Procédé et dispositif de tomographie par impédance électrique .

La présente invention est relative aux procédés et dispositifs de tomographie par impédance électrique.

Plus particulièrement, l'invention concerne un procédé de tomographie par impédance électrique pour imager un milieu présentant un certain volume intérieur délimité par une surface extérieure, ce procédé comprenant : - au moins une étape de mesure électrique au cours de laquelle on impose des conditions électriques prédéterminées à la surface du milieu et on mesure au moins un paramètre électrique en plusieurs points à la surface du milieu tout en générant une perturbation mécanique en des points prédéfinis du milieu en modifiant localement l'impédance du milieu, et au moins une étape de calcul au cours de laquelle on détermine au moins un paramètre relié à l'impédance électrique en plusieurs points dans le volume intérieur du milieu.

Le document US-A-2003/028092 décrit un exemple d'un tel procédé.

Tous les procédés connus de tomographie par impédance électrique, y compris le procédé décrit dans le document susmentionné, souffrent d'une résolution médiocre

(de l'ordre de quelques centimètres pour les applications médicales ou de l'ordre de quelques dizaines de mètres dans le domaine de la géophysique) et dépendant de la profondeur par rapport à la ^' surface du milieu à imager. La présente invention a notamment pour but de pallier ces inconvénients.

A cet effet, selon l'invention, un procédé du genre en question est caractérisé en ce qu'au cours de l'étape de calcul, on détermine ledit paramètre relié à l'impédance électrique en prenant en compte les mesures effectuées pendant ladite perturbation, en utilisant une loi prédéterminée de modification de l'impédance électrique par ladite perturbation.

Grâce à ces dispositions, on peut accroître considérablement la précision et la rapidité de mise en œuvre du procédé selon l'invention, grâce au fait que la perturbation susmentionnée effectue un "marquage" local du milieu. En particulier, on peut obtenir des précisions millimétriques, y compris jusqu'à des profondeurs assez grandes par rapport à la surface extérieure du milieu, et ce pour un coût de mise en œuvre très modique.

Dans divers modes de réalisation du procédé selon l'invention, on peut éventuellement avoir recours en outre à l'une et/ou à l'autre des dispositions suivantes : - les conditions électriques imposées comprennent au moins un courant imposé en au moins un point à la surface du milieu, et ledit paramètre électrique mesuré est un potentiel électrique (il est bien entendu possible d'imposer un potentiel et de mesurer des courants) ; - ledit paramètre relié à l'impédance électrique est la conductivité ; la perturbation mécanique est une onde focalisée en au moins un point du milieu ; l'onde est une onde acoustique ; - l'onde acoustique est une onde ultrasonore

(générée par exemple par un ensemble de transducteurs piézo-électriques) ; l'onde acoustique correspond à un signal modulé en amplitude à une fréquence de modulation adaptée pour générer une force de radiation ultrasonore entraînant un déplacement local du milieu ; l'onde est une onde élastique (mélange d'ondes de compression et d'ondes de cisaillement, généré par exemple par un ensemble de vibreurs mécaniques disposés à la surface du sol) ; l'onde correspond à un signal codé ; au cours de l'étape de calcul, on résout l'équation :

E ^k (z)

[S) γ(z) =

AVu ^k (z)-Vu ^k (z) pour tout point z du milieu à imager, où : k est un indice désignant un ensemble d'au moins un courant électrique j, appliqué à la surface du milieu, i étant un indice désignant chaque courant électrique de cet ensemble,

E ^k (z) est une énergie correspondant à la perturbation engendrée par l'onde pendant l'application de l'ensemble de courants électriques j ^k , u ^k (z) est le potentiel électrique au point z du milieu, et A est une matrice représentative de la forme d'une tache focale produite par l'onde autour du point sur lequel elle est focalisée ;

- la tache focale est sphérique et A est la matrice identité ; au cours de l'étape de calcul, on détermine ladite énergie en fonction de ladite loi de modification de l'impédance électrique par ladite perturbation ; ladite énergie est calculée par la formule : (6) E ^k (z)=∑D ^k (z)j ^k ,

où :

. z désigne un point situé dans le milieu,

D*(z) est une valeur représentative de la perturbation électrique mesurée en un point d'indice i à la surface du milieu et générée par l'onde pendant l'application de l'ensemble de courants électriques j ^k aux points i ; D ^k (z) correspond à la formule suivante : ( 3 ) D* (z) = γAVu ^k (Z) - VG(Zj) , où Y est la conductivité et G(z,i) la fonction de Neumann du milieu ;

- les valeurs £>*(z) sont calculées à partir des mesures effectuées, en utilisant des ondes correspondant à différents signaux Si (t), 1 étant un indice compris entre 1 et L ;

- L est égal à 2 et on utilise deux signaux Si (t) = Si. s (t) et S ₂ (t) = S ₂ . s (t) d'amplitudes respectives Si et S ₂ , les valeurs D*(z) étant calculées, lorsque la forme de la tache focale est un disque ou une sphère, par la formule :

|V| est soit la surface de la tache focale pour une imagerie à 2 dimensions, soit le volume de la tache focale pour une imagerie à 3 dimensions ; - l'onde est une onde ultrasonore, L est égal à 2 et on utilise deux signaux Sl (t) = Sl. s (t) et S2(t) = S2.s(t) d'amplitudes respectives Sl et S2, s(t) étant un signal modulé en amplitude à une fréquence de modulation adaptée pour générer une force de radiation ultrasonore entraînant un déplacement local du milieu, les

valeurs ' ^ ^z ' étant calculées, lorsque la forme de la tache focale est un disque ou une sphère, par la formule :

IV 1 est soit la surface de la tache focale pour une imagerie à 2 dimensions, soit le volume de la tache focale pour une imagerie à 3 dimensions ; - au cours de l'étape de calcul, on part d'une conductivité supposée Y et on répète les sous-étapes suivantes :

a) on résout numériquement l'équation suivante :

\ div(f7u ^k ) = 0 en tout point z du milieu ( 9 ) "I -

[ f7u ^k -n = j _k sur la surface extérieure

Y étant la valeur précédemment estimée de la conductivité (initialement, Y est donc la valeur supposée susmentionnée) ,

b) on calcule une erreur estimée e ^k sur la conductivité,

c) on résout l'équation suivante :

\ dïv{f7v ^k ) = -div^Vw* ) en tout point z du milieu, [ fJu - n - 0 sur la surface extérieure.

où v ^k est la solution de l'équation (9) et u _k la solution de l'équation (11),

d) on met à jour la conductivité par la formule :

où v ^k est la solution de l'équation (11) et u ^k la solution de l' équation (9) , et on utilise Y _k comme nouvelle valeur de conductivité Y avec un autre ensemble de courants j ^k , générant des lignes de courant non parallèles à celles générées par 1l '' eennsseemmble de courants j ^k , dans au moins une zone du milieu,

les sous-étapes a) à d) étant réitérées jusqu'à satisfaction d'un critère d'arrêt ; au cours de la sous-étape b) , on calcule une erreur estimée e ^k sur la conductivité par la formule :

(10) e ^k =E ^k /AVu ^k -Vu ^k -/ ;

- au cours de la sous-étape b) , on calcule une erreur estimée e ^k sur la conductivité par la formule :

^{10 I )} _e t

- au cours de la sous-étape (d) : pour chaque point z du milieu, on cherche quel indice k de conditions électriques correspond à la plus

grande énergie A ² W ce qui donne une fonction k(z;

on met à jour la conductivité comme suit

et on utilise Yk(z> comme valeur de conductivité γ,- le milieu à imager est un tissu biologique ; le milieu à imager est un organe humain (par exemple : sein, foie, cerveau, ou autres) ; le milieu à imager est le sous-sol terrestre. Par ailleurs, l'invention a également pour objet un dispositif adapté pour la mise en œuvre d'un procédé tel que défini ci-dessus.

D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront au cours de la description suivante d'un de ses modes de réalisation, donné à titre d'exemple non limitatif, en regard des dessins joints. Sur les dessins : la figure 1 est une vue schématique d'un dispositif de tomographie d'impédance électrique selon une forme de réalisation de l'invention, la figure 2 est un graphe représentant le signal correspondant aux ondes ultrasonores appliquées par le dispositif de la figure 1, - et la figure 3 est un graphe similaire à la figure 1, pour une variante de l'invention.

Sur les différentes figures, les mêmes références désignent des éléments identiques ou similaires.

La figure 1 montre un dispositif 1 de tomographie d'impédance électrique, utilisé pour imager un milieu (par exemple un milieu biologique, par exemple une partie d'un corps humain telle qu'un sein, un foie, un cerveau ou tout autre organe) qui présente un certain volume intérieur 2 délimité par une surface extérieure 3. Le dispositif 1 comporte une unité centrale 4 (UC) telle qu'un ordinateur ou similaire, qui peut être relié à divers périphériques tels qu'un écran 5 et d'autres interfaces d'entrée et sortie (non représentées).

L'unité centrale 4 est reliée à une interface de mesure électrique 6 (INT. 1) telles que celles utilisées classiquement en tomographie d'impédance électrique, reliée à une pluralité d'électrodes 7 disposées sur la surface 3 du milieu à imager. Les électrodes 7 sont au nombre de I

(entier naturel non nul) et sont désignées chacune par un indice i compris entre 1 et I . L'interface de mesure électrique 6 est adaptée pour imposer des conditions électriques prédéterminées sur certaines des électrodes 7 et pour mesurer au moins un paramètre électrique au niveau de tout ou partie des électrodes 7. Par exemple, l'interface de mesure électrique 6 peut être adaptée pour imposer au moins un courant prédéterminé j au niveau d'une des électrodes 7 et pour mesurer des tensions U ₁ au niveau de toutes les électrodes 7. Plus particulièrement, l'unité centrale 4 est adaptée pour commander l'interface de mesure électrique 6 pour qu'elle impose successivement plusieurs courants ji, ... J _k , ... j _κ (k étant un indice désignant chaque mesure et K un nombre entier naturel non nul désignant le nombre total de mesures avec des courants différents : chaque courant d'indice k peut différer des autres courants par l'électrode 7 à laquelle il est appliqué et/ou par le signal auquel il correspond) et pour mesurer les tensions U ₁ pour chaque courant j _k .

Alternativement, l'interface de mesure électrique 6 pourrait être adaptée pour imposer une ou plusieurs tensions et mesurer des courants au niveau des électrodes 7.

Les courants et tensions en question peuvent par exemple être alternatifs, par exemple avec une fréquence de l'ordre du kHz.

Par ailleurs, l'unité centrale 4 est reliée à une interface de traitement de signal 8 (INT. 2) qui commande un réseau 9 de transducteurs piézo-électriques ultrasonores

(par exemple une barrette rectiligne de transducteurs) appliqué sur la surface 3 du milieu à imager. On notera que le réseau 9 de transducteurs peut également être un réseau à 2 dimensions et/ou être monté sur un support mobile permettant de faire varier la position et/ou l'orientation du réseau. L'interface de traitement de signal 8 est adaptée pour faire générer, par le réseau 9 de transducteurs, des ondes ultrasonores focalisées successivement en des points prédéterminés z (au nombre de Z) situés dans le milieu à imager, au moins certains de ces points z étant situés dans le volume intérieur 2 (les autres étant éventuellement sur la surface 3) . Les ondes ultrasonores en question peuvent par exemple de fréquence comprise entre 0,5 et 15 MHz, notamment de l'ordre du MHz.

Lorsqu'on souhaite imager le volume intérieur 2 du milieu, l'unité centrale 4 fait appliquer successivement, par l'interface de mesure électrique 6, des courants j _k sur tout ou partie des électrodes 7.

Pour chaque courant j _k , l'interface de mesure électrique 6 mesure la tension (ω, \ _≤I≤I de chaque électrode 7 d'indice i, en l'absence d'onde acoustique ultrasonore dans le milieu à imager.

Puis l'unité centrale 4 fait émettre, par l'interface 8 de traitement de signal et le réseau de transducteurs 9, des ondes ultrasonores focalisées successivement sur les points prédéterminés z susmentionnés, de façon à générer des perturbations mécaniques du milieu localisées en chaque point z, se traduisant par des perturbations localisées de l'impédance électrique (et notamment de la conductivité) du milieu. L'onde ultrasonore est focalisée sur chaque point z pendant quelques centaines de périodes de l'onde ultrasonore.

L'onde ultrasonore en question peut être une onde non modulée à basse fréquence, qui induit une variation locale et infinitésimale de volume dans la zone focale du faisceau ultrasonore. La fréquence à laquelle se produit cette vibration est la fréquence d'excitation des ultrasons. On produit alors des perturbations locales de l'impédance électrique ayant la même fréquence que le signal ultrasonore. Pour augmenter le rapport signal sur bruit nécessaire pour détecter l'influence du faisceau ultrasonore sur les signaux électriques, on peut par exemple émettre un signal ultrasonore codé S(t), tel que par exemple celui représenté sur la figure 2. Comme signal codé, on peut utiliser par exemple une fonction « chirp » S(t) = sin (2π (fO + Δf.t)t) où fO est une fréquence et Δf une largeur de bande en fréquence. En variante, on peut également utiliser à titre de codage une réalisation prédéterminée d'un bruit blanc. Plus généralement, on peut faire émettre successivement des ondes ultrasonores correspondant à des signaux S]_(t), ... Si (t), ... SL (t) _f 1 étant un exposant compris entre 1 et L, L étant un entier naturel non nul (L = 1 si on n'utilise qu'un seul signal S(t)). Dans ce cas, les ondes correspondant à chaque signal Si peuvent par exemple être focalisées successivement sur les différents points z, avant d'émettre et de focaliser les ondes correspondant au signal Si ₊ i. On notera que les signaux Si (t) peuvent éventuellement différer entre eux uniquement par leur amplitude.

Pendant que l'on applique le courant j _k et le signal S _x et que l'onde ultrasonore correspondant au signal Si est focalisée sur un point donné z, on mesure les tensions

_≤l≤1 P

^ar I

^e code appliqué au signal S

_x (t).

Au total, l'unité centrale mémorise les I. K mesures de tension (u ^k ) _{χ≤ι≤I ]≤k≤κ} faites sans focalisation d'ondes acoustiques et les IKL Z mesures de tension

A partir de ces mesures, on effectue un calcul de reconstruction consistant à retrouver la conductivité γ(z) en tout point z du milieu à imager.

Cette reconstruction correspond au problème suivant :

J divψ(z)Vu ^k (z))= 0 en tout point z du milieu

[ γ(z)Vu ^k -n = j _k sur la surface extérieure où u^ est la tension électrique (potentiel) sur la surface extérieure 3, u^(z) est la tension électrique au point z dans le volume intérieur 2 et « est la normale à la surface extérieure 3 du milieu.

Pour résoudre ce problème mathématique, on peut éventuellement utiliser une méthode standard consistant à tester différentes conductivités en minimisant l'écart aux données mesurées, par exemple par la méthode des moindres carrés .

Plus avantageusement, on pourra utiliser la méthode décrite ci-dessous, qui s'est avérée particulièrement avantageuse, précise et robuste.

Cette méthode part du fait que, comme enseigné par les travaux de H. Ammari et H. Kang (« Reconstruction of Small Inhomogeneities from Boundary Measurements, Lecture notes in mathemetics, volume 1846, Springer Verlag, Berlin, 2004), la perturbation électrique due à un changement de conductivité locale en un point z du milieu à imager est donnée au premier ordre par la formule :

(2) u ^kJ ' ^z -uï=(y _p -χ)MVu ^k (z)-VG(z,i) , où :

- u) est le potentiel au point i et u ^kJ ' ^z est le potentiel dû à la perturbation ultrasonore qui correspond au signal 1, focalisée au point z,

- Yp est la conductivité perturbée localement par les ultrasons,

- M est un facteur géométrique, le tenseur de polarisation, qui dépend de Yp et de la forme de la zone focale de l'onde ultrasonore (par exemple, la zone dans laquelle l'amplitude de l'onde ultrasonore est supérieure à la moitié de l'amplitude maximale),

- la fonction G est la fonction de Neumann du milieu de conductivité Y et donc, inconnue. On peut extraire de ces perturbations électriques, une matrice D représentative de la perturbation électrique au point z en présence du courant k:

Cette matrice A est reliée au tenseur de polarisation M par la formule A = 1/d (γ/γ _p + (d-1) ) M, où d est la dimension de l'espace (d = 2 pour une imagerie à 2 dimensions et d = 3 pour une imagerie à 3 dimensions) . La forme de la zone focale de l'onde ultrasonore étant connue, cette matrice A est connue. Par exemple, pour une zone focale circulaire ou sphérique, A est égale à la matrice identité Id.

La matrice D peut être calculée à partir des mesures effectuées, en utilisant seulement les différences d'amplitudes des ondes ultrasonores correspondant à différents signaux Si (t).

Par exemple, à partir de deux signaux S _x (t) =

Sχ.s(t) et S ₂ (t) = S ₂ .s(t) d'amplitudes respectives S ₁ et S ₂ , la matrice en question peut être calculée, lorsque la forme de la tache focale est un disque ou une sphère, par la formule :

IVI est la surface (pour une imagerie à 2 dimensions) ou le volume (pour une imagerie à 3 dimensions) de la zone focale ultrasonore, et S]_ et S2 les amplitudes des ondes ultrasonores.

Cette matrice D permet de calculer l'énergie électrique E ^k (z) équivalente aux perturbations acoustiques aux points z, pour chaque courant k.

Cette énergie électrique est définie par la formule :

(5) E ^k (z) = γ(z)AVu ^k (z)-Vu ^k (z) , et calculée en pratique par la formule :

^k (z)j

^k l

On peut aussi utiliser d' autres formules de quadrature, par exemple lorsque les courants ne sont pas mesurés au niveau des électrodes i mais en des points distincts à la surface extérieure 3 du milieu à imager.

En reportant la formule (6) dans la formule (1), le problème mathématique à résoudre peut s'écrire comme suit :

div -- V\7M,-* = 0 en tout point z du volume intérieur 2 du milieu à imager

AVu ^k - Vw* yVw • n = j _k sur la surface extérieure 3 du milieu à imager

On notera que, le cas échéant, la conductivité Y sur la surface extérieure 3 du milieu à imager peut être déterminée au moyen de mesures indépendantes, sans recourir à cette méthode.

On résout cette équation non linéaire qui ne comporte aucun coefficient inconnu ce qui donne uMz) en tout point z du milieu à imager. On obtient ainsi E ^k (z)

:8) y(z)=-

JVw*(z)-Vz/(z) pour tout point z du milieu à imager.

Pour résoudre cette équation non linéaire, on peut utiliser l'algorithme suivant: 1/ on part d'une conductivité supposée Y par exemple γ=l en tout point du milieu. 2/ on répète les étapes suivantes : a) on résout numériquement, avec un solveur linéaire standard pour un courant jk le problème suivant

I divItVw* )= 0 en tout point z du milieu { 9 ) < →

[ f7u ^k -n = j _k sur la surface extérieure

b) on calcule l'erreur

(10) e ^k =E ^k /AVu ^k -VH* -γ ,

E ^k étant l'énergie calculée par la formule (6) ;

c) on résout le problème

-div[e ^k Vu ^k J en tout point z du milieu,

d) on met à jour la conductivité par la formule

où v ^k est un potentiel électrique solution de l'équation (11) et U _k un potentiel électrique solution de l'équation (9), et on utilise Y _k donnée par la formule (12) comme valeur de conductivité Y à l'itération suivante, pour un ensemble de courants yf , approprié (générant des lignes de courant non parallèles à celles générées par yf , au moins dans certaines zones du milieu à imager) .

On réitère les étapes a) à d) jusqu'à satisfaction d'un critère d'arrêt, par exemple :

- lorsqu'une norme de l'erreur e devient petite,

- ou lorsqu'une norme de Vv* devient petite.

En pratique, une dizaine d'itérations des étapes a) à d) suffisent pour converger. En variante, on peut utiliser des ondes ultrasonores correspondant à des signaux Si (t) modulés à relativement basse fréquence, par exemple avec une fréquence de modulation de quelques centaines de Hz, comme représenté sur la figure 3. Dans ce cas, le faisceau ultrasonore induit une force localisée dans la zone focale qui pousse le milieu. Cette force, connue sous le nom de force de radiation ultrasonore, engendre un déplacement local du milieu dont les variations temporelles sont liées non pas à la fréquence ultrasonore, mais à l'enveloppe basse fréquence du signal ultrasonore. Lors de l'utilisation de cette technique n°2, la force de radiation ultrasonore pourra elle aussi être codée dans le temps, en modulant dans le temps l'amplitude du signal ultrasonore de poussée . Dans ce cas, on peut utiliser le même procédé que celui décrit ci-dessus, de préférence en remplaçant la formule (4) par la formule (4') suivante , lorsque la forme de la tache focale est un disque ou une sphère :

( 4 D: ( _Z ) = d[s ₂ y- ¹ (z) - S ₁ ¹ U) - S ₁ V ² (z) + S ₁ ² U^ y Par ailleurs, pour rendre l'algorithme plus stable et robuste, on peut remplacer la formule de l'erreur (10) par

Dans ce cas, la convergence est plus lente, mais de très forts contrastes dans les matériaux sont détectables sans instabilité.

Par ailleurs, on peut aussi utiliser les données de plusieurs courants simultanément dans le procédé ci-dessus.

A cet effet, au cours de l'étape (d) : pour chaque point z du domaine on cherche quel

courant k correspond à la plus grande énergie A ^~2 Vu ^k

ce qui donne une fonction k(z),

pour chaque courant k(z) on met à jour la conductivité comme suit :

, Y étant la valeur

et on utilise Yk(z) comme valeur de conductivité Y à l'itération suivante.

On notera que le procédé selon l'invention peut également être utilisé en géophysique. Dans ce cas, le milieu à imager est le sol terrestre et les ondes ultrasonores sont remplacées par des ondes élastiques, notamment des ondes de compression ou de cisaillement à basse fréquence (par exemple, de 5 Hz à 5000 Hz) . Les transducteurs piézo-électriques susmentionnés sont alors remplacés par un ensemble de vibreurs ou vérins mécaniques disposés à la surface du sol.