基于范数正则化离散线性系统的滤波方法、离散线性系统
阅读：39发布：2020-05-08
专利汇可以提供基于范数正则化离散线性系统的滤波方法、离散线性系统专利检索，专利查询，专利分析的服务。并且本 发明 属于离散线性系统滤波技术领域，公开了一种基于范数正则化离散线性系统的滤波方法、离散线性系统，使用l1-范数正则化显式地对离群值进行建模、估计并获取稀疏解。由于对离群值进行了显式建模，因此可以估计和减少其通过噪声相关性所传播的负面影响，因而可以获得更加准确的估计结果。本发明提出的方法提供了分别为状态离群值和测量离群值分配不同惩罚权重的灵活性，这在常用的M估计方法中是难以实现的。通过选择适当的正则化参数，所提出的 滤波器 可简化为线性最优的卡尔曼滤波器，因此能够在鲁棒性和最优性之间提供良好的平衡，使用模拟和实验数据的示例都证明了所提出的鲁棒滤波方法的有效性和优越性。，下面是基于范数正则化离散线性系统的滤波方法、离散线性系统专利的具体信息内容。
1.一种基于范数正则化离散线性系统的滤波方法，其特征在于，所述基于范数正则化离散线性系统的滤波方法使用l1-范数正则化显式地对离群值进行建模、估计并获取稀疏解；提供了分别为状态离群值和测量离群值分配不同惩罚权重；通过选择正则化参数，滤波器简化为线性最优的卡尔曼滤波器。
2.如权利要求1所述的基于范数正则化离散线性系统的滤波方法，其特征在于，所述基于范数正则化离散线性系统的滤波方法的条件为：
(1)卡尔曼滤波，离散时间状态空间模型：
xk+1＝Φxk+ωk
yk＝Hxk+vk；
其中k是采样实例，xk∈Rm和yk∈Rn分别是系统状态和测量值；wk∈Rm和vk∈Rn是互不相关的零均值高斯噪声；
将标准卡尔曼滤波器应用于离散时间状态空间模型的系统，以给出最小均方误差估计；递归滤波器的方程：
Pk|k-1＝ΦPk-1|k-1ΦT+Qk
Kk＝Pk|k-1HT[HPk|k-1HT+Rk]-1
Pk|k＝[I-KkH]Pk|k-1；
(2)卡尔曼滤波器在线性回归框架下的实现。
3.如权利要求2所述的基于范数正则化离散线性系统的滤波方法，其特征在于，所述(1)中给出的卡尔曼滤波器估计值 看作一个加权最小二乘问题的解；在k-1时刻，滤波器产生估计值 及其误差协方差矩阵Pk-1|k-1；那么在k时刻，根据 及系统动态模型获取预测值 预测值 和测量值yk用于计算k时刻最新的估计值
如果将 看作为一个随机的测量值，那么真实状态xk与其预测值 之间
的关系可表达为 再结合系统的观测模型获得以下线性回归模
型：
其中 是真实状态与其预测值之间的
误差，而I是单位矩阵；批处理形式的线性回归用以下紧凑形式表示：
其中 和 以明显的方式定义，误差 的协方差矩阵可由以下公式计算得到：
4.如权利要求2所述的基于范数正则化离散线性系统的滤波方法，其特征在于，所述(1)中卡尔曼滤波器在k时刻的估计值 通过求解以下最小二乘优化问题获得：
最小二乘优化问题通过将其成本函数的梯度设置为零并使用矩阵求逆引理来求得；通过遵循常规的最小二乘法分析，获得估计误差的协方差矩阵Pk|k，通过以上转换，(1)中的卡尔曼滤波器表达为(2)中所示的线性回归最小二乘优化问题的解。
5.如权利要求2所述的基于范数正则化离散线性系统的滤波方法，其特征在于，所述双最佳滤波与噪声相关性的处理方法将使用(2)中所述的线性回归框架来处理两种常见类型的噪声相关性；
1)类型I噪声相关性：过程噪声与测量噪声在同一时刻互相关，即首先考虑wk和vk相关的情况：
其中Sk是一个非零向量或矩阵，描述wk与vk之间的相关性；通过将一个零和项Dk[yk-Hxk-vk]添加到系统的过程模型之中并整理方程得到以下等效的系统状态空间方程：
yk＝Hxk+vk；
选择矩阵Dk使得新的过程噪声 与测量噪声vk不相关：
新过程噪声 的均值和方差计算为：
给出的等效状态空间模型满足标准卡尔曼滤波问题所要求的条件，其中过程噪声和测量噪声均为零均值；将测量项 当作确定性输入，等效状态空间模型的递归滤波器的预测步骤可由下列式子所求得：
在去除噪声相关性的过程中，在预测步骤中引入观测值yk-1，当测量值当中出现离群值的时候，离群值通过预测步骤进行传播，对后续的系统状态估计产生负面的影响；
2)类型II噪声相关性：过程噪声与相邻时刻的测量噪声相关，考虑wk-1和vk相关的情况：
的方差现在变为：
因此 的逆可表示为：
条件：
卡尔曼滤波器的估计值通过对(2)中所示的最小二乘优化问题求解获得，具体表示为：
条件：
估计值误差的协方差矩阵可通过遵循常规的最小二乘法分析获得，并通过下式求得：
6.如权利要求1所述的基于范数正则化离散线性系统的滤波方法，其特征在于，所述基于范数正则化离散线性系统的滤波方法的离群追踪稳健滤波处理方法包括：
(1)通过添加新的变量ok对离群值进行建模，引入离群值过后的线性回归模型为：
条件：ok＝[ok，x，ok，y]T；
Ok，x∈Rm和oy，x∈Rn分别表示系统状态值和测量值中的离群值；离群值变量的引入将使最初超定的线性方程变成欠定的方程因而具有无穷多数量的解；采用获得稀疏解的l1-范数；将鲁棒性滤波问题表述为以下正则化最小二乘优化问题：
其中βk是正则化参数，用于调整对离群值的检测强度；
(2)与Huber所提出的M估计方法的联系：
当阈值λk趋于零和无穷大时，Huber成本函数将退化到绝对误差成本函数和平方误差成本函数；
(3)鲁棒滤波器的求解器可进一步分解为两个子问题：一个最小二乘最优化问题和一个l1范数最小化问题，令j代表迭代的次数， 和 通过求解以下子问题而获得，其中每一次的迭代表示为：
对于此类迭代问题的初始条件，选择
解决最小二乘子问题等同于已经过校正的预测值 和测量值 求解卡尔曼
滤波器的估计值；
Kk为卡尔曼增益；更新后的估计为 其中J是获得解所需的坐标迭代次
数；l1范数最小化子问题进一步划分为一维坐标下降迭代问题：
其中 是迭代j次的ok的第d个元素，D＝m+n是ok中所含元素的个数，上式表示为：
条件：
其中rk，d，d′是 的第(d，d′)个元素，离群值的最终解表示为：
通过从原始测量值 中减去上式所估计的离群值可获得更加精确的观测值。
7.一种应用权利要求1～5任意一项所述基于范数正则化离散线性系统的滤波方法的离散线性系统。
基于范数正则化离散线性系统的滤波方法、离散线性系统
技术领域
[0001] 本发明属于离散线性系统滤波技术领域，尤其涉及一种基于范数正则化离散线性系统的滤波方法、离散线性系统。
背景技术
[0002] 对物理系统进行建模通常会导致所产生的状态空间模型具有相关的过程噪声和测量噪声。例如，在诸如飞机惯性导航系统之类的应用中，飞机的振动会为动态驾驶系统和机载雷达测量引入共同的噪声源，因此过程噪声和测量噪声序列在统计意义上是相关的。还要注意的是，由于采样的原因，即使连续时间系统的过程噪声和测量噪声不相关，采样过后所获得的离散时间系统其过程噪声和测量噪声的协方差也可能不为零。虽然鲁棒估计问题一直吸引着研究人员和工程师的广泛关注。然而，大多数鲁棒估计方法都是基于过程噪声和测量噪声为白色噪声且互不相关的假设，针对噪声中存在相关性情况的文献十分有限。
[0003] 众所周知，卡尔曼滤波器是最佳的线性滤波器，并且已经在各种应用和实践中证明了其有效性。尽管系统中存在相关噪声的情况不是最初的卡尔曼滤波问题所考虑的标准问题，但人们仍然可以通过对原卡尔曼滤波器进行一些适当的修改以获得在噪声相关情况下的最佳滤波器。不幸的是，在卡尔曼滤波器中使用的高斯噪声假设仅仅是对现实的近似。在实际应用中，观测值通常会因为重大的实验误差而产生离群值，并且系统的动态过程本身也容易受到随机的，未建模的扰动，所有这些都将导致离群值的存在。在存在离群值的情况下，包括卡尔曼滤波器在内的基于最小二乘的估计器的性能都会大大地降低。这是因为对误差进行平方运算会使其变得更大，因而在平方误差损失函数中的离群值可能会超越其它正常数据而占据主导地位，从而导致估计结果不准确。因此，在存在离群值的情况下，卡尔曼滤波器可能会产生具有误差偏置的解，甚至发散。
[0004] 在常用的鲁棒估计方法中，基于有限影响函数的M估计器已应用于鲁棒最小二乘估计和卡尔曼滤波，以抑制极端误差的影响。但是，在过程噪声和测量噪声存在相关性的情况下，该方法需要进行预白化以产生独立的噪声项，这会将离群值扩散到正常数据之中。当过程噪声和观测噪声之间强相关时，情况可能变得更糟，因为去相关操作将进一步将观测离群值引入系统的状态方程。众所周知，在大多数工业过程中，系统输出的维数通常远小于系统状态的维数。例如，常用于描述ARMAX过程的状态空间模型的阶数为n，而其系统输出的维数仅为1。这很容易导致离群值的百分比超过常规稳健估计器的崩溃点，因为如果有超过一半的数据被离群值所污染，则一般的鲁棒估计器不太可能将正常数据与离群值数据的区分开来。
[0005] 除常用的M估计方法外，也有一些鲁棒估计方法尝试完全消除离群值的负面影响。一个典型的例子是最小截取二乘法，它已应用于离散时间线性系统的鲁棒状态估计之中。
该方法首先通过一次省略一个测量值来生成一组最小二乘成本函数，然后保留与最低成本相对应的估计值。因此，通常的假设是在一个估计窗口中只有一个测量值是离群的。该方法可以推广到存在多个离群值的情况，但是对于实时应用而言，增加的组合数将使估计计算所需的时间过长。其他方法诸如最小绝对偏差，最小中值平方和随机样本一致估计也是十分有效的鲁棒估计方法，但它们对于数据维数较大的应用也会因为增加的数据组合数量而变得低效和无用。
该方法首先通过一次省略一个测量值来生成一组最小二乘成本函数，然后保留与最低成本相对应的估计值。因此，通常的假设是在一个估计窗口中只有一个测量值是离群的。该方法可以推广到存在多个离群值的情况，但是对于实时应用而言，增加的组合数将使估计计算所需的时间过长。其他方法诸如最小绝对偏差，最小中值平方和随机样本一致估计也是十分有效的鲁棒估计方法，但它们对于数据维数较大的应用也会因为增加的数据组合数量而变得低效和无用。
[0006] 正则化作为一种数学工具，可将先验信息附加于优化问题的解之上，使得优化任务的结果偏向于满足该先验信息并获取理想的优化解。。它已成功应用于信号恢复，稀疏错误检测和状态估计。在状态估计中，常用的正则化项与“l1-范数”，“l2-范数”和“范数和”有关。例如，“l1-范数正则化已应用于检测和缓解网络物理系统中的恶意攻击。“l2-范数正则化已应用于减少加性输出噪声对ARMAX系统的影响。范数和正则化则被应用于抵御冲击干扰对一般线性系统的影响。
[0007] 因为正则化最小二乘问题是一个凸优化问题，因此可以使用标准的凸优化方法有效地对其进行求解。本发明所提出的的方法不需要进行预白化，从而可以防止离群值通过噪声中的相关性进行扩散。示例表明，在传统M估计方法无法提供可靠估计值的情况下，本发明所提出的方法仍然能够在系统噪声存在相关性的情况下保持鲁棒性。值得注意的是，本发明所提出的方法绝不限于过程噪声和测量噪声互相关的情况。其他情况，例如彩色过程噪声和彩色观察噪声也可以从中受益。在实践中，上述情况中的一些或全部都有可能同时发生，使用者可通过状态增广技术和噪声去相关技术来解决正则化线性回归框架中的鲁棒估计问题，这已在本发明中得到了展示和证明。
[0008] 综上所述，现有技术存在的问题是：现有高斯噪声的假设只是对现实的近似，实际的工程系统通常会受到非高斯干扰，仪器故障和人为错误的影响，这些都会导致离群值的出现。而常用的卡尔曼滤波器的估计精度会极大地受到离群值的影响；基于M估计及其它常用鲁棒估计方法的鲁棒估计器又无法解决过程噪声和测量噪声存在相关性的情况，因而需要一种新的鲁棒估计方法来解决上述问题。
[0009] 解决上述技术问题的难度：当系统的过程噪声和测量噪声具有相关性的时候，常用的鲁棒估计方法，诸如M估计，最小绝对偏差估计等，很难对离群值进行有效地处理；而本发明所提出的估计方法因为能够对离群值进行显示建模并估计，所以可以将离群值通过系统相关性所产生的负面影响纳入考量，很好地解决传统鲁棒估计方法无法对噪声中存在相关性的情况进行很好处理的缺陷。
[0010] 解决上述技术问题的意义：可解决系统过程噪声和测量噪声存在相关性这一复杂情况下的离散系统鲁棒估计问题。并且可解决对非线性系统进行线性化时无法避免对系统过程噪声和测量噪声之中引入相关性这一问题，实现对非线性系统的鲁棒估计。除此之外，亦可对状态变量和测量值设置不同的惩罚权重，进而对两者中所存在的离群值进行更加精确的估计。
发明内容
[0011] 针对现有技术存在的问题，本发明提供了一种基于范数正则化离散线性系统的滤波方法、离散线性系统。
[0012] 本发明是这样实现的，一种基于范数正则化离散线性系统的滤波方法，所述基于范数正则化离散线性系统的滤波方法包括以下步骤：
[0013] 步骤一，前提条件设定；设定应用背景为线性离散系统，其过程噪声和测量噪声有可能相关。
[0014] 步骤二，双最佳滤波与噪声相关性处理；将最优卡尔曼滤波问题等价转化为求解线性回归最小二乘问题解的形式，并对过程噪声和测量噪声在同一时刻相关以及在相邻时刻相关的情况分别进行去相关化处理。
[0015] 步骤三，离群追踪稳健滤波。采用L1范数项对离群值进行显示建模，并基于L1范数正则化最小二乘法来同时求解离群值和系统状态的估计值，实现鲁棒估计。
[0016] 进一步，所述前提条件设定为：
[0017] (1)卡尔曼滤波，离散时间状态空间模型：
[0018] xk+1＝Φxk+wk
[0019] yk＝Hxk+vk；
[0020] 其中k是采样实例，xk∈Rm和yk∈Rn分别是系统状态和测量值；wk∈Rm和vk∈Rn是互不相关的零均值高斯噪声；
[0021] 将标准卡尔曼滤波器应用于离散时间状态空间模型的系统，以给出最小均方误差估计；递归滤波器的方程：
[0022]
[0023] Pk|k-1＝ΦPk-1|k-1ΦT+Qk
[0024] Kk＝Pk|k-1HT[HPk|k-1HT+Rk]-1
[0025]
[0026] Pk|k＝[I-KkH]Pk|k-1；
[0027] (2)卡尔曼滤波器在线性回归框架下的实现
[0028] (1)中给出的卡尔曼滤波器估计值 可看作一个加权最小二乘问题的解；假设在k-1时刻，滤波器可产生估计值 及其误差协方差矩阵Pk-1|k-1；那么在k时刻，可根据 及(1)中的系统动态模型来获取预测值 进而可以预测值 和测量值yk用于计算k时刻最新的估计值 如果将 看作为一个随机的测量值，那么真实状态xk与其预测值 之间的关系可表达为 再结合系
统的观测模型可获得以下线性回归模型：
统的观测模型可获得以下线性回归模型：
[0029]
[0030] 其中 是真实状态与其预测值之间的误差，而I是单位矩阵；批处理形式的线性回归用以下紧凑形式表示：
[0031]
[0032] 其中 和 以明显的方式定义。误差 的协方差矩阵可由以下公式计算得到：
[0033]
[0034] (1)中卡尔曼滤波器在k时刻的估计值 则可通过求解以下最小二乘优化问题来获得：
[0035]
[0036] 该最小二乘优化问题可通过将其成本函数的梯度设置为零并使用矩阵求逆引理来求得；通过遵循常规的最小二乘法分析，可获得估计误差的协方差矩阵Pk|k。通过以上转换，(1)中所示的卡尔曼滤波器可表达为(2)中所示的线性回归最小二乘优化问题的解。
[0037] 进一步，所述双最佳滤波与噪声相关性的处理方法将使用(2)中所述的线性回归框架来处理两种常见类型的噪声相关性；
[0038] (1)类型I噪声相关性：过程噪声与测量噪声在同一时刻互相关，即首先考虑wk和vk相关的情况：
[0039]
[0040] 其中Sk是一个非零向量或矩阵，描述wk与vk之间的相关性；通过将一个零和项Dk[yk-Hxk-vk]添加到系统的过程模型之中并整理方程可得到以下等效的系统状态空间方程：
[0041]
[0042] yk＝Hxk+vk；
[0043]
[0044]
[0045]
[0046] 选择矩阵Dk使得新的过程噪声 与测量噪声vk不相关：
[0047]
[0048] 新过程噪声 的均值和方差计算为：
[0049]
[0050]
[0051] 给出的等效状态空间模型满足标准卡尔曼滤波问题所要求的条件，其中过程噪声和测量噪声均为零均值，白色且互不相关；将测量项Dkyk当作确定性输入，等效状态空间模型的递归滤波器的预测步骤可由下列式子所求得：
[0052]
[0053]
[0054] 需要注意的是，在去除噪声相关性的过程中，在预测步骤中引入了观测值yk-1,因此，当测量值当中出现离群值的时候，离群值有可能通过预测步骤进行传播，对后续的系统状态估计产生负面的影响；
[0055] (2)类型II噪声相关性：过程噪声与相邻时刻的测量噪声相关，即考虑wk-1和vk相关的情况：
[0056]
[0057] 的方差现在变为：
[0058]
[0059] 因此 的逆可表示为：
[0060]
[0061] 条件：
[0062]
[0063]
[0064]
[0065]
[0066] 在此种情况下，卡尔曼滤波器的估计值仍然可通过对(2)中所示的最小二乘优化问题求解来获得，具体可表示为：
[0067]
[0068] 条件：
[0069]
[0070] 估计值误差的协方差矩阵可通过遵循常规的最小二乘法分析获得，并通过下式求得：
[0071]
[0072] 进一步，所述离群追踪稳健滤波处理方法如下：
[0073] (1)通过添加新的变量ok对离群值进行建模，引入离群值过后的线性回归模型为：
[0074]
[0075] 条件：Ok＝[Ok，x，Ok，y]T；
[0076] Ok，x∈Rm和oy，x∈Rn分别表示系统状态值和测量值中的离群值；离群值变量的引入将使最初超定的线性方程变成欠定的方程因而具有无穷多数量的解；针对这一问题，采用能够获得稀疏解的l1-范数；将鲁棒性滤波问题表述为以下正则化最小二乘优化问题：
[0077]
[0078] 其中βk是正则化参数，用于调整对离群值的检测强度；
[0079] (2)与Huber所提出的M估计方法的联系：
[0080]
[0081] 当阈值λk趋于零和无穷大时，Huber成本函数将分别退化到绝对误差成本函数和平方误差成本函数；
[0082] (3)鲁棒滤波器的求解器可进一步分解为两个子问题：一个最小二乘最优化问题和一个l1范数最小化问题，令j代表迭代的次数， 和 可通过求解以下子问题而获得。其中每一次的迭代可表示为：
[0083]
[0084]
[0085] 对于此类迭代问题的初始条件，一种常用的选择是
[0086] 解决上述最小二乘子问题等同于已经过校正的预测值 和测量值 来求解卡尔曼滤波器的估计值；
[0087]
[0088]
[0089]
[0090] Kk为卡尔曼增益；更新后的估计为 其中J是获得解所需的坐标迭代次数；与此同时，l1范数最小化子问题可进一步划分为一维坐标下降迭代问题：
[0091]
[0092] 其中 是迭代j次的ok的第d个元素，D＝m+n是ok中所含元素的个数。上式可进一步表示为：
[0093]
[0094] 条件
[0095]
[0096]
[0097] 其中rk，d，d′是 的第(d，d′)个元素。离群值的最终解可表示为：
[0098]
[0099] 通过从原始测量值 中减去上式所估计的离群值可获得更加精确的观测值。
[0100] 本发明的另一目的在于提供一种应用所述基于范数正则化离散线性系统的滤波方法的离散线性系统。
[0101] 本发明的优点及积极效果为：本发明使用l1-范数正则化显式地建模和估计离群值向量，这会促进稀疏解。由于对离群值进行了显式建模，因此可以估计和减少其通过相关性传播的影响，因此可以预期更准确的估计结果。此外，本发明提出的方法提供了分别为状态值和测量值中的离群值分配不同权重的灵活性，这在常用的M估计方法中是不可能的，因为预白化将相关噪声设置中的两个部分混合在一起，无法为两个部分分别设置不同的权重。通过选择适当的正则化参数，所提出的滤波器简化为众所周知的卡尔曼滤波器，因此能够在鲁棒性和最优性之间提供良好的平衡。使用模拟和实验数据的示例都证明了所提出的鲁棒滤波方法的有效性。附图说明
[0102] 图1是本发明实施提供的基于范数正则化离散线性系统的滤波方法流程图。
[0103] 图2是本发明实施提供的系统状态xk,1的真实值、卡尔曼滤波器、M-估计器以及本发明所提出滤波器的估计值示意图。
[0104] 图3是本发明实施提供的系统状态xk,2的真实值、卡尔曼滤波器、M-估计器以及本发明所提出滤波器的估计值示意图。
[0105] 图4是本发明实施提供的卡尔曼滤波器在不同发生概率冲击噪声影响下估计值的均方根误差示意图。
[0106] 图5是本发明实施提供的本发明所提出的滤波器在不同发生概率冲击噪声影响下估计值的均方根误差示意图。
具体实施方式
[0107] 为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
[0108] 下面结合附图对本发明的应用原理作进一步描述。
[0109] 如图1所示，本发明实施例提供的基于范数正则化离散线性系统的滤波方法包括以下步骤：
[0110] 步骤S101，前提条件设定；
[0111] 步骤S102，双最佳滤波与相关的噪声处理；
[0112] 步骤S103，离群追踪稳健滤波。
[0113] 下面结合具体实施例对本发明的技术方案作进一步的描述。
[0114] 1、前提条件
[0115] A.卡尔曼滤波
[0116] 考虑以下离散时间状态空间模型：
[0117] xk+1＝Φxk+wk (1)
[0118] yk＝Hxk+vk (2)
[0119] 其中k是采样实例，xk∈Rm和yk∈Rn分别是系统状态和测量值。wk2Rm和vk∈Rn是互不相关的零均值高斯噪声。
[0120] 可以将标准卡尔曼滤波器应用于由(1)和(2)描述的系统，以给出最小均方误差估计。递归滤波器的方程在许多教科书中都有介绍，总结如下：
[0121]
[0122] Pk|k-1＝ΦPk-1|k-1ΦT+Qk (4)
[0123] Kk＝Pk|k-1HT[HPk|k-1HT+Rk]-1 (5)
[0124]
[0125] Pk|k＝[I-KkH]Pk|k-1 (7)
[0126] B.线性回归框架
[0127] (6)中给出的卡尔曼滤波器估计值 可以看作是特定加权最小二乘问题的解。假设估计 及其误差协方差矩阵Pk-1|k-1是从上一个时间步获得的。在时间k，预测和测量值yk可用于计算更新的估计值 将 解释为噪声测量，并使用真
实状态与其预测之间的关系 可以获得以下线性回归模型：
实状态与其预测之间的关系 可以获得以下线性回归模型：
[0128]
[0129] 其中 是真实状态与其预测之间的误差，而I是恒等式矩阵。这种批处理形式的线性回归可以用以下紧凑形式表示：
[0130]
[0131] 其中 和 以明显的方式定义。误差 的协方差矩阵由(10)给出
[0132]
[0133] 确定 的准则就是：
[0134]
[0135] 将梯度设置为零并使用矩阵求逆引理，问题(11)的解由(6)给出。然后，通过遵循常规的最小二乘法分析，可以获得(7)中的误差协方差矩阵。
[0136] 2、双最佳滤波与相关的噪声处理
[0137] 本节讨论解决非标准滤波问题的方法，其中过程噪声和测量噪声可能同时或相隔一个时间步长相关。将显示，可以使用线性回归框架来处理两种类型的依赖关系，而在预测阶段或更新阶段都可以进行较小的更改。
[0138] A.类型I噪声相关性：过程噪声与测量噪声在同一时刻互相关。
[0139] 首先考虑wk和vk相关的情况，即
[0140]
[0141] 其中Sk是一个非零向量或矩阵，描述wk与vk之间的相关性。为了估计由这种类型的相关噪声驱动的系统的状态，可以重写系统方程，以使新的过程模型在数学上等效于原始过程模型，但具有与测量噪声不相关的噪声项。这可以通过将零项Dk[yk-Hxk-vk]添加到(1)的过程模型并重新排列来完成。因此，等效的处理模式为：
[0142]
[0143] yk＝Hxk+vk (14)
[0144]
[0145]
[0146]
[0147] 注意，选择矩阵Dk使得新的过程噪声 与测量噪声vk不相关，即：
[0148]
[0149] 新过程噪声 的均值和方差可以很容易地计算为：
[0150]
[0151]
[0152] 由(13)和(14)给出的等效状态空间模型满足标准卡尔曼滤波问题所要求的条件，其中过程噪声和测量噪声均为零均值，白色且互不相关。将(13)中的测量项Dkyk当作确定性输入，等效状态空间模型的递归滤波器的预测步骤如下：
[0153]
[0154]
[0155] 然后通过求解(8)，可获得增益矩阵(5)、滤波后的估计值(6)和估计误差的协方差(7)。
[0156] 应当注意，由于在预测步骤(17)中引入了观测值yk-1，现在观测值中的离群值可能会扩散到状态方程中，导致离群值的百分比很容易就超过了估计器的崩溃点。解决此问题的关键是明确地估计离群值并应用离群值补偿后的测量结果进行可靠地估计。
[0157] B.类型II噪声相关性：过程噪声与相邻时刻的测量噪声相关，考虑wk-1和vk相关的情况，即：
[0158]
[0159] 在这种情况下，预测阶段保持不变，仍然由(3)和(4)给出。但是不同于(10)， 的方差现在变为：
[0160]
[0161] 这会导致更新阶段发生变化。为了推导出更新阶段的方程，首先取 的倒数：
[0162]
[0163] 条件：
[0164]
[0165]
[0166]
[0167]
[0168] 通过使用(20)来求解(11)，可以获得针对这种情况的估计值，结果由(22)给出：
[0169]
[0170] 条件：
[0171]
[0172] 这种情况下的协方差矩阵可以通过遵循常规的最小二乘法分析获得，并通过(24)给出
[0173]
[0174] 备注：类型I相关关系的去相关框架通过修改标准卡尔曼滤波器的预测步骤来实现，在这一过程中更新步骤可保持不变，而类型II相关关系的去相关框架通过修改标准卡尔曼滤波器来的更新步骤来获得，而预测步骤保持不变。
[0175] 3、离群追踪稳健滤波
[0176] A.具有L1-范数正则化的鲁棒滤波：众所周知，卡尔曼滤波器的性能可能在存在离群值的情况下大幅下降。在这里，建议使用离群追踪线性回归模型来对离群值进行显式建模和估计，以实现对其负面影响的抑制。由于对离群值进行了显式建模和估计，因此它们的通过噪声相关性所传播的影响可以大幅减少，因此可以获得更加准确的估计结果。通过添加新变量ok来对离群值进行建模，(9)式所对应的的离群值追踪线性回归模型为：
[0177]
[0178] 条件：Ok＝[Ok，x，Ok，y]T
[0179] Ok，x∈Rm和oy，x∈Rn分别表示状态值和测量值中的离群值。这些新变量的引入将原来(11)式中的超定的线性方程变成欠定的方程，因而这样的优化问题拥有无限数量的解，而要对其求解就必须引入新的信息。。
[0180] 正则化方法正是通过引入其它新的信息以解决求解欠定优化问题的一种有效工具。它已被广泛应用于各种研究领域，包括图像处理，压缩感测和机器学习。在成本函数中增加的额外的正则项可以看作是对原优化问题所增加的一种软约束，因而可以为求解该问题引入额外的其他信息，例如稀疏性。常用的正则项与l1-范数，l2-范数和范数和有关。因为离群值是出现频率极低的极端误差，在本发明中采用了能够获得稀疏解的l1-范数。然后将鲁棒滤波问题表述为求解以下正则化最小二乘优化问题：
[0181]
[0182] 其中βk是正则化参数，用于调整对离群值的检测强度；
[0183] B.与Huber所提出的M估计方法的联系：
[0184] Huber所提出的M估计方法已在鲁棒估计当中得到广泛的应用，其成本函数为：
[0185]
[0186] 可以看出，该成本函数在残差较小时为二次函数，而残差较大时为线性函数。因此，与大残差相关的离群值的权重将相对较小，从而有利于抵御离群值对其它正常数据的影响。应该提到的是，当阈值k趋于零和无穷大，则(27)中的Huber成本函数将分别退化到绝对误差函数和平方误差函数。
[0187] 基于l1-范数正则化的最小二乘估计与M估计有着密切的联系。众所周知，两者在线性回归问题以及单位噪声影响下的状态估计问题中有着等价性。在本专利所提出方法中，我们将这种等价性推广到了协方差 为任意正定协方差的情况。当T选择为 时，求解(29)中的正则化估计问题等同于求解(28)中的M估计问题。
[0188]
[0189]
[0190] 其中yk，d是 的第d个元素，， 是 中的第d列。值得一提的是，Huber的M估计方法仅隐含地包含离群值，并且仅当噪声为白色噪声时有效。在噪声中存在相关性的情况下，对噪声进行过预白化虽然能够将噪声变为互不相关的白色噪声，但同时也将离群值的影响传播到了正常数据之中。例如，在过程噪声和测量噪声在同一时刻相关的情况下，观测值中的离群值将传播到状态方程(13)中。这将会导致鲁棒估计的困难，因为在大多数工业系统中，系统输出的数量远远少于系统状态的数量。如果系统状态值受到离群值的干扰，那么将会导致超过一半的数据被影响，在这种情况下是难以区分正常数据和离群数据的。本专利所提出的方法因为能够对离群值进行建模，并考虑了它们通过噪声相关性传播的可能，从而提供了一种有效的解决这个问题的方法。
[0191] C.离群值追踪鲁棒滤波器的求解器
[0192] (26)中的优化问题是一个凸优化问题，因而可以利用块坐标下降方法来进行求解。在块坐标下降中，优化问题被分解为几个子问题，每个子问题根据优化问题的整体结构而包含一组变量。通过将各个子优化问题的目标函数的解进行互相迭代，可以求解到原整体优化问题的最优解。显然，问题(26)可以分解为两个子问题，一个子问题是最小二乘最优化问题，另一个是l1最小化问题。其中l1最小化问题可以进一步分解为单个的针对标量的优化问题。令j代表迭代的次数， 和 可通过求解以下子问题而进行相互迭代更新：每次迭代的问题：
[0193]
[0194]
[0195] 对于此类迭代问题的初始条件，一种常用的选择为
[0196] 求解(30)中的子问题等价于使用经过离群值所校正过的测量值来获得(11)中的卡尔曼滤波器的估计值。使用状态值 和经过离群值校正的测量值 来进行每一次的迭代，即：
[0197]
[0198]
[0199]
[0200] Kk是根据(5)或(23)所确定的卡尔曼增益矩阵。因此，最终更新后的估计值为其中J是获得解所需最优解的坐标迭代次数。至于(31)中的子问题，可以将其进一步划分为一批一维的坐标下降迭代问题，即：
[0201]
[0202] 其中 是迭代j次过后的ok的第d个元素，D＝m+n是ok的大小。为了解决这个一维的优化问题，可将其表示为如下等价的优化问题：
[0203]
[0204]
[0205]
[0206] 其中rk，d，d′是 的第(d，d′)个元素。(36)中的优化问题具有封闭形式的解，并由(37)给出：
[0207]
[0208] 根据结果，可以保证迭代器(30)和(31)全局收敛于(26)的解。在实践中，该算法可以快速收敛到最优解。这是因为每个坐标最小化子问题都有一个简单的闭合解，并且当算法循环遍历变量时，估计的离群值的许多元素并无变化，均保持为零(稀疏)。当求得(26)中的优化问题的解过后，就可以通过从原始测量值中减去所估计的离群值来获得经过离群值校正的观测值，并可以将校正后的测量值用在(17)中进行以获得更加精确的预测值。
[0209] 下面结合仿真对本发明的技术效果作详细的描述。
[0210] 本实验考虑如下式所示的二阶线性振荡系统：
[0211]
[0212] 其中，系统参数Q＝diag(1，1)and R＝0.1，ξ＝0.2，ω＝0.5 rad/s。采样周期T＝0.5秒。描述过程噪声和测量噪声相关性的参数M＝[0.05，0.05]T。除此之外，系统的测量值还受到发生概率为0.1，幅度为20或者-20(等概率，0.05)的冲击噪声的影响。系统的真实值、卡尔曼滤波器的估计值、M-估计器的估计值以及本发明所提出方法的估计值如图2及图
3所示。可以看到，当测量值受到异常干扰的时候，卡尔曼滤波器和M-估计器的估计值都偏离了真实值，而本发明所提出的滤波器的估计值仍然能够很好地估计出真实值的大小，表现出了优于传统鲁棒估计方法的性能。
3所示。可以看到，当测量值受到异常干扰的时候，卡尔曼滤波器和M-估计器的估计值都偏离了真实值，而本发明所提出的滤波器的估计值仍然能够很好地估计出真实值的大小，表现出了优于传统鲁棒估计方法的性能。
[0213] 除此之外，本实验还测试了不同冲击噪声发生概率情况下的估计误差情况。当冲击噪声的发生概率为0.01、0.05、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5和0.6时，将仿真实验重复了1000次并计算了这1000次实验的均方根误差值，相关结果如图4和图5所示。其中图4中的箱线图显示了卡尔曼滤波器的均方根误差分布情况，而图5为本发明所提出滤波器在相同实验条件下的结果。可以观察到，随着冲击噪声发生概率的增加，卡尔曼滤波器估计结果的均方根误差逐渐增加，而本发明所提出的滤波器受到冲击噪声的影响则明显小于卡尔曼滤波器。以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
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