喷涂作为表面制造涂装行业典型的制造方法由于其对涂装工艺良好的适应性，在汽车、家具、家电、航空等诸多领域得到了广泛的应用。喷漆作业中采用喷漆机器人进行自动化涂装作业可以提高产品质量和稳定性，减少漆料和能量的消耗，避免了人工喷漆时工人始终处于有毒环境而造成急性或慢性中毒，提高了劳动生产效率。因此，喷漆机器人在制造业中的应用越来越得到人们的重视。
早期的喷漆机器人是“示教再现”型的。先由操作人员“示教”喷枪操作全过程，机器人控制器记忆示教操作顺序，在作业中重现这种操作动作，其缺点是喷涂效果主要取决于个人的示教经验。随着各国对环保和劳保的重视程度日益提高，也为了进一步提高产品质量和生产效率，人们开始力图摆脱传统的在线“示教”型的生产方式，寻求喷漆机器人离线编程的方法，期望利用计算机自动寻找出能产生均匀漆膜厚度、最佳喷涂效果的喷枪运动轨迹。因此，利用喷漆机器人离线编程就是要最终生成一条可以控制机器人末端夹持的喷枪的运行速度、喷枪距离工件的高度、喷枪与工件喷涂点的位向关系的连续行走路线，即自动生成喷枪轨迹，而开展上述规划之前，一个首要和基础问题是如何建立油漆沉积率模型。
目前，国内外对喷漆机器人油漆沉积率模型的研究，主要有：1.无限范围模型。如AntonioJ K在：“Optimal Trajectory Planning Problems for spray coating(应用于喷涂领域的优化轨迹规划问题)”(IEEE International Conference on Robotics and Automation，USA：Atlanta，1993，p2570-2577)(电气电子工程师协会：IEEE机器人与自动化国际会议，美国：亚特兰大，1993，2570-2577页)提出的属于无限范围模型的柯西分布模型，该模型认为仅当喷枪离工件表面上一点的距离趋于无穷大时，该点的漆膜生长速率函数值才为零，由于它们只适应喷枪垂直于工件表面的情况，故应用较少。2.有限范围模型。比如KLEIN A在“CAD-based off-lineprogramming of painting robots(基于喷漆机器人CAD导航的离线编程系统)”(Robotica，1987，5，p267-271)(机器人，1987年第5期，267-271页)中所述的有限范围模型，它与无限范围模型的不同点在于：油漆喷炬在喷涂区域内形成类似圆台的漆膜，漆膜沉积率模型采用分段函数表示的形式，只要不在喷枪张角范围之内的那些工件表面点，其漆膜生长速率都为零。有限范围模型比无限范围模型更符合实际情况，因而由此建立的漆膜沉积率函数更加精确。但是这种模型也存在缺点，由于有限范围模型的漆膜生长速率函数对时间的积分只能通过数值计算的方法得到，因而相关的代价函数就不如采用无限范围模型所得到的代价函数来的光滑。这样，采用有限范围模型的喷枪最优轨迹规划问题就需要更多的计算时间。3.β分布模型。Arikan，M.A.Sahir Balkan等在“Process modeling，simulation，and paint thicknessmeasurement for robotic spray painting(应用于喷漆机器人喷涂的工艺模型的建模、仿真和厚度测量)”(Journal of Robotic Systems，2000，17(9)：479-494)(机器人系统学报，2000年17卷第9期，479-494页)所述的β分布模型，认为在圆形喷涂区域内形成的漆膜厚度服从β分布。由于该模型提供了方便的造型参数β，因此该模型被认为是一种较好的模型。4、椭圆双β模型。张永贵等人在“喷漆机器人空气喷枪的新模型”(机械工程学报.2006年42卷第11期，226-233页)所述的椭圆双β模型，是针对无限范围模型、有限范围模型及β分布模型基于沉积于平面工件的油漆图幅为圆形、喷炬在空间状态为圆锥体的假设，与实际生产中的应用情况不符而提出的模型。该模型认为在实际生产中，在垂直于喷枪轴线的平面上油漆图幅沉积于工件后形成一个椭圆形的漆膜分布区域。提出的模型与实际较吻合，但是主要仍然是以平面工件作为喷涂研究对象，且其模型只适用于空气喷涂这一喷涂工艺形式。
纵观上述的建模方法，都是基于喷枪相对工件保持不动喷涂平面工件的试验，测量平面工件油膜厚度分布数据后，通过拟合技术，获得该模型的具体表达式。采用喷漆机器人进行自动化涂装作业的一个主要目的就是要实现对待喷涂工件的表面附着沉积一个厚度均匀的高质量涂层。然而，以上模型都是以平面工件为研究建模对象，而实际待涂工业产品其外形丰富多样，千变万化，大都是具有自由曲面特征的表面。由于其表面曲率往往存在较大变化，将平面油漆厚度分布模型应用于自由曲面喷涂离线编程显然会带来较大误差。而且，他们展开的研究大都以油漆喷炬的空间分布状态是圆锥体的假设为前提或者仅仅适用于空气喷涂这一工艺形式。这显然对喷漆机器人离线编程也会带来误差。

因此，本发明的目的是提供一种能够适应复杂自由曲面工件喷涂离线编程的油漆沉积率模型的建模方法，为离线编程、机器人自动化喷漆加工提供理论依据和方法指导，实现喷涂工件厚度质量指标的精确性和均匀性。
本发明采用的技术方案是：
一种适应复杂自由曲面喷涂的油漆沉积率模型的建模方法，该方法包括如下步骤：
(1)选定平面工件油漆沉积率模型函数，通过平面工件喷涂试验采用遗传算法拟合出该平面工件的油漆沉积率模型；
(2)建立油漆可达性的判断准则；
(3)利用曲率圆方法，求切平面与最大油漆厚度附着假想平面之间的夹角，计算建立自由曲面工件实际厚度公式，将拟合出的平面工件油漆沉积率模型拓展到适应复杂自由曲面工件的油漆沉积率模型。
所述通过平面工件喷涂试验采用遗传算法拟合出该平面工件的油漆沉积率模型的拟合方法是：选定平面工件油漆沉积率模型函数后明确模型函数中的待求参数变量，以试验数据为基础，对模型中待求参数变量采用实数编码方法，各个变量的取值范围参照试验测量数据以在一定范围确定，在所得到的每个参数范围内随机产生一个由实数组成的初始种群，群体的规模取为200×8，整个群体分成8个同规模的子种群，每个子种群的数目为200个，进化代数为400，代沟为0.8，交叉率为1，变异率为0.2，插入率为0.9，迁移率为0.2，子种群迁移代数为20，选择算子采用随机遍历抽样(sus)法，交叉算子采用离散重组算子，变异算子选择实值种群变异算子，遗传算法对所求参数在全局寻优，按照适者生存的原则进行进化，经过给定代的迭代运算计算出平面工件油漆沉积率模型函数的待求参数变量。
所述建立油漆可达性的判断准则为：
(1)喷枪喷漆运行至自由曲面上某点时，按照喷涂工艺要求，喷枪枪体与工件表面保持垂直即所谓正喷，此时自由曲面上的该喷涂点被称为正喷点，判定该正喷点某一范围内自由曲面上的邻近点与喷枪末端中心点的连线是否穿过正喷点对应的平面工件喷涂试验中的沉积图幅之内，当该条件满足时，邻近点将受到正喷点上方喷枪喷涂影响，即所谓喷涂影响点，转入判断准则(2)，否则退出程序；
(2)正喷点某一邻近范围内的喷涂影响点的切平面与最大油漆厚度附着假想平面之间的夹角，判断该角是否在区间[0，90)，否则在曲面上受喷涂影响点的曲率转角过大，喷枪喷出油漆不可达，退出程序；其中最大油漆厚度附着假想平面为过该喷枪喷涂影响点与喷枪末端中心点和喷涂影响点之间连线相垂直的平面。
所述利用曲率圆方法，求切平面与最大油漆厚度附着假想平面之间的夹角，计算建立自由曲面工件实际厚度公式，将拟合出的平面工件油漆沉积率模型拓展到适应复杂自由曲面工件的油漆沉积率模型，具体步骤如下：
(1)建立过该喷涂影响点并与平面工件平行的假想平面上的油漆沉积率模型，假想平行平面上的油漆沉积率模型的表达式为：
$q_B=q_F{\left(\frac{h}{l}\right)}^2{\left(\frac{2h_{1}l}{h_1^2+l^2-l_{\mathrm{AB}}^2}\right)}^2---\left(1\right)$
其中qF、qB分别为油漆粒子沿着某一直线方向行进在平面工件喷涂试验中的平面工件上、过自由曲面喷涂影响点并与平面工件平行的假想平面上的油漆沉积率(μm/s)，h、h1分别是喷枪中心距离平面工件、正喷点的高度，l、lAB分别为喷枪中心与喷涂影响点之间的长度、以及正喷点与喷涂影响点之间的长度；
(2)建立喷涂影响点在最大油漆厚度附着假想平面方向上的油漆沉积率模型，最大油漆厚度附着假想平面方向上的油漆沉积率模型的表达式为：
$q_B^{\#}=q_B/\cos \theta =q_F{\left(\frac{h}{l}\right)}^2{\left(\frac{2h_{1}l}{h_1^2+l^2-l_{\mathrm{AB}}^2}\right)}^3---\left(2\right)$
其中q#B为喷涂影响点在最大油漆厚度附着假想平面方向上的油漆沉积率(μm/s)，θ为与平面工件平行的假想平面与最大油漆厚度附着假想平面之间的夹角；
(3)建立喷涂影响点在切平面上的油漆沉积率模型，该切平面上的油漆沉积率模型即为自由曲面喷涂的油漆沉积率模型，其表达式为：
$q_B^{*}=q_B^{\#}\cos \alpha =q_F{\left(\frac{h}{l}\right)}^2\frac{{\mathrm{GO}}_B^2-(l^2+R_B^2)}{l{R}_B}\frac{4h_1^3{l}^3}{{(h_1^2+l^2-l_{\mathrm{AB}}^2)}^3}---\left(3\right)$
其中qB*为GB方向平面BD上B点的油漆沉积率(μm/s)；RB为自由曲面在喷涂影响点的曲率球半径值，GOB为喷枪中心到喷涂影响点曲率中心的长度，点OB为喷涂影响点所在曲率球的球心位置，角α为自由曲面在喷涂影响点的切平面与该点的最大油漆厚度附着假想平面之间的夹角，以上四项根据曲率圆方法确定，点G为喷枪中心所处位置。
所述的建模方法生成的适应复杂自由曲面喷涂的油漆沉积率模型，应用于喷漆机器人离线编程软件中，对自由曲面工件实体模型进行油漆厚度的仿真计算。
本发明具有很强的实用性，能够提供对具有复杂自由曲面特征工件的机器人自动喷涂离线编程油漆沉积率模型的建模方法，可提高喷涂的控制精度，保证了喷涂工件的均匀性。
附图说明
图1是以A点为中心的喷枪喷矩沉积到自由曲面f(x，y，z)的工况图。
图2是本发明选用的单个椭圆形图幅。
图3是圆柱体侧面喷涂特例的三维示意图。
图4是圆柱体侧面喷涂特例二维投影图。
图5是喷涂机器人喷漆试验图。
图6是喷漆后工件。
图7是遗传算法拟合平面模型油膜厚度分布曲面图。
图8是遗传算法拟合平面模型油膜厚度误差分布曲面图。
图9是平面工件上单个图幅内断面x＝-40油膜厚度轮廓图。
图10是平面工件上单个图幅内断面y＝20油膜厚度轮廓图。
图11是圆柱体定点喷涂理论计算油膜厚度分布曲面图。
图12是圆柱体定点喷涂油膜厚度分布误差曲面图。
图13是圆柱体侧面单行程喷涂试验的喷涂样件。
图14是圆柱体侧面单行程喷涂试验的喷涂三维示意图。
图15是圆柱体侧面单行程喷涂油膜厚度实测值与理论值的对比图。
图16是在开发的离线编程系统中导入保险杠实体工件。
图17是喷涂保险杠样件。
图18是在开发的离线编程系统中计算的漆膜厚度分布图。
图19是实际喷涂的漆膜厚度分布图。

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细说明。
本发明所述的适应复杂自由曲面喷涂的油漆沉积率模型的建模方法，包括如下步骤：
1、选定平面油漆沉积率的数学模型
根据具体的喷涂工艺方法，选定适合于该喷涂工艺方法的平面油漆厚度数学模型，确定模型函数中的待求参数变量。
2、以平面工件为喷涂对象，喷枪相对工件静止不动定点喷涂一短时间，获取平面工件单个图幅内油漆厚度分布，利用遗传算法进行漆膜厚度曲面的拟合，对模型中待求参数变量采用实数编码方法，各个变量的取值范围参照试验测量数据以及经验在一定范围确定，在所得到的每个参数范围内随机产生一个由实数组成的初始种群，遗传算法对所求参数在全局寻优，按照适者生存的原则进行进化，经过给定代的迭代运算计算出平面工件油漆沉积率模型函数的待求参数变量，从而获得选定平面油漆沉积率模型的具体表达式。其中群体的规模取为200×8，整个群体分成8个同规模的子种群，每个子种群的数目为200个，进化代数为400，代沟为0.8，交叉率为1，变异率为0.2，插入率为0.9，迁移率为0.2，子种群迁移代数为20，选择算子采用随机遍历抽样(sus)法，交叉算子采用离散重组算子，变异算子选择实值种群变异算子。
3、适应复杂自由曲面喷涂油漆沉积率模型的建立
如图1所示，f(x，y，z)为工件的自由曲面，在某时刻t，喷枪G运行至自由曲面A点的上方h1处，h1为已知工艺要求距离，并且喷枪的方向与A点的法向相反。目的是要求解在该曲面上A点的某一邻近范围内的B点受到A点上方喷枪影响所附着的油漆厚度分布规律。
推导过程如下：
如图1所示，此时A、B为曲面上的点，连接GA、GB，假设∠AGB＝θ，过B作平面BC垂直于GB。过B点作平面BM垂直于直线GA并交GA于M点，易知平面MB与平面BC之间的夹角等于θ(取锐角)。再过B点作曲面的切平面BD切于B点，设B点的曲率圆圆心为OB，半径为RB(在三维空间，曲率圆实际应理解为曲率球)，自由曲面由f(x，y，z)表达，平面BC与切平面BD之间的夹角为α；沿着GA方向，以G点为起点截取GE＝h(h为平面喷漆实验中喷枪距离工件的高度)，过E点作平面EF垂直于GA并与GB交于F点。GA＝h1，设GB＝l。根据步骤2所述，先以平面工件EF为研究对象，对平面EF进行喷涂试验，求取EF平面上单个图幅内任意点的油漆厚度分布，基于平面油漆厚度数学模型的分布函数，喷枪距离平面EF一个固定高度进行喷涂试验，利用遗传算法根据最小二乘原理建立适应度函数，求取选定模型的参数，得到该平面模型的具体表达式，则平面EF上整个图幅内任意点的油漆厚度就可以根据坐标位置关系求出。然后，将平面工件试验的工艺条件固定不变应用于复杂自由曲面继续试验。现有问题就转化为已知平面工件油漆厚度沉积模型，在某时刻t喷枪喷涂自由曲面上A点时，求取B点所沉积的油膜厚度的分布模型。已知条件为喷枪坐标G(xG，yG，zG)，A点坐标A(xA，yA，zA)，B点坐标B(xB，yB，zB)，喷枪距离平面工件高度h及自由曲面的方程f(x，y，z)。
则(1)建立油漆可达性的判断准则
(i)判断待考察曲面上的任意B点与G点的连线GB与平面EF的交点F是否在平面椭圆图幅之内，当该条件满足时，可保证B点受A点喷涂影响才进行油膜厚度分析，否则退出程序；
(ii)判断0≤α＜90°，否则转角太大，喷枪喷出油漆不可达，也退出程序。α角的求取编程可参照公式(16)。
满足以上两条判据，进入下一步骤。
(2)演算推导
根据工艺要求，喷涂A点时喷枪轴线正对于A点，与A点法矢方向相反。
由GE＝h，∠AGB＝θ，则EF＝h×tanθ；
喷涂自由曲面时工艺参数与平面保持一致，不考虑重力影响。设油漆自喷枪喷出后油漆粒子为直线行进，沿着某一方向的单位时间的油漆通量(μm/s)是恒定值，同时沿着某一方向油漆流经空间的体积是守恒的，因此自G点出来的油漆沿着GB方向分别流经假想平面EF的F点和平面MB的B点时附着的厚度，分别与投射到该平面的投影区域面积成反比，而面积与G点到对应平面的距离是成平方正比的关系，因此，即有：
$\frac{q_F}{q_B}=\frac{S_B}{S_F}={\left(\frac{h_2}{h}\right)}^2---\left(4\right)$
其中qF、qB分别为GB方向平面EF、平面MB在F、B点的油漆厚度(μm)；SB、SF为直线GB方向油漆在对应平面上附着的油漆面积；h、h2分别是喷枪距离平面EF、平面MB的高度。
因此：
$q_B=q_F{\left(\frac{h}{h_2}\right)}^2$
而
h2＝lcosθ
则：
$q_B=q_F{\left(\frac{h}{l}\right)}^2\frac{1}{{\cos }^2\theta }---\left(5\right)$
同时我们知道，当喷枪处于正对工件某点时，该点所获得的油漆厚度是最大的，即属于正喷位置，而平面MB与平面BC之间的夹角等于θ，则BC平面上B点的油漆厚度为：
$q_B^{\#}=q_B/\cos \theta =q_F{\left(\frac{h}{l}\right)}^2\frac{1}{{\cos }^3\theta }---\left(6\right)$
因此，B点实际获得的油漆厚度应为：
$q_B^{*}=q_B^{\#}\cos \alpha =q_F{\left(\frac{h}{l}\right)}^2\frac{\cos \alpha }{{\cos }^3\theta }---\left(7\right)$
在式(7)中，qF、q#B分别为GB方向平面EF在F点及BC平面上B点的油漆厚度(μm)，qB*为GB方向平面BD上B点的油漆厚度(μm)。qF如前所述，在拟合了平面油漆沉积率模型后可以根据坐标位置关系求出；h、l、θ可以根据已知条件求出，变为已知量，而只有α角为待求量。由图1可知，切平面BD与平面BC之间的α角实际上为切平面与最大油漆厚度附着假想平面之间的夹角，其中平面BC为最大油漆厚度附着假想平面。为了机器人喷涂实用于复杂自由曲面离线编程和轨迹规划的喷涂作业，在现有已知条件下，利用曲率圆法，根据曲率与曲率圆半径的对应几何学关系，求切平面BD与最大油漆厚度附着假想平面BC之间的夹角α角，α角求出，则整个问题解决。
(3)曲率圆法求切平面与最大油漆厚度附着假想平面之间的夹角α
连接GOB，在三角形ΔGBOB中，∠GBOB＝π/2+π/2-α＝π-α。根据曲率及曲率与曲率圆关系计算公式，有
$k_B=\frac{f_B^{\prime \prime }}{{(1+f_B^{\prime })}^{3/2}}$
因此B点处的曲率半径RB可求得
$R_B=\frac{1}{k_B}=\frac{{(1+f_B^{\prime })}^{3/2}}{\left|f_B^{\prime \prime }\right|}---\left(8\right)$
其中kB为曲面在B点处的曲率值，fB′、fB″分别为曲面在B点处的一阶、二阶导数值。
对于圆OB有(为便于计算，假设为二维状态，此时fB′＝yB′、fB″＝yB″)
${(x-x_{o_B})}^2+{(y-y_{o_B})}^2=R_B^2---\left(2\right)$
其中yB′、yB″分别为二维曲线f(x，y)在B点处的一阶、二阶导数值。
又因为B点曲线处的切线与曲率圆的半径OBB相垂直，所以有
$y_B^{\prime }=-\frac{1}{k_{O_{B}B}}=-\frac{x_B-x_{O_B}}{y_B-y_{O_B}}---\left(10\right)$
(9)式、(10)式联立消去，可得
${(y-y_{O_B})}^2=\frac{R_B^2}{1+y_B^{\prime 2}}=\frac{{(1+y_B^{\prime 2})}^2}{y_B^{\prime \prime 2}}---\left(11\right)$
又由于当y″B＞0时曲线为凹弧，$y-y_{O_B}<0;$当y″B＜0时曲线为凸弧，$y-y_{O_B}>0.$由此可知y″B与异号，因此上式两边开根号后，有
$y-y_{O_B}=-\frac{1+y_B^{\prime 2}}{y_B^{\prime \prime }}---\left(12\right)$
而且
$x-x_{O_B}=-y_B^{\prime }(y-y_{O_B})=\frac{y_B^{\prime }(1+y_B^{\prime 2})}{y_B^{\prime \prime }}---\left(13\right)$
因此OB的圆心坐标有：即GOB的长度可通过距离公式亦可求得。GB＝l，OBB＝RB，三角形ΔGBOB中，根据余弦定理有
$\alpha =\pi -\arccos \frac{l^2+R_B^2-G{O}_B^2}{2l{R}_B}---\left(4\right)$
将式(14)回代至式(7)，即可得到B点实际获得油漆厚度：
$q_B^{*}=q_F{\left(\frac{h}{l}\right)}^2\frac{{\mathrm{GO}}_B^2-(l^2+R_B^2)}{l{R}_B}\frac{4h_1^3{l}^3}{{(h_1^2+l^2-l_{\mathrm{AB}}^2)}^3}---\left(15\right)$
对于cosα、cosθ可按(16)、(17)式求得
$\cos \alpha =-\frac{l^2+R_B^2-G{O}_B^2}{2l{R}_B}---\left(16\right)$
$\cos \theta =\frac{h_1^2+l^2-l_{\mathrm{AB}}^2}{2h_{1}l}---\left(17\right)$
由式(7)及式(15)可以看出：
(1)自由曲面喷涂油漆沉积率模型是面向复杂自由曲面的，当α＝0°时，(7)式就是平面油漆沉积模型情况。因此，该模型较好的涵盖了工件为平面和自由曲面两种形式，比平面模型更符合实际，具有较好的适应性和适用性。
(2)当自由曲面是由具体的连续二阶可导函数形式表达的时候，曲率圆半径RB和圆心坐标OB可通过求函数在B点的曲率而得出，因此程序的编制很容易实现。
(3)在开发的CAD/CAM系统中，工件实体广泛采用的是三角网格模型的离散曲面表达形式。因此，更有现实意义的是将自由曲面油漆沉积率模型应用于这样的系统中。三角网格曲面是一种分片线性曲面，没有连续的法矢和曲率。离散曲率计算的方法较多，其中以Taubin方法最为常用。Taubin作了完整的曲面微分几何特性的推导，得到网格曲面上曲率张量的离散近似(即顶点在某邻点方向上的法曲率近似仅与顶点法矢、顶点及邻点坐标有关)，因而可以先用三角片法矢的加权平均计算出各顶点的法矢，然后用Householder方法求解由各曲率张量加权构成的对称矩阵的特征值和特征向量，特征值就是主曲率，而特征向量则是主方向。因而，在得到了三角网格面片的法矢、顶点坐标及离散曲率的相关信息后，就可以将这些数值以向量矩阵的形式赋值计算RB及GOB，从而可以对公式(15)进行具体的模型计算。
在离线编程时式(15)的具体实施步骤说明如下：
1、求解直线GB与平面EF的交点F坐标；
2、判断交点F是否在平面单个图幅之内，当该条件满足时，可保证B点受A点喷涂影响才进行油膜厚度分析，否则退出程序；
3、判断直线GB在B点的垂直平面与自由曲面在B点的切平面之间的夹角α是否满足0≤α＜90°，否则转角太大，喷枪喷出油漆不可达，也退出程序。α角的求取编程可参照公式(16)；
4、计算自由曲面在B点上的曲率圆圆心坐标及所在曲率圆半径；
5、根据平面工件喷漆试验拟合单个油漆图幅油漆沉积率模型；
6、对公式(15)编写代码，将qF、h、h1、l、lAB、GOB、RB等各变量赋值计算代入式(15)得到具体沉积油漆厚度值。
7、本模块功能结束，进入下级计算模块及轨迹规划模块。
实施例1
下面具体以圆柱体侧面定点空气喷涂试验为例验证本发明的有效性和实用性。
1、理论准备
针对实际生产中，考虑空气喷涂图幅形状有可能是圆形和椭圆形两种情况，本发明选定更加符合生产实际的如图2所示的椭圆双β分布模型：
$q(x,y)=q_{\max }{(1-\frac{x^2}{a^2})}^{{\beta }_1-1}{[1-\frac{y^2}{b^2(1-x^2/a^2)}]}^{{\beta }_2-1}---\left(18\right)$
其中-a≤x≤a-b(1-x2/a2)1/2≤y≤b(1-x2/a2)1/2。
如图2所示，图示椭圆表示空气喷枪喷涂的沉积在某平面工件上的椭圆油漆图幅。建立坐标系后，(18)式中的q(x，y)是椭圆图幅内厚度分布函数，qmax是喷枪中心轴线在工件投影点的油漆厚度，该点获得的厚度是整个图幅内最大的。a、b分别是椭圆长短轴长度。β1、β2分别是长、短轴上的分布参数。当β1＝1且β2≠1或者β2＝1且β1≠1时(即β1和β2有一个等于1，但不能同时为1)，油漆图幅形状就是圆形；除此之外，油漆图幅形状就是椭圆形。该模型是以空气喷枪模型为椭锥体为研究对象，涵盖了椭锥及圆锥两种喷枪模型情况，比单β模型更具有合理性。
以平面工件为喷涂对象，喷枪相对工件静止不动定点喷涂，获取单位时间内平面工件单个图幅内油漆厚度分布，利用遗传算法进行漆膜厚度曲面的拟合，求取a，b，β1，β2，qmax的值，获得(18)式的具体表达式后，可得到(15)式的更进一步具体的表达式
$q_B^{*}=q_{\max }{\left(\frac{h}{l}\right)}^2\frac{{\mathrm{GO}}_B^2-(l^2+R_B^2)}{l{R}_B}\frac{4h_1^3{l}^3}{{(h_1^2+l^2-l_{\mathrm{AB}}^2)}^3}{(1-\frac{x_F^2}{a^2})}^{{\beta }_1-1}{[1-\frac{x_F^2}{b^2(1-y_F^2/a^2)}]}^{{\beta }_2-1}---\left(19\right)$
由于(19)式中自由曲面的具体函数表达式未知，导致在验证求解的时候B点坐标及相应曲率无法具体求出，因此选用具有某一特殊形面的实体工件进行喷涂试验。考虑到试验的操作性及数据采样的方便，同时所选择的工件形面的曲率应具有一定的代表性，由于圆柱体侧面表面上的任意点相对于圆柱体中心轴线的曲率及曲率圆半径都是相等的，因此这里选择了圆柱体侧面作为试验喷涂对象。为了利于计算和验证，首先应进行圆柱体侧面定点喷涂的油漆沉积率推导。
当定点喷涂圆柱体侧面时，如图3所示，A点为圆柱体侧面上喷枪正对的喷涂点，B点为待求点。为了便于理解，将圆柱体沿着中心轴线向垂直纸面方向投影，得到图4二维平面投影图，以示对照。其中圆柱体半径为R，GE＝h，∠AGB＝θ，GA＝h1，此时OA在圆柱体中心轴线上，为A点所在圆柱体侧面截圆的圆心：OB为B点的曲率圆圆心，圆柱体半径为R，易知R＝RB。切平面BD与GB垂直的BC平面的夹角同样为α，参照自由曲面的求解过程，其求解过程如下：
B点切平面上实际附着的油漆厚度q*B代入式(7)，有
$q_B^{*}=q_B^{\#}\cos \alpha =q_F{\left(\frac{h}{l}\right)}^2\frac{\cos \alpha }{{\cos }^3\theta }$
在直角三角形ΔGOAOB中，由于GOA＝GA+RB，易知
${\mathrm{GO}}_B=\sqrt{{\mathrm{GO}}_A^2+O_A{O}_B^2}=\sqrt{{(\mathrm{GA}+A{O}_A)}^2+O_A{O}_B^2}=\sqrt{{(h_1+R_B)}^2+{\rho }^2}---\left(20\right)$
上式中设线段OAOB的长度等于ρ，ρ可以通过A、B两点坐标求得，h1、RB为己知条件，于是GOB可以求得；ΔGBOB中，GB＝l、BOB＝RB，可由公式(16)求得cosα。
因此根据公式(16)，有
$\cos a=\frac{{(h_1+R_B)}^2+{\rho }^2-l^2-R_B^2}{2l{R}_B}---\left(21\right)$
同时在三角形ΔGAB中，由于h1、l、lAB已知，由公式(17)可求得cosθ。
于是
$q_B^{*}=q_F{\left(\frac{h}{l}\right)}^2\frac{{(h_1+R_B)}^2+{\rho }^2-l^2-R_B^2}{2l{R}_B}\frac{8h_1^3{l}^3}{{(h_1^2+l^2-l_{\mathrm{AB}}^2)}^3}---\left(22\right)$
将上式代入(18)式，简化后，有
$q_B^{*}=q_{\max }{(1-\frac{x_F^2}{a^2})}^{{\beta }_1-1}{[1-\frac{y_F^2}{b^2(1-x_F^2/a^2)}]}^{{\beta }_2-1}\frac{4h^2{h}_1^3({(h_1+R_B)}^2+{\rho }^2-l^2-R_B^2)}{R_B{(h_1^2+l^2-l_{\mathrm{AB}}^2)}^3}---\left(23\right)$
(其中$-a\le x_F\le a-b{(1-x_F^2/a^2)}^{1/2}\le y_F\le b{(1-x_F^2/a^2)}^{1/2}$)
这样，就推导出了圆柱体侧面喷涂特例的油漆沉积率，为进入试验验证阶段做好了实例准备。
2、试验验证
为了验证自由曲面喷涂油漆沉积率模型的正确性，进行了两部分试验。首先进行喷枪相对于平面工件不动，枪距d＝200mm的喷漆试验(试验一)，喷枪开关枪时间t＝2.50s；保持工艺参数不变，然后进行喷枪相对于圆柱体工件不动，枪距d＝220mm的侧喷试验(试验二)，在正式进行侧喷试验二之前，记录下平面工件上图幅的长轴位置，使得圆柱体工件放置后的中心轴线或者侧面母线与椭圆图幅长轴平行，并保证喷枪中心正对圆柱体侧置后的最高母线的中间位置，即图3或图4中的A点，在调整时喷枪只是沿着铅垂方向上下运动，以获得最佳试验喷涂效果。圆柱体尺寸：Φ275mm×400mm，喷枪开关枪时间t＝2.13s；待油漆完全干燥后，获得平面喷涂区域、圆柱体侧喷区域的漆膜厚度分布信息。图5是喷涂机器人喷漆试验图，图6是喷漆后工件，其中图6上部为平面样件，下部为圆柱体侧喷样件。
以喷枪中心线与平面工件交点为原点，椭圆长轴为x轴，短轴为y轴，建立坐标系，测量平面EF上喷涂区域的几何尺寸和漆膜厚度，漆膜厚度采用德国byko-test 7500电磁式漆膜厚度测试仪，得到喷漆厚度的分布数据，共603组数据。限于篇幅，只给出部分测量数据。见表1。
表1 EF平面工件喷涂区域油漆厚度数据测量(单位：μm)

根据平面工件定点喷涂试验得到的数据，对于式(18)，基于MATLAB环境采用遗传算法(Genetic algorithm)工具箱以实测值与计算值的最小平方和建立适应度函数进行漆膜厚度曲面的拟合，求取a，b，β1，β2，qmax的值。厚度模型中有5个待求变量，对变量采用实数编码方法，每个个体均为一个5维向量，对于各个变量的取值范围的确定，参照试验测量数据确定a、b和qmax的变化区间，β1、β2的变化区间可参照相关文献提供的β分布曲线来确定，则式(18)中椭圆长轴a的取值范围为[100，180]，椭圆短轴b的取值范围为[20，60]，最大漆膜厚度qmax的取值范围为[40，120]，分布指数β1、β2的变化区间为[2，25]。群体的规模为200×8，整个群体又分成8个同规模的子种群，每个子种群的数目为200个，进化代数为400，代沟为0.8，交叉率为1，变异率为0.2，插入率为0.9，迁移率为0.2，子种群迁移代数为20，在所求得每个参数范围内均随机产生一个由实数组成的初始种群。其中选择算子采用随机遍历抽样(sus)法，交叉算子采用离散重组算子，变异算子选择实值种群变异算子。遗传算法对所求参数在全局寻优，按照适者生存的原则进行进化，经过400代的迭代运算最后可以求得a＝142.112mm，b＝43.032mm，β1＝4.1987，β2＝6.1692，qmax＝81.12μm。为了与试验一数据进行对比，将以上参数代入式(18)，绘制遗传算法拟合油漆沉积图幅模型曲面，如图7所示。以理论值与实测值的差值绘制油膜厚度误差曲面，如图8所示。同时，取x＝-40及y＝20作为断面进行测试，在断面上每隔一定间距取点，对这些点的油膜厚度进行理论计算和实际测量，结果如图9及图10所示，从图中的对比曲线可以看出，GA较为精确的拟合了平面油漆沉积率的双β模型。这样可以求得此种工艺条件下式(18)的具体表达式。
于是对于(23)式有
$q_B^{*}=81.12\times \frac{2.13}{2.50}\times {(1-\frac{x_F^2}{142.112^2})}^{4.1987-1}\times {[1-\frac{y_F^2}{43.032^2(1-x_F^2/142.112^2)}]}^{6.3092-1}$
$\times \frac{4\times {200}^2\times {220}^3({(220+137.5)}^2+{\rho }^2-l^2-R_B^2)}{137.5\times {({220}^2+l^2-l_{\mathrm{AB}}^2)}^3}$
整理后有
$q_B^{*}=8.56353\times {10}^{11}\times {(1-\frac{x_F^2}{142.112^2})}^{3.1987}\times {[1-\frac{y_F^2}{43.032^2(1-x_F^2/142.{112}^2)}]}^{5.3092}\times \frac{108900+{\rho }^2-l^2}{{({220}^2+l^2-l_{\mathrm{AB}}^2)}^3}---\left(24\right)$
在圆柱体侧面喷涂试验二完成后，建立坐标系，坐标原点定在喷枪中心G，x轴平行于图幅长轴，y轴平行于短轴，坐标系符合右手定则。记录喷枪正对圆柱体侧面的A点位置，此时A点坐标(XA，YA，ZA)为(0，0，220)。将圆柱体侧面展开成与圆柱体在A点母线相切的平面，在整个平面喷涂区域内沿着x轴、y轴每隔5mm选取坐标点B′(XB′，YB′，ZB′)，进行理论计算和实际测量，油膜厚度分布曲面及误差曲面如图11、图12所示，其理论计算值与实测值是基本吻合的，最大误差为3.343μm，误差均值为0.4207μm，均方误差为0.5998μm。
同时，为了了解整个计算过程，给出展开平面上x＝-45断面的点B′(XB′，YB′，ZB′)，将它们作为试验验证样本，共13个样本点，进行理论计算和实际测量，列于表2。表中各项符号代表意义可参照图3或者图4。
表2 圆柱体侧面喷涂特例验证油漆沉积率
  序号   圆柱体展开平面  B′坐标  (XB′，YB′，ZB′)   圆柱体侧面对应B  坐标(XB，YB，ZB)   EF平面工件上F  对应坐标  (XF，YF，ZF)   GB 长度  l(mm)   AB的长  度  lAB(mm)   OAOB的  长度  ρ(mm)   理论计算  值(um)   实测值  (um)   1   (-45，-30，220)   (-45，-29.76，223.26)   (-40.31，-26.66，200)   229.69   54.0503   45   2.394   2.2   2   (-45，-25，220)   (-45，-24.86，222.27)   (-40.49，-22.37，200)   228.13   51.4614   45   6.663   6.4   3   (-45，-20，220)   (-45，-19.93，221.45)   (-40.64，-18.00，200)   226.85   49.2371   45   13.877   13.6   4   (-45，-15，220)   (-45，-14.97，220.82)   (-40.76，-13.56，200)   225.85   47.4318   45   23.359   23.6   5   (-45，-10，220)   (-45，-9.99，220.36)   (-40.84，-9.07，200)   225.13   46.0972   45   33.135   33.1   6   (-45，-5，220)   (-45，-5.00，220.09)   (-40.89，-4.54，200)   224.70   45.2769   45   40.545   40.3   7   (-45，0，220)   (-45，0，220)   (-40.91，0，200)   224.56   45   45   43.313   43.1   8   (-45，5，220)   (-45，5.00，220.09)   (-40.89，4.54，200)   224.70   45.28   45   40.545   41.3
  序号   圆柱体展开平面  B′坐标  (XB′，YB′，ZB′)   圆柱体侧面对应B  坐标(XB，YB，ZB)   EF平面工件上F  对应坐标  (XF，YF，ZF)   GB 长度  l(mm)   AB的长  度  lAB(mm)   OAOB的  长度  ρ(mm)   理论计算  值(um)   实测值  (um)   9   (-45，10，220)   (-45，9.99，220.36)   (-40.84，9.07，200)   225.133   46.10   45   33.135   35.2   10   (-45，15，220)   (-45，14.97，220.82)   (-40.76，13.56，200)   225.8527   47.43   45   23.359   23.6   11   (-45，20，220)   (-45，19.93，221.45)   (-40.64，18.00，200)   226.8549   49.24   45   13.877   13.7   12   (-45，25，220)   (-45，24.86，222.27)   (-40.49，22.37，200)   228.1349   51.46   45   6.663   6.3   13   (-45，30，220)   (-45，29.76，223.26)   (-40.31，26.66，200)   229.6862   54.05   45   2.394   2.1
表二中，在理论计算时，对于公式(18)，由B′(XB′，YB′，ZB′)、A点坐标(0，0，220)及已知坐标位置关系采用如下转换关系可求得B点坐标(XB，TB，ZB)、F点坐标(XF，TF，ZF)、GB的长度l、AB的长度lAB及OAOB的长度ρ。
B点坐标(XB，YB，ZB)：
$X_B=X_{B^{\prime }}=;Y_B=R_B\times \frac{360\times Y_{B^{\prime }}}{2\pi R_B};Z_B=R_B\times (1-\cos \frac{360\times Y_{B^{\prime }}}{2\pi R_B})+Z_{B^{\prime }}---\left(25\right)$
F点坐标(XF，YF，ZF)：
$X_F=\frac{200X_B}{Z_B};Y_F=\frac{200Y_B}{Z_B};Z_F=200---\left(26\right)$
GB的长度l：
$l=\sqrt{X_B^2+Y_B^2+Z_B^2}---\left(27\right)$
AB的长度lAB：
$l_{\mathrm{AB}}=\sqrt{X_B^2+Y_B^2+{(Z_B-220)}^2}---\left(28\right)$
OAOB的长度ρ：
ρ＝|XB|    (29)
从图11、图12及表2可以看出，应用圆柱体侧面定点喷涂作为特例在计算机上进行计算得到的理论值与实际喷涂测量结果是近似一致的，理论计算过程是可靠的，测试点最大误差小于4μm，总体均方误差小于0.6μm。由于试验过程中各种因素的干扰及测量点不能准确定位、测量仪器的测量误差，由此带来了一定的误差，该误差在容许范围内，从而验证了自由曲面空气喷涂油漆沉积率模型的正确性。
实施例2
为了进一步讨论所建模型对于喷枪连续运动工况的有效性和实用性，在试验二条件下，选取同规格圆柱体侧面，保持工艺条件不变，喷枪沿着圆柱体母线相对圆柱体工件的中心轴线以100mm/s的速度做直线运动，并且喷枪中心正对圆柱体中心轴线，继续对圆柱体侧面进行单行程喷涂试验。圆柱体工件单行程喷涂后如图13所示，为了保持与试验一、二的一致性，仿照试验二，建立坐标系，坐标原点定在喷枪中心G，将圆柱体侧面展开成与圆柱体在A点母线相切的平面，y轴平行于圆柱体的最高母线，在垂直于y轴的方向记为x轴，坐标系符合右手定则，对圆柱体进行漆膜厚度检测。从理论上来讲，在油漆可达区域内，圆柱体表面上的任意点从进入喷涂区域直到离开该区域，都在接受来自喷枪的漆雾颗粒的沉积，只是在不同的时刻由于在喷涂区域所处的位置不同而接受到的油漆量不同。由于喷枪做匀速直线运动，因此油漆沉积于圆柱体侧面的同一母线的不同点上的油漆厚度是相等的，而且在垂直于运枪方向的不同截圆断面上油漆曲面轮廓的形状是一致的。因此，为了消除测量误差，在展开平面上沿着多个y向断面进行测量，同一y向断面上测量多个x值相同的数据求平均作为测量数据，可得到实测值。实测值反映了漆膜在垂直于喷枪移动方向的截圆断面上各点的漆膜平均厚度。
对于圆柱体表面任意点B的油漆厚度，在喷枪定点喷涂的时候，由前面分析知道，其油膜厚度可以通过平面工件上对应F点的油膜厚度推导出来。在喷枪以速度v运动的某时刻t，沉积于平面工件的单个椭圆图幅如图14所示，沿着喷枪运动方向过F点作平行于y轴的直线与椭圆图幅的边界交于F1、Fn+1两点，由于运动的相对性，平面工件上F点在喷枪单行程运动所沉积的油漆厚度应该等于F点以反向运动经过单个图幅区域经过的油漆厚度沉积，数值上等于线段F1Fn+1之间的油漆断面的厚度积分之和。连接GF1、GFn+1与圆柱体过B点的母线分别交于B1、Bn+1两点，由于同一母线上的任意点的曲率相同，同理，单行程喷涂时，圆柱体表面任意点B的油漆厚度等于单个图幅区域内沉积于线段B1Bn+1之间的油漆断面的厚度积分之和。设定积分精度n，将F1Fn+1平均分成n等份，此时F1Fn+1上有n+1个点，Fi为F1Fn+1上的第i个分点，B1Bn+1对应的也被分成n等份，其上有与F1Fn+1上相对应的n+1个点，Bi为B1Bn+1上与Fi对应的第i个分点。利用式(23)，计算出线段B1Bn+1上n+1个点的油膜厚度，根据前面分析，可知将这n+1个点的油膜厚度相加就是对应于该母线上的任意点B的油膜厚度积分值，得到式(30)：
$q_{B_i}=\underset{0}{\overset{T}{\int }}{q}_u{(1-\frac{x_F^2}{a^2})}^{{\beta }_1-1}{\{1-\frac{{[2b{(1-x_F^2/a^2)}^{1/2}-\mathrm{vt}]}^2}{b^2(1-x_F^2/a^2)}]}^{{\beta }_2-1}\mathrm{dt}$(30)
$=\underset{i=1}{\overset{n+1}{\Sigma }}{q}_u\times {(1-\frac{x_F^2}{a^2})}^{{\beta }_1-1}\times {\{1-\frac{{[2b{(1-x_F^2/a^2)}^{1/2}-{\mathrm{vt}}_i]}^2}{b^2(1-x_F^2/a^2)}\}}^{{\beta }_2-1}\times \frac{T}{n}$
其中qu为试验一最大油膜厚度qmax与试验一定点喷涂时间的比值，单位μm/s。T为F点沿着喷枪速度的反方向经过单个图幅区域内线段F1Fn+1需要的时间，ti为F点沿着油漆图幅内线段F1Fn+1从F1到Fi所经历的时间。对于T和ti按照式(31)、(32)式计算。
$T=2b{(1-x_s^2/a^2)}^{1/2}/v---\left(31\right)$
$t_i=\frac{T}{n}(i-1),i=\mathrm{1,2,3}...n+1---\left(32\right)$
因此，在计算机中利用公式(30)编程，考虑到数值积分计算的精度，将xF对应的每个时间积分上限T平均分为104等份作为计算步长，利用梯形法进行数值积分计算，得到仿真计算结果。然后，将喷涂后漆膜厚度的实测值与计算机理论计算结果进行对比，如图15所示，测量结果与仿真结果是接近一致的，测量结果与仿真结果的最大误差为0.6579μm，厚度均方误差为0.2207μm，平均误差为0.1683μm。因此对于自由曲面匀速喷涂工况，以上所建模型是有效的，能得到一个合理的油漆厚度计算值。
实际喷涂过程中，油漆自喷枪喷嘴喷出沉积在工件后，由于喷雾图形中部漆膜较厚，边沿较薄，喷涂时必须使前后喷雾图形互相搭接，也就是在喷枪两个相邻的行程中间的一部分区域内的点要被喷涂两次，它们的漆膜厚度是这两次喷涂结果的叠加。在示教编程系统中对喷枪路径以及相邻两条路径间的喷幅重叠宽度的确定都是依据经验进行的，如果采用本发明的模型则可以在计算机上模拟漆膜厚度分布，寻求出合理的喷枪运动路径及重叠宽度，从而使工件表面上得到均匀的漆膜厚度。因此进一步说明了自由曲面油漆沉积率模型建立的有效性和实用性。
实施例3
在以上试验基础之上，下面我们利用自由曲面油漆沉积率模型编制好程序，应用于喷漆机器人离线编程软件中，以自由曲面工件——汽车保险杠为实例进行油漆厚度的仿真计算，导入系统离散化后的保险杠零件如图16所示，按照表3的工艺参数进行喷涂，喷涂后工件如图17所示，零件尺寸1495mm×395mm×320mm。在保险杠表面每隔100mm进行采样，共55个样本点，离线系统在采样点处自动生成相应的法向矢量后经过仿真计算可得到理论值。采样点的喷涂理论计算分布值以及实测分布值分别如图18、图19所示。
表3 喷涂工艺条件
  室温   23℃   油漆   自干金属色漆   粘度   16sec/NK-2   出漆量   120ml/min   涂料压力   0.15MPa   喷涂空气压力   0.20MPa   图幅空气压力   0.15MPa   图幅宽度   130mm   图幅搭接距离   160mm   运枪速度   750mm/sec
从图18、图19可以看出，喷枪按照图18所示的轨迹进行喷涂，油膜厚度在保险杠拐角处与中部区域相比偏薄。试验过程中，由于在保险杠的拐角处存在喷涂死角区域，即油漆不可达区域，机器人喷涂到该处的时候油漆不能全部沉积，导致在保险杠拐角处油漆厚度与其他区域相比明显偏薄。实际工程中，经常性的做法是在机器人自动化喷涂前对该部分进行局部预喷涂处理，以达到整个工件油漆厚度的均匀性和油漆色差的一致性。整个工件在55个采样点处的实测值与计算值的最大误差为1.937μm，误差均值为0.5717μm。可以看出，实测值与计算值是接近一致的。从而说明，自由曲面油漆沉积率模型可以完成对自由曲面工件喷涂的油漆厚度的预测，对于这样的CAD/CAM系统，同样可以应用。