技术领域
[0001] 本
发明属于自动控制技术领域，涉及一种基于非线性ARX模型设计的鲁棒预测控制方法，尤其涉及一种用于一阶连续搅拌釜式反应器(CSTR)的鲁棒预测控制方法。
背景技术
[0002] 连续搅拌釜式反应器(Continuous Stirred Tank Reactor,简称为CSTR)是一种常见的非线性化学反应器，由于其热交换能
力强、产品
质量稳定和低成本等优点，在化工生产的核心设备中占有重要地位，被广泛应用于染料、医药
试剂、食品及合成材料等工业生产中。CSTR系统的控制变量主要包括反应物的
温度、浓度等，对这些变量的控制效果将直接影响到化工产品的生产质量。
[0003] 在过去几十年中,基于线性模型的预测控制技术已发展的相当成熟，但实际的工业过程对象并不都适合作为线性系统来进行
控制器设计,比如CSTR系统、精馏塔系统等复杂过程对象，工作范围大，设定值变化大，呈现着很强的非线性特性。对于这类强非线性化工过程，除非线性调节器的参数整定得很保守，否则控制品质将会显著恶化。鉴于此,对于大部分的非线性化工过程，必须采用非线性预测控制。针对一阶反应CSTR系统，呈现出的强非线性特性，目前非线性预测控制技术也有了不少的成果。在非线性预测控制中，一般采用非线性模型来预测一阶反应CSTR过程未来的输出，在每个
采样时刻，通过在线求解非线性规划问题来对CSTR过程的输入量、状态量以及输出量进行约束。然而，在实际的工业CSTR应用中，这类控制
算法仍然存在一些明显缺点。一方面，实际的工业CSTR对象通常是多变量、强耦合、时变、约束的复杂非线性过程，这些复杂系统的精准数学模型很难获得；另一方面，这类算法在理论上尚未解决诸如控制系统收敛性、鲁棒性和
闭环系统稳定性等问题。虽然近年来非线性预测控制技术取得了较大的发展，但是至今尚未形成一种统一的，行之有效的理论和方法，在工业CSTR系统的实际应用中也未能取得良好的效果。因此，针对复杂非线性工业CSTR过程精确数学建模的复杂性，以及在实际应用中系统控制算法的稳定性、鲁棒性等问题，一种系统性的、可实现的非线性系统建模与控制方法成为亟待解决的问题。
[0004] 经对
现有技术的文献检索发现，目前主要的针对非线性CSTR系统的建模及控制方法有：“基于模型预测控制的集结预测控制系统及其控制方法”(
申请号：200910197512.0)，“一阶反应连续搅拌釜式反应器的混杂模型优化控制方法”(申请号：201010616956.6)， “具有多速率采样连续搅拌釜式反应器的滚动时域估计方法”(申请号：201310311184.9)，“一种连续搅拌釜式反应器的一体化多模型控制方法”(申请号：201510315584.6)。上述
主要发明专利的技术特点为：均是基于非线性CSTR系统的机理模型
基础上建立的系统动态
状态空间模型，特别值得注意的是：上述发明技术均是在已知或给定非线性CSTR系统的状态稳态平衡点信息的前提下进行的建模及控制器设计。到目前为止，大多数针对CSTR系统的非线性预测控制方法是在已知CSTR系统的稳态平衡点信息的假设下设计的非线性系统状态
跟踪或输出跟踪算法。然而，实际工业的非线性CSTR系统，因不可避免的存在不可测干扰或建模误差等，其系统的稳态平衡点信息是未知的或不可测的。因此，对于这类系统平衡点信息未知前提下的非线性CSTR系统的输出跟踪鲁棒预测控制算法才是实际控制中有待解决的主要问题。
发明内容
[0005] 本发明的目的是，针对上述背景技术中的不足，提出了一种一阶连续搅拌釜式反应器(CSTR)的基于非线性ARX模型设计的鲁棒预测控制方法，该方法利用非线性ARX模型的结构特点以及模型蕴含的参数变化信息，构造出能够包裹一阶连续CSTR系统非线性动态的可变线性多面
体模型，在未知一阶连续CSTR系统稳态平衡点信息的情况下，设计基于该非线性ARX模型的鲁棒稳定、实现最优输出跟踪的鲁棒预测控制算法。
[0006] 为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是：一种一阶连续搅拌釜式反应器的鲁棒预测控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
[0007] 1)对一阶反应CSTR系统离线建立描述系统动态特性的非线性状态相依ARX模型结构如下：
[0008]
[0009] 其中： 为依存于状态量w(t)的高斯非线性ARX系数；ξ(t+1)为高斯白噪声；状态向量w(t)＝[Tr(t)T Tr(t-1)T]T,Tr(t)T为t时刻系统的输出；{zj,λj|j＝Tr或Tc}为RBF神经网络的中心向量和缩放因子；
为常数系数的转置； x为x为2范数；
是高斯神经网络相应的权重系数；非线性参数{zj,λj|j＝Tr或
Tc}和线性参数 均通过SNPOM优
化方法离线优化计算得到；
[0010] 2)基于上述非线性状态相依ARX模型的结构特点以及模型蕴含的参数变化信息构造出一种能够包裹非线性动态的可变线性多面体模型；具体为：
[0011] 将描述一阶反应CSTR系统的非线性ARX模型转换成如下多项式结构：
[0012]
[0013]
[0014] 定义一阶反应CSTR系统的期望输出为 同时定义如下偏差变量：
[0015]
[0016] 其中：Tc(t+j)为t+j时刻的控制输入量；Tc(t+j-1)为t+j-1时刻的控制输入量；Tr(t+i)为t+i时刻的控制输出量； 为t+j时刻的控制输入增量； 为t+i时刻的控制输出偏差； 为t时刻系统的期望输出；由上式得到一步向前预测的输出偏差 如下：
[0017]
[0018]
[0019] 其中： 为非线性ARX模型的建模误差ξ(t+1|t)的平均值；ξ(t+1|t)；
[0020] 获得的描述系统当前行为X(t+1|t)和将来行为X(t+g+1|t)的两个状态空间模型结构分别如下：
[0021]
[0022]
[0023] 其中，系数矩阵At,Bt,Ξ(t)和X(t|t)分别是t时刻可测得的参数和状态；未来未知状态矩阵[At+g|t,Bt+g|t]由状态相依系数常量a1,t+g|t和b1,t+g|t构成，在t时刻系数常量a1,t+g|t和b1,t+g|t的具体值未知，但根据上述公式推导可得系数常量a1,t+g|t和b1,t+g|t由高斯基函数网络构成，因此可知其常量的上下限，进一步得到未知状态矩阵[At+g|t,Bt+g|t]可由如下两个凸线性多面体动态包裹：
[0024]
[0025]
[0026] 其中： 为多面体时变线性系数,且多面体
顶点为Al(A1,A2)和Bk(B1,B2)，其中：矩阵Al＝A1或A2：
当l＝1时Al＝A1，当l＝2时Al＝A2，同理矩阵Bk＝B1或B2：当k＝1时Bk＝B1，当k＝2时Bk＝B2。
Al，Bk中的各元素从系统非线性ARX模型中状态相依函数型系数的上下限信息计算得出：
[0027]
[0028]
[0029] 其中： 为高斯神经网络相应的权重系数，由SNPOM方法优化得到； 为关于变量w(t)的函数
的上限值， 为关于变量w(t)的函数
的下限值； 为关于变量w(t)的函数
的上限值， 为关于变量w(t)的函数
的下限值。
[0030] 3)基于上述构造的、能够包裹CSTR系统非线性动态的可变线性多面体模型，利用min-max优化原理，基于不变集设计方法，在未知CSTR系统稳态平衡点信息的情况下，设计基于该非线性ARX模型的可通过求解凸优化问题实现的最优输出跟踪鲁棒预测控制方法：
[0031]
[0032]
[0033]
[0034]
[0035]
[0036] 其中：符号*代表矩阵的对称结构；W＝1,R＝0.2；Z是一个对称矩阵；F(t)＝YG-1为反馈增益矩阵；Qlk，Qαβ，其中l,k,α,β＝1或
2，为求解凸优化问题的中间矩阵变量；上述线性矩阵不等式中，系数矩阵At,Bt和Ξ(t)是t时刻已测得的参数矩阵；X(t|t)是t时刻已测得的状态向量；Y,G,Qlk,Z和 均为最小化变量γ求解过程中的中间变量，在求解最小化问题 时，优化函数会根据上述约束条件自动寻找满足使的γ最小的中间变量Y,G,Qlk,Z和 是否存在，当找到合适的中间变量Y,G,Qlk,Z和 时，则t时刻最小化优化求解过程结束。在t时刻，通过求解上述线性矩阵不等式的凸优化问题获得优化控制增量输入 对应的作用于系统的控制量输入为 从而，通过实时调节冷却剂温度Tc(t)，达到系统输出反应器
反应温度Tr(t)跟踪给定目标轨迹。
[0037] 与现有技术相比，本发明所具有的有益效果为：
[0038] 到目前为止，大多数针对CSTR系统的非线性预测控制方法是在已知CSTR系统的稳态平衡点信息的假设下设计的。此外，此类基于稳态平衡点信息已知的预测控制算法并不适用于系统的稳态平衡点连续变化的情况。然而，实际工业的非线性CSTR系统，因不可避免的存在不可测干扰或建模误差等，其系统的稳态平衡点信息是未知的或不可测的或连续变化的。因此，对于这类系统平衡点信息未知前提下的非线性CSTR系统的输出跟踪鲁棒预测控制算法才是实际控制中有待解决的主要问题。本发明专利利用非线性ARX模型的结构特点以及模型所蕴含的系统未来非线性动态特性的变化信息，构造能够包裹CSTR系统非线性动态的可变线性多面体模型，利用min-max优化原理、基于不变集设计方法，在未知CSTR系统稳态平衡点信息的情况下，设计基于该非线性ARX模型的、考虑了CSTR系统约束的鲁棒稳定、控制性能良好、可通过求解凸优化问题实现最优输出跟踪的鲁棒预测控制算法。
附图说明
[0039] 图1为本发明专利涉及的一阶反应CSTR系统的应用场景示意图。
具体实施方式
[0040] 本发明所述一阶反应CSTR系统的应用场景示意图如图1所示。在一阶反应CSTR系统内发生放热的、不可逆反应，反应物为A、生成物为B，反应原料A以稳定的流速进入 反应器，反应器的反应物料以同样的稳定流速流出反应器。如图1所示一阶反应CSTR系统中的相关参数及取值为：反应器中组分A的浓度为CA，反应器反应温度为Tr，冷却剂温度为Tc，反应物A进料浓度为CAf＝1mol/L，进料流量为Qf＝100L/min，进料温度为Tf＝350K，反应器容积为V＝100L，
比热为Cp＝0.239J/g·K，热传输系数与反应器表面积的乘积为UAh＝5×104J/(min·k)。本发明所述一阶反应CSTR系统中，系统的控制输入为冷却剂温度Tc，控制输出为反应器反应温度Tr，通过实时调节冷却剂温度Tc，达到系统输出反应器反应温度Tr跟踪给定目标轨迹。
[0041] 本发明所述一种一阶连续搅拌釜式反应器(CSTR)的基于非线性ARX模型设计的鲁棒预测控制方法：首先，利用数据驱动的系统辨识技术，采用一种非线性状态相依ARX模型的建模方法，离线建立非线性CSTR系统的动态数学模型。其次，利用非线性状态相依ARX模型的结构特点以及模型蕴含的参数变化信息构造出一种能够包裹非线性动态的可变线性多面体模型。最后，在未知系统稳态平衡点信息的情况下，设计基于非线性ARX模型的鲁棒稳定、控制性能良好、可通过求解凸优化问题实现最优输出跟踪的鲁棒预测控制算法。
[0042] 一种一阶反应CSTR系统的基于非线性ARX模型设计的鲁棒预测控制方法其特征在于，该方法包括以下步骤：
[0043] 1)采集一阶反应CSTR系统的动态建模数据
[0044] 根据一阶反应CSTR系统的控制输入冷却剂温度Tc和控制输出反应器反应温度Tr之间的关系，获得反应系统动态特性的辨识数据。在t时刻一阶反应CSTR系统的控制输出量为反应器反应温度Tr(t)，对应的t时刻的输入量为冷却剂温度Tc(t)。采集一阶反应CSTR系统的输入输出数据2500点，采样时间为25min，采样周期为0.01min。适用于辨识系统非线性ARX数学模型的动态建模数据应是在其有效范围内充分激发一阶反应CSTR系统的各种模态与动态特性的数据。
[0045] 2)采用一种非线性状态相依ARX模型的建模方法，离线建立非线性CSTR系统的动态数学模型
[0046] 在步骤1)获得系统辨识数据的基础上，采用一种非线性ARX建模方法，离线构建一阶反应CSTR系统的动态数学模型。本发明所述一种描述一阶反应CSTR系统的非线性ARX数学模型结构如下：
[0047] 对一阶反应CSTR系统离线建立描述系统动态特性的非线性状态相依ARX模型结构如下：
[0048]
[0049] 其中： 为依存于状态量w(t)的高斯非线性ARX系数；ξ(t+1)为高斯白噪声；状态向量w(t)＝[Tr(t)T Tr(t-1)T]T,Tr(t)T为t时刻系统的输出；{zj,λj|j＝Tr或Tc}为RBF神经网络的中心向量和缩放因子； 为常数系数的转置； x为2范数；
是高斯神经网络相应的权重系数；
非线性参数{zj,λj|j＝Tr或Tc}和线性参数
均通过SNPOM优化方法离线优化计算得到(详见：Peng H,Ozaki
T,Haggan-Ozaki V,Toyoda Y.2003，A parameter optimization method for the radial basis function type models),比如：线性参数
非线
性参数
[0050] 3)建立能够包裹一阶反应CSTR系统非线性动态特性的可变线性多面体模型[0051] 为了建立能够包裹一阶反应CSTR系统非线性动态特性的可变线性多面体模型，首先将描述一阶反应CSTR系统的式(1)结构的非线性ARX模型转换成如下多项式结构：
[0052]
[0053]
[0054] 定义一阶反应CSTR系统的期望输出为 同时定义如下偏差变量：
[0055]
[0056] 其中：Tc(t+j)为t+j时刻的控制输入量；Tc(t+j-1)为t+j-1时刻的控制输入量；Tr(t+i)为t+i时刻的控制输出量； 为t+j时刻的控制输入增量； 时刻的控制输出偏差； 为t时刻系统的期望输出。
[0057] 由式(2)和式(3)可得到一步向前预测的输出偏差 如下：
[0058]
[0059]
[0060] 其中： 为非线性ARX模型(2)的建模误差平均值，可通过在系统实时控制过程中对历史样本平均值计算得到。如式(5)定义的ψt变量的绝对值|ψt|，可被看作是控制系统是否进入稳定平衡点的指标，因为当|ψt|等于零时，此时系统输入量{Tc(t)}是控制量输入最佳值，输出量{Tr(t)}也稳定在期望的输出 上。由上述ψt的定义以及公式(4)可根据以下线性时变模型(6)近似一阶反应CSTR系统的未来非线性特性，同时通过设计一组最佳的系统控制增量输入 使得满足|ψt+j|t|等于零，来规范系统输出增量的最优未来动态特性轨迹如下：
[0061]
[0062] 其中：
[0063]
[0064] 由式(2)可以看出，因在t时刻未来的状态量无法获得，进而式(6)中的系数矩阵ak,t+j和bk,t+j也无法精确获得。但根据模型参数上下边界可知的特点可得到未来的系数矩阵ak,t+j和 bk,t+j的变化范围，从而构造出能够包裹对象非线性动态的可变线性多面体模型。
[0065] 首先定义以下系统状态向量：
[0066]
[0067] 通过定义上述状态向量可得到矩阵多项式模型(4)和(6)分别对应的两个状态空间模型结构如下：
[0068]
[0069] 和
[0070]
[0071] 上述式(9)中系统状态向量X(t|t)，Ξ(t)以及状态矩阵[At,Bt]均可在离线辨识得到的系统非线性ARX模型(2)的基础通过公式(5)，(8)和(9)推导得出。与此同时，根据非线性ARX模型(2)以及模型(10)，可以得出未来状态矩阵[At+j|t,Bt+j|t](j≥1)的范围，可由如下两个凸线性多面体动态包裹：
[0072]
[0073]
[0074] 其中： 为多面体时变线性系数,且多面体顶点为Al(A1,A2)和Bk(B1,B2)，其中：矩阵Al＝A1或A2：
当l＝1时Al＝A1，当l＝2时Al＝A2，同理矩阵Bk＝B1或B2：当k＝1时Bk＝B1，当k＝2时Bk＝B2。
Al，Bk中的各元素从系统非线性ARX模型中状态相依函数型系数的上下限信息计算得出：
[0075]
[0076]
[0077]
[0078]
[0079] 综上所述，获得的局部线性状态空间模型(9)用来表示非线性系统的当前行为，系统将来非线性行为则由一个线性参数时变的凸多面体模型(10)动态包裹，其中动态矩阵At+j|t属于式(11)所示凸多面体ΩA，动态矩阵Bt+j|t属于式(12)所示凸多面体ΩB。基于该时变线性多面体模型，可设计出通过求解带线性矩阵不等式约束的线性规划问题获得最优控制量的鲁棒预测控制器。
[0080] 4)基于非线性ARX模型设计的一种可实现系统平衡点信息未知情况下的输出跟踪鲁棒预测控制算法。
[0081] 基于步骤3)中构造的两个包裹系统非线性动态特性的线性多面体模型(9)和(10)，利用min-max优化原理、基于不变集设计方法，在未知CSTR系统稳态平衡点信息的情况下，设计一种输出跟踪鲁棒预测控制算法如下：
[0082] 首先，定义X(t+j|t)为t时刻模型预测的t+j系统状态量， 为t时刻预测的t+j的输入控制增量，选择如下带约束的优化目标函数：
[0083]
[0084] 其中：W≥0和R＞0为控制加权系数。 为控制输入增量约束。根据伪min-max鲁棒预测控制算法的基本思想，上述无穷时域目标函数被分为如下两个部分：
[0085]
[0086] 上式中控制输入增量 为目标函数要优化计算的控制量，未来的控制输入增量则由如下状态反馈控制率获得：
[0087]
[0088] 如下提供一种基于线性矩阵不等式综合的无穷时域预测控制算法。首先，定义如下二次型函数：
[0089] V(j,t)＝X(t+j|t)TP(j,t)X(t+j|t),j≥1. (20)
[0090] 其中： 在t时刻,对于 假设V(j,t)满足如下不等式：
[0091]
[0092] 当j＝1 to ∞，将式(21)累加求和，可得到 的最坏情况下的上限约束如下：
[0093]
[0094] 因此，伪min-max鲁棒预测控制问题(17)可转化如下优化问题：
[0095]
[0096] 假如存在李雅普诺夫矩阵Plk(l,k＝1,2)，则可构建一个随时间变化的参数依赖的李雅普诺夫矩阵矩阵如下：
[0097]
[0098] 则优化问题(23)的求解可转化为在每个采样时刻t求解如下凸优化问题：
[0099]
[0100]
[0101]
[0102]
[0103]
[0104] 其中：符号*代表矩阵的对称结构；W＝1,R＝0.2；-1
Z是一个对称矩阵；F(t)＝YG 为反馈增益矩阵。上述线性矩阵不等式中，At,
Bt,Ξ(t)和X(t|t)分别是t时刻已测得的参数和状态。Qlk、Qαβ为求解凸优化问题的中间矩阵变量，其中l,k,α,β取值为1或2；Y,G,Qlk,Z和 均为最小化变量γ求解过程中的中间变量，在求解最小化问题 时，优化函数会根据上述约束条件自动寻找满足使的γ最小的中间变量Y,G,Qlk,Z和 是否存在，当找到合适的中间变量Y,G,Qlk,Z和
时，则t时刻最小化优化求解过程结束。在t时刻，通过求解上述线性矩阵不等式的凸优化问题(25)可获得优化控制增量输入 对应的作用于系统的控制量输入为
从而，通过实时调节冷却剂温度Tc(t)，达到系统输出反应器反应
温度Tr(t)跟踪给定目标轨迹。
