技术领域
[0001] 本
发明涉及一种控制器，具体涉及一种电机伺服系统非线性鲁棒自适应位置控制器的实现方法，属于机电伺服控制领域。
背景技术
[0002] 电机伺服系统由于具有响应快、传动效率高、维护方便以及
能源获取方便等突出优点，广泛应用于工业及国防等重要领域，如机床进给、火箭炮随动系统、
机器人等。随着这些领域的发展和技术
水平的不断进步，迫切需要高性能的电机伺服系统作为
支撑，传统基于线性化方法得到的控制性能逐渐不能满足系统需求。电机伺服系统存在诸多模型不确定性，包括参数不确定性(如负载
质量的变化、随
温度及磨损而变化的粘性
摩擦系数等)以及不确定性非线性(如外干扰等)，这些不确定性的存在可能会严重恶化期望的控制性能，甚至使基于系统名义模型所设计的控制器不稳定，因此成为发展
先进控制器的主要障碍。同时对于现有电机伺服系统的建模往往不够充分比如忽略摩擦的影响或者简单的把摩擦模型建立为线性的，而存在于电机伺服系统中的摩擦对系统的高
精度运动控制有着重要的影响，会引起极限环振荡、粘滑运动等现象，因此也需要对电机伺服系统的建模作进一步研究。
[0003] 一般地，自适应控制能有效的估计未知常数参数并能提高其
跟踪精度，然而当系统遭受大的未建模扰动时可能会不稳定。传统鲁棒控制器，如滑模控制器，可以有效提高整个
闭环系统对未建模扰动的鲁棒性，但是控制器输入会产生抖动现象，不利于在工程实际中应用；如自抗扰控制器(ADRC)对系统中存在的大的扰
动能有效的进行前馈补偿，但是所提出的ADRC方法仅仅只能确保系统的跟踪误差有界。总的来看，自适应控制和鲁棒控制有它们各自的优缺点。美国普渡大学的Bin Yao教授团队针对非线性系统的所有不确定性，提出了一种数学论证严格的非线性自适应鲁棒控制(ARC)理论
框架。其团队主要基于系统非线性数学模型设计非线性控制器，针对参数不确定性，设计恰当的在线参数估计策略，以提高系统的跟踪性能；对可能发生的外干扰等不确定性非线性，需要假设其上界已知，并通过强增益非线性反馈控制予以抑制。由于强增益非线性反馈控制往往导致较强的保守性(即高增益反馈)，在工程使用中有一定困难，并且系统中潜在的大的未建模扰动可能会使系统的跟踪性能变差。另外，有学者提出了基于误差符号积分的鲁棒控制(RISE)方法对存在匹配性扰动的系统能确保其跟踪误差在稳态时趋于零，然而这种控制器设计方法需要明确知道存在于系统中的外部扰动的一阶时间微分和二阶时间微分的上界，在实际工程应用中，通常难以获取外部扰动对时间的一阶微分和二阶微分的上界，因而传统RISE控制方法具有一定的工程应用局限性；同时该控制器设计相对复杂并且只能保证整个系统半全局渐近稳定。
[0004] 总结来说，现有电机伺服系统的控制策略的不足之处主要有以下几点：
[0005] 1.电机伺服系统建模不够充分。电机伺服系统的建模不确定性主要有非线性摩擦和未建模扰动等。存在于电机伺服系统中的摩擦可能会引起极限环振荡、粘滑运动等不利因素，对系统的高精度运动控制有着重要的影响。同时，实际的电机伺服系统不可避免的会受到外界环境的干扰，若忽略将会降低系统的跟踪性能；
[0006] 2.传统鲁棒控制器比如传统滑模控制器作用于系统会使控制输入产生抖动现象，自抗扰控制器(ADRC)只能确保系统的跟踪误差有界；
[0007] 3.传统的自适应鲁棒控制(ARC)存在高增益反馈现象，需要已知系统中不确定性非线性的上界，并且对同时存在参数不确定性和不确定性非线性的系统只能保证跟踪误差有界(即保证跟踪误差在一个有界的范围内，并不能确保跟踪误差趋于零)。传统自适应鲁棒控制存在高增益反馈的问题，也就是通过增加反馈增益来减小跟踪误差。然而高增益反馈易受测量噪声影响且可能激发系统的高频动态进而降低系统的跟踪性能，甚至导致系统不稳定；需要已知系统中不确定性非线性的上界，而对实际系统来说，通常难以获取其上界；传统的自适应鲁棒控制对同时存在参数不确定性和不确定性非线性的系统只能确保系统的跟踪误差有界，这样的性能可能会在实际高精度需求的场合难以满足要求；
[0008] 4.基于误差符号积分的鲁棒控制器需要明确知道存在于系统中的外部扰动对时间的一阶微分和二阶微分的上界，同时设计相对复杂并且只能保证整个系统半全局渐近稳定。
发明内容
[0009] 本发明为解决现有电机伺服系统建模不够充分；传统滑模控制器作用于系统会使控制输入产生抖动现象；自抗扰控制器(ADRC)只能确保系统的跟踪误差有界；传统的自适应鲁棒控制(ARC)存在高增益反馈现象，需要已知系统中不确定性非线性的上界，以及对同时存在参数不确定性和不确定性非线性的系统只能保证跟踪误差有界；同时基于误差符号积分的鲁棒控制器需要明确知道存在于系统中的外部扰动对时间的一阶微分和二阶微分的上界，并且设计相对复杂并且只能保证整个系统半全局渐近稳定的问题，提出一种电机伺服系统非线性鲁棒自适应位置控制器。
[0010] 本发明为解决上述问题采取的技术方案是：
[0011] 一种电机伺服系统非线性鲁棒自适应位置控制器的实现方法，包括以下[0012] 步骤：
[0013] 步骤一、建立电机位置伺服系统的数学模型，根据
牛顿第二定律可得系统的运动学方程为：
[0014]
[0015] 公式(1)中，m为惯性负载参数；y为惯性负载
角位移；kf为与输入
电压有关的
力矩常数；u为系统的控制输入；B为粘性摩擦系数； 为不确定性项，包括外干扰及未建模的摩擦； 为可建模的非线性摩擦模型，选取连续静态非线性摩擦模型为：
[0016]
[0017] 公式(2)中，a1、a2、a3、b1、b2均为已知常数；tanh(·)函数为双曲正切函数，此连续静态摩擦模型的主要特征如下：①此摩擦模型是关于时间连续可微并且关于原点对称的；②库伦摩擦特性可用表达式 表征；③静态摩擦系数可用b1+b2的值来近似表示；
④表达式 表征Stribeck效应；
[0018] 公式(2)中的连续可微tanh(v)函数关于它的变量v具有以下属性：
[0019]
[0020] 选取状态变量为： 则直流旋转电机位置伺服系统的运动学方程(1)可以转化为如下
状态空间形式：
[0021]
[0022]
[0023] y＝x1
[0024] 公式(4)中，θ1＝m/kf，θ2＝b1/kf，θ3＝b2/kf，θ4＝B/kf，定义参数集θ＝T[θ1,θ2,θ3,θ4]；Sf(x2)＝tanh(a1x2)，Pf(x2)＝tanh(a2x2)-tanh(a3x2)，其中参数θ1、θ2、θ3、θ4均为名义值且已知，任何参数偏差造成的不确定性以及模型不确定性影响都可归结到系统的总干扰Δ(x,t)＝d(x,t)/m中；
[0025] 假设1：系统状态x1、x2可测；
[0026] 假设2：总扰动Δ(x,t)足够光滑并且满足 其中η为未知正常数；
[0027] 控制器的设计目标是使位置输出y＝x1尽可能地跟踪期望跟踪的理想轨迹x1d＝yd(t)；
[0028] 步骤二、针对公式(4)中的
状态方程，设计电机伺服系统非线性鲁棒自适应位置控制器，其具体步骤如下：
[0029] 步骤二(一)、定义一组类似
开关函数的变量为：
[0030]
[0031] 公式(5)中z1＝x1-x1d为系统的跟踪误差，k1、k2为正的反馈增益。我们在公式(5)中引入了一个扩张的误差
信号z3来获得额外的设计自由；
[0032] 步骤二(二)、设计非线性鲁棒自适应位置控制器u，使得电机伺服系统具有渐近跟踪性能
[0033] 基于公式(5)，扩张误差信号z3可以
整理为：
[0034]
[0035] 基于系统状态方程(4)，我们可以进一步得到：
[0036]
[0037] 其中：
[0038]
[0039] 根据公式(3)以及中值定理可以推出：
[0040]
[0041] 从而可以进一步得到：
[0042]
[0043] 公式(10)中γ1、γ2、γ3为正常数；
[0044] 根据公式(7)的结构，电机伺服系统的非线性鲁棒自适应位置控制器u可以设计为：
[0045]
[0046] us＝-krz2-(θ1k1+θ1k2-θ4)z2-k1(θ4-θ1k1)z1
[0047] 公式(11)中kr为正反馈增益；ua为基于模型的前馈补偿控制律；us为线性鲁棒控制律用来保证名义系统的
稳定性；un为基于扩张误差符号z3积分的非线性鲁棒控制律，其用来处理未建模的扰动，un将在以下的设计步骤中给出；
[0048] 把(11)中的控制律带入到(7)中，可以得到：
[0049] θ1z3＝-krz2+un+Δ(x,t)-M1-M2 (12)
[0050] 根据公式(12)可以设计鲁棒控制律un为：
[0051]
[0052] 公式(13)中 为未建模扰动Δ(x,t)上界η的估计值，基于李雅普诺夫稳定性证明过程， 的自适应律为：
[0053]
[0054] 其中r＞0，对公式(14)的两边进行积分可得：
[0055]
[0056] 其中sgn(z3)定义为：
[0057]
[0058] 由于信号z3未知，为了计算公式(13)及(15)中的sgn(z3)，定义函数g(t)为：
[0059]
[0060] 由于z3(t)＝limτ→0(g(t)-g(t-τ))/τ，τ可以选取为
采样时间，根据(17)可以看出我们只需要知道z3的符号sgn(z3)即可，因此我们只需要知道g(t)增加还是减小就可以获得sgn(z3)，其中sgn(z3)＝sgn(g(t)-g(t-τ))；
[0061] 把(13)带入(12)，并对公式(12)进行微分可以得到：
[0062]
[0063] 步骤三、恰当的调节参数τ(τ＞0)、r(r＞0)、k1(k1＞0)、k2(k2＞0)以及kr(kr＞0)，从而来确保整个系统稳定，并使电机位置伺服系统的位置输出y(t)准确地跟踪期望的位置指令yd。
[0064] 本发明的有益效果是：本发明选取直流旋转电机位置伺服系统作为研究对象，建立了充分考虑系统的摩擦以及其它扰动的非线性模型；所设计的控制器通过引入基于期望轨迹的连续摩擦模型前馈补偿项针对系统存在的摩擦具有良好补偿效果；所设计的控制器通过引入自适应律对系统中存在的外部干扰以及未建模动态等不确定性非线性的一阶时间微分的上界进行估计，并基于扩张误差符号的积分设计鲁棒项un，针对不确定性非线性具有良好的鲁棒性；本发明所设计的电机伺服系统非线性鲁棒自适应位置控制器为全状态反馈控制器，并能使电机伺服系统的位置输出具有全局渐近跟踪性能，即当时间趋于无穷时跟踪误差为零；本发明所设计的控制器参数容易调节并且控制输入电压连续，更利于在工程实际中应用。仿真结果验证了其有效性。
附图说明
[0065] 图1是本发明所考虑的直流旋转电机位置伺服系统示意图。
[0066] 图2是电机伺服系统非线性鲁棒自适应位置控制器的原理示意及
流程图。
[0067] 图3是本发明所设计的控制器(图中以RISEEA标识)和传统PID控制器(图中以PID标识)分别作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线示意图。
[0068] 图4是对存在于电机位置伺服系统中的不确定性非线性的一阶时间微分的上界的估计值随时间变化的曲线示意图。
[0069] 图5是电机位置伺服系统的实际控制输入u随时间变化的曲线示意图。
具体实施方式
[0070] 结合图1至图2说明本实施方式，本实施方式所述一种电机伺服系统非线性鲁棒自适应位置控制器的设计方法具体步骤如下：
[0071] 步骤一、建立电机位置伺服系统的数学模型，本发明以直流旋转电机(如图1所示)为例，根据牛顿第二定律可得系统的运动学方程为：
[0072]
[0073] 公式(1)中m为惯性负载参数；y为惯性负载角位移；kf为与输入电压有关的力矩常数；u为系统的控制输入；B为粘性摩擦系数； 为外干扰及未建模的摩擦等不确定性项； 为可建模的非线性摩擦模型，选取连续静态非线性摩擦模型为：
[0074]
[0075] 公式(2)中a1、a2、a3、b1、b2均为已知常数；tanh(·)函数为双曲正切函数。此连续静态摩擦模型的主要特征如下：①此摩擦模型是关于时间连续可微并且关于原点对称的；②库伦摩擦特性可用表达式 表征；③静态摩擦系数可用b1+b2的值来近似表示；④表达式 可以表征Stribeck效应。
[0076] 公式(2)中的连续可微tanh(v)函数关于它的变量v具有以下特点：
[0077]
[0078] 选取状态变量为： 则直流旋转电机位置伺服系统的运动学方程(1)可以转化为如下状态空间形式：
[0079]
[0080]
[0081] y＝x1
[0082] 公式(4)中θ1＝m/kf，θ2＝b1/kf，θ3＝b2/kf，θ4＝B/kf，定义参数集θ＝T[θ1,θ2,θ3,θ4]；Sf(x2)＝tanh(a1x2)，Pf(x2)＝tanh(a2x2)-tanh(a3x2)。其中参数θ1、θ2、θ3、θ4均为名义值且已知，任何参数偏差造成的不确定性以及模型不确定性影响都可归结到系统的总干扰Δ(x,t)＝d(x,t)/m中。
[0083] 假设1：系统状态x1、x2可测；
[0084] 假设2：总扰动Δ(x,t)足够光滑并且满足 其中η为未知正常数。
[0085] 控制器的设计目标是使位置输出y＝x1尽可能地跟踪期望跟踪的理想轨迹x1d＝yd(t)。
[0086] 步骤二、针对公式(4)中的状态方程，设计电机伺服系统非线性鲁棒自适应位置控制器，其具体步骤如下：
[0087] 步骤二(一)、定义一组类似开关函数的变量为：
[0088]
[0089] 公式(5)中z1＝x1-x1d为系统的跟踪误差，k1、k2为正的反馈增益。我们在公式(5)中引入了一个扩张的误差信号z3来获得额外的设计自由。值得注意的是，由于扩张的误差信号z3依赖于
加速度 的信息从而使得它不可测，这里仅仅用来协助以下的控制器设计。
[0090] 步骤二(二)、设计非线性鲁棒自适应位置控制器u，使得电机伺服系统具有渐近跟踪性能。
[0091] 基于公式(5)，扩张误差信号z3可以整理为：
[0092]
[0093] 基于系统状态方程(4)，我们可以进一步得到：
[0094]
[0095] 其中：
[0096]
[0097] 根据公式(3)以及中值定理可以推出：
[0098]
[0099] 从而可以进一步得到：
[0100]
[0101] 公式(10)中γ1、γ2、γ3为正常数。
[0102] 根据公式(7)的结构，电机伺服系统的非线性鲁棒自适应位置控制器u可以设计为：
[0103]
[0104] us＝-krz2-(θ1k1+θ1k2-θ4)z2-k1(θ4-θ1k1)z1
[0105] 公式(11)中kr为正反馈增益；ua为基于模型的前馈补偿控制律；us为线性鲁棒控制律用来保证名义系统的稳定性；un为基于扩张误差符号z3积分的非线性鲁棒控制律，其用来处理未建模的扰动，un将在以下的设计步骤中给出。
[0106] 把(11)中的控制律带入到(7)中，我们可以得到：
[0107] θ1z3＝-krz2+un+Δ(x,t)-M1-M2 (12)
[0108] 根据公式(12)可以设计鲁棒控制律un为：
[0109]
[0110] 公式(13)中 为未建模扰动Δ(x,t)上界η的估计值，基于李雅普诺夫稳定性证明过程， 的自适应律为：
[0111]
[0112] 其中r＞0，对公式(14)的两边进行积分可得：
[0113]
[0114] 其中sgn(z3)定义为：
[0115]
[0116] 由于信号z3未知，为了计算公式(13)及(15)中的sgn(z3)，定义函数g(t)为：
[0117]
[0118] 由于z3(t)＝limτ→0(g(t)-g(t-τ))/τ，τ可以选取为采样时间，根据(17)可以看出我们只需要知道z3的符号sgn(z3)即可，因此我们只需要知道g(t)增加还是减小就可以获得sgn(z3)，其中 这样看来，获得sgn(z3)并不需要加速度 的信息，从而比获得z3容易多了。
[0119] 把(13)带入(12)，并对公式(12)进行微分可以得到：
[0120]
[0121] 步骤三、恰当的调节参数τ(τ＞0)、r(r＞0)、k1(k1＞0)、k2(k2＞0)以及kr(kr＞0)，从而来确保整个系统稳定，并使电机位置伺服系统的位置输出y(t)准确地跟踪期望的位置指令yd。
[0122] 本例中，还基于Lyapunov方程来分析基于控制器(11)作用下的直流旋转电机位置伺服系统的稳定性，具体如下：
[0123] 理论1：调节正常数r，并选取足够大的反馈增益k1、k2、kr，使得以下定义的矩阵Λ正定，那么提出的控制律(11)能够确保整个闭环电机伺服系统的所有信号有界，并且能获得全局渐近跟踪性能，即当t→∞时z1→0。Λ定义为：
[0124]
[0125] 理论1的证明：选取Lyapunov方程为：
[0126]
[0127] 对公式(20)关于时间进行求导可得：
[0128]
[0129] 公式(21)中 为η的估计误差。
[0130] 把公式(5)和(18)代入公式(21)，并经过转换可得：
[0131]
[0132] 对(22)进一步转换可得：
[0133]
[0134] 把公式(14)中的自适应律带入(23)，并根据公式(19)中定义的正定矩阵Λ，对公式(23)进一步转换可得：
[0135]
[0136] 公式(24)中z定义为z＝[z1,z2,z3]T；λmin(Λ)为矩阵Λ的最小特征值。
[0137] 根据公式(24)可以得到V∈L∞以及W∈L2，同时信号z有界。因此，可以得出x以及控制输入u有界。基于z1、z2以及z3的动态方程，可以得到W的时间导数有界，因此W一致连续。从而，根据Barbalat引理可以得到当t→∞时W→0，理论1即得到证明。
[0138] 电机伺服系统非线性鲁棒自适应位置控制器原理示意及流程如图2所示。
[0139] 下面结合一些具体例子来进一步说明前述各个步骤及设计的控制的效果。
[0140] 电机伺服系统参数为：惯性负载参数m＝0.5kg·m2；力矩放大系数kf＝5N·m/V；粘性摩擦系数B＝1.5N·m·s/rad；连续摩擦模型中的参数：a1＝700、a2＝15、a3＝1.5、b1＝0.1、b2＝0.05；时变外干扰d(t)＝2sin(t)N·m；系统期望跟踪的位置指令为曲线
3
x1d(t)＝sin(πt)[1-exp(-t)]rad。
[0141] 本发明所设计的控制器的参数选取为:τ＝0.2ms、r＝40、k1＝300、k2＝100以及kr＝30；PID控制器参数选取为：P增益kP＝1500,I增益kI＝600,D增益kD＝5。
[0142] 控制器作用效果：图3是本发明所设计的控制器(图中以RISEEA标识)和传统PID控制器(图中以PID标识)分别作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线，从图中可以看出，本发明所设计的控制器作用下系统的跟踪误差明显小于PID控制器作用下系统的跟踪误差并且稳态跟踪误差趋近于0，从而使其跟踪性能获得很大的提高。
[0143] 图4是对存在于电机位置伺服系统中的不确定性非线性的一阶时间微分 的上界η的估计值 随时间变化的曲线；
[0144] 图5是电机位置伺服系统的控制输入u随时间变化的曲线，从图中可以看出，本发明所得到的控制
输入信号连续而且有规律，有利于在工程实际中应用。
