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双曲格子艺术图形的构造方法

阅读:717发布:2021-03-07

专利汇可以提供双曲格子艺术图形的构造方法专利检索,专利查询,专利分析的服务。并且双曲格子艺术图形的构造方法,涉及一种艺术图案的设计方法,该方法利用 计算机图形学 中的非线性科学技术构造出每个格子中含有一个具象图形的双曲极限圆形式的艺术图形。将人为的艺术图形通过用技术手段挑选出的双曲变换来构造出排列在双曲格子中的圆艺术图形。基于双曲对称特性,提供了一个分层次的对每个双曲格子只挑选一个压缩变换的方法。可以将不同的图源用不同层次的双曲变换矩阵组装在一起,构造出不同图源的类双曲极限圆图形。本方法用在游戏开发、家装设计、图形制作、服装设计、纺织印染、陶瓷设计、壁纸设计等一切需要圆形艺术图形设计的应用领域,例如组合设计出 附图 所示12生肖的美图。,下面是双曲格子艺术图形的构造方法专利的具体信息内容。

1.双曲格子艺术图形的构造方法,其特征在于,所述方法包括在每个格子中排列一个图源,在基本域中分层次构造双曲变换矩阵,每个层次的双曲变换矩阵,在前一层次双曲变换矩阵的基础上,作符合式(5)规定的双曲矩阵构造;其具体构造方法如下:
+
a.利用其双曲平面上的点与三维空间点间的换算公式及[p,q] 双曲对称的基本对称矩阵:
双曲平面上的点可以表示在单位圆( )上,也可以表示在3维空间的上半叶双曲面( )上;两种模型的点之间的变换关系为 或 ;关于圆心点O的S旋
转变换,关于Q点的T双曲旋转变换;
b. 由基于 对称的分层次格子的双曲变换集构造的单位圆上的双曲变换集:
将双曲平面上的中心格子定义为第0层格子,与第0层格子的边和顶点相连的格子为第1层格子;与第1层格子的边和顶点相连的格子为第2层格子,依次类推;将中心格子绕顶点Q做q-2 次双曲旋转,得到第一层格子以及由此扩展得到的其它各层次格子定义为基本域,如图4(a)中灰色区域所示,这个区域是双曲圆上除中心格子外的1/p旋转对称区域;
c.第m层双曲变换矩阵集 的具体构造:
将中心格子关于Q点做q-2次双曲旋转,即将中心格子中的图形变换到了基本域中的第一层次中的各个格子,因此,相应的变换矩阵集为:
; (4)
本定义[p,q]+双曲圆上中心格子向第0层格子(即自身)的双曲变换为单位矩阵I,用符号 表示;定义基本域中与第m-1层格子的边和顶点邻接的所有格子为第m层格子,m=1,2,3,…;定义将中心格子变换到基本域的第m 层格子的所有变换矩阵集合为第m 层双曲变换矩阵集,用符号 表示; 中的第i个变换矩阵用符号 表示。
2.根据权利要求1所述的双曲格子艺术图形的构造方法,其特征在于,所述 中的元+
素数量用符号 表示;令[p,q] 双曲圆上的所有层次的变换矩阵集的并集用符号 表示,则
(3) 。
3.根据权利要求1所述的双曲格子艺术图形的构造方法,其特征在于,所述第m层双曲变换矩阵集 的具体构造中,其它层次的双曲变换集通过式(5)构造,其中第i 项 是T和S的幂的组合变换,且构造 项的左数第一个矩阵是式(4)中的T的满足条件的幂次矩阵,式中 是第m-1层双曲变换集的数量;
{ ;其 中 去 除k=1
且j=2时的 的各组合项;去除j=p-1且 项的左数第一个矩阵是 的
的各组合项}(5) 。
4.根据权利要求1所述的双曲格子艺术图形的构造方法,其特征在于,所述应用本+
方法构造[6,4] 基本域中第1、第2和第3层次格子的双曲变换矩阵的代码,数字相应于、 、 各项中的指数取值。

说明书全文

双曲格子艺术图形的构造方法

技术领域

[0001] 本发明涉及一种艺术图案的设计方法,特别是涉及一种双曲格子艺术图形的构造成法。

背景技术

[0002] 欧式平面上的单位圆可以用于表示双曲平面,它用有限空间表示了无穷的概念。研究双曲平面上的对称使科学研究与艺术创造有互动式地发展。加拿大数学家H.S.M.Coxeter研究双曲对称的思想使得荷兰艺术家M.C.Escher用画笔构造出了包括以天使与魔鬼为题材在内的4个双曲极限圆图案,包括这些图案在内的2维和3维对称排列图案的构造使他成为了享誉世界的著名画家。Escher的双曲艺术创作又推动了科学研究者研究如何根据双曲对称群理论构造出具有双曲对称的迭代映射和IFS迭代函数系,通过科学计算并用计算机图形显示技术构造出混沌吸引子、充满Julia集和分形形式的双曲极限圆图形。值得注意的是:画家M.C.Escher是在理解了双曲极限圆的原理之后用手或画笔构造出了双曲极限圆艺术图形;数学家们是利用双曲对称群构造出了非线性动系统并借助计算机在双曲平面上生成了双曲极限圆抽象图形。

发明内容

[0003] 本发明的目的在于提供一种双曲格子艺术图形的构造方法,本发明利用计算机图形学中的非线性科学方法,将图案、照片等具象图形压缩排列到平面单位圆内的双曲格子中,解决了如何将中心格子中的图形向单位圆中不同层次的双曲格子进行双曲变换、进而构造出每个格子中含有一个具象图形的双曲极限圆形式的艺术图形。
[0004] 本发明的目的是通过以下技术方案实现的:双曲格子艺术图形的构造方法,所述方法包括在每个格子中排列一个图源,在基本域中分层次构造双曲变换矩阵,每个层次的双曲变换矩阵,在前一层次双曲变换矩阵的基础上,作符合式(5)规定的双曲矩阵构造;其具体构造方法如下:
+
a.利用其双曲平面上的点与三维空间点间的换算公式及[p,q] 双曲对称的基本对称矩阵:
双曲平面上的点可以表示在单位圆( )上,也可以表示在3维空间的上半叶双曲面( )上;两种模型的点之间的变换关系为 或 ;关于圆心点O的S旋
转变换,关于Q点的T双曲旋转变换;
b. 由基于 对称的分层次格子的双曲变换集构造的单位圆上的双曲变换集:
将双曲平面上的中心格子定义为第0层格子,与第0层格子的边和顶点相连的格子为第1层格子;与第1层格子的边和顶点相连的格子为第2层格子,依次类推;将中心格子绕顶点Q做q-2 次双曲旋转,得到第一层格子以及由此扩展得到的其它各层次格子定义为基本域,如图4(a)中灰色区域所示,这个区域是双曲圆上除中心格子外的1/p旋转对称区域;
c.第m层双曲变换矩阵集 的具体构造:
将中心格子关于Q点做q-2次双曲旋转,即将中心格子中的图形变换到了基本域中的第一层次中的各个格子,因此,相应的变换矩阵集为:
; (4)
+
本定义[p,q] 双曲圆上中心格子向第0层格子(即自身)的双曲变换为单位矩阵I,用符号 表示;定义基本域中与第m-1层格子的边和顶点邻接的所有格子为第m层格子,m=1,2,3,…;定义将中心格子变换到基本域的第m 层格子的所有变换矩阵集合为第m 层双曲变换矩阵集,用符号 表示; 中的第i个变换矩阵用符号 表示。
[0005] 所述的双曲格子艺术图形的构造方法,所述 中的元素数量用符号 表示;+
令[p,q] 双曲圆上的所有层次的变换矩阵集的并集用符号 表示,则
。 (3)
所述的双曲格子艺术图形的构造方法,所述第m层双曲变换矩阵集 的具体构造中,其它层次的双曲变换集通过式(5)构造,其中第i 项 是T 和S 的幂的组合变换,且构造项的左数第一个矩阵是式(4)中的T的满足条件的幂次矩阵,式中 是第m-1层双曲变换集的数量。
[0006] { ;其 中 去 除k=1 且j=2时的 的各组合项;去除j=p-1且 项的左数第一个矩阵是 的
的各组合项}。(5)
所述的双曲格子艺术图形的构造方法,所述应用本方法构造[6,4]+基本域中第1、第
2和第3层次格子的双曲变换矩阵的代码,数字相应于 、 、
各项中的指数取值。
[0007] 本发明的优点与效果是:1.设计者可以利用本专利提供的方法实现任意具象图形在 双曲格子上的排列,创造出基于双曲极限圆格子的圆艺术图形。
[0008] 2.设计者可以分层次地控制具象图形在格子中的位置以及双曲扭曲形态。如图6给出了将图源压缩到中心格子的不同位置时,生成的圆。如果保留图6(a)的第0层牛的位置,其它层次格子中的牛是将图6(b)的中心格子的牛经相应层次的双曲变换压缩构造,则得到了图5中的牛圆图。
[0009] 3.设计者同样可以将不同的图源用不同层次的双曲变换矩阵组装在一起,构造出不同图源的类双曲极限圆图形。
[0010] 4.按照本发明提供的双曲变换矩阵的构造方法,可以方便编程,并用4个层次的变换矩阵就可以构造出视觉上的极限圆图形。
[0011] 5.本发明用在游戏开发、家装设计、图形制作、服装设计、纺织印染、陶瓷设计、壁纸设计等圆形艺术图形设计的应用领域。附图说明
[0012] 图1(a)为用混沌动力系统方法构造出来的混沌吸引子;图1(b)为用吸引周期轨道方法构造出来的充满Julia集;
图1(c)为用累积概率法构造出来的IFS迭代函数系的分形图;
图2为首先将图源压缩到中心格子的1/p旋转对称区域,然后用累积概率方法随机挑选双曲变换矩阵构造出来的具象图形的双曲极限圆;
图3将图源压缩到中心格子区域后用累积概率方法随机挑选双曲变换矩阵构将中心格子中的图形压缩到各双曲格子中;
+
图4 为[6,4] 双曲平面上的格子结构及基本域;
图5 用本发明方法构造的十二生肖圆;
图6 图源被压缩到中心格子的不同度时的牛圆;
+
图7 采用本发明构造[6,4] 基本域中第1、第2和第3层次各格子的双曲变换矩阵的代码,数字相应于各个格子的双曲变换 、 、 中的指数
取值。

具体实施方式

[0013] 下面结合附图所示实施例,对本发明作进一步详述。
[0014] 本发明是将人为的艺术图形通过用技术手段挑选出的双曲变换来构造出排列在双曲格子中的艺术图形,因此,实现了基于双曲格子的艺术图形的再创作。
[0015] 双曲极限圆的对称形式有 , 和 三种,无论哪种对称形式都有双曲p边形格子的每一个顶点有q个双曲p边形格子相遇的特性,并且只要满足(p-2)(q-2)>4的条件,则存在一个双曲平面排列。抽象形式的双曲极限圆图形如图1所示,其中图1(a)和图1(b)是采用具有双曲对称性的迭代计算公式、用不同的计算方法构造出来的混沌吸引子和充满Julia集图形;图1(c)是采用累计概率的方法随机挑选双曲IFS迭代函数系中的压缩变换构造出来的分形奇怪吸引子。图2是本发明人采用图1(c)所构造的双曲矩阵,通过累计概率随机挑选双曲变换矩阵将已被压缩到双曲极限圆中心格子的一个旋转对称区域中的具象图形变换到了双曲极限圆上。
[0016] 图2所表现的双曲极限圆图形虽然实现了将手绘的图形经随机选取的双曲矩阵变换到了双曲平面的双曲格子中,但这种构造必须将原始图形压缩到双曲圆中心格子的一个旋转对称区域上,即如果中心格子是p旋转对称的,原始图形必须被压缩到中心格子的1/p的旋转对称区域。如果仍采用图2的累计概率的方法随机挑选双曲变换矩阵,将单个原图压缩到双曲极限圆的中心格子上而不是将p个压缩后的图源置于中心格子上,则除非原图是p旋转对称的,这样构造出的图形是模糊一片的,如图3所示。图3(a)、(b)和(c)说明如果采用图2的构造方法,但中心格子只放一个图源图形,则中心格子中的图形可以沿不同方向经过不同的压缩变换以相互重叠的方式压缩到同一个格子里,事实上对于模型(即双曲图形关于原点O有平面p旋转对称,对p边形的每个顶点有q双曲旋转对称),关于每个双曲格子都有p个相互旋转对称的压缩矩阵,因此,上述算法以p个双曲旋转方向将中心格子中的图形压缩到了每个格子中,使格子中的p个图形融合在了一起,形成了只剩颜色的图3(d)效果。
[0017] 本发明基于 双曲对称特性,提供了一个分层次的对每个双曲格子只挑选一个压缩变换的方法。成功用中心格子的一个具象图形构造出基于双曲格子的具象的圆艺术图形。
[0018] 观察 单位圆上的双曲对称格子(如图4,其中p=6,q=4),图4(a) 为双曲平面上的对称格子排列,图4(b)为p=6的旋转对称中心格子,在本发明中,将双曲平面上的中心格子定义为第0层格子,与第0层格子的边和顶点相连的格子称为第一层格子;与第1一层格子的边和顶点相连的格子称为第二层格子,依次类推。将中心格子绕顶点Q做q-2 次双曲旋转所得到的第一层格子以及由此得到的所有其它各层次格子定义为基本域,如图4(a)中灰色区域所示,这个区域是双曲圆上除中心格子外的1/p旋转对称区域。因此,如果找到了中心格子向基本域中各个格子的双曲变换矩阵,再将这些双曲矩阵关于双曲圆中心O点进行2p/p旋转,则遍历这些双曲变换,中心格子中的图形就被双曲变换到了相应的双曲格子上,完成具象图形在 双曲格子上的排列,实现基于 双曲对称变换的圆艺术图形的构造。图5是采用本发明构造出的基于 双曲变换的12生肖圆艺术图形。
[0019] 本发明双曲格子的圆艺术图形是各种具象图形依托[p,q]+双曲变换矩阵在单位圆区域内的排列。所提供的双曲变换矩阵构造方法,使得任意中心格子中的具象图形在每个双曲格子中得到一次压缩。所产生的图形可以用在各种需要新颖的圆形图形设计中。双曲格子的圆艺术图形具有双曲极限圆的格子架构,具象图形在双曲格子中的双曲变形可由设计者自主分层设计,用同一图源可以根据设计者的喜好分层设计出所需要的艺术圆形图形。双曲格子的圆艺术图形,可以在双曲极限圆的格子架构的基础之上,采用不同图源,通过分层双曲变换技术构造出组合图源的艺术圆形图形。
[0020] 实施例:图1(c)和图2(c)的双曲变换矩阵都是采用Clifford A.Reiter 教授关于对称形式的构造公式构造的,该公式的表达式为 : ,其中
。图6(a)中的双曲变换 将中心格子的“牛”经过关于Q点
的 双曲旋转、又经过绕圆心O点做了 旋转,结果是将其变换到了右下方的格子中。事实上还有5个双曲变换( ,k=1,2,3,4,5)将中心格子的牛从不同的角度变换到这个格子中,同时由图6(b)看到还有其它的双曲变换也能将中心格子的牛变换到这个格子中,即Reiter教授构造 双曲变换矩阵的方法是每个格子有p个矩阵与之对应,同时还有重复矩阵。本发明为了能实现让设计者在每个格子中只排列一个图源,提出了在基本域中分层次构造双曲变换矩阵的方法。每个层次的双曲变换矩阵在前一层次的双曲变换矩阵的基础上作用符合规定的双曲矩阵 得到。本发明基于 双曲对称格子的双曲变换矩阵的具体构造方法如下:
1利用双曲平面上的点与三维空间点间的换算公式及基本对称矩阵
双曲平面上的点可以表示在单位圆( )上,也可以表示在3维空间的上半叶双曲面( )上。两种模型的点之间的变换关系为 或 ,其中:
,或 . (1)
图4(b)表示了双曲极限圆对称群的3个基本对称元A、B和C,其中,A是关于p 边形一条边的反射对称,B为关于X轴的垂直反射对称,C 是关于原点O到p 边形一个顶点连线的反射对称。3个基本反射对称在3维空间的上半叶双曲面上的计算公式如下:
(2)
其中 . 由式(2)表示的3个基本变换A、B 和C 的组合可以表示
双曲极限圆内绕原点O逆时针旋转 的S 对称和绕p边形的一个顶点Q逆时针双曲旋转 的T对称, 其中S=CB,T=AC.
2 由基于 对称的分层次格子的双曲变换集构造的单位圆上的双曲变换集如前所述,在本发明中,将双曲平面上的中心格子定义为第0层格子,与第0层格子的边和顶点相连的格子称为第1层格子;与第1层格子的边和顶点相连的格子称为第二层格子,依次类推。将中心格子绕顶点Q做q-2 次双曲旋转所得到的第一层格子以及由此扩展得到的其它各层次格子定义为基本域,如图4(a)中灰色区域所示,这个区域是双曲圆上除中心格子外的1/p旋转对称区域。
[0021] 本发明中定义[p,q]+双曲圆上中心格子向第0层格子(即自身)的双曲变换为单位矩阵I,用符号 表示。定义基本域中与第m-1层格子的边和顶点邻接的所有格子为第m 层格子,m=1,2,3,…。定义将中心格子变换到基本域的第m层格子的所有变换矩阵集合为第m 层双曲变换矩阵集,用符号 表示。 中的第i个变换矩阵用符号 表示, 中+的元素数量用符号 表示。令[p,q] 双曲圆上的所有层次的变换矩阵集的并集用符号 表示,则
。 (3)
3 第m 层双曲变换矩阵集 的具体构造
由前述基本域的构造可知,将中心格子关于Q点做q-2次双曲旋转即可将中心格子中的图形变换到了基本域中的第一层次中的各个格子,因此,相应的变换矩阵集。(4)
其它层次的双曲变换集可以通过式(5)构造,其中第i项 是T和S的幂的组合变换,且构造 项的左数第一个矩阵是式(4)中的T的满足条件的幂次矩阵,式中 是第m-1层双曲变换集的数量,
{ 其 中 去 除k=1
且j=2时的 的各组合项;去除j=p-1且 项的左数第一个矩阵是 的
的各组合项}。(5)
+
图7给出了应用本发明构造[6,4] 基本域中第1、第2和第3层次格子的双曲变换矩阵的代码,数字相应于 、 、 各项中的指数取值。
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