在真实的世界里必定面对不平衡和动态的负载条件，尤其是在电动车辆最为 鲜明在相关文献中都有清楚的描述例如[34，Chapter4]、[79]和电子书[80]，在高功 率的环境有如[32]与[108Chapter5，6，7]。电力的产生部份如燃料电池(Fuel Cell)[99]、[79]、[85]、太阳能(Solar cells)[85，Chapter2，3，10]、共生(Cogeneration)、 再生(Regenerating)电力，都是为了补足现今电力的不足或能源耗尽等问题，当然 也产生电力资源整合(Resources Integration)或并联发电等更进一步待解决的问题， 也希望如此提升能源效率(Energy Efficiency)与质量(Quality)。
国际原油的短缺，发展电动车辆以取代以石油为能源的交通运输工具是不能 避免的路径。而整合多种电力整合[64]和电动车辆也早有官方如美国能源部 (Department of Energy)等、学术界进行研究如[49]、[78]、[34]、[32]、[126]、[90]、 [108，Chapter5，6，7]、[44]、[93]、[94]、[95]、[48]。无奈的是并没有开发出真正有 效的方法，都仅以折衷让步的方式造成今日地球资源更加速的耗尽，而如地球暖 化、二氧化碳排放过量、气候异常等等环境恶化问题，挥的不去的梦靥也接踵而 至。
近来随着时代进步，需求面不断的被刺激有了各式各样的电力转换器，图1[79] 是电力转换器的典型应用，例如AC/DC、DC/DC、DC/AC(变频器)、AC/AC和泛 交换式电源供应器(Switching-mode Power Supply)因应不同电力来源(Fuelcell Output)就会配置不同的调整电压(DC/DC Boost Converter)，其中电感L1和功率晶 体S1切换即会产生干扰，电瓶和电容C(DClink & Battery)造成电路的负载型态变 动，功率晶体S2、S3、S4、S5电感Li、电容Ci的输出控制(PWMDC/ACInverter和 L_C Filter AC Output)和前端不同电压输出变压器(Line Frequency Transformer)，都 会造成电力谐波污染，电力系统高度非线性化和不平衡致使电力问题更复杂，尤 其近来变频器(Inverter)为基础省电家电，对于现有的电力系统更是雪上加霜，用 电安全更是另外一大隐忧，开发新一代电力系统，不但要节能且要整合与控制显 得迫切，瞬时的分析可参考[104]。
综观现存的分析，存在三大问题：
机械系统与电力系统模拟的误解：没有稳定化(Stabilization)过程和阻尼器 (Damper)的设计的支持，系统响应是不可能满足设计需求。
频谱分析(Spectral或Harmonic Analysis)工具的短缺：无法确立系统响应频段 (Bandwidth)，滤波器就会无法消除不必要的频率成份即识别不良。
3)瞬时(Transient)与稳态(Steady State)解无法分离：非线性系统的解是不易将 瞬时与稳态分离，乃至于造成了频率和振幅(Frequency-Amplitude)或相位和振幅 (Phase-Amplitude)有关，甚至发生分叉(Bifurcation)或跳跃(Jump)等等无法解析的 现象。
上述所存在的问题，可由下列基础学理回顾的说明，得知原因乃问题所在：
说明一.串、并联谐振(Series，Parallel Oscillators)
如图2、图3所示，参照〔47〕、[35，Page951-968]、[118，Vol1，2]、[77，Chapter4] 和[120，Chapter7]，在RLC线路中依科希荷夫(Kirchhoff)(电流和电压)定理可以表 示电流(图2)的状态方程式
$\frac{d^{2}i}{{\mathrm{dt}}^2}+\frac{1}{\mathrm{RC}}\frac{\mathrm{di}}{\mathrm{dt}}+\frac{1}{\mathrm{LC}}i=\frac{1}{\mathrm{LC}}{i}_s---\left(1.1\right)$

也可以电压(1.5)的二阶微分方程式
$\frac{d^{2}v}{{\mathrm{dt}}^2}+\frac{R}{L}\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}+\frac{1}{\mathrm{LC}}v=\frac{1}{\mathrm{LC}}{v}_s---\left(1.2\right)$
即
$\left[\begin{array}{c}\stackrel{·}{i}\\ \stackrel{·}{v}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{R}{L}& -\frac{1}{L}\\ \frac{1}{C}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}i\\ v\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{1}{L}{v}_s\\ 0\end{array}\right]$
式(1.1)或(1.2)中微分一次项的是数 或 是主要的阻尼因子。
就(1.1)而言，微分方程式的解俱有的特征根是
${\lambda }^2+\frac{1}{\mathrm{RC}}\lambda -\frac{1}{\mathrm{LC}}=0$
也就是说特征根有λ1和λ2如下：
${\lambda }_{\mathrm{1,2}}=\frac{1}{2}(-\frac{1}{\mathrm{RC}}\pm \sqrt{{\left(\frac{1}{\mathrm{RC}}\right)}^2-\frac{4}{\mathrm{LC}}})$
$=\frac{1}{2\mathrm{RLC}}(-L\pm \sqrt{L^2-{4\mathrm{LCR}}^2})$
或以阻尼比ζp正规化且令R＝Rp，
${\omega }_y=2\mathrm{\pi f}$
$=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{LC}}}$
${\lambda }^2+2{\zeta }_p{\omega }_y\lambda +{\omega }_y^2=0$
那么
${2\zeta }_p{\omega }_y=\frac{1}{R_{p}C}$
或
${\zeta }_p=\frac{1}{{2\omega }_y{R}_{p}C}$
$=\frac{1}{{2R}_p}\sqrt{\frac{L}{C}}---\left(1.3\right)$
如果根号内的部份为不大于零且
RLC≠0
            (1.4)
，则
$\frac{L}{4C}\le R^2$
或
$\frac{{\left(\frac{L}{2}\right)}^2}{R^2}\le f^2---\left(1.5\right)$
其中f是共振频率，则系统即在阻尼值可以用设定R值调整至接近共振 (Resonance)，原因是平方项比较敏感且可用热敏电阻随温度改变电阻的性质，加 以实现即阻抗匹配(Impedance Matching)，原有的电路性质已被温度参数化 (Parameterized by Temperature)，另外若能在共振响应区内即可不耗能的情况下得 到隅合(Coupling)且吸出(Extracting)过剩的电能推入暂存区，使得原有系统工作温 度下降且耗电量也随其工作环境的良好隅合而下降，进而达到省电的目标。
从式(1.2)中特征根是
${\lambda }^2-\frac{R}{L}\lambda +\frac{1}{\mathrm{LC}}=0$
或以阻尼比ζz正规化且令R＝Rz，
${\omega }_y=2\mathrm{\pi f}$
$=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{LC}}}$
${\lambda }^2-{2\zeta }_z{\omega }_y\lambda +{\omega }_y^2=0$
那么
${2\zeta }_z{\omega }_y=\frac{R}{L}$
或
${\zeta }_z=\frac{R}{{2\omega }_{y}L}$
$=\frac{R_z}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}---\left(1.6\right)$
串、并联谐振的Q值由式(1.3)、(1.6)代入定义，分别是
$Q_p=\frac{1}{{2\zeta }_p}$
$=R_p\sqrt{\frac{C}{L}}---\left(1.7\right)$
和
$Q_z=\frac{1}{{2\zeta }_p}$
$=\frac{1}{R_z}\sqrt{\frac{L}{C}}---\left(1.8\right)$
相对的响应频宽分别是
${\beta }_p=\frac{{\omega }_y}{Q_p}$
$=\frac{1}{R_{p}C}---\left(1.9\right)$
和
${\beta }_z=\frac{{\omega }_y}{Q_z}$
$=\frac{R_z}{L}---\left(1.10\right)$
对于凸集(Convex)、平衡(Balanced)、吸收(Absorbing)给定抽象定义，方便解 释和应用，从书[92，Page127]得知：
定义1(Convex，Balance，Absorbing)为了说明与分析方便对于凸集(Convex)、 平衡(Balanced)、吸收(Absorbing)重新给明确的定义。一集合CV是为向量空间 的子集若为凸集必须满足设x，y∈V，0≤t≤1因而有下式
tx+(1-t)y∈C
              (1.11)
若C被称为平衡就是若x∈C且λ≤1那么
λx∈C
      (1.12)
最后则C被称为可吸收若
-ω0tC＝V
也就是说任意个数x∈V则
sx∈C 
      (1.13)
且只对持定的数s＞0。
虽然抽象但不难理解，如果C是个凸集且V是由实数体所表示的向量空间那么 平衡可以用
-x∈C
      (1.14)
表达，虽然所有的数都是在集合内；
x∈C
V由复数体所表示的向量空间则平衡可以用乘上eie因子如
eiθx∈C
       (1.15)
表达，幅角必在
θ∈[0.2π]
且所有的数都是在集合内如
x∈C
因此可视的在单位圆内(Circled)。
说明二.Linéard系统
参照书[118，Chapter8，9 ，10，11，22，23]、[43Page173]、[8Page181]，由图(2)我们 可令电流iI电压vC分别是用x、y取代且依Kirchhoff定律，这个并联谐振的状态方 程式是
$L\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=y---\left(1.16\right)$
$C\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}=-x-F_p\left(y\right)---\left(1.17\right)$
用矩阵型式如下
$\left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& \frac{1}{L}\\ -\frac{1}{C}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{F_p\left(y\right)}{C}\end{array}\right]---\left(1.18\right)$
其中式(1.16)，(1.17)和函数Fp(y)(下标p是并联谐振的缩写)分别是Faraday定 律，Coulomb定律和广义Ohm定律，更值得注意的(1.8)是Liénard系统的一种表 达式，这有助在延伸系统至稳定化的有利意义，如果指广义Ohm定律Fp(y)是线性 的形式
Fp(y)＝Ky
即K＞0即是一般Ohm定律。
在串联谐振的电路中如图3所示，状态方程式是(下标s是串联谐振的缩写)
$L\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=y-F_z\left(x\right)---\left(1.19\right)$
$C\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}=-x---\left(1.20\right)$
用矩阵型式如下
$\left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& \frac{1}{L}\\ -\frac{1}{C}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-\frac{F_z\left(x\right)}{L}\\ 0\end{array}\right]---\left(1.21\right)$
和并联谐振一样的方式我们仍可用x和y取代电流iC与电压vI函数Fz(x)则是广 义Ohm定律，同时式(1.21)也是Liénard系统的一种表达式，同样的有助在延伸系 统至稳定化的推导。
在系统(1.21)中为了简化推导取电感量L＝1和电容量C＝1，而串联谐振(1.21) 可以表成
$\left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}y-F_z\left(x\right)\\ -x\end{array}\right]---\left(1.22\right)$
的形式。其系统平衡点是令右边为零
$\left\{\begin{array}{c}y-F_z\left(0\right)=0\\ -x=0\end{array}\right.$
其中Fz(0)是广义Ohm定律在零点取值。式(1.22)右边梯度取值在平衡点
$\left[\begin{array}{cc}-F_z\left(0\right)& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$
令Fz(0)＝fs(0)特征值是λζ2如下
${\lambda }_{\mathrm{1,2}}^s=\frac{1}{2}[-f_s\left(0\right)\pm \sqrt{{\left(f_s\left(0\right)\right)}^2-4}]$
同样的方法令Fp(0)＝fp(0)对于并联谐振(1.18)可以得到平衡点是(Fp(0)，0)，式 (1.18)右边梯度取值在平衡点
$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& f_p\left(0\right)\end{array}\right]$
相对应的特征值λ1，2p如下
${\lambda }_{\mathrm{1,2}}^p=\frac{1}{2}(f_p\pm \sqrt{{\left(f_p\left(0\right)\right)}^2-4})$
那么我们即可得知这两种谐振(1.18)和(1.21)有以下的结论：
当fz(0)＞0或fp(0)＜0相对应的平衡点是吸收源(Sink)。
若fz(0)＜0或fp(0)＞0相对应的平衡点是流出源(Source)。
在fz(0)＝0或fp(0)＝0相对应的平衡点是分叉点(Bifurcaton Point)[53，Page433]。
从前三项结果分析，两种谐振(1.18)和(1.21)个一个瞬间都只会存在一种状态， 而且只有跨过零点才会转态，试想要能完全描述连续状态转移(States Transition)， 必定要连续切换分叉点才有可能，再者两种谐振状态值成平衡(一正一负有如平衡 的定义)如式(1.14)、(1.12)所示。在给定R、L、C值条件下单一谐振是不可能同时 存在平衡条件，若两种谐振同时存在时充其量只在特定频率下有平衡，但分叉点 仍无法确实获得。如何设计谐振让系统周而复始的跨过分叉点，又能对任何频率 有响应(R、L、C不能是定值)即是首要课题。无论如何前面的结论其实已给了无 穷级共振舱的初步雏型即阻抗的给法必须是平衡的。
说明三：真空管放大器(Vacuum-TubePower Amplifier)
如图4所示，闸极电压Vg满足
$L\frac{\mathrm{di}}{\mathrm{dt}}+\mathrm{iR}+V_g-M{i}_a=0---\left(1.23\right)$
电流ia是可被Vg所控制且ia满足
$i_a={\mathrm{SV}}_g(1-\frac{V_g^2}{{3K}^2})---\left(1.24\right)$
其中S、M、K都是电路中组件已知的参数令
$C\frac{d{V}_g}{\mathrm{dt}}=i$
如式(1.23)系统可以建构二阶非线性微分方程式
$\mathrm{LC}\frac{d^2{V}_g}{{\mathrm{dt}}^2}+(\frac{\mathrm{MS}}{K^2}{V}_g^2+\mathrm{RC}-\mathrm{MS})\frac{d{V}_g}{\mathrm{dt}}+V_g=0$
再令新的变数x
$x=\left[\frac{1}{K}\sqrt{\left(\frac{\mathrm{MS}}{\mathrm{MS}-\mathrm{RC}}\right)}\right]V_g$
参数α
$\alpha =\frac{\mathrm{MS}-\mathrm{RC}}{\mathrm{LC}}$
和已知的自然频率
${\omega }^2=\frac{1}{\mathrm{LC}}$
那么系统(1.25)可以精简成
$\frac{d^{2}x}{{\mathrm{dt}}^2}+\alpha (x^2-1)\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}+{\omega }^{2}x=0---\left(1.26\right)$
由系统(1.26)，已知真空管放大器有抗干扰的优点但无法高频工作和温度工作 很高不耐用的缺点。
说明四：系统模拟的误解(Misunderstanding of Systems Analogy)
传统上中机械和电路的系统模拟可以整理如表格(1)[3，Page341]，其中发生 误解的地方是在阻尼(Damping)和电阻R之间的模拟。
其一是阻尼必须是有频宽(Bandwidth)限制或频率响应的相关性质，然电阻的 性质尚未提与频率响应。
其二是阻尼通常是有吸收(Absorbent)的基本性质，但电路中电阻是无法吸附 电子的组件。
因此若要有良好的模拟，就必须有新的组件或系统被开发出来。
说明五：多级共振舱(Order-kResonant Tank)的难处
当我们想要用有限个L、C组件组成LC有限个网络或为k级共振舱 (Order-kResonant Tank)，由基础物理或电学[118，Vol2，Chapter8，9，10，11，22，23]、 [43，Page173]、[8，Page181]是可以办到的，正整数k是有限的如下
0＜k＜M
其中M某个特定大的正整数。但因为有等效电路的问题k级可能被等效成一级 Cs，Ls共振频率是
${\omega }_y=\frac{1}{\sqrt{L_s{C}_s}}$
因此如图5所示，打点的虚线方块代表其内延续前面网络的布局，且必须在 每一单一网络节点要加入开关Si，i＝1，2，...，k，产生k级共振舱所需的阻抗值Zi， i＝1，2，...，k。若今天要推广到无穷级共振舱(Order-∞Resonant Tank)，必须要有″ 无穷多″个L、C组件和开关时，
k→∞
试问在基础物理或电学上是否有可行的方法吗？这也造就了基础物理或电学 上的难题。
说明六：动态阻抗匹配(Dynamic Impedance Matching)的实施困难
阻抗匹配是在设计电力系统必定面临的问题，因为电力系统在纯电阻性负载 下可以获得有效供电即消耗平均功率。然现今设备负载都有相当大的差异性，电 阻性、电感性、电容性负载型态会同时出现，想要将负载型态完全改变成纯电阻 性负载，会使得设计复杂化且负载不能任意改变，如此一来就只能已知负载型态 下设计电力设备。然而一般终端用电是不可能有这样的限制，如图6所示已知负 载有load1，load2，load3横跨电源的两端，但后面虚线方块表示即将离线或启动 的负载，一旦这些负载有了更动，阻抗已从原来的
Z＝Z0
变成了
Z＝Zg
此刻供电端的电力就受到了冲击，阻抗不匹配造成系统高温、供电不足、电 力中断或谐波扭曲，甚至电源侧或客户端起火。一般大电力用户都有被动或主动 滤波器(Passive或Active Filter)[108，Chapter3，4，5，6，7，8，9]加以抑制，然问题终究 存在，因此我们提供更好的方法即动态阻抗匹配。
最大功率移转定理
设电压源
Vs＝V0
且有串联阻抗
zs＝Rs+iQs
而负载阻抗
zL＝RL+iQL
则负载可得最大功率是：若RL、QL是可变的则
RL＝Rz
      (1.27)
且
QL＝-Qz
         (1.28)
结合式(1.27)、(1.28)即电源串联阻抗和负载阻抗互成共轭
$z_L=z_s^{*}$
因为总阻抗
z＝zs+zL
＝Rs+RL+i(Qz-QL)
负载消耗总功率
$P=I^2{R}_L$
$={\left(\frac{[(R_z-R_L)-i(Q_z+Q_L)]}{{(R_z+R_L)}^2+{(Q_z+Q_L)}^2}\right)}^2{V}_0^2{R}_L$
其中虚部必须为零
(Qz-QL)＝0
或
Qz＝-QL
        (1.29)
即负载消耗总功率 
$P=\frac{V_0^2{R}_L}{{(R_z+R_L)}^2}$
但又
$\frac{R_z+R_L}{2}\ge \sqrt{R_z{R}_L}$
等号只在
Rz＝RL
      (1.30)
才会成立或负载消耗总功率P是平均功率PZV
$P_{\mathrm{zv}}=\frac{1}{2}\frac{V_0^2}{R_L}$
$=\frac{V_0^2}{\left({2R}_L\right)}---\left(1.31\right)$
此刻总阻抗变成了
z＝2RL
       (1.32)
两倍在原来阻抗RL或Rz。
另外式(1.28)为零，
Qs＝QL＝0
依据(1.30)则总阻抗变成了(1.32)，同时负载消耗总功率P是(1.31)。
说明七：泛交换式电源(Switching-mode Power Supply)的设计缺陷
交换式电源基本设计如图7所示，交流电输入后经过桥式整流进入电解电容 Cp暂存和平滑直流，同时固定频率的波宽调变(PWM)讯号控制器启动，输入控制 命令触动功率晶体的闸极(Gate)，使得直流经高频变压器T初级线圈流过功率晶体 形成回路，当闸极关闭的瞬间高频变压器次级线圈立即有感应电动势流入桥式整 流而输出直流。但在从这里可以得到当闸极关闭的瞬间，高频变压器T初级线圈 功率晶体的输入点(Drain)会有楞次电压(Lenz Voltage)或反电动势产生，凭借助电 阻R电容C和快速二极管D形成回路加以抵销，此处R、C、D所形成的网络即减震 网络(Snubber Network)，有关减震网络设计与分析，可参考[44，Chapter10]、[111]、 [50]、[1]、[63]、[121]、[109]、[16]、[15]，而对于EMI(Electro-Magnetic Interference)、 EMC(Electro-Magnetic Compatibility)、RFI(Radio-Frequency Interference)的防治可 参考[116]、[48]、[44，Chapter10]、[111]、[32]、[90]。但抵销楞次电压的减震网络 问题诱发系统严重的设计缺陷：
系统加入电解电容Cp当缓冲区，偏向电容性负载型态，启动瞬间产生瞬间大 电流(Inrush Current)，现有的方案是串联NTC限流。
因系统在高频工作，楞次电压累加的非常迅速，高频变压器T电感量漂移等， 楞次电压的频谱远离Snubber网络所设计的中心频率，即Snubber网络无法完全 消除楞次电压造成系统高温、高频噪音、谐波干扰等等负作用且引申出EMC、EMI、 RFI等检测的难题。
由于Snubber网络R、C、D等参数是固定的其响应频宽非常的窄，换言的交 换式电源无法因应负载的变动而更动切换频率，这个设计缺陷使得交换式电源无 法被广泛使用。
从第一到第三项的缺点造就了大功率(High-power)的交换式电源仍旧难产。
以全域滤波器(All-passFilter)为基础的RLC网络即无穷级共振舱未能实现。
说明八：变频器(Inverter)的设计难题
图8是三相变频器的典型，其中RST是输出端七颗功率晶体都配置快速二极 管引导由负载所产生的再生电力回到电瓶的二侧VDC(+，-)，RB称为煞车电阻而横跨 其中功率晶体和煞车电阻合称煞车单元，七颗功率晶体的闸级都由波宽调变 (PWM)讯号控制器启动加以切换。
负载所产生的再生电力的频谱并不被分解，再回到电瓶的二侧又会送入负载 产生二次或更多次的交互作用，使得直流准位不稳定而漂移，这是最大的谐波源， 更直接创造了自激系统，此刻煞车单元就要启动抑制直流漂移但仍无法分离电瓶 的直流准位和再生电力，所消耗的是包含了电瓶所释出的电能和再生电力，几乎 是实功率所以煞车单元会有相当大的温度梯度，而需要良好的冷却系统降温，冷 却系统需要额外电力消耗；若是电容性或电感性负载，电力被这些负载再次污染， 激发出更混乱且加速消耗的电力。
说明九：可调速度马达控制器(Variable-SpeedController)的折衷设计
由教科书[8，Chapter56]、[34，Chapter6]、[24]中提与系统对偶性真实范例如图 9所示。如图10是以变频器调控基频为基础的可调速度马达控制器的设计，由六 颗功率晶体(IGBT1，IGBT4，IGBT3，IGBT6，IGBT5，IGBT2)依序导通和关闭让感应 式马达依序反或正转，IGBT1和IGBT4会同时启动与关闭，启动时电流由IGBT1 进R往第一相Φ1和第二相Φ2流至S经IGBT4流回电瓶负端三相完成第一相的回 路。对马达每一相线圈且e＞0则在供电周期内可以表达成
$V_{\mathrm{DC}}-e=L\frac{\mathrm{di}}{\mathrm{dt}}+\mathrm{Zi}$
在关闭的瞬间相位改了180°
$-V_{\mathrm{DC}}-e=L\frac{\mathrm{di}}{\mathrm{dt}}+\mathrm{Zi}$
其中L、e、i、Z分别是电感量、反电动势、电流和系统阻抗。一旦IGBT1和 IGBT4关闭时反电动势(Back Electromotive Force或EMF)e建立，电流i立即从S流 至R经快速二极管D1或D2流到电瓶两端，其中因反电动势的频谱未知(马达线圈的 电感量L会产生微小随机性漂移(Drifting)，诱发系统奇异性
(Singularity)[30，Chapter6])，就只能选择尽可能响应够快的快速二极管且D1或D2会 产生高温，反电动势并没有进入电瓶但这会引成电瓶两端准位VDC漂移，更进一步 影响后续进入马达电流波形，让马达控制系统转变成自激系统(Self-Excited System)[6，Page92]、[30，Page39]、[86]，也就是创造了谐波(Harmonic Wave forms Distortion)的来源，因此反电动势e和电流i产生的再生电力(Regenerating Power)
PReg＝∫fi(t)e(t)dt
必须消除，若由温度耗散高温需要长的时间才可消除且散热系统和控制系统 无关，等于设计二套独立系统一起操作，换言的控制系统需要一个耗散再生电力 的系统而散热系统需要一个控制系统的轮回永不休止即系统对偶性质(Duality of System)。车辆传动的分析与控制参考[62，Chapter5]、[34，Chapter6]。
马达再生电力回到RST三点由快速二极管(D1，...，D6)回到电瓶两侧 (VDC，+，-)，这样子会是谐波的来源，煞车单元(Brake Unit)启动抑制直流漂移，但 仍无法分离电瓶的直流准位和再生电力，所消耗的是包含了电瓶所释出的电能和 再生电力，几乎是实功率所以煞车单元会有相当大的温度梯度，而需要良好的冷 却系统散热，但冷却系统需要额外电力消耗；同时马达是电感性负载，电力被这 些负载再次污染，激发出更混乱且加速消耗的电力。
而在有刷的直流马达部份如图11所示，马达内约三十极的磁场和电枢线圈， 电流由碳刷正极流入其中一极的磁场线圈经换相器流入电枢线圈再由碳刷负极流 出完成回路。然而换相器会随着马达转动，因而每一个瞬间只有一对换相器导通， 即只有特定磁场和电枢线圈有通电，下一个瞬间磁场和电枢线圈被强迫换相，图 11中线圈虚点部分代表不断的换相，致使换相瞬间换相器和碳刷会产生很大的火 花，而功率晶体和马达的接点也有不断的逆向电压产生，而飞轮二极管(Flywheel Diode)和煞车电阻RB所形成的煞车单元即要消除楞次电压，也就是逆向部份完全 是要靠飞轮二极管和煞车电阻的总耗散功率消除，因此煞车单元会产生高温需要 散热单元的配套。
其次是要高功率输出且要低成本，功率晶体可以较低功率的且平行以数组形 式(IGBT1，...，IGBTn)解决高功率，如图11中功率晶体间以点的方式表示，但也埋 下了功率晶体数组同步问题，若有功率晶体先行导通输出功率超过功率晶体能耐 但没有烧断，造成控制回路不受控制导通，马达会以全功率转动，不受控将有极 大的风险。若要排除同步问题而将PWM触控讯号内加更高频讯号，会产生功率 晶体和煞车单元都产生高温的两难。
说明十：储存电力装置的性质
图12中，[108]、[34，Chapter10]、[34]，储能装置有铅酸电池组、大容量电解 电容、超级电容(Ultraca pacitor)、超导装置(SMES)、核能电池(Radioactive Battery 或Nucell)、飞轮等等，储电密度越高如电池适合当电源而储电密度低者如电容适 合当缓冲区(Buffer)使用。
由于电动车辆必须要有储电装置，特别表列各式各样的电池，做为设计的参 考。由表格(2)得知锂电持池拥有最佳的储电密度但价格昂贵、高温不稳定，飞 轮(Flywheel)储电密度低但适合用在缓冲区，核能电池是最佳的选择但有安全的问 题。
说明十一：不断电系统(UPS)的设计缺陷
一般而言不断电系统(UPSs)可分为在线(Online)、离线(Standby)和交互式 (Line-interactive)三种[48]，分别如图13、14、15所示，其中必定有交流转直流对 电瓶充电的转换器(AC/DC converter)以及将直流转交流的变频器(Inverter)。交互 式内有一组特殊变压器[108](Ferroresonant Transformer)用以提供固定电压避免电 压中断。无论是如图13、14、I5的任何一种不断电系统，系统都有非常明显的两 个限制，而使得不断电系统无法成为电源，充其量只是稳压器、电压调整器或是 特定负载的电源供应器。限制一是无法适应动态负载，动态阻抗匹配是不可能实 施；其二是无法动态阻抗匹配，动态功率因素调整就会有电力中断或系统发散等 不可控的因素。
说明十二：惯性导航系统直流偏差(DC-Offset Signal of Inertial Navigation Systems)
惯性导航系统中会使用像加速规(Accelerometer)、陀螺仪(Gyroscope)或其它 组件以提供导航所需的讯号，讯号质量(通常用杂源比(Signal-Noise Ratio，SNR) 当质量指针)决定导航系统的精确度。如[67]、[119，Page94]、[127]、[4]、 [61，Chapter343]、[29]所提与，讯号可以被分割成交流成份(AC Signal)和直流偏差 (DC Driftingand Bias Signals)，如何分离直流成份至今仍是个力学上的难题。如图 16[67，Page45]、[3Page32]所示，这是由惯性质量M、弹簧K、和阻尼器C所组成的 加速典型设计，按牛顿力学第三定律将图16的运动方程式
$M\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dt}}^2}+C\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}+\mathrm{Ky}=F---\left(1.33\right)$
相对应式(1.33)的特征根λ1，2
${\lambda }_{\mathrm{1,2}}=\frac{-C\pm \sqrt{C^2-4\mathrm{MK}}}{2M}$
共振频率ωy
${\omega }_y=\sqrt{\frac{K}{M}}$
若用共振频率∞y将特征根正规化
${\lambda }_{\mathrm{1,2}}=(-\zeta \pm \sqrt{{\zeta }^2-1}){\omega }_y$
其中ζ是阻尼比(Damping Ratio)可以表达成
$\zeta =\frac{C}{2\sqrt{\mathrm{KM}}}$
$=\frac{1}{2}\frac{C}{M}\frac{1}{{\omega }_y}---\left(1.34\right)$
且
0＜ζ＜1
系统共振响应频率ω是
$\omega ={\omega }_y\sqrt{1-{\zeta }^2}---\left(1.35\right)$
而系统Q值或杂源比(Signal-Noise Ratio，，SNR)定义成[4Page122]
$Q=\frac{1}{2\zeta }---\left(1.36\right)$
因此式(1.36)达到最大值，称为最佳质量即接近共振点
ω＝ωy
观察式(1.36)Q值和阻尼比ζ成反比。但从阻尼比如式(1.34)定义得知，一旦工 作温度变动C会有些许漂移，工作时间久了弹簧K会松弛、阻尼C会老化、敏感度 (Sensitivity)下降，这些物理性质都隐藏在讯号直接影响讯号质量，又无法动态侦 测消除必须离线校正，在式(1.36)中阻尼比的微小扰动Q值就相当敏感
$\mathrm{\Delta Q}=-\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\Delta \zeta }}{{\zeta }^2}$
在讯号处理上是无法分辨系统Q值或杂源比是否产生偏移，促成惯性导航系 统要定期校正，否则讯号所产生的误差会危与载具的安全。
说明十三：锁相回路(Phase-Locked Loop或PLL)
锁相回路在通讯上是一个用在于讯号侦测和同步的基本网络，其中它是闭回 路的侦测并输出讯号的频率fout和相位的电路如图17。
因此相位侦测是锁相回路第一部份，一旦讯号相位被侦测
βrmt
和原始参考讯号有相位差
Δφ
则输出Vout可以是相位差Δφ和锁相回路增益Kφ的乘积
Vout＝KφΔφ
                      (1.37)
式(1.37)中增益Kφ是由锁相回路的低通滤波器18和19所表示，
Vf＝F(s)Vs
且截止频率ωLpj被电容C和电阻值R1所决定，若是定值低通滤波器频宽就固定 了。
${\omega }_{\mathrm{Lpf}}=\frac{1}{R_{1}C}---\left(1.38\right)$
低通滤波器的共振频率ωn和阻尼ζ分别是
${\omega }_n=\sqrt{{\mathrm{K\omega }}_{\mathrm{Lpf}}}---\left(1.39\right)$
和
$\zeta =\frac{R_{f}C}{2}{\omega }_n---\left(1.40\right)$
我们会发现若是定值低通滤波器频宽就固定了，锁相回路操作范围就被限制。
为了扩增操作范围如图20就改成变容二极管D2做微调，其实变容二极管操 作范围也非常的窄，至于要宽带操作就显得很困难，相关书凭借与文章如[117]、 [31]、[105]、[21]、[22]等。
说明十四：介电性质(Dielectric Materials Properties)
参照[84，Page28-40]、[118，Vol2，Chapter11]、[9，Chapter11，14]，当任何电路组 件中所采用材料有一类非常特别；对电场强度非常敏感，即便于非极微弱的电场 作用下仍会有响应，例如温度产生变化、频率产生漂移等等，称的介电性质 (Dielectric Materials Properties)。若出现不正常的高温我们称的饱和现象，即再提 高电场强度，可以维持恒温。现今有用介电材料的制成的并在饱和区工作如正温 度是数与负温度是数组件、或用在热侦测的热敏电阻等。由于温度响应均会造成 系统延迟或反应太慢，若在高频或快速反应的系统中造成控制失致的后遗症。
然而温度变化的背后，隐藏着更重要的讯息；设想在不饱和的条件下即在瞬 时下工作，那么频率漂移(Frequency Drift)就远比温度响应来得重要，我们称的此 种材料为自激性(Self-Excitation)介电材料例如砷化镓(GaAs)等，即材料内部诱发 双极(Dipole)迁移(Migration)和方向高频切换的性质或者是高频感应电流(Inducted Current)的诱发、温度的变动、或是电阻值迅速改变。此刻自激频率取得设计阻尼 的极大优势即是阻尼组件的第一要件是俱备几乎没有限制的频率响应频宽 (Broadband Band width)，有了极端的操作频宽意味着设计无穷级共振舱变的可行， 但也埋下了如何不进入饱和区的问题。
除上述的问题说明，由以下的解析，可进一步瞭本发明的运用背景。
解析1：动态系统分析基础(Dynamical System)
1.1正则转换(Canonical Transformation)
由于正则转换并不唯一，将系统做Legendre转换(Legendre Transformation)[91，Chapter3]、[7，Page63-97]、[115，Chapter10，11，12]或是直接建立 Hamilton函数均可以做为正则转换的基础。在此只选择直接可以得到系统解的频 率的其中一类，即作用变量(Action Variable)和作用角度(Action Angle)做为后续推 导的依据，其它的请参阅前列的参考书。需要正则转换的原因是来自将能量场的 数学模型由切空间转换至对偶空间，在切空间的求解并无法直接得到系统的响应 频率甚至得不到解析解，且对偶空间所有的解析性质在切空间是不可观测的(两空 间是独立的)，结果就成了系统识别不良，例如电力的谐波源无法根除造成电力污 染、动态阻尼的作用频宽无法决定致使系统动态响应不良，耗散能力不足致使系 统工作温度不断上升(散热需要时间)，负作用造成系统不稳定或烧毁等等。
Legendre转换(Legendre Transformation)
首先是Legendre转换[7，Page63-97]、[91，Chapter3]、[41，Chapter8，9]的介绍， 令函数
y＝f(x)
         (1.41)
是符合式(1.11)的凸函数(Convex Function)即
f(x)＞0
         (1.42)
函数式(1.41)的Legendre转换被定义成新的函数g和新的变数p
g(p)≡F(x，p）
其中
F(x，p)＝xp-f(p)
在这一类的运算中，Lagrange与Hamilton系统间的转换
$H(p,q,t)\equiv p\frac{\mathrm{dq}}{\mathrm{dt}}-L(q,\frac{\mathrm{dq}}{\mathrm{dt}},t)$
即是Legendre转换成功范例， 、H(p，q，t)分别是Lagrange和Hamilton 函数。
Legendre转换是将向量空间(VectorSpace)函数或切向空间(TangentialSpace)转 换到相对应在向量空间的对偶空间(DualSpace)函数或余切空间 (CotangentialSpace)，更重要是由拓朴空间的观点即建构了Banach空间 [92，Page78]、[100，Chapter9]、[53，Page509-515]的对偶性转换，即任意俱备 Diffeomorphism的拓朴空间都会分割切向空间与余切空两间的联集。
定义2若Q是已定义量度(Metric)的拓朴空间即Banach空间，且Lagrange函 数L在Q的切空间上的泛函(Functional)
L∈F(TQ)
那么Legendre转换
FL∶(TQ)→(T*Q)
俱备Diffeomorphism且是SympleticDiffeomorphism，而Hamilton函数
H＝E·(FL)-1∶(T*Q)→R
其中E是L的能量函数，TQ、T*Q表示切空间与余切空间，所以Legendre转 换FL是将Lagrange函数转换到Hamilton函数。
正则转换(CanonicalTransformation)
参考书[33，ChapterX]、[41，Page460-471][7]、[114]中，令
J1＝∫∫∑dpkdqk
J2＝∑∫∫∫∫∑dpjdpkdqjdqk
…                     (1.43)
Jn＝∫2n…∫dp1…dpndq1…dqn  (1.44)
则是下列正则方程式的系统不变量(Invariants)
$\frac{{\mathrm{dp}}_k}{\mathrm{dt}}=\frac{\partial H}{\partial p_k}---\left(1.45\right)$
与
$\frac{{\mathrm{dp}}_k}{\mathrm{dt}}=-\frac{\partial H}{\partial q_k}---\left(1.46\right)$
其中H是Hamilton函数。
当两系统(p，q)到(P，Q)俱有正则转换的关系时，这两空间存在一生成函数 (Generating Function)S*(qk，Pk，t)因此
∑pkδqk＝-∑QkδPk+δS*
其变换方程式
$p_k=\frac{\partial S^{*}}{\partial q_k}---\left(1.47\right)$
与
$Q_k=\frac{\partial S^{*}}{\partial P_k}---\left(1.48\right)$
转换后的是Hamilton函数H*
H*＝H*(P1,...,Pk，Q1，...，Qk)
那么隐函数定理(ImplicitFunctionTheorem)[5,Page373-375]、[47，Page338-340] 得知在非退化(Non-degenerated)的条件下J1仍是这个正则转换的不变量，而生成函 数的意义可以在Poincaré截面上得到结果。
当我们依据Hamilton力学的正则转换中(p，q)到(J，θ)且取作用变数

$={\int }_0^{\frac{2\pi }{\omega }}p\stackrel{·}{q}\mathrm{dt}---\left(1.49\right)$
和作用角度θHamilton函数是
H(p，q)→H*(J，θ)    (1.50)
那么正则方程式
$\frac{\mathrm{d\theta }}{\mathrm{dt}}=\frac{{\partial H}^{*}}{\partial J}=\mathrm{const}$
$\frac{\mathrm{dJ}}{\mathrm{dt}}=-\frac{{\partial H}^{*}}{\partial \theta }=0$
也就是说作用角度是为时间的线性函数
θ＝ωt+c
其中ω是常数与作用角度也是常数
J＝const
更进一步的结果即此动态系统的基频是
$\frac{\mathrm{d\theta }}{\mathrm{dt}}=\omega$
$=\frac{{\partial H}^{*}}{\partial J}$
将(1.59)代入
$p=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\Sigma }}{p}_n{e}^{\mathrm{in\omega t}}$
且
$\stackrel{·}{q}=\mathrm{i\omega }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\Sigma }}m{q}_m{e}^{\mathrm{im\omega t}}$
所以
$J=\mathrm{i\omega }\underset{n}{\Sigma }\underset{m}{\Sigma }m{\int }_0^{\frac{2\pi }{\omega }}{p}_n{q}_m{e}^{\mathrm{in}-\mathrm{m\omega t}}\mathrm{dt}$
$=\mathrm{i\omega }\underset{n}{\Sigma }\underset{k}{\Sigma }{\int }_0^{\frac{2\pi }{\omega }}{p}_n{q}_{k-n}{e}^{\mathrm{ik}-\mathrm{n\omega t}}\mathrm{dt}$
$=\mathrm{\pi i}\underset{n}{\Sigma }\pi p_z{q}_{-z}$
若对J微分
$\frac{\partial J}{\partial J}=1$
$=\mathrm{\pi i}\underset{n}{\Sigma }\pi \frac{\tilde{c}}{\partial J}\left(p_z{q}_{-z}\right)---\left(1.51\right)$
即可得到不变量如式(1.51)。当然可以对(1.50)转换扩增如
H(p,q)→H*(J1...Jn,θ1...,θn)
且对每一个i作用变数Ji和作用角度θi都是
Ji＝const
与
θi＝ωit+const
且系统频率ωi
$\frac{{\mathrm{d\theta }}_i}{\mathrm{dt}}={\omega }_i$
$\frac{{\partial H}^{*}}{{\partial J}_i}$$\left(1.52\right)$
的结果，若取系统基频为ω，其谐波频率为nω且n是整数，其中整数n的选 择由量子力学的进一步的推导即选择定则(SelectivePrinciple)并无法提供有效的 依据，但对于电力而言即系统谐波级数，现今电路使用折衷的方式做出最大到 25级[108]的被动滤波器(PassiveLow-passFilter)有关电力谐波干扰 (HarmonicWaveformDistortion)有非常多的文献，参阅[116]、[71]、[108]、[101]、 [89]、[69]、[14]、[57]、[102]、[36]、[25]、[23]。然如[6，Page92]、[30，Chapter3，4，6，7]、 [86]所提与，若要有无穷级，显然理论上要找额外的支持。
1.2系统参数化与分叉现象(SystemParametrizationandBifurcation)
动态系统的状态方程式(1.53)包含系统独立参数μ(例如温度)[47]、 [91，Chapter7，8]、[35，Vol2，Part5，Page951-968]、[43Chapter3]，因此状态方程式所 得到的解被参数化意思是，状态方程式(1.53)的解由初始条件、状态方程式(1.53) 与参数μ的大小共同决定。考虑状态方程式如下
$\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=g_{\mu }\left(x\right)---\left(1.53\right)$
其中μ值的给法直接影响系统状态，例如给定μ值范围如下式
-1≤μ≤1
则系统状态在μ值是负或正甚至是零，出现很多组合的可能性，因此系统就 存在状态的分叉，我们分析上所关心的一类即俱周期解的分叉特称的Hopf分叉 [91，Section5.6.12]。
状态方程式(1.53)的解在Riemannian几何上[91，Section2.7，3.7]、 [39，Section8.6，Chapter10]、[8，Chapter3]、[68，Chapter5，6]必定是测地线 (GeodesicFlow)，对参数化系统如式(1.53)而言，周期性分叉的判断条件和结构性 稳定(StructuralStability)[91，Section7.4]、[43，Chapter4]的学理分析基础，因此更加 稳固。更进一步检验周期性稳定(PoincaréMap)，在相平面上是否俱备封闭测地线 (Closed Geodesics)将是判断系统是否为周期解(Periodic Motion)与周期稳定的重 要依据[86，Chapter3，4]、[47，Chapter10，11]，若依参数的给法出现完全不同的行为， 即可判断系统俱有分叉现象[7，Chapter7]、[47，Chapter10，11]、[43，Chapter1，3，6，7]。
1.2.1Hopf分叉现象
如图20所示，状态方程式可以写成
$\left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}y-f_{\mu }\left(x\right)\\ -x\end{array}\right]---\left(1.54\right)$
同时给定被μ参数化的函数即广义Ohm定律
fμ(x)＝x3-μx
详细推导如书[47]、[91，Section5.6.12]和论文[124]、[23]，在此整理其结果如 下：给定参数变动范围
-1≤μ≤1
则系统(1.54)有解可分成三类；第一类是当μ跨越零到正值时电路呈现振荡即
0＜μ≤1
且(1.54)存在单一周期解γμ因而零点为相平面的流出源(Source)。第二类如给 定
-1≤μ＜0
系统(1.54)存在单一渐近收敛解，当t→∞，γμ且零点为相平面的吸收源(Sink)。 然考虑参数为零时
μ＝0
参数为零是已知状态分叉点，若一直都维持或接近零则系统会不稳定甚至停 止运作，然而只要穿越零但不停在零上，系统(1.54)是不会毁坏或停止。因此分叉 点和系统参数有密不可分的关系，现今系统最直接可以取得的参数是系统温度， 但广义Ohm定律中若μ是温度当做参数无法对高频产生响应，即真实系统只能有 低频工作，也造就高频电路的设计难题，同时也诱导我们重新找寻新的系统参数， 做为系统参数化但必须有宽带段响应又俱备分叉现象的特质。
1.3普郎克定理(Planck Theorem)
基于普郎克定理[114，Chapter2]、[118，Vol.2]得知单一粒子所俱的能量可以用 频率与普郎克常数
$h=6.547\times {10}^{-2^{-}}$
(单位是尔格-秒)的乘积
E＝hf
        (1.55)
对于粒子群或俱有不同频率的粒子可用
E＝h∑fi
        (1.56)
表示，显然这些频率所作用的区段是需要更进一步的认定即频谱分析 (Spectral Analysis或Harmonic Analysis)，这也是量子力学[114，Chapter2]、 [100，Chapter8]、[60]主要课题。
将定理延伸至简谐(Simple Oscillation)系统上时，设系统中存在与系统状态的 函数(t)且
(t)＝αe-ift
              (1.57)
其中α和f均与时间无关，换成量子力学常用的运算子可以获得如
$\frac{1}{i}\frac{\mathrm{de}\left(x\right)}{\mathrm{dx}}=e\left(x\right)$
式中
e(x)＝eix
           (1.58)
为三角函数。当然对于多频率的粒子群可以定义出

其中αk和fk必须与时间无关。
一个单一周期系统其状态q可以用Fourier级数表达成
$q\left(t\right)=a_0+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}[a_n\cos \left(\mathrm{n\omega t}\right)+b_n\sin \left(\mathrm{n\omega t}\right)]$
$=a_0+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}[\frac{a_n}{2}(e^{\mathrm{in\omega t}}+{\mathrm{ie}}^{-\mathrm{in\omega t}})+\frac{b_n}{2i}(e^{-\mathrm{in\omega t}}-{\mathrm{ie}}^{-\mathrm{in\omega t}})]$
$=\underset{n=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}[\frac{1}{2}(a_n-{\mathrm{ib}}_n)e^{\mathrm{in\omega t}}+\frac{1}{2}(a_n+{\mathrm{ib}}_n)e^{-\mathrm{in\omega t}}]$
$=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\Sigma }}{q}_n{e}^{\mathrm{in\omega t}}$
其中
$q_n=\frac{1}{2}(a_n+{\mathrm{ib}}_n)$
和
$q_{-n}=\frac{1}{2}(a_n+{\mathrm{ib}}_n)$
因此qn和q-n互为共轭即
$q_{-n}=q_n^{*}$
所以依对应原理(Correspondence Principle)[114，Page95]相对于nω频率的振幅
|q-n|2＝qnq-n＝|qn|2
且在式(1.59)对q(t)不管是乘、加和微分运算都不能产生nω以外的频率因为要 符合(1.58)和(1.57)。但由Ritz组合原理[114，Chapter2]
ωmn＝Tmm-Tnn
                     (1.60)
有交叉的频率成份(非整数部份)，这里直接证明有谐波(Harmonic waveforms) 发生必伴随次谐波(Subhar monic或Interharmonic Waveforms)。令
$q_{\mathrm{mn}}=q_{\mathrm{mn}}^0{e}^{\mathrm{i\omega }-t}$
且
$q_{\mathrm{mn}}^0={\left(q_{\mathrm{mn}}^0\right)}^{*}$
对于频率为ωmn的振幅和
${\left|q_{\mathrm{mn}}^0\right|}^2={\left|{\left(q_{\mathrm{mn}}^0\right)}^{*}\right|}^2$
$=q_{\mathrm{mn}}^0{\left(q_{\mathrm{mn}}^0\right)}^{*}$
成正比。
解析2.数字低通滤波器(DigitalLow-passFilter)
2.1常态分布随机变量的信任区间(ConfidenceIntervalforthe VarianceofaNormalDistribution)
设一序列x1，……xn是俱有常态分布随机变量均值μ和变异量σ2是未知的。且 [97]得知
$(n-1)\frac{S^2}{{\sigma }^2}~X_{n-1}^2$
且
$(n-1)S^2=n{S}_n^2$
也就是
$n\frac{S_n^2}{{\sigma }^2}~{\chi }_{n-1}^2---\left(1.61\right)$
那么信任区间定义是
$P\{X_{\frac{o}{2},n-1}^2\le (n-1)\frac{S^2}{{\sigma }^2}\le X_{(1-\frac{o}{2}),n-1}^2\}=1-a$
或者是
$P\{\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{\frac{o}{2},n-1}^2}\le {\sigma }^2\le \frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{(1-\frac{o}{2}),n-1}^2}\}=1-\alpha$
若在100(1-α)信心水平下变异量σ2必在
${\sigma }^2\in \{\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{\frac{o}{2},n-1}^2},\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{(1-\frac{o}{2}),n-1}^2}\}$
区间内。
2.2t分布(t-Distribution)
设Z和Xn2是随机变量其中Z是常态分布(StandardNormalDistribution)且Xn2是 Chi-square分布(Chi-squareDistribution)俱有n个自由度(DegreesofFreedom)，则定 义随机变量Tn是有n个自由度的t分布
$T_n=\frac{Z}{\sqrt{\frac{X_n^2}{n}}}---\left(1.62\right)$
那么机率密度函数是
$p\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{n\pi }}}\frac{\Gamma (\frac{1}{2}n+\frac{1}{2})}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{(1-\frac{x^2}{n})}^{-\frac{1}{2},n-1}$
而Tn的均值和变异量分别如下
$\left\{\begin{array}{c}E\left[T_n\right]=0,n>1\\ \mathrm{Var}\left[T_n\right]=\frac{n}{n-2},n>2\end{array}\right.$
2.3Kalman低通滤波器(KalmanFilteringAlgorithm) 令高斯分布的多维度的随机变数x，其机率密度函数是[11]
$N(x,\bar{x},P)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \det \left(P\right)}}{e}^{-\frac{1}{2},x-\bar{x},P^{-1},x-\bar{x}}$
其中P是变异量矩阵(CovarianceMatrix)而 是x的均值。随机变数x与z是联台 式高斯分布(JointlyGaussian)且令随机变数y是x与z的堆栈
$y=\left[\begin{array}{c}x\\ z\end{array}\right]$
仍是高斯分布则机率密度函数是
$p(x,z)=p\left(y\right)=N(y,\bar{y},P_{\mathrm{yy}})$
y的均值 是
$\bar{y}=\left[\begin{array}{c}\bar{x}\\ \bar{z}\end{array}\right]$
另外y的变异量矩阵
$P_{\mathrm{yy}}=\left[\begin{array}{cc}{P}_{\mathrm{xx}}& P_{\mathrm{xz}}\\ P_{\mathrm{zx}}& P_{\mathrm{zz}}\end{array}\right]$
其中变异量矩阵的分量是实对称
$P_{\mathrm{xx}}=E\left[(x-\bar{x}){(x-\bar{x})}^t\right]$
$P_{\mathrm{xz}}=E\left[(x-\bar{x}){(z-\bar{z})}^t\right]---\left(1.63\right)$
$=P_{\mathrm{zx}}$
$P_{\mathrm{zz}}=E\left[(z-\bar{z}){(z-\bar{z})}^t\right]---\left(1.64\right)$
那么是给定z条件下x的条件式的机率密度函数(Conditionalpdf)
$p(x,z)=\frac{p(x,z)}{p\left(z\right)}$
平移均值至零点
$\zeta =x-\bar{x}$
$\eta =z-\bar{z}$
且
$p(x,z)=\frac{p(x,z)}{p\left(z\right)}$
$=\frac{{[2\pi \det \left(P_{\mathrm{yy}}\right)}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{1}{2}(y-\bar{y})P_{\mathrm{yy}}^{-1}(y-\bar{y})}}{{[2\pi \det \left(P_{\mathrm{zz}}\right)}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{1}{2}(z-\bar{z})P_{\mathrm{zz}}^{-2}(z-\bar{z})}}$
则指数部份可以是
$q={\left[\begin{array}{c}\zeta \\ \eta \end{array}\right]}^t{\left[\begin{array}{cc}{P}_{\mathrm{xx}}& P_{\mathrm{xz}}\\ P_{\mathrm{zx}}& P_{\mathrm{zz}}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}\zeta \\ \eta \end{array}\right]-{\eta }^t{P}_{\mathrm{zz}}^{-1}\eta$
$={\left[\begin{array}{c}\zeta \\ \eta \end{array}\right]}^t\left[\begin{array}{cc}{T}_{\mathrm{xx}}& T_{\mathrm{xz}}\\ T_{\mathrm{zx}}& T_{\mathrm{zz}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\zeta \\ \eta \end{array}\right]-{\eta }^t{P}_{\mathrm{zz}}^{-1}\eta$
其中P和T矩阵是互为反运算(Inversion)。由参考书[106，Page560]和 [11，Page295]中，若A、B、C、D、E、F、G、J都是区块(Block)的矩阵且令
${\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}E& F\\ G& J\end{array}\right]$
其中
E＝(A-BD-1C)-1＝A-1A-1BJCA-1
F＝-A-1BJ＝-EBD-1
G＝-JCA-1＝-D-1CE
J＝(D-CA-1B)-1＝D-1+D-1CEBD-1，
这是矩阵运算中非常重要的结果，称为矩阵反运算引理 (MatrixInversionlemma)。因此T矩阵的元素是
$T_{\mathrm{xx}}^{-1}=P_{\mathrm{xx}}-P_{\mathrm{xz}}{P}_{\mathrm{zz}}^{-1}{P}_{\mathrm{zx}}$
$P_{\mathrm{zz}}^{-1}=T_{\mathrm{zz}}-T_{\mathrm{zx}}{T}_{\mathrm{xx}}^{-1}{T}_{\mathrm{xz}}$
$T_{\mathrm{xx}}^{-1}{T}_{\mathrm{xz}}=-P_{\mathrm{xz}}{P}_{\mathrm{zz}}^{-1}$
而q值
$q={\zeta }^t{T}_{\mathrm{xx}}\zeta -{\zeta }^t{T}_{\mathrm{xz}}\eta +{\eta }^t{T}_{\mathrm{zx}}\zeta +{\eta }^t{T}_{\mathrm{zz}}\eta -{\eta }^t{P}_{\mathrm{zz}}^{-1}\eta$
$={(\zeta +T_{\mathrm{xx}}^{-1}{T}_{\mathrm{xz}}\eta )}^t{T}_{\mathrm{xx}}(\zeta +T_{\mathrm{xx}}^{-1}{T}_{\mathrm{xz}}\eta )+{\eta }^t(T_{\mathrm{zz}}-T_{\mathrm{zx}}{T}_{\mathrm{xx}}^{-1}{T}_{\mathrm{xz}})\eta -{\eta }^t{P}_{\mathrm{zz}}^{-1}\eta$
$={(\zeta +T_{\mathrm{xx}}^{-1}{T}_{\mathrm{xz}}\eta )}^t{T}_{\mathrm{xx}}(\zeta +T_{\mathrm{xx}}^{-1}{T}_{\mathrm{xz}}\eta )$
将Pxz和Pzz-1代入ζ+Txx-1Txzη中即
$\zeta +T_{\mathrm{xx}}^{-1}{T}_{\mathrm{xz}}\eta =x-\bar{x}-P_{\mathrm{xz}}{P}_{\mathrm{zz}}^{-1}(z-\bar{z})$
条件式的x的均值被定义成
$E(x,z)=\hat{x}=\bar{x}+P_{\mathrm{xz}}{P}_{\mathrm{zz}}^{-1}(z-\bar{z})---\left(1.65\right)$
条件式的变异量矩阵被定义成
$\mathrm{cov}(x,z)=P_{\mathrm{xxz}}$
$=T_{\mathrm{xx}}^{-1}$
$=P_{\mathrm{xx}}-P_{\mathrm{xz}}{P}_{\mathrm{zz}}^{-1}{P}_{\mathrm{zx}}---\left(1.66\right)$
而非高斯分布的x与z仍然可以获得同样的表示式。
Kalman滤波器
考虑离散系统程序方程式
x(k+1)＝Φ(k)x(k)+u(k+1)
           (1.67)
和量测系统方程式
z(k)＝H(k)x(k)+w(k)
                     (1.68)
其中程序干扰u(k+1)和量测系统误差w(k)都是高斯分布(Gaussiandistribution) 即
u(k+1)～N(0，Q(k))
和
w(k)～N(0，R(k))
基于量测Zk
Zk＝{z(1)，z(2)，...，z(k)}
以递归关系推估状态 称为Kalman滤波器(Kalmanfilter)[11]。第一部份 先由式(1.67)推估状态 ，其次是由第k步的量测校正 。推估程序是基 于量测Zk的条件下最小均方误差(MinimalMeanSquaredError)是对(1.67)与(1.68)取 条件式期望值如
$\hat{x}(k+1|k)=E\left[x(k+1){|Z}^k\right]$
$\hat{z}(k+1k)=E\left[z\left(k\right)\right|Z^k]$
量测校正程序从式(1.65)
$\hat{x}(k-1k+1)=\hat{x}(k+1k)+P_{\mathrm{xz}}(k+1|k)P_{\mathrm{zz}}^{-1}(k+1|k)$
$(z\left(k\right)-\hat{z}(k+1|k))---\left(1.69\right)$
以及式(1.66)
$P_{\mathrm{xx}}(k+1|k-1)=P_{\mathrm{xx}}(k-1k)-P_{\mathrm{xz}}(k+1k)P_{\mathrm{zz}}^{-1}(k+1|k)P_{\mathrm{zx}}(k+1|k)---\left(1.70\right)$
其中Pxz、Pzz是分别类似定义(1.63)、(1.64)。而误差定义成
$\tilde{x}(k+1k)=x(k+1)-\hat{x}(k+1k)$
和
$v\left(k\right)=z(k+1)-\hat{z}(k+1|k)$
则Pxx(k+1|k)、Pzz(k+1|k)、Pzz(k+1|k)分别是
$P_{\mathrm{xx}}(k+1|k)=E\left[\tilde{x}(k+1k)\tilde{x}(k+1k)\right|Z^k]$
$P_{\mathrm{xz}}(k+1|k)=E\left[\tilde{x}(k+1k)\tilde{z}(k+1|k){|Z}^k\right]$
和
$P_{\mathrm{zz}}(k+1|k)=E\left[\tilde{z}(k+1k)\tilde{z}(k+1|k){|Z}^k\right]$
从式(1.67)和(1.68)，状态预测 可以进一步用 表示成
$\tilde{x}(k+1|k)=\Phi \left(k\right)\hat{x}\left(k\right|k)$
相对应的状态误差变异量
Pxx(k+1|k)＝Φ(k)Pxx(kk)Φ(k)+Q(k)
增益(Kalmangain)是(1.69)是
$K\left(k\right)=P_{\mathrm{xz}}(k+1|k)P_{\mathrm{zz}}^{-1}(k+1|k)$
相对应的量测误差变异量是
B(k)＝Pzz(k+1|k)
＝H(k)Pxx(k+1|k)H(k)+R(k)
而Kalman滤波器可以整理成以下的步骤：
推估阶段：
$\hat{x}(k+1|k)=\Phi \left(k\right)\hat{x}\left(k\right|k)$
$\hat{z}(k+1|k)=H\left(k\right)\hat{x}(k+1|k)$
$P_{\mathrm{xx}}(k+1|k)=\Phi \left(k\right)P_{\mathrm{xx}}\left(k\right|k)\Phi \left(k\right)+Q\left(k\right)$
B(k)＝H(k)Pxx(k+1|k)H(k)+R(k)
                                (1.71)
K(k)＝Pxx(k+1|k)H(k)B-1(k)
                                (1.72)
$v\left(k\right)=z\left(k\right)-\hat{z}(k+1|k)---\left(1.73\right)$
校正阶段：
$\hat{x}(k+1k+1)=\hat{x}(k+1k)+K\left(k\right)v\left(k\right)$
Pxx(k+1|k-1)＝Pxx(k+1|k)-K(k)B(k)K(k)
2.4预测误差分解(PredictionErrorDecompositionForm)
若量测误差被假定是高斯分布，从式(1.71)可以定义纯量函数 (LogarithmLikelihoodFunction)是
$\log L=-\frac{\mathrm{NT}}{2}\log \left(2\pi \right)-\frac{1}{2}\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}\log B\left(k\right)-\frac{1}{2}\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}{v}_i\left(k\right)B^{-1}\left(k\right)v_i\left(k\right)---\left(1.74\right)$
其中vi(k)是称为对应在第i个量测的第k步的预测误差，因此被称为预测误差 分解(PredictionErrorDecompositionForm)[45]。
2.5贝式预测法则(BayesianForecasting)
由参考书[113]、[2Page363]中，经由收集前历史数据以预测下一刻的系统状 态令状态与量测向量分别是St和yt且代入Kalman滤波器的计算流程中即
St-1＝ΦSt-αt-1
yt＝HtSt+εt
而预测未来第1步表示式
yt-l＝Ht-lSt-l+εt-l
由统计的手法得到预测未来第1步表示式
${\hat{y}}_{t-l}=E\left[y_{t-l}{Y}_t\right]$
$=H_{t-i}{\hat{S}}_{t-i}$
$=H_{t-l}{\Phi }^l{\hat{S}}_t---\left(1.75\right)$
而误差变异量表示式
$V\left(y_{t-l}{Y}_t\right)=H_{t-l}\left({\hat{\beta }}_{t-l}\right)H_{t-l}+R_t$
$=H_{t-l}[{\Phi }^l{P}_t{\left(\Phi \right)}^l+\underset{j=0}{\overset{l-1}{\Sigma }}\Sigma {\Phi }^j{Q}_j{\left({\Phi }^l\right)}^j]H_{t-l}+R_t---\left(1.76\right)$
其中Qt、Rt是高斯分布分别是
εt～N(0，Rt)
和
αt～N(0，Qt)
2.6分布式数字低通滤波器与数据融合 (DistributedKalmanFilteringAlgonthmsandDataFusion) 独立型态(IndependentTracks)
考虑有两套独立量测系统产生两组状态估测分别是 、P1和 、P2则融 合两组状态估测的输出即
${\hat{x}}_c={[P_1^{-1}+P_2^{-1}]}^{-1}[P_1^{-1}{\hat{x}}_2+P_2^{-1}{\hat{x}}_2]---\left(1.77\right)$
其中融合后的误差变异量[11，Chapter10]、[17，BayerianInference]是
$P_C={[P_1^{-1}+P_2^{-1}]}^{-1}---\left(1.78\right)$
相依型态(DependentTracks)
考虑有两套相依量测系统产生两组状态估测的误差变异量 [11，Chapter10.3]
$\left[\begin{array}{cc}{P}^i& P^{\mathrm{ij}}\\ P^{\mathrm{ji}}& P^j\end{array}\right]$
其中相依估测的误差变异量是不为零矩阵
$P^{\mathrm{ij}}=E\left[\left({\tilde{x}}^i\right){\left({\tilde{x}}^j\right)}^t\right],$
$E\left[\left(\widetilde{x^i}{(\widetilde{x^i}-\widetilde{x^j})}^t\right)\right]=P^i-P^{\mathrm{ij}}$
$E\left[({\tilde{x}}^i-{\tilde{x}}^j){({\tilde{x}}^i-{\tilde{x}}^j)}^t\right]=P^i+P^j-P^{\mathrm{ij}}-{\left(P^{\mathrm{ij}}\right)}^t$
融合两组状态估测的输出
${\hat{x}}^{\mathrm{ij}}={\hat{x}}^i+[P^i-P^{\mathrm{ij}}]{[P^i+P^j-P^{\mathrm{ij}}-{\left(P^{\mathrm{ij}}\right)}^t]}^{-1}[{\hat{x}}^j-{\hat{x}}^i]$
融合后的误差变异量
$M^{\mathrm{ij}}=P^i-[P^i-P^{\mathrm{ij}}]{[P^i+P^j-P^{\mathrm{ij}}-{\left(P^{\mathrm{ij}}\right)}^t]}^{-1}{[P^i-P^{\mathrm{ij}}]}^t---\left(1.79\right)$
在动态系统中
x(k+1)＝F(k)x(k)+vk
且
vk-N(O，Q)
第m组量测系统
zm(k)＝Hm(k)x(k)+wm(k)
且
$w_k^m-N(0,R^m),$
其中m＝i，j。在时间k时状态估测
$\widehat{x^m}\left(k\right|k)=F(k-1)\widehat{x^m}(k-1|k-1)+W^m\left(k\right)$
$[z^m\left(k\right)-H^m\left(k\right)F(k-1)\widehat{x^m}(k-1|k-1)]$
其中WmKalman滤波器的增益值。第m组估测误差即
$\widehat{x^m}\left(k\right|k)=x\left(k\right)-{\hat{x}}^m\left(k\right|k)$
$=F(k-1)x(k-1)+v(k-1)-F(k-1){\hat{x}}^m(k-1)$
$-W^m\left(k\right)[H^{m}F(k-1)+v(k-1)+w^m\left(k\right)$
$-H^m\left(k\right)F(k-1){\hat{x}}^m(k-1|k-1)]$
$=[I-W^m\left(k\right)H^m\left(k\right)F(k-1){\hat{x}}^m(k-1|k-1)]+$
$[I-W^m\left(k\right)H^m\left(k\right)]v(k-1)-W^m\left(k\right)w^m\left(k\right)$
相依估测的误差变异量以递归表示式
$P^{\mathrm{ij}}\left(k\right|k)=E\left[{\tilde{x}}^i\left(k\right|k){\tilde{x}}^j\left(k\right|k)\right]$
$=[I-W^j\left(k\right)H^i\left(k\right)][F(k-1)P^{\mathrm{ij}}(k-1k-1)F(k-1)+Q]$
$[I-W^j\left(k\right)H^j\left(k\right)]$
初始值可以给定如
Pij(0|0)＝0
相依估测的误差变异量也可以用
$T^{\mathrm{ij}}\left(k\right|k)=E\left[{\tilde{\Delta }}^{\mathrm{ij}}\left(k\right|k){\tilde{\Delta }}^{\mathrm{ij}}\left(k\right|k)\right]$
$=E\left[({\tilde{x}}^i-{\tilde{x}}^j)({\tilde{x}}^i-{\tilde{x}}^j)\right]$
$=P^i\left(k\right|k)+P^j\left(k\right|k)-P^{\mathrm{ij}}\left(k\right|k)-P^{\mathrm{ij}}\left(k\right|k)$
融合的状态估测的输出
${\hat{x}}^{\mathrm{ij}}={\hat{x}}^i+[P^i\left(k\right|k)-P^{\mathrm{ij}}\left(k\right|k)][P^i\left(k\right|k)+P^j\left(k\right|k)-P^{\mathrm{ij}}\left(k\right|k)-P^{\mathrm{ji}}\left(\mathrm{kk}\right){]}^{-1}$
$({\hat{x}}^j\left(\mathrm{kk}\right)-{\hat{x}}^i\left(\mathrm{kk}\right))$
融合的估测的误差变异量是
Mij＝Pi(kk)
-[Pi(kk)-Pij(kk)][Pi(k|k)-Pj(kk)-Pij(k|k)-Pji(k|k)]-1
[Pi(kk)-Pij(k|k)]
2.7资料融合(DataFusionAlgorithm-CovarianceIntersection)
通常量测系统间交互作用不易取得，且计算会非常复杂式(1.80)，而简化的方 法称高斯融合法(GaussMixture)或变异量交叉法(CovarianceIntersection)以利于实 时考虑。观察式(1.78)和(1.79)，已知的变异量是P1、P2而舍弃交乘的变异量矩阵P12 但不能降低精确度，特别将已知的变异量是P1、P2做凸(1.11)组合即给定正实数α
0≤α≤1
因而(1.78)变成了包含正实数α的凸组合
$P_C={[\alpha P_1^{-1}-(1-\alpha )P_2^{-1}]}^{-1}---\left(1.81\right)$
而系统更新后的状态式(1.77)即变成了包含正实数α的凸组合
${\tilde{x}}_C=P_C\left(\mathrm{kk}\right)[\alpha P_1^{-1}\left(k\right|k)x_1+(1-\alpha )P_2^{-1}\left(k\right|k)x_2]---\left(1.82\right)$
而收敛性质请参照[112，CovarianceIntersection]、[75]。
根据这些解析，系统无穷级共振舱的建构，则可解开系统对偶性的难题，使 非线性动态系统稳定化。

按前面所提现有系统的困难，系统对偶性(DualityofSystem)在系统稳定化 扮演着举足轻重的角色。如何从复杂耦合系统中解析成为系统分析的主要对象； 由基础数学原理「黎曼引理」振幅和调频的关系的新性质「电的弹性」，而介电 材料的选择和界面整合进而完成「频谱器」的全新发明。这个发明是一种用在解 析系统电路稳定化的频谱器，其意义是电阻值/电容量不再是定值，而是随着能 量频谱而更动，或是说电阻值/电容量是随当下输入的频率而变动；因此这“活” 的频谱电阻/电容组件，可以被用来动态阻抗匹配，进一步推导可以建构出无穷 级共振舱(Order-∞Resonant Tank)而非有限级共振舱
[118，Vol2，Chapter8，9，10，11，22，23]、[43，Page173]、[8Page181]，基础物理与电学的 难题：系统对偶性(Duality of System)就此解开，共振曲面(Resonance Hyper surface) 由无穷级共振舱的建构而完备，由Planck定理得知共振曲面是能量场的分布曲面， 所包含的系统性质必须投射回正切空间或余切空间(相平面)上即表示系统存在周 期解且收敛至极限循环(Limit Cycle)，其中投射是俱有 ″Diffeomorphism″[8，Chapter3]全域性质有利于非线性动态系统稳定化，可更进一 步在相平面找到封闭轨迹，即系统是稳定化的周期解，非线性动态系统(Nonlinear Dynamical System)因此获得基本且重要的突破。
非线性动态系统分析十分复杂，数学上全域分析(Global Analysis)[35]与结构 性稳定(Structural Stability)[86]、[8，Chapter3]、[35]、[43，Page173]、[91，Section7.4]， 以及系统稳定化(System Stabilization)[86]、[43，Page173]、[8Page181]在非线性动 态系统分析所拌演着的角色，因此非线性动态适应性阻尼的设计原理是来自在系 统稳定化的结果，，调频式耗散原理(Frequency-Modulated Dissipation)的导证，频 率-振幅(Frequency-Amplitude)、相位-振幅(Phase-Amplitude)关系的建立，验证机 械系统和电机电子系统模拟的错误，电学等效电路分析方法的误用，电机电子系 统的瞬时分析的重要性，以及Fourier分析在非线性系统分析的缺陷，更可推广在：
电力系统[108]的省电、控制、谐波干扰[108]、[30](Harmonicand Subharmonic Waveforms Distortion)、电力调度(Dispatching)和整合(Resources Integration)[122]、 [13]、[46]、[87]、[54]、[98]、全时不断电系统(Full-timeUPS)。
电动车辆的马达控制(Variable-SpeedController，VSC)[32]、[34]、续航力延伸、 燃料电池车加速与充电器(Fuelcell-BasedPowerBoosterandCharger)[34]、[99]、电力 再生(RegeneratingPower)[34]、防滑煞车(Anti-SkidBrakingSystem，ABS)[125]、[62] 和能源回收(EnergyRecycled)。
4C(Computer，Communication，Consumer，Car)包括计算机、通讯、消费性电子、 EMC、EMI、RFI防治策略[28]、[116]、[48]与车用电子上车用音响、充电设备和 智能型天线设计[42]。
航空电子(Avionics)与控制[61]、消除干扰与噪音[24]。
5)应用如核废料或核种(Radioisotopes)的电力萃取(RadioactiveBattery或 Nucell)、微波吸收材料(RadarAbsorbentMaterial，RAM)的开发、消除惯性导航组件 (InertialNavigationSystem或INS)的直流偏差(De-bias)[67]。
这五领域所提研发和综合应用的结果，特别整理如图21的流程化。
图21中非线性动态系统分析方法首推正则转换(CanonicalTransformation)和 相对应的生成函数(GeneratingFunction)所代表的意义，并且将状态空间转换至对 偶空间，因此动态系统已经被分割两个抽象上拓朴子空间(TQ和T*Q)的联集，而 拓朴子空间转换是基于选择俱有Diffeomorphism的全域性质，再者选定拓朴子空 间的正则转换(Actionangle和ActionVariable)，得知系统是否俱有周期解，也即相 平面(PhasePlane)的封闭轨迹，即Poincaré截面法；扰动法(PerturbationMethod)提 供了非线性动态系统频率和振幅(Frequency-Amplitude)与相位和振幅
(Phase-Amplitude)有关的证据。同时是否有分叉(Bifurcation)现象是另外分析的重 点，在此只要讨论是否周期性分叉即Hopf分叉就足够面对我们所探讨的问题。有 趣的是分叉现象是由系统特定参数所诱发即系统参数化(SystemParametrization)， 参数的选择决定了系统性质；例如系统稳定性即判断系统是否为周期稳定，在系 统参数化不会破坏系统稳定性才是可以被实施的方法，在二阶系统中有一类是俱 有结构的系统稳定性即Liénard系统，只要满足系统负载曲线条件下，系统稳定 性就是全域性质；这种系统稳定性的恒成立给了应用在二阶系统的谐振电路即满 足Kirchhoff定理的串并谐振电路的稳定化的机会，但串并谐振电路的稳定化所需 新的耗散方法即Riemann-Lebesque引理所提供的频率调变(FrequencyModulation) 或Doppler效应(DopplerEffect)[10]，对应在物理即介电材料性质如双极(Dipole) 的极化(Polarization)，给了串并谐振电路动态适应性阻尼值，让系统活了起来；同 时无穷级共振舱(Order-∞ResonantTank)、动态适应性阻尼
(Dynamic-AdaptiveDamper)、全域滤波器(All-passFilter)就可被推导出来；在[87]、 [98]、[54]、[108Chapter5，6，7]、[93]、[94]、[95]众多报导中，得知目前电力管理 与调度仍然是个难题，值得一提的是数字部份在此提出增强式的打折最小平方法 (ImprovedDiscountingLeastSquaredMethod或IDLS，用来解决数字量测回馈的不 足；最后是用这些全新开发系统在上列五大领域的用。
且这本发明所开发出的全新系统，就应用的分析可以整理如下：
电路分析方法采用非线性动态系统的全域分析(GlobalAnalysis)，即系统所 有轨迹的全域行为，例如稳定性分析或结构性稳定性(StructuralStability)。
全域分析是以正则转换(CanonicalTransformation)为基础，所建立的是紧致 拓朴空间(CompactTopologicalSpace)的拓朴等价关系(TopologicalEquvalience) 即非退化性的NondegenerateSympleticDiffeonmorphism或是Diffeomorphism，其 中SympleticDiffeomorphism群作用在紧致拓朴空间上，提供系统的奇异性 (Singularity)抽象与物理真实存在的依据或是Euler特质(EulerCharacteristics)， 又因为有周期解紧致拓朴空间的奇异点(SingularPoints或FixedPoints)有限个和 周期性的轨道本质特性，那么所有周期性的轨道必是双曲性(HyperbolicOrbits)， 换言的线性系统的特征根对值不是一且实部必小于零，因此系统不会饱和而自行 停止。
基于正则转换即正切空间转换成为余切空间，对偶空间(DualSpace)因此而 被建立，系统对偶性在余切空间变成了可观测，而系统的奇异性即是显而易见的 例子，也给了为电路设计动态阻尼(DynamicDamper)的数学动机。再则以正则 转为基础所建立的紧致拓朴空间的拓朴等价关系据以共轭(Conjugacy)的本质， 换言的分析系统对偶性必然以共轭性质处理在余切空间可观测的系统性质。
全域分析的结果是结构性稳定的全域特质，即系统抗干扰的能力或是强健度 (Robustness)，扰动法(PerturbationMethod)是分析结构性稳定的必要工具， 在周期解附近进行扰动分析，因而非线性动态系统在余切空间上的轨道(Orbit) 行为即可被观测或是说在Riemannian测度下系统的周期解即为Riemannian几何 的测地线(GeodesicFlow)，若测地线俱有负曲率(Curvature)时系统是结构性 稳定，意即测地线是封闭的，同时也为作用角度(ActionAngle)和作用变量 (ActionVariable)的正则转换运算建立框架，再则利用作用角度和作用变量的正 则转换找到轨道的周期，可进一步补足全域分析的假设俱有周期解的合理性。
非线性动态系统间的拓朴等价关系可以视系统扰动为系统参数化的过程，参 数选定会决定系统是否稳定，参数会让系统进入不稳定区域时，系统必存在分叉 点(BifurcationPoint)。若是周期性出现分叉点即Hopf分叉(HopfBifurcation)。
而引用Poincare截面法可以确立了周期解的稳定性，同时系统在 SympleticDiffeomorphism群作用下，被视为周期解的稳定轨道因扰动而产生运动， 若一直维持在稳定的区域内周期解运动，系统轨道必存在极限循环 (ω-LimitCycle)。
本发明的主要目的是在提供一种用在解析系统电路的稳定化的频谱器，是设 在系统电路上，包含至少一频谱电阻，所述的频谱电阻，其主要部份至少由一种 随着频率增加而电阻值增加的介电材料所组成；据以电阻值不再是定值，可随着 能量频谱的分布而更动，利于系统稳定化的建置；
其中，介电材料可以选择是砷化镓GaAs，也可以选择是钛酸钡BaTiO3。
本发明的次一目的是在提供一种用在解析系统电路的稳定化的频谱器，是设 在系统电路上，包含至少一频谱电阻，所述的频谱电阻，其主要部份至少包含了 一种随着频率增加而电阻值减少的介电材料所组成；据以电阻值不再是定值，可 随着能量频谱的分布而更动，利于系统稳定化的建置；
其中，介电材料可以选择是金属氧化物，且所述的频谱电阻也可以选择是透 纳二极管。
本发明的再一目的是在提供一种用在解析系统电路的稳定化的频谱器，是设 在系统电路上，包含至少一频谱电阻性组件，所述的频谱电阻性组件，是由第一 部份随着频率增加而电阻值增加的介电材料和第二部份随着频率增加而电阻值减 少的介电材料共同串联电性连接组成；凭借电阻值不再是定值，而是随着能量频 谱分布而更动的作用，可以被用来动态阻抗匹配，并推导建构出无穷级共振舱， 分析系统对偶性，建置稳定化系统；
其中，第一部份随着频率增加而电阻值增加的介电材料可选择是砷化镓 GaAs，也可以选择是钛酸钡BaTiO3；
其中，第二部份随着频率增加而电阻值减少的介电材料可选择金属氧化物；
其中，第一部份包含实体的电阻，第二部份也包含实体的电阻；
其中，第二部份可包含是实体的透纳二极管。
本发明的另一目的是在提供一种用在解析系统电路的稳定化的频谱器，是设 在系统电路上，包含至少一频谱电阻性组件，所述的频谱电阻性组件，是由第一 部份随着频率增加而电阻值增加的介电材料和第二部份随着频率增加而电阻值减 少的介电材料共同并联电性连接组成；凭借电阻值不再是定值，而是随着能量频 谱分布而更动的作用.便稳定、和谐、平衡的系统建立；
其中，第一部份介电材料可选择是砷化镓GaAs，也可选择是钛酸钡BaTiO3；
其中，第二部份介电材料可选择是金属氧化物；
其中，第一部份包含实体的电阻，第二部份也包含实体的电阻；
其中，第二部份可包含是实体的透纳二极管。
本发明的又一目的是在提供一种用在解析系统电路的稳定化的频谱器，是设 在系统电路上，包含至少一频谱电阻性组件，且所述的系统电路上，包括有至少 一个实体的电容性组件与至少一个电感性组件与所述的频谱电阻性组件电性连接 成实体的无穷级共振电路，并建构出实体的无穷级共振舱；
其中，实体电感性组件可以是一导线，也可以是一等效在电感的系统或是电 感器；
其中，实体电容性组件可以是一电容，也可以是一等效在电容性的系统或是 两个导电零件；
其中，实体的无穷级共振舱以并联电性连接在实体的电感性电路，至少一实 体的无穷级滤波器，则以电性连接到实体的电感性电路，用在执行滤波的运作， 且被当作实体的全域滤波器来使用与当作消楞次功能；
其中，无穷级共振舱以并联电性连接在实体的电感性电路，至少一谐波滤波 器，以电性连接在实体的电感性电路，用在滤除电力谐波与多次谐波失真；
其中，无穷级共振舱以并联电性连接在实体的电感性电路，至少一动态阻尼 器以电性连接在实体的电感性电路，用来执行阻尼运作；
其中，无穷级共振舱以并联电性连接在实体的电感性电路，至少一万用型耗 散单元以电性连接在实体的电感性电路，用来执行功率耗散运作；且所述的万用 型耗散单元可以是一种万用频率调变的耗散单元；
其中，无穷级共振舱以并联电性连接在至少一开关组件，组成无火花电器开 关电路；
其中，无穷级共振舱以电性连接到至少一感测组件，组成惯性导航系统，用 在从感测组件的输出端萃取出纯交流讯号；
其中，无穷级共振舱以并联电性连接到至少一个非线性负载，至少一动态阻 抗匹配路用在至少一个非线性负载，执行阻抗匹配；
其中，无穷级共振舱以并联电性连接在至少一个非线性负载，并包含开关组 件、开关控制器组成动态功率因素调整电路；所述的动态功率因素调整电路，一 开始从外部电源得到电力后，经由可变频率的切换组件控制开与关，转换电源到 第二阶段再提供给至少一个非线性负载，且所述的非线性负载在第二阶段得到的 电力，是由切换控制器，以调整频率来控制；所述的切换控制器可以是一个波宽 调变控制器；
又所述的，动态功率因素调整电路，再则包含有变压器与交流转直流转换器， 在此变压器从至少一个非线性负载产生电力，感应的电流是由实体的无穷级共振 舱萃取后再交流转直流，转换所谓的再生电力变成直流电源；所述的直流电力可 以被供到外加的电能储存装置；
又所述的，动态功率因素调整电路，再则包含直流总线，在此所谓的直流电 源被供到直流总线；
又所述的，动态功率因素整电路，再则包含电能储存组件，组成不断电电源 装置，在此所谓的直流电源被供到电能储存组件，再从电能储存单元到至少一个 非线性负载；且多个不断电电源供应装置彼此并联电性连接，组成可抽换式不断 电电源供应系统；
另外，所述的动态功率因素调整电路被包含在一电力管理系统所的一部份， 在此动态功率因素调整电路回报外部电力的状态资料，有关至少一个非线性负载 用电状态数据与预期演算，统计外部电力未来电力需求；所述的外部电力可以是 一个电厂、供电站、电力换流器或转换器；
另外，所述的动态功率因素调整电路被包含在一电力管理系统的一部份，在 此动态功率因素调整电路统计外部电力未来需求，则有关至少一个非线性负载用 电状态数据与预期演算，在回报外部电力的状态数据；所述的外部电力可以是一 个电厂、供电站、电力换流器或转换器；
另外，所述的动态功率因素调整电路被包含在一类真空管功率放大器的一部 份，并且是连接在声音讯号源与喇叭之间，在此动态功率因素调整电路，从声音 讯号源端收到讯号，将此讯号放大以后送到喇叭；
其中，实体的无穷级共振舱以并联电性连接在实体的电感性电路，至少一无 风扇式散热系统以电性连接到实体的电感性电路，用在执行功率的耗散；
其中，所述的实体的无穷级共振舱被包含在一非接触式防死锁煞车系统的一 部份，用在有传输线的交通装置，所述的非接触式防死锁煞车系统，并包含由上 述的传输线组件来驱动的转子、电力储存装置、煞车控制器、波实调变控制器， 与与无穷级共振舱呈串联连接的静子，当煞车控制器收到电力储存装置以及触发 波宽调变控制器提供波宽调变直流电流到转子、静子，在此直流电流流经转子， 在静子端感应出交流电流，由实体的无穷级共振舱所萃取；所述的波宽调变控制 器，由一个或多个因素所控制，包含煞车控制器的感测灵敏度，交通装置的速度 与等级；
又所述的，非接触式防死锁煞车系统，再则包含交流转直流转换器，在此交 流转直流转换器收到实体的无穷级共振舱所萃取出来的电力，转换成为直流电源， 并提供直流电源到电力储存装置；
另外，所述的非接触式防死锁煞车系统，被包含在一混合动力车辆上；所述 的混合动力车辆，再则包含核废料电力转换装置；
另外，所述的非接触式防死锁煞车系统，被包含在一电动车辆上；所述的电 动车辆，再则包含核能转换装置；
其中，所述的实体的无穷级共振舱被包含在一发电机装置的一部份，用在产 生电能，所述的发电机装置并包含由机械能驱动的转子，与与无穷级共振舱串联 连接的静子，在此当转子被驱动，在静子端感应出交流电流由实体的无穷级共振 舱所萃取；
其中，所述的实体的无穷级共振舱被包含在一非接触式防坠运输装置的一部 份，用以防止意外事件，所述的非接触式防坠运输装置，并包含用在垂直升降的 框架，一与框架垂直无接触的第一组线圈，一附挂在框架且与无穷级共振舱串联 的第二组线圈，一连接框架的缆绳，一用来侦测缆绳断裂并提供指示讯息的侦测 器，与一用来提供电力给第一组线圈回报讯号的控制器；
其中，所述的实体的无穷级共振舱被包含在一交换式电源转换装置的一部份， 所述的交换式电源转换装置从外部电源收到电力，连接到至少一个与无穷级共振 舱并联电性连接的非线性负载，并包含有交换组件与切换控制器；在此交换式电 源转换装置从外部电源收到电力的第一个阶段，经由交换组件转换电源第二个阶 段以可变频率控制开与关动作，以及提供电力到至少一个非线性负载，并以切换 控制器来控制频率；
又所述的，交换式电源转换装置，再则包含变压器与交流转直流转换器，在 此变压器从至少一个非线性负载所感应的电流，由实体的无穷级共振舱萃取，再 由交流转直流转换器转换成再生电力，变成直流电源；
另外，所述的交换式电源转换装置，被包含在一电动交通工具上；所述的电 动交通工具，再则包含核废料电力转换装置。
本发明的次再一目的是在提供一种用在解析系统电路稳定化的频谱器，是设 在系统电路上，包含至少一电磁波吸收材，所述的电磁波吸收材，是由第一部份 随着频率增加而阻值增加的介电材料和第二部份随着频率增加而阻值减少的介电 材料实体电性连接组成；凭借阻值随着能量频谱分布而更动的作用，利稳定化和 谐系统建立；
其中，第一部份介电材料可选择是砷化镓GaAs，也可以选择是钛酸钡 BaTiO3；
其中，第二部份介电材料可选择是金属氧化物；
其中，所述的电磁波吸收材与一个吸收面被包含在一微波吸收器的一部份， 在此电磁波吸收材分布在所述的吸收面上；
其中，所述的电磁波吸收材与一个吸收面被包含在一防静电保护器的一部份， 在此电磁波吸收材分布在所述的吸收面上；
其中，所述的电磁波吸收材与一个吸收面被包含在一射频天线的一部份，在 此电磁波吸收材分布在所述的吸收面上，且以实体电性连接到所述的吸收面；
另外，所述的射频天线与射频识别控制器被包含在一射频识别装置的一部份， 在此射频天线与射频识别控制器连接；
其中，所述的电磁波吸收材与核子材料与核子材料容器被包含在一核能转换 装置的一部份，在此电磁波吸收材至少分布在核子材料容器的吸收面上，用来萃 取核子材料的辐射能转为电能；
又所述的，核废料电力转换装置，再则包含交流转直流转换器以电性连接到 至少分布在核废料容器的吸收面上，用来萃取核废料电力的辐射能转为直流电能；
其中，所述的电磁波吸收材被包含在一数据传输总线的一部份，所述的数据 传输总线以电性连接到数字控制器；所述的数据传输总线可以是控制总线、寻址 总线或数据总线。
本发明的次另一目的是在提供一种用在解析系统电路稳定化的频谱器，是设 在系统电路上，包含至少一频谱电容，所述的频谱电容，是由第一部份随着频率 增加而电容量增加的介电材料和第二部份随着频率增加而电容量减少的介电材料 实体电性连接组成；凭借电容量随着能量频谱分布而更动的作用，利系统和谐平 衡；
其中，第一部份介电材料可选是砷化镓GaAs，也可以选择是钛酸钡BaTiO3；
其中，第二部份介电材料可选择是金属氧化物；
其中，所述的频谱电容与电压控制振荡器被包含在一适应性电压控制振荡器 的一部份，在此所述的频谱电容以并联电性连接到所述的电压控制振荡器的输入 端；
另外，所述的适应性电压控制振荡器被包含在一锁相回路的一部份，所述的 锁相回路并包含一个相位检知器与一与相位检知器连接的低通滤波器，在此适应 性电压控制振荡器收到相位检知器与低通滤波器所提供的反馈讯号。
附图说明
图1是以燃料电池为基础的电力转换示意图；
图2是电流源示意图；
图3是电压源示意图；
图4是真空管放大器示意图；
图5是K级共振舱示意图；
图6是阻抗匹配示意图；
图7是交换式电源示意图；
图8是变频器与煞车单元的设计图；
图9是马达经控制器产生再生电力示意图；
图10是无刷交流感应式马达与控制器示意图；
图11是有刷式的直流马达与控制器示意图；
图12是储能装置示意图；
图13是在线不断电系统示意图；
图14是离线不断电系统示意图；
图15是交互式不断电系统示意图；
图16是惯性导航系统组件加速规示意图；
图17是锁相回路的基础结构示意图；
图18是低通滤波器方块图；
图19是低通滤波器的基本电路；
图20是锁相回路原始设计图；
图21是全域分析流程图；
图22是增强式的打折最小平方法实施的流程图；
图23是Liénard系统的阻抗数F(x)和系统轨迹Γ图；
图24是串并谐振电路示意图；
图25是本发明频谱电阻的符号示意图；    图26是本发明共享电感的共振舱示意图；
图27本发明共享电容的共振舱示意图；
图28是本发明共享电阻的共振舱示意图；
图29是本发明共享电感、电容和电阻的共振舱示意图；
图30是本发明频谱电容示意图；
图31是本发明使用频谱电容的锁相回路示意图；
图32是本发明实施的动态适应性阻尼示意图；
图33是本发明实施的静电吸收器示意图；
图34是本发明实施的三相通泛式的Snubber网络示意图；
图35是本发明实施的通泛式的Snubber网络的变频器符号示意图；
图36是本发明实施的典型的改良式的泛交换式电源示意图；
图37是本发明实施的通用型再生电力充电器示意图；
图38是本发明实施的三相变频器并回收再生电力示意图；
图39是本发明实施的三相变频器并回收再生电力的符号示意图；
图40是本发明实施的大型充电机示意图；
图41是本发明实施的高功率直流对直流泛交换式电源转换器示意图；
图42是变频式电源示意图；
图43是本发明实施的全时不断电系统图；
图44是本发明实施的备援式电源系统和备援式不断电系统示意图；
图45是本发明实施的非接触式防滑剎车系统示意图；
图46是本发明实施的风力发电示意图；
图47是本发明实施的电梯防坠示意图；
图48是本发明实施的核废料的电力萃取与核能电池示意图；
图49是电动车辆的电力组态由左至右分别是离线充电、电力缓冲区以及电力 输出三大区块示意图；
图50是本发明实施的整合各式电力和电磁式剎车能源回收系统的电动车辆 示意图；
图51是本发明实施的特种电动交通工具示意图；
图52是高频传输示意图；
图53是本发明实施的加速规消除直流偏差示意图；
图54调频式耗散单元与回收再生电力的可调速度马达控制器示意图；
图55是本发明实施的有刷直流马达并入无穷级共振舱的可变速度控制器示 意图；
图56是本发明实施的并入无穷级共振舱和全域锁相回路的有刷直流马达可 变速度控制器加强版，可以消除马达失控的爆冲示意图；
图57是本发明实施的类真空管放大器实体电路示意图；
图58是本发明实施的高功率电浆二氧化碳或废气分离器示意图。
附图标记说明：10A-频谱电阻；100A-无穷级共振舱；10B-频谱电容；10C -变频器；10D-三相变频器；20-电感；20A、20B-高频电感；200-变压器； 21-线圈22-马达；30-功率晶体；30A、30B、30C-大功率控制晶体；40-二 极管；50-电瓶组；60-充电器；60A-充电机；70-控制器；71-踏板；72- 容器；73-贮气瓶；74-滤波器；80-功率放大器；90-发电机。
附件：表格1机械系统和电路系统的模拟
表格2储存电力装置的性质
参考书目列表

本发明是提供一种用在解析系统电路稳定化的频谱器，是设在系统电路上， 使任意复杂非线性系统达到稳定与和谐平衡，兹由以下实施方法步骤，详知本发 明内容与成果。
实施1.建构预测系统(Constructing a Forcasting System)
凭借助统计学和估测方法做为预测系统(Forecasting System)的数学基础，是一 般常见在各个讨论与教科书[45，Chapter1，2，3，4]、[2，Chapter3，7，8]、 [97Chapter8，11，13，14]、[123，Chapter5，7]、[113，Chapter1，2，3，4，5，6，7，8]、 [52，Chapter6，7]、[19，Chapter1，2，3，4，5，6，7]、[11]、[12]和论文[17]、[83]、[74]、[59]、 [58]、[112]中，但对于建构预测系统只有指导性原则或离线式的数值模拟[88]、 [37]、[40]，目前迫切需要推导一种可以快速收敛和实时的算法，提供讯号的监控、 调度的需求。
1.1预测区间(Prediction Interval)
令一是高斯分布(Gaussian)时间序列{x1，x2，…，xn，xn-1}俱有未知的均值 (Mean)μ和变异量(Variance)σ2，同时用已观测的序列{x1，x2，…，xn}决定下一刻以 100(1-α)百分比的信心水平下的落点xn-1的区间称为预测区间(Prediction Interval)，也就是
x1，x2，...，xn，xn-1∶～N(μ，σ2)
再者介在xn-1取样均值(Sample Mean)  或 差值可以表示
$x_{n-1}-\bar{x}~N(0,{\sigma }^2+\frac{{\sigma }^2}{n})$
或
$x_{n-1}\bar{x}~N(0,\frac{(n+1){\sigma }^2}{n})$
而且
$\frac{x_{n-1}-\bar{x}}{\sqrt{\frac{n-1}{n}}\sigma }~N\left(\mathrm{0,1}\right)$
从t分布(t-Distribution)如式(1.62)的定义俱有(n-1)的自由度(Degrees of Freedom)的变数
$T_{n-1}=\frac{Z}{\sqrt{\frac{x_{n-1}^2}{n-1}}}$
其中要求Z～N(0，1)且
Tn-1～tn-1
令随机变数Z是
$Z=\frac{x_{n-1}-\bar{x}}{\sqrt{\frac{n-1}{n}}\sigma }$
从式(1.61)得知Tn-1是
$T_{n-1}=\frac{Z}{\sqrt{\frac{T_{n-1}^2}{n-1}}}-t_{n-1}$
$=\frac{\left(\frac{x_{-1}-2}{\sqrt{\frac{n-2}{2}}\sigma }\right)}{\sqrt{\frac{x_{-n}^2}{{\sigma }^{2}n-1}}}-t_{n-1}---\left(2.1\right)$
$=\left(\sqrt{\frac{n-1}{n}}\right)\left(\frac{x_{n-1}-\bar{x}}{\sqrt{\frac{n-1}{n}}{S}_n}\right)-t_{n-1}$
$=\left(\sqrt{\frac{n-1}{n-1}}\right)\left(\frac{x_{n-1}-\bar{x}}{S_n}\right)-t_{n-1}$
因为n是常数在式(2.1)的最后一式中 仍然是为tn-1分布的随机变数，
$\left(\frac{x_{n-1}-\bar{x}}{\sqrt{\frac{n-1}{n}}{S}_n}\right)-t_{n-1}$
而xn-1的预测区间在100(1-α)信心水平下是
$P\left[\right|\left(\sqrt{\frac{N-1}{N+1}}\right)\left(\frac{x_{n-1}-\bar{x}}{S_n}\right)|\le t_{\frac{o}{2},n-1}]=1-\alpha$
可以展开成不等式
$\bar{x}-S_n\left(\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}\right)t_{\frac{o}{2},n-1}\le x_{n-1}\le \bar{x}+S_n\left(\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}\right)t_{\frac{o}{2},n-1}$
或用 表示如
${\bar{x}}_n{S}_n\left(\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}\right)t_{\frac{o}{2},n-1}\le x_{n-1}\le {\bar{x}}_n+S_n\left(\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}\right)t_{\frac{o}{2},n-1}$
因此xn-1的预测是 并将预测区间代入
${\hat{x}}_{n-1}={\bar{x}}_n\pm S_n\left(\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}\right)t_{\frac{o}{2},n-1}$
$={\bar{x}}_n\pm b_n---\left(2.2\right)$
此刻 可以视为快速变动值或准位值而慢速变动值或趋势值bn是定义成
$b_n=\left(\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}{S}_n\right)t_{\frac{o}{2},n-1}$
把上述的序列整理一下可以得到
${\bar{x}}_{n-1}=\left(\frac{1}{n+1}\right)y_{n-1}-\left(\frac{n}{n+1}\right){\bar{x}}_n$
和
$(n+1)S_{n-2}^2-n{S}_n^2=\left(\frac{n}{n+1}\right){(x_{n-1}-{\bar{x}}_n)}^2$
$S_{n-1}^2=\left(\frac{n}{n+1}\right)S_n^2+\frac{n}{(n+1)}\frac{{(y_{n-2}-{\bar{x}}_n)}^2}{(n+1)}---\left(2.4\right)$
其中
${\bar{x}}_n=\frac{1}{n}{\Sigma }_{i=1}^n{x}_i$
$n{\bar{x}}_n=x_1+x_2+...+x_n$
${\bar{x}}_{n-1}=\frac{1}{n+1}{\Sigma }_{i=1}^{n-1}{x}_i$
$(n+1){\bar{x}}_{n-1}=x_1+x_2+...+x_{n-1}$
$(n+1){\bar{x}}_{n-1}-\left(n\right){\bar{x}}_n=x_{n-1}$
yn-1＝xn-1
且令
$S_{n-1}^2=\left(\frac{1}{n-1}\right){\Sigma }_{i=1}^{(n-1)}{(x_i-{\bar{x}}_{n-1})}^2$
1.2增强式的打折最小平方法(ImprovedDiscountedLeastSquaresMethod)
依据预测区间的定义(2.2)，设想若令第n+1步的序列输出是目前已知的二个 时间序列Sn-1、lbn-1与干扰εn-1的和。其中Sn-1、bn-1是平滑的准位值、趋势值，而 以目前已知的二个时间序列Sn-1、bn-1局部线性外插(Extrapolation)得到预测l步的 结果，若令l＝1即领先一步的预测结果。
以下是预测系统的重要推导的过程，依[45]首先是建立Sn-1、bn-1的差分方程 式方式与加入打折因子(DiscountedFactor)λ如式(2.5)和
$\left[\begin{array}{c}{S}_n\\ b_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{S}_{n-1}\\ b_{n-1}\end{array}\right]+$
$\left[\begin{array}{c}(1-{\lambda }^2)(y_n-S_{n-1}-b_{n-1})\\ {(1-\lambda )}^2(y_n-S_{n-1}-b_{n-1})\end{array}\right]---\left(2.5\right)$
输出差分方程式
$y_n=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{S}_n\\ b_n\end{array}\right]+{ϵ}_n---\left(2.6\right)$
由Holt-Winter的预测准则[45]、[2]、[19]令yn-1的预测值以 表示
${\hat{y}}_{n-1}=S_n+b_n$
$=S_{n-1}+{2b}_{n-1}+2(1-\lambda )(y_n-S_{n-1}-b_{n-1})---\left(2.7\right)$
预测误差en定义
$e_n\equiv {\hat{y}}_{n-1}-y_{n-1}$
且相对的变异量
$q_n^2=E\left[{(y_n-S_{n-1}-b_{n-1})}^2\right]$
由Kalman滤波器(KalmanFilteringAlgorithm)[11]、[12]、[17]、[83]、[74]、[59]、 [58]、[112]、[45]、[2]基础运算得知，过渡(Transition)矩阵Φn、量测矩阵 (Measurement)Hn、状态误差变异量(StateErrorCovariance)Pn、量测误差变异量 (MeasurementErrorCovariance)Rn、程序误差变异量(ProcessErrorCovariance)Qn需要 被计算出来，才能经式(2.5)和(2.6)和(解析2.3)节的迭代出下一步的结果，定义实 对称程序误差变异量Qn
$Q_n=\left[\begin{array}{cc}{Q}_{11}& Q_{12}\\ Q_{12}& Q_{22}\end{array}\right]$
其中分量Q11、Q12、Q22可以被分别找到如下
$Q_{11}={(1-\lambda )}^2{(1+\lambda )}^{2}E\left[{(y_n-S_{n-1}-b_{n-1})}^2\right]$
$={(1-\lambda )}^2{(1+\lambda )}^2{q}_n^2$
$Q_{12}={(1-\lambda )}^2{(1-\lambda )}^{2}E\left[{(y_n-S_{n-1}-b_{n-1})}^2\right]$
$=(1-{\lambda }^2){(1-\lambda )}^2{q}_n^2$
$Q_{11}+Q_{12}={(1-\lambda )}^2{(1+\lambda )}^2{q}_n^2+(1-{\lambda }^2){(1-\lambda )}^2{q}_n^2$
$=2{(1-\lambda )}^2(1+\lambda )q_n^2$
$Q_{22}={(1-\lambda )}^{4}E\left[{(y_n-S_{n-1}-b_{n-1})}^2\right]$
$={(1-\lambda )}^4{q}_n^2$
而矩阵Φn从式(2.5)直接得到
${\Phi }_n=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$
令状态误差变异量实对称矩阵
$P_n=\left[\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{12}\\ P_{12}& P_{22}\end{array}\right]$
而量测矩阵从式(2.6)直接得到
Hn＝[10]
且得到量测误差变异量是
$R_n=E\left[{(y_n-S_n)}^2\right]$
$={\lambda }^{4}E\left[{(y_n-S_{n-1}-b_{n-1})}^2\right]$
$={\lambda }^4{q}_n^2$
Kalman滤波器增益值Wn是
$W_n=P_n^{-}{H}_n{B}_n^{-1}$
$=\left[\begin{array}{c}{W}_{n1}\\ W_{n2}\end{array}\right]$
其中
$P_n^{-}={\Phi }_n{P}_n{\Phi }_n+Q_n$
$=\left[\begin{array}{cc}{P}_{11}+{2P}_{12}+P_{22}+Q_{11}& P_{12}+P_{22}+Q_{12}\\ P_{12}+P_{22}+Q_{22}& P_{22}+Q_{22}\end{array}\right]$
和
Bn＝Hn(ΦnPnΦn+Qn)Hn+Rn
＝P11+2P12+P22+Rn-Q11
状态方程式更新后
$\left[\begin{array}{c}{\hat{S}}_n\\ {\hat{b}}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{S}_{n-1}\\ b_{n-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{W}_{n1}\\ W_{n2}\end{array}\right](y_n-S_{n-1}-b_{n-1})---\left(2.8\right)$
状态误差变异量实对称矩阵更新后是
${\hat{P}}_{n-1}=P_n^{-}-W_n{B}_n{W}_n$
$=\left[\begin{array}{cc}{P}_{11}+{2P}_{12}+P_{22}+Q_{11}& P_{12}+P_{22}+Q_{12}\\ P_{12}+P_{22}+Q_{12}& P_{22}+Q_{22}\end{array}\right]$
$-\left[\begin{array}{c}{P}_{11}+{2P}_{12}+P_{22}{Q}_{11}\\ P_{12}+P_{22}+Q_{12}\end{array}\right]$
$\left(\frac{\left[\begin{array}{cc}[P_{11}+{2P}_{12}-P_{22}+Q_{11}& P_{12}+P_{22}+Q_{12}\end{array}\right]}{P_{11}+{2P}_{12}+P_{22}+R_n+Q_{11}}\right)$
乘开后各个分量是
${\hat{P}}_{n-1}^{11}=(P_n^{11}+{2P}_n^{12}+P_n^{22}+Q_{11})$
$\left(\frac{(R_n-P_n^{11}+{2P}_n^{12}+P_n^{22}+Q_{11})-(P_n^{11}+{2P}_n^{12}+P_n^{22}+Q_{11})}{R_n+P_n^{11}+{2P}_n^{12}+P_n^{22}+Q_{11}}\right)$
${\hat{P}}_{n-1}^{12}=\frac{R_n(P_n^{12}+P_n^{22}+Q_{12})}{R_n-P_n^{11}+{2P}_n^{12}+P_n^{22}+Q_{11}}$
${\hat{P}}_{n-1}^{22}=\frac{(P_{22}+Q_{22})(R_n+P_n^{11}+{2P}_n^{12}+P_n^{22}+Q_{11})-{(P_n^{12}+P_n^{22}+Q_{12})}^2}{R_n+P_n^{11}+{2P}_n^{12}+P_n^{22}+Q_{11}}$
由预测准则式(2.7)则 可以用Kalman滤波器增益值Wn和更新后的状态式 (2.8)表达即
${\hat{y}}_{n-1}={\hat{S}}_n-{\hat{b}}_n$
$=S_{n-1}+{2b}_{n-1}+(W_{n1}+W_{n2})(y_n-S_{n-1}-b_{n-1})$
依Bayesian预测准则[113]、[2]，那么由式(1.75)yn领先一步的预测是
${\hat{y}}_{n-1}=E\left[y_{n-1}{Y}_n\right]$
$=H_{n-1}{\hat{S}}_{n-1}$
$=H_{n-1}{\Phi }^1{\hat{S}}_n$
$=S_{n-1}-{2b}_{n-1}-(W_{n1}+W_{n2})(y_n-S_{n-1}-b_{n-1})---\left(2.10\right)$
(2.7)和(2.10)的结果是一致的。
比较式(2.7)与(2.9)或是式(2.10)，即
$2(1-\lambda )=(W_{n1}+W_{n2})$
$=\left(\frac{P_n^{11}+{3P}_n^{12}+{2P}_n^{22}+Q_{11}+Q_{12}}{P_n^{11}+{2P}_n^{12}+P_n^{22}+R_n-Q_{11}}\right)$
$=\left(\frac{P_n^{11}+{3P}_n^{12}+{2P}_n^{22}+2{(1-\lambda )}^2(1-\lambda )q_n^2}{P_n^{11}+{2P}_n^{12}+P_n^{22}+({2\lambda }^2-{2\lambda }^2-1)q_n^2}\right)$
打折因子可以用变异量组合，更重要的是打折因子以变异量的迭代表达。因 此只要找到5次方程式(2.11)的实根
$0={2\lambda }^5-{2\lambda }^4-{\lambda }^3+{\lambda }^2+\left(\frac{1}{q_n^2}\right)(P_n^{11}-{2P}_n^{12}+P_n^{22})\lambda$
$-\left(\frac{1}{{2q}_n^2}\right)(P_n^{11}+P_n^{12})$
且必须界在0与1之间，
$0<\hat{\lambda }<1---\left(2.12\right)$
那么式(2.7)、(2.9)的预测准则即可以″实时″(Realtime)的方式逐步迭代。预测 结果是
${\hat{y}}_{n-1}={\hat{S}}_n+{\hat{b}}_n$
$=S_{n-1}+{2b}_{n-1}+2(1-\hat{\lambda })(y_n-S_{n-1}-b_{n-1})---\left(2.13\right)$
初始值的给法可以令
P11＝P12＝P22＝0
打折因子的5次方程式(2.11)变成了
${\lambda }^5-{\lambda }^4-\frac{{\lambda }^3}{2}+\frac{{\lambda }^2}{2}=0$
实根有0、0、1、 ，则打折因子初始值是
λ＝0.707
截至目前打折因子都不能实时应用，特别在此补强称为增强式的(Improved) 打折最小平方法。
当然在式(2.11)中，可能会无法找到0与1之间的实根，于是采用了预测误差 分解(PredictionErrorDecomposition)[45]的方式。定义了误差函数如
$f\left(\lambda \right)=\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}[\frac{v^2\left(k\right)}{B\left(k\right)}-\log \left(2\mathrm{\pi B}\left(k\right)\right)---\left(2.14\right)$
其中M是取样长度而打折因子λ是可将式(2.14)最小化得到如
$\hat{\lambda }=\underset{\arg \left(\lambda \right)}{\min }f\left(\lambda \right)$
同样的将λ代回(2.13)在求解过程中[88]、[59]提供了稳定的数值算法。在此将 上述计算以流程化的方式展现如图22所示，不仅是计算流程，也包括了目前已在 使用的方法例如类神经网络(ArtificialNeutralNetwork或ANN)[72Chapter8]和高阶 的平滑法(GeneralSmoothingMethod)[20]以及高斯分布检测[2]。
实施2.系统对偶分析(DualityofSystemResolution)
凭借机械系统的成功的分析方法例如动态系统的非线性分析如自激系统 (Self-excitedsystem)、系统参数化(SystemParametrization)、Poincaré截面的建立 (PoincaréMap)以断定是否俱有周期解(PeriodicOrbits)、Hopf分叉现象 (HopfBifurcation)判定是否有快速恢复(FastRecovery)的性质和系统稳定化 (LiénardSystemStabilization)、Hamilton力学建构系统对偶的分析如相平面法 (Phase-FlowMethod)、其中包括正则转换(Contact或CanonicalTransformaton)可以 得知对偶空间的基本性质例如共轭(Conjugation)、生成函数(GeneratingFunction) 或能量耗散(EnergyDissipation)的行为、电动力学(Electrodynamics)和量子力学 (QuantumMechanics)的基本问题频谱分析(Spectral或HarmonicAnalysis)，致使系 统谐波(HarmonicandSubharmonic)得以解析，让复杂耦合的非线性系统得以识别即 共振曲面的建构(ResonantHypersurface)[8]、介电性质(DielectricMaterialsProperties) 的探讨找出适合的材料、耗散系统(DissipativeSystem)的原理推导与设计、全域滤 波器(All-passFilter)、动态适应性阻尼(Dynamic-AdaptiveDamper)与省电原理 (PowerSaving)、动态功率因素调整(DynamicPowerFactorCorrector，DPFC)、动态阻 抗匹配(DynamicImpedanceMatching)等直接相关问题一并分析，也成就了无穷级共 振舱(Order-∞ResonantTank)的发明，更能让动态系统在和谐平衡 (HarmonicBalance)，参考书[55]、[30]中，和谐平衡的分析方法是凭借助系统已知 的周期解，用意是在Poincaré截面法的判断下俱备周期解即封闭轨迹意即系统是 稳定的[47，Chapter10，11]，在周期解附近施加扰动(Perturbation)，使得系统被已知 的周期解展开，完成了被周期解线性化的程序运作。
由Hamilton力学[91]、[33]、[86]、[7，Part3]、[6]、[41，Chapter8，9，10，11，12]、 [81，Chapter1，2.5.6.7]、[43，Chapter1，4]的推导得知，任意动态系统可在其正切空间 (TangentialSpace)和其对偶空间(DualSace)或余切空间(CotangentSpace)建构其(二 阶)状态方程式，更从书[8，Page56]中提与任何二阶微分系统必俱有对偶性 (DualityofSystem)，运用对偶空间的系统解析得以建构出共振曲面 [8，Page153-221]、[7Page385-398]、[43，Page173，195，199](ResonanceHyper-surface)。
2.1自激振荡系统(Self-Excitation或Auto-OscillationSystem)
考虑非线性系统如式(2.15)[30，Chapter1，4，5，6，7，page181-183]
$\frac{d^{2}x}{\mathrm{dt}}+{\Omega }^{2}x=F\left(\mathrm{\omega t}\right)-\mathrm{ϵh}(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}},x)---\left(2.15\right)$
其中ε是系统的微小参数，通常是系统的材料缺陷所造成的例如电感的漂移， ω、 、F(ωt)是输入的基频、非线性阻尼函数和周期2π的输入函数。令输入 表示成Fourier级数
$F\left(\tau \right)=F\left(\mathrm{\omega t}\right)$
$=\underset{n=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}{A}_n\cos \mathrm{n\tau }+B_n\sin \mathrm{n\pi }---\left(2.16\right)$
且其中Ω近似整数N因而令
Ω2＝N2+εβ
           (2.17)
和
$f\left(\tau \right)=F\left(\tau \right)-ϵA\cos \mathrm{N\tau }-ϵB\sin \mathrm{N\tau }$
$=\underset{n=N}{\overset{\infty }{\Sigma }}{A}_n\cos \mathrm{n\tau }+B_n\sin \mathrm{n\tau }$
其中
AN＝εA
BN＝εB
那么(2.15)变成了
$\frac{d^{2}x}{{\mathrm{dt}}^2}{N}^{2}x=f\left(\tau \right)+ϵ[-h(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}·x)-\mathrm{\beta x}+A\cos \mathrm{N\tau }+B\sin \mathrm{N\tau }]$
其中
$\frac{d^{2}x}{{\mathrm{dt}}^2}+N^{2}x=f\left(\tau \right)$
是未包含有干扰项也远离共振。令(2.15)的解x(ε，τ)用微小参数ε展开
x(ε，τ)＝x0(τ)+εx1(τ)+ε2x2(τ)+...  
                                           (2.18)
而x0、x1、...共有无穷多个周期2π的解，系统(2.15)是有无穷多个谐波成份， 且(2.18)代入阻尼项 且以ε级数展开
$h(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}},x)=h_{ϵ}(\frac{{\mathrm{dx}}_0}{\mathrm{dt}},x_0)+{\mathrm{ϵh}}_1(\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}},\frac{{\mathrm{dx}}_0}{\mathrm{dt}},x_1,x_0)+...---\left(2.19\right)$
其中h0、h1…每一项都必须进一步求解。从零级依序求解如下
$\frac{d^2{x}_0}{{\mathrm{dt}}^2}-N^2{x}_0=\underset{n=N}{\overset{\infty }{\Sigma }}{A}_n\cos \mathrm{n\tau }+B_n\sin \mathrm{n\tau }---\left(2.20\right)$
$\frac{d^2{x}_1}{{\mathrm{dt}}^2}+N^2{x}_1=-h(\frac{{\mathrm{dx}}_0}{\mathrm{dt}}{,x}_0)-{\mathrm{\beta x}}_0+A\cos \mathrm{N\tau }+B\sin \mathrm{N\tau }---\left(2.21\right)$
$\frac{d^2{x}_2}{{\mathrm{dt}}^2}-N^2{x}_2=-h_1(\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}},\frac{{\mathrm{dx}}_0}{\mathrm{dt}},x_1,x_0)-{\mathrm{\beta x}}_1---\left(2.22\right)$
零级(2.20)的解是
$x_0\left(\tau \right)=a_0\cos \mathrm{N\tau }+b_0\sin \mathrm{N\tau }+\underset{n=X}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{A_n\cos \mathrm{n\tau }+B_n\sin \mathrm{n\tau }}{N^2-n^2}$
$=a_0\cos \mathrm{N\tau }+b_0\sin \mathrm{N\tau }+\phi \left(\tau \right)---\left(2.23\right)$
...
其中
$\phi \left(\tau \right)=\underset{n=X}{\overset{x}{\Sigma }}\frac{A_n\cos \mathrm{n\tau }+B_n\sin \mathrm{n\tau }}{N^2-n^2}$
a0、b0须从下一级(2.21)的周期解x1决定。经过计算后a0、b0分别是
${\mathrm{\beta a}}_0=-\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }h((a_0\cos \mathrm{N\tau }+b_0\sin \mathrm{N\tau }+\phi \left(\tau \right))-a_{0}N\sin \mathrm{N\tau }+b_{0}N\cos \mathrm{N\tau }+\phi \left(\tau \right))$
$\cos \mathrm{N\tau d\tau }+A$
和
${\mathrm{\beta b}}_0=-\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }h((a_0\cos \mathrm{N\tau }+b_0\sin \mathrm{N\tau }+\phi \left(\tau \right))-a_{0}N\sin \mathrm{N\tau }+b_{0}N\cos \mathrm{N\tau }+\phi \left(\tau \right))$
$\sin \mathrm{N\tau d\tau }+B$
...
依(2.18)、(2.20)、(2.21)、(2.22)的解题程序，第n级的解必定和(n+1)级相关， 这就是动态系统如式(2.15)这一类非常特殊，称自激振荡系统。而自激是来自系统 的微小参数ε和阻尼函数 的乘积产生的非线性(Nonlinearity)，因而诱发出 无穷多的谐波成份。
令动态系统如式(2.15)的其中一个周期解是acosωt，也就是动态系统如式(2.15) 的阻尼式(2.19)可进一步改写成
$h(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}},x)\approx h(-\mathrm{a\omega }\sin \mathrm{\omega t},a\cos \omega t)$
$=A_1\left(a\right)\cos \mathrm{\omega t}+B_1\left(a\right)\sin \mathrm{\omega t}+r(a,{\omega }_i,t)---\left(2.24\right)$
其中r(a，ωi，t)是高阶谐波成份(HigherOrderHarmonics)。此刻考虑动态系统如式 (2.15)的瞬时如
$\frac{d^{2}x}{{\mathrm{dt}}^2}+\mathrm{ϵh}(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}},x)+{\Omega }^{2}x=0---\left(2.25\right)$
并将(2.24)代入(2.25)的瞬时解
(1-ω2)acosωt-εA1(a)cosωt-εB1(a)sinωt+O(ε2)＝0
如果忽略高阶条件的下等号成立
(1-ω2)a+εA1(a)＝0
且周期解是acosωt即
B1(a)＝0
如此等式可以决定振幅a与频率ω
${\omega }^2=(\frac{{\mathrm{ϵA}}_1\left(a\right)}{a}+1)$
直接证明了振幅a与频率ω是相关的，称为频率-振幅关系 (Frequency-AmplitudeRelationship)[30，Chapter4，5，6]，更对Fourier级数展开式(1.59) 对于非线性系统式(2.15)失真提供了证明，同时也证明了会有非整数级的谐波成份 如式(1.60)。
再将(2.25)式用一阶联立表示
$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=y\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}=-x-\mathrm{ϵh}(x,y)\end{array}\right.$
同样的也设定存在一个周期解，当选择了极坐标(a(t)，θ(t))表示上述的方程式 即
$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{dt}}=-\mathrm{ϵh}(a,\theta )\sin \theta \\ \frac{\mathrm{d\theta }}{\mathrm{dt}}=-1-ϵa^{-1}h(a,\theta )\cos \theta \end{array}\right.$
并两式相除
$\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{d\theta }}=\frac{\mathrm{ϵh}(a,\theta )\sin \theta }{1+ϵa^{-1}h(a,\theta )\cos \theta }---\left(2.26\right)$
式(2.26)建立了相位-振幅的函数关系
(Phase-AmplitudeRelationship)[30，Chapter4，5，6]，更进一步的改写成
$\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{d\theta }}=\mathrm{ϵh}(a\left(\theta \right)\cos \theta ,a\left(\theta \right)\sin \theta )\sin \theta +O\left({ϵ}^2\right)---\left(2.27\right)$
因为设定存在一个周期解所以
$h(a\cos \theta ,a\sin \theta )\sin \theta =p_0\left(a\right)+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}{p}_n\left(a\right)\cos \mathrm{n\theta }+q_n\left(a\right)\sin \mathrm{n\theta }$
其中n≥1是数分别是
$p_0\left(a\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }h(a\cos \theta ,a\sin \theta )\sin \mathrm{\theta d\theta }---\left(2.28\right)$
$p_n\left(a\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }h(a\cos \theta ,a\sin \theta )\sin \theta \cos \mathrm{n\theta d\theta }$
和
$q_n\left(a\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }h(a\cos \theta ,a\sin \theta )\sin \theta \sin \mathrm{n\theta d\theta }$
那么(2.27)变成了
$\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{d\theta }}={\mathrm{ϵp}}_0\left(a\right)+ϵ(\underset{n=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}{p}_n\left(a\right)\cos \mathrm{n\theta }+q_n\left(a\right)\sin \mathrm{n\theta })+O\left({ϵ}^2\right)---\left(2.29\right)$
将式(2.29)两边在周期内积分，无穷项求和在周期内积分为零即
$a_{2\pi }-a_0=ϵ{\int }_0^{2\pi }{p}_0\left(a\right)\mathrm{d\theta }+O\left({ϵ}^2\right)---\left(2.30\right)$
并将(2.28)代入，其意义是振幅在周期内的变动量在积分的运算下有二级O(ε2) 以上的影响，此时p0(a)是由阻尼函数在周期内积分所定义且(2.29)可以被(2.30)所 取代，高阶的谐波影响都会消失称为平均法(AveragingMethod)[41，Chapter11]、 [8，Chapter4]、[7，Chapter10]、[30]、[43，Chapter4]，也提供了相位-振幅的函数关系。
用联立方程式的表达自激系统
$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}}{x}_2+{\mathrm{ϵf}}_1(x_1,x_2)\\ \frac{{\mathrm{dx}}_2}{\mathrm{dt}}={-x}_2-{\mathrm{ϵf}}_2(x_1,x_2)\end{array}---\left(2.31\right)\right.$
其中配合以后的叙述更换符号，ε远小于1.0是表示系统有受到参数ε微小的干 扰且
$x_1^2+x_2^2\le R^2---\left(2.32\right)$
又如
$\frac{d^{2}x}{{\mathrm{dt}}^2}+\mathrm{ϵh}(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}},x)\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}+x=A\cos \mathrm{\omega t}---\left(2.32\right)$
其中A若很小称弱激发(WeakExcitation)，反的且ω远离共振频率称强激发 (HardExcitation)。从式(2.32)中加上平衡的想法式(1.14)、(1.12)以消除自激即建立 式
$\frac{d^{2}x}{{\mathrm{dt}}^2}-\mathrm{ϵh}(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}},x)\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}+x=A\cos \mathrm{\omega t}---\left(2.33\right)$
且将两式(2.32)、(2.33)相加即可。但在真实的系统(2.32)中，要动态的方式找 到其相对的平衡系统(2.33)并且能有″加″的的运算并不容易，以至于现今都采用和 原系统一样尺度的主动滤波器(ActiveFilter)为操作的方法，但代价甚高且系统不易 获得稳定；考虑系统的对偶性引起了永无止境的加入滤波器和修改滤波器的级数， 仍会造成发散无法控制。若有动态适应阻尼(因为平衡的操作目标是阻尼器 (Damper))融入系统(2.32)中，即可适时适当的隅合那么就能直接达成和谐平衡。
将式(2.31)的第二式微分
$\frac{d^2{x}_2}{{\mathrm{dt}}^2}=-\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}}-ϵ(\frac{{\partial f}_2(x_1,x_2)}{{\partial x}_1}\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}}-\frac{{\partial f}_2(x_1,x_2)}{{\partial x}_2}\frac{{\mathrm{dx}}_2}{\mathrm{dt}})$
且将式(2.31)的第一式代入
$\frac{d^2{x}_2}{{\mathrm{dt}}^2}+ϵ\frac{{\partial f}_2(x_1,x_2)}{{\partial x}_2}\frac{{\mathrm{dx}}_2}{\mathrm{dt}}+(1-ϵ\frac{{\partial f}_2(x_1,x_2)}{{\partial x}_2})x_2=({ϵ}^2\left(\frac{{\partial f}_2(x_1,x_2)}{{\partial x}_2}\right)-{\mathrm{ϵf}}_1(x_1,x_2))$
若取
$\frac{{\partial f}_2(x_1,x_2)}{{\partial x}_2}=0$
或f2和系统状态x1无关
f2(x1，x2)＝f2(x2)
则
$\frac{d^2{x}_2}{{\mathrm{dt}}^2}+ϵ\frac{{\mathrm{df}}_2\left(x_2\right)}{{\mathrm{dx}}_2}\frac{{\mathrm{dx}}_2}{\mathrm{dt}}+x_2={-\mathrm{ϵf}}_1(x_1,x_2)$
令
F(x)＝f2(x2)
和
g(x1，x)＝-εf1(x1，x)
新的函数f(x)为阻尼项的是数
$f\left(x\right)=\frac{{\mathrm{df}}_2\left(x_2\right)}{{\mathrm{dx}}_2}$
或是
$F\left(x\right)={\int }_0^{x}f\left(x\right)\mathrm{dx}---\left(2.34\right)$
其中式(2.34)的初值可以任意但并需有界，则
$\frac{d^{2}x}{{\mathrm{dt}}^2}+\mathrm{ϵf}\left(x\right)\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}+x=\mathrm{ϵg}(x_1,x)---\left(2.35\right)$
2.2调频式耗散系统(Frequency-ModulatedDissipativeSystem)
为了补足动态系统的完整性即一个稳定的动态系统必存在一个耗散系统 [115，Chapter8]、[96，Chapter13]，我们必须建构适当有别在现今以热能为耗散系统 的原理，原因是热不是电力的直接行为所以耗散能量行为需要长时间方可达成， 若以中高频操作困难度颇高，应中高频电路操作需求应付系统所需耗散的能量， 而我们选择能量用以激发频率高速漂移的方式耗散称调频式的耗散系统 (Frequency-ModulatedDissipativeSystem)。以下是数学基础推导部份即 Riemann-Lebesgue引理，因为证明过程提供了非常有用的技巧和多元化的思维， 特别留在本文中加强创新的基础，参考[5，P313]、[33，Page171-174]、[60，Page13]。
2.2.1Riemann-Lebesgue引理(Riemann-LebesgueLemma)
假定Fouries级数的振幅项为g(t)∈L(I)，其中函数g(t)必须有界(无界的部份的 证明详见在[33，Page171-174])，在电力作用区间I内L(I)表示Lebesgue可积，对于 任何实数β，有下列上恒等式
$\underset{\omega \to \infty }{\lim }{\int }_{I}g\left(t\right)\sin (\mathrm{\omega t}+\beta )\mathrm{dt}=0---\left(2.36\right)$
或者令 $\beta =\frac{\pi }{2}+\beta ,$
$\underset{\omega \to \infty }{\mathrm{lin}}{\int }_{I}g\left(t\right)\cos (\mathrm{\omega t}+\beta )\mathrm{dt}=0---\left(2.37\right)$
或
$\underset{\omega \to \infty }{\lim }{\int }_{I}g\left(t\right)e^{t(\mathrm{\omega t}-\beta )}\mathrm{dt}=0$
则方程式(2.36)或(2.37)都称为″Riemann-Lebesgue引理″并且其参数ω任何正 实数可被视为角频率(AngularFrequency)
ω＝2πf
若g(t)为有界的常数且ω＞0，那么很自然的可以将(2.36)改为
$\left|{\int }_a^b\sin (\mathrm{\omega t}+\beta )\mathrm{dt}\right|=\left|\frac{\cos (a\omega +\beta )-\cos (\mathrm{b\omega }+\beta )}{\omega }\right|\le \frac{2}{\omega }$
其中积分上下界必须是在作用区间内
[a，b]∈I
对于不包含边界内任何开子集(a，b)∈I仍可满足(2.37)。
对于任意的正数即ε＞0，必存在一个单步函数(UnitStepFunction)s(t)，使得(详 细证明在参照[5，P264])两函数差的区间内积分仍能满足(2.37)可表达如
${\int }_I|g\left(t\right)-s\left(t\right)|\mathrm{dt}<\frac{ϵ}{2}$
对于存在的正数M使得若ω≥M，
$\left|{\int }_{I}s\left(t\right)\sin (\mathrm{\omega t}+\beta )\mathrm{dt}\right|<\frac{ϵ}{2}---\left(2.38\right)$
仍能满足。因而可以用三角形两边和大于第三边的基本定理写出
$\left|{\int }_{I}g\left(t\right)\sin (\mathrm{\omega t}+\beta )\mathrm{dt}\right|\le |{\int }_{I}g\left(t\right)-s\left(t\right)\sin (\mathrm{\omega t}+\beta )\mathrm{dt}|+\left|{\int }_{I}s\left(t\right)\sin (\mathrm{\omega t}+\beta )\mathrm{dt}\right|$
$\le {\int }_I|g\left(t\right)-s\left(t\right)|\mathrm{dt}+\frac{ϵ}{2}$
$<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ---\left(2.39\right)$
也就是(2.36)或(2.37)已经被证明出来。
回到电力系统上设电压
v(t)＝Vmaxcos(ωt-α)
                      (2.40)
和电流
i(t)＝Imaxcos(ωt+β)
                      (2.41)
那么有效功率或平均功率如式(1.31)可被定义成
$\bar{P}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_0^{T}i\left(t\right)v\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(2.42\right)$
$=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{V_{\max }{I}_{\max }}{T}{\int }_0^T\cos (\mathrm{\omega t}-\alpha )\cos (\mathrm{\omega t}+\beta )\mathrm{dt}$
$=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{V_{\max }{I}_{\max }}{2T}{\int }_0^T\cos (2\mathrm{\omega t}+\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )\mathrm{dt}$
$=\frac{V_{\max }{I}_{\max }}{2}\cos (\alpha -\beta )$
$=\frac{V_{\max }}{\sqrt{2}}\frac{I_{\max }}{\sqrt{2}}\cos \left(\theta \right)$
或
$\bar{P}=\frac{V_{\max }}{\sqrt{2}}\frac{I_{\max }}{\sqrt{2}}\cos \left(\theta \right)$
$=V_{\max }{I}_{\max }\cos \left(\theta \right)---\left(2.43\right)$
其中电流电压的相位差是θ＝(α-β)且cosθ被称为功率因素(PowerFactor)。 可以更进一步定义有效电压Vrms(RootsofMeanSquared)和有效电流Irmz分别如
$V_{\mathrm{rmz}}=\frac{V_{\max }}{\sqrt{2}}---\left(2.44\right)$
和
$I_{\mathrm{rmz}}=\frac{I_{\max }}{\sqrt{2}}---\left(2.45\right)$
若功率因素可以得到是为10即
cos(θ)＝1
            (2.46)
或
θ＝2nπ
且n＝0，1，2，...。对直流电源(2.47)而言，可以得到最大的效率即Pdc(实功率单 位是Watt)是平均功率 (交流电源)的两倍，
$P_{\mathrm{dc}}=V_{\max }{I}_{\max }$
$=2\bar{P}---\left(2.47\right)$
再则可以定义
S＝VrmsIrms
           (2.48)
其单位是VA，最后定义
Q＝Ssin(θ)
＝VrmzIrmzsin(θ)
                  (2.49)
单位是VAR，一般而言供电系统当然是希望(2.49)为零即(2.46)。现今有非常 多的产品致力在功率因素调整以达成省电的目的，例如STMicroelectronics公司的 ″L6561″或IntemationalRectitier公司的″IR1150″等等。但最大的困难是，负载一旦 不连续的变动，功率因素调整就会失效且负作用有可能超出预期，造成不可收拾 的结果解决的道即动态功率因素调整。
2.2.2过剩电能(SuperabundantPower)
何谓过剩的电力呢？考虑一电路有电阻性负载R输入电压为如(2.40)，则电流 为
$I=\frac{V_{\max }}{R}\cos (\mathrm{\omega t}+\alpha )$
而在一周期内平均功率是
$\bar{P}=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{V_{\max }^2{\cos }^2(\mathrm{\omega t}+\alpha )}{R}\mathrm{dt}$
$=\frac{1}{2}\frac{V_{\max }^2}{R}$
$=\frac{1}{R}{\left(\frac{V_{\max }}{\sqrt{2}}\right)}^2---\left(2.50\right)$
要注意的是式(2.50)平均功率 并不等于实功率Pdc
$P_{\mathrm{dc}}=\frac{V_{\max }^2}{R}$
且只有一半而已
$\bar{P}=\frac{1}{2}{P}_{\mathrm{dc}}$
换言的，供电只要一半实功率(或平均功率)系统负载即可工作，当我们以实 功率(2.47)输入时有一半的过剩电力消耗非真正的作功而以热能和电磁波耗散在 大气中。电压以均方根值为(2.44)则
$V_{\mathrm{rmz}}=\frac{V_{\max }}{\sqrt{2}}$
$\cong 0.707V_{\max }$
只是最大电压Vmax的百分的七十而已，平均功率则是均方根值的平方和电导 的乘积如式(2.51)
$\bar{P}=\frac{V^{\mathrm{rmz}}}{R}$
$=I_{\mathrm{rmz}}{V}_{\mathrm{rmz}}---\left(2.51\right)$
因此设计省电(PowerSaving)的功能时，使用交流电源以平均功率供电和功率 因素调整为1.0才有可能达成。特别值得注意的是必须是纯电阻性负载功率因素调 整为1.0时才是真正的省电，但系统阻抗型态多变且随时会有不连续的变化例如电 器设备突然开或关，因此需要俱备动态响应的阻尼方可吸收和调整阻抗做为动态 阻抗匹配的基石，以利创造动态功率因素调整的工作条件。
鉴于(1.56)与[108，P174]、[44]、[30]则电功率必然有多频段的成份隐藏在电力 输送过程，所以电压与电流分别可表达成
$V_{1\mathrm{rmz}}=\sqrt{\underset{h=1}{\overset{h_n}{\Sigma }}\frac{V_h^2}{2}}$
$=\frac{1}{\sqrt{2}}{[V_1^2+...+V_h^2]}^{0.5}---\left(2.52\right)$
和
$I_{1\mathrm{rms}}=\sqrt{\underset{h=1}{\overset{h_n}{\Sigma }}\frac{I_h^2}{2}}$
$=\frac{1}{\sqrt{2}}{[I_1^2+...+I_h^2]}^{0.5}---\left(2.53\right)$
其中常数hn为最大可侦测的谐波级数。
谐波总扭曲量(TotalHarmonicDistortion或THD)的量度有如以下的定义[24]、 [108]、[44]，
$\mathrm{THD}=100\left(\frac{I_{\mathrm{dizt}}}{I_1}\right)---\left(2.54\right)$
其中式(2.54)中令
$I_{\mathrm{dizt}}=\sqrt{\underset{h=2}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{I_h^2}{2}}$
且电流均方根值式(2.53)可以用谐波总扭曲量表示
$I_{1\mathrm{rms}}=\sqrt{I_1+\underset{h=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{I_h^2}{2}}$
$=I_1\sqrt{1+{\mathrm{THD}}^2}$
除此的外有另一个谐波总要求扭曲量(TotalDemandDistortion或TDD)的量度 是
$\mathrm{TDD}=\frac{\sqrt{\underset{h=2}{\overset{h_n}{\Sigma }}\frac{I_h^2}{2}}}{I_{\mathrm{peak}}}---\left(2.55\right)$
其中
0≤hn＜∞
而Ipsak是量测过程曾出现峰值的最大值。观察式(2.54)或(2.55)，若没有被激发 出谐波频率时
THD＝TDD＝0
也就是电力系统没有谐波。
2.2.3省电原理(PrincipleofPowerSaving)
以下是动态功率因素调整(DPFC)或泛交换式电源 (Switching-modePowerSupply)的省电原理的推导，首先对于每一个作用周期1，平 均功率是从式(2.42)和(2.36)或(2.37)少了取极限的运算。依据(2.36)、(2.37)、(2.42)、 (2.49)与级数是数必须符合Parseval恒等式和均匀收敛的性质 (UniformConvergence)[33]、[5]，若要消除(2.49)只要在(2.36)将极限的运算往高频 移动称的调频，也就是从基频ω0延伸至ω而且可以是无穷大，在此过程中必存在 一个频率ωrms且
ωrms＞ω60，ω50
其中ω60与ω50为基频60Hz与50Hz的角频率，因此(2.37)变成了(2.42)，用数学 表达成其存在一个ω致使
$\underset{\omega \to {\omega }_{\mathrm{rms}}}{\lim }{\int }_{I}g\left(t\right)\cos (\mathrm{\omega t}+\beta )\mathrm{dt}=I_{\mathrm{rms}}{V}_{\mathrm{rms}}$
$=\frac{I_{\max }{V}_{\max }}{2}---\left(2.56\right)$
或以频率ω为所需找寻的变数
${\omega }_{\mathrm{rmz}}=\underset{\arg \left(\omega \right)}{\min }|I_{\mathrm{rmz}}{V}_{\mathrm{rmz}}-{\int }_{I}g\left(t\right)\cos (\mathrm{\omega t}+\beta )\mathrm{dt}|---\left(2.57\right)$
$=\underset{\arg \left(\omega \right)}{\min }|I_{\mathrm{rms}}{V}_{\mathrm{rms}}-\underset{h=1}{\overset{h_n}{\Sigma }}{g}_h\left(t\right)\cos ({\omega }_{h}t+{\beta }_h)|---\left(2.58\right)$
其中振幅gh(t)可被视为电流ih(t)与电压vh(t)振幅的乘积
gh(t)＝ih(t)vh(t)
从式(2.56)，我们可以得到固定脉宽调变(PWM)即直流电被频率ωrms所调变得 到平均功率或者我们称的交换式电源。若要更进一步实施动态功率因素调整显然 不能用固定脉宽调变，对于每一个工作周期内ωrms必须由负载大小与型态(电阻 性、电容性、电感性)决定且必须在动态阻抗匹配完备后方可实施。
2.2.4锁相回路(Phase-LockedLoop)
值得一提的好处从式(2.58)和(2.2.1)节中相位-振幅的函数关系，发现其相位差 可以被侦测出来如Δφ
Δφ＝βrms-β0    (2.59)
其中β0是输入的参考相位而βrms是相对应在ωrms所被侦测出来的相位，因此 (2.59)变成了设计锁相回路的通式(Phase-LockedLoop)。
2.2.5频率调变耗散(Frequency-ModulatedDissipativeMethod)
更进一步的观察Riemann-Lebesgue引理如式(2.37)与(2.36)和(实施2.2.1)节中 频率-振幅的函数关系，若将(2.56)的频率ωrms逼近无穷大或远大于基频
ωrms＞＞ω60，ω50
则因满足Riemann-Lebesgue引理结果是造成了电功率被频率ωrms调变而稀释 (Attenuation)和耗散(Dissipation)掉，
$\underset{{\omega }_{\mathrm{rms}}\to \infty }{\lim }{\int }_{I}g\left(t\right)\cos (\mathrm{\omega t}+\beta )\mathrm{dt}=0---\left(2.60\right)$
因此式(2.60)成了带通滤波器(BroadbandBand-pass Filter)或全域滤波器 (All-passFilter)的骨干，也是频率调变耗散单元
(Frequency-ModulatedDissipativeUnit)设计原则，可以取代现今所使用以温度耗散 的剎车单元(BrakeUnit)，有效降低系统温度。由于频宽没有明显的限制即
0≤ωrms＜∞
因此对任意波频均有响应，对于频宽待定的系统不外乎是一大福音，例如已 知电力系统中必包含谐波成份但频段不定，随时都在变动有了几乎是全通滤波器 后谐波成份即可被分离出来，并且用频率调变耗散单元″抖″掉(DampedOut)又不会 招致高温的负作用，又不需额外安装散热系统。对已知频道的天线设计更能彰显 此种带通滤波器的优点即随时保持高感度(HQ)、天线型状(Pattern)不限、不需要 复杂计算。若当动态适应性阻尼可以将系统稳定化，可适应突然的变动，设计上 可以减少相当多的心力与花费。
2.2.6再生电力回收(RegeneratingPowerRecycled)
从收敛性的参数的选择如在式(2.39)的ε，将给我们在省电和过剩电力或再生 电力(RegeneratingPower)回收有莫大的启发。当式(2.39)的ε如
$ϵ=\underset{\arg \left(h_n\right)}{\min }\left[\frac{V_{\mathrm{rmz}}}{V_{\mathrm{sys}}^{h_n}}\right]$
其中Ishshn是系统能耐的电压值而M的选择可设成调频的最高频ωrmshn
$M$${=\omega }_{\mathrm{rms}}^{h_n}$
$=\underset{\arg {(h}_n)}{\max }\left[\frac{V_{\mathrm{rms}}\left({\omega }_{\mathrm{rms}}\right)}{V_{\mathrm{sys}}^{h_n}\left(\omega \right)}\right]---\left(2.61\right)$
或者
$M={\omega }_{\mathrm{rms}}^{h_n}$
$=\underset{\arg {(h}_n)}{\max }\left[\frac{I_{\mathrm{rms}}\left({\omega }_{\mathrm{rms}}\right)}{I_{\mathrm{sys}}^{h_n}\left(\omega \right)}\right]---\left(2.62\right)$
其中Isyshn(ω)、Isyshn(ω)分别是最大能耐电压与电流。因为我们需要单一频率的供 电，但电力响应会产生或再生成份的电力夹杂引发电力污染。当将(2.61)或(2.62) 套入(2.56)，
$\underset{\omega \to \omega h_n}{\lim }{\int }_{I}g\left(t\right)\cos (\mathrm{\omega t}+\beta )\mathrm{dt}=I_{\mathrm{rms}}^{h_n}{V}_{\mathrm{rms}}^{h_n}+\zeta ---\left(2.63\right)$
或用离散型式表达
${\xi }_{\omega h_n}=\underset{\arg \left(\omega \right)}{\min }|I_{\mathrm{rms}}^{h_n}{V}_{\mathrm{rms}}^{h_n}-\underset{h=1}{\overset{h_n}{\Sigma }}{g}_h\left(t\right)\cos ({\omega }_{h}t+{\beta }_h)|$
其中当用了ωrmshn调频后，ζωhn是必须被吸收或再生的电力即可回收的部份且
$\omega <{\omega }_{\mathrm{rms}}^{h_n}$
那式(2.63)的左边相较在(2.56)已不再有破坏性。因此想要回收或稀释就变得 简单，系统干扰自然就降低了许多，电力也纯化达到双赢。
由于调频的操作频宽是全域即
0≤ω＜∞
若可以找到最佳的操作点ωrms而从平均功率(2.42)的定义与取样定理 (NyquistSamplingTheorem)[103，Page39-43]得知
ωrms≥2ω60
或
ωrms≥2ω50
则电力可以得到最好的供电质量(PowerQuality，PQ)即平均功率且功率因素为 1.0，不会有谐波干扰。
2.2.7电的弹性(ElasticityofElectricity)
更进一步观察式(2.60)和(实施2.2.1)节中频率-振幅的函数关系，g(t)表示功率 的振幅部份换言的频率-振幅相关称的频率-振幅关系 (Frequency-AmplitudeRelationship)参照[30，chapter3]，其一是频率被拉 越高振幅就越小，我们视的振幅g(t)被频率给稀释了即调频式耗散 (Frequency-ModulatedDissipation)。其二是振幅-频率关系可视的犹如弹性体受力变 形又移除施力又可回复的应力应变的弹性行为如
σ＝H(ε)
其中σ，ε分别是应力和应变[10]、[70]、[53]、[91]，仿照上式称的电的弹性 (ElasticityofElectricity)如
ω＝ω(g(t))
                (2.64)
其中越高的频率是被越高的功率所激发，ω称为自激振荡频率 (Self-ExcitedFrequency)，这里要注意其振幅项无论是加、乘或微分都不会有频率 项出现，满足Planck定理中式(1.59)，所以我们已经将系统的频域与频谱分布 (PowerSpectrumDistribution)确立。
再则因为电的弹性，一旦不供电频率就回到零周而复始，频率的高低是由输 入大小所决定而非人为，此乃适应性(Adaptivity)的关键。一旦激发振荡频率会从 零到和输入功率相对应高的频率，可以和系统频率共振响应，同时也改变了相对 的阻抗值。基于抵消电的弹性或对系统滤波，(2.64)提供了依据即可找寻这类性质 的材料做为设计系统的依据。比较前述介电材料性质，一旦受到电的刺激自激振 荡频率会被诱发而漂移，阻值会迅速改变即
R＝R(ω)
将(2.64)代入则
R＝R(ω(g(t)))
             (2.65)
我们已经了解动态适应性阻尼的设计核心了。
自激系统式(2.31)的扰动法(PerturbationMethod)求解如式(2.18)[30]、[86]、[7] 中，和(解析1.1.3)节振幅和频率互相独立的结果比较，我们发现系统必须有自激 系统的性质即会因微小参数ε造成扰动而产生无穷级的周期解，主要的贡献是来自 非线性阻尼函数，凭借(2.64)建立振幅和频率相关，这是以Fourier级数处理非线 性系统所损失的系统性质。
2.3系统稳定化(SystemStabilization)
系统稳定化的分析基本上分两条不同路径实施，其一是由数学大师 StephenSmale领军，由十九世纪法国数学家Poincaré打开动态系统分析，接着 Birkhoff、Lyapunov、Hadamard、Perron、Morse、Fatou、Julia等等大师的贡献， 乃至于StephenSmale在六零年代集总成，方法是在不对系统积分求解下，Poincaré 截面上的全域行为(即Diffeomorphism[8])和结构性稳定，即可得知系统是否稳定。 在此是指定Liénard稳定化系统的条件下，设计出动态系统所需的阻尼。因为定 理证明冗长，只取定理内容和结果不提供证明。
为了利于说明动态系统分析和伴随的数学原理，特别将分析的定义和结构性 稳定(StructuralStability)的定义陈列如下：
定义 3设动态系统是结构性稳定即系统状态建构的紧致(Compact)的拓朴空 间(相平面)上受到干扰后系统状态M2仍然可以和系统初始状态M1等价，其中系 统状态建构的拓朴空间最直接的方法是非退化性的正则转换(Legendre转换)， 而拓朴等价关系就是以Diffeomorphism且SymplecticDiffeomorphism等基础。
但因紧致的拓朴空间M1、M2中依据拓朴分析的Poincaré等索引定理 (PoincaréIndextheory)[86Chapter3]、[8，Chapter3]、[6，Chapter5、[39，Section16.2]、 [7，Page416-424]得知，拓朴空间M1、M2有可能包含了限个奇异点
(SingularityPoints)即不连续的点，而且这些有限个奇异点在原状态空间是不可 观测，但却有拓朴转换中的不变量(TopologicalInvariant)的基本性质。换言的， 因为采用非退化性的正则转换，将原状态空间转换相平面的拓朴空间上或是对偶 空间上，在对偶空间上有限个奇异点成了可观测的拓朴转换不变量，充份表现出 系统对偶性的解析所带来更清晰的系统刻划。
由动态系统的物理直观，奇异点出现在例如车辆撞到不平整的路面、电力系 统中电器设备电源插头的插拔等等数学模型无法描述的状态变动或跳跃，由系统 对偶性的解析可以隔离奇异点(IsolatedSingularityPoints)，确保系统的周期性稳 定，即在紧致的拓朴空间M1、M2中的测地线必定是封闭的(ClosedGeodesic) [39，Section10.2d]。
定义4(LimitPoint)若p∈E是一个在系统(2.66)
$\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=g\left(x\right)---\left(2.66\right)$
轨迹φ(x，t)的ω型极限点(ω-limit ptoint)，则存在一个序列tn→∞使得
$\underset{n\to \infty }{\lim }\phi (t_n,x)=p$
相同的做法只是时间倒走即存在一个序列tn→-∞使得
$\underset{n\to -\infty }{\lim }\phi (t_n,x)=q$
其中q∈E·q是α型极限点(α-limit point)。由此极限点所组合而成的集合称极 限集(LimitSet)，而极限集是系统(2.66)轨迹的必经的处即轨迹φ(t，x)不变量，由系 统状态所组成的坐标形成相平面[6，Chapter1，2，5](PhasePlane)。
定义5(AttractingSet)设一个闭集AE称为系统(2.66)的吸引集则若俱有存在 A的子集U且x∈U，φ(t，x)∈U，则对t≥0对所有的点φ(t，x)→A。
按照吸收的定义如式(1.3)即轨迹的点被吸引集所吸收了。且若已知p点是ω型 极限点或是α型极限点而只要流经的轨迹即称的极限轨迹(LimitOrbit)。且又因极 限集是轨迹的不变量，换言的极限轨迹必定存在，存在性对于Poincaré截面法即 在系统(2.66)极限轨迹找到横截面，观察横截面上极限点的行为并且确立是否周期 解，因此存在性对于Poincaré截面法的建立给了理论上存在性的支持。直观上若 系统(2.66)极限轨迹是封闭的，则极限轨迹在每一周期内必然通过横截面上极限 点。如果俱有多周期性或多频牵的极限轨迹，那么极限轨迹必然通过横截面但极 限点会变成极限集或吸引集，也可以说横截面是极限集或吸引集所展成 (Spanned)。
定义6(Oscillation)[5，Page98，170]令φ(t，x)是由系统(2.66)所定义且在S内有界， 如果TS则定义有一个数如
Ωφ(T)＝sup{φ(t，x)}-φ(t，y)∶x∈T，y∈T，t≥0}
那么Ωφ称为在空间T上φ(t，x)的振荡(Oscillation)。
有了振荡的定义后我们可检视Poincaré截面法上极限轨迹若单一频率则Ωφ(T) 必为零
Ωφ(T)＝0
但多频牵的极限轨迹就不一定为零，可以为零的条件是谐波或次谐波存在。
定义7(LimitCycle)系统(2.66)的极限循环Γ是由α型极限集或ω型极限集但不 是Γ本身所形成的轨迹。
一般而言若是ω型极限集所形成的轨迹俱备渐近收敛的性质称稳定的ω型极 限循环，反的称不稳定的α型极限循环。定义极限循环的目的在非线性系统分析 方法中，全域分析(GlobalAnalysis)是在不对系统(2.66)积分求解的条件下，由极限 循环得知系统(2.66)的收敛行为是首要的性质。
定理8ERn为开子集并且系统(2.66)中相平面的函数f∈C1(E)是在开子集E 一阶微分连续。同时令φ(t，x0)是系统(2.66)的周期解周期是Γ且其循环(Cycle)Γ
Γ＝{x∈Rn|x＝φ(t，x0)，0≤t≤T}
一定落在E内。令∑是在点x0和Γ正交的曲面，也就是
∑＝{x∈Rn|(x-x0)(x0)＝0}
那么存在一正数δ＞0和惟一函数τ(x)在符合前述的定义的条件下，对所有的 x∈N5(x0)则有τ(x0)＝T且
φ(τ(x)，x)∈∑
也就是解必落在截面上。若存在有周期解，截面∑一定可以在x处截下φ(τ(x)，x) 致使截面∑是由周期解的极限集所组成，同时必定是固定点[5，Page92]、 [35，Vol2，Part5，Page664]。
定义9(PoincaréMap)承袭上面理论和定义，设∑、Γ、δ、τ(x)都如同上述的定 义，那么对于共同存在于相平面和截面上的极限点即x∈N5(X0)∩∑其中x的邻域 N5(x0)一定稠密(Dense)的，则存在一个函数
P(x)＝φ(τ(x)，x)    (2.67)
即以τ(x)周期回到截面上恒成立，式(2.67)被定义在x0处对应在Γ的Poincaré 截面(PoincaréMap)。
同时因为式(2.67)中极限集时间逆行是被允许，且一阶微分连续不会退化因此
P-1(x)＝φ(-τ(x)，x)
                      (2.68)
(2.67)和(2.68)是完备的微分拓朴结构即P(x)俱有Diffeomorphism。从 [35，Vol2，Page575-588]得知Poincaré截面有Diffeomorphism性质，是全域性质即 俱有全域稳定性(GlobalStability)[86，Chapter3]，最直接的好处即只要找到一个系统 (2.66)相平面截面，只要轨迹是封闭的或是系统(2.66)有周期解则可断定系统(2.66) 是稳定[47，Chapter11]、[35，Vol.2，Page664-738]，同时也能够提供结构性稳定 (StructuralStability)[35，Vol.2，Part5，Page739-758]、[8，Chapter3]、[86，Chapter4]的积 极证据，就不需再找其它截面做稳定性检测，而非对系统以积分为手段找出微分 方程式的解再进一步判断系统是否稳定，此外也会找到Hopf分叉的分叉条件 [86，Chapter4]。只要是有Diffeomorphism性质的系统所有的周期解 一定会收缩到极限轨迹成为极限循环，在相截面上因频谱分解定理 (SpectralDecompositionTheorem)[91，Page537]必定是稠密的，其意义是系统所有的 周期解穿越相截面所对应的频谱已经被解析，这个相截面即是系统的全域的频谱 分析仪(SpectralAnalyzer)，立即说明了谐波和次谐波必然发生同时也被相截面所 侦测，且每一解穿越的极限点彼此间是局部共轭(LocalConjugation)[91，Chapter7]， 截面即共轭极限集所展成的对偶拓朴空间(DualTopologicalSpace)，以分析的角度 而言对这个偶拓朴空间即是Hilbert空间，生成函数伴演同一截面极限点间的连结 角色，依据平衡如式(1.15)的定义，相平面的封闭轨迹在相截面上基于共轭是和谐 平衡(HarmonicBalance)。
进一步的观察是如(实施2.2.1)节的说明，俱有周期解的非线性自激系统如式 (2.15)，由扰动法对周期解的展开得知谐波和次谐波是来自系统的瞬时解，阻尼项 伴演关键性的角色，也就是设计非线性自激系统的阻尼函数 ，即可得到频
率-振幅以及相位-振幅关系，再则套用(实施2.2.2)节的调频式耗散原理(频率-振 幅)与锁相回路原理(相位-振幅)，系统对偶性与全域稳定性即可完全被解析，以 下就是非线性自激系统的阻尼函数 的设计准则。
在[86，Page253-260]已经证明了(2.69)只存在唯一的极限循环，比较(2.69)和 (2.32)或(2.33)，
$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=y-F\left(x\right)\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}=-g\left(x\right)\end{array}---\left(2.69\right)\right.$
若(2.69)中的F和f、g函数有以下的关系：
f(x)＝F(x)
与令f、g函数由积分所定义
$F\left(x\right)={\int }_0^{x}f\left(s\right)\mathrm{ds}$
$G\left(x\right)={\int }_0^{x}g\left(s\right)\mathrm{ds}---\left(2.70\right)$
比较式(2.35)与[86，Page136]，已经证明了其两系统是等效的，因此(2.69)改成 二阶微分方程式如
$\frac{d^{2}x}{{\mathrm{dt}}^2}+f\left(x\right)\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}+g\left(x\right)=0---\left(2.71\right)$
若给定f(x)如下μ是系统参数
f(x)＝μ(x2-1)
那么式(2.71)改成
$\frac{d^{2}x}{{\mathrm{dt}}^2}+\mu (x^2-1)\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}+g\left(x\right)=0---\left(2.72\right)$
这是有名的vanderPol系统方程式也是真空管放大器电路(Vacuum-Tubecircuit) 的状态方程式如式(1.26)，同时也被证明出来系统(2.71)只存在一个极限循环且有 周期稳定，更好的结果是和(2.32)或(2.33)比较后得知(2.71)是自激振荡，发生自激 振荡的条件被系统参数μ所决定，也就是存在Hopf分叉。
定理10(Liénard定理)[86，Page253-265].设函数F如图23所示，g∈C1(R)一阶 微分连续，且F和g必是x的奇函数，令F(0)＝0，F1(0)＜0，F只有一个在x＝α的 零点同时F是单调上升即在x≥α后x→∞，F→∞。则系统(2.69)只存在唯一的极 限循环且有周期稳定。
由[47，Page216-226]、[30，Chapter10，Page387-388]、[86，Page136，253-264]提供 了Liénard系统可稳定化的推导证明，我们观察到几个重要的结果：如图23所示
系统总等效阻抗(Impedance)如式(2.70)中的函数F不能是常数，但也不是时间 的显函数(ExplicitFunction)，在已知总等效阻抗条件下，要实施动态阻抗匹配只有 配置虚拟负载(VirtualLoadingAllocation)即可。
必存在特定参数使得系统可被参数化，参数变动可以产生总等效阻抗变动和 系统相对应的阻尼值，造就了动态适应性阻尼器的设计雏型。
系统状态必须周而复始的运行即存在周期解(PeriodicSolution)或是极限周期 (LimitCycle)表示且以Poincaré截面法验周期性稳定，自然而然的截面的生成函数 刻画出系统对偶性，致使全域滤波器作用的确立。
系统存在分叉点且必须周而复始的跨越分叉点即Hopf分叉，使得系统保持和 谐平衡也解决系统饱和问题。
2.4频谱电阻、频谱电容与无穷级共振舱
(SpectralResistor，SpectralCapacitor，Order-∞ResonantTank)
由串联、并联谐振电路在Liénard稳定化得知，其阻抗性质刚好相反，但同 时要出现在系统上才有分叉现象。所以结合了串联(1.5)、并联(1.4)谐振电路可以 变成了串并谐振电路如图24，此刻串并谐振已经是特定频段(SpecificBandwidth) 的共振舱(ResonantTank)了[43，Page173]、[8，Chapter4，5]、[7，Page385-398]、 [30，Page163]、[53，Page604]、[118，Vol2，Chapter22，23]、[108，Chapter6]。
而其相对应的系统阻抗(Impedance)是
z＝zp+zs              (2.73)
＝Rsp+iQsp            (2.74)
其中实部与虚部分别是
$R_{\mathrm{sp}}=[\frac{R_p}{1+R_p^2({\mathrm{\omega C}}_p-\frac{1}{{\mathrm{\omega L}}_p}{)}^2}+R_z]$
和
$Q_{\mathrm{zp}}=[({\mathrm{\omega L}}_z-\frac{1}{{\mathrm{\omega C}}_z})-\frac{R_p^2({\mathrm{\omega C}}_p-\frac{1}{{\mathrm{\omega L}}_z})}{1-R_p^2{({\mathrm{\omega C}}_p-\frac{1}{{\mathrm{\omega L}}_z})}^2}]$
在并联谐振部份阻抗可以加以计算如下
$z_p=\frac{1}{\frac{1}{R_z}+i({\mathrm{\omega C}}_p-\frac{1}{{\mathrm{\omega L}}_z})}$
$=\frac{R_p-{\mathrm{iR}}_p^2({\mathrm{\omega C}}_p-\frac{1}{{\mathrm{\omega L}}_z})}{1+R_p^2{({\mathrm{\omega C}}_p-\frac{1}{{\mathrm{\omega L}}_z})}^2}$
而串联谐振部份阻抗如下
$z_z=R_z+i({\mathrm{\omega L}}_z-\frac{1}{{\mathrm{\omega C}}_z})$
由于共振条件或者在阻抗匹配的条件发生在(2.74)的虚部为零如式(1.29)，所 以令
Qsp＝0    (2.75)
因此
$({\mathrm{\omega L}}_z-\frac{1}{{\mathrm{\omega C}}_z})=\frac{R_p^2({\mathrm{\omega C}}_p-\frac{1}{{\mathrm{\omega L}}_z})}{1+R_p^2{({\mathrm{\omega C}}_p-\frac{1}{{\mathrm{\omega L}}_z})}^2}---\left(2.76\right)$
进一步的导证其中Rp2可用式(2.77)表达
$R_p^2=\frac{({\mathrm{\omega L}}_z-\frac{1}{{\mathrm{\omega L}}_z})}{({\mathrm{\omega C}}_p-\frac{1}{{\mathrm{\omega L}}_z})-{({\mathrm{\omega C}}_p-\frac{1}{{\mathrm{\omega L}}_z})}^2({\mathrm{\omega L}}_s-\frac{1}{{\mathrm{\omega C}}_z})}$
$=\frac{({\omega }^2{L}_z{C}_z-1){\omega }^2{L}_p^2}{(1-{\omega }^2{p}_2+{\omega }^4{p}_4-{\omega }^6{p}_6)}---\left(2.77\right)$
其中是数分别是
p2＝(CsLp+CsLs+2CpLp)
p4＝2CpLp(LsCs-CsLp+CpLp)
和
$p_6=C_p^2{C}_z{L}_p^2{L}_z$
且这里所用的电容Cs和Cp是介电电容(DielectricCapacitors)，式(2.77)中因Rp2 是平方项就提供了有选择正或负电阻型态的理由。
观察式(2.77)ω已经不可能和Rp直接分解，只可以直接得到
Rp＝Rp(ω)
           (2.78)
即电阻值是ω的函数，换言的一旦将Rp(ω)放入图24中，式(2.74)中虚部为零 实部会造成纯电阻性的阻抗
$z\left({\omega }_y\right)=[\frac{R_p\left({\omega }_y\right)}{1+R_p^2\left({\omega }_y\right){({\omega }_y{C}_p-\frac{1}{{{\omega }_{y}L}_p})}^2}+R_s]---\left(2.79\right)$
其中ω已经换成了共振频率ωy。如此的组态下，Rs的选择是要特别被考虑， 显然式(2.79)中纯电阻性的阻抗即只剩下实部
z(ωy)≠0
           (2.80)
不能是零，否则会有短路的疑虑。
要符合系统结构性稳定的定性条件，自激系统如(2.2.1)节即是二阶非线性 动态系统的特例，再者要能够有稳定的定性条件结果是阻抗函数F的给法如(实 施2.2.3)节的说明，即观察图23的广义Ohm定律函数F的给法获得灵感，这对 RP与RS的选择有绝对的影响，因为只剩下实部式(2.79)中z(ωy)具有图23中广义 Ohm定义函数F的同样型态。
我们发现有下列三种状态连续转移
其一是F＜0且 $\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{dx}}=f\left(x\right)<0$ 依据(说明二)节定义其相对应的瞬时平衡点即并 联谐振吸收源但串联谐振流出源，
其二是F＜0但 $\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{dx}}=f\left(x\right)=0$ 在(说明二)节其相对应的瞬时平衡点即分叉点，
其三是F＜0但 $\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{dx}}=f\left(x\right)>0$ 会穿越F＝0但 $\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{dx}}=f\left(x\right)>0$ 也就
是不会停留最后转移到全部是正数F＞0且 $\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{dx}}=f\left(x\right)>0$ 依据(说明二)节其相 对应的瞬时平衡点，即串联谐振吸收源但并联谐振流出源，一旦周期结束必须快 速回到第一种状态即快速回复性(FastRecovery)，其中x在相平面是电压或电流。
回顾式(2.64)中自激频率ω被功率P大小或振幅所决定，处处有相对应的瞬时 平衡点，而式(2.78)中电阻值是被自激频率所决定，因此我们递移电阻值可被功率 P大小所决定。其中功率依(2.43)的定义将
$\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{dx}}=f\left(x\right)$
的x换成电功率P或ω均可如
$\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{d\omega }}\frac{\mathrm{d\omega }}{\mathrm{dx}}$
$=f\left(\omega \right)\frac{\mathrm{d\omega }}{\mathrm{dx}}---\left(2.81\right)$
这个变量变换的目的是在找寻系统可用的参数，因而式(1.49)中的

项即可协助系统操作调频的依据，并将系统成功的被ω参数化。基于快速回 复性显然这种电阻是有频率响应，因为不同频率作用都要能快速回复，否则会饱 和系统发散。
综合而论基于满足式(2.80)的要求，式(2.78)可正或负的选择且上述三种状态 连续转移会同时发生，因此Rs、Rp的选择性质
第一是Rs和Rp共轭但绝对值不能相同且要有上述三种状态连续转移，式(2.81) 引入ω参数后F(x(ω))＝F(ω)。
其中Rs、Rp代入ω参数而状态x就和Rs、Rp有函数关系x＝x(Rs(ω)，Rp(ω))。
第二是Rs＝Rs(ω)
                 (2.83)
与Rp＝Rp(ω)
                 (2.84)
电阻值不能固定即
$\left(\frac{{\mathrm{dR}}_s}{\mathrm{d\omega }}\right)\left(\frac{{\mathrm{dR}}_p}{\mathrm{d\omega }}\right)\ne 0.$
为了满足稳定化的需求特别选定选定Rs、Rp的性质
$\frac{{\mathrm{dR}}_s}{\mathrm{d\omega }}>0---\left(2.85\right)$
$\frac{{\mathrm{dR}}_p}{\mathrm{d\omega }}<0---\left(2.86\right)$
通常是斜率为正的部份比较大
$\left|\frac{{\mathrm{dR}}_s}{\mathrm{d\omega }}\right|>\left|\frac{{\mathrm{dR}}_p}{\mathrm{d\omega }}\right|$
而因为负阻的范围通常很小且式(1.30)和(1.27)即
Rp(ω)＞0
和
Rs(ω)＞0
从式(2.70)可以将初值可以平移但必须有界，系统方程式(2.71)仍满足(实施 2.2.3)节的条件，不再需要负电阻也就是说
Rp(ω)＜0
其初值选定如
Rs(ω)，Rp(ω)∈O(1)
一旦作用因为斜率不为零各往其相对应的方向上升或下降如式(2.85)、(2.86)， 因而满足前述种种要求。
选定电阻的作用型态后如式(2.85)、(2.86)，式(2.79)要改为
$z\left({\omega }_y\right)=[\frac{R_p\left({\omega }_y\right)}{1+R_p^2\left({\omega }_y\right){({\omega }_y{C}_p-\frac{1}{{{\omega }_{y}L}_p})}^2}-R_s\left({\omega }_y\right)]---\left(2.87\right)$
将Rs部份换成了有频率响应并满足前述的的电阻，电感值Lp通常由系统等效 贡献，此时此刻式(2.79)的阻抗值是″活″的，由输入功率产生所需的阻抗值即适应 性阻抗，同时ωr也会被激发，扫过系统可能的响应频段并与系统共振频率ωr自动 耦合(Coupled)，也可以说是萃取(Extraction)，更可视为天线的对准讯号的中心频 率；换言的所耦合频率都是系统共振频率ωr，特别的是基于Poincaré截面法截面 上的极限子集都是稠密的性质以及Liénard系统中的阻抗是活的如式(2.87)，因此 会创造出对应在适应性阻抗的无穷个极限子集，那么对应在共振舱如图24即可萃 取无穷多个共振频率，而这个共振舱已经是有无穷多个共振频率所组成，在物理 学上称为无穷级共振舱(Order-∞ResonantTank)。
在(解析1.1.1)节中，千辛万苦定义Hamilton函数如式(1.50)、正则转换 (1.45)和(1.46)、作用变量(1.43)或(1.44)、作用角度以及相对应的生成函数(1.48)和 (1.47)，不外乎是要得到系统响应率式(1.52)和其不变量。但系统的Hamilton函数 通常会很复杂，不易建立精准数学模型，则要透过(解析1.1.1)节所分析的结果找 到系统响应频率，使得数学模型复杂、计算求解困难且和数学模型误差，通常会 使得系统分析变得难以解析。有了无穷级共振舱与系统响应频率ωr自动耦合并且 萃取出来，使得原本复杂的数学模型以适应性(自动且动态得到对佳耦合即共振) 的全域设计(不需对系统方程式以积分求解)，提出如(解析1.1.1)节分析方法的解 决方案。
共振曲面(ResonanceHypersurface)[8，Chapter4，5]已被共振频率所展成，系统性 质可由共振曲面萃取加以识别(Identification)。典型例子如截面上所有的极限子集 都是系统对偶性质所形成的曲面，而截面和由无穷共振舱所组成的共振曲面都俱 有Diffeomorphism，系统对偶性解析即可被共振曲面完整表达，系统对偶性质完 全被无穷级共振舱萃取。
由量子论观点量子群所俱备的能量可以由Planck公式如式(1.58)表的，若可 用无穷级共振舱分解能量所相对应频谱(ω1，ω2，...，ωn，...)并加以萃取，
E＝h∫1dω
因而可对高能粒子或核废料做电能的萃取即发电，可称为核电池 (RadioactiveBattery或NuclearCell)，这些已存在的核废料可连续供电长达百万年 甚至亿万年，不再以核分裂或融合的极端不稳定的方式发电，不断的制造核废料。
式(2.83)和(2.84)给了我们很重要的启发；这是新一类的电阻，我们特称式(2.84) 和(2.83)为频谱电阻10A(SpectralResistor)并给定特质化的符号如图25所示：首先 是在频率上工作以字母″f″为基础，其中央斜线部份是代表阻抗值是会随着频率的 激发而快速漂移，而斜线尖端的双向双箭头即表双向快速变动且不会饱和，并且 用短斜线表示快速收敛在平衡点上和回复的性质，水平线表示俱有功率稀释作用， 头和尾的白点是吸收源而黑点表示流出源，三条和f交叉斜线表示对偶性质。凭借 助系统模拟得知电阻必须要有频率响应且有频宽才能做为动态系统的阻尼，如今 有了频谱电阻的设计，阻尼自然相伴而生。
无穷级共振舱除了图24外尚有如图26、27和28的组合如图26所示，这是 个共享电感的无穷级共振舱，其中Rs、Rp一定是频谱电阻。如图27这是个共享电 感的无穷级共振舱，其中Rs、Rp一定是频谱电阻，如图28这是个共享电阻的无穷 级共振舱，其中Rs、Rp一定是频谱电阻，如图29这是个共享电感、电容和电阻的 无穷级共振舱，其中Rs、Rp一定是频谱电阻，比较图29、28、27、26、24，保持 不变的组态的是Rs、Rp一定是频谱电阻，这是用人工创造的Hopf分叉条件。在此 尝试了下列材料如GaAs[9，Chapter14]、BaTiO3[118，Vol2，Chapter11]和[9，Chapter14]、 金属氧化物[9，Chapter14]、[108]、Gunn二极管(GunnDiode)[120，Page328]或透纳二 极管(TunnelDiode)[47]等等而且都符合预期结果。
2.5全域滤波器(All-passFilter)
基于滤波器的定义[118，Vol2Chapter22]，全域滤波器对所有的频率必须有响 应。将式(1.7)和(1.8)中令
Qs＝Qp
并Rs、Rp分别代入(2.83)和(2.84)则
$\frac{1}{R_s\left(\omega \right)}\sqrt{\frac{L}{C}}=R_p\left(\omega \right)\sqrt{\frac{C}{L}}$
也就是Rs(ω)、Rp(ω)的变动使得系统的LC的变动
$R_s\left(\omega \right)R_p\left(\omega \right)=\frac{L}{C}---\left(2.88\right)$
从式(1.9)、(1.10)得知频宽并代入(2.88)
${\beta }_p=\frac{1}{R_p\left(\omega \right)C}$
和
${\beta }_s=\frac{R_s\left(\omega \right)}{L}$
因此已选择成如(2.86)
Rp(ω)→0
          (2.89)
且式(2.85)
Rz(ω)→∞
         (2.90)
使得式(2.88)电感、电容呈相对的变动，则图29、28、27、26、24都是全域 滤波器即
0≤ω＜∞
频宽是无穷大称全域滤波器。
2.6频谱电容(SpectralCapacitor)
由式(2.88)得知电容量C
$C\left(\omega \right)=\frac{L}{R_s\left(\omega \right)R_p\left(\omega \right)}---\left(2.91\right)$
被Rs(ω)、Rp(ω)的乘积所决定，其中电感量是固定值。Rs(ω)、Rp(ω)随着式(2.90)、 (2.91)的变动而使得电容量C(ω)有着大范围的更动，而且随着频谱电阻的适应性而 创造新的电容称的频谱电容10b，相对应的符号如图30所示，其中和频谱电阻 最大的差异性多了两片介电极板水平粗黑并行线，且不需稀释作用的中心水平线。 在式(2.91)中，将电容电感互换位置
L(ω)＝CRs(ω)Rp(ω)
                      (2.29)
Rs(ω)、Rp(ω)随着式(2.90)、(2.89)的变动而使得电感量L(ω)有着大范围的更动， 得到了频谱电感(SpectralInductance)。
2.6.1全域锁相回路(BroadbandPhase-LockedLoop)
从式(1.39)、(1.40)、(1.38)即可发现Rf可次换成(2.90)、(2.89)并且将变容二极 管改成频谱电容10B如图31所示，由无穷级共振舱如式(2.59)提供相位侦测的必 要支持，那么这个锁相回路俱有适应性且自动调整增益值，侦测所需讯号fin的相 位。
2.6.2快速无火花无接点开关(FastSparkless-ArcfreeSwitch)
由双极(Dipole)的介电性质的极化过程中得知，输入相对的电能极化才会发生 频率被同时激发，无穷级共振舱是用在连续极化的瞬时，对于电力路径而言，无 穷级共振舱是电力快捷方式，因此任何存在的电场必被无穷级共振舱耦合而吸入， 而无穷级共振舱本身是有动态适应性阻尼的性质，也就是吸入的电场会稀释，即 是快速无火花无接点开关。
2.7动态适应性阻尼(Dynamic-AdaptiveDamper)
图29、28、27、26、24，最终都会等效成串联或并联谐振，已知频宽是无穷 大，我们将每一个频率相对应的线性系统的特征值方程式λ1.2用自然频率ωr正规 化，
${\lambda }_{\mathrm{1,2}}=\frac{1}{2\mathrm{LC}}[-R\left(\omega \right)C\pm \sqrt{R^2\left(\omega \right)C^2-4\mathrm{LC}}]$
$=[-\frac{R\left(\omega \right)}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}\pm \sqrt{{\left(\frac{R\left(\omega \right)}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}\right)}^2-1}]{\omega }_y$
$=(-\zeta \left(\omega \right)\pm \sqrt{{\zeta }^2\left(\omega \right)-1}){\omega }_y---\left(2.93\right)$
其中阻尼比(DampingRatio)ζ表示成电容、电感和电阻的关系
$\zeta \left(\omega \right)=\frac{R\left(\omega \right)}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}---\left(2.94\right)$
$=\left[\frac{C}{2}{\omega }_y\right]z\left(\omega \right)---\left(2.95\right)$
其中当代入阻抗如式(2.87)或式(2.83)和(2.84)的频谱电阻，此刻式(2.95)阻尼 比已经随着频率更动变成了动态适应性阻尼，同时也解开了系统误解的来源，模 拟机电两系统中如表格1应修正成正规化系统才有完整的描述。
回到图26中，将电感20改成了变压器200如图22所示，其中频谱电阻10 即是式(2.83)和(2.84)的串联，电流方向呈现平衡(1.14)，输入的电能被吸 收(1.13)可以迅速平衡，再则由(实施2.2.2)节所提调频方式耗散称的调频耗散单元 (Frequency-ModulatedDissipativeUnit)，其中 是属自激性材料因而拌演调频 的角色，如式(2.60)将吸入的电力以调频方式耗散消除，不再以温度型态表现，也 不会馈入系统产生EMI、EMC、RFI，谐波源等等电力干涉(Interference)现象。
2.7.1静电吸收器(Electro-StaticDsicharger或ESD)
在库仑定律得知电量Q和电场强度V有电容量当比例常数如式
Q＝CV
        (2.96)
但在静电场中电场强度V和频谱分布都是未知的，因而要设计一种电容器必 须要有适应性。从式(2.91)得知电容量C被Rs(ω)、Rp(ω)的乘积、电感量L所决定， 换言的电感量L可以和身体或静电源等效得到非零的电感量
L＝Ls≠0
其次是全域滤波器的响应频谱是没有限制，再者动态适应性阻尼俱有适应性 的阻尼值产生，Rs(ω)、Rp(ω)随着式(2.90)、(2.89)的变动而使得电容量C有着大范 围的更动，一旦无穷级共振舱和身体或静电源并联后，等效结果使得动态适应性 阻尼器是电场快捷方式(Short-cut)，电场强度V会被吸入凭借调频耗散，电场即刻 消失。如图33所示，因为要电场即刻消除，需稀释作用的中心水平线。
2.8全域谐波滤波器(All-passHarmonicandSubharmonic WaveformsDistortionFilter)
电力谐波主要来源犹如自激系统如(实施2.1)节的说明，采用如(实施2.2.2)节 被全域滤波器所侦测并且如(实施2.2.5)节的调频耗散将电力谐波干扰消除。
2.8.1EMC、EMI、RFI防治策略(EMC、EMI、RFI)
如表格1EMC、EMI、RFI的干扰是源自机械与电路模拟的误会，因此只要找 到电路的阻尼器的设计方法如(实施2.2.7)的说明，电器设备的干扰防治策略即已 完备。
2.9动态阻抗匹配(DynamicImpedanceMatching)
令系统总阻抗表达成频率函数Z(ω)如式(2.97)
$Z\left(\omega \right)=\sqrt{R_{\mathrm{sp}}^2\left(\omega \right)+Q_{\mathrm{sp}}^2\left(\omega \right)}---\left(2.97\right)$
用复数表达成式如(2.98)
z(f)＝Rsp(ω)+iQsp(ω)
                    (2.98)
阻抗对频率的变动可以用微分表达如式(2.99)
$\mathrm{dz}=\frac{{\mathrm{dR}}_{\mathrm{sp}}\left(\omega \right)}{\mathrm{d\omega }}\mathrm{d\omega }+i\frac{{\mathrm{dQ}}_{\mathrm{sp}}\left(\omega \right)}{\mathrm{d\omega }}\mathrm{d\omega }---\left(2.99\right)$
利用连锁律加入温度的变动
$\mathrm{dz}=\frac{{\mathrm{dR}}_{\mathrm{sp}}\left(\omega \right)}{\mathrm{d\omega }}\frac{\mathrm{d\omega }}{\mathrm{dT}}\mathrm{dT}-i\frac{{\mathrm{dQ}}_{\mathrm{sp}}\left(\omega \right)}{\mathrm{d\omega }}\frac{\mathrm{d\omega }}{\mathrm{dT}}\mathrm{dT}---\left(2.100\right)$
再加入时间的变动
$\mathrm{dz}=\frac{{\mathrm{dR}}_{\mathrm{sp}}\left(\omega \right)}{\mathrm{d\omega }}\frac{\mathrm{d\omega }}{\mathrm{dT}}\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dt}}\mathrm{dt}+i\frac{{\mathrm{dQ}}_{\mathrm{sp}}\left(\omega \right)}{\mathrm{d\omega }}\frac{\mathrm{d\omega }}{\mathrm{dT}}\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dt}}---\left(2.101\right)$
或
$\mathrm{dz}=\frac{{\mathrm{dR}}_{\mathrm{sp}}\left(\omega \right)}{\mathrm{d\omega }}\frac{\mathrm{d\omega }}{\mathrm{dT}}\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dt}}\mathrm{dt}+i\frac{{\mathrm{dQ}}_{\mathrm{sp}}\left(\omega \right)}{\mathrm{d\omega }}\frac{\mathrm{d\omega }}{\mathrm{dT}}\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dt}}---\left(2.102\right)$
从式(2.102)中， 项是表示电0阻对率的变动dω是主要的稀释项，同时 若为零就变成了一般电阻，一般而言 可有正 $(\frac{{\mathrm{dR}}_s}{\mathrm{ds}}>0)$ 或负 $(\frac{{\mathrm{dR}}_s}{\mathrm{d\omega }}<0)$ 的选择满 足式(2.85)和(2.86)的要求， 项是频率对温度产生的变动， 项是系统散热率， dt是操作期间。
动态阻抗匹配的运作即″任何时刻″，无论负载如何变动包括电力谐波干扰， 式(2.102)左侧不为零
dz≠0
但式(2.98)的虚部″必须″为零如式(1.29)、(2.75)。但式(1.29)中已经透露出动态 阻抗匹配必须以负载阻抗与电源阻抗达到平衡(1.14)，然而在实施平衡过程就显得 非比寻常；因为其一是负载阻抗会随时都会更动甚至不连续造成了式(2.102)左侧 不为零，其二为了负载阻抗与电源阻抗达到平衡而加入或减少负载阻抗，会和系 统等效诱发新的阻抗，也就是说负载阻抗与电源阻抗永远不平衡。
电路中需要有自动产生阻抗平衡的机制，和系统等效诱发新的阻抗且满足式 (1.29)、(2.75)的要求。回顾(实施2.2.4)节中的推导如式(2.75)和平衡的复数的定义 (1.15)，那么式(1.29)中改写成
Qs＝-QL
＝eziQL
因此共轭阻抗
z*＝ieziQsp
＝-iQsp
        (2.103)
和取(2.74)共轭且(2.74)和(2.103)相″加″，由(说明六)节得知阻抗匹配是补足负 载阻抗，但不能和系统等效诱发新的阻抗，此处相″加″运算即(2.103)和负载并联 且要浮接，在图6中特别称式(2.103)为虚拟负载(VirtualLoad)；其一是以无穷级共 振舱为基础经由共振取得耦合，虚部″自然且必然为零″而实部没有改变，又从(实 施2.2.4)节中得知只要实部的电阻值满足(实施2.2.3)节的结论和式(2.79)的表达 式，则(2.98)一定可以只留下纯电阻式(2.79)，其二是无穷级共振舱俱有全域滤波 器，用来分离不正常或不必要干扰的频率成份，其三是无穷级共振舱俱有动态适 应性阻尼的吸收与耗散能力，可以消除共振取得耦合不正常、负载剧烈变动或造 成污染的频率成份，让动态系统维持和谐平衡，这即是动态阻抗匹配。
2.9动态功率因素调整(DynamicPowerFactorCorrector或DPFC)
基于式(2.56)或(2.57)，主要的调整功率因素如式(2.46)，如此一来任何电源都 是有效的电力即平均功率如式(2.43)，
第一阶段实施的是交流变直流的转换器(AC/DCConverter)并加以储存，且必 须加入升压(Boost)或降压(Buck)的控制以配合不同电力的需求；升压或降压必然 成为二阶微分系统，典型的自激系统，必须加入良好的耗散组件拌演阻尼的角色， 否则系统控制不易被稳定化，因此加入动态适应性阻尼以符合(实施2.2.3)节系统 稳定化的需求。
第二阶段充电管理，因为储存装置会使得负载型态变动，产生启动过电流、 充电不足或过度充电等后遗症，这是大功率泛交换式电源 (High-powerSwitching-modePowerSupply)的痛处，有了全域滤波器的加入即可克服 这个难处。再者储存装置有如表格2可应不同需求而做调配，例如要有大的电力 吞吐需要使用飞轮，在动电车辆领域就要高储电密度的锂电池和大吞吐量的超级 电容的组合；但功率因素会随着负载型态而产生变动，已知是总阻抗虚部产生的 如式(2.49)，也功率因素要随着负载型态而调整才能确立(2.46)。
第三阶段是直流变交流的转换(DC/AC)部份即变频器将第一阶段所储存的直 流电力还原成交流电，再供给入电器负载且要随着负载型态做调配即阻抗匹配； 由式(2.63)得知交流成份并不唯一，一旦实施抗匹配系统会出现更多响应交流成份 会更复杂，我们需要动态阻抗匹配才能确保交流成份单纯化，而且动态阻抗匹配 让系统永远在纯电阻的负载型态，因而系统加入动态适应性阻尼执行动态阻抗匹 配，功率因素一定是如式(2.46)，而造就了动态功率因素调整，满足以上述三阶段 供电模式统称为″变频式电源″(Inverter-basedPowerSupply或 Agent-basedPowerStation)。
实施3：应用领域
有了动态适应性阻尼、全域滤波器与动态功率因素调校的开发后，可进一步 的应用在各个领域：
3.1通泛式的减震网络(GenericSnubberNetwork)
图8.10中，根本问题是在负载效应因此只要并入无穷级共振舱100A与功 率晶体30平行以取代原有的快速二极管40和煞车单元如图34所示，这六组无穷 级共振舱100A可以消除和R、S、T衔接的负载造成的干扰。我们将图34所增进 性能变频器10C以图35表示，方便后段说明、如图36所示，在虚线框内(BlockD) 无穷级共振舱100A和功率晶体30并联以消除电感在切换的反电动势或是再生电 力，同时在实线框内(BlockE)可以将再生电力回收到直流的储存的电瓶组50内， 变成了回收再生电力，实线框内(BlockC)的变频器10C已是图35做为终端功率放 大输出。
3.2通用型再生电力充电器(UniversalChargingPump)
如图37所示，再生电力由减震电路(BlockB)减速萃取引出后，进入整流后变 成了通用型再生电力充电器(DCPowerOutput)，好处是因为是再生电力所以电源是 和电力输入无关完全由负载大小所决定也不会破坏系统稳定度，其次是由减震电 路(BlockB)萃取将交换式电源更稳定，同时可消除系统噪音，降低各式射频干扰， 再者是清除过度充电的疑虑。
图38中，回收再生电力的三相变频器要并入无穷级共振舱100A与功率晶体 30平行以取代原有的快速二极管和煞车单元，但因现今功率晶体都会内建快速二 极管，所以我们用现有的功率晶体且并入三组无穷级共振舱并回收再生电力。图 39是回收再生电力的三相变频器10D图38的符号。
3.3高功率泛交换式电源(UniversalPowerSupply)
图40是高功率交换式电源供应器当大型充电机使用。在P的方块中等效出并 联谐振的无穷级共振舱，目的在消除高频电感所造成的反电动势，而快速二极管 导引高频电感所造成的反电动势流进无穷级共振舱并且以调频式耗散型态消除。
其次目的是高功率输出而通常控制会以低频的操控方式，因此选择了可低频 的操控的大功率控制晶体(SCR)30A，大功率控制晶体30B、PWM控制器70、 并联谐振的无穷级共振舱100A三个部份共同组成电压升降的控制缺一不可，否 则大功率控制晶体(SCR)30A会不接受PWM控制器70的切换控制命令而失控； 电容性负载启动都要限流，尤其当充电机使用时更明显。电流控制是高功率输出 是一大难题，基于调频式耗散方法如式(2.60)，在输出功率加入频率调变命令，换 言的要比大功率控制晶体(SCR)30A控制命令更高频的载波即加入频率调变讯号， 介在电压控制与电流控制的PWM控制器70必须同步(Sync)，高功率输出的瞬间 被调频式耗散，同时消除大功率控制晶体(IGBT)30C的闸极(Gate)的Miller效应 [38]，也可限制了电流，因此选择了可高频的操控的大功率控制晶体(IGBT)30C， 而大功率控制晶体(IGBT)30C、PWM控制器70是电流控制的主要元素，而和大 功率控制晶体(IGBT)30C并联的无穷级共振舱100A目的在消除直流中交流干 扰，直流总线电压不会任意漂移，保护了大功率控制晶体(IGBT)30C。
无穷级共振舱俱备如(实施2.2.8)、(实施2.2.9)、(实施2.2.7)节的说明，因此 可以对电阻性负载(超级电容)、电容性负载(电池)、电感性负载(飞轮)充电成为充 电机(ElectricalCharger)，也可以直接和变频器的直流总线连接做为变频器的输入 侧，成为交换式电源。
3.4高功率直流对直流泛交换式电源转换器
(High-powerDC-DCPowerConverter)
在图41是高功率直流对直流泛交换式电源转换器的示意图，其中上半部是高 功率交换式电源供应器，如(实施3.3.3)节的说明，当大型充电机以动态功率因 素调整如(实施2.2.9)节的方式，提供足够的直流对直流泛交换式电源转换器内 的缓冲区充电，保持缓冲区电力平稳，但因功率输出的大小可由高功率交换式电 源供应器直接提供，缓冲区可因应功率的吞吐量做调配。其次是在两功率放大器 80(BlockB)并联了两组无穷级共振舱在消除高频电感20A(T2)产生的逆向电 压，而两功率放大器80(BlockB)在同一时间内只有一颗启动另外必须关闭，和 串联电容CS高频电感T2和并联电容CP形成了串并共振的直流对直流泛交换 式电源转换器，也控制了输出功率，高频电感20B(T3)是为了输出的电压作升 降压(Boost或Buck)，并联了无穷级共振舱100A(BlockC)在消除高频电感20 B(T3)和负载引发的噪声。
3.5变频式电源(Inverter-basedPowerStation，Agent-based PowerStation)
图42是变频式电源俱体实施电路，分成充电、储存缓冲区、功率输出三阶段； 充电部份(ChargePump)是在(实施3.3.3)节所提供的高功率泛交换式电源图40所 示，当成变频式电源输入侧的控制，只要将图40内直流输出的正和负(DC，+，-)连 接至(VDC，+ ，-)即可对电容性负载-电池组充电。储存缓冲区可以是电阻性负载(超 级电容)、电容性负载(电池)、电感性负载(飞轮)三种共存或其它形式的组合。如 此一来电力供应的来源可以和负载隔离，即使电力供应暂时性中断 (Voltage-Sag，Shunt，Interrupt)都不影响后级功率输出，自然而然成了不断电系统但 有别在现存的不断电系统如图13、14、15的三种，特称的为全时不断电系统 (Full-timeUPS)。
功率输出部份由俱再生电力回收的变频器如图38和依电力输出需求的电源 变压器如Y-Y、Y-、Δ-Y、Δ-Δ或Y-V所组，输出成功率由变频器和电源变压器 所决定。特色有：
如同(实施2.2.7)节所述，一旦有了动态适应性阻尼的吸收功能，电源变压器 后所连接电器设备就可以插拔，其间造成的电力跳动(Shunt，Shift，Jump，...)可完全 被吸收再还原电力。
依(实施2.2.8)、(实施2.2.9)节所述，变频器提供平均功率(2.51)，任意负载型 态阻抗必定恢复电阻性负载，功率因素一定是1.0，电力是100％的有效使用，省 电效能都是50％。
如同(实施2.2.7)节经由动态适应性阻尼的吸收，如(实施2.2.5)节全域滤波器 的滤波功能，控制和负载所产生的干扰，完全的被滤波和吸收并且如同(实施2.2.2) 节的调频耗散形式，消除所有的干扰又不会产生高温。
3.6备援式电源系统(RedundantPowerSystem)与备援式不断电系统 (RedundantUn-interruptiblePowerSystem)
有了变频式电源如图42的设计后，进一步的想法电源可以有备援，不管是变 频器即表示有两组以上的输出并联、直流总线并联或大功率充电机并联即有不同 的交流电来源。以不断电系统的设计如图43所示，大功率充电机60A做为直流 总线的输入控制且进行充电管理，也就是大功率充电机可以当直流电源和充电机， 其次是以可以回收再生电力的变频器10D图39做为动态阻抗匹配和适应动态负 载所造成的不正常供电，即全时不断电系统。
有了全时不断电系统的基本轮廓如图43，在此将全时不断电系统并联使用如 图44，那么就可操作备援式电源系统与备援式不断电系统图44中配置了大功率 充电机60AN组(AC/DCConverters(1)，(2)to(N))对电瓶组并且管理充电，而回收再 生电力的变频器10DN组(Inverters(1)，(2)to(N))成了备援式不断电系统和备援式电 源系统。
3.7电磁式防滑剎车系统(Electrical-MagneticAnti-Skid BrakingSystem)
有关防滑煞车系统的文献如[34，Chapter11]、[62，Chapter8]、[27]、[82]、[26]、 [76]、[125]、[56，Chapter8]、[51]。由物理学得知在交流发电机(Alternator)内感应 电动势(ElectromotiveForce)大小和静子(Stator)、转子(Rotor)两线圈圈数比、磁通 (Flux)密度、磁场强度(Intensity)的时变率有关。当磁场线圈充磁(Magnetization)后 而两线圈间会产生吸引力称的磁阻(MagneticReluctance)。若发电机由车轮或传动 轴(Propeller)带动凭借磁阻产生剎车称的电磁式剎车(Electrical-MagneticBraking)。
事实上由剎车作用产生的高感应电动势若没有良好的缓冲和吸收的话，此种 电磁式剎车系统是无法提供源源不绝的剎车力，高压造成的高温会破坏系统组件， 只有作用三到五秒即会被迫失效以保护系统，剎车力明显衰退即为隅合不良。若 用大型飞轮二极管为耗能单元以去除高感应电动势，则温度梯度陡峭
(ThermoShock)使系统要外加强大的散热器(Cooler)，仍有相当大的可能性因高温 烧坏而失效且无法回收因剎车所释放的动能。另外因避免高电压的产生而减少磁 场强度致使剎车力不足或丧失功能。将动态适应性阻尼器适当连接在机电系统间 形成了系统耦合所需的动态阻抗匹配，不但可以随工作状态动态的适应产生所 需的阻尼值，而且当极限负载效应出现时因其动态适应性阻尼稀释作用
(Attenuation)，提高了系统耦合的容错(FaultTolerance)能力和操作范围，同时其内 所贮存的能量可以进一步回收(Recycling)再利用形成了能源回收的关键机制 (Mechanism)。若用在电磁式剎车系统即可变成了可持续作用的电磁式防滑剎车系 统(Electrical-MagneticAnti-SkidBrakingSystem或EMABS)或用非接触式防滑剎车 系统(Non-ContactABS)。
为了实现的电磁式防滑剎车系统，设计分为两个部份：其一是嵌入动态适应 阻尼当缓冲区，如图45中发电机90(BlockG)内加入三组无穷级共振舱100A和静 子线圈(Stator)三相Φ1、Φ2、Φ3串联，同时加入电感L1、L2、L3防止无穷级共振 舱和静子线圈因电感量大小而诱发奇异性(Singularity)[30，Chapter6]，以产生动态 阻抗匹配并将煞车所产生的电力加以稀释和减速，其中发电机90必须和路面有交 互作用，例如被车轮或传动轴所趋动；其二是为了吸收磁场线圈(Rotor)的二次感 应电动势，图45中磁场线圈也加入无穷级共振舱100A并联。
煞车力是由踏板71(BrakePedal)深度决定，如此控制PWM控制器 70(ABSPWMController)的脉宽决定了送进磁场线圈的电力。T1、T2、T3是高频变 压器耦合取出因煞车所产生的电力，再经由Br1、Br2、Br3由快速二极管所组合而 成的桥式整流器回收煞车所产生的电力进入电瓶组50或直流总线上，再次馈入磁 场线圈产生煞车力，断电开关72是下车时短路保护开关。
3.7.1风力发电(WindPowerSystem)
其一是嵌入动态适应阻尼当缓冲区，如图46中发电机90(BlockG)内加入三组 无穷级共振舱100A和静子线圈(Stator)三相Φ1、Φ2、Φ3串联，同时加入电感L1、 L2、L3防止无穷级共振舱和静子线圈因电感量大小而诱发奇异性
(Singularity)[30，Chapter6]，以产生动态阻抗匹配并将煞车所产生的电力加以稀释 和减速，其中发电机90是风力所趋动；其二是为了吸收磁场线圈(Rotor)的二次感 应电动势，图46中磁场线圈也加入无穷级共振舱100A并联。
发电量是由负载(LoadSensor)决定，如此控制PWM控制器70(PWMController) 的脉宽决定了送进磁场线圈的电力。T1、T2、T3是高频变压器耦合取出因所产生 的电力，再经由Br1、Br2、Br3由快速二极管所组合而成的桥式整流器发电机所产 生的电力进入电瓶组50或直流总线上，断电开关72是离线时短路保护开关。
3.7.2电梯防坠系统(Anti-CrashElevatorSystem)
在图47中，有钢缆断裂侦测器在监督电梯钢缆是否发生断裂，一旦被触发电 梯两侧或三侧墙磁场线圈21充磁对电梯本体产生吸力，梯就不会快速坠下，因为 重力影响电梯仍会往下行，电梯本体因穿越磁力线而会有产生电力，凭借助并联 的无穷级共振舱100A，产生动态阻抗匹配并将煞车所产生的电力加以稀释和减 速，T1是高频变压器耦合取出因所产生的电力整流后即可使用在电梯面板和相关 功能上，也创造线型发电机的用途。
3.7.3核废料的电力萃取(RadioactiveBattery)
由于核废料是俱有高能阶的粒子组成，而由Planck定理如式(1.56)高能阶的 粒子所带有的能量和频谱分布相关，换言的只要可以得到核废料的频谱分布即可 获得相对应的能量。
图48中，将核废料被俱有介电性质的材料的容器72所包围，同时并入无穷 级共振舱100A以萃取由核废料放射能形成未知频谱分怖的电场，所产生的电力 并由动态阻抗匹配将电力加以稀释和减速，最后由快速二极管整流变成了直流电 源。
3.8混合动力车或电动车的电力系统
(PowerSystemsfortheHybridandElectricVehicles)
截至目前电动车或混合动力车普遍性问题是电能贮存太重、太大、低效率使 用、又响应不良在图49中，将电动车或混合动力车分割成离线充电、电力缓冲区 以及电力输出等三大区块，以减少电力耗损提升效率。区是为了停放车库时充电， 基于有了变频式电源如图42的设计后大功率交换式电源如图40当充电机，也能 解决充电时瞬间大电流的难题，电力缓冲区用来应付负载动态响应的电力短缺， 电力输出部份伴演可变速度控制器的角色以控制车辆的运动，同时操控也动态阻 抗匹配，确保动力源源不绝和增加哩程数。
为了电动车可以混用各式贮电或发电设备，整合各式电力和电磁式剎车能源 回收系统如图50所示：其中Nfusicsll、Nsciwcell、...等代表高频变压器的线圈圈数比， 以配合不同电力来源控制对不同型态的缓冲区充电，例如飞轮为电感性、电瓶组 50是电容性负载和超级电容组电阻性负载共同建立的缓冲区等，驱动部份由可以 回收再生电力的变频器10D如图39做为可变速速的马达控制器，可以发挥敏感 的动态响应并且进一步回收因控制马达产生再生电力，电磁式剎车能源回收系统 图45进一步回收因车辆剎车产生的电力，强化车辆安全性和延长哩程数。
在特殊领域的电动特种交通工具例如电联车、舰艇如图51加入了核能电池如 图48做为大功率的电源，并且对飞轮、电瓶组和超级电容组充电。经由核能电池 的安全使用，电动特种交通工具就不再需要充电或加油，更不需要电力网的配置， 也解决了核废料处理的环境保护难题。
3.9天线设计(AntennaDesign)
回顾式(2.95)和(2.94)Q值的遍变动
$\mathrm{\Delta Q}=-\frac{1}{{2\zeta }^2}\mathrm{\Delta \zeta }$
$=-\left(\sqrt{\frac{L}{C}}\right)\left(\frac{1}{R^2}\right)\left(\mathrm{\Delta R}\right)-\left(\sqrt{\frac{L}{C}}\right)\left(\frac{1}{2\mathrm{RC}}\right)\left(\mathrm{\Delta C}\right)+$
$\left(\sqrt{\frac{1}{\mathrm{LC}}}\right)\left(\frac{1}{2R}\right)\left(\mathrm{\Delta L}\right)---\left(2.104\right)$
可以在式(2.104)中比较ΔR、ΔC、ΔL的尺度，因为C和L通常几乎都是定值，但 若R为频谱电阻，式(2.104)中第一项是最敏感。若要保有高感度的天线即Q为最大 值或最佳质量的讯号，那么调整阻抗的电阻值R最有效，无穷级共振舱俱有适应 性自动全域找出Q的最大值，而不必大量计算和复杂的射频调校，这是智能型天 线(SmartAntenna)[42]、[73]最重要的本质。式(2.88)代入式(2.104)且由无穷级共振 舱图24、26、29和28和式(2.79)，则
$\mathrm{\Delta Q}=\frac{\sqrt{R_s\left(\omega \right)R_p\left(\omega \right)}}{z\left(\omega \right)}[-\left(\frac{\mathrm{\Delta z}\left(\omega \right)}{z\left(\omega \right)}\right)+\left(\frac{\mathrm{\Delta L}-\mathrm{\Delta C}}{2C}\right)]---\left(2.105\right)$
频谱电阻对于天线的Q值是最重要的因子，采用无穷级共振舱为天线的时， 由式(2.105)得知天线中有无穷多个双极矩(DipoleMoment)[118，Chapter21]对已知 频谱的电场响应，产生感应电流。基本上若λ是载波的波长而天线特征尺寸为L即 可设计出
L＜＜λ
特征尺寸远小于载波波长的天线，而不须理会射频分析所谓的
L＝0.25λ
特征尺寸等于载波四分的一波长的限制，这对于射频系统设计如手机、RFID、 WiFi、PDA、GPS和雷达等等是一大利多。
3.10无风扇控制器和数据总线(FanlessDSP，CPU，DataBUSdesign)
现今的处理器或数据传输总线中，需要大量电力才能将讯号送达目的地，同 时产生高温需要风扇强力散热。随着处理速度成长，高速处理器和数据总线也愈 来愈耗电，温度愈来愈棘手。令k是材料热传导是数，T是温度分布函数则热传导 方程式
${k▿}^{2}T=\frac{\partial T}{\partial t}$
右边是时间相关得知散热需要时间，然而高速处理器和数据总线却在单位时 间内做了更多次的供电和断电切换，散热时间越短热量累积越快。再则高频的供 电和断电切换，导线在高频下会有电感抗会非常大，讯号会衰减但温度的上升会 致使系统发散而损坏。
在图52中，这是典型高速处理器和数据总线在高频下会诱发的各级的频率响 应，于是在设计时以无穷级共振舱为导线，讯号以无穷级的共振耦合传递，数据 是以虚功(2.49)转移而非实功(2.47)消耗，温度自然不会有响应，就免除了强力风 扇，即无风扇控制器和数据总线的设计。
3.11惯性导航组件的消除直流偏差(DebiasingforInertialNavigationSystem)
惯性导航是一个古老的学门可参考[67，Page45]、[29]、[58]、[107]、[18]、[119]、 [61，Page343]，但惯性导航组件持续运转一段时间后，因总总因素如(说明十二)节 的说明造成直流偏差，简单的说惯性导航组件输出会包含了直流偏差无法辨别， 时间一久后惯性导航就变得忠诚度(SystemIntegrity)[83]不足。若可以设计一个机 制一直保持在监督阻尼比如式(1.35)，让阻尼比永远和出厂校正值相同称的在线自 动校正(OnlineAutomaticCalibration)，同时确保最大的杂源比(S/NRatio)并且将直 流偏差清除。
考虑如图53中，首先是输入F的力，产生的加速度讯号流经无穷级共振舱其 中会产生和加速规内一样的阻尼比，同时隔离了直流成份，而输出侧会藕合出交 流成份创造了监督阻尼比和隔离直流成份的机制特称消除直流偏差(Debiasing)。
以数字低通滤波器的分析方法令包含直流成份的讯号是
yout＝Sout-bBi∞-ε
在(式2.106)中bBi∞、ε分别是直流偏差和干扰。依(实施1.1.2)节和式(2.7)与流 程图22的结果，量测值是从y1到yn则预测值依式(2.13)是 且分解成 两 项如式
${\hat{y}}_{n-1}={\hat{S}}_{n-1}+{\hat{b}}_{n-1}$
那么直流偏差项 可以被估测出来。
3.12电力管理与调度(PowerManagementandDispatchingAlgorithm)
基于变频式电源的设计如(实施2.3.5)节的说明，若从电厂和客户间电力网络 是变频式电源当成电力转运站(Agent)，并且可以实施动态阻匹配、动态适应性阻 尼、动态功率因素调整、全域谐波滤波器等等电力管理方法，全时不断电系统当 电力转运的缓冲区，并且由(实施3.3.3)节高功率泛交换式电源当电力整合或并联 发电的充电器，协同运作完成电力网络的资源管理与电力调度。
依(实施1.1.2)节的说明式(2.7)的结果，令电力网络间的共有m个变频式电源 会输出电力需求表示成[yn(1)，yn(2)，...，yn(m-1)，yn(m)]，以传统之中央集权式的算法如(解 析2.2.3)节可以得到总耗电量
$y_n=y_n^{\left(1\right)}+y_n^{\left(2\right)}+...+y_n^{(m-1)}+y_n^{\left(m\right)}$
并且加入增强式最小平均法的输入是[yn(1)，yn(2)，...，yn(m-1)，yn(m)]，则电力需求预测 即是
以分布式算法[112]、[75]、[11，Chapter10]、[58]来处理时，令第i个变频式电 源输出状态
$x_n^i=\left[\begin{array}{c}{S}_n^i\\ b_n^i\end{array}\right]$
与相对应的误差变异量矩阵
$P_n^i=\left[\begin{array}{cc}{p}_{n11}^i& p_{n12}^i\\ p_{n21}^i& p_{n22}^i\end{array}\right]$
而扩增(解析2.2.7)节的结果式(1.81)和(1.82)到共有N个子系统，并将上状态 和变异量矩阵代入即
$\left[\begin{array}{c}{\hat{S}}_{n-1}\\ {\hat{b}}_{n-1}\end{array}\right]=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{w}^i\left[\begin{array}{c}{\hat{S}}_{n-1}^i\\ {\hat{b}}_{n-1}^i\end{array}\right]$
其中
$\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{w}^i=1$
权值
$w^i=\frac{{\alpha }_i{P}_i^{-1}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\alpha }_i{P}_i^{-1}}$
则估测值
$\left[\begin{array}{c}{\hat{S}}_{n-1}\\ {\hat{b}}_{n-1}\end{array}\right]=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\hat{w}}^i\left[\begin{array}{c}{\hat{S}}_{n-1}^i\\ {\hat{b}}_{n-1}^i\end{array}\right]$
套用(2.14)即可找出 和
3.13可调速度马达控制器(Variable-SpeedController)
图54中并未安装传统煞车单元如(说明九)节内的说明，以新发展的调频式 耗散单元萃取再生电力与回收方式并行如图38所示。和电力不同的地方是借着调 控变频器的PWM频率以改变马达的转速，而马达产生再生的电力经由三组无穷 级共振舱和回收再生电力电路消除。
有刷马达的部份如图55所示，马达产生再生的电力经飞轮二极管 40(FlywheelDiode)流入无穷级共振舱100A所形成并联谐振电路消除，而换相器 (Commutator)的部份加入电容消除火花，点点代表有很多极的换相器。
图56是并入无穷级共振舱和全域锁相回路的有刷直流马达可变速度控制器 加强版，其中PWM讯号须加入高频讯号以达成控制功率晶体30同步，其次全域 锁相回路监控PWM讯号输入和控制功率晶体输出是否同步，若为否必须由断电 器跳脱，可以消除马达失控的爆冲。
3.14航空电子与控制器(AviatronicsandElectricalControllers)
如[24]提与用压电材料(Piezoelectric)做为滤波，压抑飞行器控制所造成的干 扰，但事实上压电材料本身是中低频响应(0-200khz)而电路中经长是高频至微波 (0-4Ghz)[10，Page331]。航空用电子与导航设备与控制器必须如(实施2.2.64)、(实 施2.2.2)、(实施2.2.7)、(实施2.2.5)、(实施2.2.8)、(实施3.3.11)、(实施3.3.13) 节，在飞行载具控制器和航空电子设备不允许出现电弧或火花，干扰必须消除的 要求。
3.15类真空管放大器(PseudoVacuum-TubePowerAmplifier)
图57是类真空管放大器具体实施电路，首先是供电的交换式电源在虚线框 (BolckB)中使用了无穷级共振舱100A等效串联谐振，用以清除交换式电源的反电 动势且不会产生高温。其次是虚线框(BolckA)中使用了无穷级共振舱100A等效串 联谐振清除涟波(Ripple)，后级放大部份由图34使用的Snubber电路消除因喇叭 (SPK1，SPK2，...)造成的反电动势，达成隔离放大没有噪音。凭借真空管放大器系统 (1.26)，可以延伸至近代半导体放大器，即自激系统的分析可设计出良好的抗干扰、 高频工作、低工作温度、寿命长的功率放大器和完美的动态系统解析。
3.16高功率电浆二氧化碳或废气分离器
二氧化碳或废气若要减量，不外乎是不再产生或是二氧化碳或废气进行非化 学性的分离，在此使用的是高功率电浆将二氧化碳击破产生石墨粉和臭氧(O3)， 臭氧到空气中会还原成氧气(O2)。其中高功率电浆电源是一种负载剧烈变动的工 作型态；[118，Voll，Chapter43]已知离子化的粒子在电场强度E的密闭空间中漂移速 度vdrift和电场中的磁力G有关
vdrift＝μG
其中μ是就粒子结构造成的运动性(Mobility)是数且q是电量
G＝qE
电场强度是加入的电压V除以两极板的距离b
$E=\frac{V}{b}---\left(2.107\right)$
因此
$v_{\mathrm{drift}}=\mathrm{\mu q}\frac{V}{b}---\left(2.108\right)$
其中因电流是单位面积单位时间流过的电量
I＝(qni)Aλdrift
                  (2.109)
其中ni是单位面积的离子个数，所以式(2.109)中以式(2.108)换掉vdrift则
$I={\mathrm{\mu q}}^2{n}_i\frac{A}{b}V$
代入(1.2.2)节的广义Ohm定律
$F\left(V\right)=\frac{b}{{\mathrm{\mu n}}_i\mathrm{AV}{q}^2}---\left(2.110\right)$
那么F(V)是系统负载所展现的阻抗和极板面积、电量平方、电压成反比与两 极板的距离b成正比，由式(2.110)中阻抗是非线性的变动，因而电源必须设计可适 应变动性负载方可实施。
在图58所与，二氧化碳或废气可以贮存在贮气瓶73(CO2Tank)内先行去除 水份或其它杂质，电源部份和变频式电源类近，但输出改用高频变压器(T1)并将 三相结合输出成一相高压
V＝V--V-
产生高密度的电浆并建立电场强度如式(2.107)，而式(2.110)中阻抗剧烈变化 由变频器内RST三相的全域滤波器吸收并且回收，当二氧化碳进入电场强度E的 密闭空间时，会被电场强度所离子化成C-4被V-所吸引产生C即石墨粉和O-2被V- 所吸引而产生O3臭氧会还原成氧气(O2)经氧气过滤器74(OxygenFilter)即可得到 纯氧。