技术领域
[0001] 本
发明属于随机分布控制理论领域，尤其涉及一种三维输出概率密度函数的动态建模与控制器设计方法。
背景技术
[0002] 随机系统控制理论是控制理论与应用的重要分支之一，主要是因为绝大多数工业过程都受到随机
信号的干扰，针对这一实际问题，已经形成系统的随机控制理论。其早期的研究成果集中于控制系统变量自身的统计特性，控制目标是系统的均值和方差，在已有的方法中，大部分假设随机系统中随机变量服从高斯分布，然而这一假设并不符合实际应用，例如造纸过程中的
纤维长度分布、粮食加工中的粮食颗粒分布及
锅炉火焰
温度分布等。一般随机系统分布用输出PDF（probability density function）概率密度函数表示，当随机变量是高斯变量时，通过控制系统的均值和方差可以实现对系统的输出PDF控制，对于随机变量不满足高斯分布的系统，其均值和方差不能包含系统的全部信息，对系统均值和方差的控制不能实现对这个系统输出PDF的控制。针对这类系统，王宏教授于1998年提出直接控制系统输出PDF形状的方法，即输出PDF控制。该类方法直接设计控制器以使系统输出PDF分布形状
跟踪给定PDF分布形状。
[0003] 输出PDF可以通过B样条神经网络进行逼近，这样在一定程度上实现了原来复杂耦合系统的解耦，对于这类解耦的输出PDF控制，称之为SDC（stochastic distribution control）随机系统分布控制。该类方法突破了随机控制研究的局限性，将传统的随机控制问题转化为建立简单合理模型、设计高效合适控制
算法的方法。实现从复杂隐含描述系统动态特性的偏微分方程转化为解耦的
状态空间模型描述，最终达到类似于确定系统一样能用比较准确的模型来描述随机分布系统的动态行为。SDC与以往随机控制理论相比更加符合实际情况，因此，将该理论融入到新的工业领域，将赋予其强大的生命
力。
[0004] 针对具有二维特性的随机分布系统，已经建立了较为完善的理论体系。如在系统建模方面，建立了线性B样条模型、有理B样条模型、平方根B样条模型和有理平方根B样条模型，输入输出ARMAX模型，神经网络PDF模型等。在控制器设计方面，实现了瞬时最优跟踪控制算法、最优跟踪控制算法、模型参考自适应控制算法、预测控制算法、结构化控制器算法、
迭代学习控制算法等。近年来，学者们在随机分布控制的鲁棒控制、最小熵控制、故障诊断及
滤波器设计等方面做了大量的工作。
[0005] 综上所述，针对二维输出分布控制问题已经取得了很大的进展，可是实际工业过程中还存在一类三维输出分布问题，如表征锅炉火焰温度的三维温度场、电站燃
煤循环
流化床锅炉中物料浓度的三维分布等。这些三维分布与工业过程运行状况息息相关，这对整个工业过程提高生产效率、减少环境污染等方面都具有重要的应用价值。随着计算机
图像处理和
传感器技术的高速发展，对三维输出分布状况的检测得到了迅速的发展。但是，通过先进技术在线测量得到系统输出分布的方法实现起来很复杂，所需的设备昂贵。
[0006] 本发明研究的三维输出PDF控制问题是SDC理论的一个重要组成部分，然而对三维PDF的建模与控制问题的研究还不完善，文章《Modeling and control of the flame temperature distribution using probability density function shaping》对三维输出PDF进行了静态建模与控制器设计，选用二维B样条基函数并通过最小二乘算法建立了三维输出PDF的静态模型，优化二次性能指标，用梯度的方法得到了系统局部最优控制输入，计算机仿真研究得到了合理结果。目前为止，对于动态过程三维输出分布控制方面的研究鲜有发表，但是没有直接将三维输出分布作为控制的研究报道。
[0007] 为了进一步完善三维输出PDF控制理论，使得三维随机分布控制问题实现成为可能，本发明首先建立了三维输出PDF的瞬时平方根B样条模型，在瞬时平方根B样条模型
基础上加入权值的动态变化部分构成了基于平方根B样条模型的三维输出PDF动态模型，实现了权值之间的动态解耦，分析了三维输出PDF动态模型满足自然约束的条件；然后根据系统输入输出数据通过递归最小二乘算法建立了三维输出PDF输入输出模型；最后选择瞬时平方根性能指标，设计了常规最优控制器。本发明对三维输出PDF控制理论进行了完善，为三维输出分布问题的控制提供了新的方法和思路。
发明内容
[0008] 本发明针对三维输出PDF理论的有待完善以及实际工业过程的需要，提出了一种三维输出概率密度函数的动态建模与控制器设计方法。
[0009] 一种三维输出概率密度函数的动态建模与控制器设计方法，该方法包括以下步骤：
[0010] 步骤1：构建基于平方根B样条模型的三维输出PDF动态模型；
[0011] 所述构建基于平方根B样条模型的三维输出PDF动态模型包括以下步骤：
[0012] 步骤S1：根据二维B样条函数构建三维输出PDF的瞬时平方根B样条模型；
[0013] 用两个一维B样条函数张量积表示二维B样条函数如下：
[0014]
[0015] 其中， 由如下递推公式得到：
[0016]
[0017]
[0018] 由如下递推公式得到：
[0019]
[0020]
[0021] 其中，Bj,i(x,r)为二维B样条基函数； 为一维B样条基函数； 为一维B样条基函数；x,r分别为在空间上定义的变量，x∈[a1,b1]、r∈[a2,b2]；a1为设定区间内设定的下限值；b1为设定区间内设定的上限值；[a1,b1]为包括a1和b1的一个区间；a2为设定区间内设定的下限值；b2为设定区间内设定的上限值；[a2,b2]为包括a2和b2的一个区间；j表示二维B样条的阶次；i表示二维B样条基函数个数；jx为X轴上选取的基函数的阶次；ix为X轴上选取的基函数的个数；jr为R轴上选取的基函数的阶次；ir为R轴上选取的基函数的个数；
[0022] 为1阶第ix个B样条函数； 为jx-1阶第ix个B样条函数；为jx-1阶第ix+1个B样条基函数； 为
节点值，且有
mx为区间[a1,b1]内的有效节点数，jx-1为区
间左右两侧的外节点数； 为包括 和 的一个区间；
[0023] 为1阶第ir个B样条函数； 为jr-1阶第ir个B样条函数；为jr-1阶第ir+1个B样条基函数； 为节点值，且有
mr为区间[a2,b2]内的有效节点数，jr-1为区间
左右两侧的外节点数； 为包括 和 的一个区间；
[0024] 将二维B样条函数Bj,i(x,r)，省略B样条的阶次j，即二维B样条函数Bj,i(x,r)记为Bi(x,r)；
[0025] 基于二维平方根B样条函数得到三维输出PDF的瞬时平方根B样条模型为：
[0026]
[0027] 其中，
[0028] γ(x,r,uk)为三维输出概率密度函数；
[0029] n为选择的二维B样条函数个数，k为
采样时刻；
[0030] C0(x,r)=[B1(x,r),B2(x,r),…,Bn-1(x,r)]，其中，C0(x,r)为1×(n-1)维基函数变换向量；
[0031] Bi(x,r)为二维B样条函数；
[0032] Vk=[ω1(uk),ω2(uk),…,ωn-1(uk)]T，其中，Vk为k时刻对应的(n-1)×1维权值向量；
[0033] ωi(uk)为依赖于uk的权值，uk为k时刻对应的控制作用。
[0034] Bn(x,r)为二维B样条函数；
[0035] ωn(Vk)为第n个基函数对应的权值。
[0036] 步骤S2：在步骤S1的基础上，加入权值的动态变化部分，得到基于平方根B样条模型三维输出PDF动态模型；
[0037] 假定加入的权值动态部分为：
[0038] Vk=AVk-1+Buk-1
[0039] 其中，A为表示系统动态关系的(n-1)×(n-1)维参数矩阵,B为表示系统动态关系的(n-1)×1维参数矩阵；Vk-1为k-1时刻对应的n-1维权值向量，uk-1为k-1时刻对应的控制量；
[0040] 基于平方根B样条模型的三维输出PDF动态模型为：
[0041]
[0042] 步骤S3：系统的权值向量Vk与第n个基函数对应的权值存在非线性关系，分析得到三维输出PDF动态模型权值之间的动态解耦；
[0043] 所述三维输出PDF动态模型权值之间的解耦公式为：
[0044]
[0045] 其中，
[0046] 其中，C1为k时刻输出概率密度函数均方根与基函数变换矩阵乘积的积分；
[0047] 其中，C2为k时刻输出概率密度函数均方根与第n个二维基函数Bn(x,r)的积分；
[0048] 其中，Q为Σ0、Σ1、Σ2变换形式，当基函数
选定后并已知实际系统的输入输出数据时，Q为已知量。
[0049] 其中，Σ0为基函数变换向量C0(x,r)的平方值在其定义域内的积分；
[0050] 其中，Σ1为基函数变换向量C0(x,r)与第n个基函数乘积在其定义域范围的积分；
[0051] 其中，Σ2为第n个基函数Bn(x,r)平方在其定义域范围的积分；
[0052] a1为X轴设定区间内设定的下限值；b1为X轴设定区间内设定的上限值；
[0053] a2为R轴设定区间内设定的下限值；b2为R轴设定区间内设定的上限值；T
[0054] Σ1 为Σ1的转置矩阵。
[0055] 步骤S4：分析三维输出PDF动态模型满足自然约束具备的条件为：
[0056] ||Vk||Σ≤1T
[0057] 其中，||Vk||Σ=VkΣVk，T
[0058] 以上两式中，Vk为k时刻对应的n-1维权值向量；Vk 为Vk的转置矩阵；Σ为Σ0、Σ1和Σ2的变换向量；
[0059] 步骤2：利用实际系统中采集到的输入输出数据通过递归最小二乘算法建立三维输出PDF的输入输出模型；
[0060] 建立的三维输出PDF的输入输出模型为：
[0061]
[0062] 其中，
[0063] 以上两式中，f(x,r,uk)为k时刻对应的输出概率密度函数的变换形式；ai为k-i时刻对应的f(x,r,uk-i)的系数；f(x,r,uk-i)为k-i时刻对应的输出概率密度函数的变换形式；uk-i为k-i时刻对应的控制作用；uk-j-1为k-j-1时刻对应的控制作用；Dj=[dj1,…,dji,…T,dj(n-1)] 为需要辨识的参数；dji为与C0(x,r)中的项相对应的系数。
[0064] 步骤3：选用瞬时平方根性能指标设计控制器，通过最优化瞬时平方根性能指标设计控制器的控制量，实现系统输出PDF分布形状跟踪给定分布输出PDF分布的形状。
[0065] 所述选择的瞬时平方根性能指标为：
[0066]
[0067] 其中，J为瞬时平方根性能指标值；γ(x,r,uk+1)为三维输出概率密度函数；g(x,r)为给定三维输出PDF分布函数；R为控制作用的约束常量；a1为X轴设定区间内设定的下限值；b1为X轴设定区间内设定的上限值；a2为R轴设定区间内设定的下限值；b2为R轴设定区间内设定的上限值。
[0068] 通过最优化瞬时平方根性能指标得到控制量如下：
[0069]
[0070] 其中，
[0071]
[0072] 其中， 为已知量与参数的变换形式；f(x,r,k-i+1)为k-i+1时刻对应的输出概率密度函数的变换形式；D0为辨识出的参数值。
[0073] 所述控制量uk是通过对 中f(x,r,k)f(x,r,k-1)…f(x,r,k-n+2)ωn(Vk)和uk-1uk-2…uk-n+2值的调整，实现系统输出PDF分布形状跟踪给定输出PDF分布的形状。
[0074] 本发明的有益效果：1、本发明保障了系统输出PDF大于1的约束条件，分析了系统输出PDF在其定义域内积分为1时，权值应满足的约束条件；2、本发明中根据平方根B样条模型建立了三维输出PDF的动态模型，然后对建立的基于平方根B样条函数的动态模型进行了变换，根据采集的输入输出数据，建立了系统的输入输出模型；3、本发明设计了常规优化控制器，通过优化平方根性能指标，得到系统的控制作用，实现输出PDF分布形状对给定输出PDF分布形状的跟踪。本发明丰富了三维输出PDF控制理论，为具有三维输出分布特性的工业过程提供了新的方法。
附图说明
[0075] 图1为二维B样条函数图像；
[0076] 图2为三维动态系统的初始PDF分布；
[0077] 图3为三维动态系统的给定输出PDF分布；
[0078] 图4为三维动态系统的输出PDF响应曲面；
[0079] 图5为最后时刻控制输出PDF对给定PDF跟踪误差；
[0080] 图6为控制过程中控制量的响应曲线；
[0081] 图7为控制过程中性能指标变化曲线；
具体实施方式
[0083] 为了加深对本发明的理解，下面结合附图对本发明的具体
实施例作进一步的详细说明。应该强调的是，下述说明仅仅是实例性的，并不是为了限制本发明的范围及其应用。
[0084] 为了实际工业过程需要，将输出PDF控制理论应用于具有三维分布特性的系统，以便简化采用机理法建立系统模型与控制器设计引起的复杂性。本发明提出了一种三维输出概率密度函数的动态建模与控制器设计方法。用于实现对整个输出PDF分布形状的跟踪。
[0085] 本发明分为以下几步：
[0086] 一、构建三维输出PDF的瞬时平方根B样条模型，在瞬时平方根B样条模型基础上加入权值的动态变化部分构成了基于平方根B样条模型的三维输出PDF动态模型，实现三维输出PDF动态模型权值之间的动态解耦，分析三维输出PDF动态模型满足自然约束具备的条件；
[0087] 二、在步骤一的基础上为了便于设计控制器，对上述动态模型进行变换，利用实际系统中采集到的输入输出数据通过递归最小二乘算法建立三维输出PDF的输入输出模型；
[0088] 三、在步骤二的基础上选用瞬时平方根性能指标设计控制器，通过调整控制器得到的控制作用，达到系统输出PDF分布形状跟踪给定分布输出PDF分布的形状。
[0089] 具体分为：
[0090] 1、二维B样条函数表示方法
[0091] 二维B样条函数用两个一维B样条函数的张量积表示：
[0092]
[0093] 其中， 计算公式由如下递推公式得到：
[0094]
[0095]
[0096] 由如下递推公式得到：
[0097]
[0098]
[0099] 其中，Bj,i(x,r)为二维B样条基函数； 为一维B样条基函数； 为一维B样条基函数；x,r分别为在空间上定义的变量，x∈[a1,b1]、r∈[a2,b2]；a1为设定区间内设定的下限值；b1为设定区间内设定的上限值；[a1,b1]为包括a1和b1的一个区间；a2为设定区间内设定的下限值；b2为设定区间内设定的上限值；[a2,b2]为包括a2和b2的一个区间；j表示二维B样条的阶次；i表示二维B样条基函数个数；jx为X轴上选取的基函数的阶次；ix为X轴上选取的基函数的个数；jr为R轴上选取的基函数的阶次；ir为R轴上选取的基函数的个数；
[0100] 为1阶第ix个B样条函数； 为jx-1阶第ix个B样条函数；为jx-1阶第ix+1个B样条基函数； 为节点值，且有
mx为区间[a1,b1]内的有效节点数，jx-1为区间
左右两侧的外节点数； 为包括 和 的一个区间；
[0101] 为1阶第ir个B样条函数； 为jr-1阶第ir个B样条函数；为jr-1阶第ir+1个B样条基函数； 为节点值，且有
mr为区间[a2,b2]内的有效节点数，jr-1为区间
左右两侧的外节点数； 为包括 和 的一个区间；
[0102] 2、构建三维输出PDF的瞬时平方根模型
[0103] 平方根模型即用二维B样条函数逼近系统输出PDF的平方根，以保证随机系统的输出PDF在控制过程中的非负性。
[0104] 三维输出PDF的瞬时平方根模型的离散形式表示为：
[0105]
[0106] 其中，
[0107] γ(x,r,uk)为输出概率密度函数；
[0108] n为选择的二维B样条函数个数，k为采样时刻；
[0109] Bi(x,r)为二维B样条函数，其中，省略了B样条的阶次j；
[0110] ωi(uk)为依赖于uk的权值；uk为k时刻对应的控制作用。
[0111] e0为系统的近似误差；
[0112] 通常情况下忽略e0。则三维输出PDF的瞬时平方根模型表示为：
[0113]
[0114] 对于给定三维输出PDF函数，式(7)是唯一的，取x∈[a1,b1]r∈[a2,b2]为随机变量取值范围，根据(7)式将三维输出PDF的瞬时平方根模型进一步表示为：
[0115]
[0116] 其中，
[0117] C0(x,r)=[B1(x,r),B2(x,r),…,Bn-1(x,r)]，其中，C0(x,r)为1×(n-1)维基函数的变换向量，Bn-1(x,r)为第n-1个基函数；Vk=[ω1(uk),ω2(uk),…,ωn-1(uk)]T，其中，Vk为(n-1)×1维权值向量，ωn-1(uk)为第n-1个基函数对应的权值；[ω1(uk),ω2(uk),…,ωn-1(uk)]T为[ω1(uk),ω2(uk),…,ωn-1(uk)]的转置矩阵；ωn(Vk)为第n个权值对应的权值；Bn(x,r)为第n个基函数。
[0118] 3、加入权值的动态变化部分构成基于平方根B样条模型的三维输出PDF动态模型[0119] 上述设计的三维输出PDF平方根模型没有涉及权值变化，很多情况下，输出PDF与输入之间是动态关系。一般假设Vk与控制输入uk之间是线性动态相关的，这里假设权值的动态变化部分表示为：
[0120] Vk=AVk-1+Buk-1 (9)
[0121] 式(9)中，A为表示系统动态关系的(n-1)×(n-1)维参数矩阵,B为表示系统动态关系的(n-1)×1维参数矩阵；Vk-1为k-1时刻对应的n-1维权值向量，uk-1为k-1时刻对应的控制量。
[0122] 于是，基于平方根B样条模型的三维输出PDF动态模型表示为：
[0123] Vk=AVk-1+Buk-1 (10)
[0124]
[0125] 4、三维输出PDF动态模型权值之间的动态解耦；
[0126] 由(10)、(11)式得出基函数对应的权值之间是非线性关系，为了解决这个问题，需做如下变换，以实现权值的动态解耦。
[0127] 将式(11)两边同乘以[C0T(x,r)Bn(x,r)]T可得：
[0128]
[0129] 取x∈[a1,b1]r∈[a2,b2]为随机变量取值范围，上式两边积分可得：
[0130]
[0131] 其中，
[0132] 其中，C1为k时刻输出概率密度函数均方根与基函数变换矩阵乘积的积分；
[0133] 其中，C2为k时刻输出概率密度函数均方根与第n个二维基函数Bn(x,r)的积分；
[0134] 其中，Q为Σ0、Σ1、Σ2变换形式，当基函数选定后并已知实际系统的输入输出数据时，Q为已知量。
[0135] 其中，Σ0为基函数变换向量C0(x,r)的平方值在其定义域内的积分；
[0136] 其中，Σ1为基函数变换向量C0(x,r)与第n个基函数乘积在其定义域范围的积分；
[0137] 其中，Σ2为第n个基函数Bn(x,r)平方在其定义域范围的积分；
[0138] a1为X轴设定区间内设定的下限值；b1为X轴设定区间内设定的上限值；
[0139] a2为R轴设定区间内设定的下限值；b2为R轴设定区间内设定的上限值；
[0140] Σ1T为Σ1的转置矩阵。
[0141] 当取得的B样条
正交时，式(13)中Q矩阵的逆总是存在，式(13)表示为：
[0142]
[0143] 式(14)实现了实现ωn(Vk)和Vk的动态解耦。
[0144] 4、三维输出PDF动态模型满足自然约束条件推导如下：
[0145] 因为γ(x,r,uk)为输出概率密度函数，则在其定义域范围内应满足积分为一的约束：
[0146]
[0147] 根据式(15)推出：
[0148] VkTΣ0Vk+2Σ1Vkωn(uk)+Σ2ωn2(uk)=1 (16)
[0149] 解式(16)可得
[0150]
[0151] 由上式得出ωn(uk)与Vk之间是非线性关系，并且ωn(uk)能用其它n-1个自由权值表示，记ωn(uk)=h(Vk)。为了保证上式有解，应该满足下式：
[0152] VkTΣ1TΣ1TVk-VkTΣ0Σ2Vk-Σ2≥0 (18)
[0153] 化简式(18)可得如下非线性约束
[0154] ||Vk||Σ≤1 (19)
[0155] 其 中，Vk 为(n-1)×1维 权 值 向 量；||Vk||Σ=VkTΣVk，表 示Vk 的Σ范 数；Σ为Σ0、Σ1和Σ2的变换向量。
[0156] 计算求得的系统权值只要满足式(19)所具备的条件，就能满足输出PDF在其定义域内积分为1的自然约束条件。
[0157] 通过上述推导得到三维输出PDF动态模型满足自然约束具备的条件为：
[0158] ||Vk||Σ≤1
[0159] 5、三维输出PDF的输入输出模型
[0160] 上述(9)式表示的权值动态关系在实际系统中不容易得到，于是，需要对建立的基于平方根B样条模型的三维输出PDF动态模型进行一下变换，将(10)(11)式表示的动态模型表示成输入输出形式。令
[0161]
[0162] 其中，f(x,r,uk)为具有输出特性的等价输出函数。对权值动态方程(10)引入位移算子z-1，将式(20)改写为：
[0163] f(x,r,uk)=C0(x,r)(I-Az-1)-1Buk-1 (21)
[0164] 然后根据(I-Az-1)-1B的展开式将上式化简，即得到三维输出PDF的输入输出模型：
[0165]
[0166] 其中，I为(n-1)×(n-1)为单位矩阵；n为选取的基函数个数；f(x,r,uk-i)为k-i时刻对应的等价输出函数；uk-i为k-i时刻对应的控制作用；uk-j-1为k-j-1时刻对应的控制T作用；ai为k-i时刻对应的f(x,r,uk-i)的系数，Dj=[dj1,…,dji,…,dj(n-1)] 为需要辨识的参数，dji为与C0(x,r)中的项相对应的系数。
[0167] Dj和ai都为(22)式中的未知量，根据(22)式的形式采用递归最小二乘算法辨识三维输出PDF的输入输出模型中的未知参数。辨识过程如下：
[0168] 定义
[0169] θ=[a1,…,an-1,d01,…,d0(n-1),d11,…,d1(n-1),…,d(n-2)1,…,d(n-2)(n-1)]T (23)[0170] φ(x,r,k)=[f(x,r,k-1),…,f(x,r,k-n+1),uk-1C01(x,r),…,uk-1C0(n-1)(x,r),…,[0171] uk-n+1C01(x,r),…,u0(k-n+1)C0(n-1)(x,r)]T (24)
[0172] 其中，θ为需要辨识的权值；φ（x,r,k)为已知量，当实际系统中采集到的输入输出数据确定时。
[0173] 取x∈[a1,b1]r∈[a2,b2]为随机变量取值范围，在其定义域范围内分别选择Nx和Nr个采样点来组成f(xi,rj,k)：
[0174] f(xi,rj,k)=θTφ(xi,rj,k) (25)
[0175] xi,rj为X轴和R轴的采样点，i=1,2,…,Nx，j=1,2,…,Nr。
[0176] 递归最小二乘算法定义如下：
[0177]T
[0178] ε(i,j)=f(xi,rj,k)-θ(i,j)φ(xi,rj,k) (27)
[0179]
[0180] 其 中，P(i,j)为 辨 识 参 数 时 所 需 变 换 矩 阵；ε(i,j) 为 辨 识 误 差；3-6
P(1,1)=10 In(n-1)为初始矩阵，其中，In(n-1)为n×(n-1)为单位矩阵；θ(1,1)=θ0为初始权值向量。
[0181] 三维输出PDF的输入输出模型参数辨识步骤如下：
[0182] (1)选择合适的二维B样条基函数，计算基函数Bi(x,r)(i=1,2,…,n)的值。
[0183] (2)在采样时刻k(k≥n)，收集系统控制输入{uk-1,…,uk-n+1}和定义域范围内采样点处γ(xi,rj,uk-1),…,γ(xi,rj,uk-n+1)的值；
[0184] (3)按 式 (14)计 算h(Vk-1),…,h(Vk-n-1) 值，按 定 义 计 算f(xi,rj,uk-1),…,f(xi,rj,uk-n+1)和φ(xi,rj,k)的值；
[0185] (4)根据式(26)-(28)，估计参数θ，记θ(Nx,Nr)为采样时刻k的估计值；
[0186] (5)如果k小于N，则k增加1，转向第二步。
[0187] 辨识后，θ为已知量，则得到三维输出PDF的输入输出模型：
[0188]
[0189] 6、瞬时优化跟踪控制器设计
[0190] 根据上面建立的三维输出PDF的输入输出模型，即可进行相应的控制器设计。设计控制器的目的是选择合适的控制输入使系统实际的输出PDF分布形状尽可能的逼近期望PDF分布形状，考虑建立的模型，假设模型的权值满足约束条件，于是选择平方根二次型性能指标：
[0191]
[0192] 根据式(20)(22)上式改写为：
[0193]
[0194] 其中：
[0195]
[0196] 展开式(30)得：
[0197]
[0198]
[0199] 采用优化控制的算法，对uk求偏导，令 则得到：
[0200]
[0201] 自此，在本发明中，一种三维输出概率密度函数的动态建模与控制器设计方法完毕。
[0202] 实施例如下：
[0203] 由于实验条件有限，不易得到实际系统的输入和输出数据，假设系统的动态向量A、B已知，下面构造基于平方根B样条模型的三维输出PDF动态模型为：
[0204] Vk=AVk-1+Buk-1
[0205]
[0206] 其中
[0207]
[0208] B=[0.0209 0.0448 0.0246 0.0292 0.0305]T；
[0209] 根据二维B样条基函数的定义，这里选择一维B样条基函数构造二维B样条函数。假设x,r的取值范围为x∈[0,1]r∈[0,1]，x和r轴上的基函数定义如下：
[0210] (1)X轴上的基函数：
[0211] B1(x)=xIx1+(2-x)Ix2
[0212] B2(x)=(x-1)Ix2+(3-x)Ix3
[0213] B3(x)=(x-2)Ix3+(4-x)Ix4
[0214] 其中 i=1,2,3,4
[0215] (2)R轴上的基函数
[0216]
[0217]
[0218] 其中 i=1,2,3,4
[0219] 控制器设计需要的已知量为：
[0220] 初始权值V0=[0.688 2.129 1.551 0.166 0.792]T；
[0221] 输入约束因子为R=0.0005；
[0222] 控制作用取值范围为u∈[0,1]；
[0223] 初始控制作用为u0=0.3；
[0224] 期望输出PDF对应的控制输入为u=0.65；
[0225] 这里选的二维B样条基函数如图1所示。图2，图3分别给出了三维线性系统的初始输出PDF分布和期望输出PDF分布图像，图4为跟踪给定输出分布的系统输出PDF响应曲面，最后时刻期望输出PDF与控制输出PDF的跟踪误差如图5所示，图6给出的是控制过程中控制输入作用的响应曲线，由图得到控制输入能够收敛并接近于期望输入。图7为控制过程中性能指标的变化曲线。
