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一种基于线性微分算子的弹性形变模拟方法

阅读：235发布：2021-02-10

专利汇可以提供一种基于线性微分算子的弹性形变模拟方法专利检索，专利查询，专利分析的服务。并且本发明公开了一种基于线性微分算子的弹性形变模拟方法。使用基于定义在形变网格模型几何属性上的线性微分算子的弹性能量，替代传统的基于连续介质力学的非线性能量，利用欧拉－拉格朗日运动公式对于弹性物体的形变过程在计算机中进行模拟计算。同时，针对此种计算模型，进一步利用降维求解、空域自适应加速等技术对计算过程进行优化，使得模拟过程可以达到交互甚至实时的效率，并可以模拟不同材质的弹性以及塑性物体的形变过程。本发明基于线性微分算子的形变能量形式，通过转化求解的模型，降低了计算的复杂度，提高了模拟求解的计算效率，保持了非常逼真的模拟效果。解决了在实时或交互级虚拟仿真系统中对于弹性物体的形变过程的快速模拟问题。，下面是一种基于线性微分算子的弹性形变模拟方法专利的具体信息内容。

权利要求

1.一种基于线性微分算子的弹性形变模拟方法，其特征在于包括以下四个步骤：
1)定义在三维模型几何属性上的一类线性微分算子，用来描述三维模型表面或者内部的变形情况，不同的微分算子对应于不同的模拟效果，并针对每种微分算子定义相应的形变能量；
2)对于上述微分算子，首先使用最小二乘技术解得每个顶点处的一个最优的线性变换，再应用空域自适应加速的技术，利用结合质量加权的极分解方法，计算三维模型每个顶点处的局部旋转量；
3)使用步骤1)中定义的形变能量并结合步骤2)中得到的局部旋转量，经过求导计算得到弹性模拟中的刚度矩阵以及梯度矩阵；
4)将步骤1)、2)、3)中求取的各分量带入欧拉-拉格朗日运动方程，应用降维求解技术，使用隐式欧拉法进行模拟求解。
2.根据权利要求1所述的一种基于线性微分算子的弹性形变模拟方法，其特征在于：所述的定义在三维模型几何属性上的线性微分算子形式，包括基于顶点的拉普拉斯算子，用来模拟实体的运动形变效果；或基于边的方向梯度算子，用来模拟薄壳形变效果。
3.根据权利要求2所述的一种基于线性微分算子的弹性形变模拟方法，其特征在于：所述的基于顶点的拉普拉斯算子，其定义如下：
$L_{i} x = Σ_{j \in N_{i}} w_{ij} (x_{j} - x_{i})$
其中Li为定义在第i个顶点上的微分算子，Ni表示节点i的所有邻接顶点。wij 表示未形变模型网格上的余切形式的拉普拉斯算子系数，xi为第i个顶点未形变前的顶点坐标，x为未知数，表示形变后的顶点位置，相应的形变能量定义形式如下：
$V (x) = \frac{λ}{2} Σ_{i \in K} {| | L_{i} x - R_{i} (x) d_{i} | |}^{2}$
其中V(x)为定义在整个模型网格上的形变能量，K表示该网格的拓扑连接关系，Ri表示节点i处相对于未形变状态的局部旋转，标量λ相当于杨氏模量，描述材料的软硬程度，表示节点i在未形变模型网格上的拉普拉斯坐标。
4.根据权利要求2所述的一种基于线性微分算子的弹性形变模拟方法，其特征在于：所述的基于边的方向梯度算子，其定义如下：
Lijx＝wij(xj-xi)
其中Lij为定义在第i个顶点和第j个顶点所构成的边上的微分算子，wij为边 (i，j)的权重，权重的取值与模型的采样密度相关；
相应的形变能量定义形式如下：
$V (x) = \frac{λ}{2} Σ_{i \in K} Σ_{(i, j) \in K} {| | L_{ij} x - R_{i} (x) d_{ij} | |}^{2}$
其中dij表示边(i，j)在未形变模型网格上的拉普拉斯坐标。
5.根据权利要求1所述的一种基于线性微分算子的弹性形变模拟方法，其特征在于：所述的对于三维模型每个顶点处的局部旋转量，首先使用最小二乘技术解得每个顶点处的一个最优的线性变换，再使用结合质量加权的极分解方法进行求解，并且对此过程使用空域自适应加速的技术进行优化。
6.根据权利要求5所述的一种基于线性微分算子的弹性形变模拟方法，其特征在于：所述的使用最小二乘技术解得每个顶点处的一个最优的线性变换，利用线性变换定义将问题转化为最优化一个最小二乘能量的形式并求解得到结果的解析形式，从而进一步使用极分解方法提取旋转不变量。
7.根据权利要求5所述的一种基于线性微分算子的弹性形变模拟方法，其特征在于：所述的使用空域自适应加速的技术，自适应的选取有代表性的节点，计算其局部旋转，然后把它扩散到其他顶点上，算法从少数种子点开始，以贪婪的方式对节点进行广度优先遍历，在遍历过程中，自动识别出代表节点。
8.根据权利要求7所述的一种基于线性微分算子的弹性形变模拟方法，其特征在于：所述的广度优先遍历，遍历过程中，需要判断一个旋转矩阵是否能够代表其他节点的局部旋转，在比较节点的变换矩阵过程中，采用“旋转灵敏”准则，忽略伸缩、切错，仅仅比较旋转部分，大大提高了比较的效率和准确性。
9.根据权利要求1所述的一种基于线性微分算子的弹性形变模拟方法，其特征在于：所述的模拟求解，应用降维求解技术，简化计算模型，并转化了欧拉- 拉格朗日公式的形式，将需要求解的变量维数大大降低，再使用隐式欧拉法进行模拟求解。
10.根据权利要求9所述的一种基于线性微分算子的弹性形变模拟方法，其特征在于：所述的降维求解技术，针对弹性体模拟自由度太高，导致问题规模过大且求解稳定性不高的问题，运用降维策略将形变模拟中需要求解的高维变量投影到低维的线性空间中。其中包括两种方法：基于输入的变形样本的方法，对于给定样本，应用mass-PCA技术选择出最重要的基向量作为降维后形变空间的正交基；基于模态分析的方法，对于没有形变样本的场合，通过求解广义特征值问题，对形变空间进行分解，选取小特征值对应的特征向量为形变空间的基。

说明书全文

技术领域

本发明涉及弹性体物体形变的计算机动画仿真模拟，尤其涉及一种基于线性微分算子的弹性形变模拟方法。

技术背景

很多方法往往通过基于物理的弹性体模拟来得到三维模型变形的结果。好处不仅仅是因为可以获得高度真实感的变形结果，而且可以得到运动序列以满足计算机动画的需要。模拟的速度，稳定性，大形变时候的误差是其中最为关键的几个问题。总的来说，各种算法都在寻找性能与效果之间的平衡。而基于物理定律的方法大致可以分为线性弹性模型的方法和非线性弹性模型的方法。弹性模型的选取与运动方程的求解策略密切相关，互相影响。

物理模拟中，对变形体常见的表示方法包括弹簧质点模型，有限元模型，无网格表达等等。这些方法都属于拉格朗日类型的，也就是说对物体Ω的采样记录在物体局部坐标系内(称为材料坐标)，在模拟过程中采样点世界坐标发生的变化就代表了物体的运动。弹簧质点模型是最简单的一种。采样点表征物体的质量属性，而弹性属性则通过临近采样点之间的无质量弹簧来表达。基于弹簧质点模型这种思想的方法大都非常直观简单，容易实现，而且计算代价比较低，但是精度较差。

更为精确的基于连续介质模型的有限元方法则不是简单的把物体用质点离散开，而是用四面体，六面体等基本单元把原物体填起来。物体的属性在单元内部表达为单元顶点处物体属性的某种加权(加权函数通常称为型函数，或者基函数B)。无网格表达方法去掉了有限元模型中基本单元拓扑的描述，仅通过物体的离散采样点，以及采样点上的型函数来近似原物体。但是基于此种模型的方法虽然精度较高，但是计算非常复杂，极其耗时，不能用于实时或者交互的仿真模拟应用。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术的不足，提出一种基于线性微分算子的弹性形变模拟方法。该方法使用一种基于定义在形变网格模型几何属性上的线性微分算子的弹性能量，替代传统的基于连续介质力学的非线性能量，利用欧拉- 拉格朗日运动公式对于弹性物体的形变过程在计算机中进行模拟计算。同时，针对此种计算模型，进一步利用降维求解、空域自适应加速等技术对计算过程进行优化，使得模拟过程可以达到交互甚至实时的效率，并可以模拟不同材质的弹性以及塑性物体的形变过程。
为实现上述的目的，本发明采用的技术方案包括以下四个步骤：
1)定义在三维模型几何属性上的一类线性微分算子，用来描述三维模型表面或者内部的变形情况，不同的微分算子对应于不同的模拟效果，并针对每种微分算子定义相应的形变能量；
2)对于上述微分算子，首先使用最小二乘技术解得每个顶点处的一个最优的线性变换，再应用空域自适应加速的技术，利用结合质量加权的极分解(polar decomposition)方法，计算三维模型每个顶点处的局部旋转量；
3)使用步骤1)中定义的形变能量并结合步骤2)中得到的局部旋转量，经过求导计算得到弹性模拟中的刚度矩阵以及梯度矩阵；
4)将步骤1)、2)、3)中求取的各分量带入欧拉-拉格朗日运动方程，应用降维求解技术，使用隐式欧拉法进行模拟求解。
所述的定义在三维模型几何属性上的线性微分算子形式，包括基于顶点的拉普拉斯(Laplacian)算子，用来模拟实体的运动形变效果；基于边的方向梯度算子，用来模拟薄壳形变效果。
所述的基于顶点的拉普拉斯算子，其定义如下：

L_{i} x = Σ_{j \in N_{i}} w_{ij} (x_{j} - x_{i})

其中Li为定义在第i个顶点上的微分算子，Ni表示节点i的所有邻接顶点。wij 表示未形变模型网格上的余切形式的拉普拉斯算子系数，xi为第i个顶点未形变前的顶点坐标，x为未知数，表示形变后的顶点位置，相应的形变能量定义形式如下：

V (x) = \frac{λ}{2} Σ_{i \in K} {| | L_{i} x - R_{i} (x) d_{i} | |}^{2}

其中V(x)为定义在整个模型网格上的形变能量，K表示该网格的拓扑连接关系，Ri表示节点i处相对于未形变状态的局部旋转，标量λ相当于杨氏模量，描述材料的软硬程度，di表示节点i在未形变模型网格上的拉普拉斯坐标。
所述的基于边的方向梯度算子，其定义如下：
Lijx＝wij(xj-xi)
其中Lij为定义在第i个顶点和第j个顶点所构成的边上的微分算子，wij为边 (i，j)的权重，权重的取值与模型的采样密度有关，
相应的形变能量定义形式如下：

V (x) = \frac{λ}{2} Σ_{i \in K} Σ_{(i, j) \in K} {| | L_{ij} x - R_{i} (x) d_{ij} | |}^{2}

其中dij表示边(i，j)在未形变模型网格上的拉普拉斯坐标。
所述的对于三维模型每个顶点处的局部旋转量，首先使用最小二乘技术解得每个顶点处的一个最优的线性变换，再使用结合质量加权的极分解方法进行求解，并且对此过程使用空域自适应加速的技术进行优化。
所述的使用最小二乘技术解得每个顶点处的一个最优的线性变换，利用线性变换定义将问题转化为最优化一个最小二乘能量的形式并求解得到结果解析形式，从而进一步使用极分解方法提取旋转不变量。
所述的使用空域自适应加速的技术，自适应的选取有代表性的节点，计算其局部旋转，然后把它扩散到其他顶点上，算法从少数种子点开始，以贪婪的方式对节点进行广度优先遍历。在遍历过程中，自动识别出代表节点。
所述的广度优先遍历，遍历过程中，需要判断一个旋转矩阵是否能够代表其他节点的局部旋转，在比较节点的变换矩阵过程中，采用“旋转灵敏”准则，忽略伸缩、切错，仅仅比较旋转部分，大大提高了比较的效率和准确性。
所述的应用降维求解技术，简化计算模型，并转化了欧拉-拉格朗日公式的形式，将需要求解的变量维数大大降低，再使用隐式欧拉法进行模拟求解。
所述的降维求解技术，针对弹性体模拟自由度太高，导致问题规模过大且求解稳定性不高的问题，运用降维策略将形变模拟中需要求解的高维变量投影到低维的线性空间中。其中包括两种方法：基于输入的变形样本的方法，对于给定样本，应用mass-PCA技术选择出最重要的基向量作为降维后形变空间的正交基；基于模态分析的方法，对于没有形变样本的场合，通过求解广义特征值问题，对形变空间进行分解，选取小特征值对应的特征向量为形变空间的基。
本发明与背景技术相比，具有的有益效果是：
本方法创新性的提出了基于线性微分算子的形变能量形式，通过转化求解的模型，降低了计算的复杂度，大大提高了模拟求解的计算效率，同时保持了非常逼真的模拟效果。本方法解决了在实时或交互级虚拟仿真系统中对于弹性物体的形变过程的快速模拟问题，可以被用于模拟仿真、教育演示、游戏娱乐等诸多领域。
附图说明
图1是本发明的流程图。
图2是不同微分算子的表面网格模拟效果图。
图3是空域自适应加速技术中所采用的广度优先贪婪扩散方法的流程图。
图4是空域自适应加速技术中自适应节点的分布图。
图5是降维求解技术中基于样本的分析降维方法的效果示意图。
图6是降维求解技术中基于模态分析方法的效果示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。
如图1所示，本发明提出的一种基于线性微分算子的弹性形变模拟方法，包括微分算子的定义、顶点处局部旋转量的提取、刚度矩阵以及梯度矩阵的计算、以及运动方程求解等四个步骤。
现具体介绍本方法的四个步骤：
1)微分算子的定义
本发明在三维模型几何属性上的定义了一类线性微分算子，用来描述三维模型表面或者内部的变形情况，不同的微分算子对应于不同的模拟效果，并针对每种微分算子定义了相应的形变能量。其中包括：基于顶点的拉普拉斯 (Laplacian)算子，用来模拟实体的运动形变效果；基于边的方向梯度算子，用来模拟薄壳形变效果。图2给出了不同算子的表面网格模拟效果。图2a是原模型；图2b是基于顶点的Laplacian算子的形变效果；图2c.基于方向梯度算子的形变效果。
基于顶点的Laplacian算子，其定义如下：

L_{i} x = Σ_{j \in N_{i}} w_{ij} (x_{j} - x_{i})

其中Li为定义在第i个顶点上的微分算子，Ni表示节点i的所有邻接顶点。wij 表示未形变模型网格上的余切形式的Laplacian算子系数。xi为第i个顶点未形变前的顶点坐标。x为未知数，表示形变后的顶点位置。
相应的形变能量定义形式如下：

V (x) = \frac{λ}{2} Σ_{i \in K} {| | L_{i} x - R_{i} (x) d_{i} | |}^{2}

其中V(x)为定义在整个模型网格上的形变能量，K表示该网格的拓扑连接关系。Ri表示节点i处相对于未形变状态的局部旋转。标量λ相当于杨氏模量，描述材料的软硬程度。di表示节点i在未形变模型网格上的Laplacian坐标。
基于边的方向梯度算子，其定义如下：
Lijx＝wij(xj-xi)
其中Lij为定义在第i个顶点和第j个顶点所构成的边上的微分算子。wij为边 (i，j)的权重。权重的取值与模型的采样密度有关。
相应的形变能量定义形式如下：

V (x) = \frac{λ}{2} Σ_{i \in K} Σ_{(i, j) \in K} {| | L_{ij} x - R_{i} (x) d_{ij} | |}^{2}

其中dij表示边(i，j)在未形变模型网格上的Laplacian坐标。
2)局部旋转量的提取
为了保证形变过程的旋转不变性，必须计算每个顶点处变形之后的局部旋转量，从而才能正确地计算形变能量。对于上述微分算子，本发明是首先使用最小二乘技术解得每个顶点处的一个最优的线性变换，再应用空域自适应加速的技术，利用结合质量加权的极分解(polar decomposition)方法，计算三维模型每个顶点处的局部旋转量。
利用线性变换定义将问题转化为最优化一个最小二乘能量的形式如下：
令ri为节点i未形变时的原始位置，xi为形变后节点位置定义：
rij＝mj(rj-ri)
xij＝mj(xj-xi)
则在节点i处极小化∑j∈N(i)‖xij-Airij‖2得到最佳线性变换

A_{i} = A_{i}^{xr} A_{i}^{rr}

，其中：

A_{i}^{xr} = (\underset{j \in N (i)}{Σ} x_{ij} r_{ij}^{T})

A_{i}^{rr} = (\underset{j \in N (i)}{Σ} r_{ij} r_{ij}^{T})

然后我们就可以用结合质量加权的极分解方法对这个线性变换Ai进行分解从而得到每个顶点处的局部旋转量。
但是，对于每个顶点都进行这样的操作计算开销很大。本发明利用空域自适应加速的技术对计算过程进行如下改进：自适应的选取有代表性的节点，计算其局部旋转，然后把它扩散到其他顶点上。算法从少数种子点开始，以贪婪的方式对节点进行广度优先遍历。在遍历过程中，自动识别出代表节点。该广度优先贪婪扩散的策略的具体流程可见图3。在上述扩散过程中，最为重要的步骤是判断一个矩阵R能否准确替代其他节点的局部旋转。本发明采用“旋转灵敏” 准则，忽略伸缩、切错，仅仅比较旋转部分，大大提高了比较的效率和准确性。该判断准则如下：
计算‖Ri TAj xr-(Ri TAj xr)T‖2如果该式的值小于某个阈值，则把旋转Ri从节点i扩散到节点j。图4中显示了自适应的代表节点分布以及变形效果图。
3)刚度矩阵以及梯度矩阵的计算
首先对微分算子矩阵进行重排，整理成更为紧凑的形式如下：

L = (\begin{matrix} L_{1} \\ L_{2} \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \end{matrix})

R (x) = (\begin{matrix} R_{1} (x) \\ R_{2} (x) \\ . \\ . \\ . \end{matrix})

d = (\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \end{matrix})

其中L为表示线性微分算子的矩阵，R(x)唯一分块对角阵，其每一分块表示对应顶点上的局部旋转分量，d表示所有微分量排成的向量。
则形变能量方程表示如下：

V (x) = \frac{1}{2} {| | Lx - R (x) d | |}^{2}

对该形变能量计算其梯度及黑塞(Hesse)矩阵得到：

\frac{\partial}{\partial x} V (x) = λ {(L - \frac{\partial R (x)}{\partial x} d)}^{T} (Lx - R (x) d) \approx {λL}^{T} (Lx - R (x) d)

\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} V (x) = λ L^{T} (L - \frac{\partial R (x)}{\partial x} d) \approx λ L^{T} L

由此，得到刚度矩阵的近似量λLTL。
4)运动方程求解
应用降维求解技术，转化欧拉-拉格朗日公式的形式。再将以上过程中求解得到的各分量带入，使用隐式欧拉法进行模拟求解。方程形式如下：

Φ^{T} (M + hD + h^{2} K) ΦΔ \overset{\cdot}{z} = h Φ^{T} (f_{ext} - D \overset{\cdot}{x} - hK \overset{\cdot}{x} - \frac{\partial}{\partial x} V (x))

其中Ф表示形变空间的标准正交基矩阵，z为形变在降维空间中的参数。本发明采用两种方法来获得形变空间的基。一种是基于输入的变形样本的方法：对于给定的m个样本{sj}j＝1 m，首先对形变向量{sj-r}j＝1 m应用mass-PCA技术，然后选择出最重要的基向量作为降维形变空间的正交基。图5中给出了两组用户的给定的样本，以及通过这些样本得到的形变结果。
另一种获得降维空间正交基的方法是基于模态分析的方法，适用于没有形变样本的场合。首先求解广义特征值问题MΨΛ＝KΨ，矩阵Ψ的每一列为广义特征值向量，对角阵Λ的对角线元素为特征值。选取小特征值对应的特征向量为形变空间的基，它们代表了弹性运动中低频的占主要能量的部分。图6表示基于模态分析方法的示意图，左边为模态分析得到的形变空间的8个非平凡基，右边为形变效果。

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