本实用新型属于将机械能转变为流体（气体或液体）动能的动力转换装置，特别涉及飞机及船舶的螺旋浆推进器和中、高压轴流风机。

目前一般的轴流螺旋浆推进装置虽然有流量大的特点，但不足的是只能低压工作，如轴流风机、船用螺旋浆及螺旋浆飞机的推进装置等。如果即要求大流量又要求中、高压强工作时，现有的轴流螺旋浆推进装置难于满足要求，而其它装置又都存在着不同程度的缺点，如离心式风机虽然工作压强高，但其流量有限；各种燃汽涡轮发动机（如涡喷、涡浆、涡扇和浆扇等发动机）虽能大流量、高压强工作，但它们的油耗和噪音都是较高的；对于船舶来说要提高航速通常要靠加大发动机马力来实现。

本实用新型的目的是克服轴流螺旋浆推进装置的上述缺点，而提供即能大流量又能以中、高压强工作的低耗高效的新型轴流螺旋浆推进装置。

本实用新型是通过以下措施实现上述目的的。在轴流螺旋浆推进装置上分别采用了两种特殊的流体消旋方法，并采用了特殊断面曲线的叶轮叶片和高效率的级间加速装置，使得多级叶轮逐级变速加压变得即可行又简单，从而使轴向功率得到很大提高。所采用的两种流体消旋方法是：

（1）级间相对负压、外通道流体预旋、内通道流体混流消旋方法（具体消旋过程见结构部分）；

（2）级间相对负压、内外通道流体混流、下级叶轮反转消旋方法 （具体消旋过程见结构部分）。

所采用的高效率的级间加速装置是NGW型渐开线圆柱行星齿轮变速轴承（以下简称NGW型轴承）。关于特殊断面曲线的叶轮叶片见后面叶轮部分。

下面将结合附图对本实用新型的结构、工作原理及其实施例作详细的说明。

图1是本实用新型的第一种类型的示意图；

图2是本实用新型的第一种类型的内、外通道壳体示意图；

图3是本实用新型的第二种类型的示意图；

图4是本实用新型的第三种类型的示意图；

图5是本实用新型的第三种类型的内、外通道壳体示意图；

图6是圆滚线坐标图；

图7是本实用新型扇型叶片的断面曲线示意图；

图8是传动比为iBX A的NGW型渐开线圆柱行星齿轮轴承简图；

图9是传动比为iXB A的NGW型渐开线圆柱行星齿轮轴承简图；

图10和图11是在NGW型轴承内部加装抗反作用力结构的示意图；

图12和图13是本实用新型所使用的NGW型轴承的外型示意图；

图14是NGW型轴承强迫润滑系统示意图；

图15是本实用新型内、外通道截面示意图；

图16和图17是本实用新型做为飞机动力装置的示意图；

图18和图19是本实用新型做为船用推进器的示意图；

图20是圆滚线叶轮叶片的速度矢量图。

本实用新型分为三种类型，其结构大同小异。

一、本实用新型的第一种类型：

本类型采用前面所说的第一种流体消旋方法及NGW型轴承级间加速装置，见图1和图2。这是三级叶轮加压的示意图（也可以是多级叶轮加压、或二级叶轮加压，只需增减叶轮及NGW型轴承级数即可）。当动力轴1与动力机械（电动机、内燃机包括航空活塞式发动机，图中未画出）连接后，按方向2转动时，带动抗反作用力轴承3转动，从而带动第一级叶轮轴4及第一级叶轮5转动；第一级叶轮轴4同时带动第一级NGW型加速轴承6做变速转动，从而使第二级叶轮轴7的转速比第一级叶轮轴4快一倍多，也就是使第二级叶轮8的转速比第一级叶轮5的转速快一倍多。这样在第一级叶轮5和第二级叶轮8之间便会出现相对负压（即低于大气压力或低于等深液压）。这时流体（气体或液体）便从内通道9和外通道10被同时吸入。第一级叶轮5将流体吸入内通道9，与此同时第一、二级叶轮间产生的相对负压通过外通道中的预旋槽道隔板11所形成的流体预旋槽道12也将近似等量的流体经外通道10吸入第一级加速通道13。由于外通道预旋槽道隔板11的弯曲方向与叶轮5和8的旋转方向相反，所以经外通道流体预旋槽道12被吸入的流体的旋转方向与经内通道9吸入的流体的旋转方向正好相反，又由于内、外通道的截面积大致相等（见图15），这两股流体在第一级加速通道13相遇后，因旋转方向相反，流量和流速大致相等而产生消旋作用，这样就降低了旋转能量，提高了轴向功率，并为进一步叶轮加压做好了准备。第二级叶轮轴7转动的同时，带动第三级NGW型加速轴承14做变速转动，从而使第三级叶轮轴15的转速又比第二级叶轮轴7的转速快一倍多， 也就是使第三级叶轮16的转速比第二级叶轮8的转速快一倍多。这样在第二级叶轮8和第三级叶轮16之间就出现了第二个相对负压，此时第一级加速通道13内的流体被进一步加速，第二个相对负压将外流体通过第二级外通道17吸入，外流体被吸入时经第二级外通道流体预旋槽道18的预旋后，在第二级加速通道19内与内流体混合，混合后效果同于第一级加速通道13中的流体混合效果，即产生了流体消旋作用，降低了旋转能量的累积，加大了轴向输出功率，并为第三级叶轮16进一步加压做好了准备。第三级叶轮16用比第二级叶轮快一倍多的转速将流体推向固定输出导向叶轮20，流体高速通过固定输出导向叶轮20时，旋转能量得到部分纠正，使输出的轴向功率进一步提高。第三级叶轮轴的末端安装在叶轮支撑轴承21上，固定输出导向叶轮20的两端固定于两个导向叶轮固定轴22上，使固定输出导向叶轮20不能转动。

二、本实用新型的第二种类型：

本类型也采用前面所说的第一种流体消旋方法，但不采用NGW型轴承的级间加速装置，它一般只能进行二级叶轮加压，见图3。当第一级叶轮动力轴1与第二级叶轮动力轴2通过两对固定变速比齿轮（图中未画出）与动力机械（内燃机或电动机）连接后，按方向3以不同的转速转动。第二级叶轮动力轴2的转速比第一级叶轮动力轴1的转速快一倍多，从而使第二级叶轮5的转速比第一级叶轮4的转速快一倍多。这样在第一级叶轮4与第二级叶轮5之间便出现了相对负压，这时流体（气体或液体）便从内通道6和外通道7被同时吸入。第一级叶轮4将流体吸入内通道6，与此同时两个叶轮间的相对负压通过外通道中的预旋槽道隔板8所形成的流体预旋槽道9将近似等量 的流体吸入第一级加速通道10，内、外通道中的流体在此混合，其混合效果与本实用新型的第一种类型的混合效果相同，从而产生流体消旋作用。降低了旋转能量，加大了轴向功率，并为第二级叶轮5进一步加压提供了非旋转轴流气体（或液流）。第二级叶轮5用比第一级叶轮4快一倍多的转速将流体推向固定输出导向叶轮11。固定输出导向叶轮11的结构和作用与本实用新型的第一种类型的固定输出导向叶轮完全相同。12为第一级叶轮动力轴1的抗反作用力轴承，13为第一级叶轮动力轴1的末端支撑轴承，14为第二级叶轮动力轴2的抗反作用力轴承，15为第二级叶轮动力轴2的末端支撑轴承，16为固定输出导向叶轮11的两个固定轴。

综上所述本实用新型的第一种类型与第二种类型的主要区别，只在于变速方式的不同，而它们的流体消旋方法是完全相同的。

三、本实用新型的第三种类型：

本实用新型采用前面所说的第二种流体消旋方法及NGW型轴承级间加速装置，见图4和图5。这是三级叶轮加压的示意图（也可以是多级叶轮或二级叶轮加压，只需增减叶轮和NGW型轴承的级数即可）。当动力轴1与动力机械（电动机、内燃机包括航空活塞发动机，图中未画出）连接后，按方向2转动时，带动抗反作用力轴承3转动，从而带动第一级叶轮轴4及第一级叶轮5转动；第一级叶轮轴4同时带动第一级NGW型轴承6做变向、变速转动，该轴承6的主动轴转动方向7与从动轴转动方向8正好相反，从而使第二级叶轮轴9的转动方向与第一级叶轮轴4正好相反，转速比第一级叶轮轴4快近一倍，也就是使第二级叶轮10的转动方向与第一级叶轮5的转动方向正好相反，而第二级叶轮10的转速比第一级叶轮5的转速快了近一倍。 这样在第一级叶轮5和第二级叶轮10之间便出现了相对负压，这时流体便从内通道11和外通道12被同时吸入。第一级叶轮5将流体吸入内通道11，与此同时第一、二级叶轮间产生的相对负压通过外通道12将流体吸入至第一线加速通道13，本类型的外通道没有流体预旋槽道隔板，流体在外通道12流过时不会被预旋，内、外通道中的流体在第一级加速通道13中混合，其混合效果与本实用新型的第一、二种类型的相应位置的混合效果不完全相同，它只能产生部分消旋作用。此时第二级叶轮10继续为流体加压，但它的转动方向与流体旋转方向正好相反，这样就把第一级叶轮5产生的流体剩余旋转能量转化为轴向功率和反方向旋转功率，从而避免了流体旋转能量的累积，加大了轴向功率。第二级叶轮轴9转动时，又带动第二级NGW型轴承14做变向、变速转动，它的主动轴转动方向8与从动轴转动方向15正好相反，从而使第三级叶轮轴16的转动方向与第二级叶轮轴9的转动方向正好相反，而转速比第二级叶轮轴9快了近一倍。也就是使第三级叶轮17的转动方向与第二级叶轮10的转动方向正好相反，而转速比第二级叶轮10快了近一倍。这样在第二级叶轮10与第三级叶轮17之间便又出现了相对负压，这时流体经第一级加速通道13和第二级外通道18进入第二级加速通道19，进行混合，其混合效果同于第一级加速通道13的混合效果。此时第三级叶轮17继续为流体加压，并通过叶轮反向转动，消除流体的旋转能量的累积，从而进一步加大了轴向输出功率。对流体进行末级消旋是由固定输出导向叶轮20完成的。21是第三级叶轮轴16的末端支撑轴承，22是用于固定输出导向叶轮的两个固定轴。

本实用新型的第三种类型与前两种类型的主要区别在于流体消旋 方法有所不同，而这三种类型的共同点是它们都通过创造级间相对负压来完成逐级加压的任务。

下面谈一下本实用新型的系统稳定性问题。要使本实用新型稳定地工作，必须使其所有转动部件都绕着转动轴的中心轴线转动，如有任何一个转动部件（如叶轮及其叶片、叶轮轴、NGW型轴承，抗反作用力轴承、支撑轴承等）偏离中心轴线、发生不平衡转动，都有可能破坏整个系统的稳定性或使某个部件加速损坏，另外要使本实用新型的固有振动频率远离其工作振动频率，以避免发生谐振现象。

以上介绍了本实用新型的整体结构及工作原理，下面介绍本实用新型各部件的结构：

1.叶轮

本实用新型一般有多级动力叶轮和一级固定的导向叶轮，其中第一种类型和第三种类型选取三级动力叶轮和一级导向叶轮为宜，第二种类型选取二级动力叶轮和一级导向叶轮。

（1）采用传统的机翼理论进行叶轮设计，有关理论可参阅《泵与风机》一书的第一章二节的内容（水力电力出版社、1983年6月版）。

（2）按风扇的扇形叶片进行叶轮设计。

以上两种叶轮设计方法均可采用，下面重点介绍一种特殊曲线的扇形叶轮的有关设计参数。

扇形叶轮的叶片的迎风面（即承力面）的断面曲线可采用多种曲线型式，这里介绍一种叶片迎风面的断面曲线采用圆滚线（也称为：摆线）的扇形叶轮。为什么要采用这种断面曲线的叶片，其好处何在，这些问题在本说明书的结尾部分的有关理论推导中将给出。

我们知道圆滚线的参数方程为：

x＝r（θ－sinθ）

y＝r（1－cosθ）

其中r为滚动圆的半径，θ为滚动圆的滚动角。圆滚线的图形见图6，图中1为滚动圆，2为圆滚线。在设计叶片迎风面的断面曲线时，r的取值范围要根据叶片的数量及本实用新型的内通道的直径而定，要尽可能加大r的数值，因为这样可以提高工作压强和加大流量。θ的取值范围如下：

第一级叶轮的扇形叶片：0°≤θ≤95°

第二级叶轮的扇形叶片：0°≤θ≤90°

第三级叶轮的扇形叶片：0°≤θ≤85°

叶片的背风面（非承力面）采用流线型，单片扇形叶片的断面曲线见图7。图中1是扇形叶片的断面，2是叶片迎风面的圆滚线断面曲线，3是叶片背风面的流线型断面曲线，4是叶轮轴，5是叶轮轴的旋转方向。

设计叶片背风面的流线型时，应考虑减小叶片的阻力和使叶片有足够的承载强度。

一个扇形叶轮的叶片数量可根据它的工作压强来确定，中、高压强工作时叶片数量取4～6片为宜。

如果叶片的断面曲线采用翼型时，可按前面提到的第（1）种方法进行制造设计。

叶轮设计要优先考虑叶片的承压强度，其极限承压强度要大于正常工作压强的10倍。叶轮的焊接要采用一些先进技术工艺，如叶轮的叶片焊接全部采用气氛保护的焊区调质。

叶轮系统（含叶轮轴）工作时的承载分配如下：

（1）iBX A传动（传动效率大于95％，加速比约为2.8，本实用新型第一种类型采用此种传动方式）：

设第一级叶轮的工作承载为1，则第二级叶轮的工作承载约为2.8×95％＝2.66，第三级叶轮的工作承载约为2.66×2.8×95％＝7.08，第三级叶轮的受力约为7.08，第二级叶轮轴的受力约为7.45＋2.66＝10.11，第一级叶轮轴的受力约为10.25＋1＝11.25。

（2）iXB A传动（传动效率95％，加速比约为1.8，本实用新型第三种类型采用此种传动方式）：

设第一级叶轮的工作承载为1，则第二级叶轮的工作承载约为1.8×95％＝1.71，第三级叶轮的工作承载约为1.71×1.8×95％＝2.92，第三级叶轮轴的受力约为2.92，第二级叶轮轴的受力约为3.08＋1.71＝4.79，第一级叶轮轴的受力约为4.88＋1＝5.88。

叶轮系统各部分的制造设计（尤其是强度计算）要以承载分配为依据，并考虑极限承载及安全系数。

2.级间加速装置

本实用新型的级间加速装置采用NGW型渐开线圆柱行星齿轮变速轴承（该轴承的有关资料请参阅化学工业出版社出版的《机械设计手册》中册、第二版、第八篇第七章）。通常这种轴承用来做减速器，但在变速比不大的情况下，只要充分考虑主动轴与从动轴的结构强度，同时又因为本实用新型的直接作用对象是流体（气体或液体）不会因变速或负载较重而发生机件损伤，所以可将它作为加速装置使用。本实用新型就是在变速比不大的情况下，采用上述NGW型轴承做加速 装置的，但在制造选材和结构上都要留有足够的安全系数，并要有良好的润滑系统，这一点后面介绍。

本实用新型的第一种类型采用传动比为iBX A的NGW型轴承，第三种类型采用传动比为iXB A的NGW型轴承。

（1）传动比为iBX A的NGW型轴承的简图如图8所示，图中1为主动轴，2为从动轴、A为太阳轮，B为内齿轮，X为行星架，C为行星轮。取传动比iBX A＝0.35～0.36，即加速比为2.78～2.86，取行星齿轮的数目CS＝4～8（只能取整数）。

（2）传动比为iXB A的NGW型轴承的简图如图9所示，图中1为主动轴，2为从动轴，A为太阳轮，B为内齿轮，X为行星架，C为行星轮。取传动比ixB A＝－0.55左右，即加速比为－1.82左右（负号“－”表示从动轴与主动轴转动方向相反）。取行星齿轮的数目CS＝4～8（只能取整数）。

有关NGW型轴承的内部结构请参阅上面提到的《机械设计手册》的有关篇章。

为了使NGW型轴承的齿轮只在切向上受力、轴向上不受力，本实用新型使用的NGW型轴承需要在轴承内连接从动轴处加装抗反作用力结构，其结构示意图如图10和图11所示。两图中1是抗反作用力轴，2端连接NGW型轴承的从动轴，3是承力壳体，4是承力滚动轴承，5是非承力滚动轴承，6是十字型固定支架，7是密封轴套，8是润滑剂出口，当抗反作用力结构不与NGW型轴承连接使用，而是单独做为抗反作用力轴承使用时（见图1的3，图3的12和14、图4的3），它与外动力轴的相接处，也要有密封轴套。

本实用新型所使用的NGW型轴承的外型示意图如图12和图13所示。两图中1是NGW型轴承，2是主动轴，3是十字固定支 架，4是润滑剂进口管路，5是润滑剂出口管路，6是抗反作用力结构，7是抗反作用力轴。

本实用新型中，NGW型轴承的主动轴与上一级叶轮轴相接，在该轴承内部从动轴与抗反作用力轴相接，作为NGW型轴承的输出端的抗反作用力轴与下一级叶轮轴相接。

本实用新型中的NGW型轴承在制造时应采用一些新工艺、新技术，如该轴承内所有齿轮应采用渗碳——氮化等新工艺，各部件采用高强度合金钢制造，转动部件（轴承、齿轮等）还应有一定的含油特性。

3.加速器的润滑系统

本实用新型使用的NGW型轴承要采用密封设计，并在上、下两个固定支架里留有润滑剂进、出通道，见图12和图13。如果该实用新型被用做飞机和船舶的推进器，则润滑系统应采用润滑剂强迫循环方式，如图14所示，润滑剂由压力循环泵1送出，经润滑剂注入管2和3，分别强迫注入第一级NGW型轴承4和第二级NGW型轴承5中，并从润滑剂排出管6和7分别流出，经过各自管路的阀门8和9后，进入过滤器10，将润滑剂中的杂质滤除后，又被压力循环泵1送入润滑剂注入管，供NGW型轴承循环使用。因本润滑系统属于附加装置，故在图1，图3和图4等示意图中没有画出。

如果本实用新型被用做轴流风机，则无必要采用润滑剂强迫循环方式。

对NGW型轴承的密封指标，要视本实用新型的工作环境温度，工作压强而定。用于飞机和船舶时密封特性要很好，做轴流风机时密封特性一般即可。

本实用新型中的其它轴承（如抗反作用力轴承和普通支撑轴承等）也要求具有良好的密封性。

4.内、外通道系统

本实用新型的第一种类型和第二种类型的外通道由外通道壳体和外通道流体预旋槽道隔板组成，见图2。第三种类型的外通道没有流体预旋槽道隔板，仅由外通道壳体组成，见图5。

第一种类型和第二种类型的外通道流体预旋槽道隔板的弯曲方向必须与叶轮的旋转方向相反，以便使内、外通道流体的旋转方向相反，达到流体混流后消旋的目的。如果采用叶片断面为圆滚线的叶轮，则其外通道流体预旋槽道隔板的弯曲曲线也应是圆滚线。如果采用翼型叶轮，则其外通道流体预旋槽道隔板的弯曲曲线应与翼型叶轮理论中入口导向轮的断面曲线的迎风面曲线相似。以上说明了外通道流体预旋槽道隔板的水平弯曲曲线，但同时该隔板的弯曲曲线还应在垂直面上做圆周运动，也就是说该隔板的最后弯曲曲线是水平弯曲曲线与垂直弯曲曲线的叠加空间曲线，这一点可以从图2中看出来。

内、外两个通道的截面积应大致相等，即

S外＝S内

也就是：

r外＝ $\sqrt{\mathrm{2r}{}^2{}_{内}\mathrm{+r}{}^2{}_{轴}}$

其中：S外为外通道截面积，S内为内通道截面积，r外为外通道截面半径，r内为内通道截面半径，r轴为叶轮轴半径。内、外通道截面示意图见图15。图中1为外通道，2为内通道，3为r外，4为r内，5为r轴，6为叶轮轴。

外通道尾部直径逐渐缩小，其末端最终要与内通道直径相等，并与内通道连接（焊接、铆接均可），这可从图1至图5中看出来。

以上介绍了本实用新型各部件的结构，下面介绍本实用新型第一、二、三种类型的应用。

本实用新型可用于三个方面：飞机、船舶和工业轴流风机：

1.本实用新型可做为新型冷喷气式飞机的推进装置。采用活塞式航空发动机做为动力机，用本实用新型的第一种类型或第三种类型代替螺旋浆做为推进装置，从而组成一台新型冷喷气发动机。这种新型冷喷气发动机变活塞式螺旋浆发动机的拉进动力为后喷气式推进动力，这样即保持了活塞式航空发动机的省油和低噪声的优点，又克服了活塞式航空发动机由于螺旋浆的动力转换效率低而使飞机速度不能大于700公里／小时的缺点，使这种新型冷喷气发动机有可能成为新的低耗高效低噪声航空动力装置。另外对本实用新型的结构及动力引接方式做某些变动，则本实用新型也可与涡浆发动机组合成新型航空动力装置。因已超出本实用新型范围，故不详述。

图16和图17是本实用新型做为飞机的推进装置的示意图，两图中1是活塞式航空发动机，2是本实用新型的第一种类型或第三种类型，1＋2表示两者组合成的新型冷喷气发动机。

新型冷喷气发动机的润滑系统采用前面提到的润滑剂强迫循环方式。

2.本实用新型可以做为船舶的新型推进装置，见图18和图19。两图中1是船用内燃机，2是本实用新型的第三种类型。原则上说本实用新型的三种类型均可做船用推进装置，但考虑到第一、二种类型的外通道因有流体预旋槽道隔板、容易卡住被吸入的海洋生物 或其它物体而发生外通道阻塞，所以最好采用第三种类型做为船用推进器。

本实用新型构成的船舶新型推进装置的润滑系统也采用前面介绍的润滑剂强迫循环方式。

3.本实用新型可以做为轴流风机使用，它的动力机可以是电动机或内燃机等。三种类型的本实用新型均可做为轴流风机，但第一、三两种类型的结构较复杂，成本较高，宜在工作压强要求较高时采用。当工作压强要求不太高时，可采用结构简单，成本低的第二种类型。

以下是与本实用新型有关的两点说明：

1.由于本实用新型可用于三个不同领域（飞机、船舶、工业风机），所以本实用新型可以做成三大系列的若干种产品。每种产品都需要根据各自领域的使用特点、技术性能要求等，确定本实用新型的各部件的尺寸、内外通道的直径、叶轮系统的具体参数、NGW型轴承的各项参数及各零件尺寸、转动部件的润滑系统方式、各部件制造时的选材等等。以上工作及有关实验及测试由生产单位进行。

2.本实用新型的叶轮叶片的断面曲线采用圆滚线的理论推导：

某气体单元沿某曲面在一恒定外力作用下，从A移动到B、同时运动方向也要随之连续变化，要找出使气体单元从A运动到B所用时间最短的曲面。

我们沿气体运动方向将该曲面切开，得到一条曲线，找出某微气体单元从A运动到B所用时间最短的曲线，即可得到前面所求曲面。

解：微气体单元相对位移速度

V＝ $\sqrt{\mathrm{2ay}}$

式中a为常量，又

V＝ (ds)/(dt) ＝ $\frac{\sqrt{{\mathrm{1+y\; \prime }}^2}}{\mathrm{dt}}$dx

即

$\sqrt{\mathrm{2ay}}$＝ $\frac{\sqrt{{\mathrm{1+y\; \prime }}^2}}{\mathrm{dt}}$dxdx

dt＝ $\frac{\sqrt{{\mathrm{1+y\; \prime }}^2}}{\sqrt{\mathrm{2ay}}}$dx

从A移动到B所需的时间为

T＝∫TOdt＝∫ao $\frac{\sqrt{{\mathrm{1+y\; \prime }}^2}}{\sqrt{\mathrm{2ay}}}$dx

采用变分法，求泛函

J＝∫ao $\frac{\sqrt{{\mathrm{1+y\; \prime }}^2}}{\sqrt{\mathrm{2ay}}}$dx

且满足边界条件

y（o）＝0；        y（a）＝b

的极值曲线。

因 F＝ $\frac{\sqrt{{\mathrm{1+y\; \prime }}^2}}{\sqrt{\mathrm{2ay}}}$

不含x，由它的欧拉方程

y″Fy′y′＋y′Fy′y－Fy＝0

的首次积分

F－y′Fy′＝c

有 $\frac{\sqrt{{\mathrm{1+y\; \prime }}^2}}{\sqrt{\mathrm{2ay}}}$－y′ $\frac{\mathrm{y\; \prime }}{\sqrt{\mathrm{2ay}}\sqrt{{\mathrm{1+y\; \prime }}^2}}$=C

化简后，有

y（1＋y′2）＝ 1/(2ac2)

令

c1＝ 1/(2ac2)

有

y（1＋y′2）＝c1

用参数法解此方程，令

y′＝ctg (θ)/2

方程化为

y＝ (C1)/(1+y′2) ＝c1sin2(θ)/2 ＝ (C1)/2 （1－cosθ）

又

dx＝ (dy)/(y′) ＝ $\frac{c_1\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}\mathrm{d\theta }}{\mathrm{ctg}\frac{\theta }{2}}$

＝ (C1)/2 （1－cosθ）dθ

故

x＝ (C1)/2 （θ－sinθ）＋c2

所求曲线的参数方程为

x＝ (C1)/2 （θ－sinθ）＋c2

y＝ (C1)/2 （1－cosθ）

由边界条件y（0）＝0，可得c2＝0，有

x＝ (C1)/2 （θ－sinθ）

y＝ (C1)/2 （1－cosθ）

常数c1可利用另一边界条件y（a）＝b定出。该方程为圆滚线方程， 并知 (C1)/2 为滚动圆的半径，可写为

x＝r（θ－sinθ）

y＝r（1－cosθ）

其中r为滚动圆的半径，θ为滚动圆的滚动角。这就是求出的运动时间最短的曲线。

用圆滚线做为叶轮叶片迎风面的截面曲线，在外力作用下气流沿截面为圆滚线的叶轮叶片流动的速度为

v＝ (ds)/(dt) ＝ $\frac{\sqrt{{\mathrm{1+,y\; \prime }}^2}}{\mathrm{dt}}$

因为

y′＝ (dy)/(dx) ＝ (sinθ)/(1－cosθ)

dx＝r（1－cosθ）dθ

所以

$\mathrm{V=}\frac{\sqrt{\mathrm{1+(}\frac{\mathrm{sin\theta }}{\mathrm{1-cos\theta }}{)}^2·}\mathrm{r\; (1\; -\; cos\theta \; )d\theta }}{\mathrm{dt}}$

＝r $\sqrt{\mathrm{2(1-cos\theta )}}$(dθ)/(dt)

由此可见速度v由两个因素构成：其中

r $\sqrt{2(-\cos \theta )}$

项与圆滚线本身的参数有关；而

(dθ)/(dt)

项是滚动圆的角度变化率、也就是气流沿圆滚线运动的角速度，它只与外力有关。前面提到外力为一恒定力，所以可设 (dθ)/(dt) 为一常量k，则速度为

v＝r $\sqrt{2(-\cos \theta )}$ K

加速度为

v′＝rk $\frac{\mathrm{sin\theta }}{\sqrt{\mathrm{1-cos\theta }}}$

令

V′＝0

则

rk $\frac{\mathrm{sin\theta }}{\sqrt{\mathrm{1-cos\theta }}}$＝0

若要使等式成立，只有

式中n＝0，1，2，3，……

若不考虑2π周期，则

θ＝±π

即θ＝±π时，速度达到最大值：

v＝2rk

这是流过圆滚线叶轮叶片的流体速度的理论最大值。但叶轮是旋转工作，理论上讲外力不是一个恒定力，它的大小不变、但方向随时在变，因此它的速度可分为轴向速度v轴和径速度v径，其中轴向速度是我们需要的，径向速度是我们不希望有的，但又不可避免，见图20。图中1是圆滚线，2是轴转动方向，3是转动轴。

v轴＝vcosα＝rk $\sqrt{2(-\cos \theta )}$ cosα

v径＝vsinα＝rk $\sqrt{2(-\cos \theta )}$ sinα

其中α为v与v轴之间的夹角。可以证明当

θ＝90°

时，

α＝ (θ)/2 ＝45°

此时，轴向速度达到最大

v轴＝rk

径向速度此时与轴向速度相等，因采取了流体消旋措施，实际获得的轴向速度要大于rk，而径向速度小于rk。因此当叶轮叶片截面的圆滚线的θ取值为

0°≤θ≤90°

时，轴向功率最大。

当叶轮转速不太高时，θ可取值为

0°≤θ≤95°

当叶轮转速较高时，θ取值不应超过90°，即

0°≤θ≤90°

另外从式

v＝rk $\sqrt{2(-\cos \theta )}$

可以看出当滚动圆半径r大时，流体速度就高，反又则小，这就要求尽可能加大扇形叶片的r参数，加大r必然要减少叶轮的叶片数量，所以一般扇形叶轮取4～6个叶片为宜。