含噪一维迭代映射混沌序列的相图提取方法
阅读：256发布：2020-05-13
专利汇可以提供含噪一维迭代映射混沌序列的相图提取方法专利检索，专利查询，专利分析的服务。并且本 发明 提供一种含噪一维 迭代 映射混沌序列的 相图 提取方法。本发明利用落入特殊区域的概率以及一种特殊形式的条件期望建立起估计迭代映射的函数图像的线性方程组，并采用正则化的方法求解方程组，从而提取出混沌序列的相图。本发明能从噪声背景下提取出数据所服从的动 力 学规律及其统计分布规律，从而为理解隐藏在噪声背后的数据模式提供依据，在不对混沌 信号 进行去噪的情况下，给出相图的估计并得到其统计性质，作为对数据信号作进一步处理的一个前提。本发明即使在负 信噪比 的环境中也能有效工作，对信噪比的变化以及一维迭代混沌映射的变化具有一定的鲁棒性。，下面是含噪一维迭代映射混沌序列的相图提取方法专利的具体信息内容。
1.含噪一维迭代映射混沌序列的相图提取方法，其特征在于，包括以下步骤：
(一)接收的含噪采样数据，将任意两个相邻时刻接收的数据(rk,rk+1)作为同一个二维随机向量(Y,Z)的观测值进行建模；
(Y,Z)满足：
其中，k＝1,…,T-1，T表示接收序列的总长度，X为混沌采样序列{xk}中的值xk表示的随机向量，{xk}满足xk+1＝f(xk)，X的概率密度pX(x)为迭代映射f(X)的自然不变密度，x∈[a,b]；N1与N2为观测过程中引入的两者相互独立的观测噪声随机变量，服从0均值，
2
方差为σ 的高斯分布；
(二)任意选取不同的二维随机向量(Y,Z)的观测值区域Γi，观测值区域Γi的范围为[ηi,ηi+1]×(-∞,∞)；从观测数据中估计二维随机向量(Y,Z)的观测值落入区域Γi的概率P(Ci)以及二维随机向量(Y,Z)落入观测值区域Γi的条件期望E(Z|Ci)；
(三)建立不同观测值区域Γi对应的概率P(Ci)的表达式：
P(Ci)是二维随机向量(Y,Z)的观测值落入区域Γi这一事件Ci的概率，
为自然不变密度pX(x)在代表点 处的值，M是均匀划分区间[a,b]
所得的小区间的个数， 是划分得到的第k个小区间的中点，δx代表每个小区间的长度，且δx＝(b-a)/M；
(四)建立不同观测值区域Γi对应的条件期望E(Z|Ci)与概率P(Ci)乘积的表达式：
其中， 为迭代映射f(xk)在代表点 处的值,条件期望E(Z|Ci)为二维随机向量(Y,Z)落入区域Γi时，该二维随机向量(Y,Z)纵坐标的平均值；
(五)利用最大熵的正则方法求解概率P(Ci)的表达式组成的方程组，得到自然不变密度pX(x)在代表点 处的估计值
利用ν正则方法求解条件期望E(Z|Ci)的表达式组成的方程组，得到f(x)pX(x)在代表点 处的估计值
将估计值 估计值除以的估计值 得到混沌的迭代函数f(x)在代表
点 处的估计值
(六)分别以 为横坐标、纵坐标得到混沌序列的相图。
2.如权利要求1所述含噪一维迭代映射混沌序列的相图提取方法，其特征在于，选取区域Γi的具体方法是：
求出二维随机向量(Y,Z)的所有观测值的横坐标的分布区间范围[c,d]，闭区间内[c,d]令[ηi,ηi+1]＝[c,c+Di]，其中，D为范围步长，i＝1,2,…,i0，i0是使得c+0.01i0≤d成立的最大正整数。
3.如权利要求2所述含噪一维迭代映射混沌序列的相图提取方法，其特征在于，所述范围步长D为0.01。
4.如权利要求1所述含噪一维迭代映射混沌序列的相图提取方法，其特征在于，求出二维随机向量(Y,Z)的所有观测值的横坐标的分布区间范围[c,d]，分别抛弃范围[c,d]左右两侧含数据量为总观测数据量的1‰的两个竖条形区域，剩下区域的横坐标范围为[c0,d0]，在这个闭区间[c0,d0]内令[ηi,ηi+1]＝[c0,c0+Di]，其中，D为范围步长，i＝
1,2,…,i0，i0是使得c0+Di0≤d0成立的最大正整数。
5.如权利要求1所述含噪一维迭代映射混沌序列的相图提取方法，其特征在于，从观测数据中估计二维随机向量(Y,Z)的观测值落入区域Γi的概率P(Ci)的具体方法是：
统计Y∈[ηi,ηi+1]的个数，再除以Y的总个数T-1。
6.如权利要求1所述含噪一维迭代映射混沌序列的相图提取方法，其特征在于，从观测数据中估计二维随机向量(Y,Z)落入观测值区域Γi的条件期望E(Z|Ci)的具体方法是：
统计Y∈[ηi,ηi+1]时Z的取值，然后对所述取值进行数学平均。
含噪一维迭代映射混沌序列的相图提取方法
技术领域
背景技术
[0002] 自然界中，径流、太阳黑子数、降雨量、海洋表面的雷达后向散射回波(海杂波)等观测的时间序列都具有混沌特性。混沌是由确定性系统产生的貌似无规则的运动，它是一种复杂的动力学行为，具有对初值极其敏感、非周期、类随机、长期不可精确预测性以及频域上的宽带白噪声特性。
[0003] 对混沌时间序列分析的方法往往都是基于动力学系统理论，对于一个确定性系统而言，系统的当前状态一旦确定，那么它的将来状态也就随之确定。
[0004] 对于从一维迭代混沌映射迭代得到的数据而言，有两个非常重要的工具可以对其进行描述，一个是数据所遵循的动力学规律，另一个是数据所具有的统计分布规律，前者描述了数据确定性，它决定了数据中前后两个相邻时刻的点所服从的函数关系，而后者描述了数据随机性，这种随机分布是与数据的初始条件无关的。这两种描述方式分别从不同的侧面反映了同一组数据的性质，在实际中，能获得这两种描述将有利于我们进一步地去理解数据的产生机理和统计性质。
[0005] 由于状态在物理中又被称为相，因此，一旦相空间建立起来，该空间中的一点和系统的某一状态一一对应，我们就能获得混沌时间序列的动力学规律，因此相空间是刻画混沌时间序列最直接最简单的特征。只有准确建立该相空间之后，才能更好地对具有混沌特性的观测的信号进行分析、处理。设混沌时间序列{xk}由一维迭代映射f:[a,b]→[a,b]产生(a，b视为已知值)，即{xk}满足xk+1＝f(xk)，观测点(xk+1,xk),k＝1,...,K即可构成该混沌时间序列的相空间，由于该空间的所有状态均位于一个二维平面上，所以可以称为相图，并且该空间的每一状态实际均反映了函数f图像上的一个点，所以相空间也可理解为函数f的图像。
[0006] 在实际应用中要得到这个相空间并不是轻而易举的，此外由于受到仪器精度、测量的外界条件等的限制，实际的测量信号总是混沌与噪声并存的，噪声的存在特别是强噪声干扰会严重破坏相图的基本形状，加剧了从观测序列中提取相图的困难。
[0007] 在传统的处理方法中，相图的提取通常是通过混沌去噪完成的。假设接收的数据为rk＝xk+ek，{xk}是混沌时间序列，{ek}是噪声序列，混沌去噪的目的是利用{rk}得到一个新的序列{r′k}，使得序列{r′k}中所包含的平均噪声功率比{rk}更小。
[0008] 现有的混沌去噪方法主要有以下几种。
[0009] 1、局部模型近似方法
[0010] 局部模型近似方法是在吸引子的轨迹空间中选择合适的邻域，然后在邻域内更新数据点以逼近真实吸引子轨迹。局部模型近似方法不需要知道混沌动力系统的先验知识，但是由于其是采用局部线性近似的方法进行过分简单的线性化处理，不能充分刻画混沌时间序列的全局非线性动力学特性。
[0011] 2、影子定理方法
[0012] 混沌动力系统中，有噪声的轨迹旁总是存在一条唯一的、精确的轨迹。影子定理的方法即是将去噪问题转化成为确定一条靠近含噪声序列的轨迹问题。基于影子定理的方法都需要预知映射函数，也就是说需要知道产生混沌时间序列的精确数学模型或者混沌动态特性的先验知识。因此此类方法仅仅适用于动力学方程已知的混沌时间序列，在实际应用中比较困难。
[0013] 3、小波分析方法
[0014] 混沌信号的小波变换相当于将信号向小波滤波器向量空间进行投影，与Takens相空间重构有异曲同工之处，小波分析具有不需预知混沌动力学系统先验知识的特点，但小波分析方法简单地利用小波函数对混沌信号进行去噪处理，精度不够高，不能满足实际的工程需要。
[0015] 4、奇异谱分析方法
[0016] 奇异谱分析方法的主要思想是对混沌时间序列进行相空间重构，对重构后的相空间进行奇异值分解，在得到的所有奇异值中，只有几个较大的奇异值代表信号的特征部分，而其余较小的部分则代表噪声部分，用代表信号部分的奇异值所对应的特征向量进行信号反重构，得到去噪后的信号。
[0017] 5、局部投影方法
[0018] 局部投影方法是在局部邻域内引入切平面，将含噪声的相点正交投影到这个切平面上，从而得到去噪后的相点。局部投影方法在本质上属于局部模型近似的混沌去噪方法，因此具有与局部模型近似方法相类似的优缺点。
[0019] 混沌去噪的目的是对噪声进行平滑以降低数据中噪声的平均功率，即是要在统计意义上减少时间序列中每个时刻的数据所包含噪声的水平，而噪声水平的高低、使用的统计数据的大小均会影响去噪的性能。混沌去噪可以描述为寻找一条精确的混沌序列使得它在统计平均的意义上最接近于观测到的含噪序列，但在噪声较强的情况下，噪声完全淹没了有用的混沌信号，因此去噪往往变得困难甚至是不可能的。此外，现有的部分去噪方法中还需要已知混沌的动力学规律，从而导致其在相图提取的实际应用中具有局限性。
发明内容
[0020] 本发明所要解决的技术问题是，提供一种不通过去噪处理，直接从含噪混沌序列中提取一维迭代映射混沌序列相图的方法。
[0021] 本发明为解决上述技术问题所采用的技术方案是，含噪一维迭代映射混沌序列的相图提取方法，包括以下步骤：
[0022] (一)接收的含噪采样数据，将任意两个相邻时刻接收的数据(rk,rk+1)作为同一个二维随机向量(Y,Z)的观测值进行建模；
[0023] (Y,Z)满足：
[0024] 其中，k＝1,…,T-1，T表示接收序列的总长度，X为混沌采样序列{xk}中的值xk表示的随机向量，{xk}满足xk+1＝f(xk)，X的概率密度pX(x)为迭代映射f(X)的自然不变密度，x∈[a,b]；N1与N2为观测过程中引入的两者相互独立的观测噪声随机变量，服从02
均值，方差为σ 的高斯分布；
均值，方差为σ 的高斯分布；
[0025] (二)任意选取不同的二维随机向量(Y,Z)的观测值区域Γi，观测值区域Γi的范围为[ηi,ηi+1]×(-∞,∞)；从观测数据中估计二维随机向量(Y,Z)的观测值落入区域Γi的概率P(Ci)以及二维随机向量(Y,Z)落入观测值区域Γi的条件期望E(Z|Ci)；
[0026] (三)建立不同观测值区域Γi对应的概率P(Ci)的表达式：
[0027]
[0028] P(Ci)是二维随机向量(Y,Z)的观测值落入区域Γi这一事件Ci的概率，(k＝1,2,…,M)为自然不变密度pX(x)在代表点 处的值，M是均匀划分区间[a,b]所得的小区间的个数， 是划分得到的第k个小区间的中点，δx代表每个小区间的长度，且δx＝(b-a)/M；
[0029] (四)建立不同观测值区域Γi对应的条件期望E(Z|Ci)与概率P(Ci)乘积的表达式：
[0030]
[0031] 其中， 为迭代映射f(xk)在代表点 处的值,条件期望E(Z|Ci)为二维随机向量(Y,Z)落入区域Γi时，该二维随机向量(Y,Z)纵坐标的平均值；
[0032] (五)利用最大熵的正则方法求解概率P(Ci)的表达式组成的方程组，得到自然不变密度pX(x)在代表点 处的估计值
[0033] 利用ν正则方法求解条件期望E(Z|Ci)的表达式组成的方程组，得到f(x)pX(x)在代表点 处的估计值
[0034] 将估计值 估计值除以的估计值 得到混沌的迭代函数f(x)在代表点 处的估计值
[0035] (六)分别以 为横坐标、纵坐标得到混沌序列的相图。
[0036] 本发明利用落入特殊区域的概率以及一种特殊形式的条件期望建立起估计迭代映射的函数图像的线性方程组，并采用正则化的方法求解方程组，从而提取出混沌序列的相图。本发明能从噪声背景下提取出数据所服从的动力学规律(迭代映射)及其统计分布规律(自然不变密度)，从而为理解隐藏在噪声背后的数据模式提供依据，在不对混沌信号进行去噪的情况下，给出相图的估计并得到其统计性质，作为对数据信号作进一步处理的一个前提。
[0037] 本发明即使在负信噪比的环境中也能有效工作，并且当参数选择恰当时，对信噪比的变化以及一维迭代混沌映射的变化具有一定的鲁棒性，即可以在没有关于一维迭代映射类型的任何先验条件的情况下，对动力学规律和自然不变密度做出较好的估计。另外，本发明利用正则化方法求解方程组能够进一步降低噪声对混沌相图提取的影响，有效提高了提取精度。
[0039] 图1：一维迭代混沌序列相图提取流程。
[0040] 图2：Ulam-von Neumann映射的仿真结果：(a)自然不变密度真实值与估计值的对比(b)混沌映射函数图像真实值与估计值的对比。
[0041] 图3：logistic映射的仿真结果：(a)自然不变密度真实值与估计值的对比(b)混沌映射函数图像真实值与估计值的对比。
[0042] 图4：立方映射的仿真结果：(a)自然不变密度真实值与估计值的对比(b)混沌映射函数图像真实值与估计值的对比。
[0043] 图5：2阶Chebyshev映射的仿真结果：(a)自然不变密度真实值与估计值的对比(b)混沌映射函数图像真实值与估计值的对比。
[0044] 图6：Tent映射的仿真结果：(a)自然不变密度真实值与估计值的对比(b)混沌映射函数图像真实值与估计值的对比。
具体实施方式
[0045] 实施例的方法如图1所示，包括以下步骤：
[0046] 步骤1：对接收的含噪序列(rk,rk+1),k＝1,…,T-1建模成二维随机向量(Y,Z)，即将任意两个相邻时刻的接收数据(rk,rk+1)均视为同一个二维随机向量(Y,Z)的观测值，(Y,Z)满足：
[0047]
[0048] 其中，T表示接收序列的总长度，N1与N2表示观测过程中引入的观测噪声随机变量，均服从0均值，方差为σ2的高斯分布(σ2为已知值)，方差可以通过信息论的准则如AIC准则(Akaike信息准则，Akaike Information Criterion)、MDL准则(最小描述长度准则，Minimum description length)等进行估计，N1与N2二者相互独立。随机变量X的观测值由混沌时间序列{xk}中的每一个值xk表示，X的概率密度pX(x)为f(X)的自然不变密度，{xk}满足xk+1＝f(xk)，x∈[a,b]。
[0049] 步骤2：任意选取 二维随机 向量(Y,Z)的观测 值区域Γi，记Γi＝[ηi,ηi+1]×(-∞,∞)，选取区域Γi的具体方法是：首先求出二维随机向量(Y,Z)的所有观测值的横坐标即Y的分布区间范围，记为[c,d]；优选的，考虑到靠近左右两侧边缘的数据量比较少，因此分别抛弃左右两侧含数据量为总观测数据量的1‰的两个竖条形区域，记剩下区域的横坐标范围为[c0,d0]，在这个闭区间内令[ηi,ηi+1]＝[c0,c0+Di]，这里D为范围步长，D取值为0.01，i＝1,2,…,i0，i0是使得c0+0.01i≤d0成立的最大正整数i。可选的，可以将范围步长D设置为其它数值。可选的，也可以不进行抛弃，在这个闭区间内[c,d]令[ηi,ηi+1]＝[c,c+0.01i]，这里i＝1,2,…,i，i是使得c+0.01i≤d成立的最大正整数。
[0050] 从观测数据中估计二维随机向量(Y,Z)的观测值落入区域Γi的概率P(Ci)以及二维随机向量(Y,Z)落入观测值区域Γi的条件期望E(Z|Ci)；
[0051] 估计P(Ci)的具体方法是：计算Y∈[ηi,ηi+1]的个数，然后除以Y的总个数T-1，一共有i0个P(Ci)。
[0052] 估计E(Z|Ci)的具体方法是：计算Y∈[ηi,ηi+1]时Z的取值，然后对这些Z的取值进行数学平均，一共有i0个E(Z|Ci)。
[0053] 步骤3：通过推导二维随机向量(Y,Z)的观测值落入区域Γi这一时间的概率表达式，构造以自然不变密度 为未知数的线性方程组：
[0054]
[0055] 其中，P(Ci)是二维随机向量(Y,Z)的观测值落入区域Γi这一事件Ci发生概率，M是均匀划分区间[a,b]所得的小区间的个数， 是划分得到的第k个小区间的中点，也即第k个小区间的代表点，δx代表每个小区间的长度，三者间满足如下两个等式关系：且δx＝(b-a)/M。
[0056] 通过推导条件期望E(Z|Ci)的表达式，构造以 为未知数的线性方程组：
[0057]
[0058] 其中M， 以及δx的含义与步骤2中的相应变量完全相同，E(Z|Ci)的含义是当二维随机向量(Y,Z)落入区域Γi时，其纵坐标的平均值。
[0059] 步骤4：将方程组(2)和(3)共同的系数用矩阵A表示，并估计A中的各个元素值，利用最大熵的正则方法求解式(2)方程组，得到自然不变密度pX(x)在代表点 处的估计值 即得到混沌映射f(x)的自然不变密度的估计。利用ν正则方法求解式(3)方程组，得到函数f(x)pX(x)在代表点 处的估计值 将这些估计值除以前面得到的pX(x)的相应估计值
则得到 即混沌的迭代函数f(x)在代表点
处的估计值。
则得到 即混沌的迭代函数f(x)在代表点
处的估计值。
[0060] 估计矩阵A中的各元素值，具体方法是：
[0061] 其中
[0062] 矩阵A的维数是i0行M列，其中第i行第j列的取值的计算是一个归一化累积分布概率，即以 为均值，σ为标准差的高斯随机变量落入区间[ηi,ηi+1]的概率。
[0063] 利用最大熵的正则方法求解式(2)方程组，具体方法是：
[0064] 根据1998年在费城工业与应用数学学会公开的秩亏和离散病态问题：线性反演的数值解法第122页,第138至141页(Hansen P C.Rank-deficient and discrete ill-posed problems:numerical aspects of linear inversion.Philadelphia.Society for Industrial and Applied Mathematics.1998年,ISBN:0-89871-403-6(pbk.))以及1996年Kluwer学术出版社公开的逆问题的正则化解法第134页至140,262页至276,166页 至 176(Engl H W,Hanke M,Neubauer.A Regularization of inverse problems.Dordrecht.Kluwer Academic Publishers.1996,ISBN:9780792361404)的内容来极小化下述函数：
[0065]
[0066] 这里，待求解的方程组是Ax＝b，λ为正则化参数， 是熵函数的负数，其中的ω1,…,ωn是加权系数，x1,…,xn是未知向量x的分量。需要说明的是，仅当待求的x1,…,xn全部为正时才能使用最大熵方法，由于式(4)中A，x，b分别对应式(2)中的A， P(Ci),i＝1,2,...,i0。方程组的未知数是自然不
变密度在代表点的值 因此满足该条件。
变密度在代表点的值 因此满足该条件。
[0067] 所述利用ν正则方法求解式(3)方程组，具体方法是：
[0069] x(l)＝μlx(l-1)+(1-μl)x(l-2)+ωlATr(l-1) (5)
[0070] r(l)＝b-Ax(l) (6)
[0071] 这里，待求解的方程组是Ax＝b，其中μl与ωl由下面两式计算得到[0072]
[0073]
[0074] 其中ν是一个常数，满足0<ν<1，l＝1,2,…表示迭代次数。A，x，b分别对应式(3)中的A， P(Ci)E(Z|Ci),i＝1,2,...,i0。
[0075] 当在信噪比较低的环境中提取相图，概率P(Ci)的表达式组成的方程组以及条件期望E(Z|Ci)的表达式组成的方程组的系数矩阵的条件数通常都是很大的。回顾需要求解的线性方程组可以发现，方程组右侧的向量b是由观测数据估计得到的(分别由P(Ci)与P(Ci)E(Z|Ci)的估计值组成)，因此，与向量b的理论值相比，由实际观测数据估计得到的向量b中不可避免地存在扰动，因而直接求解方程组得到的解与真实解相差很远，是没有意义的，本发明利用正则化方法来降低解对b扰动的敏感性，进一步降低了噪声对混沌相图提取的影响，有效提高了提取精度。
[0076] 步骤5：以 分别为横坐标和纵坐标画图得到所要求的函数图像或相图。
[0077] 以五种不同的一维迭代混沌映射：Ulam-von Neumann映射、logistic映射、立方映射、2阶Chebyshev映射、Tent映射为例，进行如实施例所述的相图提取方法的计算机仿真。
[0078] 其中Ulam-von Neumann映射f(x)＝1-2x2,x∈[-1,1]；logistic映射f(x)3
＝4x(1-x),x∈[0,1]；立方映射f(x)＝4x-3x,x∈[-1,1]；2阶Chebyshev映射f(x)＝cos(2arccos(x)),x ∈[-1,1]；Tent映 射 f(x)＝ x/0.4,若 x∈ [0,0.4)；f(x) ＝
6
(1-x)/0.6,若x∈[0.4,1]，Tent映射中x的范围为[0,1]。混沌序列长度T为2×10，信噪比为0dB，函数f的定义区间[a,b]，在仿真实验中可以选择是[0,1]或者[-1,1]，对[a,b]进行划分时，取δx＝0.01，M＝100(b-a)， 为了
定量衡量估计的效果，定义 与 它
们是将pX(x)与f(x)在代表点处的所有估计值构成的M维向量与代表点处的真实值构成的M维向量相比较时二者间的欧氏距离。正则方法求解方程组利用了正则化工具4.1版本(Hansen P C.2008.Regularization tools version 4.1(for Matlab version 7.3)http://www2.imm.dtu.dk/～pch/Regutools/regutools.html)的matlab正则化工具包中提供的最大熵方法的matlab程序maxent.m与ν方法的matlab程序nu.m，最大熵方法中的参数λ取为0.45(其他参数采用程序中的默认值)，ν方法中的参数ν取为0.5，迭代次数l取为400。得到仿真结果如图2至图6所示：
＝4x(1-x),x∈[0,1]；立方映射f(x)＝4x-3x,x∈[-1,1]；2阶Chebyshev映射f(x)＝cos(2arccos(x)),x ∈[-1,1]；Tent映 射 f(x)＝ x/0.4,若 x∈ [0,0.4)；f(x) ＝
6
(1-x)/0.6,若x∈[0.4,1]，Tent映射中x的范围为[0,1]。混沌序列长度T为2×10，信噪比为0dB，函数f的定义区间[a,b]，在仿真实验中可以选择是[0,1]或者[-1,1]，对[a,b]进行划分时，取δx＝0.01，M＝100(b-a)， 为了
定量衡量估计的效果，定义 与 它
们是将pX(x)与f(x)在代表点处的所有估计值构成的M维向量与代表点处的真实值构成的M维向量相比较时二者间的欧氏距离。正则方法求解方程组利用了正则化工具4.1版本(Hansen P C.2008.Regularization tools version 4.1(for Matlab version 7.3)http://www2.imm.dtu.dk/～pch/Regutools/regutools.html)的matlab正则化工具包中提供的最大熵方法的matlab程序maxent.m与ν方法的matlab程序nu.m，最大熵方法中的参数λ取为0.45(其他参数采用程序中的默认值)，ν方法中的参数ν取为0.5，迭代次数l取为400。得到仿真结果如图2至图6所示：
[0079] 图2至图6分别给出了Ulam-von Neumann映射、logistic映射、立方映射、2阶Chebyshev映射、Tent映射五种混沌映射的仿真图像，其中(a)图是自然不变密度真实值(直接由无噪混沌序列计算得到)与估计值的对比，(b)图是混沌映射函数图像真实值与估计值的对比，表1给出了仿真的性能指标Ep与Ef，表2与表3给出信噪比从-3dB逐渐递增至3dB(每次递增的幅度为1dB)时，用logistic映射f(x)＝4x(1-x),x∈[0,1]与立方3
映射f(x)＝4x-3x,x∈[-1,1]进行仿真的性能指标Ep与Ef。
映射f(x)＝4x-3x,x∈[-1,1]进行仿真的性能指标Ep与Ef。
[0080]
[0081] 表1针对五种混沌映射的仿真实验的性能指标
[0082]-3dB -2dB -1dB 0dB 1dB 2dB 3dB
Ep 6.0870 5.9865 6.2549 6.2295 6.1087 5.9607 5.8586
Ef 0.8025 1.5273 1.8276 1.4272 1.3556 1.5982 1.2368
Ep 6.0870 5.9865 6.2549 6.2295 6.1087 5.9607 5.8586
Ef 0.8025 1.5273 1.8276 1.4272 1.3556 1.5982 1.2368
[0083] 表2针对logistic映射在不同信噪比下的仿真实验的性能指标
[0084]-3dB -2dB -1dB 0dB 1dB 2dB 3dB
Ep 5.4183 4.8129 4.7041 4.7578 4.6752 4.4060 4.3711
Ef 7.2349 8.2934 5.9527 5.2591 8.1667 4.3485 4.3627
Ep 5.4183 4.8129 4.7041 4.7578 4.6752 4.4060 4.3711
Ef 7.2349 8.2934 5.9527 5.2591 8.1667 4.3485 4.3627
[0085] 表3针对立方映射在不同信噪比下的仿真实验的性能指标
[0086] 从图2至图6给出的仿真结果可以看出，估计的自然不变密度和混沌映射基本反映了它们各自真实的函数图像，但由于较强的噪声污染，估计结果和真实情况也是有一定偏差的，表1中的Ep与Ef反映了这种偏差的程度。估计效果和算法中的参数λ，ν以及k的选择有关系，从仿真结果看，选择的参数对混沌映射的种类具有较好的鲁棒性，在不改变参数的情况下，对各种混沌映射均给出了较理想的估计结果。
[0087] 从表2和表3可以看到，尽管信噪比发生了变化，但性能指标Ep与Ef的变化不太大，这验证了该算法可以在负信噪比的条件下有效工作并且在上述的参数选取下对信噪比的变化具有一定的鲁棒性。
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