一种量子物理层保密通信系统及其安全性分析方法
阅读：841发布：2020-05-13
专利汇可以提供一种量子物理层保密通信系统及其安全性分析方法专利检索，专利查询，专利分析的服务。并且本 发明 公开了一种量子物理层保密通信系统及其安全性分析方法，一种量子物理层保密通信系统，信息的发送方根据窃听检测过程估算误码率，然后根据误码率确定编码方案，通过对 光子 的量子态操作进行编码。信息的接收方通过测量光子的量子态变化进行解码。本发明通过光子的量子态进行编码，限制了窃听者获得的信息量，从而构建了量子物理层保密通信信道，基于量子 力 学基本原理保证了物理层安全通信合法信道所需的条件。，下面是一种量子物理层保密通信系统及其安全性分析方法专利的具体信息内容。
1.一种量子物理层保密通信系统，包括量子态的制备模块、量子态检测模块、编码模块以及解码模块，其特征在于：
所述量子态制备模块用于进行非正交量子态序列的制备，每个脉冲随机的处于四个非正交量子态|0>，|1>，|+>和|->之一，这里|0>和|1>为泡利Z算符的本征态，|±>＝(|0>±|1>)/√2是泡利X算符的本征态；
所述量子态检测模块对量子态误码率进行检测，通过随机的选择测量基对非正交量子态进行测量，通过测量结果估算误码率；
所述编码模块对整个光子序列进行编码，操作I和U分别对应编码为0和1，通过周期性的实施操作U和I编码频率信息，周期为T＝1/f，其中f为调制频率，不同的调制频率对应不同的二进制比特序列；
所述解码模块通过调制频率与二进制比特序列的对应关系进行解码，解码之后即可获得秘密信息。
2.一种量子物理层保密通信方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)假设Bob想要发送秘密信息给Alice，Alice准备N2个光脉冲，每个脉冲随机的处于四个非正交量子态|0>，|1>，|+>和|->之一，|0>和|1>为泡利Z算符的本征态，|±>＝(|0>±|1>)/√2是泡利X算符的本征态，Alice将制备好的光脉冲序列发送给Bob，Bob接收到光脉冲序列后告知Alice这一事实；
2)由于信道噪声和损耗的存在，Bob只能接收到N1(N1
3)剩余的(1-C)N1个光脉冲信号Bob将用于编码秘密信息(编码模式)，Bob首先从剩余的脉冲序列中随机的选择C(1-C)N1个光脉冲作为检测脉冲用于检测Bob→Alice信道中是否存在窃听者；对这些用于检测的光脉冲信号，Bob随机的进行操作U＝iσy＝|0><1|-|1><0|和I＝|0><0|+|1><1|，其中操作U和I分别表示对量子进行翻转和不翻转操作，剩余的光子通过多通道频率编码方案进行编码，这里进行频率编码时是调制量子态是否翻转；
4)Bob将编码后的光脉冲序列发送给Alice，由于Alice制备了量子态，所以知道每个光脉冲应该使用的测量基，并且Bob的编码操作并没有改变测量基；因此，Alice可以确定性的获得Bob编码的信息；Alice记录每个光脉冲的比特值，双方事先可以商定量子态翻转表示编码为1，不翻转表示编码为0；在去除检测脉冲之后，Alice只接收到N(N≤(1-C)2N1)个光脉冲信号用于解码信息，Alice和Bob公开比较检测比特以确保在Bob→Alice信道传输过程中窃听者并没有对信息进行恶意篡改；随后，Alice通过频谱分析确定Bob编码的秘密信息。
3.一种量子物理层保密通信系统的安全性分析方法，其特征在于：计算量子物理层保密通信系统中发送方发送的信息M和窃听者接收到的信号Z之间的互信息量，或者已知Z时M的条件熵H(M|Z)，当H(M|Z)越趋近于零时表示系统单脉冲安全容量越高，H(M|Z)＝0表示系统具有完美安全性。
一种量子物理层保密通信系统及其安全性分析方法
技术领域
[0001] 本申请涉及保密通信领域，具体涉及一种量子物理层保密通信系统及其安全性分析方法。
背景技术
[0002] 一次一密加密算法和物理层保密通信是目前已知的两种具备信息论安全性的通信方式。但是在实际通信过程中，经典通信方式无法有效的执行这两种通信方式。例如在密钥的分发以及合法信道的构建等，通过经典通信方式难以完成。
[0003] 量子通信基于量子力学基本原理可实现安全性可证明的通信，其与经典通信的本质区别在于其能够实时监测信道中是否存在窃听者。从1984年提出第一个量子密钥分发方案以来，已经有多种量子通信方案被提出，如量子密钥分发、量子秘密共享、量子物理层保密通信以及量子隐形传态等。其中，部分方案已经实现了商业化。
[0004] 量子物理层保密通信是一种重要的量子通信模式，相比于量子密钥分发，量子物理层保密通信能够在保证信息安全传输的前提下直接通过量子信道传输信息，而不需要通信双方事先建立密钥。但是在实际应用中，由于采用单光子量子的光源作为信息载体，信道损耗和噪声会导致信息的丢失和误码。发明内容
[0005] 鉴于此，本发明的目的在于，提供一种量子物理层保密通信系统及其安全性分析方法，旨在克服现有通信过程中存在的采用单光子光源作为信息载体，信道损耗和噪声会导致信息的丢失和误码。
[0006] 为了达到上述发明目的，进而采取的技术方案如下：
[0007] 一种量子物理层保密通信系统，包括量子态的制备模块、量子态检测模块、编码模块以及解码模块；
[0008] 所述量子态制备模块用于进行非正交量子态序列的制备，每个脉冲随机的处于四个非正交量子态|0>，|1>，|+>和|->之一，这里|0>和|1>为泡利Z算符的本征态，|±>＝(|0>±|1>)/√2是泡利X算符的本征态；
[0009] 所述量子态检测模块对量子态误码率进行检测，通过随机的选择测量基对非正交量子态进行测量，通过测量结果估算误码率；
[0010] 所述编码模块对整个光子序列进行编码，操作I和U分别对应编码为0和1，通过周期性的实施操作U和I编码频率信息，周期为T＝1/f，其中f为调制频率，不同的调制频率对应不同的二进制比特序列；
[0011] 所述解码模块通过调制频率与二进制比特序列的对应关系进行解码，解码之后即可获得秘密信息。
[0012] 一种量子物理层保密通信方法，包括以下步骤：
[0013] 1)假设Bob想要发送秘密信息给Alice，Alice准备N2个光脉冲，每个脉冲随机的处于四个非正交量子态|0>，|1>，|+>和|->之一，|0>和|1>为泡利Z算符的本征态，|±>＝(|0>±|1>)/√2是泡利X算符的本征态，Alice将制备好的光脉冲序列发送给Bob，Bob接收到光脉冲序列后告知Alice这一事实；
[0014] 2)由于信道噪声和损耗的存在，Bob只能接收到N1(N1信号，接下来，Bob随机的从N1个脉冲中选择CN1(0制模式)；Bob对这些光脉冲信号随机的使用X和Z测量基进行测量，然后公布用于窃听检测的脉冲位置，使用的测量基以及测量结果；Alice接收到Bob公布的测量结果之后与自己制备的量子态进行比较即可获得误码率；如果测量得到的误码率高于事先设定的阈值，则双方放弃本次通信，如果误码率低于阈值，则认为Alice→Bob信道是安全的，进行步骤3)；
[0015] 3)剩余的(1-C)N1个光脉冲信号Bob将用于编码秘密信息(编码模式)，Bob首先从剩余的脉冲序列中随机的选择C(1-C)N1个光脉冲作为检测脉冲用于检测Bob→Alice信道中是否存在窃听者；对这些用于检测的光脉冲信号，Bob随机的进行操作U＝iσy＝|0><1|-|1><0|和I＝|0><0|+|1><1|，其中操作U和I分别表示对量子进行翻转和不翻转操作，剩余的光子通过多通道频率编码方案进行编码，这里进行频率编码时是调制量子态是否翻转；
[0016] 4)Bob将编码后的光脉冲序列发送给Alice，由于Alice制备了量子态，所以知道每个光脉冲应该使用的测量基，并且Bob的编码操作并没有改变测量基；因此，Alice可以确定性的获得Bob编码的信息；Alice记录每个光脉冲的比特值，双方事先可以商定量子态翻转表示编码为1，不翻转表示编码为0；在去除检测脉冲之后，Alice只接收到N(N≤(1-C)2N1)个光脉冲信号用于解码信息，Alice和Bob公开比较检测比特以确保在Bob→Alice信道传输过程中窃听者并没有对信息进行恶意篡改；随后，Alice通过频谱分析确定Bob编码的秘密信息。
[0017] 一种量子物理层保密通信系统的安全性分析方法，通过计算量子物理层保密通信系统中发送方发送的信息M和窃听者接收到的信号Z之间的互信息量判断通信系统的安全性，或者已知Z时M的条件熵H(M|Z)，当H(M|Z)越趋近于零时表示安全性级别越高，H(M|Z)＝0表示系统具有完美安全性。
[0018] 本发明的有益效果是：本发明的编码模块采用了多通道频率编码的方案，具有极强的抗损耗能力。信息编码在光子序列的频谱上而不是单个光子，因此，部分光子的丢失只会影响最终频谱的信噪比。发送方根据窃听检测过程估算误码率，然后根据误码率确定编码方案，通过对光子的量子态操作进行编码，信息的接收方通过测量光子的量子态变化进行解码。通过光子的量子态进行编码，限制了窃听者获得的信息量，从而构建了量子物理层保密通信信道，基于量子力学基本原理保证了物理层安全通信合法信道所需的条件。本发明基于搭线窃听信道模型对系统安全性进行分析，当窃听检测过程获得的误码率e小于误码率阈值et时I(A:B)>I(B:E)，这里，I(A:B)是Alice和Bob之间的互信息量，I(B:E)是Bob与Eve之间的互信息量。接下来我们会证明当I(A:B)>I(B:E)的条件满足时，Bob总能找到一种前向纠错码使得信息能够以任意低的误码率和信息泄露进行传输。附图说明
[0019] 构成本申请的一部分的附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。在附图中：
[0020] 图1为偏振态频率编码方案示意图；
[0021] 图2为安全性分析信道模型。
具体实施方式
[0022] 需要说明的是，在不冲突的情况下，本申请中的实施例及实施例中的特征可以相互组合。下面将参考附图并结合实施例来详细说明本发明。
[0023] 为了使本技术领域的人员更好地理解本申请方案，下面将结合本申请实施例中的附图，对本申请实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本申请一部分的实施例，而不是全部的实施例。基于本申请中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都应当属于本申请保护的范围。
[0024] 本发明提供了一种量子物理层保密通信系统，包括：量子态的制备模块、量子态检测模块、编码模块以及解码模块；
[0025] 其中所述量子态制备模块进行非正交量子态序列的制备。每个脉冲随机的处于四个非正交量子态|0>，|1>，|+>和|->之一，这里|0>和|1>为泡利Z算符的本征态，|±>＝(|0>±|1>)/√2是泡利X算符的本征态。之后，Alice将制备好的光脉冲序列发送给Bob，Bob接收到光脉冲序列后告知Alice这一事实。
[0026] 其中所述量子态检测模块对量子态误码率进行检测。通过随机的选择测量基对非正交量子态进行测量，通过测量结果估算误码率。
[0027] 其中所述编码模块中信息被直接编码在光子序列上，操作I和U分别对应编码为0和1。操作U对量子态进行翻转而不改变测量基，即
[0028] U|0>＝-|1>,U|1>＝|0>,
[0029] U|+>＝|->,U|->＝-|+>. (1)
[0030] 与原始的两路协议不同，频率编码技术对整个光子序列进行编码，通过周期性的实施操作U和I编码频率信息，周期为T＝1/f，其中f为调制频率。不同的调制频率对应不同的二进制比特序列。在Alice解码之后通过调制频率与二进制比特序列的对应关系即可获得秘密信息。在不考虑检测比特时，Bob对光子序列的编码操作可以用下式进行描述[0031]
[0032] 当调制信号处于高电平时，Bob执行操作U＝iσy＝|0><1|-|1><0|。当调制信号处于低电平时，Bob执行操作I＝|0><0|+|1><1|。80个光子随机的分布在1ms时间范围内，调制频率为200kHz。
[0033] 表1基于偏振态调制的多通道频率编码
[0034]
[0035] 表1是Bob端进行频率信息加载时所进行的操作。初始光子序列随机的处于四个偏振态之一，编码操作之后偏振态要么不发生变化，要么发生偏振态的翻转。为方便显示，表中省略了空脉冲。通过对表1中(x(i)，τi)进行离散傅里叶变换即可获得发送方Bob加载的调制频率信息。离散傅里叶变换公式为
[0036]
[0037] 式中x(i)依赖于Bob执行的操作I或U。τi表示第i个光子到达探测器的时间。由于信道损耗以及单光子探测器量子效率等因素的限制并不是所有的编码的光脉冲都可以到达Alice端。但是，我们采用的频率编码方案具有极强的抗损耗能力。信息编码在光子序列的频谱上而不是单个光子，因此，部分光子的丢失只会影响最终频谱的信噪比。但是对于窃听者Eve，由于其并不能判断Bob对每个脉冲的编码操作，因此，Eve无法获取x(i)信息，因此其获得的频谱仍然是白噪声。Alice确认调制频率之后，根据事先设定好的调制频率与信息的对应关系即可读取秘密信息。
[0038] 接下来我们通过一个实施例进行进一步说明。强衰减激光(1550nm)作为通讯系统光源，脉冲重复频率为10MHz。Alice将制备的非正交量子态序列发送给Bob，接收到光脉冲序列之后Bob通过分束器随机的选择实施控制模式和编码模式。控制模式下，Bob随机的选择测量基进行测量，并公布测量结果。Alice通过Bob公布的测量结果即可计算得到误码率，并与预置的误码率阈值进行比较。在编码模式下，通过串联两个电光调制器(EO-AM-NR-C3)能够实现任意输入偏振态的翻转操作。两个电光调制器的光轴呈45°角摆放。经过编码之后的光脉冲序列被发送回Alice端，经过偏振控制器和偏振分束器之后被单光子探测器(QCD300)探测。在执行控制模式时，剩余的光子序列暂时通过光纤延时线进行延时。
[0039] 单个电光调制器可以实现两个固定偏振方向(如45°，135°)的偏振翻转，但无法实现任意四种偏振态的翻转。实验中需要两个电光调制器串联。并且保证两个调制器光轴呈45°偏转。假设第一个电光调制器快慢光轴呈0°，90°。那么第二个电光调制器呈45°和135°。
入射光脉冲随机处于0°，45°，90°，135°。当施加电压为0时，所有偏转态都不发生变化。当电压为半波电压V0时，经过第一个电光调制器后45°，135°入射光发生翻转，并且与第二个调制器快慢光轴重合，经过第二个电光调制器后偏转态不再发生变化。同理，对于0°和90°的入射脉冲，经过第一个电光调制器偏振态不发生变化，经过第二个电光调制器后偏振态发生翻转。
入射光脉冲随机处于0°，45°，90°，135°。当施加电压为0时，所有偏转态都不发生变化。当电压为半波电压V0时，经过第一个电光调制器后45°，135°入射光发生翻转，并且与第二个调制器快慢光轴重合，经过第二个电光调制器后偏转态不再发生变化。同理，对于0°和90°的入射脉冲，经过第一个电光调制器偏振态不发生变化，经过第二个电光调制器后偏振态发生翻转。
[0040] 在电压为0时，晶体自身存在双折射效应，因此实验中使用的每个电光调制器都由两块晶体构成(两个调制器共四块晶体)，其中第二块晶体与第一块晶体对偏振态的作用正好相反。而且我们只在第一块晶体上施加电压。这样就可以消除电压为0时晶体双折射效应的影响。
[0041] 分析一个通信系统的信息论安全性一个重要步骤就是计算发送方发送的信息M和窃听者接收到的信号Z之间的互信息量，或者说是已知Z时M的条件熵H(M|Z)。当H(M|Z)越趋近于零时表示安全性级别越高，H(M|Z)＝0表示系统具有完美安全性。保密容量定义为Cs＝H(M)-H(M|Z)，给出了防窃听编码可以实现的最大安全传输速率。对于一个单输入单输出的高斯信道，如我们介绍的多通道频率编码，其保密容量可以表示为:
[0042] Cs＝log(1+SNRm)-log(1+SNRw)， (4)
[0043] 式中SNRm和SNRw分别表示合法信道和窃听信道的信噪比。上式表示保密容量为合法信道和窃听信道的信道容量之差。需要指出的是，保密容量虽然被用来分析物理层安全性，但是其只提供了一个理论极限，并没有给出具体的构造码字的方法，并且假设码字长度n趋近于无穷。
[0044] 1.量子物理层保密通信信道模型
[0045] 我们通过两路协议结合频率编码实现了量子物理层保密通信。信道模型如图2所示，假设Bob要传输秘密信息给Alice。首先，Alice制备一个光脉冲序列，序列中的每个脉冲A随机的处于四个量子态|0>，|1>，|+>和|->之一，因此，密度算符可以表示为ρ＝(|0><0|+|
1><1|)/2。Alice将制备好的光脉冲序列发送给Bob，Bob随机的以几率PC选取部分量子比特进行窃听检测，窃听检测过程与BB84协议中的窃听检测过程相同，即Bob以相同的概率随机的选择测量基X或Z对量子态进行测量，且保证测量过程相互独立。随后，Bob通过公开信道将测量基和测量结果发送给Alice。Alice确认那些测量位置使用了正确的测量基，并舍弃那些使用错误测量基的测量结果。Alice通过比对Bob发送来的测量结果与自己制备的量子态既可获得误码率e。如果误码率高于事先设定好的误码率阈值et，则双方放弃本次通信。
否则，Alice→Bob信道被认为是安全的，Bob使用剩余的量子比特进行编码。编码方案由通信双方提前商定并根据窃听检测获得的误码率进行合理设计。比特0和1分别由操作I＝|0><0|+|1><1|和U＝|0><1|-|1><0|表示。Bob以概率PC随机的插入检测比特以防Eve会在Bob→Alice信道中对已经编码的信息进行恶意篡改。Bob将编码后的光脉冲序列返回给Alice，Alice通过测量获得比特序列，根据双方事先商定的编解码方案进行解码即可获得Bob发送的秘密信息。
1><1|)/2。Alice将制备好的光脉冲序列发送给Bob，Bob随机的以几率PC选取部分量子比特进行窃听检测，窃听检测过程与BB84协议中的窃听检测过程相同，即Bob以相同的概率随机的选择测量基X或Z对量子态进行测量，且保证测量过程相互独立。随后，Bob通过公开信道将测量基和测量结果发送给Alice。Alice确认那些测量位置使用了正确的测量基，并舍弃那些使用错误测量基的测量结果。Alice通过比对Bob发送来的测量结果与自己制备的量子态既可获得误码率e。如果误码率高于事先设定好的误码率阈值et，则双方放弃本次通信。
否则，Alice→Bob信道被认为是安全的，Bob使用剩余的量子比特进行编码。编码方案由通信双方提前商定并根据窃听检测获得的误码率进行合理设计。比特0和1分别由操作I＝|0><0|+|1><1|和U＝|0><1|-|1><0|表示。Bob以概率PC随机的插入检测比特以防Eve会在Bob→Alice信道中对已经编码的信息进行恶意篡改。Bob将编码后的光脉冲序列返回给Alice，Alice通过测量获得比特序列，根据双方事先商定的编解码方案进行解码即可获得Bob发送的秘密信息。
[0046] 对上述通信协议的安全性证明分为两步进行，在接下来的小节中我们首先会证明当窃听检测过程获得的误码率e小于误码率阈值et时I(A:B)>I(B:E)，这里，I(A:B)是Alice和Bob之间的互信息量，I(B:E)是Bob与Eve之间的互信息量。接下来我们会证明当I(A:B)>I(B:E)的条件满足时，Bob总能找到一种前向纠错码使得信息能够以任意低的误码率和信息泄露进行传输。
[0047] 从上述分析中我们发现通信过程分为两部分，首先是构建优于窃听信道的合法信道，这一步骤通过Bob在控制模式中检测的误码率决定，当误码率低于阈值说明合法信道构建成功，在接下来的通信过程中窃听者获得的信息量将低于合法接收方。当误码率低于阈值时，说明信道构建失败，双方放弃本次通信重新构建信道。需要注意的是，与传统的物理层保密通信不同，本协议中，窃听信道和合法信道在物理系统上并没有分别，即都指的是同一个光纤信道。
[0048] 2.安全信息比特率
[0049] 为了获取Bob编码操作的信息，Eve需要知道量子态在经过Bob的基站之后是否发生变化，即Bob是否执行了翻转操作。因此，Eve需要对Alice→Bob以及Bob→Alice信道进行操作。Eve的窃听操作可以使用幺正操作结合附属粒子进行描述：
[0050] UAE|0>A|E>＝c00|0>A|E00>+c01|1>A|E01>,
[0051] UAE|1>A|E>＝c11|1>A|E11>+c10|0>A|E10>,
[0052] UAE|+>A|E>＝c++|+>A|E++>+c+-|->A|E+->,
[0053] UAE|->A|E>＝c--|->A|E-->+c-+|+>A|E-+>， (5)
[0054] 这里cij，(i,j＝0，1，+，-)表示非负实数，|Eij>，(i,j＝0，1，+，-)为归一化向量。假设在Eve对Alice→Bob信道进行攻击操作之后，Alice发送的量子态和Eve的附属粒子构成的联合态可以表示为
[0055]
[0056] 当Bob执行编码模式时，由于编码的信息一般存在一定的冗余度，这样会降低传输效率。比如26个因为字母能够传输的信息为Hmax＝log2(1/26)＝4.7bit/symbol，但是由于英文对不同字母使用概率不同，统计结果显示，每个字母代表H(2005)＝4.2bit/symbol的信息，即使用效率为0.89。假设Bob的执行编码操作时编码0,1的概率分别为P0和1-P0，则经过Bob的编码操作之后密度算符变为
[0057]
[0058] 式中 Bob的编码操作之后，量子比特序列被发送回Alice。在渐近方案中，安全信息比特率rs受限于条件熵S(ρA|ρBE)，这里S(ρA|ρBE)＝S(ρABE)-S(ρBE)。因此，安全信息比特率可以表示为
[0059] rs＝h(P0)-h(ξ)， (8)
[0060] 上式中 c1＝c01＝c10；h(x)＝-xlog2x-(1-x)log2(1-x)是二进制香农熵函数。我们假设 根据香农信息论，通过压缩编码，具有一定冗余度的信息可以被压缩，因此，不是一般性我们假设H(P0)＝1。
[0061] 在实际通信系统中，信道损耗和噪声是不可避免的。Alice需要估计Alice→Bob信道的误码率，假设Bob→Alice信道有相同的误码率(实际上，如果两路传输使用同一光纤信道由于偏振自补偿效应，Bob→Alice信道误码率反而会有所下降)。在渐近方案中，在考虑集体攻击时，Bob能够发送秘密信息的安全传输码率可以表示为
[0062] rsi≤(1-PC)2{tw(1-h(e))-tfh(ξ)}， (9)
[0063] 式中tf表示Alice→Bob信道的透射率，tb是Bob→Alice信道的透射率；tw＝tf*tb，ξ＝1-2e。
[0064] 3.防窃听编码
[0065] 现有的两路协议解决噪声和损耗的方法主要分为两种：一种是量子隐私放大，其目的是压缩Eve能够获得的量子态信息。另一种是经典纠错编码方式，通过经典的编码方式来实现纠错和防窃听的功能。后一种方式允许窃听者获得部分量子态信息，通过经典编码方式使得窃听者虽然获得了量子态信息，却对要传输的秘密信息一无所知。这个过程类似于QKD协议中的隐私放大过程。相比于第一种方式，第二种方法在实验上更易实现，具有更强的实用性。
[0066] 接下来我们从香农信息论触发介绍防窃听编码的原理。以n个二进制字符为例，序列中0的个数为n(1-p),1的个数是np。不同典型序列的数目为二项式系数
[0067]
[0068] 当n→∞时，
[0069]
[0070] 这里H(p)＝-plogp-(1-p)log(1-p)，称为香农熵函数。由此，典型序列的数目在量级上是2nH(p)。于是可以用一个长为nH(p)的二进制序列来规定任一给定的长度为n字符的信息。
[0071] 对于一条n位长的输入码字，误差将引起大约np位的误翻转，在接收端将输入扩散到2nH(p)个典型弦中的一个。占据着以输入弦为中心，以汉明距离np为半径的一个“球”。所以在接收端每个被编在n位中的k位码字符都扩散为一个“球”，一共有2k2nH(p)个可能的典型序列。为了可靠的解码，就必须保证任意两个码符的误差球不发生交叠，并且弦的总数不能超过输出信息总数2n。即需要：
[0072] 2nH(p)2nR≤2n. (12)
[0073] 可得
[0074] 0≤R≤1-H(p)≡C(p). (13)
[0075] 在量子通信中，不仅面临信道噪声问题，而且还面临信息载体(一般为光子)的丢失问题。接下来我们将描述在有损耗和噪声存在的量子信道。我们会展示当安全信息比特率rsi>0时，Bob总能找到一种编码方式实现信息的安全准确传输，这里我们只考虑渐近方案，即比特序列无限长的情况。协议的安全性依赖于Eve试图获得信息时会引入误码率。但是由于信道本身噪声的存在，系统本身在没有窃听者存在时仍然会有误码率存在。为了保证通信的安全性，我们必须假设所有的误码都是由窃听者的窃听操作导致的。
[0076] 假设二进制对称信道的透射率为tB，这一过程可以用下面的条件概率表示[0077] p(0|0)＝p(1|1)＝tB(1-p),
[0078] p(1|0)＝p(0|1)＝ptB， (14)
[0079] 如果编码的比特在传输过程中丢失，即考虑信道既是噪声信道也是擦除信道，这种情况下我们可以假设该位置取比特0,1的概率各占1/2。因此，单个脉冲的二进制熵表示为
[0080] HB＝tB[-plogp-(1-p)log(1-p)]+(1-tB)， (15)
[0081] 根据我们之前的描述，只有2k个码字用于编码，而且为了正确解码，每个码字之间的汉明距离需要大于 并且
[0082]
[0083] 即
[0084] 0≤R≤C≡1-HB， (17)
[0085] 这里R表示每脉冲平均信息比特率，C表示信道容量。根据噪声信道编码定理，当n趋近于无穷时，如果R
[0086] 考虑最坏的情况，Eve使用一个没有噪声和损耗的完美信道。窃听者Eve能够获得的信息量受限于合法通信双方在窃听检测过程中测量得到的误码率。窃听者Eve的汉明球半径表示为 其中HE＝1-tE，Alice的汉明球半径为
[0087] 为了保证正确解码，Bob用于编码的每个码字之间的汉明距离至少需要大于因此，必须满足以下两个条件
[0088]
[0089]
[0090] 满足公式(18)能够保证信息传输的准确性，满足条件公式(19)能够保证信息的安全传输速率大于零。
[0091] 当窃听者的汉明球半径三倍于Alice的汉明球半径时，Eve无法区分相邻两个码字，这里相邻码字指两个码字的汉明距离最小。如果不考虑安全性，信道容量为nR，但是为了保证信息传输的安全，此时只有相邻码字可以用于编码信息，因此，只能编码一个比特的信息。如果能够进一步限制窃听者获得的信息量，比如降低系统误码率，信道损耗等，窃听者的汉明球半径将进一步增大。这意味着窃听者无法区分的码字数量增加，更多的比特可以被编码。每脉冲信息传输率可以表示为
[0092] r＝HE-HA. (20)
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