一种用于微小质量检测的耦合双端固支梁谐振器及质量检测方法
阅读：82发布：2020-05-08
专利汇可以提供一种用于微小质量检测的耦合双端固支梁谐振器及质量检测方法专利检索，专利查询，专利分析的服务。并且本 发明 公开了一种用于微小 质量 检测的耦合双端固支梁 谐振器 及质量检测方法，谐振器包括第一双端固支梁、第二双端固支梁、第一耦合区域和第二耦合区域，第一双端固支梁和第二双端固支梁平行设置，且第一双端固支梁和第二双端固支梁的第一同向端固定在第一耦合区域上，第一双端固支梁和第二双端固支梁的第二同向端固定在第二耦合区域上。利用3D激光 生物 打印机 在每个双端固支梁上打印微小质量 块 ，实现微小质量的加载。本发明利用压电陶瓷驱动的方法驱动谐振器振动，利用多普勒显微扫描振动测量系统，采用逐点扫描的方法测试谐振器的 频谱 变化。根据耦合双端固支梁反对称模式下谐振 频率 f2与质量的关系，可以实现微小质量检测。，下面是一种用于微小质量检测的耦合双端固支梁谐振器及质量检测方法专利的具体信息内容。
1.一种用于微小质量检测的耦合双端固支梁谐振器，其特征在于，包括第一双端固支梁(1)、第二双端固支梁(2)、第一耦合区域(3)和第二耦合区域(4)，第一双端固支梁和第二双端固支梁平行设置，且第一双端固支梁和第二双端固支梁的第一同向端固定在第一耦合区域上，第一双端固支梁和第二双端固支梁的第二同向端固定在第二耦合区域上。
2.根据权利要求1所述的一种用于微小质量检测的耦合双端固支梁谐振器，其特征在于，第一双端固支梁由下至上依次包括SOI衬底硅层、SOI牺牲层、SOI顶层硅层以及金属层，SOI衬底硅层包括相互独立平行设置的第一支柱和第二支柱，SOI牺牲层包括相互独立设置的第一硅片和第二硅片，其中第一硅片设置在第一支柱上，第二硅片设置在第二支柱上，SOI顶层硅层的两端架设在第一硅片和第二硅片上，SOI顶层硅层的中间悬空，金属层结构与SOI顶层硅层结构相同，且设置在SOI顶层硅层上表面；第二双端固支梁结构与第一双端固支梁结构相同。
3.根据权利要求2所述的一种用于微小质量检测的耦合双端固支梁谐振器，其特征在于，第一双端固支梁和第二双端固支梁的SOI衬底硅层、SOI牺牲层以及SOI顶层硅层和金属层的两端均嵌合在第一耦合区域或第二耦合区域。
4.一种包含权利要求1-3任一项所述用于微小质量检测的耦合双端固支梁谐振器的谐振系统，其特征在于，该谐振系统为封装有用于微小质量检测的耦合双端固支梁谐振器的芯片。
5.一种采用权利要求4所述包含用于微小质量检测的耦合双端固支梁谐振器的谐振系统的质量检测方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)将谐振系统封装在PCB板上；
(2)加载微小质量块
利用3D打印的方式分别在两个双端固支梁上加载相同数量的微小质量块，将含有双端固支梁的芯片放置在3D打印机里面，利用光刻胶材料，采用3D打印的方式将微小质量块加载在双端固支梁上；
(3)利用压电陶瓷驱动的方法驱动谐振器振动，利用多普勒显微扫描振动测量系统测量加载微小质量块后两个双端固支梁的谐振频率；
(4)在探针台上，用探针按顺序拨除微小质量块后，继续利用多普勒显微扫描振动测量系统测量加载微小质量块后两个双端固支梁的谐振频率，将每次拨除后测得的两个双端固支梁的谐振频率进行对比；
(5)根据耦合双端固支梁反对称模式下谐振频率f2与质量的关系，实现微小质量检测，并根据测试的数据分析实际频偏与质量的关系，评估谐振梁痕量检测的性能。
6.根据权利要求5所述的一种采用包含用于微小质量检测的耦合双端固支梁谐振器的谐振系统的质量检测方法，其特征在于，步骤(5)具体为：
根据非阻尼系统牛顿第二方程得：
m为加载的微小质量块的重量；Z1和Z2分别为在两个双端固支梁上加载微小质量块后产生的位移；k为两个双端固支梁的弹性系数；将两个双端固支梁表示为通过线性弹簧耦合在一起的集总质量，所以kc为线性弹性系数；
转换成矩阵形式如下：
A1和A2为分别为位移方程的幅度系数；
得到线性系统方程为：
其中w为频率；
当系统的行列式为0时，可以找到平凡解：
2 2 2
(-wm+k+κc) -kc＝0；
解得两个本征频率Ωs和Ωa：
阻尼和驱动系统的响应从相关方程组中计算得到：整个谐振系统方程，和下面的阻尼驱动双端固支梁谐振器对应；
通过将两个方程式相加或相减，得到两个新方程式；
相加时得到：
其中，
阻尼和驱动双端固支梁谐振器的运动方程为： 其中
其中阻尼比
阻尼系数 从而得到：
相减时得到：
同理得到：
因此Z1(t)和Z2(t)可由上面式子解得：
谐振系统的一般解决方案是叠加对称和反对称模式，可以看出，所谓的正常模式分裂发生在足够强的耦合上，耦合强度通常由分裂频率表示Δws＝Ωa-Ωs。
一种用于微小质量检测的耦合双端固支梁谐振器及质量检测
方法
技术领域
背景技术
[0002] 微机电系统(Micro-electromechanical Systems，MEMS)，是指利用微机械加工技术，在硅衬底上把可以批量制作、尺寸在1μm～1mm的微型机构如激励器、传感器和执行器等集成于一体的微型器件或系统。
[0003] MEMS是一种多学科交叉技术，它的发展涉及到微电子学、微机械学、力学、声学、光学、材料学、生物医学等多种学科领域，并且集成了当今许多尖端科技研究成果。MEMS技术的巨大成功在许多领域引发了一场微型化革命，在传感技术、数字通讯、航天航空、精密武器、生物医学、环境控制等领域都被广泛应用，具有很大的经济价值和发展潜力。然而为了满足这些领域对器件尺度小型化不断要求，也由于MEMS加工工艺的快速发展，研究者开始不断缩小MEMS器件的尺寸。在这种情形下，纳机电系统(NEMS)应运而生。
[0004] 纳机电系统(NEMS)，是指在特征尺寸和效应上具有纳米技术特点的一类超小型机电系统，通常指特征尺寸在亚纳米到数百纳米，以纳米级结构所产生的新效应(量子效应、表面效应和尺度效应等)为工作特征的器件和系统。系统具有超高的谐振频率、高品质因数、超低功耗和小的尺寸质量等优异性能。
[0005] 随着微机电系统技术的不断发展与合作，硅微机械传感器应运而生，而在硅微机械传感器的各种工作方式中。其中，最有前途、最具吸引力的是谐振的工作方式。微系统谐振器正是利用这种谐振的工作方式，进而检测谐振频率。利用这种检测谐振频率的方式，当质量m0发生改变时，又能够检测出f0的变化。大多数微/纳机电谐振器件工作在本征谐振模式，具有极高的本征频率，由于其质量极小，其自身质量或外界工作条件与环境的微量变化，都会导致谐振频率较大的变化，这非常有利于微弱信号的探测，比如进行痕量检测。
[0006] 在痕量检测方面，纵观国内外，已经有很多优秀的团队利用微纳米谐振器来实现这一目的。有多种形式的谐振器都可以作为传感器探测超小质量，并达到超高灵敏度。例如，薄膜(纳米片)、纳米管/线和微纳米悬臂。
[0007] 国外利用微纳米梁/线作为质量传感器的各项研究报道中，加州理工M.L.Roukes研究小组的工作尤为出色。2004年，该小组制备出了厚度为260nm，长度从10μm～26μm不等的双端固支梁作为NEMS质量传感器。2006年，该小组Y.T.Yang等通过测量两个工作在甚高频(VHF)的双端固支梁的振动频移，检测到10-21g的微小质量，其分辨率可达7zg，相当于30个氙原子或一个分子量为4kDa的分子。由于技术的进步，该小组X.L.Feng和Rongrui He等人还制备出了30-90nm细的Si纳米线，作为片上电子驱动的压阻式检测的超高频谐振器，并在极具挑战的室温下进行质量传感实验。30nm细的SiNW能够在亚zg范围内提供卓越的质量灵敏度。为推进基于超细SiNW的NEMS传感器以及它们与微电子器件的单片集成提供了理论和实验基础。为了探索更广阔的应用，M.L.Roukes研究小组把目光投射到生物分析上。2009年，该小组利用高频固支梁作为核心器件，首次制得了能够测量单分子水平的纳机电质谱系统，该系统分辨率达到了10-18g。除了检测固体质量，M.L.Roukes研究小组在气体检测方面也取得了优异的成果。2007年小组制备出纳米硅金复合悬臂梁，并用聚合物薄膜功能化器件表面，在环境条件下进行实时化学吸附质量检测。制备的最小悬臂梁(600nm×400nm×100nm)谐振频率高达127MHz，并取得了前所未有的高于1ag(10-18g)的质量分辨率。随后于
2012年，该小组利用大规模集成技术开发了用于气体传感的纳米机械系统阵列，密度高达每平方厘米600万个NEMS。阵列能够处理极高的输入功率(每个阵列>1W，相当于每个纳米谐振器<1mW)，而不会因过度加热或共振响应恶化。该实验展示了集成NEMS阵列作为高性能化学气体传感器的实用性，在仅仅2秒的暴露期内，检测化学模拟物浓度达到ppm量级。
2012年，该小组利用大规模集成技术开发了用于气体传感的纳米机械系统阵列，密度高达每平方厘米600万个NEMS。阵列能够处理极高的输入功率(每个阵列>1W，相当于每个纳米谐振器<1mW)，而不会因过度加热或共振响应恶化。该实验展示了集成NEMS阵列作为高性能化学气体传感器的实用性，在仅仅2秒的暴露期内，检测化学模拟物浓度达到ppm量级。
[0008] 国内的研究团队在纳机电谐振器痕量检测方面，工作比较出色的是上海微系统所的李欣昕研究小组。2003年，该小组将一个厚度为170nm的超薄单晶硅悬臂梁作为传感器应用于质量检测。通过操纵器安装少量碳纳米管(CNT)于超薄谐振器上，测量其谐振频率变化来衡量CNT的储氢能力，其灵敏度达到亚皮克量级。2006年，根据生物/化学分子检测的超灵敏质量传感器的需求，该小组开发了用于在空气环境中进行检测的悬臂传感器。悬臂上利用自组装单层(SAM)进行功能化，用于特定的分子捕获，很好地检测到0.1ppm浓度的氨气和10ppb浓度的甲基膦酸二甲酯蒸气。
[0009] 用于痕量检测的谐振器主要以悬臂梁和双端固支梁为基本结构，目前很多研究考虑将耦合的悬臂梁应用于微小质量的检测。悬臂梁质量块结构由于质量块一般在悬臂梁的末端，质量块吸附完离子以后，在进行痕量检测时，梁极其容易塌陷，导致测试系统失效；而双端固支梁由于梁的吸附面积小而不利于进行痕量检测。因此设计出一种简单易行的谐振器结构，对于提高痕量检测的速度和精确度具有重要意义。
[0010] 随着器件尺寸的不断缩小，谐振时的平均振动幅度也在减小，由此需要检测方法具有非常高的位移灵敏度。微/纳谐振器的频率测量主要是将谐振器的振动位移转化为电学或者光学信号。电学测量当前比较成功的是将振动位移与磁场、静电、压电和压阻等相结合，而在光学检测中，光干涉计和光线偏移技术取得了广泛应用。激光多普勒测振仪主要利用光的干涉和多普勒效应来进行测量。光的多普勒效应指的是当被测物体和接收器以一定速度接近时，两者之间传递的光波将发生变化，波长缩短，频率升高；反之当两者发生远离时波长将变长，频率会降低。利用此效应，可以测量固体的振动速度、流体(液体和气体)的流动速度等。
发明内容
[0011] 发明目的：为解决现有技术的不足，提供一种用于微小质量检测的耦合双端固支梁谐振器及质量检测方法。
[0012] 技术方案：为实现上述发明目的，本发明采用以下技术方案：
[0013] 一种用于微小质量检测的耦合双端固支梁谐振器，包括第一双端固支梁、第二双端固支梁、第一耦合区域和第二耦合区域，第一双端固支梁和第二双端固支梁平行设置，且第一双端固支梁和第二双端固支梁的第一同向端固定在第一耦合区域上，第一双端固支梁和第二双端固支梁的第二同向端固定在第二耦合区域上。
[0014] 可选的，第一双端固支梁由下至上依次包括SOI衬底硅层、SOI牺牲层、SOI顶层硅层以及金属层，SOI衬底硅层包括相互独立平行设置的第一支柱和第二支柱，SOI牺牲层包括相互独立设置的第一硅片和第二硅片，其中第一硅片设置在第一支柱上，第二硅片设置在第二支柱上，SOI顶层硅层的两端架设在第一硅片和第二硅片上，SOI顶层硅层的中间悬空，金属层结构与SOI顶层硅层结构相同，且设置在SOI顶层硅层上表面；第二双端固支梁结构与第一双端固支梁结构相同。
[0015] 可选的，第一双端固支梁和第二双端固支梁的SOI衬底硅层、SOI牺牲层以及SOI顶层硅层和金属层的两端均嵌合在第一耦合区域或第二耦合区域。
[0016] 本发明还提供了一种包含所述用于微小质量检测的耦合双端固支梁谐振器的谐振系统，该谐振系统为封装有用于微小质量检测的耦合双端固支梁谐振器的芯片。
[0017] 本发明还提供了一种采用所述包含用于微小质量检测的耦合双端固支梁谐振器的谐振系统的质量检测方法，包括以下步骤：
[0018] (1)将谐振系统封装在PCB板上；
[0019] (2)加载微小质量块
[0021] (3)利用压电陶瓷驱动的方法驱动谐振器振动，利用多普勒显微扫描振动测量系统测量加载微小质量块后两个双端固支梁的谐振频率；
[0022] (4)在探针台上，用探针按顺序拨除微小质量块后，继续利用多普勒显微扫描振动测量系统测量加载微小质量块后两个双端固支梁的谐振频率，将每次拨除后测得的两个双端固支梁的谐振频率进行对比；
[0023] (5)根据耦合双端固支梁反对称模式下谐振频率f2与质量的关系，实现微小质量检测，并根据测试的数据分析实际频偏与质量的关系，评估谐振梁痕量检测的性能。
[0024] 进一步的，步骤(5)具体为：
[0025] 根据非阻尼系统牛顿第二方程得：
[0026]
[0027] m为加载的微小质量块的重量；Z1和Z2分别为在两个双端固支梁上加载微小质量块后产生的位移；k为两个双端固支梁的弹性系数；将两个双端固支梁表示为通过线性弹簧耦合在一起的集总质量，所以kc为线性弹性系数；
[0028] 转换成矩阵形式如下：
[0029]
[0030] A1和A2为分别为位移方程的幅度系数；
[0031] 得到线性系统方程为：
[0032]
[0033] 其中w为频率；
[0034] 当系统的行列式为0时，可以找到平凡解：
[0035] (-w2m+k+kc)2-kc2＝0；
[0036] 解得两个本征频率Ωs和Ωa：
[0037]
[0038] 阻尼和驱动系统的响应从相关方程组中计算得到：整个谐振系统方程，和下面的阻尼驱动双端固支梁谐振器对应；
[0039]
[0040] 通过将两个方程式相加或相减，得到两个新方程式；
[0041] 相加时得到：
[0042]
[0043]
[0044] 其中，
[0045] 阻尼和驱动双端固支梁谐振器的运动方程为： 其中其中阻尼比
阻尼系数 从而得到：
阻尼系数 从而得到：
[0046]
[0047] 相减时得到：
[0048]
[0049]
[0050] 同理得到：
[0051]
[0052] 因此Z1(t)和Z2(t)可由上面式子解得：
[0053]
[0054] 谐振系统的一般解决方案是叠加对称和反对称模式，可以看出，所谓的正常模式分裂发生在足够强的耦合上，耦合强度通常由分裂频率表示Δws＝Ωa-Ωs。
[0056] 图1是耦合谐振器的示意图及振动模态；
[0057] 图2是面外振动的双端固支梁的示意图
[0058] 图3是两个耦合的双端固支梁构成的谐振系统受力分析图；
[0059] 图4两次实验利用3D打印质量块的SEM照片；
[0060] 图5两次实验耦合梁在对称模态下谐振频率随着谐振器上总载荷质量变化的趋势图；
[0061] 图6两次实验耦合梁在反对称模态下谐振频率随着谐振器上总载荷质量变化的趋势图。
具体实施方式
[0062] 下面结合附图和具体实施例对本发明的技术方进行详细的说明。
[0063] 如图1所示，一种用于微小质量检测的耦合双端固支梁谐振器，包括第一双端固支梁1、第二双端固支梁2、第一耦合区域3和第二耦合区域4，第一双端固支梁和第二双端固支梁平行设置，且第一双端固支梁和第二双端固支梁的第一同向端固定在第一耦合区域上，第一双端固支梁和第二双端固支梁的第二同向端固定在第二耦合区域上；第二双端固支梁结构与第一双端固支梁结构相同。
[0064] 图1(a)为谐振器结构示意图，图1(b)和(c)表示两个双端固支梁的振动模态示意图。图1(a)中1和2为两个相同结构尺寸的双端固支梁；3和4表示为耦合区域。图1(b)表示两个耦合双端固支梁振动时呈现对称振动模态，图1(c)表示两个耦合双端固支梁振动时呈现反对称振动模态。
[0065] 如图2所示，双端固支梁由下至上依次包括SOI衬底硅层、SOI牺牲层、SOI顶层硅层以及金属层，SOI衬底硅层包括相互独立平行设置的第一支柱和第二支柱，SOI牺牲层包括相互独立设置的第一硅片和第二硅片，其中第一硅片设置在第一支柱上，第二硅片设置在第二支柱上，SOI顶层硅层的两端架设在第一硅片和第二硅片上，SOI顶层硅层的中间悬空，金属层结构与SOI顶层硅层结构相同，且设置在SOI顶层硅层上表面。在进行微小质量检测时，双端固支梁需要固定封装在图2所示下极板硅上，以方便测试，测试时金属层和下极板硅分别作为两个电极，并给两个电极加电压以驱动谐振器振动。
[0066] 图2表示的是一个双端固支梁的内部结构，双端固支梁采用面外振动的方式，其加工工艺过程为：
[0067] 双端固支梁的制作采用了MEMSCAP公司的SOI工艺，双端固支梁为复合梁，由Au、Cr、Si构成，它们的厚度分别为600nm、50nm、25μm，设计的长方形的梁的长度为500μm，宽度为40μm，耦合区域由长145μm、宽500μm、厚度25μm的Si构成。
[0068] 双端固支梁加工工艺采用SOI片作为基础原片进行加工。顶层硅25μm±1μm厚的P型硅，中间牺牲层为2μm±0.1μm厚的二氧化硅，衬底为400μm±5μm厚的N型硅。工艺采用四级掩膜的SOI图形化和刻蚀的标准工艺，具体工艺流程包括以下步骤：
[0069] (a)沉积磷硅酸盐玻璃(PSG)于表层硅上，利用退火工艺将磷掺杂到表层硅表面中，随后去除PSG层得到用于制作器件的原片。一个SOI片由三层组成，分别是表层硅，用来做器件，埋氧层和底层硅，用来做衬底，表层硅最后形成的是SOI顶层硅层。
[0070] (b)第一级掩膜名为Pad Metal，目的是淀积用于电极的金属，最终形成金属层。通过剥离工艺图案化20nm的铬和500nm的金到SOI顶层硅上，采用电子束蒸发淀积金属。图案化工艺具有3μm线宽，对器件层(顶层硅用来做器件)有3μm的对准公差。由于该金属在后续工艺中暴露于高温，因此表面粗糙度较高。
[0071] (c)第二级掩膜名为SOI，目的是对硅器件-梁(指的是主体部分梁)，进行光刻图案化，并使用深反应离子刻蚀(DRIE)进行蚀刻，终止于埋氧层，埋氧层最终形成的为SOI牺牲层。
[0072] (d)第三级掩膜名为TRENCH，目的是释放可动结构-梁。首先涂覆前侧保护材料在顶层硅的表面，反转晶片并使用第三级掩膜层从底侧对衬底硅层进行光刻图案化，形成SOI衬底硅层。然后使用反应离子蚀刻(RIE)将该图案蚀刻到底侧埋氧层中。随后使用DRIE蚀穿衬底层(衬底硅)，并停止于埋氧层采用湿法蚀刻工艺去除由TRENCH掩膜限定的区域中的埋氧层。最后干法蚀刻前侧保护材料，“释放”硅层中的机械结构。
[0073] (e)第四级掩膜名为BLANKETMETAL，目的是在顶层硅积金属。该步骤使用单独的硅晶片制造金属图案的阴影掩模。将支座预制到阴影掩模中，使得阴影掩膜不与SOI晶片的顶层硅和衬底硅中的图案化特征接触。然后用BLANKETMETAL掩模对阴影掩膜进行图案化，并通过DRIE蚀刻阴影掩膜，产生用于金属蒸发的通孔。阴影掩膜对准并临时粘合到SOI晶片上，沉积50nm Cr和600nm Au金属层。去除阴影掩膜，在SOI晶片上留下图案化的金属层(在顶层硅上淀积金属，形成金属层)。
[0074] 如图1和图2所示，第一双端固支梁和第二双端固支梁的SOI衬底硅层、SOI牺牲层以及SOI顶层硅层和金属层的两端均嵌合在第一耦合区域或第二耦合区域。
[0075] 图3表示的为谐振系统的受力分析图，5，6分别为两个双端固支梁上加载的微小质量块，微小质量块的质量为m；加载的微小质量块对两个双端固支梁产生压力使之变形，弹性形变虚拟表示为7和8，k为双端固支梁变形的弹性系数，k值与双端固支梁的材料有关，在理想情况下认为两个双端固支梁的k值相同；为了理解耦合谐振器中两个耦合的双端固定梁之间的相互作用，我们将两个双端固支梁表示为通过线性弹簧(kc)耦合在一起的集总质量，5表示是线下弹性系数kc；1和2分别表示两个双端固支梁。
[0076] 为了增大两个双端固支梁之间的耦合作用，将双端固支梁的锚区设计成可动的长方体耦合结构，耦合的两个双端固支梁构成了完整的谐振器，谐振系统为封装有用于微小质量检测的耦合双端固支梁谐振器的芯片。谐振系统有两个谐振频率f1和f2，分别对应对称模式和反对称模式，其模态如图1(b)和图1(c)，对称模式下发生同向振动，kc未拉伸，反对称模式下发生反相振动，双端固支梁会承受很大的应变。
[0077] 两个双端固支梁构成的谐振系统的受力分析如图3所示。
[0078] 一种用于微小质量检测的耦合双端固支梁谐振器的质量检测方法，包括以下步骤：
[0079] (1)将谐振系统封装在PCB板上；
[0080] (2)加载微小质量块
[0081] 利用3D打印的方式分别在两个双端固支梁上加载相同数量的微小质量块，将含有双端固支梁的芯片放置在3D打印机里面，利用光刻胶材料，采用3D打印的方式将微小质量块加载在双端固支梁上；
[0082] (3)利用压电陶瓷驱动的方法驱动谐振器振动，利用多普勒显微扫描振动测量系统测量加载微小质量块后两个双端固支梁的谐振频率；
[0083] (4)在探针台上，用探针按顺序拨除微小质量块后，继续利用多普勒显微扫描振动测量系统测量加载微小质量块后两个双端固支梁的谐振频率，将每次拨除后测得的两个双端固支梁的谐振频率进行对比；
[0084] (5)根据耦合双端固支梁反对称模式下谐振频率f2与质量的关系，实现微小质量检测，并根据测试的数据分析实际频偏与质量的关系，评估谐振梁痕量检测的性能；具体为：
[0085] 由图3，根据非阻尼系统牛顿第二方程得：
[0086]
[0087] 其中，m为加载的质量块的重量；Z1和Z2分别为为质量块加载在两个双端固支梁上产生的位移；k为两个双端固支梁的弹性系数，该值与双端固支梁的材料有关，在理想情况下认为两个双端固支梁的k值相同；为了理解耦合谐振器中两个耦合的双端固定梁之间的相互作用，我们将两个双端固支梁表示为通过线性弹簧耦合在一起的集总质量，所以kc为线性弹性系数。
[0088] 转换成矩阵形式如下：
[0089]
[0090] A1和A2为分别为位移方程的幅度系数。
[0091] 得到线性系统方程为：
[0092]
[0093] 其中ω为频率。
[0094] 当系统的行列式为0时，可以找到平凡解：
[0095] (-ω2m+k-kc)2-kc2＝0 (4)；
[0096] 解得两个本征频率Ωs和Ωa：
[0097]
[0098] 阻尼和驱动系统的响应可以从相关方程组中计算得到：图4整个的系统方程，和下面的阻尼驱动双端固支梁谐振器对应。
[0099]
[0100] 通过将两个方程式相加或相减，得到两个新方程式。
[0101] 相加时得到：
[0102]
[0103]
[0104] 其中，
[0105] 阻尼和驱动双端固支梁谐振器的运动方程为： 其中其中阻尼比
阻尼系数 从而得到：
阻尼系数 从而得到：
[0106]
[0107] 相减时得到：
[0108]
[0109]
[0110] 同理得到：
[0111]
[0112] 因此Z1(t)和Z2(t)可由上面式子解得：
[0113]
[0114] 谐振器系统的一般解决方案是叠加对称和反对称模式，可以看出，所谓的正常模式分裂发生在足够强的耦合上，耦合强度通常由分裂频率表示Δws＝Ωa-Ωs。
[0115] 为了进行谐振梁痕量检测的实验，需要在梁上加载质量，从而检测频偏。本实施例中，利用3D激光生物打印机(Nanoscribe GmbH：Photonic Professional GT)在每个双端固支梁上打印5个微小质量块，实现微小质量的加载。利用压电陶瓷驱动的方法驱动谐振器振动，利用多普勒显微扫描振动测量系统(Polytec:MSV-400M2-20)，采用逐点扫描的方法测试谐振器的频谱变化。根据耦合双端固支梁反对称模式下谐振频率f2与质量的关系，可以实现微小质量检测。根据测试的数据分析实际频偏与质量的关系，评估谐振梁痕量检测的性能。
[0116] 使用Nanoscribe Photonic Professional GT型号的3D打印机打印质量块，其打印原理类似于光刻。首先需要在衬底表面涂覆光刻胶，然后利用双光子微光刻原理将高能激光束聚焦在目标位置实现光刻胶的曝光。配合相应软件可定点快速打印出设计的图形。该设备扫描范围为300μm×300μm×300μm，横向分辨率为200nm。基于激光直写技术可制备
2D、2.5D和3D聚合物结构。实验需要在宽度为30μm～100μm的梁上打印微米量级的长方体质量块，该设备远远满足需求。3D打印使用MSDS IP-L 780型光刻胶(主要成分为2-(羟甲基)-
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2-[[(1-氧代烯丙基)氧基]甲基]-1,3-丙二醇二丙烯酸酯)，密度为1.35g/cm。通过改变质量块数量的多少来实现谐振梁质量的改变。设计的质量块尺寸为15μm×15μm×30μm，经计算，每个质量块的质量为10ng。
2D、2.5D和3D聚合物结构。实验需要在宽度为30μm～100μm的梁上打印微米量级的长方体质量块，该设备远远满足需求。3D打印使用MSDS IP-L 780型光刻胶(主要成分为2-(羟甲基)-
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2-[[(1-氧代烯丙基)氧基]甲基]-1,3-丙二醇二丙烯酸酯)，密度为1.35g/cm。通过改变质量块数量的多少来实现谐振梁质量的改变。设计的质量块尺寸为15μm×15μm×30μm，经计算，每个质量块的质量为10ng。
[0117] 利用3D打印的方式在每个双端固支梁上打印5个10ng的质量块，其中质量块长15μm，宽15μm，高30μm，每个质量块的间隔20μm，如图4(a)所示。图4(b)为质量块的细节图，由于显影、加热等都会对光刻胶产生影响，显影后质量块体积会出现了萎缩，表现为宽度变窄，厚度变短，密度也会因此增大。由于与梁表面接触的底面不易产生形变，而顶面尺寸缩小，所以图中质量块侧面呈现出上窄下宽梯形的形状。
[0118] 每次利用探针按照图4(a)中的标出顺序依次移除双端固支梁上的质量块，然后利用普勒显微扫描振动测量系统采用逐点扫描的方法分别测量谐振器两个双端固支梁(图4(a)中标为A、B梁)的频谱，找出其谐振频率变化规律，此作为实验1。
[0119] 考虑到载荷的分布会对双端固支梁的振动模态产生影响，改变双端固支梁上质量块的质量分布，增大了一侧质量块的质量，导致梁上载荷分布不均匀，如图4(c)所示。改变的质量块尺寸变为长15μm，宽15μm，高45μm，质量近似为15ng，细节如图4(d)。按实验1的测试方法，重复实验，作为实验2。
[0120] 由压电陶瓷带动谐振器振动，利用信号发生器产生低电压的激励信号。经过系统详细的测试，实物谐振器的两个双端固支梁和理论的一样有较强的耦合作用，随着单个梁上的载荷变化，两个梁的谐振特性同时发生变化。从双端固支梁的频谱变化趋势，发现其谐振频率f2的模态变化符合理想情况，且品质因数值较高，而谐振频率f1对应的模态变化较为剧烈，图5是两次实验双端固支梁的对称谐振频率f1的变化图，图6是反对称谐振频率f2的变化图。由于两个耦合梁的载荷不同，能量在系统中的传递转换而不能保持完全同步，这导致其谐振频率f1发生畸变。但是在两次实验中，两个耦合梁的谐振频率f2都随着一个梁的载荷变化而线性变化的。实验1中谐振频率f2灵敏度为32Hz/ng，实验2中谐振频率f2灵敏度为47Hz/ng。
[0121] 实验结果说明耦合双端固支梁对称模式下的谐振频率f1不适合用于微小载荷检测，而反对称模式下谐振频率f2品质因数较高，且变化线性度好，可以用于微小质量检测。
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