于作为α0的函数的-F2和F1的结果的比，其被我根据在22.6赫兹、α0＝0.95的特殊值，重新缩放成作为频率的函数。因为Lysmer的结果是关于齐次半空间的，图15中的虚曲线表示用于具有约135米/秒的均匀剪切波速的材料的弹性半空间模型。在低于22.6赫兹的频率，由实曲线表示的实验数据不同于虚曲线，因为被测材料的实际剪切波速并不均匀，而是随在驱动点位置下的深度而变化。对于在22.6赫兹及以下的频率，在本例中的实验结果表现为符合Lysmer的弹性半空间的驱动点响应的模型。
在高于22.6赫兹的频率，对于图15中表示的本例的特定结果，ωb1/k1的实验结果表现为背离Lysmer的弹性半空间理论。根据方程(106)，剪切波的波长等于2πr0，其中(ωb1/k1)＝1。该波长接近于驱动元件接触表面区域的直径尺寸。在高得多的频率，剪切波波长变得比驱动元件的尺寸短得多。对于接近和短于底板尺寸的剪切波波长，在本例中的结果表现为背离弹性半空间理论。对此可能的原因是来自在接近于底板的薄层之内产生的驻波的干扰，或者部分无弹性行为的材料非常接近于底板。
使用弹性响应对静态(零频率)负载的众所周知的关系，从一阶刚性系数中确定剪切模量G的值(表5所示)：
$K=\frac{4G{r}_0}{1-\mu }---\left(108\right)$
其中μ表示泊松比并且K表示在零频率的静态刚性。对于用于本例的模型C的情况，方程(108)中的K近似等于一阶刚性k1。
从剪切波速和剪切模量G的关系中确定体积质量密度ρ的值：
$V_S=\sqrt{\frac{G}{\rho }}---\left(109\right)$
所述密度和剪切模量的值是根据泊松比的值的假设确定的，因此表示一个近似估计。
假定从驱动点响应中确定的弹性表示在同时产生的Rayleigh波的约一半波长的深度的材料的特性。假定Rayleigh波长为0.95倍的剪切波波长。因此，弹性受深度的影响如下所示：
$\mathrm{depth}=\frac{0.95V_S}{2f}---\left(110\right)$
其中f表示驱动力基准信号的频率。
表格5总结了从在(ωb1/k1)＝1的选择的频率的驱动点响应中确定的弹性。为了确定剪切模量G的值，假定泊松比为0.33。
表5

本发明的一个优势在于一阶刚性和一阶粘性的值可被确定为时间的函数，其提供了一种方式来产生表示(ωb1/k1)的信号，其可被分析以选择一个特定频率，在所述特定频率比值-F2/F1近似于1.0，并且确定在选择的特定频率的一个或多个弹性值。
弹性还可以在除了(ωb1/k1)＝1的频率之外的频率确定。根据若干简化假设，Lysmer发展了所述复杂的由频率决定的比F2/(α0F1)的简化模拟，该简化模拟包含使F2/(α0F1)近似一个独立于频率的常数，指定为恒定值0.85：
$\left(\frac{-F_2}{{\alpha }_0{F}_1}\right)\approx 0.85---\left(111\right)$
将方程(111)代入方程(102)，得出剪切波速的近似值：
$V_S\approx 0.85\times \left(\frac{r_0{k}_1}{b_1}\right)---\left(112\right)$
依照方程(112)，我确定了对于一系列由图14C所示的关于从0到22.6赫兹的驱动力基准信号的频率的曲线表示的b1/k1值的Vs值。对Vs的每个值，我还通过在表5中描述的方法及其描述，确定了一个深度的对应值。所述Vs--深度对包含剪切波速随着深度而变化的深度轮廓。根据如此确定的Vs值，相同的逻辑可被应用于生成关于任意一个或多个表5所示的除α0之外的其它弹性的深度轮廓。
图16图示了表示剪切波速随着在底板之下的深度而变化的深度轮廓。近地表的弹性波速的深度轮廓通过提供一种方式来测量并补偿在弹性中的近地表变化，来帮助改善在地震勘探中生成的地震图像。近地表的剪切波速的深度轮廓以及其它弹性的深度轮廓有助于估计用于地基和道路的工程设计和建筑的地面的机械性能，并且有助于评价近地表的陆地材料的地震危害灵敏度。
那些熟悉现有技术的人众所周知，在本例中确定和在表5中列出的特性可被用于获得包含任意下述内容的其它弹性：P波速、杨氏模量、体积模量和/或拉梅常数lambda。任意这些特性的深度轮廓可以通过在本例中描述的方法来生成，这也将是显而易见的。
本例描述了本发明的系统和方法的一个具体实施例在实际中的操作，并证明了部分用途和优势。使用部分周期间隔频谱分析系统110来表示一种实际的非线性弹性材料的驱动点运动被正确地表征为非调谐的信号。表示了从驱动点运动信号中消除积分误差的部分周期间隔滤波器10的优势。使用驱动点分析器系统90来处理超过小幅度近似的非调谐的驱动点响应，并且确定了表示接近零幅度响应的弹性。在驱动点分析器系统90中使用了三种不同的微分方程模型，这提供了一种方式来估计并表征被测土壤的非线性行为以及一种方式来估计弹性行为的替代模型的拟合。确定了关于单个窄带时间窗口的弹性，这表示了线性系统求解器80对于从包含非调谐响应的信号中确定弹性的优势，以及使用由谐波分量表示的完整信息来确定非线性弹性材料的非线性特性的优势。为重叠时间窗口序列确定了弹性，以生成作为时间函数的弹性的值，其表示了设计矩阵形成器72和线性系统求解器80能确定作为时间系列的弹性值的优势。基于弹性半空间理论的方法被用于表示由驱动点分析器系统生成的最佳拟合参数系数表示所述弹性，以及如此生成的系数有助于确定包含任意一个或多个下述特性的弹性：一阶刚性；一阶粘性；二阶、三阶、四阶、以及五阶刚性和粘性；依赖位移的阻尼；作为驱动力函数的明显刚性；剪切波速；剪切模量；密度；以及随着在底板之下的深度而变化的剪切波速。此外，确定在底板之下的深度用于若干放弃的弹性，该深度表示弹性可被考虑的所述材料的位置。
有经验的专业人员应当理解，在此描述的任意各种力可通过将力除以力所施加的对应接触表面区域的表面区域大小，而被表示为压力或应力。仅仅出于清楚和一致描述的目的，在此关于力描述了弹性和粘性的关系，并且它们可用压力或应力的项来表示而不改变本发明的本质、逻辑或范围。
本申请要求提交于2004年3月29日的美国临时专利申请序列号60/557,365的优先权，在此通过引用它们的整体合并了其内容。
在本申请的通篇，引用了各种的出版物。在此通过引用进本申请而合并了这些出版物全部的公开内容，以便更充分地描述与本发明相关的目前工艺水平。